Pjesëtimi i thyesave me emërues të ndryshëm 5. Thyesat
Për të kuptuar se si të ndajmë thyesat, le të studiojmë rregullin dhe të përdorim shembuj për të parë se si ta zbatojmë atë.
Rregulli i ndarjes thyesat e zakonshme
Për të ndarë dy fraksione, duhet të shumëzoni numrin e parë me të dytin (d.m.th., ne shumëzojmë fraksionin e parë me të dytën e përmbysur).
Shembuj të pjesëtimit të thyesave të zakonshme:
Për t'i pjesëtuar këto thyesa, ne rishkruajmë thyesën e parë dhe , inversin e të dytës (e shumëzojmë dividentin me inversin e pjesëtuesit). Asgjë nuk mund të shkurtohet këtu.
Për t'i pjesëtuar këto thyesa, ne e rishkruajmë numrin e parë të pandryshuar dhe e shumëzojmë me reciprocitetin e të dytit 6 dhe 9 me 3, 20 dhe 25 me 5. Thyesa rezultuese 8/15 është e duhur dhe e pareduktueshme. Pra, kjo është përgjigja përfundimtare.
E lëmë të pandryshuar thyesën e parë dhe e shumëzojmë me reciproken e thyesës së dytë. Ne zvogëlojmë 45 dhe 36 me 9, 65 dhe 52 me 13. Si rezultat, marrim një fraksion të papërshtatshëm, nga i cili .
Kur pjesëtojmë dy numra të barabartë, marrim një, kështu që mund ta shkruajmë menjëherë përgjigjen.
Për të ndarë thyesat, shumëzojeni të parën me reciprocitetin e të dytës. Zvogëlojmë 23 dhe 23 me 23, 14 dhe 7 me 7. Meqenëse emëruesi është një, përgjigja është një numër i plotë.
Herën tjetër do të shohim se si të pjesëtojmë një numër të plotë me një thyesë.
Numrat e zakonshëm thyesorë takojnë fillimisht nxënësit e shkollës në klasën e 5-të dhe i shoqërojnë gjatë gjithë jetës së tyre, pasi në jetën e përditshme shpesh është e nevojshme të merret parasysh ose të përdoret një objekt jo si një e tërë, por në pjesë të veçanta. Filloni të studioni këtë temë - ndan. Aksionet janë pjesë të barabarta, në të cilën ndahet ky apo ai objekt. Në fund të fundit, nuk është gjithmonë e mundur të shprehet, për shembull, gjatësia ose çmimi i një produkti si një numër i plotë duhet të merren parasysh. E formuar nga folja "për të ndarë" - për të ndarë në pjesë, dhe me rrënjë arabe, vetë fjala "fraksion" u ngrit në gjuhën ruse në shekullin e 8-të.
Shprehjet thyesore janë konsideruar prej kohësh si dega më e vështirë e matematikës. Në shekullin e 17-të, kur u shfaqën tekstet e para të matematikës, ato u quajtën "numra të thyer", gjë që ishte shumë e vështirë për t'u kuptuar nga njerëzit.
Forma moderne e mbetjeve të thjeshta thyesore, pjesët e të cilave ndahen nga një vijë horizontale, u promovua për herë të parë nga Fibonacci - Leonardo i Pizës. Veprat e tij datohen në vitin 1202. Por qëllimi i këtij artikulli është t'i shpjegojë thjesht dhe qartë lexuesit se si shumëzohen thyesat e përziera me emërues të ndryshëm.
Shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm
Fillimisht ia vlen të përcaktohet llojet e thyesave:
- e saktë;
- e pasaktë;
- të përziera.
Më pas, duhet të mbani mend se si shumëzohen numrat thyesorë me emërues të njëjtë. Vetë rregulli i këtij procesi nuk është i vështirë të formulohet në mënyrë të pavarur: rezultati i shumëzimit të thyesave të thjeshta me emërues identikë është një shprehje thyesore, numëruesi i së cilës është prodhimi i numëruesve, dhe emëruesi është prodhimi i emëruesve të këtyre thyesave. . Kjo është, në fakt, emëruesi i ri është katrori i një prej atyre ekzistues.
Kur shumëzohet thyesa të thjeshta me emërues të ndryshëm për dy ose më shumë faktorë rregulli nuk ndryshon:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Dallimi i vetëm është se numri i formuar nën vijën thyesore do të jetë produkt i numrave të ndryshëm dhe, natyrisht, nuk mund të quhet katror i një shprehjeje numerike.
Vlen të merret parasysh shumëzimi i thyesave me emërues të ndryshëm duke përdorur shembuj:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Shembujt përdorin metoda për reduktimin e shprehjeve thyesore. Ju mund të zvogëloni numrat numërues vetëm me numra emërues, faktorët ngjitur mbi ose nën vijën e thyesave.
Së bashku me thyesat e thjeshta, ekziston koncepti i thyesave të përziera. Një numër i përzier përbëhet nga një numër i plotë dhe një pjesë thyesore, domethënë është shuma e këtyre numrave:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Si funksionon shumëzimi?
Janë dhënë disa shembuj për shqyrtim.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Shembulli përdor shumëzimin e një numri me pjesë e zakonshme thyesore, rregulli për këtë veprim mund të shkruhet si:
a* b/c = a*b /c.
Në fakt, një produkt i tillë është shuma e mbetjeve identike thyesore, dhe numri i termave tregon këtë numër natyror. Rast i veçantë:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Ekziston një zgjidhje tjetër për shumëzimin e një numri me një mbetje thyesore. Thjesht duhet të ndani emëruesin me këtë numër:
d* e/f = e/f: d.
Kjo teknikë është e dobishme për t'u përdorur kur emëruesi pjesëtohet me një numër natyror pa mbetje ose, siç thonë ata, me një numër të plotë.
Shndërroni numrat e përzier në thyesa jo të duhura dhe merrni produktin në mënyrën e përshkruar më parë:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ky shembull përfshin një mënyrë për të paraqitur një fraksion të përzier si një fraksion të papërshtatshëm, dhe gjithashtu mund të përfaqësohet si një formulë e përgjithshme:
a bc = a*b+ c / c, ku emëruesi i thyesës së re formohet duke shumëzuar të gjithë pjesën me emëruesin dhe duke e shtuar atë me numëruesin e mbetjes thyesore origjinale, dhe emëruesi mbetet i njëjtë.
Ky proces funksionon gjithashtu në ana e kundërt. Për të ndarë të gjithë pjesën dhe pjesën e mbetur thyesore, duhet të ndani numëruesin e një fraksioni të gabuar me emëruesin e tij duke përdorur një "qoshe".
Shumëzimi i thyesave jo të duhura prodhuar në një mënyrë të pranuar përgjithësisht. Kur shkruani nën një rresht të vetëm thyese, duhet të zvogëloni thyesat sipas nevojës në mënyrë që të zvogëloni numrat duke përdorur këtë metodë dhe ta bëni më të lehtë llogaritjen e rezultatit.
Ka shumë ndihmës në internet për të zgjidhur edhe probleme komplekse matematikore në variacione të ndryshme programesh. Një numër i mjaftueshëm i shërbimeve të tilla ofrojnë ndihmën e tyre në numërimin e shumëzimit të thyesave me numra të ndryshëm në emërues - të ashtuquajturat kalkulatorë online për llogaritjen e thyesave. Ata janë në gjendje jo vetëm të shumëzojnë, por edhe të kryejnë të gjitha veprimet e tjera të thjeshta aritmetike me thyesa të zakonshme dhe numra të përzier. Është e lehtë për të punuar me të, ju plotësoni fushat e duhura në faqen e internetit, zgjidhni shenjën e operacionit matematikor dhe klikoni "llogarit". Programi llogarit automatikisht.
Tema e veprimeve aritmetike me thyesa është e rëndësishme gjatë gjithë arsimit të nxënësve të shkollave të mesme dhe të mesme. Në shkollë të mesme, ata nuk konsiderojnë më speciet më të thjeshta, por shprehje thyesore me numra të plotë, por njohja e rregullave për transformimin dhe llogaritjet e marra më herët zbatohet në formën e saj origjinale. Njohuritë bazë të zotëruara mirë japin besim të plotë në zgjidhjen me sukses të problemeve më komplekse.
Si përfundim, ka kuptim të citohen fjalët e Lev Nikolaevich Tolstoy, i cili shkroi: "Njeriu është një fraksion. Nuk është në fuqinë e njeriut të rrisë numëruesin e tij - meritat e tij - por çdokush mund të zvogëlojë emëruesin e tij - mendimin e tij për veten e tij dhe me këtë ulje t'i afrohet përsosmërisë së tij.
Shfaqet ndarja. Në këtë artikull do të flasim për pjesëtimi i thyesave të zakonshme. Së pari, ne do të japim një rregull për ndarjen e thyesave të zakonshme dhe do të shohim shembuj të pjesëtimit të thyesave. Më pas do të fokusohemi në pjesëtimin e një thyese të zakonshme me një numër natyror dhe numrat me një thyesë. Së fundi, le të shohim se si të pjesëtojmë një thyesë të përbashkët me një numër të përzier.
Navigimi i faqes.
Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një thyesë të përbashkët
Dihet se pjesëtimi është veprimi i anasjelltë i shumëzimit (shih lidhjen ndërmjet pjesëtimit dhe shumëzimit). Kjo do të thotë, ndarja përfshin gjetjen e një faktori të panjohur kur produkti dhe një faktor tjetër janë të njohur. I njëjti kuptim i pjesëtimit ruhet gjatë pjesëtimit të thyesave të zakonshme.
Le të shohim shembuj të pjesëtimit të thyesave të zakonshme.
Vini re se nuk duhet të harrojmë reduktimin e fraksioneve dhe ndarjen e të gjithë pjesës nga një fraksion i papërshtatshëm.
Pjesëtimi i një thyese me një numër natyror
Do ta japim menjëherë Rregulli për pjesëtimin e një thyese me një numër natyror: për të pjesëtuar thyesën a/b me një numër natyror n, duhet ta lini numëruesin të njëjtë dhe të shumëzoni emëruesin me n, domethënë .
Ky rregull i ndarjes rrjedh drejtpërdrejt nga rregulli i pjesëtimit të thyesave të zakonshme. Në të vërtetë, përfaqësimi i një numri natyror si thyesë çon në barazitë e mëposhtme 
.
Le të shohim shembullin e pjesëtimit të një thyese me një numër.
Shembull.
Pjesëtoj thyesën 16/45 me numrin natyror 12.
Zgjidhje.
Sipas rregullit për pjesëtimin e një thyese me një numër, kemi 
. Le të bëjmë shkurtesën: . Kjo ndarje është e plotë.
Përgjigje:
.
Pjesëtimi i një numri natyror me një thyesë
Rregulli për pjesëtimin e thyesave është i ngjashëm Rregulli për pjesëtimin e një numri natyror me një thyesë: për të pjesëtuar një numër natyror n me një thyesë të përbashkët a/b, duhet të shumëzoni numrin n me reciprokun e thyesës a/b.
Sipas rregullit të deklaruar, dhe rregulli për shumëzimin e një numri natyror me një thyesë të zakonshme lejon që ai të rishkruhet në formën .
Le të shohim një shembull.
Shembull.
Pjesëtojeni numrin natyror 25 me thyesën 15/28.
Zgjidhje.
Le të kalojmë nga pjesëtimi në shumëzim, kemi 
. Pasi të zvogëlojmë dhe zgjedhim të gjithë pjesën, marrim .
Përgjigje:
.
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier
Pjesëtimi i një thyese me një numër të përzier lehtësisht reduktohet në pjesëtimin e thyesave të zakonshme. Për ta bërë këtë, mjafton të kryhet
Një thyesë është një ose më shumë pjesë të një tërësie, që zakonisht merret si një (1). Ashtu si me numrat natyrorë, ju mund të kryeni të gjitha veprimet themelore aritmetike (mbledhje, zbritje, pjesëtim, shumëzim) me thyesa, për ta bërë këtë, duhet të njihni veçoritë e punës me thyesat dhe të bëni dallimin midis llojeve të tyre. Ekzistojnë disa lloje thyesash: dhjetore dhe të zakonshme, ose të thjeshta. Çdo lloj thyese ka specifikat e veta, por pasi të kuptoni plotësisht se si t'i trajtoni ato, do të jeni në gjendje të zgjidhni çdo shembull me thyesa, pasi do të njihni parimet themelore të kryerjes së llogaritjeve aritmetike me thyesa. Le të shohim shembuj se si të pjesëtohet një thyesë me një numër të plotë duke përdorur lloje të ndryshme thyesash.
Si të pjesëtohet një thyesë e thjeshtë me një numër natyror?Thyesat e zakonshme ose të thjeshta janë thyesat që shkruhen në formën e një raporti numrash në të cilët dividenti (numëruesi) tregohet në krye të thyesës, dhe pjesëtuesi (emëruesi) i thyesës tregohet në fund. Si të pjesëtohet një thyesë e tillë me një numër të plotë? Le të shohim një shembull! Le të themi se duhet të pjesëtojmë 8/12 me 2.
Për ta bërë këtë, ne duhet të kryejmë një sërë veprimesh:
Kështu, nëse përballemi me detyrën e pjesëtimit të një thyese me një numër të plotë, diagrami i zgjidhjes do të duket diçka si kjo: 
Në mënyrë të ngjashme, ju mund të ndani çdo fraksion të zakonshëm (të thjeshtë) me një numër të plotë.
Si të pjesëtohet një dhjetore me një numër të plotë?
Dhjetorja është një thyesë që fitohet duke e ndarë një njësi në dhjetë, një mijë, e kështu me radhë pjesë. Veprimet aritmetike me dhjetore janë mjaft të thjeshta.
Le të shohim një shembull se si të pjesëtohet një thyesë me një numër të plotë. Le të themi se duhet të ndajmë thyesën dhjetore 0,925 me numrin natyror 5.
Për ta përmbledhur, le të ndalemi në dy pika kryesore që janë të rëndësishme gjatë kryerjes së operacionit të pjesëtimit të thyesave dhjetore me një numër të plotë: - për ndarje dhjetore Pjestimi i kolonës përdoret për një numër natyror;
- Një presje vendoset në herës kur përfundon pjesëtimi i të gjithë pjesës së dividentit.
) dhe emërues për emërues (marrim emëruesin e prodhimit).
Formula për shumëzimin e thyesave:
Për shembull:
Para se të filloni të shumëzoni numëruesit dhe emëruesit, duhet të kontrolloni nëse thyesa mund të zvogëlohet. Nëse mund ta zvogëloni thyesën, do të jetë më e lehtë për ju të bëni llogaritjet e mëtejshme.
Pjesëtimi i një thyese të përbashkët me një thyesë.
Pjesëtimi i thyesave që përfshijnë numra natyrorë.
Nuk është aq e frikshme sa duket. Ashtu si në rastin e mbledhjes, ne e kthejmë numrin e plotë në një thyesë me një në emërues. Për shembull:
Shumëzimi i thyesave të përziera.
Rregullat për shumëzimin e thyesave (të përziera):
- shndërroni thyesat e përziera në fraksione të papërshtatshme;
- shumëzimi i numëruesve dhe emërtuesve të thyesave;
- zvogëloni fraksionin;
- Nëse merrni një thyesë të papërshtatshme, atëherë ne e shndërrojmë thyesën e papërshtatshme në një fraksion të përzier.
Kushtojini vëmendje! Për të shumëzuar një fraksion të përzier me një fraksion tjetër të përzier, së pari duhet t'i ktheni ato në formën e fraksioneve të pahijshme, dhe më pas të shumëzoni sipas rregullit për shumëzimin e fraksioneve të zakonshme.
Mënyra e dytë për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror.
Mund të jetë më e përshtatshme të përdoret metoda e dytë e shumëzimit të një thyese të përbashkët me një numër.
Kushtojini vëmendje! Për të shumëzuar një thyesë me një numër natyror, duhet të pjesëtoni emëruesin e thyesës me këtë numër dhe ta lini numëruesin të pandryshuar.
Nga shembulli i dhënë më sipër, është e qartë se ky opsion është më i përshtatshëm për t'u përdorur kur emëruesi i një thyese ndahet pa mbetje me një numër natyror.
Thyesat shumëkatëshe.
Në shkollën e mesme, shpesh hasen thyesat trekatëshe (ose më shumë). Shembull:
Për ta sjellë një fraksion të tillë në formën e tij të zakonshme, përdorni ndarjen me 2 pika:
Kushtojini vëmendje! Gjatë pjesëtimit të thyesave, radha e pjesëtimit është shumë e rëndësishme. Kini kujdes, këtu është e lehtë të ngatërrohesh.
Ju lutemi vini re Për shembull:
Kur pjesëtohet një me çdo thyesë, rezultati do të jetë i njëjti thyesë, vetëm i përmbysur:
Këshilla praktike për shumëzimin dhe pjesëtimin e thyesave:
1. Gjëja më e rëndësishme kur punoni me shprehje thyesore është saktësia dhe vëmendja. Bëni të gjitha llogaritjet me kujdes dhe saktësi, të përqendruar dhe qartë. Është më mirë të shkruani disa rreshta shtesë në draftin tuaj sesa të humbisni në llogaritjet mendore.
2. Në detyrat me lloje të ndryshme thyesat - shkoni në formën e thyesave të zakonshme.
3. Zvogëlojmë të gjitha thyesat derisa të mos jetë më e mundur të zvogëlohen.
4. Shprehjet thyesore me shumë nivele i shndërrojmë në të zakonshme duke përdorur ndarjen me 2 pikë.
5. Ndani një njësi me një fraksion në kokën tuaj, thjesht duke e kthyer fraksionin.
