8.1. Definiții ale unui produs mixt, semnificația sa geometrică

Se consideră produsul vectorilor a, bși c, compusă după cum urmează: (a xb) c. Aici primii doi vectori sunt înmulțiți vectorial, iar rezultatul lor înmulțit scalar cu al treilea vector. Un astfel de produs se numește produs vector-scalar, sau mixt, a trei vectori. Produsul amestecat reprezintă un număr.

Să aflăm semnificația geometrică a expresiei (a xb)*c. Să construim un paralelipiped ale cărui muchii sunt vectorii a, b, c și vectorul d = a x b(vezi Fig. 22).

Avem: (a x b) c = d c = |d | etc d cu, |d |=|a x b | =S, unde S este aria unui paralelogram construit pe vectorii a și b, pr d cu= Н Pentru triplul drept al vectorilor etc. d cu= - H pentru stânga, unde H este înălțimea paralelipipedului. Primim: ( axb)*c =S *(±H), adică ( axb)*c =±V, unde V este volumul paralelipipedului format din vectorii a, bși s.

Astfel, produsul mixt a trei vectori este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori, luat cu semnul plus dacă acești vectori formează un triplu drept, și cu un semn minus dacă formează un triplu stâng.

8.2. Proprietățile unui produs mixt

1. Produsul mixt nu se modifică atunci când factorii săi sunt rearanjați ciclic, adică (a x b) c =( b x c) a = (c x a) b.

Într-adevăr, în acest caz nu se modifică nici volumul paralelipipedului, nici orientarea marginilor acestuia

2. Produsul mixt nu se modifică atunci când semnele înmulțirii vectoriale și scalare sunt schimbate, adică (a xb) c =a *( b x Cu ).

Într-adevăr, (a xb) c =±V și a (b xc)=(b xc) a =±V. Luăm același semn în partea dreaptă a acestor egalități, deoarece triplele vectorilor a, b, c și b, c, a sunt de aceeași orientare.

Prin urmare, (a xb) c =a (b xc). Acest lucru vă permite să scrieți produsul mixt al vectorilor (a x b)c sub forma abc fără semne de multiplicare vectorială și scalară.

3. Produsul mixt își schimbă semnul la schimbarea locurilor oricăror doi vectori factori, adică abc = -acb, abc = -bac, abc = -cba.

Într-adevăr, o astfel de rearanjare este echivalentă cu rearanjarea factorilor dintr-un produs vectorial, schimbarea semnului produsului.

4. Produsul mixt al vectorilor nenuli a, b și c este egal cu zero ori de câte ori și numai dacă sunt coplanari.

Dacă abc =0, atunci a, b și c sunt coplanare.

Să presupunem că nu este cazul. Ar fi posibil să se construiască un paralelipiped cu volumul V ¹ 0. Dar deoarece abc =±V , am obține acel abc ¹ 0 . Aceasta contrazice condiția: abc =0 .

Dimpotrivă, fie vectorii a, b, c coplanari. Atunci vector d =a x b va fi perpendicular pe planul în care se află vectorii a, b, c și, prin urmare, d ^ c. Prin urmare, d c =0, adică abc =0.

8.3. Exprimarea unui produs mixt în termeni de coordonate

Să fie dați vectorii a =a x i +a y j+a z k, b = b x i+b y j+b z k, с =c x i+c y j+c z k. Să găsim produsul lor mixt folosind expresii în coordonate pentru produsele vectoriale și scalare:

Formula rezultată poate fi scrisă mai pe scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (8.1) reprezintă expansiunea determinantului de ordinul trei în elementele celui de-al treilea rând.

Deci, produsul mixt al vectorilor este egal cu determinantul de ordinul trei, compus din coordonatele vectorilor înmulțiți.

8.4. Unele aplicații de produse mixte

Determinarea orientării relative a vectorilor în spațiu

Determinarea orientării relative a vectorilor a, b iar c se bazează pe următoarele considerații. Dacă abc > 0, atunci a, b, c sunt un triplu drept; dacă abc<0 , то а , b , с - левая тройка.

Stabilirea coplanarității vectorilor

Vectorii a, bși c sunt coplanare dacă și numai dacă produsul lor mixt este egal cu zero

Determinarea volumelor unui paralelipiped și a unei piramide triunghiulare

Este ușor de arătat că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii a, b iar c se calculează ca V =|abc |, iar volumul unei piramide triunghiulare construită pe aceiași vectori este egal cu V =1/6*|abc |.

Exemplul 6.3.

Vârfurile piramidei sunt punctele A(1; 2; 3), B(0; -1; 1), C(2; 5; 2) și D (3; 0; -2). Aflați volumul piramidei.

Soluţie: Găsim vectorii a, b este:

a=AB =(-1;-3;-2), b =AC=(1;3;-1), c=AD =(2; -2; -5).

Găsim b si cu:

=-1 (-17)+3 (-3)-2 (-8)=17-9+16=24.

Prin urmare, V =1/6*24=4

PRODUS MIXAT DIN TREI VECTORI ȘI PROPRIETĂȚILE EI

Munca mixta trei vectori se numește număr egal cu . Desemnat . Aici primii doi vectori sunt înmulțiți vectorial și apoi vectorul rezultat este înmulțit scalar cu al treilea vector. Evident, un astfel de produs este un anumit număr.

Să luăm în considerare proprietățile unui produs mixt.

1. Sensul geometric munca mixta. Produsul mixt a 3 vectori, până la un semn, este egal cu volumul paralelipipedului construit pe acești vectori, ca pe muchii, i.e. .

   Astfel, și .

   

   Dovada. Să lăsăm deoparte vectorii din originea comună și să construim un paralelipiped pe ei. Să notăm și să notăm că . Prin definiția produsului scalar

   Presupunând că și notând prin h aflați înălțimea paralelipipedului.

   Astfel, când

   Dacă, atunci așa. Prin urmare, .

   Combinând ambele cazuri, obținem sau .

   Din demonstrarea acestei proprietăți, în special, rezultă că dacă triplul vectorilor este dreptaci, atunci produsul mixt este , iar dacă este stângaci, atunci .

2. Pentru orice vector , , egalitatea este adevărată

   Dovada acestei proprietăți rezultă din Proprietatea 1. Într-adevăr, este ușor să arăți că și . Mai mult, semnele „+” și „–” sunt luate simultan, deoarece unghiurile dintre vectorii și și și sunt atât acute, cât și obtuze.

3. Când oricare doi factori sunt rearanjați, produsul mixt își schimbă semnul.

   Într-adevăr, dacă luăm în considerare un produs mixt, atunci, de exemplu, sau

4. Un produs mixt dacă și numai dacă unul dintre factori este egal cu zero sau vectorii sunt coplanari.

   Dovada.

   Astfel, o condiție necesară și suficientă pentru coplanaritatea a 3 vectori este ca produsul lor mixt să fie egal cu zero. În plus, rezultă că trei vectori formează o bază în spațiu dacă .

   Dacă vectorii sunt dați sub formă de coordonate, atunci se poate demonstra că produsul lor mixt se găsește prin formula:

   .

   Astfel, produsul mixt este egal cu determinantul de ordinul trei, care are coordonatele primului vector pe prima linie, coordonatele celui de-al doilea vector pe a doua linie și coordonatele celui de-al treilea vector pe a treia linie.

   Exemple.

GEOMETRIA ANALITĂ ÎN SPAȚIU

Ecuația F(x, y, z)= 0 definește în spațiu Oxyz oarecare suprafață, adică locul punctelor ale căror coordonate x, y, z satisface această ecuație. Această ecuație se numește ecuația suprafeței și x, y, z– coordonatele curente.

Cu toate acestea, adesea suprafața nu este specificată printr-o ecuație, ci ca un set de puncte din spațiu care au una sau alta proprietate. În acest caz, este necesar să găsiți ecuația suprafeței pe baza proprietăților sale geometrice.

AVION.

VECTOR PLAN NORMAL.

ECUAȚIA UNUI AVION PENTRU UN PUNCT DATE

Să considerăm un plan arbitrar σ în spațiu. Poziția sa este determinată prin specificarea unui vector perpendicular pe acest plan și a unui punct fix M0(x 0, y 0, z 0), situată în planul σ.

Se numește vectorul perpendicular pe planul σ normal vector al acestui plan. Fie vectorul să aibă coordonate.

Să derivăm ecuația planului σ care trece prin acest punct M0și având un vector normal. Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar pe planul σ M(x, y, z)și luați în considerare vectorul .

Pentru orice punct MО σ este un vector Prin urmare, produsul lor scalar este egal cu zero. Această egalitate este condiția ca punctul MО σ. Este valabil pentru toate punctele acestui plan și este încălcat de îndată ce punctul M va fi în afara planului σ.

Dacă notăm punctele cu vectorul rază M, – raza vectorului punctului M0, atunci ecuația poate fi scrisă sub forma

Această ecuație se numește vector ecuația plană. Să-l scriem sub formă de coordonate. De atunci

Deci, am obținut ecuația planului care trece prin acest punct. Astfel, pentru a crea o ecuație a unui plan, trebuie să cunoașteți coordonatele vectorului normal și coordonatele unui punct situat pe plan.

Rețineți că ecuația planului este o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente X yȘi z.

Exemple.

ECUAȚIA GENERALĂ A AVIONULUI

Se poate arăta că orice ecuație de gradul I în raport cu coordonatele carteziene x, y, z reprezintă ecuația unui anumit plan. Această ecuație se scrie astfel:

Ax+By+Cz+D=0

si se numeste ecuație generală planul și coordonatele A, B, C aici sunt coordonatele vectorului normal al planului.

Să luăm în considerare cazuri speciale ale ecuației generale. Să aflăm cum este situat planul în raport cu sistemul de coordonate dacă unul sau mai mulți coeficienți ai ecuației devin zero.

A este lungimea segmentului tăiat de planul de pe axă Bou. În mod similar, se poate demonstra că bȘi c– lungimi ale segmentelor tăiate de planul luat în considerare pe axe OiȘi Oz.

Este convenabil să folosiți ecuația unui plan în segmente pentru a construi planuri.

Definiție. Numărul [, ] se numește produsul mixt al unui triplu ordonat de vectori, .

Notăm: (,) = = [, ].

Deoarece produsele vectoriale și scalare sunt implicate în definirea unui produs mixt, proprietățile lor comune sunt proprietățile unui produs mixt.

De exemplu, () = ().

Teorema 1. Produsul mixt a trei vectori coplanari este zero.

Dovada. Dacă un triplu dat de vectori este coplanar, atunci una dintre următoarele condiții este îndeplinită pentru vectori.

• 1. Într-un triplu dat de vectori există cel puțin un vector zero. În acest caz, demonstrația teoremei este evidentă.
• 2. Într-un triplu dat de vectori există cel puțin o pereche de vectori coliniari. Dacă ||, atunci [, ] = 0, deoarece [, ]= . Dacă

|| , atunci [, ] și [, ] = 0. În mod similar, dacă || .

3. Fie acest triplu de vectori coplanari, dar cazurile 1 și 2 nu sunt valabile. Atunci vectorul [, ] va fi perpendicular pe planul la care toți cei trei vectori sunt paraleli.

Prin urmare, [, ] și (,) = 0.

Teorema 2. Fie specificați vectorii (), (), () în baza (). Apoi

Dovada. Conform definiției unui produs mixt

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

Datorită proprietăților determinantului, avem:

Teorema este demonstrată.

Teorema 3. (,) = [, ].

Dovada. Deoarece

iar datorită proprietăților determinantului avem:

(,) = = = [, ] = [, ].

Teorema este demonstrată.

Teorema 4. Modulul produsului mixt al unui triplu necoplanar de vectori este numeric egal cu volumul unui paralelipiped construit pe reprezentanți ai acestor vectori cu origine comună.

Dovada. Să alegem un punct arbitrar O și să lăsăm deoparte din el reprezentanții acestor vectori, : , . În planul OAB vom construi un paralelogram OADB și, adăugând marginea OS, vom construi un paralelipiped OADBCADB. Volumul V al acestui paralelipiped este egal cu produsul dintre aria bazei OADB și lungimea înălțimii paralelipipedului OO.

Aria paralelogramului OADB este |[, ]|. Pe cealaltă parte

|OO| = || |cos |, unde este unghiul dintre vectori și [, ].

Luați în considerare modulul de produs mixt:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Teorema a fost demonstrată.

Nota 1. Dacă produsul mixt al unui triplu de vectori este egal cu zero, atunci acest triplu de vectori este dependent liniar.

Nota 2. Dacă produsul mixt al unui triplu dat de vectori este pozitiv, atunci triplul de vectori este de dreapta, iar dacă este negativ, atunci triplul de vectori este stângaci. Într-adevăr, semnul produsului mixt coincide cu semnul cos, iar mărimea unghiului determină orientarea triplu-lui, . Dacă unghiul este ascuțit, atunci trei este drept, iar dacă este un unghi obtuz, atunci trei este stânga.

Exemplul 1. Având în vedere paralelipipedul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 și coordonatele următorilor vectori în baza ortonormală: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Aflați: 1) volumul paralelipipedului;

• 2) zone ale fețelor ABCD și CDD 1 C;
• 3) cosinusul unghiului diedric dintre planele ABC și CDD 1.

Soluţie.

Acest paralelipiped este construit pe vectori

Astfel, volumul său este egal cu modulul produsului mixt al acestor vectori, adică.

Deci, V abur = 12 unități cubice.

Amintiți-vă că aria unui paralelogram este egală cu lungimea produsului vectorial al vectorilor pe care este construit.

Să introducem notația: , atunci

Prin urmare, (6; - 8; - 2), de unde

Acea. unități mp

De asemenea,

Să fie atunci

de unde (15; - 20; 1) și

Aceasta înseamnă unități de mp.

Să introducem următoarea notație: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1)=.

Conform definiției unui produs vectorial, avem:

Aceasta înseamnă că următoarea egalitate este adevărată:

Din al doilea punct al soluției avem:

Demonstrați că dacă și sunt vectori unitari perpendiculari reciproc, atunci pentru orice vector și este valabilă următoarea egalitate:

Soluţie.

Fie date coordonatele vectorilor pe o bază ortonormală: ; . Deoarece, prin proprietatea unui produs mixt avem:

Astfel, egalitatea (1) poate fi scrisă sub următoarea formă: , iar aceasta este una dintre proprietățile dovedite ale produsului vectorial al vectorilor și. Astfel, validitatea egalității (1) este dovedită.

Rezolvarea versiunii zero a lucrării de testare

Sarcina nr. 1

Vectorul formează unghiuri și cu vectorii de bază și, respectiv. Determinați unghiul pe care îl face vectorul cu vectorul.

Soluţie.

Să construim un paralelipiped pe vectori și pe o diagonală, astfel încât vectorii și să fie egali.

Apoi, într-un triunghi dreptunghic cu un unghi drept, mărimea unghiului este egală cu unde.

În mod similar, într-un triunghi dreptunghic cu unghi drept, mărimea este egală cu, de unde.

Într-un triunghi dreptunghic, folosind teorema lui Pitagora găsim:

Într-un triunghi dreptunghic, catetul și ipotenuza sunt unghiuri drepte. Deci unghiul este egal. Dar unghiul este egal cu unghiul dintre vectori și. Astfel se rezolva problema.

Sarcina nr. 2.

Trei vectori sunt dați în bază. Demonstrați că patrulaterul este plat. Găsiți-i zona.

Soluţie.

1. Dacă vectorii și sunt coplanari, atunci este un patrulater plat. Să calculăm determinantul alcătuit din coordonatele acestor vectori.

Deoarece determinantul este egal cu zero, vectorii și sunt coplanari, ceea ce înseamnă că patrulaterul este plat.

2. Rețineți că, deci și astfel, patrulaterul este un trapez cu bazele AB și CD.

Prin proprietatea produsului vectorial avem:

Găsirea produsului vectorial

Sarcina nr. 3. Găsiți un vector coliniar cu vectorul (2; 1; -2), a cărui lungime este 5.

Soluţie.

Să notăm coordonatele vectorului (x, y, z). După cum știți, vectorii coliniari au coordonate proporționale și, prin urmare, avem:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Conform condițiilor problemei || = 5 și sub formă de coordonate:

Exprimând variabile prin parametrul t, obținem:

4t 2 +t 2 +4t 2 =25,

Prin urmare,

x = , y = , z = .

Am primit două soluții.

În această lecție ne vom uita la alte două operații cu vectori: produs vectorial al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor (link imediat pentru cei care au nevoie). Este în regulă, uneori se întâmplă că pentru fericire deplină, în plus produsul scalar al vectorilor, sunt necesare din ce în ce mai multe. Aceasta este dependența de vectori. Poate părea că intrăm în jungla geometriei analitice. Este gresit. În această secțiune a matematicii superioare există în general puțin lemn, cu excepția poate suficient pentru Pinocchio. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs scalar, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au convins deja, este să NU FACEȚI GREȘELI LA CALCULE. Repetă ca o vrajă și vei fi fericit =)

Dacă vectorii strălucesc undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a restabili sau redobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv. Am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Ce te va face fericit imediat? Când eram mică, puteam jongla cu două și chiar trei mingi. A mers bine. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plati cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Această operație, la fel ca și produsul scalar, implică doi vectori. Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notat cuîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor în acest fel, între paranteze pătrate cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produsul scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și aici se înmulțesc și doi vectori, atunci Care este diferența? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Rezultatul produsului încrucișat al vectorilor este VECTOR: , adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici provine numele operațiunii. În diferite literaturi educaționale, desemnările pot varia, de asemenea, voi folosi litera.

Definiţia cross product

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care este numeric egală cu aria paralelogramului, construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Să descompunem definiția bucată cu bucată, există o mulțime de lucruri interesante aici!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte semnificative:

1) Vectorii originali, indicați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare. Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectori într-o ordine strict definită: – „a” se înmulțește cu „fi”, și nu „fi” cu „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTOR, care este indicat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal ca lungime și opus ca direcție (culoarea zmeurului). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului vectorial nu este egală cu aria paralelogramului.

Să ne amintim una dintre formulele geometrice: Aria unui paralelogram este egală cu produsul laturilor adiacente și sinusul unghiului dintre ele. Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMIEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că formula este despre LUNGIMEA vectorului și nu despre vectorul în sine. Care este sensul practic? Și semnificația este că în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să obținem a doua formulă importantă. Diagonala unui paralelogram (linie punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită folosind formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, adică . Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata zmeură) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama ce este orientarea în spațiu. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați-l în palmă. Ca urmare deget mare– produsul vectorial va căuta în sus. Aceasta este o bază orientată spre dreapta (este cea din figură). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) în unele locuri, ca rezultat, degetul mare se va întoarce, iar produsul vectorial va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. S-ar putea să aveți o întrebare: ce bază a lăsat orientarea? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior). Figurat vorbind, aceste baze „întorc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci, în cazul general, acesta nu va fi posibil să-l combinați cu „originalul”. Apropo, ține trei degete de oglindă și analizează reflexia ;-)

...ce bine e despre care știi acum orientat spre dreapta și spre stânga baze, deoarece afirmațiile unor lectori despre o schimbare de orientare sunt înfricoșătoare =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost discutată în detaliu, rămâne să aflăm ce se întâmplă atunci când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi plasați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este egal cu zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero

Astfel, dacă , atunci Și . Vă rugăm să rețineți că produsul vectorial în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și se scrie că este, de asemenea, egal cu zero.

Un caz special este produsul încrucișat al unui vector cu el însuși:

Folosind produsul vectorial, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusurilor din ea.

Ei bine, hai să aprindem focul:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauze la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) În funcție de condiție, trebuie să găsiți lungime vector (produs încrucișat). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Dacă ați fost întrebat despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) În funcție de condiție, trebuie să găsiți pătrat paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul nu vorbește deloc despre produsul vectorial despre care am fost întrebați zona figurii, în consecință, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să găsim în funcție de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există o mulțime de literaliști printre profesori, iar misiunea are șanse mari să fie returnată pentru revizuire. Deși aceasta nu este o dispută deosebit de exagerată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu a înțeles esența sarcinii. Acest punct trebuie ținut întotdeauna sub control atunci când rezolvăm orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde a ajuns litera mare „en”? În principiu, ar fi putut fi atașat suplimentar la soluție, dar pentru a scurta intrarea, nu am făcut asta. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare pentru același lucru.

Un exemplu popular pentru o soluție de bricolaj:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul vectorial este dată în comentariile la definiție. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, în general, triunghiurile te pot chinui.

Pentru a rezolva alte probleme vom avea nevoie de:

Proprietăți ale produsului vectorial al vectorilor

Am luat deja în considerare unele proprietăți ale produsului vectorial, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) – mai sus se discută și proprietatea, uneori se numește anticomutativitatea. Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) – asociativ sau asociativ legile produselor vectoriale. Constantele pot fi mutate cu ușurință în afara produsului vectorial. Serios, ce ar trebui să facă acolo?

4) – distribuție sau distributiv legile produselor vectoriale. Nici cu deschiderea consolelor nu sunt probleme.

Pentru a demonstra, să ne uităm la un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie: Condiția necesită din nou găsirea lungimii produsului vectorial. Să ne pictăm miniatura:

(1) Conform legilor asociative, luăm constantele în afara domeniului produsului vectorial.

(2) Mutăm constanta în afara modulului, iar modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Restul este clar.

Răspuns:

Este timpul să adăugați mai multă lemne la foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Găsiți aria triunghiului folosind formula . Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși prezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele nr. 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor. Pentru claritate, vom împărți soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial prin produsul vectorial, de fapt, să exprimăm un vector în termeni de vector. Încă nu se vorbește despre lungimi!

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Folosind legi distributive, deschidem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legile asociative, mutăm toate constantele dincolo de produsele vectoriale. Cu puțină experiență, pașii 2 și 3 pot fi executați simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită proprietății frumoase. În al doilea termen folosim proprietatea de anticomutativitate a unui produs vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul sa dovedit a fi exprimat printr-un vector, care este ceea ce trebuia să fie realizat:

2) În a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune este similară cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Etapele 2-3 ale soluției ar fi putut fi scrise într-un singur rând.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în teste, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produsul încrucișat al vectorilor în coordonate

, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia de sus a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă– mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile ar trebui schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul vectorial:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul vectorial:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Iată, probabil, toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece există puține probleme în care se utilizează produsul mixt al vectorilor. De fapt, totul va depinde de definiție, semnificația geometrică și câteva formule de lucru.

Un produs mixt de vectori este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat ca un tren și abia așteaptă să fie identificați.

Mai întâi, din nou, o definiție și o imagine:

Definiție: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine, numit volum paralelipiped, construit pe acești vectori, echipat cu un semn „+” dacă baza este dreapta și un semn „–” dacă baza este stângă.

Hai să facem desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt desenate cu linii punctate:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectori într-o anumită ordine, adică rearanjarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu are loc fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi observa un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR: . În literatura educațională, designul poate fi ușor diferit. Sunt obișnuit să desemnez un produs mixt prin , iar rezultatul calculelor cu litera „pe”.

A-prioriu produsul amestecat este volumul paralelipipedului, construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul unui paralelipiped dat.

Notă : Desenul este schematic.

4) Să nu ne îngrijorăm din nou cu privire la conceptul de orientare a bazei și a spațiului. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, un produs mixt poate fi negativ: .

Direct din definiție urmează formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori.

Pentru a analiza în detaliu un astfel de subiect, este necesar să acoperiți mai multe secțiuni. Subiectul este direct legat de termeni precum produsul punctual și produsul vectorial. În acest articol, am încercat să oferim o definiție precisă, să indicăm o formulă care va ajuta la determinarea produsului folosind coordonatele vectorilor. În plus, articolul include secțiuni care enumeră proprietățile produsului și oferă o analiză detaliată a egalităților și problemelor tipice.

Termen

Pentru a determina care este acest termen, trebuie să luați trei vectori.

Definiția 1

Munca mixta a → , b → și d → este valoarea care este egală cu produsul scalar al lui a → × b → și d → , unde a → × b → este înmulțirea lui a → și b → . Operația de înmulțire a →, b → și d → se notează adesea a → · b → · d →. Puteți transforma formula astfel: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Înmulțirea într-un sistem de coordonate

Putem înmulți vectorii dacă sunt specificați pe planul de coordonate.

Să luăm i → , j → , k →

Produsul vectorilor în acest caz particular va avea următoarea formă: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Definiția 2

Pentru a face produsul punctualîn sistemul de coordonate este necesar să se adauge rezultatele obţinute în timpul înmulţirii coordonatelor.

Prin urmare:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

De asemenea, putem defini un produs mixt de vectori dacă un anumit sistem de coordonate specifică coordonatele vectorilor care sunt înmulțiți.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x - a x a z b x b z · b y b x a x a y z · d x a x a x a x a x a x a x a x a x d y d z

Astfel, putem concluziona că:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Definiția 3

Un produs mixt poate fi echivalat la determinantul unei matrice ale cărei rânduri sunt coordonate vectoriale. Vizual arată astfel: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Proprietăţi ale operaţiilor pe vectori Din trăsăturile care se remarcă într-un produs scalar sau vectorial, putem deriva trăsăturile care caracterizează produsul mixt. Mai jos vă prezentăm principalele proprietăți.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Pe lângă proprietățile de mai sus, trebuie clarificat faptul că, dacă multiplicatorul este zero, atunci rezultatul înmulțirii va fi și zero.

Rezultatul înmulțirii va fi, de asemenea, zero dacă doi sau mai mulți factori sunt egali.

Într-adevăr, dacă a → = b →, atunci, urmând definiția produsului vectorial [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , deci, produsul mixt este egal cu zero, întrucât ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Dacă a → = b → sau b → = d →, atunci unghiul dintre vectorii [a → × b →] și d → este egal cu π 2. Prin definiția produsului scalar al vectorilor ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Proprietățile operației de înmulțire sunt cel mai adesea solicitate la rezolvarea problemelor.
Pentru a analiza acest subiect în detaliu, să luăm câteva exemple și să le descriem în detaliu.

Exemplul 1

Demonstrați egalitatea ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), unde λ este un număr real.

Pentru a găsi o soluție la această egalitate, partea stângă a acesteia trebuie transformată. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați a treia proprietate a unui produs mixt, care spune:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Am văzut că (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Rezultă de aici că
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Conform primei proprietăți, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) și ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Astfel, ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . De aceea,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Egalitatea a fost dovedită.

Exemplul 2

Este necesar să se demonstreze că modulul produsului mixt al trei vectori nu este mai mare decât produsul lungimilor acestora.

Soluţie

Pe baza condiției, putem prezenta exemplul sub forma unei inegalități a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → .

Prin definiție, transformăm inegalitatea a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → , b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Folosind funcții elementare, putem concluziona că 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1.

De aici putem concluziona că
(a → × b → , d →) = a → · b → · sin (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Inegalitatea a fost dovedită.

Analiza sarcinilor tipice

Pentru a determina care este produsul vectorilor, trebuie să cunoașteți coordonatele vectorilor care sunt înmulțiți. Pentru operație, puteți folosi următoarea formulă a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Exemplul 3

Într-un sistem de coordonate dreptunghiulare, există 3 vectori cu următoarele coordonate: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Este necesar să se determine cu ce este egal produsul vectorilor indicați a → · b → · d →.

Pe baza teoriei prezentate mai sus, putem folosi regula că produsul mixt poate fi calculat prin determinantul matricei. Va arăta astfel: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Exemplul 4

Este necesar să se găsească produsul vectorilor i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → , unde i → , j → , k → sunt vectorii unitari ai sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Pe baza condiției că vectorii sunt localizați într-un sistem de coordonate dat, coordonatele lor pot fi derivate: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Folosim formula care a fost folosită mai sus
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

De asemenea, este posibil să se determine produsul amestecat folosind lungimea vectorului, care este deja cunoscută, și unghiul dintre ele. Să privim această teză cu un exemplu.

Exemplul 5

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular există trei vectori a →, b → și d →, care sunt perpendiculari unul pe celălalt. Sunt un triplu dreptaci și lungimile lor sunt 4, 2 și 3. Este necesar să se înmulțească vectorii.

Să notăm c → = a → × b → .

Conform regulii, rezultatul înmulțirii vectorilor scalari este un număr care este egal cu rezultatul înmulțirii lungimilor vectorilor utilizați cu cosinusul unghiului dintre ei. Concluzionăm că a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) .

Folosim lungimea vectorului d → specificată în condiția exemplu: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Este necesar să se determine c → și c → , d → ^ . Prin condiția a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2. Vectorul c → se găsește folosind formula: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Putem concluziona că c → este perpendicular pe a → și b → . Vectorii a → , b → , c → vor fi un triplu din dreapta, deci se folosește sistemul de coordonate carteziene. Vectorii c → și d → vor fi unidirecționali, adică c → , d → ^ = 0 . Folosind rezultatele derivate, rezolvăm exemplul a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .

a → · b → · d → = 24 .

Folosim factorii a → , b → și d → .

Vectorii a → , b → și d → provin din același punct. Le folosim ca laturi pentru a construi o siluetă.

Să notăm că c → = [ a → × b → ] . Pentru acest caz, putem defini produsul vectorilor ca a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , unde n p c → d → este proiecția numerică a vectorului d → pe direcția vectorului c → = [ a → × b → ] .

Valoarea absolută n p c → d → este egală cu numărul, care este, de asemenea, egal cu înălțimea figurii pentru care vectorii a → , b → și d → sunt folosiți ca laturi. Pe baza acestui fapt, trebuie clarificat faptul că c → = [ a → × b → ] este perpendicular pe a → atât vector cât și vector conform definiției înmulțirii vectoriale. Valoarea c → = a → x b → este egală cu aria paralelipipedului construit pe vectorii a → și b →.

Concluzionăm că modulul produsului a → · b → · d → = c → · n p c → d → este egal cu rezultatul înmulțirii ariei bazei cu înălțimea figurii, care este construită pe vectorii a → , b → și d → .

Definiția 4

Valoarea absolută a produsului încrucișat este volumul paralelipipedului: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Această formulă este semnificația geometrică.

Definiția 5

Volumul unui tetraedru, care este construit pe a →, b → și d →, este egal cu 1/6 din volumul paralelipipedului Se obține, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Pentru a consolida cunoștințele, să ne uităm la câteva exemple tipice.

Exemplul 6

Este necesar să găsiți volumul unui paralelipiped, ale cărui laturi sunt A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) , specificat într-un sistem de coordonate dreptunghiular . Volumul unui paralelipiped poate fi găsit folosind formula valorii absolute. Din aceasta rezultă: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Atunci, V par l l e l e p e d a = - 18 = 18 .

V p a r l l e l e p i p i d a = 18

Exemplul 7

Sistemul de coordonate conține punctele A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Este necesar să se determine volumul tetraedrului care se află în aceste puncte.

Să folosim formula V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Putem determina coordonatele vectorilor din coordonatele punctelor: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1) , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​​​A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)

În continuare, determinăm produsul mixt A B → A C → A D → prin coordonatele vectoriale: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 Volumul V t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter