Domeniul de aplicare al drepturilor tetraedrului. tetraedru regulat (piramida)

Din formula de bază pentru volumul unui tetraedru

Unde S este zona oricărei fețe și H- înălțimea coborâtă pe ea, puteți deriva un număr de formule care exprimă volumul în termeni de diverse elemente tetraedru. Dăm aceste formule pentru tetraedru ABCD.

(2) ,

unde ∠ ( ANUNȚ,ABC) este unghiul dintre muchie ANUNȚși planul de față ABC;

(3) ,

unde ∠ ( ABC,ABD) este unghiul dintre fețe ABCși ABD;

unde | AB,CD| - distanta dintre coastele opuse ABși CD, ∠ (AB,CD) este unghiul dintre aceste muchii.

Formulele (2)–(4) pot fi folosite pentru a găsi unghiurile dintre drepte și plane; Este deosebit de utilă formula (4), cu ajutorul căreia puteți găsi distanța dintre liniile oblice ABși CD.

Formulele (2) și (3) sunt similare cu formula S = (1/2)ab păcat C pentru aria unui triunghi. Formulă S = rp formula similara

Unde r este raza sferei înscrise a tetraedrului, Σ este suprafața sa totală (suma ariilor tuturor fețelor). Există, de asemenea, o formulă frumoasă care leagă volumul unui tetraedru cu o rază R domeniul de aplicare descris ( Formula Crelle):

unde Δ este aria unui triunghi ale cărui laturi sunt numeric egale cu produsele muchiilor opuse ( AB× CD, AC× BD,ANUNȚ× î.Hr). Din formula (2) și teorema cosinusului pentru unghiuri triedrice (vezi Trigonometrie sferică), se poate deriva o formulă similară cu formula lui Heron pentru triunghiuri.

Notă. Aceasta face parte din lecția cu probleme de geometrie (secțiunea geometrie solidă, probleme despre piramidă). Dacă trebuie să rezolvați o problemă de geometrie, care nu este aici - scrieți despre ea pe forum. În sarcini, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se folosește funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicalului este indicată între paranteze.Pentru expresiile radicale simple se poate folosi semnul „√”.. tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale.

Pentru un tetraedru obișnuit, toate unghiurile diedrice de la muchii și toate unghiurile triedrice de la vârfuri sunt egale

Un tetraedru are 4 fețe, 4 vârfuri și 6 muchii.

Formulele de bază pentru un tetraedru obișnuit sunt date în tabel.

Unde:
S - Suprafața unui tetraedru obișnuit
V - volum
h - înălțime coborâtă până la bază
r - raza cercului înscris în tetraedru
R - raza cercului circumscris
a - lungimea coastei

Exemple practice

O sarcină.
Aflați aria suprafeței unei piramide triunghiulare cu fiecare muchie egală cu √3

Soluţie.
Deoarece toate marginile unei piramide triunghiulare sunt egale, este corect. Aria suprafeței unei piramide triunghiulare regulate este S = a 2 √3.
Apoi
S = 3√3

Răspuns: 3√3

O sarcină.
Toate marginile unei piramide triunghiulare obișnuite au 4 cm. Aflați volumul piramidei

Soluţie.
Deoarece într-o piramidă triunghiulară regulată înălțimea piramidei este proiectată spre centrul bazei, care este și centrul cercului circumscris, atunci

AO = R = √3 / 3a
AO = 4√3 / 3

Deci înălțimea piramidei OM poate fi găsită de la triunghi dreptunghic AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Volumul piramidei se găsește prin formula V = 1/3 Sh
În acest caz, găsim aria bazei cu formula S \u003d √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V=16√2/3

Răspuns: 16√2/3cm

Definiția unui tetraedru

Tetraedru- cel mai simplu corp poliedric, ale cărui fețe și bază sunt triunghiuri.

Calculator online

Un tetraedru are patru fețe, fiecare dintre ele formată din trei laturi. Tetraedrul are patru vârfuri, fiecare cu trei margini.

Acest organism este împărțit în mai multe tipuri. Mai jos este clasificarea lor.

1. Tetraedru izoedric- toate fețele sale sunt aceleași triunghiuri;
2. tetraedru ortocentric- toate înălțimile trasate de la fiecare vârf până la fața opusă au aceeași lungime;
3. Tetraedru dreptunghiular- muchiile care emană dintr-un vârf formează un unghi de 90 de grade între ele;
4. cadru;
5. Proporțional;
6. incentric.

Formule ale volumului tetraedrului

Volumul unui corp dat poate fi găsit în mai multe moduri. Să le analizăm mai detaliat.

Prin produsul mixt al vectorilor

Dacă tetraedrul este construit pe trei vectori cu coordonate:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X​ , A y​ , A z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)b= (b X​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)c= (c X​ , c y​ , c z​ ) ,

atunci volumul acestui tetraedru este produsul mixt al acestor vectori, adică un astfel de determinant:

Volumul unui tetraedru prin determinant

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_x & c_vmatrix \\&c_vmatrix )V =6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ b X​ c X​ ​ A y​ b y​ c y​ ​ A z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Sarcina 1

Sunt cunoscute coordonatele celor patru vârfuri ale octaedrului. A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9), B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3), C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 ). Găsiți-i volumul.

Soluţie

A (1, 4, 9) A(1,4,9) A (1, 4, 9)
B(8, 7, 3) ​​B(8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1, 2, 3) ​​C(1,2,3) C (1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7, 12, 1) D (7 , 1 2 , 1 )

Primul pas este de a determina coordonatele vectorilor pe care este construit corpul dat.
Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți fiecare coordonată a vectorului scăzând coordonatele corespunzătoare a două puncte. De exemplu, coordonatele vectoriale A B → \overrightarrow(AB) A B, adică un vector direcționat dintr-un punct A A A până la punctul B B B, acestea sunt diferențele coordonatelor corespunzătoare ale punctelor B B Bși A A A:

A B → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

A C → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)A C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
A D → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -opt)ANUNȚ= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Acum găsim produsul mixt al acestor vectori, pentru aceasta compunem un determinant de ordinul trei, presupunând în același timp că A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)A C= b, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)ANUNȚ= c.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ − 1− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 8 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6) \cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ b X​ cX​ ​ Ay​ by​ cy​ ​ Az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Adică volumul unui tetraedru este:

$V=61\cdot |$

Răspuns

$44.8\text{cm3 .}$

Formula pentru volumul unui tetraedru izoedric de-a lungul laturii sale

Această formulă este valabilă doar pentru calcularea volumului unui tetraedru izoedric, adică a unui tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri regulate identice.

Volumul unui tetraedru izoedric

$V=12\sqrt{2\cdot A^3}$

a aA este lungimea muchiei tetraedrului.

Sarcina 2

Aflați volumul unui tetraedru dacă latura lui este dată egală cu $11\text{cm.}$

Soluţie

$A=11$

Substitui a aAîn formula pentru volumul unui tetraedru:

$V=12\sqrt{2\cdot A^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Răspuns

$156.8\text{cm3 .}$

Să considerăm un triunghi arbitrar ABC și un punct D care nu se află în planul acestui triunghi. Conectați acest punct cu segmente la vârfurile triunghiului ABC. Ca rezultat, obținem triunghiuri ADC , CDB , ABD . Suprafața delimitată de patru triunghiuri ABC, ADC, CDB și ABD se numește tetraedru și se notează DABC.
Triunghiurile care alcătuiesc un tetraedru se numesc fețele sale.
Laturile acestor triunghiuri se numesc margini ale tetraedrului. Și vârfurile lor sunt vârfurile unui tetraedru

Tetraedrul are 4 fețe, 6 coasteși 4 vârfuri.
Două muchii care nu au un vârf comun se numesc opuse.
Adesea, pentru comoditate, se numește una dintre fețele tetraedrului bază, iar celelalte trei fețe sunt fețe laterale.

Astfel, tetraedrul este cel mai simplu poliedru, ale cărui fețe sunt patru triunghiuri.

Dar este și adevărat că orice piramidă triunghiulară arbitrară este un tetraedru. Atunci este și adevărat că se numește tetraedru o piramidă cu un triunghi la bază.

Înălțimea tetraedrului numit segment care leagă un vârf de un punct situat pe faţa opusă şi perpendicular pe acesta.
Mediana unui tetraedru numit segment care leagă vârful cu punctul de intersecție al medianelor feței opuse.
tetraedru bimedian se numește segment care leagă punctele medii ale muchiilor de încrucișare ale tetraedrului.

Deoarece un tetraedru este o piramidă cu o bază triunghiulară, volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula

• S este zona oricărei fețe,
• H- înălțimea coborâtă pe această față

Tetraedru obișnuit - un tip special de tetraedru

Un tetraedru în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale se numește corect.
Proprietățile unui tetraedru regulat:

• Toate marginile sunt egale.
• Toate unghiurile plane ale unui tetraedru obișnuit sunt de 60°
• Deoarece fiecare dintre vârfurile sale este vârful a trei triunghiuri regulate, suma unghiurilor plane la fiecare vârf este de 180°
• Orice vârf al unui tetraedru regulat este proiectat către ortocentrul feței opuse (până la punctul de intersecție al înălțimilor triunghiului).

Să ni se dea un tetraedru regulat ABCD cu muchii egale cu a . DH este înălțimea sa.
Să facem construcții suplimentare BM - înălțimea triunghiului ABC și DM - înălțimea triunghiului ACD .
Înălțimea BM este egală cu BM și este egală
Luați în considerare triunghiul BDM , unde DH , care este înălțimea tetraedrului, este și înălțimea acestui triunghi.
Înălțimea unui triunghi coborât pe latura MB poate fi găsită folosind formula

, Unde
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Înlocuiți aceste valori în formula înălțimii. obține


Să scoatem 1/2a. obține

Aplicați formula diferența de pătrate

După câteva transformări minore, obținem


Volumul oricărui tetraedru poate fi calculat folosind formula
,
Unde ,

Înlocuind aceste valori, obținem

Astfel, formula de volum pentru un tetraedru obișnuit este

Unde A– marginea tetraedrului

Calcularea volumului unui tetraedru dacă sunt cunoscute coordonatele vârfurilor acestuia

Să ni se dea coordonatele vârfurilor tetraedrului

Desenați vectori din vârful , , .
Pentru a găsi coordonatele fiecăruia dintre acești vectori, scădeți coordonatele de început corespunzătoare din coordonatele de sfârșit. obține