CONCEPTE DE BAZĂ ALE TEORIEI PROBABILITĂȚII

Clasificarea evenimentelor, conceptul de evenimente elementare simple și complexe, operații asupra evenimentelor, definiția clasică a probabilității unui eveniment aleator și proprietățile sale, elemente de combinatorică în teoria probabilităților, axiome ale teoriei probabilităților, probabilitate geometrică, probabilitate statistică.

1. Clasificarea evenimentelor.

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de eveniment. Sub eveniment se referă la orice fapt care poate apărea ca urmare a unei experiențe sau a unui test. Sub experienţă sau Test se referă la implementarea unui anumit set de condiţii.

Exemple de evenimente includ:

Lovirea unei ținte atunci când este tras cu o armă (experiență - tragerea unei împușcături, eveniment - lovirea unei ținte);

Pierderea a două embleme la aruncarea unei monede de trei ori (experiență - aruncarea unei monede de trei ori, eveniment - aruncarea a două embleme);

Apariția unei erori de măsurare în limitele specificate atunci când se măsoară intervalul până la o țintă (experiență - măsurarea intervalului, eveniment - eroare de măsurare).

Pot fi date nenumărate exemple similare. Evenimentele sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin etc.

Distinge între evenimente comunȘi incompatibil. Evenimentele se numesc comune dacă apariția unuia dintre ele este însoțită de apariția altora în același test. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile. De exemplu, două zaruri sunt aruncate. Eveniment - obținerea de trei puncte la primul zar, event - obținerea de trei puncte la al doilea zar și - evenimente comune. Lăsați magazinul să primească un lot de pantofi de același stil și mărime, dar culori diferite. Eveniment - o cutie luată la întâmplare se va dovedi a conține pantofi negri, un eveniment - cutia se va dovedi a conține pantofi maro și - evenimente incompatibile.

Evenimentul este numit de încredere, dacă este sigur că va avea loc în condițiile unui experiment dat.

Evenimentul este numit imposibil, dacă nu poate apărea în condițiile unui experiment dat.

Dacă, de exemplu, motorul este în stare bună de funcționare, sistemul de alimentare cu combustibil funcționează normal și bateria este în stare de funcționare, atunci când aprinderea și demarorul sunt pornite, rotația arborelui motorului mașinii este un eveniment de încredere.

Dacă cel puțin un sistem de alimentare cu combustibil defectează, rotirea arborelui motorului devine imposibilă.

Evenimentul este numit posibil sau Aleatoriu, dacă ca urmare a experienței poate apărea, dar poate să nu apară.

Un exemplu de eveniment aleatoriu ar putea fi identificarea defectelor de produs în timpul inspecției unui lot de produse finite, o discrepanță între dimensiunea produsului procesat și cea specificată sau eșecul uneia dintre legăturile din sistemul de control automat.

Evenimentele sunt numite la fel de posibil, dacă, conform condițiilor de testare, niciunul dintre aceste evenimente nu este obiectiv mai posibil decât celelalte.

Să luăm următorul exemplu. Lăsați magazinul să furnizeze becuri (și în cantități egale) de la mai multe fabrici de producție. Evenimentele care implică achiziționarea unui bec de la oricare dintre aceste fabrici sunt la fel de posibile.

Un concept important este grup complet de evenimente. Mai multe evenimente dintr-un experiment dat formează un grup complet dacă cel puțin unul dintre ele este sigur că va apărea ca rezultat al experimentului. De exemplu, o urnă conține zece bile, șase dintre ele sunt roșii, patru sunt albe și cinci bile au numere. - apariția unei mingi roșii în timpul unei extrageri, - apariția unei mingi albe, - apariția unei mingi cu un număr. Evenimente - formați un grup complet de evenimente comune.

Să introducem conceptul de eveniment opus sau suplimentar. Sub opus Un eveniment este înțeles ca un eveniment care trebuie să aibă loc în mod necesar dacă un eveniment nu are loc. Evenimentele opuse sunt incompatibile și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente. Deci, de exemplu, dacă un lot de produse fabricate constă din produse adecvate și defecte, atunci când un produs este îndepărtat, acesta se poate dovedi a fi potrivit - un eveniment A, sau defect - eveniment.

Mulți, când se confruntă cu conceptul de „teoria probabilității”, se sperie, crezând că este ceva copleșitor, foarte complex. Dar de fapt totul nu este atât de tragic. Astăzi ne vom uita la conceptul de bază al teoriei probabilităților și vom învăța cum să rezolvăm probleme folosind exemple specifice.

Știința

Ce studiază o astfel de ramură a matematicii ca „teoria probabilității”? Ea notează modele și cantități. Oamenii de știință s-au interesat pentru prima dată de această problemă încă din secolul al XVIII-lea, când au studiat jocurile de noroc. Conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment. Este orice fapt care este stabilit prin experiență sau observație. Dar ce este experiența? Un alt concept de bază al teoriei probabilităților. Înseamnă că acest set de circumstanțe a fost creat nu întâmplător, ci pentru un anumit scop. În ceea ce privește observația, aici cercetătorul însuși nu participă la experiment, ci este pur și simplu un martor la aceste evenimente, el nu influențează în niciun fel ceea ce se întâmplă.

Evenimente

Am învățat că conceptul de bază al teoriei probabilităților este un eveniment, dar nu am luat în considerare clasificarea. Toate sunt împărțite în următoarele categorii:

• De încredere.
• Imposibil.
• Aleatoriu.

Indiferent de ce fel de evenimente sunt, observate sau create în timpul experienței, toate sunt supuse acestei clasificări. Vă invităm să vă familiarizați cu fiecare tip separat.

Eveniment de încredere

Aceasta este o circumstanță pentru care s-au luat setul de măsuri necesare. Pentru a înțelege mai bine esența, este mai bine să dați câteva exemple. Fizica, chimia, economia și matematica superioară sunt supuse acestei legi. Teoria probabilității include un concept atât de important ca un eveniment de încredere. Aici sunt cateva exemple:

• Lucrăm și primim compensații sub formă de salarii.
• Am promovat bine examenele, am promovat concursul, iar pentru asta primim o recompensă sub formă de admitere într-o instituție de învățământ.
• Am investit bani în bancă și, dacă va fi nevoie, îi vom recupera.

Astfel de evenimente sunt de încredere. Daca am indeplinit toate conditiile necesare, cu siguranta vom obtine rezultatul asteptat.

Evenimente imposibile

Acum luăm în considerare elementele teoriei probabilităților. Ne propunem să trecem la o explicație a următorului tip de eveniment și anume imposibilul. În primul rând, să stipulăm cea mai importantă regulă - probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.

Nu se poate abate de la această formulare atunci când rezolvăm probleme. Pentru clarificare, iată exemple de astfel de evenimente:

• Apa a înghețat la o temperatură de plus zece (acest lucru este imposibil).
• Lipsa energiei electrice nu afectează în niciun fel producția (la fel de imposibil ca în exemplul precedent).

Nu merită să dați mai multe exemple, deoarece cele descrise mai sus reflectă foarte clar esența acestei categorii. Un eveniment imposibil nu va avea loc niciodată în timpul unui experiment, sub nicio circumstanță.

Evenimente aleatorii

La studierea elementelor, o atenție deosebită ar trebui acordată acestui tip special de eveniment. Aceasta este ceea ce studiază știința. Ca rezultat al experienței, ceva se poate întâmpla sau nu. În plus, testul poate fi efectuat de un număr nelimitat de ori. Exemplele vii includ:

• Aruncarea unei monede este o experiență sau un test, aterizarea capetelor este un eveniment.
• Scoaterea orbește o minge dintr-o pungă este un test obținerea unei mingi roșii este un eveniment și așa mai departe.

Pot exista un număr nelimitat de astfel de exemple, dar, în general, esența ar trebui să fie clară. Pentru a rezuma și sistematiza cunoștințele acumulate despre evenimente, este oferit un tabel. Teoria probabilității studiază doar ultimul tip din toate cele prezentate.

Nume	definiție
De încredere	Evenimente care au loc cu o garanție de 100% dacă sunt îndeplinite anumite condiții.	Admiterea într-o instituție de învățământ la promovarea cu bine a examenului de admitere.
Imposibil	Evenimente care nu se vor întâmpla niciodată sub nicio formă.	Ninge la o temperatură a aerului de plus treizeci de grade Celsius.
Aleatoriu	Un eveniment care poate sau nu să apară în timpul unui experiment/test.	O lovitură sau ratare atunci când aruncați o minge de baschet într-un cerc.

Legile

Teoria probabilității este o știință care studiază posibilitatea producerii unui eveniment. Ca și celelalte, are niște reguli. Există următoarele legi ale teoriei probabilităților:

• Convergenţa secvenţelor de variabile aleatoare.
• Legea numerelor mari.

Atunci când calculați posibilitatea unui lucru complex, puteți utiliza un set de evenimente simple pentru a obține un rezultat într-un mod mai ușor și mai rapid. Rețineți că legile teoriei probabilităților sunt ușor de demonstrat folosind anumite teoreme. Vă sugerăm să vă familiarizați mai întâi cu prima lege.

Convergenţa secvenţelor de variabile aleatoare

Rețineți că există mai multe tipuri de convergență:

• Secvența de variabile aleatoare converge în probabilitate.
• Aproape imposibil.
• Convergența pătratică medie.
• Convergența distribuției.

Deci, de la început, este foarte greu de înțeles esența. Iată definiții care vă vor ajuta să înțelegeți acest subiect. Să începem cu prima vedere. Secvența este numită convergent în probabilitate, dacă este îndeplinită următoarea condiție: n tinde spre infinit, numărul către care tinde șirul este mai mare decât zero și apropiat de unu.

Să trecem la următoarea vedere, aproape sigur. Se spune că secvența converge aproape sigur la o variabilă aleatoare cu n tinde spre infinit și P tinde către o valoare apropiată de unitate.

Următorul tip este convergenta medie patratica. Când se utilizează convergența SC, studiul proceselor aleatoare vectoriale se reduce la studiul proceselor aleatoare coordonate ale acestora.

Ultimul tip rămâne, să-l privim pe scurt pentru a putea trece direct la rezolvarea problemelor. Convergența în distribuție are un alt nume - „slab”, iar de ce vom explica mai târziu. Convergență slabă este convergența funcțiilor de distribuție în toate punctele de continuitate ale funcției de distribuție limită.

Ne vom ține cu siguranță promisiunea: convergența slabă diferă de toate cele de mai sus prin faptul că variabila aleatoare nu este definită în spațiul probabilității. Acest lucru este posibil deoarece condiția este formată exclusiv folosind funcții de distribuție.

Legea numerelor mari

Teoreme ale teoriei probabilităților, cum ar fi:

• inegalitatea lui Cebyshev.
• teorema lui Cebyshev.
• Teorema lui Cebyshev generalizată.
• teorema lui Markov.

Dacă luăm în considerare toate aceste teoreme, atunci această întrebare poate dura câteva zeci de foi. Sarcina noastră principală este să aplicăm teoria probabilității în practică. Vă sugerăm să faceți acest lucru chiar acum. Dar înainte de asta, să ne uităm la axiomele teoriei probabilităților, acestea vor fi asistenții principali în rezolvarea problemelor.

Axiome

Pe primul l-am întâlnit deja când am vorbit despre un eveniment imposibil. Să ne amintim: probabilitatea unui eveniment imposibil este zero. Am dat un exemplu foarte viu și memorabil: zăpada a căzut la o temperatură a aerului de treizeci de grade Celsius.

Al doilea este după cum urmează: un eveniment de încredere are loc cu o probabilitate egală cu unu. Acum vom arăta cum să scriem asta folosind limbajul matematic: P(B)=1.

În al treilea rând: un eveniment aleatoriu se poate întâmpla sau nu, dar posibilitatea variază întotdeauna de la zero la unu. Cu cât valoarea este mai aproape de unu, cu atât sunt mai mari șansele; dacă valoarea se apropie de zero, probabilitatea este foarte mică. Să scriem asta în limbaj matematic: 0<Р(С)<1.

Să luăm în considerare ultima, a patra axiomă, care sună astfel: probabilitatea sumei a două evenimente este egală cu suma probabilităților lor. O scriem în limbaj matematic: P(A+B)=P(A)+P(B).

Axiomele teoriei probabilităților sunt cele mai simple reguli care nu sunt greu de reținut. Să încercăm să rezolvăm câteva probleme pe baza cunoştinţelor pe care le-am dobândit deja.

Bilet de loterie

În primul rând, să ne uităm la cel mai simplu exemplu - o loterie. Imaginează-ți că ai cumpărat un bilet de loterie pentru noroc. Care este probabilitatea ca să câștigi cel puțin douăzeci de ruble? În total, o mie de bilete participă la circulație, dintre care unul are un premiu de cinci sute de ruble, zece dintre ele au o sută de ruble fiecare, cincizeci au un premiu de douăzeci de ruble și o sută au un premiu de cinci. Problemele de probabilitate se bazează pe găsirea posibilității de noroc. Acum vom analiza împreună soluția la sarcina de mai sus.

Dacă folosim litera A pentru a desemna un câștig de cinci sute de ruble, atunci probabilitatea de a obține A va fi egală cu 0,001. Cum am obținut asta? Trebuie doar să împărțiți numărul de bilete „norocoase” la numărul lor total (în acest caz: 1/1000).

B este un câștig de o sută de ruble, probabilitatea va fi de 0,01. Acum am acționat pe același principiu ca în acțiunea anterioară (10/1000)

C - câștigurile sunt douăzeci de ruble. Găsim probabilitatea, este egală cu 0,05.

Nu ne interesează biletele rămase, deoarece fondul lor de premii este mai mic decât cel specificat în condiție. Să aplicăm a patra axiomă: probabilitatea de a câștiga cel puțin douăzeci de ruble este P(A)+P(B)+P(C). Litera P indică probabilitatea apariției unui eveniment dat pe care le-am găsit deja în acțiunile anterioare; Tot ce rămâne este să adunăm datele necesare, iar răspunsul pe care îl obținem este 0,061. Acest număr va fi răspunsul la întrebarea sarcinii.

Pachetul de cărți

Problemele din teoria probabilității pot fi mai complexe, de exemplu, să luăm următoarea sarcină. În fața ta este un pachet de treizeci și șase de cărți. Sarcina ta este să trageți două cărți la rând fără a amesteca teancul, prima și a doua cărți trebuie să fie ași, culoarea nu contează.

Mai întâi, să găsim probabilitatea ca prima carte să fie un as, pentru aceasta împărțim patru la treizeci și șase. L-au pus deoparte. Scoatem a doua carte, va fi un as cu o probabilitate de trei treizeci și cincimi. Probabilitatea celui de-al doilea eveniment depinde de ce carte am tras prima, ne întrebăm dacă a fost un as sau nu. De aici rezultă că evenimentul B depinde de evenimentul A.

Următorul pas este să găsim probabilitatea de apariție simultană, adică înmulțim A și B. Produsul lor se găsește astfel: înmulțim probabilitatea unui eveniment cu probabilitatea condiționată a altuia, pe care o calculăm, presupunând că primul evenimentul a avut loc, adică am tras un as cu prima carte.

Pentru a clarifica totul, să dăm o denumire unui astfel de element precum evenimente. Se calculează presupunând că evenimentul A a avut loc. Se calculează astfel: P(B/A).

Să continuăm rezolvarea problemei noastre: P(A * B) = P(A) * P(B/A) sau P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabilitatea este egală cu (4/36) * ((3/35)/(4/36). Calculăm prin rotunjirea la cea mai apropiată sutime. Avem: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0,09 Probabilitatea de a extrage doi ași la rând este de nouă sutimi Valoarea este foarte mică, ceea ce înseamnă că probabilitatea de a se produce evenimentul este extrem de mică.

Numar uitat

Ne propunem să analizăm mai multe variante de sarcini care sunt studiate de teoria probabilității. Ai văzut deja exemple de rezolvare a unora dintre ele în acest articol Să încercăm să rezolvăm următoarea problemă: băiatul a uitat ultima cifră a numărului de telefon al prietenului său, dar întrucât apelul era foarte important, a început să formeze totul unul câte unul. . Trebuie să calculăm probabilitatea ca el să sune de cel mult trei ori. Soluția problemei este cea mai simplă dacă sunt cunoscute regulile, legile și axiomele teoriei probabilităților.

Înainte de a căuta soluția, încercați să o rezolvați singur. Știm că ultima cifră poate fi de la zero la nouă, adică zece valori în total. Probabilitatea de a obține cea potrivită este de 1/10.

În continuare, trebuie să luăm în considerare opțiunile pentru originea evenimentului, să presupunem că băiatul a ghicit corect și a tastat imediat pe cel potrivit, probabilitatea unui astfel de eveniment este de 1/10. A doua opțiune: primul apel ratează, iar al doilea este în țintă. Să calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: înmulțim 9/10 cu 1/9 și, ca rezultat, obținem și 1/10. A treia opțiune: primul și al doilea apel s-au dovedit a fi la adresa greșită, doar cu al treilea băiatul a ajuns acolo unde dorea. Calculăm probabilitatea unui astfel de eveniment: 9/10 înmulțit cu 8/9 și 1/8, rezultând 1/10. Nu ne interesează alte variante în funcție de condițiile problemei, așa că trebuie doar să adunăm rezultatele obținute, până la urmă avem 3/10. Răspuns: probabilitatea ca băiatul să sune de cel mult trei ori este de 0,3.

Cărți cu numere

În fața ta sunt nouă cărți, pe fiecare dintre care este scris un număr de la unu la nouă, numerele nu se repetă. Au fost puse într-o cutie și amestecate bine. Trebuie să calculați probabilitatea ca

• va apărea un număr par;
• două cifre.

Înainte de a trece la soluție, să precizăm că m este numărul de cazuri reușite, iar n este numărul total de opțiuni. Să găsim probabilitatea ca numărul să fie par. Nu va fi greu de calculat că există patru numere pare, acesta va fi m-ul nostru, există nouă opțiuni posibile în total, adică m=9. Atunci probabilitatea este 0,44 sau 4/9.

Să luăm în considerare al doilea caz: numărul de opțiuni este nouă și nu pot exista deloc rezultate de succes, adică m este egal cu zero. Probabilitatea ca cartea extrasă să conțină un număr din două cifre este, de asemenea, zero.

statistica combinatorică a evenimentelor de probabilitate

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatorii. Fenomenele aleatorii sunt fenomene cu un rezultat incert care apar atunci când un anumit set de condiții sunt reproduse în mod repetat. Formarea și dezvoltarea teoriei probabilităților este asociată cu numele unor astfel de mari oameni de știință precum: Cardano, Pascal, Fermat, Bernoulli, Gauss, Chebyshev, Kalmogorov și mulți alții. Tiparele fenomenelor aleatorii au fost descoperite pentru prima dată în secolele XVI-XVII. folosind exemplul jocurilor de noroc precum zarurile. Legile nașterii și morții sunt, de asemenea, cunoscute de foarte mult timp. De exemplu, se știe că probabilitatea ca un nou-născut să fie băiat? 0,515. În secolele XIX-XX. au fost descoperite un număr mare de modele în fizică, chimie, biologie etc. În prezent, metodele teoriei probabilităților sunt utilizate pe scară largă în diferite ramuri ale științelor naturale și ale tehnologiei: în teoria fiabilității, teoria cozilor, fizica teoretică, geodezie, astronomie, teoria tirului. , teoria erorilor de observare, teoria controlului automat, teoria generală a comunicațiilor și multe alte științe teoretice și aplicate. Teoria probabilității servește și la fundamentarea statisticii matematice și aplicate, care la rândul ei este utilizată în planificarea și organizarea producției, în analiza proceselor tehnologice, controlul preventiv și de acceptare a calității produselor și în multe alte scopuri. În ultimii ani, metodele teoriei probabilităților au pătruns tot mai mult în diverse domenii ale științei și tehnologiei, contribuind la progresul lor.

Proces. Eveniment. Clasificarea evenimentelor

Un test este o reproducere repetată a aceluiași set de condiții în care se face o observație. Rezultatul unui test calitativ este un eveniment. Exemplul 1: O urnă conține bile colorate. Se ia o minge din urnă pentru noroc. Test - scoaterea unei mingi dintr-o urnă; Un eveniment este apariția unei mingi de o anumită culoare. A. 2: Setul de rezultate care se exclud reciproc ale unui proces este numit setul de evenimente elementare sau rezultate elementare. Exemplul 2: zarul este aruncat o dată. Testul este aruncarea unui zar; Eveniment - pierderea unui anumit număr de puncte. Setul de rezultate elementare este (1,2,3,4,5,6). Evenimentele sunt desemnate cu majuscule ale alfabetului latin: A 1, A 2,..., A, B, C,... Evenimentele (fenomenele) observabile pot fi împărțite în următoarele trei tipuri: de încredere, imposibil, aleatoriu. A. 3: Un eveniment este numit de încredere dacă, în urma testului, va avea loc cu siguranță. A. 4: Un eveniment este numit imposibil dacă, în urma testului, nu se va întâmpla niciodată. A. 5: Un eveniment se numește aleatoriu dacă, în urma unui test, poate apărea sau nu. Exemplul 3: Test - mingea este aruncată în sus. Evenimentul A = (bila va cădea) - de încredere; Evenimentul B=(mingea va atârna în aer) - imposibil; Evenimentul C=(mingea va cădea pe capul aruncătorului) este aleatoriu. Evenimentele (fenomenele) aleatorii pot fi împărțite în următoarele tipuri: compatibile, incompatibile, opuse, la fel de posibile. A. 6: Două evenimente sunt numite comune dacă, în timpul unei probe, apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. A. 7: Două evenimente sunt numite incompatibile dacă, în timpul unui test, apariția unuia dintre ele exclude apariția celuilalt. Exemplul 4: O monedă este aruncată de două ori. Evenimentul A - (Stema a căzut pentru prima dată); Evenimentul B - (Stema a căzut pentru a doua oară); Evenimentul C - (capete prima dată). Evenimentele A și B sunt compatibile, A și C sunt incompatibile. A. 8: Mai multe evenimente formează un grup complet într-un test dat dacă sunt incompatibile perechi și ca urmare a testului unul dintre aceste evenimente va apărea cu siguranță. Exemplul 5: Un băiat aruncă o monedă într-o mașină de joc. Evenimentul A =(băiatul câștigă); Evenimentul B=(băiatul nu va câștiga); A și B - formează un grup complet de evenimente. A. 9: Două evenimente incompatibile care formează un grup complet sunt numite opuse. Este indicat evenimentul opus evenimentului A. Exemplul 6. O lovitură este trasă în țintă. Evenimentul A - lovit; Evenimentul este o ratare.

Cursul 1

INTRODUCERE

PARTEA 1

SCOPUL PRELEGIEI: stabilirea subiectului cursului; introduceți conceptele de experiență, fenomen aleatoriu, eveniment aleatoriu, precum și probabilitatea și frecvența unui eveniment; dați o definiție clasică a probabilității și clasificați schemele de selecție atunci când se calculează direct probabilitatea.

Teoria probabilității– o știință matematică care studiază tipare în fenomene aleatorii.

Sub experienţă se referă la un anumit set reproductibil de condiții în care se observă acest sau acela fenomen. O experiență poate fi fie o singură încercare, fie o serie de încercări.

Fenomen aleatoriu- acesta este un fenomen care, atunci când aceeași experiență este reprodusă în mod repetat, se produce de fiecare dată într-un mod ușor diferit.

Exemple de fenomene aleatorii: cântărirea unui corp pe o balanță analitică, aruncarea unei monede sau a zarurilor.

În aceste exemple, condițiile experimentale sunt neschimbate, dar rezultatele experimentale variază. Aceste variații sunt asociate cu influența factorilor secundari care influențează rezultatul experimentului, dar nu sunt specificate printre condițiile principale. În practică, există o clasă mare de probleme în care rezultatul experimental de interes depinde de un număr atât de mare de factori încât este imposibil să îi luăm în considerare pe deplin.

Când se observă un set de fenomene aleatorii omogene, adesea se descoperă un model, numit stabilitatea frecventei(aruncarea unei monede, când se repetă de mai multe ori, dă de câte ori iese stema egal cu 1/2, aruncarea unui zar dă de câte ori iese fața cu numărul 6, egal cu 1/6; procentul de defecte într-un proces tehnologic care funcționează bine). Manifestarea acestui tip de tipar în timpul reproducerii în masă a experienței ne permite să concluzionam că individualitățile individuale ale fenomenelor aleatorii se îneacă în rezultatul total al experimentelor.

Astfel, baza pentru utilizarea metodelor probabilistice (statistice) este proprietatea stabilității frecvenței în fenomene aleatorii de masă. Metodele teoriei probabilităților nu fac posibilă prezicerea rezultatului unui singur experiment, dar fac posibilă prezicerea rezultatului total (în medie) al unui număr mare de experimente. De exemplu, mișcarea moleculelor de gaz într-un vas este aleatorie și nu este posibil să se prezică traiectoria și viteza unei molecule individuale, dar presiunea gazului pe pereții vasului (cu un număr mare de molecule) este o cantitate non-aleatorie.

Originea teoriei probabilităților este asociată cu cercetările lui Pascal (1623–1662), Fermat (1601–1665) și Huygens (1629–1695) în domeniul teoriei jocurilor de noroc, când a fost formulat conceptul de probabilitate și așteptare matematică. Definiția clasică a probabilității unui eveniment a fost introdusă de Jacob Bernoulli (1654–1705), care a formulat și legea numerelor mari. Ulterior, bazele teoriei probabilităților au fost puse de lucrările unor matematicieni precum Moivre (1667–1754), Laplace (1749–1827), Gauss (1777–1855), Poisson (1781–1840). O mare contribuție la dezvoltarea teoriei probabilităților a avut-o școala rusă de matematică reprezentată de P. L. Cebyshev (1821–1894), A. A. Markov (1856–1922), A. M. Lyapunov (1857–1918), A. N. Kolmogorov (1903)–1998. .

Eveniment aleatoriu

Eveniment aleatoriu- orice fapt care, ca urmare a unui experiment cu un rezultat aleatoriu, poate sau nu poate apărea.

Exemple: A– aspectul unei steme la aruncarea unei monede; ÎN– apariția unui număr par la aruncarea unui zar; CU- lovirea țintei când este tras.

Opusul evenimentului A numit eveniment constând în neîndeplinirea unui eveniment A.

Fiecare eveniment are o posibilitate diferită de apariție. Ca măsură numerică a gradului de posibilitate obiectivă a unui eveniment, se utilizează conceptul probabilitatea evenimentului. Conceptul de probabilitate a evenimentului este legat de conceptul de frecvență a evenimentelor.

De încredere este un eveniment care trebuie să se întâmple ca urmare a experienței imposibil Se numește un eveniment care nu poate avea loc ca urmare a experienței. Pentru un eveniment de încredere, probabilitatea este egală cu 1, pentru un eveniment imposibil - 0. Pe baza acestui lucru, intervalul de modificări de probabilitate va fi 0 - 1.

Aproape imposibil Se numește un eveniment a cărui probabilitate nu este exact egală cu 0, dar foarte apropiată de 0. De exemplu: dintr-un alfabet divizat format din 32 de litere, 15 litere sunt eliminate și returnate. Care este probabilitatea ca succesiunea acestor litere să formeze expresia „Cât de tineri eram”? Această probabilitate va fi (1/32) 15. Un eveniment aproape imposibil.

Aproape de încredere este un eveniment a cărui probabilitate nu este exact egală cu 1, dar foarte apropiată de 1. Un astfel de eveniment este opusul practic imposibil. Asociat acestor concepte este principiul certitudinii practice, care se formulează astfel: dacă probabilitatea unui eveniment Aîn acest experiment este foarte mic, atunci poți fi aproape sigur că cu un singur experiment evenimentul A nu se va intampla. Alegerea probabilității, care ar fi considerată suficientă la determinarea posibilității unei anumite prognoze, se face de fiecare dată din motive practice, ținând cont de costul pierderilor cauzate de o prognoză eronată.

Un experiment cu un număr finit de rezultate.

Definiția clasică a probabilității

Într-un număr de experimente, cum ar fi aruncarea unei monede, aruncarea unui zar, jocuri de cărți, ruletă, extragerea la întâmplare a unui anumit număr de bile dintr-o urnă, rezultatele posibile au o anumită simetrie față de condițiile experimentale și sunt la fel de posibile (experimente cu un număr finit de rezultate la fel de probabile). În special, atunci când aruncați un zar „corect”, niciunul dintre rezultatele elementare (apariția oricărui număr: 1,2,3,4,5,6) nu poate fi considerat mai preferabil decât celălalt.

Pentru astfel de experimente pare posibil să se calculeze direct probabilitatea unui eveniment. În timpul analizei unor astfel de experimente, acesta a fost formulat în secolul al XVII-lea. definiția clasică a probabilității.

Înainte de a formula definiția clasică a probabilității, introducem o serie de definiții.

Mai multe evenimente din acest experiment se formează grup complet de evenimente, dacă în urma experimentului cel puțin unul dintre ele trebuie să apară cu siguranță, de exemplu, o stemă, un număr (cozi) la aruncarea unei monede; lovit, ratat la tragere; apariția lui 1,2,3,4,5,6 la aruncarea unui zar.

Sunt numite mai multe evenimente incompatibilîn acest experiment, dacă aspectul lor articular este exclus (blază și cozi la aruncarea unei monede).

Evenimente la fel de posibile evenimentele se numesc dacă, conform condițiilor de simetrie ale experienței, se poate considera că niciunul dintre aceste evenimente nu este obiectiv mai posibil decât celălalt (o stemă sau o coadă la aruncarea unei monede).

Dacă un grup de evenimente are toate cele trei proprietăți: completitudine, posibilitate egală și incompatibilitate, atunci astfel de evenimente se numesc cazuri. Cazul este numit favorabil vreun eveniment A, dacă apariția acestui caz atrage producerea acestui eveniment. De exemplu, la aruncarea unui zar, există trei cazuri favorabile evenimentului A, care constă în apariția unui număr par de puncte și anume apariția lui 2, 4 sau 6.

În consecință, se numește experiența în care există o simetrie a rezultatelor la fel de posibile și care se exclud reciproc diagrame de caz (sau diagrame urne). Calculul direct al probabilităților într-o schemă de caz se bazează pe estimarea proporției de cazuri favorabile în numărul lor total:

unde este numărul de cazuri favorabile pentru eveniment A, n– numărul total de cazuri.

Deoarece numărul de cazuri favorabile poate varia de la 0 la n, atunci probabilitatea evenimentului va varia în intervalul 0 – 1. Se numește formula (1.1). formula clasica, este folosit pentru a calcula direct probabilitățile atunci când experiența este redusă la un model de cazuri.

Calculul direct al probabilităților.

Schema de selectie cu retur

și fără elemente returnate

Atunci când se determină probabilitatea unui eveniment folosind formula clasică (1.1), elemente de combinatorie sunt adesea folosite pentru a determina numărul total de cazuri și numărul de cazuri favorabile. Mai mult, în fiecare experiment, metoda de selectare a elementelor este importantă.

Există două scheme de selecție: o schemă de selecție fără elemente returnate și o schemă de selecție cu elemente returnate. În primul caz, extras m elementele (nici o diferență, unul câte unul sau împreună) nu sunt returnate la setul original. În al doilea caz, la fiecare pas, elementele sunt extrase pe rând, elementul selectat este fixat, apoi este returnat și întreaga populație inițială este bine amestecată. Astfel, în al doilea caz, același element poate fi recuperat de mai multe ori.

Odată făcută o selecție, articolele pot fi comandate sau nu. Deci, în schema clasică există patru tipuri de experimente. Să ne uităm la modul în care se calculează numărul total de cazuri și numărul de cazuri favorabile din fiecare schemă.

Ÿ Schema de selectie fara intoarcere si fara ordonarea in ordinea elementelor(schema de selecție care duce la combinații). Experiența constă în alegerea dintr-o populație inițială de volum n elemente m elemente fără a reveni și fără a ordona ordinea elementelor. În acest experiment, diferitele rezultate vor fi agregate m elemente care se deosebesc unele de altele prin compunerea elementelor lor. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experimentului) este determinat de numărul de combinații de P elemente prin m:

Proprietățile numărului de combinații:

2) (proprietatea simetriei);

3) (relația de recurență);

4) (o consecință a formulei binomiale a lui Newton).

Ÿ Schema de selecție fără întoarcere, dar cu ordonarea ordinii elementelor(model de selecție care duce la plasări). Experiența constă în alegerea dintr-o populație inițială de volum n elemente T elemente fără întoarcere, dar cu ordonarea ordinii elementelor. În acest experiment, diferitele rezultate vor fi agregate T elemente care se deosebesc între ele atât prin alcătuirea elementelor cât și prin ordinea în care apar. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experimentului) este determinat de numărul de plasări din P elemente prin T:

Când sunt plasate, sunt permutări din P elemente:

Ÿ Schema de selectie cu retur si fara ordonarea ordinii elementelor(model de selecție care duce la combinații cu repetări). Experiența constă în alegerea dintr-o populație inițială de volum P elemente T elemente cu întoarcere și fără ordonarea ordinii elementelor. În acest experiment, diferitele rezultate vor fi agregate T elemente care se deosebesc unele de altele prin compunerea elementelor lor. Cu toate acestea, seturile individuale pot conține elemente care se repetă. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experimentului) este determinat de numărul de combinații cu repetări din P elemente prin T:

Ÿ Schema de selectie cu returnare si ordonare a ordinii elementelor(model de selecție care duce la plasări repetate). Experiența constă în alegerea dintr-o populație inițială de volum P elemente T elemente cu revenire și ordonare a ordinii elementelor. În acest experiment, diferitele rezultate vor fi agregate T elemente care se deosebesc între ele atât prin alcătuirea elementelor cât și prin ordinea elementelor. Cu toate acestea, seturile individuale pot conține elemente care se repetă. Numărul de astfel de agregate (și, în consecință, rezultatele experimentului) este determinat de numărul de plasări cu repetări din P elemente prin T:

Frecvența sau probabilitatea statistică a unui eveniment

Dacă experiența nu se reduce la un model de cazuri (de exemplu, zarul este asimetric, iar pierderea unei anumite părți nu va mai fi egală cu 1/6), atunci pentru a determina probabilitatea unui eveniment, conceptul de se utilizează frecvenţa evenimentului şi relaţia dintre probabilitate şi frecvenţă.

Frecvența evenimentelor Aîntr-un experiment care constă dintr-o serie de încercări, raportul dintre numărul de încercări în care a avut loc evenimentul se numește A, la numărul total de teste.

Frecvența unui eveniment este uneori numită probabilitate statistică, spre deosebire de probabilitatea „matematică” definită anterior. Frecvența evenimentului se calculează folosind următoarea formulă:

unde este numărul de apariții ale evenimentului A in experienta, N– numărul total de teste efectuate.

Cu un număr mic de încercări, frecvența evenimentului este în mare măsură aleatorie și poate varia de la o serie de încercări la următoarea. De exemplu, luați în considerare un experiment în care o monedă este aruncată de 10 ori. Eveniment de interes pentru noi A- aspectul stemei. Repetând experimentul de mai multe ori, putem fixa frecvența de apariție a stemei: 0,2; 0,4; 0,6; 0,8. Dar odată cu creșterea numărului de încercări, frecvența evenimentului își pierde caracterul aleatoriu, apropiindu-se de o valoare medie constantă. În cazul unei monede simetrice, frecvența va fi aproape de 1/2.

După cum sa menționat mai sus, teoria probabilității studiază fenomenele care sunt caracterizate de stabilitatea frecvenței. În acest caz, există o legătură organică între frecvența evenimentului și probabilitate. În special, pentru un proiect de caz, frecvența unui eveniment se apropie întotdeauna de probabilitatea sa pe măsură ce numărul de încercări crește. Și în cazul general, este adevărat că într-o serie de teste frecvența unui eveniment se apropie de probabilitatea evenimentului cu o probabilitate mai mare, cu atât se efectuează mai multe teste. Pentru aproximarea probabilistică a unor cantități de altele, se folosește un termen special - „convergență în probabilitate”. Ținând cont de acest termen, se poate scrie afirmația de mai sus

Această afirmație este esența teoremei lui J. Bernoulli și este o consecință a unei legi mai generale, și anume legea numerelor mari.

Clasificarea evenimentelor în posibile, probabile și aleatorii. Concepte de evenimente elementare simple și complexe. Operațiuni pe evenimente. Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleator și proprietățile acestuia. Elemente de combinatorică în teoria probabilităților. Probabilitate geometrică. Axiomele teoriei probabilităților.

Clasificarea evenimentelor

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităților este conceptul de eveniment. Sub evenimentînțelege orice fapt care poate apărea ca urmare a unei experiențe sau a unui test. Sub experienţă, sau Test, se referă la implementarea unui anumit set de condiții.

Exemple de evenimente:

– lovirea țintei la tragerea cu pistolul (experiență - efectuarea unei împușcături; eveniment - lovirea țintei);
– pierderea a două embleme la aruncarea unei monede de trei ori (experiență - aruncarea unei monede de trei ori; eveniment - pierderea a două embleme);
– apariția unei erori de măsurare în limitele specificate la măsurarea distanței până la o țintă (experiență - măsurarea intervalului; eveniment - eroare de măsurare).

Pot fi date nenumărate exemple similare. Evenimentele sunt indicate cu majuscule ale alfabetului latin etc.

Distinge evenimente comuneȘi incompatibil. Evenimentele sunt numite comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile. De exemplu, două zaruri sunt aruncate. Evenimentul este pierderea a trei puncte pe primul zar, evenimentul este pierderea a trei puncte pe al doilea zar. și - evenimente comune. Lăsați magazinul să primească un lot de pantofi de același stil și mărime, dar culori diferite. Eveniment - o cutie luată la întâmplare va conține pantofi negri, un eveniment - cutia va conține pantofi maro și - evenimente incompatibile.

Evenimentul este numit de încredere, dacă este sigur că va avea loc în condițiile unui experiment dat.

Un eveniment este numit imposibil dacă nu poate avea loc în condițiile unei experiențe date. De exemplu, cazul în care o piesă standard va fi luată dintr-un lot de piese standard este de încredere, dar o piesă nestandard este imposibilă.

Evenimentul este numit posibil, sau Aleatoriu, dacă ca urmare a experienței poate apărea, dar poate să nu apară. Un exemplu de eveniment aleatoriu ar putea fi identificarea defectelor de produs în timpul inspecției unui lot de produse finite, o discrepanță între dimensiunea produsului procesat și cea specificată sau eșecul uneia dintre legăturile din sistemul de control automat.

Evenimentele sunt numite la fel de posibil, dacă, conform condițiilor de testare, niciunul dintre aceste evenimente nu este obiectiv mai posibil decât celelalte. De exemplu, lasă un magazin să fie aprovizionat cu becuri (în cantități egale) de mai multe fabrici de producție. Evenimentele care implică achiziționarea unui bec de la oricare dintre aceste fabrici sunt la fel de posibile.

Un concept important este grup complet de evenimente. Mai multe evenimente dintr-un experiment dat formează un grup complet dacă cel puțin unul dintre ele este sigur că va apărea ca rezultat al experimentului. De exemplu, o urnă conține zece bile, șase dintre ele sunt roșii, patru sunt albe și cinci bile au numere. - apariția unei mingi roșii în timpul unei extrageri, - apariția unei mingi albe, - apariția unei mingi cu un număr. Evenimentele formează un grup complet de evenimente comune.

Să introducem conceptul de eveniment opus sau suplimentar. Sub opus Un eveniment este înțeles ca un eveniment care trebuie să aibă loc în mod necesar dacă un eveniment nu are loc. Evenimentele opuse sunt incompatibile și singurele posibile. Ele formează un grup complet de evenimente. De exemplu, dacă un lot de produse fabricate constă din produse bune și defecte, atunci când un produs este îndepărtat, se poate dovedi fie un eveniment bun, fie un eveniment defect.

Operațiuni pe evenimente

Atunci când se dezvoltă un aparat și o metodologie pentru studierea evenimentelor aleatoare în teoria probabilității, conceptul de sumă și produs al evenimentelor este foarte important.

Suma sau unirea mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente.

Suma evenimentelor este indicată după cum urmează:

De exemplu, dacă un eveniment lovește ținta cu prima lovitură, un eveniment - cu a doua, atunci evenimentul lovește ținta în general, nu contează cu ce lovitură - primul, al doilea sau ambele.

Produsul sau intersecția mai multor evenimente este un eveniment constând din apariția în comun a tuturor acestor evenimente.

Este indicată producerea de evenimente

De exemplu, dacă evenimentul este că ținta este lovită cu prima lovitură, evenimentul este că ținta este lovită cu a doua lovitură, atunci evenimentul este că ținta a fost lovită cu ambele lovituri.

Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară. Fie că evenimentul constă într-un punct care intră în regiune , evenimentul constă în intrarea în regiune , apoi evenimentul constă în punctul care intră în regiunea umbrită în Fig. 1, iar evenimentul are loc atunci când un punct lovește zona umbrită în Fig. 2.

Definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu

Pentru a compara cantitativ evenimentele în funcție de gradul de posibilitate al apariției lor, se introduce o măsură numerică, care se numește probabilitatea unui eveniment.

Probabilitatea unui eveniment este un număr care exprimă măsura posibilității obiective de apariție a unui eveniment.

Probabilitatea unui eveniment va fi indicată prin simbol.

Probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de cazuri favorabile acestuia, din numărul total de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, și numărul adică

Aceasta este definiția clasică a probabilității. Astfel, pentru a afla probabilitatea unui eveniment, este necesar, luând în considerare diferitele rezultate ale testului, să găsim un set de cazuri unic posibile, la fel de posibile și incompatibile, să se calculeze numărul total al acestora, numărul de cazuri favorabile unui dat. eveniment, apoi efectuați calculul utilizând formula (1.1).

Din formula (1.1) rezultă că probabilitatea unui eveniment este un număr nenegativ și poate varia de la zero la unu în funcție de proporția numărului favorabil de cazuri din numărul total de cazuri:

Proprietăți ale probabilității

Proprietatea 1. Dacă toate cazurile sunt favorabile pentru un anumit eveniment, atunci acest eveniment va avea loc cu siguranță. În consecință, evenimentul în cauză este de încredere, iar probabilitatea apariției lui este de , întrucât în ​​acest caz

Proprietatea 2. Dacă nu există un singur caz favorabil pentru un anumit eveniment, atunci acest eveniment nu poate avea loc ca urmare a experienței. În consecință, evenimentul în cauză este imposibil, iar probabilitatea apariției lui este , întrucât în ​​acest caz:

Proprietatea 3. Probabilitatea de apariție a evenimentelor care formează un grup complet este egală cu unu.

Proprietatea 4. Probabilitatea de apariție a evenimentului opus este determinată în același mod ca și probabilitatea de apariție a evenimentului:

unde este numărul de cazuri favorabile producerii evenimentului opus. Prin urmare, probabilitatea ca evenimentul opus să se producă este egală cu diferența dintre unitate și probabilitatea ca evenimentul să se producă:

Un avantaj important al definiției clasice a probabilității unui eveniment este că, cu ajutorul ei, probabilitatea unui eveniment poate fi determinată fără a recurge la experiență, ci pe baza raționamentului logic.

Exemplul 1. În timp ce forma un număr de telefon, abonatul a uitat o cifră și a format-o la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca numărul corect să fie format.

Soluţie. Să notăm evenimentul în care numărul necesar este format. Abonatul poate forma oricare dintre cele 10 cifre, astfel încât numărul total de rezultate posibile este de 10. Aceste rezultate sunt singurele posibile (una dintre cifre trebuie formată) și la fel de posibile (cifra este formată la întâmplare). Un singur rezultat favorizează evenimentul (există un singur număr necesar). Probabilitatea necesară este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului și numărul tuturor rezultatelor:

Elemente de combinatorie

În teoria probabilității, sunt adesea folosite plasamente, permutări și combinații. Dacă este dat un set, atunci plasare (combinație) a elementelor prin este orice submulțime ordonată (neordonată) a elementelor mulțimii. Când este plasat este numit rearanjare din elemente.

Să i se dea, de exemplu, un set. Amplasările celor trei elemente ale acestui set de două sunt , , , , , ; combinatii - , , .

Două combinații diferă în cel puțin un element, iar plasamentele diferă fie în elementele în sine, fie în ordinea în care apar. Numărul de combinații de elemente prin este calculat prin formula

este numărul de plasări ale elementelor prin ; - numărul de permutări ale elementelor.

Exemplul 2. Într-un lot de 10 părți există 7 standard. Aflați probabilitatea ca dintre 6 părți luate la întâmplare să fie exact 4 standard.

Soluţie. Numărul total de rezultate posibile ale testului este egal cu numărul de moduri în care 6 părți pot fi extrase din 10, adică egal cu numărul de combinații a 10 elemente din 6. Numărul de rezultate favorabile evenimentului (dintre cele 6 piese luate sunt exact 4 piese standard) se determină astfel: 4 piese standard pot fi luate din 7 piese standard în moduri diferite; în acest caz, părțile rămase trebuie să fie nestandard; Există modalități de a lua 2 piese non-standard din piese non-standard. Prin urmare, numărul de rezultate favorabile este egal cu . Probabilitatea inițială este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului și numărul tuturor rezultatelor:

Definiția statistică a probabilității

Formula (1.1) este utilizată pentru a calcula direct probabilitățile evenimentelor numai atunci când experiența este redusă la un model de cazuri. În practică, definiția clasică a probabilității nu este adesea aplicabilă din două motive: în primul rând, definiția clasică a probabilității presupune că numărul total de cazuri trebuie să fie finit. De fapt, adesea nu este limitat. În al doilea rând, este adesea imposibil să se prezinte rezultatele unui experiment sub forma unor evenimente la fel de posibile și incompatibile.

Frecvența de apariție a evenimentelor în timpul experimentelor repetate tinde să se stabilizeze în jurul unei valori constante. Astfel, evenimentului luat în considerare poate fi asociată o anumită valoare constantă, în jurul căruia sunt grupate frecvențele și care este o caracteristică a conexiunii obiective dintre setul de condiții în care se desfășoară experimentele și eveniment.

Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este numărul în jurul căruia sunt grupate frecvențele acestui eveniment pe măsură ce crește numărul de încercări.

Această definiție a probabilității se numește statistic.

Avantajul metodei statistice de determinare a probabilității este că se bazează pe un experiment real. Cu toate acestea, dezavantajul său semnificativ este că pentru a determina probabilitatea este necesar să se efectueze un număr mare de experimente, care sunt foarte adesea asociate cu costurile materiale. Determinarea statistică a probabilității unui eveniment, deși dezvăluie destul de pe deplin conținutul acestui concept, nu face posibilă calcularea efectivă a probabilității.

Definiția clasică a probabilității consideră grupul complet al unui număr finit de evenimente la fel de posibile. În practică, numărul de rezultate posibile ale testului este adesea infinit. În astfel de cazuri, definiția clasică a probabilității nu este aplicabilă. Cu toate acestea, uneori, în astfel de cazuri, puteți utiliza o altă metodă de calcul a probabilității. Pentru certitudine, ne restrângem la cazul bidimensional.

Fie o anumită regiune a ariei , care conține o altă regiune a ariei , să fie dată în plan (Fig. 3). Un punct este aruncat în zonă la întâmplare. Care este probabilitatea ca un punct să cadă în regiune? Se presupune că un punct aruncat la întâmplare poate lovi orice punct din regiune, iar probabilitatea de a lovi orice parte a regiunii este proporțională cu aria piesei și nu depinde de locația și forma acesteia. În acest caz, probabilitatea de a lovi zona atunci când aruncați un punct la întâmplare în zonă este

Astfel, în cazul general, dacă posibilitatea apariției aleatorii a unui punct în interiorul unei anumite zone pe o linie, plan sau în spațiu este determinată nu de poziția acestei zone și de limitele ei, ci doar de dimensiunea acesteia, adică de lungimea acesteia. , zonă sau volum, atunci probabilitatea ca un punct aleator să cadă în interiorul unei anumite regiuni este definită ca raportul dintre dimensiunea acestei regiuni și dimensiunea întregii regiuni în care poate apărea un punct dat. Aceasta este definiția geometrică a probabilității.

Exemplul 3. O țintă rotundă se rotește cu o viteză unghiulară constantă. O cincime din țintă este vopsită în verde, iar restul este alb (Fig. 4). O lovitură este trasă în țintă în așa fel încât lovirea țintei este un eveniment de încredere. Trebuie să determinați probabilitatea de a lovi sectorul țintă colorat în verde.

Soluţie. Să notăm „împușcătura a lovit sectorul colorat în verde”. Apoi . Probabilitatea se obține ca raport dintre suprafața părții țintei vopsite în verde și întreaga zonă a țintei, deoarece loviturile pe orice parte a țintei sunt la fel de posibile.

Axiomele teoriei probabilităților

Din definiția statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu rezultă că probabilitatea unui eveniment este numărul în jurul căruia sunt grupate frecvențele acestui eveniment observat experimental. Prin urmare, axiomele teoriei probabilităților sunt introduse astfel încât probabilitatea unui eveniment să aibă proprietățile de bază ale frecvenței.

Axioma 1. Fiecărui eveniment îi corespunde un anumit număr care satisface condiția și se numește probabilitate.