Probleme privind determinarea clasică a probabilității. Tipuri de evenimente, calcul direct al probabilității de apariție a unui eveniment Probabilitatea unui eveniment ca procent

„Accidentele nu sunt întâmplătoare”... Pare ceva ce a spus un filozof, dar, de fapt, studierea aleatoriei este destinul marii științe a matematicii. În matematică, șansa este tratată de teoria probabilității. Formule și exemple de sarcini, precum și definițiile de bază ale acestei științe vor fi prezentate în articol.

Ce este teoria probabilității?

Teoria probabilității este una dintre disciplinele matematice care studiază evenimentele aleatoare.

Pentru a fi puțin mai clar, să dăm un mic exemplu: dacă aruncați o monedă în sus, aceasta poate ateriza în cap sau coadă. În timp ce moneda este în aer, ambele probabilități sunt posibile. Adică probabilitatea consecințe posibile raportul este de 1:1. Dacă se extrage una dintr-un pachet de 36 de cărți, atunci probabilitatea va fi indicată ca 1:36. S-ar părea că aici nu este nimic de explorat și de prezis, mai ales cu ajutorul formulelor matematice. Cu toate acestea, dacă repeți o anumită acțiune de multe ori, poți identifica un anumit tipar și, pe baza acestuia, poți prezice rezultatul evenimentelor în alte condiții.

Pentru a rezuma toate cele de mai sus, teoria probabilității în înțelegere clasică studiază posibilitatea ca unul dintre evenimentele posibile să se producă într-o valoare numerică.

Din paginile istoriei

Teoria probabilității, formulele și exemplele primelor sarcini au apărut în îndepărtatul Ev Mediu, când au apărut pentru prima dată încercările de a prezice rezultatul jocurilor de cărți.

Inițial, teoria probabilității nu avea nimic de-a face cu matematica. A fost justificată prin fapte empirice sau proprietăți ale unui eveniment care putea fi reprodus în practică. Primele lucrări în acest domeniu ca disciplină matematică au apărut în secolul al XVII-lea. Fondatorii au fost Blaise Pascal și Pierre Fermat. Perioadă lungă de timp au studiat jocuri de norocși au văzut anumite modele, despre care au decis să spună publicului.

Aceeași tehnică a fost inventată de Christiaan Huygens, deși nu era familiarizat cu rezultatele cercetărilor lui Pascal și Fermat. Conceptul de „teoria probabilității”, formule și exemple, care sunt considerate primele din istoria disciplinei, au fost introduse de el.

Lucrările lui Jacob Bernoulli, teoremele lui Laplace și ale lui Poisson au, de asemenea, o importanță nu mică. Ei au făcut teoria probabilității mai mult ca o disciplină matematică. Teoria probabilității, formulele și exemplele de sarcini de bază și-au primit forma actuală datorită axiomelor lui Kolmogorov. Ca urmare a tuturor schimbărilor, teoria probabilității a devenit una dintre ramurile matematice.

Concepte de bază ale teoriei probabilităților. Evenimente

Conceptul principal al acestei discipline este „eveniment”. Există trei tipuri de evenimente:

• De încredere. Cele care se vor întâmpla oricum (moneda va cădea).
• Imposibil. Evenimente care nu se vor întâmpla sub nicio formă (moneda va rămâne în aer).
• Aleatoriu. Cele care se vor întâmpla sau nu se vor întâmpla. Ele pot fi influențate de diverși factori care sunt foarte greu de prezis. Dacă vorbim despre o monedă, atunci există factori aleatori care pot afecta rezultatul: caracteristicile fizice ale monedei, forma acesteia, poziția inițială, forța aruncării etc.

Toate evenimentele din exemple sunt indicate cu majuscule latine, cu excepția lui P, care are un rol diferit. De exemplu:

• A = „elevii au venit la prelegere”.
• Ā = „elevii nu au venit la curs.”

În sarcinile practice, evenimentele sunt de obicei scrise în cuvinte.

Una dintre cele mai importante caracteristici ale evenimentelor este posibilitatea lor egală. Adică, dacă arunci o monedă, toate variantele căderii inițiale sunt posibile până când aceasta cade. Dar evenimentele nu sunt la fel de posibile. Acest lucru se întâmplă atunci când cineva influențează în mod deliberat un rezultat. De exemplu, cărți de joc sau zaruri „marcate”, în care centrul de greutate este deplasat.

Evenimentele pot fi, de asemenea, compatibile și incompatibile. Evenimentele compatibile nu se exclud reciproc. De exemplu:

• A = „studentul a venit la curs”.
• B = „studentul a venit la curs”.

Aceste evenimente sunt independente unele de altele, iar apariția unuia dintre ele nu afectează apariția celuilalt. Evenimentele incompatibile sunt definite prin faptul că apariția unuia exclude apariția altuia. Dacă vorbim despre aceeași monedă, atunci pierderea „cozilor” face imposibilă apariția „capetelor” în același experiment.

Acțiuni pe evenimente

Evenimentele pot fi multiplicate și adăugate în consecință, în disciplină sunt introduse conexiuni logice „ȘI” și „SAU”.

Suma este determinată de faptul că fie evenimentul A sau B, fie două, pot apărea simultan. Dacă sunt incompatibile, ultima opțiune este imposibilă fie A sau B;

Înmulțirea evenimentelor constă în apariția lui A și B în același timp.

Acum putem da mai multe exemple pentru a ne aminti mai bine elementele de bază, teoria probabilității și formulele. Exemple de rezolvare a problemelor de mai jos.

Exercitiul 1: Compania participă la un concurs pentru a primi contracte pentru trei tipuri de lucrări. Evenimente posibile care pot apărea:

• A = „firma va primi primul contract”.
• A 1 = „firma nu va primi primul contract.”
• B = „firma va primi un al doilea contract”.
• B 1 = „firma nu va primi un al doilea contract”
• C = „firma va primi un al treilea contract”.
• C 1 = „firma nu va primi un al treilea contract”.

Folosind acțiuni pe evenimente, vom încerca să exprimăm următoarele situații:

• K = „compania va primi toate contractele”.

În formă matematică, ecuația va avea următoarea formă: K = ABC.

• M = „compania nu va primi un singur contract.”

M = A 1 B 1 C 1.

Să complicăm sarcina: H = „compania va primi un contract”. Deoarece nu se știe ce contract va primi compania (primul, al doilea sau al treilea), este necesar să se înregistreze întreaga gamă de evenimente posibile:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Iar 1 BC 1 este o serie de evenimente în care firma nu primește primul și al treilea contract, ci primește al doilea. Alte evenimente posibile au fost înregistrate folosind metoda adecvată. Simbolul υ în disciplină denotă conjunctivul „SAU”. Dacă traducem exemplul de mai sus în limbaj uman, compania va primi fie al treilea contract, fie al doilea, fie primul. În mod similar, puteți nota și alte condiții la disciplina „Teoria probabilității”. Formulele și exemplele de rezolvare a problemelor prezentate mai sus vă vor ajuta să faceți acest lucru singur.

De fapt, probabilitatea

Poate că, în această disciplină matematică, probabilitatea unui eveniment este concept central. Există 3 definiții ale probabilității:

• clasic;
• statistic;
• geometric.

Fiecare își are locul în studiul probabilității. Teoria probabilității, formulele și exemplele (clasa a IX-a) folosesc în principal definiția clasică, care sună astfel:

• Probabilitatea situației A este egală cu raportul dintre numărul de rezultate care favorizează apariția acesteia și numărul tuturor rezultatelor posibile.

Formula arată astfel: P(A)=m/n.

A este de fapt un eveniment. Dacă apare un caz opus lui A, acesta poate fi scris ca  sau A 1 .

m este numărul de cazuri favorabile posibile.

n - toate evenimentele care se pot întâmpla.

De exemplu, A = „trageți o carte din culoarea inimii”. Există 36 de cărți într-un pachet standard, 9 dintre ele sunt de inimi. În consecință, formula pentru rezolvarea problemei va arăta astfel:

P(A)=9/36=0,25.

Ca urmare, probabilitatea ca o carte cu culoarea inimii să fie extrasă din pachet va fi de 0,25.

Spre matematica superioara

Acum a devenit puțin cunoscut ce este teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor care apar în curiculumul scolar. Cu toate acestea, teoria probabilității se găsește și în matematica superioară, care este predată în universități. Cel mai adesea ele operează cu geometrice și definiţii statistice teorii și formule complexe.

Teoria probabilității este foarte interesantă. Este mai bine să începeți să studiați formule și exemple (matematică superioară) mici - cu definiția statistică (sau frecvență) a probabilității.

Abordarea statistică nu o contrazice pe cea clasică, ci o extinde ușor. Dacă în primul caz a fost necesar să se determine cu ce probabilitate va avea loc un eveniment, atunci în această metodă este necesar să se indice cât de des va avea loc. Aici este introdus un nou concept de „frecvență relativă”, care poate fi notat cu W n (A). Formula nu este diferită de cea clasică:

Dacă formula clasică este calculată pentru predicție, atunci cea statistică este calculată în funcție de rezultatele experimentului. Să luăm, de exemplu, o mică sarcină.

Departamentul de control tehnologic verifică calitatea produselor. Dintre 100 de produse, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Cum să găsiți probabilitatea de frecvență a unui produs de calitate?

A = „aspectul unui produs de calitate”.

Wn (A)=97/100=0,97

Astfel, frecvența unui produs de calitate este de 0,97. De unde ai luat 97? Din 100 de produse care au fost verificate, 3 s-au dovedit a fi de proastă calitate. Scădem 3 din 100, obținem 97, aceasta este cantitatea de bunuri de calitate.

Un pic despre combinatorie

O altă metodă de teorie a probabilității se numește combinatorică. Principiul său de bază este că dacă o anumită alegere A poate fi făcută m căi diferite, iar alegerea lui B este în n moduri diferite, atunci alegerea lui A și B se poate face prin înmulțire.

De exemplu, există 5 drumuri care duc de la orașul A la orașul B. Există 4 căi de la orașul B la orașul C. În câte moduri poți ajunge din orașul A în orașul C?

Este simplu: 5x4=20, adică în douăzeci de moduri diferite poți ajunge de la punctul A la punctul C.

Să complicăm sarcina. Câte moduri există de a așeza cărți în solitaire? Există 36 de cărți în pachet - acesta este punctul de plecare. Pentru a afla numărul de moduri, trebuie să „scădeți” câte o carte din punctul de plecare și să înmulțiți.

Adică 36x35x34x33x32...x2x1= rezultatul nu se potrivește pe ecranul calculatorului, așa că poate fi desemnat pur și simplu 36!. Semn "!" lângă număr indică faptul că întreaga serie de numere este înmulțită împreună.

În combinatorică există concepte precum permutarea, plasarea și combinarea. Fiecare dintre ele are propria sa formulă.

O mulțime ordonată de elemente ale unei mulțimi se numește aranjament. Plasările pot fi repetate, adică un element poate fi folosit de mai multe ori. Și fără repetare, când elementele nu se repetă. n sunt toate elementele, m sunt elemente care participă la plasare. Formula de plasare fără repetare va arăta astfel:

A n m =n!/(n-m)!

Conexiunile a n elemente care diferă numai în ordinea plasării se numesc permutări. La matematică arată astfel: P n = n!

Combinațiile de n elemente ale lui m sunt acele compuși în care este important ce elemente au fost și care este numărul lor total. Formula va arăta astfel:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula lui Bernoulli

În teoria probabilității, precum și în fiecare disciplină, există lucrări ale unor cercetători remarcabili în domeniul lor care au adus-o la nou nivel. Una dintre aceste lucrări este formula Bernoulli, care vă permite să determinați probabilitatea ca un anumit eveniment să se producă în condiții independente. Acest lucru sugerează că apariția lui A într-un experiment nu depinde de apariția sau neapariția aceluiași eveniment în încercările anterioare sau ulterioare.

Ecuația lui Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Probabilitatea (p) de apariție a evenimentului (A) este constantă pentru fiecare încercare. Probabilitatea ca situația să apară exact de m ori în n număr de experimente va fi calculată prin formula prezentată mai sus. În consecință, se pune întrebarea cum să aflați numărul q.

Dacă evenimentul A are loc de p de ori, în consecință, este posibil să nu apară. Unitatea este un număr care este folosit pentru a desemna toate rezultatele unei situații dintr-o disciplină. Prin urmare, q este un număr care denotă posibilitatea ca un eveniment să nu se producă.

Acum știți formula lui Bernoulli (teoria probabilității). Vom lua în considerare mai jos exemple de rezolvare a problemelor (primul nivel).

Sarcina 2: Un vizitator al magazinului va face o achiziție cu probabilitate de 0,2. 6 vizitatori au intrat independent în magazin. Care este probabilitatea ca un vizitator să facă o achiziție?

Soluție: Deoarece nu se știe câți vizitatori ar trebui să facă o achiziție, unul sau toți șase, este necesar să se calculeze toate probabilitățile posibile folosind formula Bernoulli.

A = „vizitatorul va face o achiziție”.

În acest caz: p = 0,2 (după cum este indicat în sarcină). În consecință, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (deoarece sunt 6 clienți în magazin). Numărul m va varia de la 0 (nici un singur client nu va face o achiziție) la 6 (toți vizitatorii magazinului vor cumpăra ceva). Drept urmare, obținem soluția:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Niciunul dintre cumpărători nu va face o achiziție cu probabilitatea 0,2621.

Cum altfel se folosește formula lui Bernoulli (teoria probabilității)? Exemple de rezolvare a problemelor (nivelul doi) de mai jos.

După exemplul de mai sus, apar întrebări despre unde au mers C și r. Raportat la p, un număr cu puterea lui 0 va fi egal cu unu. În ceea ce privește C, acesta poate fi găsit prin formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Deoarece în primul exemplu m = 0, respectiv, C = 1, ceea ce în principiu nu afectează rezultatul. Folosind noua formulă, să încercăm să aflăm care este probabilitatea ca doi vizitatori să cumpere bunuri.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria probabilității nu este atât de complicată. Formula lui Bernoulli, dintre care exemple sunt prezentate mai sus, este o dovadă directă în acest sens.

formula lui Poisson

Ecuația lui Poisson este utilizată pentru a calcula situații aleatoare cu probabilitate scăzută.

Formula de baza:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ).

În acest caz λ = n x p. Iată o formulă simplă Poisson (teoria probabilității). Vom lua în considerare exemple de rezolvare a problemelor mai jos.

Sarcina 3: Fabrica a produs 100.000 de piese. Apariția unei piese defecte = 0,0001. Care este probabilitatea ca într-un lot să fie 5 piese defecte?

După cum puteți vedea, căsătoria este un eveniment puțin probabil și, prin urmare, formula Poisson (teoria probabilității) este utilizată pentru calcul. Exemplele de rezolvare a problemelor de acest fel nu sunt diferite de alte sarcini din disciplină, înlocuim datele necesare în formula dată:

A = „o piesă selectată aleatoriu va fi defectă”.

p = 0,0001 (conform condițiilor sarcinii).

n = 100000 (număr de piese).

m = 5 (piese defecte). Inlocuim datele in formula si obtinem:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

La fel ca formula Bernoulli (teoria probabilității), exemple de soluții care sunt scrise mai sus, ecuația Poisson are un e necunoscut. De fapt, poate fi găsită prin formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Cu toate acestea, există tabele speciale care conțin aproape toate valorile lui e.

Teorema lui De Moivre-Laplace

Dacă în schema Bernoulli numărul de încercări este suficient de mare, iar probabilitatea de apariție a evenimentului A în toate schemele este aceeași, atunci probabilitatea de apariție a evenimentului A de un anumit număr de ori într-o serie de teste poate fi găsită prin Formula lui Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Pentru a vă aminti mai bine formula lui Laplace (teoria probabilității), mai jos sunt exemple de probleme pentru a vă ajuta.

Mai întâi, să găsim X m, să înlocuim datele (toate sunt enumerate mai sus) în formulă și să obținem 0,025. Folosind tabele, găsim numărul ϕ(0,025), a cărui valoare este 0,3988. Acum puteți înlocui toate datele în formula:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Astfel, probabilitatea ca fluturașul să funcționeze exact de 267 de ori este de 0,03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teoria probabilității), exemple de rezolvare a problemelor cu ajutorul cărora vor fi date mai jos, este o ecuație care descrie probabilitatea unui eveniment pe baza împrejurărilor care i-ar putea fi asociate. Formula de bază este următoarea:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A și B sunt evenimente determinate.

P(A|B) este o probabilitate condiționată, adică evenimentul A poate avea loc cu condiția ca evenimentul B să fie adevărat.

P (B|A) - probabilitatea condiționată a evenimentului B.

Deci, partea finală a cursului scurt „Teoria probabilității” este formula Bayes, exemple de soluții la probleme cu care sunt mai jos.

Sarcina 5: La depozit au fost aduse telefoane de la trei firme. În același timp, ponderea telefoanelor care sunt fabricate la prima fabrică este de 25%, la a doua - 60%, la a treia - 15%. De asemenea, se știe că procentul mediu de produse defecte la prima fabrică este de 2%, la a doua - 4%, iar la a treia - 1%. Trebuie să găsiți probabilitatea ca un telefon selectat aleatoriu să fie defect.

A = „telefon ales aleatoriu”.

B 1 - telefonul pe care l-a produs prima fabrică. În consecință, vor apărea B 2 și B 3 introductive (pentru a doua și a treia fabrică).

Ca rezultat obținem:

P (B1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - astfel am găsit probabilitatea fiecărei opțiuni.

Acum trebuie să găsiți probabilitățile condiționate ale evenimentului dorit, adică probabilitatea de produse defecte în companii:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Acum să înlocuim datele în formula Bayes și să obținem:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Articolul prezintă teoria probabilității, formule și exemple de rezolvare a problemelor, dar acesta este doar vârful aisbergului unei discipline vaste. Și după tot ce a fost scris, va fi logic să ne punem întrebarea dacă teoria probabilității este necesară în viață. Omul de rând Este greu de răspuns, este mai bine să întrebi pe cineva care a folosit-o să câștige jackpot-ul de mai multe ori.

Este puțin probabil ca mulți oameni să se gândească dacă este posibil să se calculeze evenimente care sunt mai mult sau mai puțin aleatorii. Să-l puneți pur și simplu în cuvinte simple, este cu adevărat posibil să știi care parte a cubului va apărea data viitoare? Aceasta a fost întrebarea pe care și-au pus-o doi mari oameni de știință, care au pus bazele unei astfel de științe precum teoria probabilității, în care probabilitatea unui eveniment este studiată destul de amplu.

Origine

Dacă încercați să definiți un astfel de concept ca teoria probabilității, veți obține următoarele: aceasta este una dintre ramurile matematicii care studiază constanța evenimentelor aleatoare. Desigur, acest concept nu dezvăluie cu adevărat întreaga esență, așa că este necesar să îl luăm în considerare mai detaliat.

Aș vrea să încep cu creatorii teoriei. După cum am menționat mai sus, au fost doi dintre ei și au fost unul dintre primii care au încercat să calculeze rezultatul unui eveniment sau al unuia folosind formule și calcule matematice. În general, începuturile acestei științe au apărut în Evul Mediu. La acea vreme, diverși gânditori și oameni de știință au încercat să analizeze jocurile de noroc, cum ar fi ruleta, zarurile și așa mai departe, stabilind astfel tiparul și procentul căderii unui anumit număr. Fundația a fost pusă în secolul al XVII-lea de oamenii de știință menționați mai sus.

La început, lucrările lor nu puteau fi considerate mari realizări în acest domeniu, deoarece tot ce au făcut au fost pur și simplu fapte empirice, iar experimentele au fost efectuate vizual, fără a folosi formule. De-a lungul timpului, a fost posibil să se obțină rezultate grozave, care au apărut ca urmare a observării aruncării zarurilor. Acesta a fost instrumentul care a ajutat la derivarea primelor formule inteligibile.

Oameni cu aceeasi gandire

Este imposibil să nu menționăm o astfel de persoană ca Christiaan Huygens în procesul de studiu a unui subiect numit „teoria probabilității” (probabilitatea unui eveniment este acoperită tocmai în această știință). Această persoană este foarte interesantă. El, ca și oamenii de știință prezentați mai sus, a încercat să derive tiparul evenimentelor aleatorii sub formă de formule matematice. Este de remarcat că nu a făcut acest lucru împreună cu Pascal și Fermat, adică toate lucrările sale nu s-au intersectat cu aceste minți. a dedus Huygens

Un fapt interesant este că munca sa a apărut cu mult înainte de rezultatele muncii descoperitorilor, sau mai degrabă, cu douăzeci de ani mai devreme. Dintre conceptele identificate, cele mai cunoscute sunt:

• conceptul de probabilitate ca valoare a hazardului;
• așteptări matematice pentru cazuri discrete;
• teoreme ale înmulțirii și adunării probabilităților.

De asemenea, este imposibil să nu ne amintim cine a avut și o contribuție semnificativă la studiul problemei. Efectuându-și propriile teste, independent de oricine, a putut prezenta o dovadă a legii numerelor mari. La rândul lor, oamenii de știință Poisson și Laplace, care au lucrat la începutul secolului al XIX-lea, au reușit să demonstreze teoremele originale. Din acest moment, teoria probabilității a început să fie folosită pentru a analiza erorile din observații. Oamenii de știință ruși, sau mai degrabă Markov, Cebyshev și Dyapunov, nu au putut ignora această știință. Ei, pe baza muncii făcute de mari genii, s-au asigurat Acest obiect ca ramură a matematicii. Aceste cifre au funcționat deja la sfârșitul secolului al XIX-lea și, datorită contribuției lor, s-au dovedit următoarele fenomene:

• legea numerelor mari;
• teoria lanțului Markov;
• teorema limitei centrale.

Deci, cu istoria nașterii științei și cu principalii oameni care au influențat-o, totul este mai mult sau mai puțin clar. Acum a sosit momentul să clarificăm toate faptele.

Noțiuni de bază

Înainte de a atinge legi și teoreme, merită să studiezi conceptele de bază ale teoriei probabilităților. Evenimentul joacă un rol principal în el. Acest subiect destul de voluminos, dar fără el nu va fi posibil să înțelegeți totul.

Un eveniment în teoria probabilității este orice set de rezultate ale unui experiment. Există destul de multe concepte ale acestui fenomen. Astfel, omul de știință Lotman, care lucrează în acest domeniu, a spus că în acest caz despre care vorbim despre ceea ce „s-a întâmplat, deși s-ar putea să nu se fi întâmplat”.

Evenimentele aleatoare (teoria probabilității le acordă o atenție deosebită) este un concept care implică absolut orice fenomen care are posibilitatea să se producă. Sau, dimpotrivă, acest scenariu s-ar putea să nu se întâmple dacă sunt îndeplinite multe condiții. De asemenea, merită să știți că evenimentele aleatoare surprind întregul volum de fenomene care au avut loc. Teoria probabilității indică faptul că toate condițiile pot fi repetate în mod constant. Conduita lor este numită „experiență” sau „test”.

Un eveniment de încredere este un fenomen care are o probabilitate sută la sută să se întâmple într-un anumit test. Prin urmare, un eveniment imposibil este unul care nu se va întâmpla.

Combinația unei perechi de acțiuni (condiționat, cazul A și cazul B) este un fenomen care are loc simultan. Ele sunt desemnate ca AB.

Suma perechilor de evenimente A și B este C, cu alte cuvinte, dacă se întâmplă cel puțin unul dintre ele (A sau B), atunci C se va obține formula pentru fenomenul descris după cum urmează: C = A + B.

Evenimentele incongruente în teoria probabilității implică faptul că două cazuri se exclud reciproc. Sub nicio formă nu se pot întâmpla în același timp. Evenimentele comune în teoria probabilității sunt antipodul lor. Ceea ce se înțelege aici este că dacă A s-a întâmplat, atunci nu îl împiedică pe B în niciun fel.

Evenimentele opuse (teoria probabilității le consideră în detaliu) sunt ușor de înțeles. Cel mai bun mod de a le înțelege este prin comparație. Sunt aproape la fel ca evenimentele incompatibile din teoria probabilității. Dar diferența lor constă în faptul că unul dintre multele fenomene trebuie să se întâmple în orice caz.

Evenimente la fel de probabile sunt acele acțiuni a căror repetare este egală. Pentru a fi mai clar, vă puteți imagina că aruncați o monedă: pierderea uneia dintre părțile sale este la fel de probabil să cadă din cealaltă.

Este mai ușor să luați în considerare un eveniment de bun augur cu un exemplu. Să presupunem că există un episod B și un episod A. Primul este o aruncare zaruri cu apariția unui număr impar, iar al doilea este apariția numărului cinci pe zar. Apoi se dovedește că A îl favorizează pe B.

Evenimente independenteîn teoria probabilităților ele sunt proiectate doar pe două sau mai multe cazuri și implică independența oricărei acțiuni față de alta. De exemplu, A este pierderea capetelor la aruncarea unei monede, iar B este extragerea unui cric de pe punte. Sunt evenimente independente în teoria probabilității. În acest moment a devenit mai clar.

Evenimentele dependente în teoria probabilității sunt, de asemenea, permise numai pentru un set dintre ele. Ele implică dependența unuia de celălalt, adică fenomenul B poate apărea numai dacă A s-a întâmplat deja sau, dimpotrivă, nu s-a întâmplat, când aceasta este condiția principală pentru B.

Rezultatul unui experiment aleatoriu constând dintr-o componentă este evenimente elementare. Teoria probabilității explică că acesta este un fenomen care s-a întâmplat o singură dată.

Formule de bază

Deci, conceptele de „eveniment” și „teoria probabilității” au fost discutate mai sus, a fost dată și o definiție a termenilor de bază ai acestei științe. Acum este timpul să vă familiarizați direct cu formule importante. Aceste expresii confirmă matematic toate conceptele principale dintr-un subiect atât de complex precum teoria probabilității. Probabilitatea unui eveniment joacă un rol important și aici.

Este mai bine să începeți cu cele de bază și înainte de a începe cu ele, merită să luați în considerare care sunt.

Combinatoria este în primul rând o ramură a matematicii, se ocupă cu studiul unui număr mare de numere întregi, precum și cu diverse permutări atât ale numerelor în sine, cât și ale elementelor lor, diferite date etc., ducând la apariția unui număr de combinații. Pe lângă teoria probabilității, această ramură este importantă pentru statistică, informatică și criptografie.

Deci, acum putem trece la prezentarea formulelor în sine și a definiției lor.

Prima dintre ele va fi expresia pentru numărul de permutări, arată astfel:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Ecuația se aplică numai dacă elementele diferă doar în ordinea aranjamentului lor.

Acum va fi luată în considerare formula de plasare, arată astfel:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Această expresie este aplicabilă nu numai ordinii de plasare a elementului, ci și compoziției acestuia.

A treia ecuație din combinatorică, și este și ultima, se numește formula pentru numărul de combinații:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

O combinație se referă la selecții care nu sunt ordonate în consecință, această regulă se aplică acestora.

A fost ușor de înțeles formulele combinatorice acum puteți trece la definiția clasică a probabilităților. Această expresie arată astfel:

În această formulă, m este numărul de condiții favorabile evenimentului A și n este numărul absolut al tuturor rezultatelor la fel de posibile și elementare.

Există un număr mare de expresii, articolul nu le va acoperi pe toate, dar vor fi atinse cele mai importante, cum ar fi, de exemplu, probabilitatea sumei evenimentelor:

P(A + B) = P(A) + P(B) - această teoremă este pentru a adăuga doar evenimente incompatibile;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - și acesta este pentru adăugarea doar a celor compatibile.

Probabilitatea apariției evenimentelor:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - această teoremă este pentru evenimente independente;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - iar acesta este pentru dependent.

Lista evenimentelor va fi completată de formula evenimentelor. Teoria probabilității ne spune despre teorema lui Bayes, care arată astfel:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

În această formulă, H 1, H 2, ..., H n este un grup complet de ipoteze.

Exemple

Dacă studiezi cu atenție orice secțiune de matematică, aceasta nu este completă fără exerciții și soluții mostre. La fel este și teoria probabilității: evenimentele și exemplele de aici sunt o componentă integrală care confirmă calculele științifice.

Formula pentru numărul de permutări

Să presupunem că există treizeci de cărți într-un pachet de cărți, începând cu o valoare de unu. Urmatoarea intrebare. Câte moduri există de a stivui pachetul astfel încât cărțile cu valoarea unu și doi să nu fie una lângă alta?

Sarcina a fost stabilită, acum să trecem la rezolvarea ei. Mai întâi trebuie să determinați numărul de permutări a treizeci de elemente, pentru aceasta luăm formula prezentată mai sus, rezultă că P_30 = 30!.

Pe baza acestei reguli, aflăm câte opțiuni există pentru a plia pachetul în moduri diferite, dar trebuie să scădem din ele pe acelea în care prima și a doua carte sunt una lângă alta. Pentru a face acest lucru, să începem cu opțiunea când primul este deasupra celui de-al doilea. Se pare că prima carte poate ocupa douăzeci și nouă de locuri - de la prima la a douăzeci și nouă, iar a doua carte de la a doua la a treizecea, făcând un total de douăzeci și nouă de locuri pentru o pereche de cărți. La rândul lor, restul poate accepta douăzeci și opt de locuri și în orice ordine. Adică, pentru a rearanja douăzeci și opt de cărți, există douăzeci și opt de opțiuni P_28 = 28!

Ca urmare, reiese că dacă luăm în considerare soluția când prima carte este deasupra celei de-a doua, vor exista 29 ⋅ 28 de posibilități suplimentare! = 29!

Folosind aceeași metodă, trebuie să calculați numărul de opțiuni redundante pentru cazul în care primul card este sub al doilea. De asemenea, se dovedește a fi 29 ⋅ 28! = 29!

De aici rezultă că există 2 ⋅ 29 de opțiuni suplimentare!, în timp ce modalități necesare pachet de colectare 30! - 2 ⋅ 29!. Tot ce rămâne este să numere.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Acum trebuie să înmulțiți toate numerele de la unu la douăzeci și nouă, apoi, la sfârșit, să înmulțiți totul cu 28. Răspunsul este 2,4757335 ⋅〖10〗^32

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul de plasare

În această problemă, trebuie să aflați câte moduri există de a pune cincisprezece volume pe un raft, dar cu condiția să existe treizeci de volume în total.

Soluția la această problemă este puțin mai simplă decât cea anterioară. Folosind formula deja cunoscută, este necesar să se calculeze numărul total de aranjamente de treizeci de volume de cincisprezece.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7270 3

Răspunsul, în consecință, va fi egal cu 202.843.204.931.727.360.000.

Acum să luăm o sarcină ceva mai dificilă. Trebuie să aflați câte moduri există de a aranja treizeci de cărți pe două rafturi, având în vedere că un raft poate conține doar cincisprezece volume.

Înainte de a începe soluția, aș dori să clarific că unele probleme pot fi rezolvate în mai multe moduri, iar aceasta are două metode, dar ambele folosesc aceeași formulă.

În această problemă, puteți lua răspunsul din cea anterioară, pentru că acolo am calculat de câte ori puteți umple un raft cu cincisprezece cărți în moduri diferite. S-a dovedit A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Vom calcula al doilea raft folosind formula de permutare, deoarece în el pot fi plasate cincisprezece cărți, în timp ce rămân doar cincisprezece. Folosim formula P_15 = 15!.

Se pare că totalul va fi A_30^15 ⋅ P_15 moduri, dar, în plus, produsul tuturor numerelor de la treizeci la șaisprezece va trebui să fie înmulțit cu produsul numerelor de la unu la cincisprezece, în cele din urmă, va obține produsul tuturor numerelor de la unu la treizeci, adică răspunsul este egal cu 30!

Dar această problemă poate fi rezolvată într-un alt mod - mai ușor. Pentru a face acest lucru, vă puteți imagina că există un raft pentru treizeci de cărți. Toate sunt plasate pe acest plan, dar din moment ce condiția cere să fie două rafturi, am văzut unul lung în jumătate, așa că obținem două din cincisprezece. Din aceasta rezultă că pot exista P_30 = 30 de opțiuni de aranjare!.

Exemplu de soluție. Formula pentru numărul combinației

Acum vom lua în considerare o versiune a celei de-a treia probleme din combinatorică. Este necesar să aflați câte moduri există de a aranja cincisprezece cărți, cu condiția să alegeți dintre treizeci de cărți absolut identice.

Pentru a rezolva, desigur, se va aplica formula pentru numărul de combinații. Din condiție devine clar că ordinea celor cincisprezece cărți identice nu este importantă. Prin urmare, inițial trebuie să aflați numărul total de combinații de treizeci de cărți de cincisprezece.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Asta e tot. Folosind această formulă, am reușit să rezolvăm această problemă în cel mai scurt timp posibil, răspunsul, în consecință, este 155.117.520.

Exemplu de soluție. Definiția clasică a probabilității

Folosind formula de mai sus, puteți găsi răspunsul la o problemă simplă. Dar acest lucru vă va ajuta să vedeți și să urmăriți în mod clar progresul acțiunilor.

Problema spune că există zece bile absolut identice în urnă. Dintre acestea, patru sunt galbene și șase albastre. Din urnă se ia o minge. Trebuie să aflați probabilitatea de a obține albastru.

Pentru a rezolva problema, este necesar să desemnăm obținerea bilei albastre ca eveniment A. Acest experiment poate avea zece rezultate, care, la rândul lor, sunt elementare și la fel de posibile. În același timp, din zece, șase sunt favorabile evenimentului A. Rezolvăm folosind formula:

P(A) = 6: 10 = 0,6

Aplicând această formulă, am aflat că probabilitatea de a obține mingea albastră este de 0,6.

Exemplu de soluție. Probabilitatea sumei evenimentelor

Acum va fi prezentată o opțiune care este rezolvată folosind formula probabilității sumei evenimentelor. Deci, este dată condiția ca să fie două cutii, prima să conțină o bile gri și cinci albe, iar a doua să conțină opt bile gri și patru albe. Drept urmare, au luat una dintre ele din prima și a doua cutie. Trebuie să aflați care este șansa ca bilele pe care le obțineți să fie gri și albe.

Pentru a rezolva această problemă, este necesară identificarea evenimentelor.

• Deci, A - a luat o minge gri din prima casetă: P(A) = 1/6.
• A’ - a luat și o minge albă din prima casetă: P(A") = 5/6.
• B - o minge gri a fost scoasă din a doua casetă: P(B) = 2/3.
• B’ - a luat o minge gri din a doua cutie: P(B") = 1/3.

În funcție de condițiile problemei, este necesar ca unul dintre fenomene să se întâmple: AB’ sau A’B. Folosind formula, obținem: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Acum a fost folosită formula de înmulțire a probabilității. În continuare, pentru a afla răspunsul, trebuie să aplicați ecuația adunării lor:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Acesta este modul în care puteți rezolva probleme similare folosind formula.

Concluzie

Articolul a prezentat informații despre tema „Teoria probabilității”, în care probabilitatea unui eveniment joacă un rol vital. Desigur, nu a fost luat în considerare totul, dar, pe baza textului prezentat, te poți familiariza teoretic cu această secțiune de matematică. Știința în cauză poate fi utilă nu numai în munca profesională, ci și în Viata de zi cu zi. Cu ajutorul lui, puteți calcula orice posibilitate a oricărui eveniment.

Textul a atins, de asemenea, date semnificative din istoria formării teoriei probabilității ca știință și numele oamenilor a căror activitate a fost investită în ea. Așa a dus curiozitatea umană la faptul că oamenii au învățat să calculeze chiar și evenimente aleatorii. Pe vremuri erau pur și simplu interesați de asta, dar astăzi toată lumea știe deja despre asta. Și nimeni nu va spune ce ne așteaptă în viitor, ce alte descoperiri strălucitoare legate de teoria luată în considerare se vor face. Dar un lucru este sigur - cercetarea nu sta pe loc!

Probabilitatea este foarte subiect usor, dacă vă concentrați pe sensul sarcinilor, și nu pe formule. Dar cum să rezolvi problemele de probabilitate. În primul rând, ce este probabilitatea? Aceasta este șansa ca un eveniment să se întâmple. Dacă spunem că probabilitatea unui eveniment este de 50%, ce înseamnă asta? Că fie se va întâmpla, fie nu se va întâmpla - unul din două lucruri. Astfel, calcularea valorii probabilității este foarte simplă - trebuie să luați numărul de opțiuni care ni se potrivesc și să împărțiți la numărul tuturor opțiunilor posibile. De exemplu, șansa de a obține capete când aruncați o monedă este de ½. Cum obținem ½? În total, avem două opțiuni posibile (capete și cozi), dintre care una ni se potrivește (cozi), deci obținem o probabilitate de ½.

După cum am văzut deja, probabilitatea poate fi exprimată atât ca procent, cât și în numere obișnuite. Important: la examenul de stat unificat va trebui să vă notați răspunsul în cifre, nu în procente. Se presupune că probabilitatea variază de la 0 (nu se va întâmpla niciodată) la 1 (se va întâmpla cu siguranță). Se mai poate spune că întotdeauna

Probabilitatea unor evenimente potrivite + probabilitatea unor evenimente nepotrivite = 1

Acum înțelegem exact cum să calculăm probabilitatea unui singur eveniment și chiar și astfel de sarcini sunt disponibile în Banca FIPI, dar este clar că nu se termină aici. Pentru a face viața mai distractivă, în problemele de probabilitate, de obicei apar cel puțin două evenimente și trebuie să calculați probabilitatea ținând cont de fiecare dintre ele.

Calculăm probabilitatea fiecărui eveniment separat, apoi punem semne între fracții:

1. Dacă aveți nevoie de primul SI al doilea eveniment, atunci înmulțiți.

2. Dacă aveți nevoie de primul SAU al doilea eveniment, adăugați-l.

Probleme de probabilitate și soluții

Sarcina 1. Dintre numerele naturale de la 23 la 37, un număr este selectat aleatoriu. Aflați probabilitatea ca acesta să nu fie divizibil cu 5.

Soluţie:

Probabilitatea este raportul dintre opțiunile favorabile și numărul lor total.

Sunt 15 numere în total în acest interval. Dintre acestea, doar 3 este divizibil cu 5, ceea ce înseamnă că 12 nu este divizibil.

Probabilitate atunci:

Răspuns: 0,8.

Sarcina 2. Doi elevi din clasă sunt selectați aleatoriu pentru a fi de serviciu în cantină. Care este probabilitatea ca doi băieți să fie de serviciu dacă în clasă sunt 7 băieți și 8 fete?

Soluţie: Probabilitatea este raportul dintre opțiunile favorabile și numărul lor total. Sunt 7 băieți în clasă, acestea sunt opțiuni favorabile. Și sunt doar 15 studenți.

Probabilitatea ca primul băiat de serviciu să fie:

Probabilitatea ca al doilea băiat de serviciu să fie:

Deoarece ambii trebuie să fie băieți, să înmulțim probabilitățile:

Răspuns: 0,2.

Sarcina 3. Există 12 locuri la bordul aeronavei lângă ieșirile de urgență și 18 locuri în spatele compartimentelor despărțitoare care separă cabinele. Scaunele rămase sunt incomode pentru pasagerii înalți. Pasagerul V. este înalt. Găsiți probabilitatea ca la check-in, dacă un loc este selectat aleatoriu, pasagerul B să primească un loc confortabil dacă există 300 de locuri în total în avion.

Soluţie: Pasagerul B are 30 de locuri confortabile (12 + 18 = 30), iar în avion sunt în total 300 de locuri. Prin urmare, probabilitatea ca pasagerul B să primească un scaun confortabil este de 30/300, adică 0,1.

Sarcina 4.În colecția de bilete de matematică există doar 25 de bilete, 10 dintre ele conțin o întrebare despre inegalități.

Găsiți probabilitatea ca un student să nu primească o întrebare despre inegalități pe un bilet de examen selectat aleatoriu.

Soluţie: Din cele 25 de bilete, 15 nu conțin o întrebare despre inegalități, deci probabilitatea ca un student să nu primească o întrebare despre inegalități într-un bilet de examen selectat aleatoriu este de 15/25, adică 0,6.

Problema 5. În colecția de bilete de chimie există doar 35 de bilete, 7 dintre ele conțin o întrebare despre acizi.

Găsiți probabilitatea ca un student să nu primească o întrebare despre acizi pe un bilet de examen selectat aleatoriu.

Soluţie: Din cele 35 de bilete, 28 nu conțin o întrebare despre acizi, deci probabilitatea ca un student să nu primească o întrebare despre acizi pe un bilet de examen selectat aleatoriu este de 28/35, adică 0,8.

Sarcina 6.În medie, din 500 de pompe de grădină vândute, 2 scurgeri. Găsiți probabilitatea ca o pompă selectată aleatoriu pentru control să nu aibă scurgeri.

Soluţie: Dacă 2 din 500 de pompe au scurgeri, atunci 498 nu au scurgeri. Prin urmare, probabilitatea de a alege o pompă bună este 498/500, adică 0,996.

Sarcina 7. Probabilitatea ca un aspirator nou să fie reparat în garanție în decurs de un an este de 0,065. Într-un anume oraș, din 1.000 de aspiratoare vândute în cursul anului, 70 de unități au fost primite de atelierul de garanție.

Cât de diferită este frecvența evenimentului „reparație în garanție” de probabilitatea acestuia în acest oraș?

Soluţie: Frecvența evenimentului „reparație în garanție” este 70/1000, adică 0,07. Diferă de probabilitatea prezisă cu 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Sarcina 8. La campionatul de gimnastică participă 50 de sportivi: 18 din Rusia, 14 din Ucraina, restul din Belarus. Ordinea în care performanțele gimnastelor se stabilește prin tragere la sorți.

Găsiți probabilitatea ca sportivul care concurează primul să fie din Belarus.

Soluţie:În total sunt 50 de participanți la campionat și 18 sportivi din Belarus (50 – 18 – 14 = 18).

Probabilitatea ca un atlet din Belarus să concureze primul este de 18 din 50, adică 18/50 sau 0,36.

Sarcina 9. Conferinta stiintifica realizat in 5 zile. Sunt planificate un total de 80 de rapoarte - primele trei zile au câte 12 rapoarte fiecare, restul sunt distribuite în mod egal între a patra și a cincea zi. Ordinea rapoartelor se stabilește prin tragere la sorți.

Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței?

Soluţie:În primele trei zile, vor fi citite 36 de rapoarte (12 ∙ 3 ​​​​= 36), 44 de rapoarte sunt planificate pentru ultimele două zile. Prin urmare, sunt planificate 22 de rapoarte pentru ultima zi (44: 2 = 22). Aceasta înseamnă că probabilitatea ca raportul profesorului M. să fie programat pentru ultima zi a conferinței este de 22/80, adică 0,275.

Problema 10.

Înainte de începerea primei runde a campionatului de șah, participanții sunt împărțiți aleatoriu în perechi de joc folosind loturi. În total, 26 de jucători de șah participă la campionat, inclusiv 14 participanți din Rusia, inclusiv Egor Kosov.

Găsiți probabilitatea ca în prima rundă Egor Kosov să joace cu vreun jucător de șah din Rusia?

Soluţie:În primul tur, Egor Kosov poate juca cu 25 de șahişti (26 – 1 = 25), dintre care 13 sunt din Rusia. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca în prima rundă Egor Kosov să joace cu orice jucător de șah din Rusia este de 13/25, sau 0,52.

Problema 11.

La Campionatul Mondial participă 16 echipe. Folosind loturi, ei trebuie împărțiți în patru grupe a câte patru echipe fiecare. Cutia conține cartonașe mixte cu numere de grup: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Căpitanii de echipă trag câte o carte fiecare. Care este probabilitatea ca echipa rusă să fie în grupa a doua?

Soluţie: Probabilitatea ca echipa rusă să fie în a doua grupă este egală cu raportul dintre numărul de cărți cu numărul 2 și numărul total de cărți, adică 4/16 sau 0,25.

Problema 12.În grupul turistic sunt 5 persoane. Folosind loturi, ei aleg doi oameni care trebuie să meargă în sat să cumpere mâncare. Turistul A. ar vrea să meargă la magazin, dar se supune lotului. Care este probabilitatea ca A. să meargă la magazin?

Soluţie: Ei aleg doi turiști din cinci. Prin urmare, probabilitatea de a fi selectat este 2/5, adică 0,4.

Problema 13.În grupul de turiști sunt 30 de persoane. Aceștia sunt aruncați cu elicopterul într-o zonă greu accesibilă în mai multe etape, câte 6 persoane pe zbor. Ordinea în care elicopterul transportă turiștii este aleatorie. Aflați probabilitatea ca turistul P. să efectueze primul zbor cu elicopterul.

Soluţie: Sunt 6 locuri la primul zbor, un total de 30 de locuri. Atunci probabilitatea ca un turist să zboare la primul zbor al unui elicopter este de 6/30, sau 0,2.

Problema 14. Care este probabilitatea ca un număr natural selectat aleatoriu de la 10 la 19 să fie divizibil cu trei?

Soluţie: Numere naturale de la 10 la 19 zece, dintre care trei numere sunt divizibile cu 3: 12, 15 și 18. Prin urmare, probabilitatea dorită este 3/10, adică 0,3.

Probabilitatea unor evenimente multiple

Sarcina 1.Înainte de începerea unui meci de volei, căpitanii de echipă trag la sorți pentru a determina care echipă va începe jocul cu mingea. Echipa „Starter” joacă pe rând cu echipele „Rotor”, „Motor” și „Strator”. Găsiți probabilitatea ca Starterul să înceapă doar al doilea joc.

Soluţie:

Suntem mulțumiți de următoarea opțiune: „Stator” nu începe primul joc, începe al doilea joc și nu începe al treilea joc. Probabilitatea unei astfel de evoluții a evenimentelor este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre aceste evenimente. Probabilitatea fiecăruia dintre ele este 0,5, deci: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Sarcina 2. Pentru a trece la următoarea rundă de competiție, echipa de fotbal trebuie să înscrieți cel puțin 4 puncte în două jocuri. Dacă o echipă câștigă, primește 3 puncte, dacă este egalitate, 1 punct, iar dacă pierde, 0 puncte. Găsiți probabilitatea ca echipa să avanseze în următoarea rundă a competiției. Luați în considerare că în fiecare joc probabilitățile de câștig și de pierdere sunt aceleași și egale cu 0,4.

Soluţie:

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

Probabilitatea originii oricăreia dintre aceste 3 opțiuni este egală cu suma probabilităților fiecărei opțiuni: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Sarcina 3. Sunt 21 de persoane în clasă. Printre ei se numără și două prietene: Anya și Nina. Clasa este împărțită aleatoriu în 7 grupuri, câte 3 persoane în fiecare. Găsiți probabilitatea ca Anya și Nina să fie în același grup.

Soluţie:

Tip de întrebare: reducere de grup.

Probabilitatea ca Anya să intre într-unul dintre grupuri este 1. Probabilitatea ca Nina să intre în același grup este de 2 din 20 (2 locuri rămase în grup și au mai rămas 20 de persoane). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Sarcina 4. Petya avea în buzunar 4 monede de ruble și 2 monede de două ruble. Petya, fără să se uite, a transferat vreo 3 monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca ambele monede de două ruble să fie în același buzunar.

Soluţie:

Metoda nr. 1

Tip de sarcină: reducerea grupului.

Să ne imaginăm că șase monede sunt împărțite în două grupuri de trei monede. Probabilitatea ca prima monedă de o rublă să cadă într-unul dintre buzunare (grupe) = 1.

Probabilitatea ca două monede de două ruble să cadă în același buzunar = numărul de spații rămase în acest buzunar/numărul de spații rămase în ambele buzunare = 2/5 = 0,4.

Metoda nr. 2

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

Sarcina este realizată în mai multe moduri:

Dacă Petya a transferat trei dintre cele patru monede de ruble într-un alt buzunar (dar nu a transferat monedele de două ruble) sau dacă a transferat ambele monede de două ruble și o monedă de ruble într-un alt buzunar într-unul din trei moduri: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Puteți reprezenta acest lucru pe diagramă (Petya îl pune în buzunarul 2, așa că vom calcula probabilitățile în coloana „buzunarul 2”):

Problema 5. Petya avea în buzunar 2 monede de 5 ruble și 4 monede de 10 ruble. Petya, fără să se uite, a transferat vreo 3 monede într-un alt buzunar. Găsiți probabilitatea ca monedele de cinci ruble să fie acum în buzunare diferite.

Soluţie:

Tip de sarcină: reducerea grupului.

Metoda nr. 1

Să ne imaginăm că șase monede sunt împărțite în două grupuri de trei monede. Probabilitatea ca prima monedă de două ruble să cadă într-unul dintre buzunare (grupe) = 1. Probabilitatea ca a doua monedă să cadă în celălalt buzunar = numărul de locuri rămase în celălalt / cu numărul de locuri rămase în ambele buzunare = 3/5 = 0,6.

Metoda nr. 2

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

Sarcina este efectuată în mai multe moduri:

Pentru ca monedele de cinci ruble să ajungă în buzunare diferite, Petya trebuie să ia din buzunar o monedă de cinci ruble și două de zece ruble. Acest lucru se poate face în trei moduri: 5, 10, 10; 10, 5, 10 sau 10, 10, 5. Puteți reprezenta acest lucru pe diagramă (Petya îl pune în buzunarul 2, așa că vom calcula probabilitățile în coloana „buzunarul 2”):

Probabilitatea originii oricăreia dintre aceste 4 opțiuni este egală cu suma probabilităților fiecăreia dintre opțiuni:

Sarcina 6.Într-un experiment aleatoriu, o monedă simetrică este aruncată de trei ori. Găsiți probabilitatea de a obține capete exact de două ori.

Soluţie: Tip de întrebare: găsirea evenimentelor dorite și reale \ combinarea Ne mulțumesc cu trei opțiuni:

Capete - cozi - capete;

Vultur - vultur - cozi;

Cozi - capete - capete;

Probabilitatea fiecărui caz este 1/2, iar a fiecărei opțiuni este 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Vom fi mulțumiți fie de prima, a doua sau a treia opțiune. Prin urmare, adunăm probabilitățile lor și obținem 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), adică 0,375.

Sarcina 7. Dacă marele maestru A. joacă alb, atunci el câștigă împotriva marelui maestru B. cu probabilitatea de 0,5. Dacă A. joacă negru, atunci A. câștigă împotriva lui B. cu probabilitatea 0,34. Marii maeștri A. și B. joacă două jocuri, iar în al doilea joc schimbă culoarea pieselor. Aflați probabilitatea ca A. să câștige de ambele ori.

Soluţie:

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

În orice caz, A. va juca atât alb, cât și negru, așa că suntem mulțumiți de opțiunea când marele maestru A. câștigă jucând alb (probabilitate - 0,5) și, de asemenea, jucând negru (probabilitate - 0,34). Prin urmare, trebuie să înmulțim probabilitățile acestor două evenimente: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Sarcina 8. Probabilitatea ca bateria să fie defectă este de 0,02. Un cumpărător dintr-un magazin alege un pachet aleatoriu care conține două dintre aceste baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii să fie bune.

Soluţie:

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

Probabilitatea ca bateria să fie bună este de 0,98. Cumpărătorul are nevoie ca atât prima cât și a doua baterie să fie în stare bună de funcționare: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Sarcina 9. Trupele concertează la festivalul rock - câte una din fiecare dintre țările declarate. Ordinea executării se stabilește prin tragere la sorți. Care este probabilitatea ca un grup din SUA să concerteze după un grup din Canada și după un grup din China? Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată sutime.

Soluţie:

Tip de întrebare: combinație de evenimente.

Numărul total de grupuri care concertează la festival nu este important pentru a răspunde la întrebare. Indiferent câte sunt, există 6 moduri pentru aceste țări poziție relativă printre vorbitori (KIT - China, CAN = Canada):

... SUA, CAN, KIT...

... SUA, KIT, POATE...

... KIT, SUA, POATE...

... CAN, SUA, KIT...

... KAN, KIT, SUA ...

...KIT, CAN, SUA...

SUA sunt în spatele Chinei și Canadei în ultimele două cazuri. Prin urmare, probabilitatea ca grupurile să fie distribuite aleatoriu în acest fel este egală cu:

Probabilitate complementară

Sarcina 1.

O linie automată produce baterii. Probabilitatea ca o baterie finită să fie defectă este de 0,02. Înainte de ambalare, fiecare baterie trece printr-un sistem de control. Probabilitatea ca sistemul să respingă o baterie defectă este de 0,97. Probabilitatea ca sistemul să respingă din greșeală o baterie funcțională este de 0,05.

Găsiți probabilitatea ca o baterie aleasă aleatoriu să fie respinsă.

Soluţie:

Există 2 opțiuni care ni se potrivesc:

Opțiunea A: bateria este respinsă, este defectă;

Opțiunea B: bateria este defectă, funcționează.

Probabilitatea opțiunii A: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Probabilitatea opțiunii B: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Vom fi mulțumiți fie de prima, fie de a doua opțiune: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Sarcina 2. Două fabrici produc aceeași sticlă pentru farurile auto. Prima fabrică produce 60% din acești ochelari, a doua - 40%. Prima fabrică produce 3% din sticlă defecte, iar a doua - 5%. Găsiți probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă.

Soluţie:

Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată la prima fabrică și să fie defectă: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Probabilitatea ca sticla să fi fost achiziționată dintr-o a doua fabrică și să fie defectă: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Probabilitatea ca sticla cumpărată accidental dintr-un magazin să fie defectă este 0,018 + 0,02 = 0,038.

Sarcina 3. La o fabrică de veselă ceramică, 10% din farfuriile produse sunt defecte. În timpul controlului calității produsului, 80% dintre plăcile defecte sunt identificate. Plăcile rămase sunt la vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă selectată aleatoriu la cumpărare să nu aibă defecte. Rotunjiți rezultatul la cea mai apropiată mie.

Soluţie:

Să presupunem că avem x plăci inițial (la urma urmei, ne ocupăm constant de procente, așa că nimic nu ne împiedică să operam cu cantități specifice).

Atunci 0,1x sunt farfurii defecte, iar 0,9x sunt farfurii normale, care vor ajunge imediat în magazin. Dintre cele defecte se scot 80%, adică 0,08x, iar 0,02x rămâne, care vor merge și la magazin. Astfel, numărul total de farfurii de pe rafturile magazinului va fi: 0,9x + 0,02x = 0,92x. Dintre acestea, 0,9x va fi normal. În consecință, conform formulei, probabilitatea va fi 0,9x/0,92x ≈ 0,978.

Sarcina 4. Pe baza recenziilor clienților, Igor Igorevich a evaluat fiabilitatea celor două magazine online. Probabilitatea ca produsul dorit să fie livrat din magazinul A este de 0,91. Probabilitatea ca acest produs să fie livrat din magazinul B este de 0,89. Igor Igorevici a comandat mărfuri din ambele magazine deodată. Presupunând că magazinele online funcționează independent unele de altele, găsiți probabilitatea ca niciun magazin să nu livreze produsul.

Soluţie. Probabilitatea ca primul magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,91 = 0,09. Probabilitatea ca al doilea magazin să nu livreze mărfurile este 1 − 0,89 = 0,11. Probabilitatea ca aceste două evenimente să se producă simultan este egală cu produsul probabilităților fiecăruia dintre ele: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Sarcina 5. La fabricarea rulmenților cu un diametru de 70 mm, probabilitatea ca diametrul să difere de cel specificat cu mai puțin de 0,01 mm este de 0,961. Găsiți probabilitatea ca un rulment aleatoriu să aibă un diametru mai mic de 69,99 mm sau mai mare de 70,01 mm.

Soluţie: Ni se dă probabilitatea unui eveniment în care diametrul va fi între 69,99 mm și 70,01 mm și este egal cu 0,961. Putem găsi probabilitatea tuturor celorlalte opțiuni folosind principiul probabilității complementare: 1 − 0,961 = 0,039.

Sarcina 6. Probabilitatea ca un elev să rezolve corect mai mult de 9 probleme la un test de istorie este de 0,68. Probabilitatea de a rezolva corect mai mult de 8 probleme este de 0,78. Găsiți probabilitatea de a rezolva corect exact 9 probleme.

Soluţie: Probabilitatea ca T. să rezolve corect mai mult de 8 probleme include probabilitatea de a rezolva exact 9 probleme. În același timp, evenimentele în care O. rezolvă mai mult de 9 probleme nu ne sunt potrivite. Prin urmare, scăzând din probabilitatea de a rezolva mai mult de 9 probleme probabilitatea de a rezolva mai mult de 8 probleme, vom găsi probabilitatea de a rezolva doar 9 probleme: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Sarcina 7. Un autobuz circulă zilnic din centrul raionului până în sat. Probabilitatea ca luni să fie mai puțin de 21 de pasageri în autobuz este de 0,88. Probabilitatea ca să fie mai puțin de 12 pasageri este de 0,66. Găsiți probabilitatea ca numărul de pasageri să fie de la 12 la 20.

Soluţie. Probabilitatea ca un autobuz să aibă mai puțin de 21 de pasageri include probabilitatea ca acesta să aibă între 12 și 20 de pasageri. În același timp, evenimentele în care vor fi mai puțin de 12 pasageri nu sunt potrivite pentru noi. Prin urmare, scăzând a doua probabilitate (mai mică de 12) din prima probabilitate (mai mică de 21), găsim probabilitatea ca să fie de la 12 la 20 de pasageri: 0,88 – 0,66 = 0,22.

Sarcina 8.În Magic Land există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că cu probabilitatea de 0,9 vremea mâine va fi aceeași ca azi. Pe 10 aprilie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 13 aprilie.

Soluţie:

Sarcina este efectuată în mai multe opțiuni („X” - vreme bună, „O” - vreme excelentă):

Probabilitatea originii oricăreia dintre aceste 4 opțiuni este egală cu suma probabilităților fiecărei opțiuni: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Sarcina 9.În Magic Land există două tipuri de vreme: bună și excelentă, iar vremea, odată stabilită dimineața, rămâne neschimbată toată ziua. Se știe că, cu probabilitatea de 0,8, vremea mâine va fi aceeași ca azi. Astăzi este 3 iulie, vremea în Magic Land este bună. Găsiți probabilitatea ca vremea să fie grozavă în Fairyland pe 6 iulie.

Soluţie:

Sarcina este efectuată în mai multe opțiuni („X” - vreme bună, „O” - vreme excelentă):

Probabilitatea originii oricăreia dintre aceste 4 opțiuni este egală cu suma probabilităților fiecărei opțiuni: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

probabilitate- un număr între 0 și 1 care reflectă șansele ca un eveniment să se producă aleatoriu, unde 0 este absența completă a probabilității ca evenimentul să se producă, iar 1 înseamnă că evenimentul în cauză va avea loc cu siguranță.

Probabilitatea evenimentului E este un număr de la 1.
Suma probabilităților evenimentelor care se exclud reciproc este egală cu 1.

probabilitate empirică- probabilitatea, care se calculează ca frecvență relativă a unui eveniment din trecut, extrasă din analiza datelor istorice.

Probabilitatea unor evenimente foarte rare nu poate fi calculată empiric.

probabilitate subiectivă- probabilitatea bazată pe o evaluare subiectivă personală a unui eveniment fără a ține cont de datele istorice. Investitorii care iau decizii de cumpărare și vânzare de acțiuni acționează adesea pe baza unor considerații de probabilitate subiectivă.

probabilitate anterioară -

Șansa este de 1 în... (cotă) ca un eveniment să se producă prin conceptul de probabilitate. Șansa ca un eveniment să se producă este exprimată prin probabilitate după cum urmează: P/(1-P).

De exemplu, dacă probabilitatea unui eveniment este 0,5, atunci șansa evenimentului este 1 din 2 deoarece 0,5/(1-0,5).

Șansa ca un eveniment să nu se producă este calculată folosind formula (1-P)/P

Probabilitate inconsecventă- de exemplu, prețul acțiunilor companiei A ia în considerare posibilul eveniment E cu 85%, iar prețul acțiunilor companiei B ia în considerare doar 50%. Aceasta se numește probabilitate inconsistentă. Conform teoremei olandeze de pariuri, probabilitatea inconsecventă creează oportunități de profit.

Probabilitate necondiționată este răspunsul la întrebarea „Care este probabilitatea ca evenimentul să se producă?”

Probabilitate condițională- acesta este răspunsul la întrebarea: „Care este probabilitatea evenimentului A dacă are loc evenimentul B”. Probabilitatea condiționată se notează ca P(A|B).

Probabilitate comună- probabilitatea ca evenimentele A și B să se producă simultan. Notat ca P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Regula pentru însumarea probabilităților:

Probabilitatea ca fie evenimentul A, fie evenimentul B să se întâmple este

P (A sau B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Dacă evenimentele A și B se exclud reciproc, atunci

P (A sau B) = P(A) + P(B)

Evenimente independente- evenimentele A şi B sunt independente dacă

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Adică, este o secvență de rezultate în care valoarea probabilității este constantă de la un eveniment la altul.
O aruncare a unei monede este un exemplu de astfel de eveniment - rezultatul fiecărei aruncări ulterioare nu depinde de rezultatul celui precedent.

Evenimente dependente- sunt evenimente în care probabilitatea apariției unuia depinde de probabilitatea apariției altuia.

Regula pentru înmulțirea probabilităților evenimentelor independente:
Dacă evenimentele A și B sunt independente, atunci

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Regula probabilității totale:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S și ​​S" sunt evenimente care se exclud reciproc

valorea estimata variabila aleatoare este media rezultatelor posibile variabilă aleatorie. Pentru evenimentul X, așteptarea este notată ca E(X).

Să presupunem că avem 5 valori ale evenimentelor care se exclud reciproc cu o anumită probabilitate (de exemplu, venitul unei companii a fost o sumă cu o asemenea probabilitate). Valoarea așteptată este suma tuturor rezultatelor înmulțită cu probabilitatea lor:

Dispersia unei variabile aleatoare este așteptarea abaterilor pătrate ale unei variabile aleatoare de la așteptarea ei:

s 2 = E( 2 ) (6)

Valoarea așteptată condiționată este valoarea așteptată a unei variabile aleatoare X, cu condiția ca evenimentul S să fi avut deja loc.

Fiecare persoană întâlnește conceptul de probabilitate în fiecare zi. Oamenii calculează șansa de a prinde autobuzul, probabilitatea ca astăzi să primească un salariu și vin cu diverse combinații pentru a câștiga la loterie. Teoria probabilității în programele de calculator și inteligența artificială este serios afectată și, de asemenea, este strâns legată de schimburile financiare și altele asemenea. Există exemple elementare despre cum să găsiți probabilitatea.

Carcasa clasică este cu o monedă. Este aruncat în sus și există două opțiuni diferite pentru aterizare: căderea pe avers și căderea pe revers. Posibilitatea de a cădea pe margine este exclusă în avans, adică există două rezultate probabile. Deoarece sunt doar două dintre ele și se întâmplă cu aceeași frecvență, probabilitatea de a obține, de exemplu, capete este de 1/2. Aceasta este legea de bază a modului de a găsi probabilitatea în matematică.

De unde a venit 1/2 asta? Principiul este că se calculează probabilitatea unui (1) eveniment din două (2) evenimente posibile. Raportul lor se rezolvă prin operația de împărțire, care dă 1/2. În mod similar, puteți calcula probabilitatea ca un anumit număr să cadă pe un zar. După cum știți, suprafața unui cub are 6 fețe, prin urmare poate apărea orice număr de la 1 la 6 - șase opțiuni diferite. Cum să găsiți probabilitatea de a rula, de exemplu, un patru?

Patru pot ieși numai în singurul mod (1) din șase în toate modurile posibile, prin urmare, probabilitatea va fi egală cu 1: 6 = 1/6. O șesime poate fi convertită în zecimal prin împărțirea la calculator: 1/6 = 0,6(6). Înmulțind valoarea cu 100 și adăugând semnul „%”, puteți obține o estimare a probabilității evenimentului ca procent. Este extrem de important de știut că probabilitatea unui eveniment este estimată ca un număr de la 0 la 1, care în procente variază de la 0% la 100%.

Toate celelalte valori de probabilitate sunt absurde. Un exemplu specific ar trebui luat în considerare: o carte aleatorie este extrasă dintr-un pachet clasic de cărți (36 de cărți). Care este probabilitatea ca cardul să fie roșu și numărul său să fie impar? O carte roșie impară poate fi doar șapte sau nouă de diamante sau inimioare. Există 4 astfel de cărți în total. Aceasta înseamnă că probabilitatea ca un astfel de card să apară este 4 / 36 = 1 / 9 = 0,1 (1). Probabilitatea ar trebui calculată ca procent, aceasta este egală cu 1,1%.

Foarte des în probleme ar trebui să utilizați formula complexă a probabilității. De exemplu, într-o urnă sunt 10 bile, 3 negre și 7 albe. Care este probabilitatea ca două bile extrase la întâmplare pe rând să fie negre? Această problemă ar trebui rezolvată ca două separate. În primul rând, ar trebui să calculați probabilitatea de a extrage o minge neagră din toate. Există 3 astfel de bile și sunt 10 în total, ceea ce înseamnă că probabilitatea va fi egală cu 3/10. În continuare, trebuie să trecem la a doua parte a problemei, unde teoria probabilității ne permite să armonizăm rezultatele.

După extracție, în urnă vor rămâne deja 9 bile, dintre care 2 vor fi negre. În acest caz, șansa de a obține o minge neagră este de 2/9. În continuare, ar trebui să înmulțiți probabilitățile obținute pentru rezultatul final: 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15 = 0,6 (6), care este aproximativ egal cu 6,7%. Aceasta înseamnă că probabilitatea acestui eveniment este destul de scăzută.