Care este limita lui zero? Rezolvarea problemelor privind găsirea limitelor eșantionului

Soluţie limitele funcției online. Găsiți valoarea limită a unei funcții sau a secvenței funcționale într-un punct, calculați final valoarea funcției la infinit. determinarea convergenței unei serii de numere și multe altele se poate face datorită serviciului nostru online -. Vă permitem să găsiți limitele funcțiilor online rapid și precis. Dumneavoastră introduceți variabila funcție și limita la care tinde aceasta, iar serviciul nostru efectuează toate calculele pentru dvs., oferind un răspuns precis și simplu. Si pentru găsirea limitei online puteți introduce atât serii numerice, cât și funcții analitice care conțin constante în expresie literală. În acest caz, limita găsită a funcției va conține aceste constante ca argumente constante în expresie. Serviciul nostru rezolvă orice probleme complexe de găsire limite online, este suficient să indicați funcția și punctul în care este necesar să se calculeze valoarea limită a funcției. De calculat limitele online, puteți folosi diverse metode și reguli de rezolvare a acestora, verificând în același timp rezultatul obținut cu rezolvarea limitelor online pe www.site-ul, ceea ce va duce la îndeplinirea cu succes a sarcinii - veți evita propriile greșeli și erori de scris. Sau puteți avea încredere completă în noi și folosiți rezultatul nostru în munca dvs., fără a cheltui efort și timp suplimentar pentru a calcula în mod independent limita funcției. Permitem introducerea de valori limită, cum ar fi infinitul. Este necesar să introduceți un membru comun al unei secvențe de numere și www.site va calcula valoarea limita online la plus sau minus infinit.

Unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice este limita functieiȘi limită de secvență la un punct și la infinit, este important să poți rezolva corect limite. Cu serviciul nostru acest lucru nu va fi dificil. Se ia o decizie limite onlineîn câteva secunde, răspunsul este corect și complet. Studiul analizei matematice începe cu trecerea la limită, limite sunt folosite în aproape toate domeniile matematicii superioare, așa că este util să aveți un server la îndemână pentru soluții limită online, care este matematikam.ru.

Atunci când se calculează limitele, ar trebui să se țină cont următoarele reguli de bază:

1. Limita sumei (diferenței) funcțiilor este egală cu suma (diferenței) limitelor termenilor:

2. Limita unui produs de funcții este egală cu produsul limitelor factorilor:

3. Limita raportului dintre două funcții este egală cu raportul limitelor acestor funcții:

.

4. Factorul constant poate fi luat dincolo de semnul limită:

.

5. Limita unei constante este egală cu constanta însăși:

6. Pentru funcțiile continue, simbolurile de limită și de funcție pot fi schimbate:

.

Găsirea limitei unei funcții ar trebui să înceapă prin înlocuirea valorii în expresia funcției. Mai mult, dacă se obține valoarea numerică 0 sau ¥, atunci s-a găsit limita dorită.

Exemplul 2.1. Calculați limita.

Soluţie.

.

Sunt numite expresii de forma , , , , incertitudini.

Dacă obțineți o incertitudine a formei , atunci pentru a găsi limita trebuie să transformați funcția astfel încât să relevați această incertitudine.

Incertitudinea formei se obține de obicei atunci când este dată limita raportului a două polinoame. În acest caz, pentru a calcula limita, se recomandă factorizarea polinoamelor și reducerea acestora cu un factor comun. Acest multiplicator este zero la valoarea limită X .

Exemplul 2.2. Calculați limita.

Soluţie.

Înlocuind , obținem incertitudinea:

.

Să factorizăm numărătorul și numitorul:

;

Să reducem printr-un factor comun și să obținem

.

O incertitudine a formei se obține atunci când limita raportului a două polinoame este dată la . În acest caz, pentru a-l calcula, se recomandă împărțirea ambelor polinoame la X în gradul superior.

Exemplul 2.3. Calculați limita.

Soluţie. Când înlocuim ∞, obținem o incertitudine de forma , deci împărțim toți termenii expresiei la x 3.

.

Se are în vedere aici că .

Când se calculează limitele unei funcții care conține rădăcini, se recomandă înmulțirea și împărțirea funcției la conjugatul său.

Exemplul 2.4. Calculați limita

Soluţie.

Când se calculează limite pentru a dezvălui incertitudinea formei sau (1) ∞, prima și a doua limită remarcabilă sunt adesea folosite:

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă.

Să luăm în considerare exemplul lui Ya I. Perelman, dând o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă aderarea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mai mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, foarte simplificat.

Să fie depuși 100 de denari în bancă. unitati bazat pe 100% pe an. Dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până în această perioadă 100 den. unitati se va transforma in 200 de unitati monetare.

Acum să vedem în ce se vor transforma 100 denize. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După șase luni, 100 den. unitati va crește cu 100 × 1,5 = 150, iar după alte șase luni - cu 150 × 1,5 = 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati se va transforma în 100 × (1 +1/3) 3 "237 (unități den.).

Vom mări termenii pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, la 0,01 an, la 0,001 an etc. Apoi din 100 den. unitati dupa un an va fi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de adăugare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul depus la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată. au fost adăugate capitalei la fiecare secundă pentru că

Exemplul 2.5. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

Exemplul 2.6. Calculați limita unei funcții .

Soluţie.Înlocuind obținem incertitudinea:

.

Folosind formula trigonometrică, transformăm numărătorul într-un produs:

Ca rezultat obținem

Aici se ia în considerare a doua limită remarcabilă.

Exemplul 2.7. Calculați limita unei funcții

Soluţie.

.

Pentru a dezvălui incertitudinea formei sau, puteți folosi regula lui L'Hopital, care se bazează pe următoarea teoremă.

Teorema. Limita raportului dintre două funcții infinitezimale sau infinit de mari este egală cu limita raportului derivatelor lor

Rețineți că această regulă poate fi aplicată de mai multe ori la rând.

Exemplul 2.8. Găsi

Soluţie. La substituire, avem o incertitudine a formei. Aplicând regula lui L'Hopital, obținem

Continuitatea funcției

O proprietate importantă a unei funcții este continuitatea.

Definiție. Se ia în considerare funcția continuu, dacă o mică modificare a valorii argumentului implică o mică modificare a valorii funcției.

Matematic aceasta se scrie astfel: când

Prin și se înțelege incrementul de variabile, adică diferența dintre valorile ulterioare și cele precedente: , (Figura 2.3)

Figura 2.3 – Creșterea variabilelor

Din definiţia unei funcţii continue în punctul rezultă că . Această egalitate înseamnă că sunt îndeplinite trei condiții:

Soluţie. Pentru funcție punctul este suspect pentru o discontinuitate, să verificăm asta și să găsim limite unilaterale

Prin urmare, , Mijloace - punct de rupere

Derivată a unei funcții

Limita functiei- număr A va fi limita unei marimi variabile daca, in procesul schimbarii ei, aceasta marime variabila se apropie la nesfarsit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f(x) la punct x 0, dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul de definire a funcției , nu este egală x 0, și care converge spre punct x 0 (lim x n = x0), succesiunea valorilor funcției corespunzătoare converge către număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită, având în vedere un argument care tinde spre infinit, este egală cu L:

Sens A este limita (valoarea limită) a funcției f(x) la punct x 0în cazul oricărei succesiuni de puncte , care converge spre x 0, dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică în vecinătatea perforată x 0), succesiune de valori ale funcției converge spre A.

Limita unei funcții după Cauchy.

Sens A va fi limita functiei f(x) la punct x 0 dacă pentru orice număr nenegativ luat în avans ε se va găsi numărul nenegativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X, îndeplinind condiția 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea va fi satisfăcută | f(x)A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita funcției f (X) la X lupta pentru A egală A, este scris astfel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori +∞ sau -∞, sau poate să nu existe nicio limită.

Pentru a înțelege cum afla limitele unei functii, cel mai bine este să te uiți la exemple de soluții.

Este necesar să găsiți limitele funcției f (x) = 1/X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți pur și simplu să înlocuiți X numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Să găsim a doua limită a funcției. Aici înlocuiți în schimb 0 pur X este imposibil, pentru că Nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că atunci când X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește fără limită, i.e. străduiește-te spre infinit. Care înseamnă:

În ceea ce privește a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul precedent, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X. Inlocuim 1000 unul cate unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem că valoarea funcției f (x) = 1/X va scadea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, tinzând spre zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Începând să rezolvăm al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu:

Răspuns

Primul pas în găsirea acestei limite, înlocuiți valoarea 1 X, rezultând incertitudine. Pentru a o rezolva, să factorizăm numărătorul și să facem acest lucru folosind metoda de a găsi rădăcinile unei ecuații pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4) / 2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci numărătorul va fi:

Răspuns

Aceasta este definiția valorii sale specifice sau a unei anumite zone în care se încadrează funcția, care este limitată de limită.

Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul reguli pentru rezolvarea limitei, veți obține o înțelegere de bază despre cum să le rezolvați.

Concepte de limite ale secvențelor și funcțiilor. Când este necesar să se găsească limita unei secvențe, se scrie astfel: lim xn=a. Într-o astfel de succesiune de secvențe, xn tinde spre a și n tinde spre infinit. Secvența este de obicei reprezentată ca o serie, de exemplu:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secvențele sunt împărțite în crescătoare și descrescătoare. De exemplu:
xn=n^2 - succesiune crescătoare
yn=1/n - succesiune
Deci, de exemplu, limita șirului xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Această limită este egală cu zero, deoarece n→∞, iar succesiunea 1/n^2 tinde spre zero.

De obicei, o cantitate variabilă x tinde spre o limită finită a, iar x se apropie constant de a, iar mărimea a este constantă. Aceasta este scrisă după cum urmează: limx =a, în timp ce n poate tinde, de asemenea, fie spre zero, fie spre infinit. Există infinite funcții, pentru care limita tinde spre infinit. În alte cazuri, când, de exemplu, funcția încetinește un tren, este posibil ca limita să tinde spre zero.
Limitele au o serie de proprietăți. De obicei, orice funcție are o singură limită. Aceasta este proprietatea principală a limitei. Celelalte proprietăți ale acestora sunt enumerate mai jos:
* Limita sumei este egală cu suma limitelor:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Limita produsului este egală cu produsul limitelor:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limita coeficientului este egală cu câtul limitelor:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Factorul constant este luat în afara semnului limită:
lim(Cx)=C lim x
Având în vedere o funcție 1 /x în care x →∞, limita sa este zero. Dacă x→0, limita unei astfel de funcții este ∞.
Există excepții de la aceste reguli pentru funcțiile trigonometrice. Deoarece funcția sin x tinde întotdeauna spre unitate atunci când se apropie de zero, identitatea este valabilă pentru ea:
lim sin x/x=1

Într-o serie de probleme există funcții, atunci când se calculează limitele cărora apare incertitudinea - o situație în care limita nu poate fi calculată. Singura cale de ieșire din această situație este aplicarea regulii lui L'Hopital. Există două tipuri de incertitudini:
* incertitudinea formei 0/0
* incertitudinea formei ∞/∞
De exemplu, este dată o limită de următoarea formă: lim f(x)/l(x) și f(x0)=l(x0)=0. În acest caz, apare o incertitudine de forma 0/0. Pentru a rezolva o astfel de problemă se diferențiază ambele funcții, după care se găsește limita rezultatului. Pentru incertitudinile de tip 0/0, limita este:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (la x→0)
Aceeași regulă este valabilă și pentru incertitudinile de tip ∞/∞. Dar în acest caz următoarea egalitate este adevărată: f(x)=l(x)=∞
Folosind regula lui L'Hopital, puteți găsi valorile oricăror limite în care apar incertitudini. O condiție prealabilă pentru

volum - fără erori la găsirea derivatelor. Deci, de exemplu, derivata funcției (x^2)" este egală cu 2x. De aici putem concluziona că:
f"(x)=nx^(n-1)

Pentru cei care vor să învețe cum să găsească limite, în acest articol vom vorbi despre asta. Nu vom aprofunda în teorie, de obicei, profesorii o dau la cursuri. Așa că „teoria plictisitoare” ar trebui notă în caiete. Dacă nu este cazul, atunci puteți citi manuale preluate din biblioteca instituției de învățământ sau din alte resurse de pe Internet.

Deci, conceptul de limită este destul de important în studiul matematicii superioare, mai ales când dai peste calcul integral și înțelegi legătura dintre limită și integrală. Materialul actual va analiza exemple simple, precum și modalități de a le rezolva.

Exemple de soluții

Exemplul 1

Calculați a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluţie

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Oamenii ne trimit adesea aceste limite cu o solicitare de a ajuta la rezolvarea lor. Am decis să le evidențiem ca exemplu separat și să explicăm că aceste limite trebuie doar să fie amintite, de regulă. Dacă nu vă puteți rezolva problema, trimiteți-ne-o. Vom oferi o soluție detaliată. Veți putea vizualiza progresul calculului și veți obține informații. Acest lucru vă va ajuta să obțineți nota de la profesorul dvs. în timp util!

Răspuns

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Ce să faci cu incertitudinea formei: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Exemplul 3

Rezolvați $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

Ca întotdeauna, începem prin a înlocui valoarea $ x $ în expresia de sub semnul limită. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Ce urmează acum? Ce ar trebui să se întâmple până la urmă? Deoarece aceasta este o incertitudine, acesta nu este încă un răspuns și continuăm calculul. Deoarece avem un polinom în numărători, îl vom factoriza folosind formula familiară tuturor de la școală $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Vă amintiți? Grozav! Acum continuă și folosește-l cu melodia :) Constatăm că numărătorul $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuăm să rezolvăm ținând cont de transformarea de mai sus: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Să împingem limita din ultimele două exemple la infinit și să luăm în considerare incertitudinea: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Exemplul 5

Calculați $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluţie

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Ce să fac? Ce ar trebuii să fac? Nu intrați în panică, pentru că imposibilul este posibil. Este necesar să scoateți x atât la numărător, cât și la numitor și apoi să-l reduceți. După aceasta, încercați să calculați limita. Sa incercam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Folosind definiția din exemplul 2 și înlocuind infinitul cu x, obținem: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Răspuns

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritm pentru calculul limitelor

Deci, să rezumăm pe scurt exemplele și să creăm un algoritm pentru rezolvarea limitelor:

1. Înlocuiți punctul x în expresia care urmează semnului limită. Dacă se obține un anumit număr sau infinit, atunci limita este complet rezolvată. În caz contrar, avem incertitudine: „zero împărțit la zero” sau „infinit împărțit la infinit” și trecem la următorii pași ai instrucțiunilor.
2. Pentru a elimina incertitudinea „zero împărțit la zero”, trebuie să factorizați numărătorul și numitorul. Reduceți-le pe cele similare. Înlocuiți punctul x în expresia de sub semnul limită.
3. Dacă incertitudinea este „infinitul împărțit la infinit”, atunci scoatem atât numărătorul, cât și numitorul x la cel mai mare grad. Scurtăm X-urile. Înlocuim valorile lui x de sub limită în expresia rămasă.

În acest articol, ați învățat elementele de bază ale rezolvării limitelor, adesea folosite în cursul de calcul. Desigur, acestea nu sunt toate tipurile de probleme oferite de examinatori, ci doar limitele cele mai simple. Vom vorbi despre alte tipuri de teme în articolele viitoare, dar mai întâi trebuie să înveți această lecție pentru a merge mai departe. Să discutăm ce să facem dacă există rădăcini, grade, studiază funcții echivalente infinitezimale, limite remarcabile, regula lui L'Hopital.

Dacă nu vă puteți da seama singuri de limite, nu intrați în panică. Suntem mereu bucuroși să vă ajutăm!