Modulul unui număr (valoarea absolută a unui număr), definiții, exemple, proprietăți. Reprezentarea numerelor reale pe dreapta numerică

11.02.2022 | Către profesor

CAPITOLUL 1. Variabile și funcții

§1.1. Numerele reale
Prima cunoaștere cu numerele reale are loc în curs şcolar matematică. Fiecare număr real este reprezentat printr-o fracție zecimală finită sau infinită.

Numerele reale sunt împărțite în două clase: clasa numerelor raționale și clasa numerelor iraționale. Raţional sunt numere care au forma , unde mŞi n- întregurile sunt reciproce numere prime, Dar
. (Setul de numere raționale este notat cu litera Q). Numerele reale rămase sunt numite iraţional. Numerele raționale sunt reprezentate printr-o fracție periodică finită sau infinită (la fel ca fracții comune), atunci acele și numai acele numere reale care pot fi reprezentate prin fracții neperiodice infinite vor fi iraționale.

De exemplu, numărul
- rațional, și
,
,
etc. – numere iraționale.

Numerele reale pot fi, de asemenea, împărțite în numere algebrice - rădăcinile unui polinom cu coeficienți raționali (acestea includ, în special, toate numerele raționale - rădăcinile ecuației
) – iar la cele transcendentale – toate celelalte (de exemplu, numere
și altele).

Seturi de toate naturale, întregi, numere reale sunt desemnate în mod corespunzător după cum urmează: NZ, R
(literele inițiale ale cuvintelor Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Imagine a numerelor reale pe linia numerică. Intervale

Geometric (pentru claritate), numerele reale sunt reprezentate prin puncte pe o linie dreaptă infinită (în ambele direcții) numită numeric axă. În acest scop, se ia un punct pe linia luată în considerare (originea este punctul 0), se indică o direcție pozitivă, reprezentată de o săgeată (de obicei la dreapta) și se selectează o unitate de scară, care este pusă deoparte pe termen nelimitat. pe ambele părți ale punctului 0. Așa sunt reprezentate numerele întregi. Pentru a reprezenta un număr cu o zecimală, trebuie să împărțiți fiecare segment în zece părți etc. Astfel, fiecare număr real este reprezentat de un punct pe dreapta numerelor. Înapoi la fiecare punct
corespunde unui număr real egal cu lungimea segmentului
și luate cu semnul „+” sau „–”, în funcție de faptul că punctul se află la dreapta sau la stânga originii. În acest fel, se stabilește o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor numerelor reale și mulțimea tuturor punctelor de pe axa numerelor. Termenii „număr real” și „punct al axei numărului” sunt folosiți ca sinonime.

Simbol Vom nota atât un număr real, cât și punctul corespunzător acestuia. Numerele pozitive sunt situate în dreapta punctului 0, numerele negative sunt situate în stânga. Dacă
, apoi pe axa numerelor punctul se află la stânga punctului . Lasă punctul
corespunde numărului, atunci numărul se numește coordonata punctului, scrieți
; Mai des, punctul în sine este notat cu aceeași literă cu numărul. Punctul 0 este originea coordonatelor. Axa este, de asemenea, desemnată prin literă (Fig. 1.1).

Orez. 1.1. Axa numerelor.
Ansamblul tuturor numerelor mincinoase între numere date și se numește interval sau interval; capetele îi pot aparține sau nu. Să lămurim acest lucru. Lasă
. Un set de numere care îndeplinesc condiția
, numit interval (în sens restrâns) sau interval deschis, notat prin simbol
(Fig. 1.2).

Orez. 1.2. Interval
Un set de numere astfel încât
se numește interval închis (segment, segment) și se notează cu
; pe axa numerelor este marcat după cum urmează:

Orez. 1.3. Interval închis
Diferă de golul deschis doar prin două puncte (capete) și . Dar această diferență este fundamentală, semnificativă, așa cum vom vedea mai târziu, de exemplu, când studiem proprietățile funcțiilor.

Omiterea cuvintelor „mulțimea tuturor numerelor (puncte) x astfel încât”, etc., notăm în continuare:

Şi
, notat
Şi
intervale pe jumătate deschise sau pe jumătate închise (uneori: semiintervale);

sau
mijloace:
sau
si este desemnat
sau
;

sau
mijloace
sau
si este desemnat
sau
;

, notat
multimea tuturor numerelor reale. Ecusoane
simboluri „infinit”; se numesc numere improprii sau ideale.

§1.3. Valoarea absolută (sau modulul) unui număr real
Definiţie. Valoarea absolută (sau modul) numărul se numește numărul însuși dacă
sau
Dacă
. Valoarea absolută este indicată prin simbol . Aşa,

De exemplu,
,
,
.

Geometric înseamnă distanța punctuală o la origine. Dacă avem două puncte și , atunci distanța dintre ele poate fi reprezentată ca
(sau
). De exemplu,
apoi distanta
.

Proprietățile cantităților absolute.

1. Din definiţie rezultă că

,
, adică
.

2. Valoarea absolută a sumei și diferenței nu depășește suma valorilor absolute:
.

1) Dacă
, Asta
. 2) Dacă
, Asta . ▲

3.
.

, apoi prin proprietatea 2:
, adică
. La fel, dacă vă imaginați
, atunci ajungem la inegalitate
▲

4.
– rezultă din definiție: luați în considerare cazuri
Şi
.

5.
, cu condiția ca
Același lucru rezultă din definiție.

6. Inegalitatea
,
, înseamnă
. Această inegalitate este satisfăcută de punctele care se află între
Şi
.

7. Inegalitate
echivalează cu inegalitatea
, adică . Acesta este un interval centrat într-un punct de lungime
. Se numește
vecinătatea unui punct (număr). Dacă
, atunci cartierul se numește perforat: aceasta este sau
. (Fig.1.4).

8.
de unde rezultă că inegalitatea
(
) este echivalentă cu inegalitatea
sau
; și inegalitatea
defineşte un set de puncte pentru care
, adică acestea sunt puncte situate în afara segmentului
, exact:
Şi
.

§1.4. Câteva concepte și notații
Să prezentăm câteva concepte și notații larg utilizate din teoria mulțimilor, logica matematicași alte ramuri ale matematicii moderne.

1 . Concept seturi este una dintre cele fundamentale în matematică, inițială, universală – și de aceea nu poate fi definită. Nu poate fi decât descris (înlocuit cu sinonime): este o colecție, o colecție a unor obiecte, lucruri, unite prin unele caracteristici. Aceste obiecte sunt numite elemente mulţimi. Exemple: multe boabe de nisip pe mal, stele din Univers, elevi la clasă, rădăcini ale unei ecuații, puncte ale unui segment. Se numesc seturi ale căror elemente sunt numere multimi numerice. Pentru unele seturi standard, este introdusă notație specială, de exemplu, N,Z,R- vezi § 1.1.

Lasă O– multe și x este elementul său, atunci ei scriu:
; citeste " x aparține O» (
semn de includere pentru elemente). Dacă obiectul x nu sunt incluse în O, apoi scriu
; citește: " x nu aparține O" De exemplu,
N; 8,51N; dar 8,51 R.

Dacă x este o desemnare generală pentru elementele unui set O, apoi scriu
. Dacă este posibil să notați denumirea tuturor elementelor, atunci scrieți
,
etc. O mulţime care nu conţine un singur element se numeşte mulţime goală şi se notează cu simbolul ; de exemplu, mulțimea rădăcinilor (reale) ecuației
acolo este gol.

Setul este numit final, dacă este format dintr-un număr finit de elemente. Dacă, indiferent ce număr natural N este luat, în mulțime O atunci sunt mai multe elemente decât N O numit fără sfârşit set: există infinit de elemente în el.

Dacă fiecare element al setului ^A aparține multora B, Asta numită parte sau submulțime a unei mulțimi B si scrie
; citeste " O cuprins în B» (
există un semn de includere pentru seturi). De exemplu, NZR. Dacă și
, apoi se spune că seturile OŞi B sunt egali si scrie
. Altfel ei scriu
. De exemplu, dacă
, A
set de rădăcini ale ecuației
, Asta .

Mulțimea elementelor ambelor mulțimi OŞi B numit unificare setează și se notează
(Uneori
). Un set de elemente aparținând și OŞi B, numit intersecţie setează și se notează
. Mulțimea tuturor elementelor unei mulțimi ^A, care nu sunt cuprinse în B, numit diferenţă setează și se notează
. Aceste operații pot fi reprezentate schematic după cum urmează:

Dacă se poate stabili o corespondență unu-la-unu între elementele mulțimilor, atunci ei spun că aceste mulțimi sunt echivalente și scrie
. Orice set O, echivalent cu mulțimea numerelor naturale N= numit numărabile sau numărabile. Cu alte cuvinte, o mulțime se numește numărabilă dacă elementele sale pot fi numerotate și aranjate într-un infinit ulterior
, dintre care toți membrii sunt diferiți:
la
, și poate fi scris sub forma . Alte mulțimi infinite sunt numite nenumărate. Numărabil, cu excepția setului în sine N, vor exista, de exemplu, seturi
, Z. Se dovedește că mulțimile tuturor numerelor raționale și algebrice sunt numărabile, iar mulțimile echivalente ale tuturor numerelor și punctelor iraționale, transcendentale, reale ale oricărui interval sunt nenumărabile. Ei spun că acestea din urmă au puterea continuumului (puterea este o generalizare a conceptului de număr (număr) de elemente pentru o mulțime infinită).

2 . Să fie două afirmații, două fapte: și
. Simbol
înseamnă: „dacă adevărat, atunci adevărat și” sau „urmează”, „implică faptul că rădăcina ecuației are proprietatea din engleză Exista- exista.

Intrare:

, sau
, înseamnă: există (cel puțin un) obiect având proprietatea . Și înregistrarea
, sau
, înseamnă: toată lumea are proprietatea. În special, putem scrie:
Și .

Știm deja că mulțimea numerelor reale $R$ este formată din numere raționale și iraționale.

Numerele raționale pot fi întotdeauna reprezentate ca fracții zecimale (periodice finite sau infinite).

Numerele iraționale sunt scrise ca fracții zecimale infinite, dar neperiodice.

Mulțimea numerelor reale $R$ include și elementele $-\infty $ și $+\infty $, pentru care inegalitățile $-\infty sunt valabile.

Să ne uităm la modalități de a reprezenta numere reale.

Fracții comune

Fracțiile comune sunt scrise folosind două numere naturale și o linie fracțională orizontală. Bara de fracțiuni înlocuiește de fapt semnul de diviziune. Numărul de sub linie este numitorul fracției (divizor), numărul de deasupra liniei este numărătorul (dividend).

Definiţie

O fracție se numește propriu-zisă dacă numărătorul ei este mai mic decât numitorul ei. În schimb, o fracție se numește fracție improprie dacă numărătorul ei este mai mare sau egal cu numitorul.

Pentru fracțiile obișnuite, există reguli de comparație simple, aproape evidente ($m$,$n$,$p$ - numere naturale):

din două fracții cu aceiași numitori, cea cu numărătorul mai mare este mai mare, adică $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ pentru $m>n$;
dintre două fracții cu aceiași numărători, cea cu numitorul mai mic este mai mare, adică $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ pentru $ m
o fracție proprie este întotdeauna mai mică decât unu; o fracție improprie este întotdeauna mai mare decât unu; o fracție în care numărătorul este egal cu numitorul este egală cu unu;
Fiecare fracție improprie este mai mare decât fiecare fracție proprie.

Numerele zecimale

Scrierea unui număr zecimal ( zecimal) are forma: întreaga parte, virgulă zecimală, parte fracțională. Notație zecimală O fracție comună poate fi obținută prin împărțirea numărătorului la numitorul cu „unghiul”. Acest lucru poate avea ca rezultat fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită.

Definiţie

Cifrele părții fracționale se numesc zecimale. În acest caz, prima cifră după virgulă zecimală se numește cifra zecimii, a doua - cifra sutimii, a treia - cifra miimilor etc.

Exemplul 1

Determinați valoarea numărului zecimal 3,74. Obținem: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Numărul zecimal poate fi rotunjit. În acest caz, trebuie să indicați cifra la care se efectuează rotunjirea.

Regula de rotunjire este următoarea:

toate cifrele din dreapta acestei cifre sunt înlocuite cu zerouri (dacă aceste cifre sunt înainte de virgulă zecimală) sau eliminate (dacă aceste cifre sunt după virgulă zecimală);
dacă prima cifră care urmează unei cifre date este mai mică de 5, atunci cifra acestei cifre nu se modifică;
dacă prima cifră după o anumită cifră este 5 sau mai mult, atunci cifra acestei cifre este mărită cu unu.

Exemplul 2

Să rotunjim numărul 17302 la mii: 17000.
Să rotunjim numărul 17378 la sute: 17400.
Să rotunjim numărul 17378,45 la zeci: 17380.
Să rotunjim numărul 378,91434 la cea mai apropiată sutime: 378,91.
Să rotunjim numărul 378,91534 la cea mai apropiată sutime: 378,92.

Convertiți un număr zecimal într-o fracție.

Cazul 1

Un număr zecimal reprezintă o fracție zecimală finală.

Următorul exemplu demonstrează metoda de conversie.

Exemplul 2

Avem: $3.74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

O reducem la un numitor comun și obținem:

Fracția poate fi redusă: $3.74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Cazul 2

O zecimală reprezintă o fracție zecimală periodică infinită.

Metoda de conversie se bazează pe faptul că partea periodică a unei fracții zecimale periodice poate fi considerată ca suma termenilor unui infinit descrescător. progresie geometrică.

Exemplul 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Primul termen al progresiei este $a=0,74$, numitorul progresiei este $q=0,01$.

Exemplul 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Primul termen al progresiei este $a=0.08$, numitorul progresiei este $q=0.1$.

Suma termenilor unei progresii geometrice descrescătoare infinite se calculează prin formula $s=\frac(a)(1-q) $, unde $a$ este primul termen și $q$ este numitorul progresiei $ \left (0

Exemplul 6

Să convertim fracția zecimală periodică infinită $0,\left(72\right)$ într-una obișnuită.

Primul termen al progresiei este $a=0,72$, numitorul progresiei este $q=0,01$. Se obține: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) $. Astfel, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Exemplul 7

Să convertim fracția zecimală periodică infinită $0,5\left(3\right)$ într-una obișnuită.

Primul termen al progresiei este $a=0.03$, numitorul progresiei este $q=0.1$. Se obține: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1) )(30) $.

Astfel, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac(1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Numerele reale pot fi reprezentate prin puncte de pe axa numerelor.

În acest caz, numim axa numerelor o linie dreaptă infinită pe care sunt selectate originea (punctul $O$), direcția pozitivă (indicată printr-o săgeată) și scara (pentru afișarea valorilor).

Există o corespondență unu-la-unu între toate numerele reale și toate punctele de pe axa numerelor: fiecare punct îi corespunde singularși, invers, fiecărui număr îi corespunde un singur punct. În consecință, mulțimea numerelor reale este continuă și infinită, la fel cum linia numerică este continuă și infinită.

Unele submulțimi ale mulțimii de numere reale se numesc intervale numerice. Elementele unui interval numeric sunt numere $x\în R$ care satisfac o anumită inegalitate. Fie $a\in R$, $b\in R$ și $a\le b$. În acest caz, tipurile de intervale pot fi următoarele:

Interval $\stanga(a,\; b\dreapta)$. In acelasi timp $a
Segmentează $\left$. Mai mult, $a\le x\le b$.
Semi-segmente sau semi-intervale $\left$. Mai mult $ a \le x
Intervale infinite, de exemplu $a

Un tip de interval numit vecinătate a unui punct este de asemenea important. Vecinătatea unui punct dat $x_(0) \în R$ este un interval arbitrar $\left(a,\; b\right)$ care conține acest punct în interiorul său, adică $a 0$ este raza lui.

Valoarea absolută a unui număr

Valoarea absolută (sau modulul) unui număr real $x$ este un număr real nenegativ $\left|x\right|$, determinat de formula: $\left|x\right|=\left\(\ începe(matrice)(c) (\; \; x\; \; (\rm la)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm la)\; \; x

Geometric, $\left|x\right|$ înseamnă distanța dintre punctele $x$ și 0 de pe linia numerică.

Proprietățile valorilor absolute:

din definiție rezultă că $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
pentru modulul sumei și pentru modulul diferenței a două numere sunt valabile următoarele inegalități: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, precum și $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
pentru modulul produsului și modulul câtului a două numere sunt adevărate următoarele egalități: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ și $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Pe baza definiției valorii absolute pentru un număr arbitrar $a>0$, putem stabili și echivalența următoarelor perechi de inegalități:

dacă $\left|x\right|
dacă $\left|x\right|\le a$, atunci $-a\le x\le a$;
dacă $\left|x\right|>a$, atunci fie $xa$;
dacă $\left|x\right|\ge a$, atunci fie $x\le -a$, fie $x\ge a$.

Exemplul 8

Rezolvați inegalitatea $\left|2\cdot x+1\right|

Această inegalitate este echivalentă cu inegalitățile $-7

De aici obținem: -8 dolari

nr 1. Proprietățile numerelor raționale.

 Ordine . Pentru orice numere raționale, există o regulă care permite să identifice în mod unic între ele unul și doar unul dintre cele trei relaţii: "", "" sau "". Această regulă se numește regula de ordonareși se formulează astfel: două numere pozitive și sunt legate prin aceeași relație ca două numere întregi; două numere nepozitive sunt legate prin aceeași relație ca două numere nenegative; dacă dintr-o dată nu este negativ, ci negativ, atunci.

Adunarea fracțiilor

 Operație de adăugare . regula de însumare, care le pune în corespondență cu un număr rațional. În acest caz, numărul în sine este numit cantitate numerele u se notează și procesul de găsire a unui astfel de număr este numit însumare. Regula de însumare are următoarea formă: .

 Operația de înmulțire . Pentru orice numere raționale există un așa-numit regula înmulțirii, care le pune în corespondență cu un număr rațional. În acest caz, numărul în sine este numit lucru numere și se notează, iar procesul de găsire a unui astfel de număr este numit și multiplicare. Regula înmulțirii arată astfel: .

 Tranzitivitatea relații de ordine. Pentru orice triplu de numere raționale, și dacă este din ce în ce mai mic, atunci mai mic, iar dacă este egal, atunci egal.

 Comutativitate plus. Schimbarea locurilor termenilor raționali nu schimbă suma.

 Asociativitatea plus. Ordinea în care sunt adăugate trei numere raționale nu afectează rezultatul.

 Disponibilitatezero . Există un număr rațional 0 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este adăugat.

 Prezența numerelor opuse. Orice număr rațional are un număr rațional opus, care atunci când este adăugat la dă 0.

 Comutativitatea înmulțirii. Schimbarea locurilor factorilor raționali nu schimbă produsul.

 Asociativitatea înmulțirii. Ordinea în care sunt înmulțite trei numere raționale nu afectează rezultatul.

 Disponibilitateunitati . Există un număr rațional 1 care păstrează orice alt număr rațional atunci când este înmulțit.

 Disponibilitatenumere reciproce . Orice număr rațional diferit de zero are un număr rațional invers, care atunci când este înmulțit cu dă 1.

 Distributivitatea înmulțire relativ la adunare. Operația de înmulțire este coordonată cu operația de adunare prin legea distribuției:

 Legătura relației de ordine cu operația de adunare. Același număr rațional poate fi adăugat la părțile din stânga și din dreapta unei inegalități raționale.

 Legătura dintre relația de ordine și operația de înmulțire. Laturile stânga și dreapta ale unei inegalități raționale pot fi înmulțite cu același număr rațional pozitiv.

 Axioma lui Arhimede . Oricare ar fi numărul rațional, puteți lua atât de multe unități încât suma lor depășește.

nr. 2. Modulul unui număr real.

Definiţie . Modulul unui număr real nenegativ x este numărul însuși: | x | = x; Modulul unui număr real negativ x este numărul opus: I x | = - x.

Pe scurt este scris asa:

2. Sensul geometric modulul unui număr real

Să revenim la mulțimea R de numere reale și geometrica ei modele- linia numerică. Să marchem două puncte a și b (două numere reale a și b) pe o linie dreaptă și notăm cu (a, b) distanța dintre punctele a și b (- litera alfabet grecesc"ro") Această distanță este egală cu b - a, dacă b > a (Fig. 101), este egală cu a - b, dacă a > b (Fig. 102) și, în final, este egală cu zero dacă a = b.

Toate cele trei cazuri sunt acoperite de o singură formulă:

b) Ecuația | x + 3,2 | = 2 rescriem sub forma | x - (- 3,2) | = 2 și mai departe (x, - 3,2) = 2. Pe linia de coordonate există două puncte care sunt îndepărtate din punctul - 3,2 cu o distanță egală cu 2. Acestea sunt punctele - 5,2 și - 1,2 (Fig. . 104) . Deci ecuația are două rădăcină: -5,2 și - 1,2.

№4.SET DE NUMERE REALE

Unirea unei mulțimi de numere raționale și a unei mulțimi de numere iraționale se numește mulțime valabil (sau real ) numere . Mulțimea numerelor reale se notează prin simbol R. Evident, .

Numerele reale sunt afișate pe axa numerelor Oh puncte (fig.). În acest caz, fiecărui număr real îi corespunde un anumit punct de pe axa numerică, iar fiecărui punct de pe axă îi corespunde un anumit număr real.

Prin urmare, în loc de cuvintele „număr real” puteți spune „punct”.

nr. 5. Intervalele numerice.

Tip de gol	Imagini geometrice	Desemnare	Scrierea folosind inegalități
Interval

Jumătate de interval
Jumătate de interval


Faza deschisă
Faza deschisă

nr. 6. Funcția numerică.

Să fie dat un set de numere Dacă fiecare număr este asociat cu un singur număr y, apoi spun că pe platou D numeric dat funcţie :

y = f (x),

Multe D numit domeniul functiei si este desemnat D (f (x)). Un set format din toate elementele f (x), unde se numește intervalul de funcții si este desemnat E (f (x)).

Număr x numit adesea argumentul funcției sau variabilă independentă și numărul y– variabilă dependentă sau, de fapt, funcţie variabilă x. Se numește numărul corespunzător valorii valoarea functiei la un punct și denotă

Pentru a seta o funcție f, trebuie să specificați:

1) domeniul său de definire D (f (x));

2) precizați regula f, prin care fiecare valoare este asociată cu o anumită valoare y = f (x).

№7. Funcția inversă,

Funcția inversă

Dacă rolurile argumentului și funcției sunt inversate, atunci x va deveni o funcţie a y. În acest caz vorbim despre o nouă funcție numită functie inversa. Să presupunem că avem o funcție:

v = u 2 ,

Unde u- argument, a v- functie. Dacă le schimbăm rolurile, primim u ca functie v :

Dacă notăm argumentul în ambele funcții prin x , iar funcția – prin y, atunci avem două funcții:

fiecare dintre ele este inversul celuilalt.

EXEMPLE. Aceste funcții sunt inverse una față de cealaltă:

1) păcatul xși Arcsin x, pentru că dacă y= păcat x, Asta x= Arcsin y;

2) cos xși Arccos x, pentru că dacă y=cos x, Asta x= Arccos y;

3) bronz xși Arctan x, pentru că dacă y= bronz x, Asta x= Arctan y;

4) e xși ln x, pentru că dacă y= e x, Asta x= jurnal y.

Funcții trigonometrice inverse- funcţii matematice care sunt inversul funcţiilor trigonometrice. Șase funcții sunt de obicei clasificate ca funcții trigonometrice inverse:

arcsinus(simbol: arcsin)

arc cosinus(simbol: arccos)

arctangent(desemnare: arctg; în literatura străină arctan)

arccotangent(desemnare: arcctg; în literatura străină arccotan)

arcsecant(simbol: arcsec)

arccosecant(denumirea: arccosec; în literatura străină arccsc)

№8. Funcții elementare de bază. Funcții elementare

Este demn de remarcat faptul că funcțiile trigonometrice inverse au mai multe valori (infinit semnificative), iar atunci când se lucrează cu ele, se folosesc așa-numitele valori principale.

№9. Numerele complexe

sunt scrise sub forma: a+ bi. Aici oŞi b – numere reale, A i – unitate imaginară, adică i 2 = –1. Număr o numit abscisă, a b – ordonată număr complex a+ bi. Două numere complexe a+ bi Şi o – bi sunt numite conjuga numere complexe.

Numerele reale pot fi reprezentate prin puncte pe o linie dreaptă, așa cum se arată în figură, unde punctul A reprezintă numărul 4, iar punctul B numărul -5. Aceste numere pot fi reprezentate și prin segmente OA, OB, ținând cont nu numai de lungimea lor, ci și de direcția lor.

Fiecare punct M al dreptei numerice reprezintă un număr real (rațional dacă segmentul OM este proporțional cu o unitate de lungime și irațional dacă este incomensurabil). Acest lucru nu lasă loc pentru numere complexe pe linia numerică.

Dar numerele complexe pot fi descrise pe planul numeric. Pentru a face acest lucru, selectăm un sistem de coordonate dreptunghiular pe plan, cu aceeași scară pe ambele axe.

Număr complex a + b i reprezentat de un punct M a cărui abscisă x este egală cu abscisa o număr complex, iar ordonata lui y este egală cu ordonata b număr complex.

Înapoi Înainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

Echipament: proiector, ecran, computer personal, prezentare multimedia

Progresul lecției

1. Moment organizatoric.

2. Actualizarea cunoștințelor elevilor.

2.1. Răspundeți la întrebările elevilor despre teme.

2.2. Rezolvați cuvintele încrucișate (repetarea materialului teoretic) (Diapozitivul 2):

O combinație de simboluri matematice care exprimă ceva

declaraţie. ( Formula.)
Fracții zecimale neperiodice infinite. ( Iraţional numere)

O cifră sau un grup de cifre repetate într-o zecimală nesfârșită. ( Perioadă.)

Numerele folosite pentru a număra obiectele. ( Natural numere.)

Fracții periodice zecimale infinite. (Raţional numere .)

Numere raționale + numere iraționale = ? numere .)

(Valabil – După rezolvarea cuvintelor încrucișate, citiți numele subiectului lecției de astăzi în coloana verticală evidențiată.

(Diapozitive 3, 4)

3. Explicarea unui subiect nou. o 3.1. – Băieți, ați întâlnit deja conceptul de modul, ați folosit notația |

| . Anterior, vorbeam doar despre numere raționale. Acum trebuie să introducem conceptul de modul pentru orice număr real.

Fiecare număr real corespunde unui singur punct de pe dreapta numerică și, invers, fiecărui punct de pe dreapta numerică îi corespunde un singur număr real. Toate proprietățile de bază ale operațiilor pe numere raționale sunt păstrate pentru numerele reale. Se introduce conceptul de modul al unui număr real.

(Diapozitivul 5). x Definiţie. Modulul unui număr real nenegativ x| = x apelați acest număr în sine: | ; modulul unui număr real negativ X x| = – x .

– sunați la numărul opus: |