Studiul oricărui proces fizic este asociat cu stabilirea de relații între mărimile care caracterizează acest proces. Pentru procesele complexe, care includ transferul de căldură prin conductivitate termică, atunci când se stabilește o relație între cantități, este convenabil să se utilizeze metodele fizicii matematice, care ia în considerare cursul procesului nu în întreg spațiul studiat, ci într-un volum elementar de materie într-o perioadă infinitezimală de timp. Legătura dintre cantitățile implicate în transferul de căldură prin conductivitate termică se stabilește în acest caz de așa-numita ecuația diferențială a conductibilității termice. În limitele unui volum elementar selectat și a unei perioade de timp infinit de mică, devine posibilă neglijarea modificării unor cantități care caracterizează procesul.

La derivarea ecuatiei diferentiale a conductibilitatii termice se fac urmatoarele ipoteze: marimi fizice λ, cu рȘi ρ permanent; nu există surse interne de căldură; corpul este omogen și izotrop; se folosește legea conservării energiei, care în acest caz se formulează astfel: diferența dintre cantitatea de căldură care intră datorită conductivității termice într-un paralelipiped elementar în timpul dτși lăsându-l pentru același timp, este cheltuit pentru schimbarea energiei interne a volumului elementar luat în considerare. Ca rezultat, ajungem la ecuația:

Se numește cantitatea operator Laplaceși este de obicei prescurtat ca 2 t(semnul scrie „nabla”); mărimea λ /cρ numit coeficientul de difuzivitate termicăși notată prin literă A. Cu notația indicată, ecuația diferențială a căldurii ia forma

Ecuația (1-10) se numește ecuația diferențială a conductibilității termice, sau ecuația Fourier, pentru un câmp de temperatură instabil tridimensional în absența surselor interne de căldură. Este ecuația principală în studiul încălzirii și răcirii corpurilor în procesul de transfer de căldură prin conductivitate termică și stabilește o legătură între schimbările temporale și spațiale ale temperaturii în orice punct al câmpului.

Coeficientul de difuzivitate termică A= λ/cρ este un parametru fizic al unei substanțe și are o unitate de măsură m 2 / s. În procesele termice nestaţionare valoarea A caracterizează viteza de schimbare a temperaturii. Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică A este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpurilor. Din ecuația (1-10) rezultă că modificarea temperaturii în timp ∂t / ∂τ căci orice punct al corpului este proporțional cu valoarea A Prin urmare, în aceleași condiții, temperatura corpului care are o difuzivitate termică mai mare va crește mai repede. Gazele au mici, iar metalele au coeficienți mari de difuzivitate termică.

Ecuația diferențială a conductibilității termice cu sursele de căldură din interiorul corpului va avea forma

Unde q v- cantitatea de căldură eliberată pe unitatea de volum a unei substanțe pe unitatea de timp; Cu- capacitatea de masă termică a corpului, ρ - densitatea corpului .

Ecuația diferențială a conductivității termice în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă va avea forma

Unde r- vector rază într-un sistem de coordonate cilindric; φ - colț.

Propagarea căldurii prin conductivitate termică în pereți plani și cilindrici într-un mod staționar (condiții la limită de primul fel)

Perete plat omogen cu un singur strat. Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conductivitate termică într-un perete plat omogen monostrat de grosime 8, cu lățimea și lungimea sa nelimitată.

Axă X direcționați-l perpendicular pe perete (Fig. 7.4). De-a lungul ambelor suprafețe de perete ca și în direcția axei y, iar în direcţia axei G Datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperaturile sunt distribuite uniform.

Deoarece peretele în direcția acestor axe are dimensiuni infinit de mari, gradienții de temperatură corespunzători F/yu = (k/(k= = 0 și, astfel, nu există nicio influență asupra procesului de conductivitate termică a suprafețelor de capăt ale peretelui. În aceste condiții simplificând problema, câmpul staționar de temperatură este o funcție doar a coordonatei X, acestea. se consideră o problemă unidimensională. În raport cu acest caz, ecuația diferențială a conductibilității termice va lua forma (at d^dh = 0)

Condițiile limită de primul fel sunt date:

Orez. 7.4.

Să găsim ecuația temperaturii zero și să determinăm fluxul de căldură Ф care trece printr-o secțiune a peretelui cu o zonă A(în fig. 1L peretele nu este marcat deoarece este situat într-un plan perpendicular pe planul desenului). Prima integrare dă

acestea. gradientul de temperatură este constant pe toată grosimea peretelui.

După a doua integrare obținem ecuația de câmp de temperatură necesară

Unde AȘi b - integrări constante.

Astfel, modificarea temperaturii de-a lungul grosimii peretelui urmează o lege liniară, iar suprafețele izoterme sunt plane paralele cu fețele peretelui.

Pentru a determina constantele de integrare arbitrare, folosim condițiile la limită:

Deoarece? > ? ST2, apoi proiecția gradientului pe axă X negativ ca

acest lucru era de așteptat pentru direcția aleasă a axei, care coincide cu direcția vectorului de densitate a fluxului de căldură de suprafață.

Înlocuind valoarea constantelor în (7.24), obținem expresia finală pentru temperatura zero

Linia a-bîn fig. 7.4, așa-numitul curba temperaturii, arată modificarea temperaturii în funcție de grosimea peretelui.

Cunoscând gradientul de temperatură, este posibil, folosind ecuația Fourier (7.10), să găsim cantitatea de căldură 8() care trece în timpul t prin elementul de suprafață??4 perpendicular pe axă. T.

iar pentru o suprafata de A

Formula (7.28) pentru fluxul de căldură și densitatea fluxului de căldură la suprafață va lua forma

Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conductibilitatea termică într-un perete plat multistrat format din mai multe (de exemplu, trei) straturi strâns adiacente unul altuia (vezi Fig. 7.5).

Orez. 7.5.

Evident, în cazul unui câmp de temperatură staționar, fluxul de căldură trece prin suprafețe din aceeași zonă A, va fi la fel pentru toate straturile. Prin urmare, ecuația (7.29) poate fi utilizată pentru fiecare dintre straturi.

Pentru primul strat

pentru al doilea și al treilea strat

Unde X 2, A 3 - conductivitatea termică a straturilor; 8 1? 8 2, 8 3 - grosimea stratului.

Sunt considerate cunoscute temperaturile de la limitele exterioare ale peretelui cu trei straturi? St1 si? ST4. Sunt stabilite temperaturile de-a lungul planurilor de separare dintre straturi? ST2 Și? ST care sunt considerate necunoscute. Rezolvăm ecuațiile (7.31)-(7.33) în raport cu diferențele de temperatură:

și apoi adună-le termen cu termen și, prin urmare, elimină temperaturile intermediare necunoscute:

Generalizând (7.36) pentru un perete cu strat în Y, obținem

Pentru a determina temperaturile intermediare? ST2, ? STZ pe planurile secțiunilor de straturi folosim formule (7.34):

În cele din urmă, generalizând derivația la peretele stratului i, obținem o formulă pentru temperatura la limita straturilor i-lea și (r + 1)-lea:

Uneori este folosit conceptul de conductivitate termică echivalentă R eq. Pentru densitatea fluxului de căldură la suprafață care trece printr-un perete multistrat plat,

unde este grosimea totală a tuturor straturilor peretelui multistrat. Comparând expresiile (7.37) și (7.40), concluzionăm că

În fig. Figura 7.5 prezintă un grafic al schimbărilor de temperatură de-a lungul grosimii unui perete multistrat sub forma unei linii întrerupte. În interiorul stratului, așa cum sa demonstrat mai sus, schimbarea temperaturii urmează o lege liniară. Tangenta unghiului de înclinare cp, linia dreaptă a temperaturii la orizontală

acestea. egală cu valoarea absolută a gradientului de temperatură ^1"ac1 Astfel, conform pantei dreptelor ab, BC si cu

Prin urmare,

acestea. gradienții de temperatură pentru straturile individuale ale unui perete plat multistrat sunt invers proporționali cu conductivitățile termice ale acestor straturi.

Aceasta înseamnă că pentru a obține gradienți mari de temperatură (ceea ce este necesar, de exemplu, la izolarea conductelor de abur etc.), sunt necesare materiale cu valori scăzute de conductivitate termică.

Perete cilindric monostrat omogen. Să găsim pentru modul staționar de conductivitate termică câmpul de temperatură și densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru un perete cilindric omogen cu un singur strat (Fig. 7.6). Pentru a rezolva problema, folosim ecuația diferențială a conducției căldurii în coordonate cilindrice.

Axa 2 va fi îndreptată de-a lungul axei conductei. Să presupunem că lungimea țevii în comparație cu diametrul este infinit de mare. În acest caz, putem neglija influența capetelor conductei asupra distribuției temperaturii de-a lungul axei 2. Să presupunem că, datorită furnizării și eliminării uniforme a căldurii, temperatura de pe suprafața interioară este egală peste tot? ST1, iar pe suprafața exterioară - ? ST2 (condiții la limită de primul fel). Cu aceste simplificări (k/ = 0, iar datorită simetriei câmpului de temperatură față de orice diametru?/?/?Ар = 0. Suprafețele izoterme în acest caz vor fi suprafețele cilindrilor, coaxiale cu axa țevii. Astfel , problema se reduce la determinarea câmpului de temperatură unidimensional = / (d), unde? G- raza de curent a peretelui cilindric.

Orez. 7.6.

Ecuația de căldură diferențială (7.19) în condiția dt/d t = 0 va lua forma

Să introducem o nouă variabilă

care este gradientul de temperatură (grad?).

Înlocuirea unei variabile Șiîn (7.43), obținem o ecuație diferențială de ordinul întâi cu variabile separabile

sau

Integrarea, obținem

Pentru un perete cilindric, gradientul de temperatură este o valoare variabilă care crește odată cu descreșterea razei G.În consecință, gradientul de temperatură pe suprafața interioară este mai mare decât pe suprafața exterioară.

Înlocuirea valorii Și de la (7.44) la (7.45), obținem Și

Unde un b- integrări constante.

În consecință, curba de distribuție a temperaturii pe grosimea peretelui este o curbă logaritmică (curba a-bîn fig. 7.6).

Să definim constantele AȘi b, incluse în ecuația câmpului de temperatură, pe baza condițiilor la limită de primul fel. Să notăm raza internă a suprafeței g x, extern - g 2. Notăm diametrele corespunzătoare (1 lȘi (1 2 . Atunci avem un sistem de ecuații

Rezolvând acest sistem de ecuații, obținem

Ecuația temperaturii zero va lua forma Gradientul de temperatură este determinat de formula (7.45):

Deoarece? ST1 > ? ST2, și r, r 2, apoi gradul de proiecție? pe raza vectorului are o valoare negativă.

Acesta din urmă arată că în acest caz fluxul de căldură este direcționat de la centru spre periferie.

Pentru a determina fluxul de căldură care trece printr-o secțiune a unei suprafețe cilindrice de lungime b, să folosim ecuația

Din (7.46) rezultă că fluxul de căldură care trece printr-o suprafață cilindrică depinde de raportul dintre razele exterioare și interioare r 2 / g x(sau diametre c1 2 / (1 {), si nu pe grosimea peretelui.

Densitatea fluxului de căldură la suprafață pentru o suprafață cilindrică poate fi găsită prin raportarea fluxului de căldură Ф la aria suprafeței interioare Un VP sau la suprafața exterioară A np.În calcule, densitatea liniară a fluxului de căldură este uneori utilizată:

Din (7.47)-(7.49) rezultă

Perete cilindric multistrat. Să luăm în considerare propagarea căldurii prin conductivitate termică într-un perete (conductă) cilindric cu trei straturi de lungime A (Fig. 7.7) cu un diametru interior c1 x si diametrul exterior (1 l. Diametre intermediare ale straturilor individuale - c1 2și X 2, X 3.

Orez. 7.7.

Sunt considerate temperaturile cunoscute? ST) internă și temperatură? Suprafata exterioara ST4. Debitul de căldură F și temperatura trebuie determinate? ST2 Și? STz la limitele stratului. Să compunem o ecuație de forma (7.46) pentru fiecare strat:

Rezolvând (7.51)-(7.53) diferențele de temperatură și apoi adăugând termen cu termen, obținem

Din (7.54) avem o expresie calculată pentru determinarea fluxului de căldură pentru un perete cu trei straturi:

Să generalizăm formula (7.55) la peretele țevii cu strat în U:
Unde i- numărul de serie al stratului.

Din (7.51)-(7.53) găsim o expresie pentru determinarea temperaturii la limitele straturilor intermediare:

Temperatura? Artă. +) la graniță? (G+ 1) al-lea strat poate fi determinat folosind o formulă similară

Literatura de specialitate oferă soluții la ecuația diferențială a căldurii pentru o bilă goală în condiții la limită de primul fel, precum și soluții pentru toate corpurile considerate în condiții la limită de al treilea fel. Nu luăm în considerare aceste probleme. Problemele conductivității termice staționare în tije (nervuri) cu secțiuni transversale constante și variabile, precum și problemele conductivității termice nestaționare, au rămas, de asemenea, în afara domeniului cursului nostru.

Stabilirea obiectivelor TMO

Avem un volum care este afectat de sarcini termice, este necesar să se determine valoarea numerică q Vși distribuția sa în volum.

Fig. 2 - Surse externe și interne de frecare

1. Determinați geometria volumului studiat în orice sistem de coordonate selectat.

2. Determinați caracteristicile fizice ale volumului studiat.

3. Determinați condițiile care inițiază procesul TMT.

4. Clarificați legile care determină transferul de căldură în volumul studiat.

5. Determinați starea termică inițială în volumul studiat.

Probleme rezolvate la analiza deșeurilor solide:

1. Sarcini „directe” ale TMO

Date: 1,2,3,4,5

Determinați: distribuția temperaturii în spațiu și timp (în continuare 6).

2. Probleme TMT „inverse” (invers):

a) invers limite sarcini

Date: 1,2,4,5,6

Definiți: 3;

b) invers cote sarcini

Date: 1,3,4,5,6

Definiți: 2;

c) invers retrospectiv sarcină

Date: 1,2,3,4,6

Definiți: 5.

3. Sarcini „inductive” ale TMO

Date: 1,2,3,5,6

Definiți: 4.

FORME DE TRANSFER DE CĂLDURĂ ŞI PROCESE TERMICE

Există 3 forme de transfer de căldură:

1) conductivitatea termică în solide (determinată de microparticule, iar în metale de electroni liberi);

2) convecție (determinată de macroparticulele mediului în mișcare);

3) radiația termică (determinată de unde electromagnetice).

Conductibilitatea termică a solidelor

Concepte generale

Câmp de temperatură este un set de valori ale temperaturii în volumul studiat, luate la un anumit moment în timp.

t(x, y, z, τ)- o funcție care determină câmpul de temperatură.

Există câmpuri de temperatură staționare și nestaționare:

staționar - t(x,y,z);

nestaționar - t(x, y, z, τ).

Condiția pentru staționaritate este:

Să luăm un anumit corp și să conectăm puncte cu temperaturi egale

Fig. 3-Gradientul de temperatură și fluxul de căldură

grad t- gradient de temperatură;

pe cealalta parte: .

legea lui Fourier - fluxul de căldură în solide este proporțional cu gradientul de temperatură, suprafața prin care trece și intervalul de timp luat în considerare.

Coeficientul de proporționalitate se numește coeficient de conductivitate termică λ , W/m·K.

arată că căldura se răspândește în direcția opusă vectorului gradientului de temperatură.

;

Pentru o suprafață infinitezimală și un interval de timp:

Ecuația căldurii (ecuația Fourier)

Luați în considerare un volum infinitezimal: dv =dx dy dz

Fig. 4 - Starea termică a unui volum infinitezimal

Avem o serie Taylor:

De asemenea:

; ; .

În cazul general avem într-un cub q V. Concluzia se bazează pe legea generalizată a conservării energiei:

.

Conform legii lui Fourier:

; ; .

După transformări avem:

.

Pentru un proces staționar:

Dimensiunea spațială a problemelor este determinată de numărul de direcții în care are loc transferul de căldură.

Problemă unidimensională: ;

pentru un proces staționar: ;

Pentru :

Pentru : ;

A- coeficientul de difuzivitate termică, .Sistemul cartezian;

k = 1, ξ = x - sistem cilindric;

k = 2, ξ = x - sistem sferic.

Condiții de unicitate

Condiție de unicitate – Acestea sunt condiții care fac posibilă selectarea din setul de soluții fezabile a unei singure care să corespundă sarcinii în cauză.

Rezolvarea problemelor de determinare a câmpului de temperatură se realizează pe baza ecuației diferențiale a conductibilității termice, ale cărei concluzii sunt prezentate în literatura de specialitate. Acest manual oferă opțiuni pentru ecuații diferențiale fără concluzii.

La rezolvarea problemelor de conductivitate termică în fluide în mișcare care caracterizează un câmp de temperatură tridimensional nestaționar cu surse interne de căldură, se utilizează ecuația

Ecuația (4.10) este o ecuație de energie diferențială într-un sistem de coordonate carteziene (ecuația Fourier  Kirchhoff). În această formă, este utilizat în studierea procesului de conductivitate termică în orice corp.

Dacă  x = y = z =0, adică se consideră un corp solid, iar în absența surselor interne de căldură q v =0, atunci ecuația energiei (4.10) se transformă în ecuația de conducere a căldurii pentru solide (ecuația Fourier)

(4.11)

Valoarea C=a, m 2 sec din ecuația (4.10) se numește coeficient de difuzivitate termică, care este un parametru fizic al unei substanțe care caracterizează viteza de schimbare a temperaturii în organism în timpul proceselor instabile.

Dacă coeficientul de conductivitate termică caracterizează capacitatea corpurilor de a conduce căldura, atunci coeficientul de difuzivitate termică este o măsură a proprietăților inerțiale termice ale corpului. Din ecuația (4.10) rezultă că modificarea temperaturii în timp t pentru orice punct din spațiu este proporțională cu valoarea „a”, adică rata de schimbare a temperaturii în orice punct al corpului va fi mai mare, coeficientul de conductivitate termică este mai mare. Prin urmare, în condițiile egale, egalizarea temperaturii în toate punctele spațiului va avea loc mai rapid în corpul care are un coeficient de difuzivitate termică mare. Coeficientul de difuzivitate termică depinde de natura substanței. De exemplu, lichidele și gazele au o inerție termică mare și, prin urmare, un coeficient de difuzivitate termică scăzut. Metalele au inerție termică scăzută, deoarece au un coeficient de difuzivitate termică ridicat.

Pentru a desemna suma derivatelor secunde în raport cu coordonatele din ecuațiile (4.10) și (4.11), puteți folosi simbolul  2, așa-numitul operator Laplace, și apoi în sistemul de coordonate carteziene

Expresia  2 t într-un sistem de coordonate cilindric are forma

Pentru un corp solid în condiții staționare cu o sursă de căldură internă, ecuația (4.10) este transformată în ecuația Poisson

(4.12)

În cele din urmă, pentru conductivitatea termică staționară și în absența surselor interne de căldură, ecuația (4.10) ia forma ecuației Laplace

(4.13)

Ecuația diferențială a conductibilității termice în coordonate cilindrice cu o sursă de căldură internă

(4.14)

4.2.6. Condiții de unicitate pentru procesele de conducție a căldurii

Deoarece ecuația diferențială a conductibilității termice este derivată pe baza legilor generale ale fizicii, ea caracterizează fenomenul conductibilității termice în cea mai generală formă. Prin urmare, putem spune că ecuația diferențială rezultată caracterizează o întreagă clasă de fenomene de conducere a căldurii. Pentru a evidenția procesul considerat în mod specific din nenumăratul număr și pentru a oferi descrierea sa matematică completă, este necesar să adăugați ecuației diferențiale o descriere matematică a tuturor caracteristicilor particulare ale procesului luat în considerare. Aceste caracteristici particulare, care împreună cu ecuația diferențială oferă o descriere matematică completă a unui anumit proces de conducere a căldurii, se numesc unicitate sau condiții la limită, care includ:

a) condiții geometrice care caracterizează forma și dimensiunea corpului în care se desfășoară procesul;

b) condiţiile fizice care caracterizează proprietăţile fizice ale mediului şi ale corpului (, C z, , a etc.);

c) condiţii temporare (iniţiale) care caracterizează distribuţia temperaturilor în organismul studiat la momentul iniţial de timp;

d) condiţiile la limită care caracterizează interacţiunea organismului în cauză cu mediul.

Condițiile inițiale sunt necesare atunci când se consideră procese nestaționare și constau în precizarea legii de distribuție a temperaturii în interiorul corpului la momentul inițial de timp. În cazul general, condiția inițială poate fi scrisă analitic după cum urmează pentru =0:

t =  1 x, y, z. (4,15)

În cazul distribuţiei uniforme a temperaturii în corp, se simplifică condiţia iniţială: la =0; t=t 0 =idem.

Condițiile limită pot fi specificate în mai multe moduri.

A. Condiții la limită de primul fel, specificând distribuția temperaturii pe suprafața corpului t c pentru fiecare moment de timp:

t c =  2 x, y, z, . (4,16)

În cazul particular când temperatura de la suprafață este constantă pe toată durata proceselor de transfer de căldură, ecuația (4.16) este simplificată și ia forma t c =idem.

B. Condiții la limită de al doilea fel, specificând valoarea densității fluxului de căldură pentru fiecare punct de pe suprafață și în orice moment în timp. Din punct de vedere analitic, aceasta poate fi reprezentată după cum urmează:

q n = x, y, z, , (4.17)

unde q n  densitatea fluxului de căldură pe suprafața corpului.

În cel mai simplu caz, densitatea fluxului de căldură pe suprafață și în timp rămâne constantă q n =idem. Acest caz de schimb de căldură apare, de exemplu, la încălzirea diferitelor produse metalice în cuptoare cu temperatură înaltă.

B. Condiții la limită de al treilea fel, precizând temperatura ambiantă tf și legea schimbului de căldură între suprafața corpului și mediu. Legea lui Newton este folosită pentru a descrie procesul de schimb de căldură între suprafața unui corp și mediu.

Conform legii lui Newton, cantitatea de căldură degajată de o unitate de suprafață a unui corp pe unitatea de timp este proporțională cu diferența de temperatură a corpului t c și a mediului t f

q = t c  t f . (4,18)

Coeficientul de transfer de căldură caracterizează intensitatea schimbului de căldură între suprafața corpului și mediu. Din punct de vedere numeric, este egală cu cantitatea de căldură degajată (sau percepută) de o unitate de suprafață pe unitatea de timp atunci când diferența de temperatură dintre suprafața corpului și mediu este egală cu un grad.

Conform legii conservării energiei, cantitatea de căldură care este îndepărtată de pe o unitate de suprafață pe unitatea de timp din cauza transferului de căldură (4.18) trebuie să fie egală cu căldura furnizată unei unități de suprafață pe unitatea de timp din cauza conductivității termice de la volumele interne ale corpului (4.7), i.e.

, (4.19)

unde n  normal cu suprafața corpului; indicele „C” indică faptul că temperatura și gradientul se referă la suprafața corpului (cu n=0).

În cele din urmă, condiția limită de al treilea fel poate fi scrisă ca

. (4.20)

Ecuația (4.20), în esență, este o expresie particulară a legii conservării energiei pentru suprafața unui corp.

D. Condiții la limită de al patrulea fel, care caracterizează condițiile de schimb de căldură între un sistem de corpuri sau un corp cu mediul înconjurător conform legii conductibilității termice. Se presupune că există un contact perfect între corpuri (temperaturile suprafețelor de contact sunt aceleași). În condițiile luate în considerare, există o egalitate a fluxurilor de căldură care trec prin suprafața de contact:

. (4.21)