Conform teoriei probabilităţii. Tipuri de evenimente, calcul direct al probabilității de apariție a unui eveniment

Doctrina legilor la care așa-numitul. evenimente aleatorii. Dicționar de cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

teoria probabilității- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez rus de tehnologii informaționale. M.: GP TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia informației în general EN teoria probabilității teoria șanselor calculul probabilității ... Manualul Traducătorului Tehnic

Teoria probabilității- există o parte a matematicii care studiază relațiile dintre probabilitățile (vezi Probabilitatea și Statistica) diferitelor evenimente. Enumerăm cele mai importante teoreme legate de această știință. Probabilitatea de apariție a unuia dintre mai multe evenimente incompatibile este egală cu ... ... Dicţionar Enciclopedic F.A. Brockhaus și I.A. Efron

TEORIA PROBABILITĂȚII- matematică o știință care permite, în funcție de probabilitățile unor evenimente aleatoare (vezi), să se găsească probabilitățile unor evenimente aleatoare asociate cu k. l. drumul cu primul. TV modern pe baza axiomaticii (vezi Metoda axiomatică) a lui A. N. Kolmogorov. Pe… … Enciclopedia sociologică rusă

Teoria probabilității- o ramură a matematicii în care, după probabilitățile date ale unor evenimente aleatoare, se găsesc probabilitățile altor evenimente, legate într-un fel de primul. Teoria probabilității studiază și variabilele aleatoare și procesele aleatoare. Unul din principalele… … Concepte ale științelor naturale moderne. Glosar de termeni de bază

teoria probabilității- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria probabilității vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria probabilității, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas

Teoria probabilității- ... Wikipedia

Teoria probabilității- o disciplină matematică care studiază tiparele fenomenelor aleatorii... Începuturile științelor naturale moderne

TEORIA PROBABILITĂȚII- (teoria probabilității) vezi Probabilitatea... Marele dicționar sociologic explicativ

Teoria probabilității și aplicațiile sale- („Teoria probabilității și aplicațiile sale”), un jurnal științific al Departamentului de Matematică al Academiei de Științe a URSS. Publică articole originale și scurte comunicări despre teoria probabilității, întrebări generale ale statisticii matematice și aplicațiile acestora în științele naturii și ... ... Marea Enciclopedie Sovietică

Cărți

• Teoria probabilității. , Venttsel E.S. Cartea este un manual destinat persoanelor care sunt familiarizate cu matematica în sfera unui curs obișnuit de liceu și sunt interesate de aplicațiile tehnice ale teoriei probabilităților, în ... Cumpărați pentru 2056 UAH (numai Ucraina)
• Teoria probabilității. , Wentzel E.S. Cartea este un manual destinat persoanelor familiarizate cu matematica în sfera unui curs obișnuit de liceu și interesate de aplicațiile tehnice ale teoriei probabilităților, în ...

Teoria probabilității este o ramură a matematicii care studiază tiparele fenomenelor aleatoare: evenimente aleatoare, variabile aleatoare, proprietățile lor și operațiunile asupra lor.

Multă vreme, teoria probabilității nu a avut o definiție clară. A fost formulat abia în 1929. Apariția teoriei probabilităților ca știință este atribuită Evului Mediu și primelor încercări de analiză matematică a jocurilor de noroc (aruncarea, zarurile, ruleta). Matematicienii francezi din secolul al XVII-lea Blaise Pascal și Pierre de Fermat au descoperit primele modele probabilistice care apar la aruncarea zarurilor în timp ce studiază predicția câștigurilor în jocurile de noroc.

Teoria probabilității a apărut ca știință din credința că anumite regularități stau la baza evenimentelor aleatorii masive. Teoria probabilității studiază aceste modele.

Teoria probabilității se ocupă cu studiul evenimentelor, a căror apariție nu este cunoscută cu siguranță. Vă permite să judecați gradul de probabilitate a apariției unor evenimente în comparație cu altele.

De exemplu: este imposibil să se determine fără ambiguitate rezultatul aruncării capetelor sau cozilor unei monede, dar cu aruncări repetate, aproximativ același număr de capete și cozi cade, ceea ce înseamnă că probabilitatea ca capul sau cozile să cadă ", este egală. la 50%.

Testîn acest caz, se numește implementarea unui anumit set de condiții, adică, în acest caz, aruncarea unei monede. Provocarea poate fi jucată de un număr nelimitat de ori. În acest caz, complexul de condiții include factori aleatori.

Rezultatul testului este eveniment. Evenimentul are loc:

1. Fiabil (apare întotdeauna ca rezultat al testării).
2. Imposibil (nu se întâmplă niciodată).
3. Aleatoriu (poate să apară sau nu ca rezultat al testului).

De exemplu, atunci când aruncați o monedă, un eveniment imposibil - moneda va ajunge pe margine, un eveniment aleatoriu - pierderea „capetelor” sau „cozilor”. Rezultatul testului specific este numit eveniment elementar. În urma testului, apar doar evenimente elementare. Se numește totalitatea tuturor rezultatelor posibile, diferite, specifice ale testului spațiu de eveniment elementar.

Concepte de bază ale teoriei

Probabilitate- gradul de posibilitate a producerii evenimentului. Atunci când motivele pentru care un eveniment posibil să apară efectiv depășesc motivele opuse, atunci acest eveniment se numește probabil, în caz contrar - improbabil sau improbabil.

Valoare aleatoare- aceasta este o valoare care, în urma testului, poate lua una sau alta valoare și nu se știe dinainte care dintre ele. De exemplu: numărul de stații de pompieri pe zi, numărul de lovituri cu 10 lovituri etc.

Variabilele aleatoare pot fi împărțite în două categorii.

1. Variabilă aleatorie discretă se numește o astfel de mărime care, în urma testului, poate lua anumite valori cu o anumită probabilitate, formând o mulțime numărabilă (o mulțime ale cărei elemente pot fi numerotate). Acest set poate fi fie finit, fie infinit. De exemplu, numărul de lovituri înainte de prima lovitură asupra țintei este o variabilă aleatorie discretă, deoarece această valoare poate lua un număr infinit, deși numărabil, de valori.
2. Variabilă aleatoare continuă este o mărime care poate lua orice valoare dintr-un interval finit sau infinit. Evident, numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare continue este infinit.

Spațiul de probabilitate- conceptul introdus de A.N. Kolmogorov în anii 1930 pentru a oficializa conceptul de probabilitate, care a dat naștere dezvoltării rapide a teoriei probabilităților ca disciplină matematică riguroasă.

Spațiul de probabilitate este un triplu (uneori încadrat între paranteze unghiulare: , unde

Acesta este un set arbitrar, ale cărui elemente sunt numite evenimente elementare, rezultate sau puncte;
- sigma-algebra de submultimi numite evenimente (aleatorie);
- măsură sau probabilitate probabilistă, i.e. măsură finită sigma-aditivă astfel încât .

Teorema lui De Moivre-Laplace- una dintre teoremele limitative ale teoriei probabilităților, stabilită de Laplace în 1812. Ea afirmă că numărul de succese în repetarea aceluiași experiment aleatoriu cu două rezultate posibile este distribuit aproximativ normal. Vă permite să găsiți o valoare aproximativă a probabilității.

Dacă, pentru fiecare dintre încercările independente, probabilitatea apariției unui eveniment aleatoriu este egală cu () și este numărul de încercări în care are loc efectiv, atunci probabilitatea de valabilitate a inegalității este apropiată (pentru mari ) la valoarea integralei Laplace.

Funcția de distribuție în teoria probabilității- o funcţie care caracterizează distribuţia unei variabile aleatoare sau a unui vector aleator; probabilitatea ca o variabilă aleatoare X să ia o valoare mai mică sau egală cu x, unde x este arbitrar numar real. În anumite condiții, determină complet o variabilă aleatorie.

Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare (aceasta este distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare, considerată în teoria probabilității). În literatura engleză, este notat cu, în rusă -. În statistică, notația este adesea folosită.

Să fie date un spațiu de probabilitate și o variabilă aleatoare definite pe acesta. Adică, prin definiție, o funcție măsurabilă. Atunci, dacă există o integrală Lebesgue a supra-spațiului , atunci se numește așteptare matematică, sau valoare medie, și este notat cu .

Varianta unei variabile aleatoare- o măsură a răspândirii unei variabile aleatoare date, adică abaterea acesteia de la așteptările matematice. Desemnat în literatura rusă și în străinătate. În statistică, denumirea sau este adesea folosită. Rădăcina pătrată a varianței se numește abatere standard, abatere standard sau spread standard.

Fie o variabilă aleatoare definită pe un spațiu de probabilitate. Apoi

unde simbolul denotă așteptarea matematică.

În teoria probabilității, sunt numite două evenimente aleatoare independent dacă apariţia unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariţiei celuilalt. În mod similar, sunt numite două variabile aleatoare dependent dacă valoarea unuia dintre ele afectează probabilitatea valorilor celuilalt.

Cea mai simplă formă a legii numerelor mari este teorema lui Bernoulli, care afirmă că dacă probabilitatea unui eveniment este aceeași în toate încercările, atunci pe măsură ce numărul de încercări crește, frecvența evenimentului tinde spre probabilitatea evenimentului și încetează să fie aleatoriu.

Legea numerelor mari din teoria probabilității afirmă că media aritmetică a unui eșantion finit dintr-o distribuție fixă ​​este apropiată de media teoretică a acelei distribuții. În funcție de tipul de convergență, se distinge o lege slabă a numerelor mari, când are loc convergența în probabilitate, și o lege puternică a numerelor mari, când convergența are loc aproape sigur.

Sensul general al legii numerelor mari este că acțiunea comună a unui număr mare de factori aleatori identici și independenți duce la un rezultat care, în limită, nu depinde de întâmplare.

Metodele de estimare a probabilității bazate pe analiza unui eșantion finit se bazează pe această proprietate. Un bun exemplu este predicția rezultatelor alegerilor pe baza unui sondaj efectuat pe un eșantion de alegători.

Teoreme limite centrale- o clasă de teoreme în teoria probabilităților care afirmă că suma unui număr suficient de mare de variabile aleatoare slab dependente care au aproximativ aceeași scară (niciunul dintre termeni nu domină, nu aduce o contribuție decisivă la sumă) are o distribuție apropiată de normal.

Deoarece multe variabile aleatoare din aplicații se formează sub influența mai multor factori aleatori slab dependenți, distribuția lor este considerată normală. În acest caz, trebuie observată condiția ca niciunul dintre factori să nu fie dominant. Teoremele limită centrale în aceste cazuri justifică aplicarea distribuției normale.

Când o monedă este aruncată, se poate spune că va ateriza heads up, sau probabilitate din aceasta este 1/2. Desigur, asta nu înseamnă că, dacă o monedă este aruncată de 10 ori, ea va ateriza neapărat pe capete de 5 ori. Dacă moneda este „corectă” și dacă este aruncată de mai multe ori, atunci capete vor veni foarte aproape în jumătate din timp. Astfel, există două tipuri de probabilități: experimental și teoretic .

Probabilitate experimentală și teoretică

Dacă aruncăm o monedă de un număr mare de ori - să zicem 1000 - și numărăm de câte ori iese capete, putem determina probabilitatea ca aceasta să iasă cu cap. Dacă capetele apar de 503 ori, putem calcula probabilitatea ca acesta să apară:
503/1000 sau 0,503.

aceasta experimental definiția probabilității. Această definiție a probabilității provine din observarea și studiul datelor și este destul de comună și foarte utilă. De exemplu, iată câteva probabilități care au fost determinate experimental:

1. Șansa ca o femeie să dezvolte cancer de sân este de 1/11.

2. Dacă săruți pe cineva care este răcit, atunci probabilitatea ca și tu să răcești este de 0,07.

3. O persoană care tocmai a fost eliberată din închisoare are șanse de 80% să se întoarcă în închisoare.

Dacă luăm în considerare aruncarea unei monede și ținând cont de faptul că este la fel de probabil să iasă cap sau cozi, putem calcula probabilitatea de a ieși cu cap: 1 / 2. Aceasta este definiția teoretică a probabilității. Iată câteva alte probabilități care au fost determinate teoretic folosind matematică:

1. Dacă într-o cameră sunt 30 de persoane, probabilitatea ca două dintre ele să aibă aceeași zi de naștere (excluzând anul) este de 0,706.

2. În timpul unei călătorii, întâlnești pe cineva și pe parcursul conversației descoperi că ai o cunoștință reciprocă. Reacție tipică: „Asta nu se poate!” De fapt, această frază nu se potrivește, deoarece probabilitatea unui astfel de eveniment este destul de mare - puțin peste 22%.

Prin urmare, probabilitatea experimentală este determinată de observare și de colectare a datelor. Probabilitățile teoretice sunt determinate de raționamentul matematic. Exemple de probabilități experimentale și teoretice, precum cele discutate mai sus, și mai ales cele la care nu ne așteptăm, ne conduc la importanța studierii probabilității. Puteți întreba: „Care este probabilitatea adevărată?” De fapt, nu există niciunul. Experimental este posibil să se determine probabilitățile în anumite limite. Ele pot coincide sau nu cu probabilitățile pe care le obținem teoretic. Există situații în care este mult mai ușor să definești un tip de probabilitate decât altul. De exemplu, ar fi suficient să găsim probabilitatea de a răci folosind probabilitatea teoretică.

Calculul probabilităților experimentale

Luați în considerare mai întâi definiția experimentală a probabilității. Principiul de bază pe care îl folosim pentru a calcula astfel de probabilități este următorul.

Principiul P (experimental)

Dacă într-un experiment în care se fac n observații, situația sau evenimentul E apare de m ori în n observații, atunci probabilitatea experimentală a evenimentului se spune că este P (E) = m/n.

Exemplul 1 Ancheta sociologică. A fost realizat un studiu experimental pentru a determina numărul de stângaci, dreptaci și persoane la care ambele mâini sunt egal dezvoltate.Rezultatele sunt prezentate în grafic.

a) Determinați probabilitatea ca persoana să fie dreptaci.

b) Determinați probabilitatea ca persoana să fie stângaci.

c) Determinați probabilitatea ca persoana să fie la fel de fluentă în ambele mâini.

d) Majoritatea turneelor ​​PBA au 120 de jucători. Pe baza acestui experiment, câți jucători pot fi stângaci?

Soluţie

a) Numărul de oameni care sunt dreptaci este de 82, numărul de stângaci este de 17, iar numărul celor care vorbesc la fel de fluent cu ambele mâini este 1. Numărul total de observații este 100. Astfel, probabilitatea că o persoană este dreptaci este P
P = 82/100, sau 0,82, sau 82%.

b) Probabilitatea ca o persoană să fie stângacă este P, unde
P = 17/100 sau 0,17 sau 17%.

c) Probabilitatea ca o persoană să fie fluentă în mod egal cu ambele mâini este P, unde
P = 1/100 sau 0,01 sau 1%.

d) 120 de bowler și de la (b) ne putem aștepta ca 17% să fie stângaci. De aici
17% din 120 = 0,17,120 = 20,4,
adică ne putem aștepta ca vreo 20 de jucători să fie stângaci.

Exemplul 2 Control de calitate . Este foarte important ca un producător să mențină calitatea produselor sale la un nivel ridicat. De fapt, companiile angajează inspectori de control al calității pentru a asigura acest proces. Scopul este de a elibera un număr minim posibil de produse defecte. Dar, deoarece compania produce mii de articole în fiecare zi, nu își poate permite să inspecteze fiecare articol pentru a determina dacă este defect sau nu. Pentru a afla ce procent de produse sunt defecte, compania testează mult mai puține produse.
USDA cere ca 80% din semințele pe care cultivatorii le vând să germineze. Pentru a determina calitatea semințelor pe care compania agricolă le produce, se plantează 500 de semințe din cele care au fost produse. După aceea, s-a calculat că au germinat 417 semințe.

a) Care este probabilitatea ca sămânța să germineze?

b) Semințele respectă standardele guvernamentale?

Soluţie a) Știm că din 500 de semințe care au fost plantate, 417 au încolțit. Probabilitatea germinării semințelor P și
P = 417/500 = 0,834 sau 83,4%.

b) Deoarece procentul de semințe germinate a depășit 80% la cerere, semințele îndeplinesc standardele de stat.

Exemplul 3 Evaluări TV. Potrivit statisticilor, în Statele Unite există 105.500.000 de gospodării TV. În fiecare săptămână, informații despre vizionarea programelor sunt colectate și procesate. În decurs de o săptămână, 7.815.000 de gospodării au fost conectate la serialul de comedie de succes de la CBS Everybody Loves Raymond și 8.302.000 de gospodării au fost conectate la hitul de la NBC Law & Order (Sursa: Nielsen Media Research). Care este probabilitatea ca televizorul unei case să fie reglat pe „Everybody Loves Raymond” în timpul unei anumite săptămâni? pe „Law & Order”?

Soluţie Probabilitatea ca televizorul dintr-o gospodărie să fie setat la „Everybody Loves Raymond” este P și
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0,074 ≈ 7,4%.
Posibilitatea ca televizorul de uz casnic să fie setat la „Lege și ordine” este P și
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0,079 ≈ 7,9%.
Aceste procente se numesc rating.

probabilitatea teoretică

Să presupunem că facem un experiment, cum ar fi aruncarea unei monede sau a săgeții, tragerea unei cărți dintr-un pachet sau testarea articolelor pe o linie de asamblare. Fiecare rezultat posibil al unui astfel de experiment este numit Exod . Se numește setul tuturor rezultatelor posibile spațiu de rezultat . Eveniment este un set de rezultate, adică un subset al spațiului de rezultate.

Exemplul 4 Aruncarea săgeților. Să presupunem că în experimentul „aruncare săgeți”, săgeata lovește ținta. Găsiți fiecare dintre următoarele:

b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultatele sunt: ​​lovirea negru (H), lovirea roșu (K) și lovirea alb (B).

b) Există un spațiu de rezultat (loviți negru, loviți roșu, loviți alb), care poate fi scris simplu ca (B, R, B).

Exemplul 5 Aruncarea zarurilor. Un zar este un cub cu șase laturi, fiecare având unul până la șase puncte.


Să presupunem că aruncăm un zar. Găsi
a) Rezultate
b) Spațiul rezultatului

Soluţie
a) Rezultate: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
b) Spațiul rezultat (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Notăm probabilitatea ca un eveniment E să se producă ca P(E). De exemplu, „moneda va ateriza pe cozi” poate fi notat cu H. Atunci P(H) este probabilitatea ca moneda să cadă pe cozi. Când toate rezultatele unui experiment au aceeași probabilitate de a avea loc, se spune că sunt la fel de probabile. Pentru a vedea diferența dintre evenimentele care sunt la fel de probabile și evenimentele care nu sunt la fel de probabile, luați în considerare ținta prezentată mai jos.

Pentru ținta A, evenimentele de lovituri negru, roșu și alb sunt la fel de probabile, deoarece sectoarele negru, roșu și alb sunt aceleași. Cu toate acestea, pentru ținta B, zonele cu aceste culori nu sunt aceleași, adică atingerea lor nu este la fel de probabilă.

Principiul P (teoretic)

Dacă un eveniment E se poate întâmpla în m moduri din n rezultate posibile echiprobabile din spațiul rezultat S, atunci probabilitatea teoretică eveniment, P(E) este
P(E) = m/n.

Exemplul 6 Care este probabilitatea de a arunca un 3 prin aruncarea unui zar?

Soluţie Există 6 rezultate la fel de probabile pe zar și există o singură posibilitate de a arunca numărul 3. Atunci probabilitatea P va fi P(3) = 1/6.

Exemplul 7 Care este probabilitatea de a arunca un număr par pe zar?

Soluţie Evenimentul este aruncarea unui număr par. Acest lucru se poate întâmpla în 3 moduri (dacă aruncați 2, 4 sau 6). Numărul de rezultate echiprobabile este 6. Atunci probabilitatea P(par) = 3/6 sau 1/2.

Vom folosi o serie de exemple legate de un pachet standard de 52 de cărți. Un astfel de pachet este format din cărțile prezentate în figura de mai jos.

Exemplul 8 Care este probabilitatea de a extrage un as dintr-un pachet de cărți bine amestecat?

Soluţie Există 52 de rezultate (numărul de cărți din pachet), acestea sunt la fel de probabile (dacă pachetul este bine amestecat) și există 4 moduri de a trage un as, deci conform principiului P, probabilitatea
P(tragerea unui as) = ​​4/52 sau 1/13.

Exemplul 9 Să presupunem că alegem fără să ne uităm o bile dintr-o pungă de 3 bile roșii și 4 bile verzi. Care este probabilitatea de a alege o minge roșie?

Soluţie Există 7 rezultate la fel de probabile pentru a obține orice minge și, deoarece numărul de moduri de a trage o minge roșie este 3, obținem
P(alegerea unei mingi roșii) = 3/7.

Următoarele afirmații sunt rezultate din principiul P.

Proprietăți de probabilitate

a) Dacă evenimentul E nu se poate întâmpla, atunci P(E) = 0.
b) Dacă evenimentul E este obligat să se întâmple, atunci P(E) = 1.
c) Probabilitatea ca evenimentul E să se producă este un număr între 0 și 1: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

De exemplu, la aruncarea unei monede, evenimentul în care moneda aterizează pe marginea ei are probabilitate zero. Probabilitatea ca o monedă să fie fie cap, fie coadă are o probabilitate de 1.

Exemplul 10 Să presupunem că dintr-un pachet cu 52 de cărți sunt extrase 2 cărți. Care este probabilitatea ca amândoi să fie pică?

Soluţie Numărul de moduri n de a extrage 2 cărți dintr-un pachet de 52 de cărți bine amestecat este 52 C 2 . Deoarece 13 din cele 52 de cărți sunt pică, numărul m de moduri de a trage 2 pică este de 13 C 2 . Apoi,
P(întinderea a 2 vârfuri) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

Exemplul 11 Să presupunem că 3 persoane sunt alese aleatoriu dintr-un grup de 6 bărbați și 4 femei. Care este probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie aleși?

Soluţie Numărul de moduri de a alege trei persoane dintr-un grup de 10 persoane 10 C 3 . Un bărbat poate fi ales în 6 moduri C 1 și 2 femei pot fi alese în 4 moduri C 2. Conform principiului fundamental al numărării, numărul de moduri de a alege primul bărbat și 2 femei este de 6 C 1 . 4C2. Apoi, probabilitatea ca 1 bărbat și 2 femei să fie aleși este
P = 6 C1. 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

Exemplul 12 Aruncarea zarurilor. Care este probabilitatea de a arunca un total de 8 pe două zaruri?

Soluţie Există 6 rezultate posibile pe fiecare zar. Rezultatele sunt dublate, adică există 6,6 sau 36 de moduri posibile în care numerele de pe două zaruri pot cădea. (Este mai bine dacă cuburile sunt diferite, să spunem că unul este roșu și celălalt este albastru - acest lucru va ajuta la vizualizarea rezultatului.)

Perechile de numere care însumează până la 8 sunt prezentate în figura de mai jos. Există 5 moduri posibile de a obține suma egală cu 8, deci probabilitatea este 5/36.

INTRODUCERE

Multe lucruri ne sunt de neînțeles, nu pentru că conceptele noastre sunt slabe;
ci pentru că aceste lucruri nu intră în cercul conceptelor noastre.
Kozma Prutkov

Scopul principal al studierii matematicii în instituțiile de învățământ secundar de specialitate este de a oferi studenților un set de cunoștințe și abilități matematice necesare studierii altor discipline de program care folosesc matematica într-un grad sau altul, pentru capacitatea de a efectua calcule practice, pentru formarea și dezvoltarea. a gândirii logice.

În această lucrare, toate conceptele de bază ale secțiunii de matematică „Fundamentele teoriei probabilităților și statisticii matematice”, prevăzute de program și de standardele educaționale de stat ale învățământului secundar profesional (Ministerul Educației al Federației Ruse. M., 2002). ), sunt introduse consecvent, se formulează principalele teoreme, dintre care majoritatea nu sunt dovedite. Sunt luate în considerare principalele sarcini și metode pentru soluționarea lor și tehnologiile de aplicare a acestor metode la rezolvarea problemelor practice. Prezentarea este însoțită de comentarii detaliate și de numeroase exemple.

Instrucțiunile metodice pot fi folosite pentru familiarizarea inițială cu materialul studiat, la luarea notițelor prelegerilor, pentru pregătirea pentru exerciții practice, pentru consolidarea cunoștințelor, abilităților și abilităților dobândite. În plus, manualul va fi util studenților de licență ca instrument de referință care vă permite să restaurați rapid în memorie ceea ce a fost studiat anterior.

La sfârșitul lucrării sunt date exemple și sarcini pe care elevii le pot îndeplini în modul de autocontrol.

Instrucțiunile metodologice sunt destinate studenților de la forma de învățământ prin corespondență și cu normă întreagă.

NOȚIUNI DE BAZĂ

Teoria probabilității studiază regularitățile obiective ale evenimentelor aleatoare de masă. Este o bază teoretică pentru statistica matematică, care se ocupă cu dezvoltarea metodelor de colectare, descriere și prelucrare a rezultatelor observațiilor. Prin observatii (teste, experimente), i.e. experiență în sensul larg al cuvântului, există o cunoaștere a fenomenelor din lumea reală.

În activitățile noastre practice, întâlnim adesea fenomene, al căror rezultat nu poate fi prezis, al căror rezultat depinde de întâmplare.

Un fenomen aleatoriu poate fi caracterizat prin raportul dintre numărul de apariții sale și numărul de încercări, în fiecare dintre acestea, în aceleași condiții ale tuturor încercărilor, ar putea să apară sau nu.

Teoria probabilității este o ramură a matematicii în care fenomenele aleatoare (evenimentele) sunt studiate și regularitățile sunt relevate atunci când sunt repetate masiv.

Statistica matematică este o ramură a matematicii care are ca subiect studiul metodelor de colectare, sistematizare, prelucrare și utilizare a datelor statistice pentru a obține concluzii solide din punct de vedere științific și a lua decizii.

În același timp, datele statistice sunt înțelese ca un set de numere care reprezintă caracteristicile cantitative ale trăsăturilor obiectelor studiate care ne interesează. Datele statistice sunt obținute ca rezultat al experimentelor și observațiilor special concepute.

Datele statistice în esență depind de mulți factori aleatori, astfel încât statistica matematică este strâns legată de teoria probabilității, care este baza sa teoretică.

I. PROBABILITATE. TEOREME DE ADIUNARE SI MULTIPLICARE A PROBABILITATII

1.1. Concepte de bază ale combinatoriei

La secțiunea de matematică numită combinatorică se rezolvă unele probleme legate de luarea în considerare a mulțimilor și alcătuirea diferitelor combinații de elemente ale acestor mulțimi. De exemplu, dacă luăm 10 numere diferite 0, 1, 2, 3,:, 9 și facem combinații ale acestora, vom obține numere diferite, de exemplu 143, 431, 5671, 1207, 43 etc.

Vedem că unele dintre aceste combinații diferă doar în ordinea cifrelor (de exemplu, 143 și 431), altele în numerele incluse în ele (de exemplu, 5671 și 1207), iar altele diferă și prin numărul de cifre ( de exemplu, 143 și 43).

Astfel, combinatiile obtinute satisfac diverse conditii.

În funcție de regulile de compilare, se pot distinge trei tipuri de combinații: permutări, plasări, combinații.

Să ne familiarizăm mai întâi cu conceptul factorial.

Se numește produsul tuturor numerelor naturale de la 1 la n inclusiv n-factorial si scrie.

Calculați: a) ; b) ; în) .

Soluţie. A) .

b) precum și , apoi îl puteți scoate din paranteze

Apoi primim

în) .

Permutări.

O combinație de n elemente care diferă între ele doar în ordinea elementelor se numește permutare.

Permutările sunt notate prin simbol P n , unde n este numărul de elemente din fiecare permutare. ( R- prima literă a cuvântului francez permutare- permutare).

Numărul de permutări poate fi calculat folosind formula

sau cu factorial:

Să ne amintim asta 0!=1 și 1!=1.

Exemplul 2. În câte moduri pot fi aranjate șase cărți diferite pe un raft?

Soluţie. Numărul dorit de moduri este egal cu numărul de permutări a 6 elemente, adică.

Cazare.

Destinații de plasare din m elemente în nîn fiecare se numesc astfel de compuși care diferă unul de altul fie prin elementele în sine (cel puțin unul), fie prin ordinea de la locație.

Locațiile sunt notate cu simbolul , unde m este numărul tuturor elementelor disponibile, n este numărul de elemente din fiecare combinație. ( DAR- prima literă a cuvântului francez aranjament, care înseamnă „așezarea, punerea în ordine”).

În același timp, se presupune că nm.

Numărul de plasări poate fi calculat folosind formula

,

acestea. numărul tuturor plasărilor posibile de la m elemente prin n este egal cu produsul n numere întregi consecutive, dintre care cel mai mare este m.

Scriem această formulă în formă factorială:

Exemplul 3. Câte opțiuni pentru distribuirea a trei vouchere la un sanatoriu de diverse profiluri pot fi făcute pentru cinci solicitanți?

Soluţie. Numărul dorit de opțiuni este egal cu numărul de plasări a 5 elemente cu 3 elemente, adică.

.

Combinații.

Combinațiile sunt toate combinațiile posibile ale m elemente prin n, care diferă unele de altele prin cel puțin un element (aici mși n- numere naturale și n m).

Numărul de combinații de la m elemente prin n sunt notate ( DIN- prima literă a cuvântului francez combinaţie- combinație).

În general, numărul de m elemente prin n egal cu numărul de plasări din m elemente prin nîmpărțit la numărul de permutări din n elemente:

Folosind formule factoriale pentru numere de plasare și permutare, obținem:

Exemplul 4. Într-o echipă de 25 de persoane, trebuie să alocați patru pentru a lucra într-o anumită zonă. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie. Deoarece ordinea celor patru persoane alese nu contează, acest lucru se poate face în moduri.

Găsim prin prima formulă

.

În plus, la rezolvarea problemelor, se folosesc următoarele formule care exprimă principalele proprietăți ale combinațiilor:

(prin definiție și sunt presupuse);

.

1.2. Rezolvarea problemelor combinatorii

Sarcina 1. La facultate se studiază 16 materii. Luni, trebuie să puneți 3 subiecte în program. În câte moduri se poate face acest lucru?

Soluţie. Există tot atâtea moduri de a programa trei articole din 16 câte sunt plasări de 16 elemente a câte 3 fiecare.

Sarcina 2. Din 15 obiecte, trebuie selectate 10 obiecte. În câte moduri se poate face acest lucru?

Sarcina 3. Patru echipe au participat la competiție. Câte opțiuni de repartizare a locurilor între ele sunt posibile?

.

Problema 4. În câte moduri se poate forma o patrulă de trei soldați și un ofițer dacă sunt 80 de soldați și 3 ofițeri?

Soluţie. Soldatul de patrulare poate fi selectat

căi, iar căile ofițerilor. Deoarece orice ofițer poate merge cu fiecare echipă de soldați, există doar moduri.

Sarcina 5. Aflați dacă se știe că .

De când, primim

,

,

Prin definiția combinației rezultă că , . Acea. .

1.3. Conceptul de eveniment aleatoriu. Tipuri de evenimente. Probabilitatea evenimentului

Orice acțiune, fenomen, observație cu mai multe rezultate diferite, realizată într-un anumit set de condiții, va fi numită Test.

Rezultatul acestei acțiuni sau observații se numește eveniment .

Dacă un eveniment în condiții date poate să apară sau nu, atunci este numit Aleatoriu . În cazul în care un eveniment trebuie să aibă loc cu siguranță, acesta este numit autentic , iar în cazul în care cu siguranță nu se poate întâmpla, - imposibil.

Evenimentele sunt numite incompatibil dacă numai unul dintre ei poate apărea de fiecare dată.

Evenimentele sunt numite comun dacă, în condiţiile date, apariţia unuia dintre aceste evenimente nu exclude apariţia celuilalt în cadrul aceluiaşi test.

Evenimentele sunt numite opus , dacă în condițiile de testare ele, fiind singurele sale rezultate, sunt incompatibile.

Evenimentele sunt de obicei notate cu majuscule ale alfabetului latin: A, B, C, D, : .

Un sistem complet de evenimente A 1 , A 2 , A 3 , : , A n este un set de evenimente incompatibile, apariția a cel puțin a unuia dintre ele este obligatorie pentru un test dat.

Dacă un sistem complet este format din două evenimente incompatibile, atunci astfel de evenimente sunt numite opuse și sunt notate cu A și .

Exemplu. Într-o cutie sunt 30 de bile numerotate. Determinați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, sigure, opuse:

a primit o minge numerotată (DAR);

trage o bilă cu număr par (LA);

a tras o minge cu un număr impar (DIN);

am o minge fără număr (D).

Care dintre ei formează un grup complet?

Soluţie . DAR- eveniment anume; D- eveniment imposibil;

In si DIN- evenimente opuse.

Grupul complet de evenimente este DARși D, Vși DIN.

Probabilitatea unui eveniment este considerată ca o măsură a posibilității obiective de apariție a unui eveniment aleatoriu.

1.4. Definiția clasică a probabilității

Se numește numărul, care este o expresie a măsurii posibilității obiective de apariție a unui eveniment probabilitate acest eveniment și este notat cu simbolul P(A).

Definiție. Probabilitatea unui eveniment DAR este raportul dintre numărul de rezultate m care favorizează apariția unui eveniment dat DAR, la număr n toate rezultatele (incompatibile, unice și la fel de posibile), adică .

Prin urmare, pentru a găsi probabilitatea unui eveniment, este necesar, după luarea în considerare a diferitelor rezultate ale testului, să se calculeze toate rezultatele incompatibile posibile. n, alegeți numărul de rezultate care ne interesează m și calculați raportul m la n.

Următoarele proprietăți rezultă din această definiție:

Probabilitatea oricărei încercări este un număr nenegativ care nu depășește unu.

Într-adevăr, numărul m al evenimentelor dorite se află în . Împărțirea ambelor părți în n, primim

2. Probabilitatea unui anumit eveniment este egală cu unu, deoarece .

3. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero deoarece .

Problema 1. Există 200 de câștigători din 1000 de bilete la loterie. Un bilet este extras la întâmplare. Care este probabilitatea ca acest bilet să câștige?

Soluţie. Numărul total de rezultate diferite este n=1000. Numărul de rezultate care favorizează câștigul este m=200. Conform formulei, obținem

.

Sarcina 2. Într-un lot de 18 piese, există 4 defecte. 5 piese sunt alese la întâmplare. Aflați probabilitatea ca două din aceste 5 piese să fie defecte.

Soluţie. Numărul tuturor rezultatelor independente la fel de posibile n este egal cu numărul de combinații de la 18 la 5, adică

Să calculăm numărul m care favorizează evenimentul A. Printre cele 5 părți alese aleatoriu, ar trebui să existe 3 de înaltă calitate și 2 defecte. Numărul de moduri de a selecta două piese defecte din 4 piese defecte disponibile este egal cu numărul de combinații de la 4 la 2:

Numărul de moduri de a selecta trei piese de calitate din 14 piese de calitate disponibile este egal cu

.

Orice grup de piese de calitate poate fi combinat cu orice grup de piese defecte, deci numărul total de combinații m este

Probabilitatea dorită a evenimentului A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate m care favorizează acest eveniment și numărul n al tuturor rezultatelor independente la fel de posibile:

.

Suma unui număr finit de evenimente este un eveniment constând în apariția a cel puțin unuia dintre ele.

Suma a două evenimente este notată prin simbolul A + B și suma n simbolul evenimentelor A 1 +A 2 + : +A n .

Teorema adunării probabilităților.

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.

Corolarul 1. Dacă evenimentul А 1 , А 2 , : , А n formează un sistem complet, atunci suma probabilităților acestor evenimente este egală cu unu.

Corolarul 2. Suma probabilităților de evenimente opuse și este egală cu unu.

.

Problema 1. Există 100 de bilete de loterie. Se știe că 5 bilete obțin un câștig de 20.000 de ruble, 10 - 15.000 de ruble, 15 - 10.000 de ruble, 25 - 2.000 de ruble. si nimic in rest. Găsiți probabilitatea ca biletul achiziționat să câștige cel puțin 10.000 de ruble.

Soluţie. Fie A, B și C evenimente constând în faptul că pe biletul achiziționat cade un premiu egal cu 20.000, 15.000 și 10.000 de ruble. întrucât evenimentele A, B și C sunt incompatibile, atunci

Sarcina 2. Secția de corespondență a școlii tehnice primește teste la matematică din orașe A, Bși DIN. Probabilitatea de a primi lucrări de control din oraș DAR egal cu 0,6, din oraș LA- 0,1. Găsiți probabilitatea ca următoarea lucrare de control să vină din oraș DIN.

Ce este o probabilitate?

În fața acestui termen pentru prima dată, nu aș înțelege ce este. Așa că voi încerca să explic într-un mod ușor de înțeles.

Probabilitatea este șansa ca evenimentul dorit să se producă.

De exemplu, ați decis să vizitați un prieten, să vă amintiți intrarea și chiar podeaua pe care locuiește. Dar am uitat numărul și locația apartamentului. Și acum stai pe casa scării, iar în fața ta sunt ușile din care poți alege.

Care este șansa (probabilitatea) ca, dacă suni la prima sonerie, prietenul tău să ți-o deschidă? Întregul apartament și un prieten locuiește doar în spatele unuia dintre ei. Cu șanse egale, putem alege orice ușă.

Dar care este această șansă?

Uși, ușa potrivită. Probabilitatea de a ghici prin sunetul primei uși: . Adică, o dată din trei vei ghici cu siguranță.

Vrem să știm, sunând o dată, cât de des vom ghici ușa? Să ne uităm la toate opțiunile:

1. ai sunat la 1 Uşă
2. ai sunat la al 2-lea Uşă
3. ai sunat la al 3-lea Uşă

Și acum luați în considerare toate opțiunile în care poate fi un prieten:

A. Pe 1 uşă
b. Pe al 2-lea uşă
în. Pe al 3-lea uşă

Să comparăm toate opțiunile sub forma unui tabel. O bifă indică opțiunile atunci când alegerea dvs. se potrivește cu locația unui prieten, o cruce - când nu se potrivește.

Cum vezi totul Poate Opțiuni locația prietenului și alegerea ta asupra ușii să sune.

DAR rezultate favorabile tuturor . Adică veți ghici orele de la sunând o dată la ușă, adică. .

Aceasta este probabilitatea - raportul dintre un rezultat favorabil (când alegerea dvs. a coincis cu locația unui prieten) și numărul de evenimente posibile.

Definiția este formula. Probabilitatea se notează de obicei p, deci:

Nu este foarte convenabil să scrieți o astfel de formulă, așa că să luăm pentru - numărul de rezultate favorabile și pentru - numărul total de rezultate.

Probabilitatea poate fi scrisă ca procent, pentru aceasta trebuie să înmulțiți rezultatul rezultat cu:

Probabil, cuvântul „rezultate” ți-a atras atenția. Deoarece matematicienii numesc diverse acțiuni (pentru noi, o astfel de acțiune este o sonerie) experimente, se obișnuiește să numim rezultatul unor astfel de experimente un rezultat.

Ei bine, rezultatele sunt favorabile și nefavorabile.

Să revenim la exemplul nostru. Să presupunem că am sunat la una dintre uși, dar ne-a deschis un străin. Nu am ghicit. Care este probabilitatea ca, dacă sună la una dintre ușile rămase, prietenul nostru să ne deschidă?

Dacă ai crezut asta, atunci aceasta este o greșeală. Să ne dăm seama.

Mai avem două uși. Deci avem pași posibili:

1) Sunați la 1 Uşă
2) Sună al 2-lea Uşă

Un prieten, cu toate acestea, este cu siguranță în spatele unuia dintre ei (la urma urmei, el nu era în spatele celui pe care l-am sunat):

a) un prieten 1 uşă
b) un prieten pentru al 2-lea uşă

Să desenăm din nou tabelul:

După cum puteți vedea, există toate opțiunile, dintre care - favorabile. Adică probabilitatea este egală.

De ce nu?

Situația pe care am luat-o în considerare este exemplu de evenimente dependente. Primul eveniment este prima sonerie, al doilea eveniment este a doua sonerie.

Și sunt numiți dependenți pentru că afectează următoarele acțiuni. La urma urmei, dacă un prieten ar deschide ușa după primul sunet, care ar fi probabilitatea ca el să fie în spatele unuia dintre ceilalți doi? Corect, .

Dar dacă există evenimente dependente, atunci trebuie să existe independent? Adevărat, există.

Un exemplu de manual este aruncarea unei monede.

1. Aruncăm o monedă. Care este probabilitatea ca, de exemplu, să apară capete? Așa este - pentru că opțiunile pentru orice (fie capete sau cozi, vom neglija probabilitatea ca o monedă să stea pe margine), dar ni se potrivește doar nouă.
2. Dar cozile au căzut. Bine, hai să o facem din nou. Care este probabilitatea să apară acum? Nimic nu s-a schimbat, totul este la fel. Câte opțiuni? Două. De cât de mult suntem mulțumiți? Unu.

Și lăsați cozile să cadă de cel puțin o mie de ori la rând. Probabilitatea de a cădea capete dintr-o dată va fi aceeași. Există întotdeauna opțiuni, dar favorabile.

Distingerea evenimentelor dependente de evenimentele independente este ușoară:

1. Dacă experimentul este efectuat o dată (odată ce o monedă este aruncată, soneria sună o dată etc.), atunci evenimentele sunt întotdeauna independente.
2. Dacă experimentul este efectuat de mai multe ori (o monedă este aruncată o dată, soneria sună de mai multe ori), atunci primul eveniment este întotdeauna independent. Și apoi, dacă numărul de rezultate favorabile sau numărul tuturor rezultatelor se modifică, atunci evenimentele sunt dependente, iar dacă nu, sunt independente.

Să exersăm puțin pentru a determina probabilitatea.

Exemplul 1

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea de a primi heads-up de două ori la rând?

Soluţie:

Luați în considerare toate opțiunile posibile:

1. vultur vultur
2. vultur cozi
3. cozi-vultur
4. Cozi-cozi

După cum puteți vedea, toate opțiunile. Dintre acestea, doar noi suntem mulțumiți. Aceasta este probabilitatea:

Dacă condiția cere pur și simplu găsirea probabilității, atunci răspunsul trebuie dat ca fracție zecimală. Dacă s-ar indica că răspunsul trebuie dat ca procent, atunci am înmulți cu.

Răspuns:

Exemplul 2

Într-o cutie de ciocolată, toate bomboanele sunt ambalate în același ambalaj. Totuși, din dulciuri - cu nuci, coniac, cireșe, caramel și nuga.

Care este probabilitatea de a lua o bomboană și de a obține o bomboană cu nuci. Dați răspunsul dvs. în procente.

Soluţie:

Câte rezultate posibile există? .

Adică, luând o bomboană, va fi una dintre cele din cutie.

Și câte rezultate favorabile?

Pentru că cutia conține doar ciocolată cu nuci.

Răspuns:

Exemplul 3

Într-o cutie de bile. dintre care sunt albe și negre.

1. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă?
2. Am adăugat mai multe bile negre în cutie. Care este probabilitatea de a extrage o minge albă acum?

Soluţie:

a) În cutie sunt doar bile. dintre care sunt albe.

Probabilitatea este:

b) Acum sunt bile în cutie. Și au mai rămas la fel de mulți albi.

Răspuns:

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

De exemplu, într-o cutie de bile roșii și verzi. Care este probabilitatea de a extrage o minge roșie? Minge verde? Minge rosie sau verde?

Probabilitatea de a extrage o minge roșie

Minge verde:

Minge roșie sau verde:

După cum puteți vedea, suma tuturor evenimentelor posibile este egală cu (). Înțelegerea acestui punct vă va ajuta să rezolvați multe probleme.

Exemplul 4

În cutie sunt pixuri: verde, roșu, albastru, galben, negru.

Care este probabilitatea de a trage NU un marcator roșu?

Soluţie:

Să numărăm numărul rezultate favorabile.

NU un marker roșu, adică verde, albastru, galben sau negru.

Probabilitatea tuturor evenimentelor. Iar probabilitatea unor evenimente pe care le considerăm nefavorabile (când scoatem un pix roșu) este de .

Astfel, probabilitatea de a desena NU un pix roșu este -.

Răspuns:

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Știți deja ce sunt evenimentele independente.

Și dacă trebuie să găsiți probabilitatea ca două (sau mai multe) evenimente independente să aibă loc la rând?

Să presupunem că vrem să știm care este probabilitatea ca, aruncând o monedă o dată, să vedem un vultur de două ori?

Am luat în considerare deja - .

Dacă aruncăm o monedă? Care este probabilitatea de a vedea un vultur de două ori la rând?

Total opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Nu știu despre tine, dar am greșit această listă o dată. Wow! Și singura variantă (prima) ni se potrivește.

Pentru 5 role, puteți face singur o listă cu posibilele rezultate. Dar matematicienii nu sunt la fel de harnici ca tine.

Prin urmare, ei au observat mai întâi și apoi au demonstrat că probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente scade de fiecare dată cu probabilitatea unui eveniment.

Cu alte cuvinte,

Luați în considerare exemplul aceleiași, nefericite monede.

Probabilitatea de a veni cap într-un proces? . Acum aruncăm o monedă.

Care este probabilitatea de a obține cozi la rând?

Această regulă nu funcționează numai dacă ni se cere să găsim probabilitatea ca același eveniment să se producă de mai multe ori la rând.

Dacă am vrea să găsim secvența TAILS-EAGLE-TAILS pe ​​flipuri consecutive, am face același lucru.

Probabilitatea de a obține cozi - , capete - .

Probabilitatea de a obține secvența TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Puteți verifica singur făcând un tabel.

Regula de adunare a probabilităților de evenimente incompatibile.

Așa că oprește-te! Definiție nouă.

Să ne dăm seama. Să luăm moneda noastră uzată și să o întoarcem o dată.
Opțiuni posibile:

1. Vultur-vultur-vultur
2. Cozi-cap-vultur
3. Cap-cozi-vultur
4. Cap-cozi-cozi
5. cozi-vultur-vultur
6. Cozi-capete-cozi
7. Cozi-cozi-capete
8. Cozi-cozi-cozi

Deci aici sunt evenimente incompatibile, aceasta este o anumită secvență dată de evenimente. sunt evenimente incompatibile.

Dacă vrem să stabilim care este probabilitatea a două (sau mai multe) evenimente incompatibile, atunci adăugăm probabilitățile acestor evenimente.

Trebuie să înțelegeți că pierderea unui vultur sau a cozilor este două evenimente independente.

Dacă vrem să determinăm care este probabilitatea ca o secvență să cadă) (sau oricare alta), atunci folosim regula înmulțirii probabilităților.
Care este probabilitatea de a obține cap la prima aruncare și cozi la a doua și a treia?

Dar dacă vrem să știm care este probabilitatea de a obține una dintre mai multe secvențe, de exemplu, când apare capul exact o dată, i.e. opțiuni și, atunci trebuie să adăugăm probabilitățile acestor secvențe.

Opțiunile totale ni se potrivesc.

Putem obține același lucru prin adunarea probabilităților de apariție a fiecărei secvențe:

Astfel, adăugăm probabilități atunci când dorim să determinăm probabilitatea unor secvențe de evenimente incompatibile.

Există o regulă grozavă care vă ajută să nu vă încurcați când să înmulțiți și când să adăugați:

Să ne întoarcem la exemplul în care am aruncat o monedă de ori și vrem să știm probabilitatea de a vedea capete o dată.
Ce se va întâmpla?

Ar trebui să scadă:
(capete ŞI cozi ŞI cozi) SAU (cozi ŞI capete ŞI cozi) SAU (cozi ŞI cozi ŞI capete).
Și așa rezultă:

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 5

Sunt creioane în cutie. roșu, verde, portocaliu și galben și negru. Care este probabilitatea de a desena creioane roșii sau verzi?

Soluţie:

Ce se va întâmpla? Trebuie să scoatem (roșu SAU verde).

Acum este clar, adunăm probabilitățile acestor evenimente:

Răspuns:

Exemplul 6

Un zar este aruncat de două ori, care este probabilitatea ca un total de 8 să apară?

Soluţie.

Cum putem obține puncte?

(și) sau (și) sau (și) sau (și) sau (și).

Probabilitatea de a cădea dintr-o (orice) față este de .

Calculăm probabilitatea:

Răspuns:

A face exerciţii fizice.

Cred că acum v-a devenit clar când trebuie să numărați probabilitățile, când să le adăugați și când să le înmulțiți. Nu-i asa? Hai să facem niște exerciții.

Sarcini:

Să luăm un pachet de cărți în care cărțile sunt pică, inimi, 13 bâte și 13 tamburine. De la Asul fiecarui costum.

1. Care este probabilitatea de a extrage crose la rând (punem prima carte extrasă înapoi în pachet și amestecăm)?
2. Care este probabilitatea de a extrage o carte neagră (piccă sau bâte)?
3. Care este probabilitatea de a face o imagine (joc, regină, rege sau as)?
4. Care este probabilitatea de a extrage două imagini la rând (înlăturăm prima carte extrasă din pachet)?
5. Care este probabilitatea, luând două cărți, de a colecta o combinație - (Jack, Queen sau King) și As. Secvența în care vor fi extrase cărțile nu contează.

Raspunsuri:

1. Într-un pachet de cărți de fiecare valoare, înseamnă:
2. Evenimentele sunt dependente, deoarece după prima carte extrasă, numărul de cărți din pachet a scăzut (la fel și numărul de „imagini”). Total de valeți, dame, regi și ași în pachet inițial, ceea ce înseamnă probabilitatea de a extrage „imaginea” cu prima carte:

   Deoarece scoatem prima carte din pachet, înseamnă că a mai rămas deja o carte în pachet, din care există imagini. Probabilitatea de a desena o imagine cu a doua carte:

   Deoarece suntem interesați de situația când ajungem de pe punte: „imagine” ȘI „imagine”, atunci trebuie să înmulțim probabilitățile:

   Răspuns:

3. După ce prima carte este extrasă, numărul de cărți din pachet va scădea, astfel avem două opțiuni:
   1) Cu prima carte scoatem As, a doua - vale, dama sau rege
   2) Cu prima carte scoatem un vale, dama sau rege, a doua - un as. (as și (jack sau regina sau rege)) sau ((jack sau regina sau rege) și as). Nu uita de reducerea numărului de cărți din pachet!

Dacă ai reușit să rezolvi singur toate problemele, atunci ești un om grozav! Acum, sarcinile pe teoria probabilității în examen veți face clic ca nuci!

TEORIA PROBABILITĂȚII. NIVEL MEDIU

Luați în considerare un exemplu. Să zicem că aruncăm un zar. Ce fel de os este acesta, știi? Acesta este numele unui cub cu numere pe fețe. Câte fețe, atâtea numere: de la la câte? Inainte de.

Așa că aruncăm un zar și vrem să vină cu un sau. Și cădem.

În teoria probabilității ei spun ce s-a întâmplat eveniment favorabil(a nu se confunda cu bine).

Dacă ar cădea, evenimentul ar fi, de asemenea, de bun augur. În total, pot apărea doar două evenimente favorabile.

Câte rele? Deoarece toate evenimentele posibile, atunci cele nefavorabile dintre ele sunt evenimente (acest lucru este dacă cade sau).

Definiție:

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.. Adică, probabilitatea arată ce proporție dintre toate evenimentele posibile sunt favorabile.

Probabilitatea este notată printr-o literă latină (aparent, din cuvânt englezesc probabilitate – probabilitate).

Se obișnuiește să se măsoare probabilitatea ca procent (vezi subiectele și). Pentru a face acest lucru, valoarea probabilității trebuie înmulțită cu. În exemplul cu zaruri, probabilitatea.

Și în procente: .

Exemple (decideți singur):

1. Care este probabilitatea ca aruncarea unei monede să cadă pe capete? Și care este probabilitatea unei cozi?
2. Care este probabilitatea ca un număr par să apară atunci când este aruncat un zar? Și cu ce - ciudat?
3. Într-un sertar de creioane simple, albastre și roșii. Desenăm la întâmplare un creion. Care este probabilitatea de a scoate unul simplu?

Solutii:

1. Câte opțiuni există? Capete și cozi - doar două. Și câte dintre ele sunt favorabile? Doar unul este un vultur. Deci probabilitatea

   La fel cu cozile: .

2. Opțiuni totale: (câte laturi are un cub, atât de multe opțiuni diferite). Cele favorabile: (acestea sunt toate numere pare :).
   Probabilitate. Cu ciudat, desigur, același lucru.
3. Total: . Favorabil: . Probabilitate: .

Probabilitate deplină

Toate creioanele din sertar sunt verzi. Care este probabilitatea de a desena un creion roșu? Nu există șanse: probabilitate (la urma urmei, evenimente favorabile -).

Un astfel de eveniment se numește imposibil.

Care este probabilitatea de a desena un creion verde? Există exact la fel de multe evenimente favorabile câte evenimente totale (toate evenimentele sunt favorabile). Deci probabilitatea este sau.

Un astfel de eveniment se numește cert.

Dacă în cutie sunt creioane verzi și roșii, care este probabilitatea de a desena unul verde sau unul roșu? Încă o dată. Rețineți următorul lucru: probabilitatea de a trage verde este egală, iar roșu este .

În concluzie, aceste probabilități sunt exact egale. Acesta este, suma probabilităților tuturor evenimentelor posibile este egală cu sau.

Exemplu:

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a nu trage verde?

Soluţie:

Amintiți-vă că toate probabilitățile se adună. Și probabilitatea de a trage verde este egală. Aceasta înseamnă că probabilitatea de a nu trage verde este egală.

Amintiți-vă acest truc: Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Evenimente independente și regula înmulțirii

Arunci o monedă de două ori și vrei să iasă capul de ambele ori. Care este probabilitatea asta?

Să trecem prin toate opțiunile posibile și să stabilim câte sunt:

Vultur-Vultur, Cozi-Vultur, Cozi-vultur, Cozi-Cozi. Ce altceva?

Toată varianta. Dintre acestea, doar unul ni se potrivește: Vulturul-Vultur. Deci, probabilitatea este egală.

Bun. Acum hai să aruncăm o monedă. Numără-te. S-a întâmplat? (Răspuns).

Poate ați observat că, odată cu adăugarea fiecărei aruncări următoare, probabilitatea scade cu un factor. Regula generală se numește regula înmulțirii:

Probabilitățile de evenimente independente se modifică.

Ce sunt evenimentele independente? Totul este logic: acestea sunt cele care nu depind unul de celălalt. De exemplu, când aruncăm o monedă de mai multe ori, de fiecare dată când se face o nouă aruncare, rezultatul căruia nu depinde de toate aruncările anterioare. Cu același succes, putem arunca două monede diferite în același timp.

Mai multe exemple:

1. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca acesta să apară de ambele ori?
2. O monedă este aruncată de ori. Care este probabilitatea de a primi cap mai întâi și apoi cozi de două ori?
3. Jucătorul aruncă două zaruri. Care este probabilitatea ca suma numerelor de pe ele să fie egală?

Raspunsuri:

1. Evenimentele sunt independente, ceea ce înseamnă că regula înmulțirii funcționează: .
2. Probabilitatea unui vultur este egală. Probabilitatea de cozi de asemenea. Înmulțim:
3. 12 poate fi obținut numai dacă cad două -ki: .

Evenimente incompatibile și regula adunării

Evenimentele incompatibile sunt evenimente care se completează unul pe altul la probabilitate deplină. După cum sugerează și numele, acestea nu pot avea loc în același timp. De exemplu, dacă aruncăm o monedă, fie capete, fie cozi pot cădea.

Exemplu.

Într-o cutie de creioane, printre ele sunt albastru, roșu, verde, simplu, galben, iar restul sunt portocalii. Care este probabilitatea de a trage verde sau roșu?

Soluție.

Probabilitatea de a desena un creion verde este egală. Roșu - .

Evenimente de bun augur pentru toate: verde + roșu. Deci probabilitatea de a desena verde sau roșu este egală.

Aceeași probabilitate poate fi reprezentată sub următoarea formă: .

Aceasta este regula de adunare: se adună probabilitățile de evenimente incompatibile.

Sarcini mixte

Exemplu.

Moneda este aruncată de două ori. Care este probabilitatea ca rezultatul aruncărilor să fie diferit?

Soluție.

Aceasta înseamnă că, dacă capetele apar pe primul loc, cozile ar trebui să fie pe locul doi și invers. Se pare că aici există două perechi de evenimente independente, iar aceste perechi sunt incompatibile între ele. Cum să nu fii confuz cu privire la unde să înmulți și unde să adaugi.

Există o regulă simplă pentru astfel de situații. Încercați să descrie ce ar trebui să se întâmple conectând evenimentele cu sindicatele „ȘI” sau „SAU”. De exemplu, în acest caz:

Trebuie să se rostogolească (capete și cozi) sau (cozi și capete).

Acolo unde există o uniune „și”, va exista înmulțire, iar unde „sau” este adunare:

Incearca-l tu insuti:

1. Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să apară de două ori cu aceeași față?
2. Un zar este aruncat de două ori. Care este probabilitatea ca suma să scadă puncte?

Solutii:

1. (Capul sus și capul sus) sau (cozile sus și coada sus): .
2. Care sunt optiunile? și. Apoi:
   Rulate (și) sau (și) sau (și): .

Alt exemplu:

Aruncăm o monedă o dată. Care este probabilitatea ca capetele să apară măcar o dată?

Soluţie:

Oh, cum nu vreau să triez opțiunile... Cap-cozi-cozi, vultur-capete-cozi, ... Dar nu trebuie! Să vorbim despre probabilitatea completă. Amintit? Care este probabilitatea ca vulturul nu va scădea niciodată? Este simplu: cozile zboară tot timpul, adică.

TEORIA PROBABILITĂȚII. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Probabilitatea este raportul dintre numărul de evenimente favorabile și numărul tuturor evenimentelor posibile.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă apariția unuia nu modifică probabilitatea ca celălalt să se producă.

Probabilitate deplină

Probabilitatea tuturor evenimentelor posibile este ().

Probabilitatea ca un eveniment să nu se producă este minus probabilitatea ca evenimentul să se producă.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente

Probabilitatea unei anumite secvențe de evenimente independente este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre evenimente.

Evenimente incompatibile

Evenimentele incompatibile sunt acele evenimente care nu pot avea loc simultan ca urmare a unui experiment. O serie de evenimente incompatibile formează un grup complet de evenimente.

Probabilitățile de evenimente incompatibile se adună.

După ce am descris ce ar trebui să se întâmple, folosind uniunile „ȘI” sau „SAU”, în loc de „ȘI” punem semnul înmulțirii, iar în loc de „SAU” - adunarea.

RĂMĂSUL DE 2/3 ARTICOLE SUNT DISPONIBILE NUMAI STUDENTILOR YOUCLEVER!

Deveniți student la YouClever,

Pregătește-te pentru OGE sau USE în matematică la prețul „o ceașcă de cafea pe lună”,

Și, de asemenea, obțineți acces nelimitat la manualul „YouClever”, programul de pregătire „100gia” (rechebnik), nelimitat examen de probăși OGE, 6000 de sarcini cu analiza soluțiilor și la alte servicii YouClever și 100gia.