Veprimet për pabarazitë. Pabarazitë lineare

11.02.2022 | Stinët

1 . Nëse a>b, Kjo b< a ; përkundrazi, nëse A< b , Kjo b > a.

Shembull. Nëse 5x – 1 > 2x + 1, Kjo 2x +1< 5x — 1 .

2 . Nëse a>b Dhe b > c, Kjo a > c. I ngjashëm, A< b Dhe b< с , Kjo a< с .

Shembull. Nga pabarazitë x > 2у, 2v > 10 vijon se x > 10.

3 . Nëse a > b, Se a + c > b + c Dhe a – c > b – c. Nëse A< b , Kjo a + c Dhe a - c , ato. ju mund të shtoni (ose zbritni) të njëjtën sasi në të dy anët e pabarazisë

Shembulli 1. Duke pasur parasysh pabarazinë x + 8>3. Duke zbritur numrin 8 nga të dy anët e pabarazisë, gjejmë x > - 5.

Shembulli 2. Duke pasur parasysh pabarazinë x – 6< — 2 . Duke shtuar 6 në të dyja anët, gjejmë X< 4 .

4 . Nëse a>b Dhe c > d, Se a + c >b + d; saktësisht e njëjta gjë nëse A< b Dhe Me< d , Kjo a + c< b + d , d.m.th., dy pabarazi me të njëjtin kuptim) mund të shtohen term pas termi. Kjo është e vërtetë për çdo numër pabarazish, për shembull nëse a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, Kjo a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.

Shembulli 1. Pabarazitë — 8 > — 10 Dhe 5 > 2 janë të vërteta. Duke i shtuar ato term pas termi, gjejmë pabarazinë e vërtetë — 3 > — 8 .

Shembulli 2. Duke pasur parasysh një sistem pabarazish ( 1/2)x + (1/2) y< 18 ; (1/2)x - (1/2)v< 4 . Duke i mbledhur ato term pas termi, gjejmë x< 22 .

Komentoni. Dy pabarazi me të njëjtin kuptim nuk mund të zbriten nga njëra-tjetra term me term, pasi rezultati mund të jetë i vërtetë, por mund të jetë edhe i pasaktë. Për shembull, nëse nga pabarazia 10 > 8 2 > 1 , atëherë marrim pabarazinë e saktë 8 > 7 por nëse nga pabarazia e njëjtë 10 > 8 zbres pabarazinë term pas termi 6 > 1 , atëherë kemi absurditet. Krahasoni pikën tjetër.

5 . Nëse a>b Dhe c< d , Kjo a – c > b – d; Nëse A< b Dhe c - d, Kjo a - c< b — d , pra nga një pabarazi mund të zbritet term pas termi një pabarazi tjetër me kuptim të kundërt), duke lënë shenjën e pabarazisë nga e cila është zbritur tjetra.

Shembulli 1. Pabarazitë 12 < 20 Dhe 15 > 7 janë të vërteta. Duke zbritur termin e dytë me term nga i pari dhe duke lënë shenjën e të parit, marrim pabarazinë e saktë — 3 < 13 . Duke zbritur të parën nga termi i dytë me term dhe duke lënë shenjën e të dytit, gjejmë pabarazinë e saktë 3 > — 13 .

Shembulli 2. Duke pasur parasysh një sistem pabarazish (1/2)x + (1/2) y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Duke zbritur të dytën nga pabarazia e parë, gjejmë y< 10 .

6 . Nëse a > b Dhe m atëherë është një numër pozitiv ma > mb Dhe a/n > b/n, pra të dy anët e pabarazisë mund të pjesëtohen ose të shumëzohen me të njëjtin numër pozitiv (shenja e pabarazisë mbetet e njëjtë nëse). a>b Dhe n atëherë është një numër negativ na< nb Dhe a/n< b/n , pra, të dy anët e pabarazisë mund të shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, por shenja e pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën.

Shembulli 1. Ndarja e të dy anëve të pabarazisë së vërtetë 25 > 20 në 5 , marrim pabarazinë e saktë 5 > 4 . Nëse ndajmë të dyja anët e pabarazisë 25 > 20 në — 5 , atëherë duhet të ndryshoni shenjën > në < , dhe pastaj marrim pabarazinë e saktë — 5 < — 4 .

Shembulli 2. Nga pabarazia 2x< 12 vijon se X< 6 .

Shembulli 3. Nga pabarazia -(1/3)х — (1/3)х > 4 vijon se x< — 12 .

Shembulli 4. Duke pasur parasysh pabarazinë x/k > y/l; prej tij rezulton se lx > ky, nëse shenjat e numrave l Dhe k janë të njëjta, pra çfarë lx< ky , nëse shenjat e numrave l Dhe k e kundërt.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për ofertat unike, promovimet dhe ngjarjet e tjera dhe ngjarjet e ardhshme.

Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.

Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.

Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Një sistem pabarazish zakonisht quhet regjistrimi i disa pabarazive nën shenjën e një mbajtëse kaçurrelë (në këtë rast, numri dhe lloji i pabarazive të përfshira në sistem mund të jetë arbitrar).

Për të zgjidhur një sistem, është e nevojshme të gjendet kryqëzimi i zgjidhjeve të të gjitha pabarazive të përfshira në të. Në matematikë, një zgjidhje për një pabarazi është çdo vlerë e ndryshimit për të cilën pabarazia është e vërtetë. Me fjalë të tjera, ju duhet të gjeni grupin e të gjitha zgjidhjeve të tij - kjo do të quhet përgjigje. Si shembull, le të përpiqemi të mësojmë se si të zgjidhim një sistem pabarazish duke përdorur metodën e intervalit.

Vetitë e pabarazive

Për të zgjidhur problemin, është e rëndësishme të njihni vetitë themelore të natyrshme në pabarazitë, të cilat mund të formulohen si më poshtë:

Të dy anët e pabarazisë mund t'i shtohet një dhe i njëjti funksion, i përcaktuar në diapazonin e vlerave të lejueshme (ADV) të kësaj pabarazie;

Nëse f(x) > g(x) dhe h(x) është çdo funksion i përcaktuar në ODZ të pabarazisë, atëherë f(x) + h(x) > g(x) + h(x);

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me funksionin pozitiv të përcaktuar në ODZ të kësaj pabarazie (ose me një numër pozitiv), marrim një pabarazi të barabartë me atë origjinal;

Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen me funksionin negativ të përcaktuar në ODZ të pabarazisë së dhënë (ose me një numër negativ) dhe shenja e pabarazisë ndryshohet në të kundërtën, atëherë pabarazia që rezulton është ekuivalente me pabarazinë e dhënë;

Pabarazitë me të njëjtin kuptim mund të shtohen term pas termi, dhe pabarazitë e kuptimit të kundërt mund të zbriten term pas termi;

Pabarazitë me të njëjtin kuptim me pjesë pozitive mund të shumëzohen term pas termi, dhe pabarazitë e formuara nga funksionet jo negative mund të rriten term pas termi në një fuqi pozitive.

Për të zgjidhur një sistem pabarazish, duhet të zgjidhni secilën pabarazi veç e veç dhe më pas t'i krahasoni ato. Rezultati do të jetë një përgjigje pozitive ose negative, që do të thotë nëse sistemi ka një zgjidhje apo jo.

Metoda e intervalit

Kur zgjidhin një sistem pabarazish, matematikanët shpesh përdorin metodën e intervalit, si një nga më efektivet. Na lejon të reduktojmë zgjidhjen në pabarazinë f(x) > 0 (<, <, >) për të zgjidhur ekuacionin f(x) = 0.

Thelbi i metodës është si më poshtë:

Gjeni gamën e vlerave të pranueshme të pabarazisë;

Zvogëloni pabarazinë në formën f(x) > 0(<, <, >), domethënë lëvizni anën e djathtë në të majtë dhe thjeshtoni;

Të zgjidhet ekuacioni f(x) = 0;

Vizatoni një diagram funksioni në një vijë numerike. Të gjitha pikat e shënuara në ODZ dhe duke e kufizuar atë e ndajnë këtë grup në të ashtuquajturat intervale të shenjës konstante. Në çdo interval të tillë përcaktohet shenja e funksionit f(x);

Shkruani përgjigjen si një bashkim të bashkësive individuale në të cilat f(x) ka shenjën përkatëse. Pikat ODZ që janë kufitare përfshihen (ose nuk përfshihen) në përgjigje pas verifikimit shtesë.

Pabarazitë luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë. Në shkollë kryesisht merremi me pabarazitë numerike, me përkufizimin e të cilit do të fillojmë këtë artikull. Dhe pastaj do të rendisim dhe justifikojmë vetitë e inekuacioneve numerike, mbi të cilin bazohen të gjitha parimet e punës me pabarazitë.

Le të vërejmë menjëherë se shumë veti të pabarazive numerike janë të ngjashme. Prandaj, materialin do ta paraqesim sipas të njëjtës skemë: formulojmë një veti, japim arsyetimin dhe shembujt e saj, pas së cilës kalojmë në vetinë tjetër.

Navigimi i faqes.

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Kur prezantuam konceptin e pabarazisë, vumë re se pabarazitë shpesh përcaktohen nga mënyra se si janë shkruar. Pra, ne i quajtëm pabarazi shprehje algjebrike kuptimplote që përmbajnë shenja jo të barabarta me ≠, më pak<, больше >, më e vogël ose e barabartë me ≤ ose më e madhe se ose e barabartë me ≥. Bazuar në përkufizimin e mësipërm, është e përshtatshme të jepet një përkufizim i një pabarazie numerike:

Takimi me inekuacionet numerike ndodh në mësimet e matematikës në klasën e parë, menjëherë pas njohjes me numrat e parë natyrorë nga 1 deri në 9 dhe njohjes me veprimin e krahasimit. Vërtetë, atje ato quhen thjesht pabarazi, duke lënë jashtë përkufizimin e "numerike". Për qartësi, nuk do të dëmtonte të jepnim disa shembuj të pabarazive numerike më të thjeshta nga ajo fazë e studimit të tyre: 1<2 , 5+2>3 .

Dhe më tej nga numrat natyrorë, njohuritë shtrihen në llojet e tjera të numrave (numrat e plotë, racionalë, realë), studiohen rregullat për krahasimin e tyre, dhe kjo zgjeron ndjeshëm shumëllojshmërinë e llojeve të pabarazive numerike: -5>-72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

Vetitë e mosbarazimeve numerike
Në praktikë, puna me pabarazitë lejon një numër të vetitë e inekuacioneve numerike. Ato rrjedhin nga koncepti i pabarazisë që ne prezantuam. Në lidhje me numrat, ky koncept jepet nga deklarata e mëposhtme, e cila mund të konsiderohet si një përkufizim i marrëdhënieve "më pak se" dhe "më shumë se" në një grup numrash (shpesh quhet përkufizimi i ndryshimit të pabarazisë):

Përkufizimi.

numri a është më e madhe se b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është numër pozitiv;

numri a është më i vogël se numri b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është numër negativ;

numri a është i barabartë me numrin b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është zero.

Ky përkufizim mund të ripërpunohet në përkufizimin e marrëdhënieve "më pak se ose e barabartë me" dhe "më e madhe se ose e barabartë me". Ja formulimi i tij:

Përkufizimi.

numri a është më i madh ose i barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo negativ;

a është më e vogël ose e barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo pozitiv.

Ne do t'i përdorim këto përkufizime kur provojmë vetitë e pabarazive numerike, në një rishikim të të cilave ne vazhdojmë.

Vetitë themelore

Ne e fillojmë rishikimin me tre vetitë kryesore të pabarazive. Pse janë ato themelore? Sepse ato janë pasqyrim i vetive të pabarazive në kuptimin më të përgjithshëm, dhe jo vetëm në lidhje me pabarazitë numerike.

Pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenja< и >, karakteristike:

Për sa u përket pabarazive numerike të shkruara duke përdorur shenjat e dobëta të pabarazisë ≤ dhe ≥, ato kanë vetinë e refleksivitetit (dhe jo antirefleksivitetit), pasi pabarazitë a≤a dhe a≥a përfshijnë rastin e barazisë a=a. Ato karakterizohen gjithashtu nga antisimetria dhe kalueshmëria.

Pra, pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenjat ≤ dhe ≥ kanë vetitë e mëposhtme:

refleksiviteti a≥a dhe a≤a janë pabarazi të vërteta;

antisimetria, nëse a≤b, atëherë b≥a, dhe nëse a≥b, atëherë b≤a.

kalueshmëria, nëse a≤b dhe b≤c, atëherë a≤c, dhe gjithashtu, nëse a≥b dhe b≥c, atëherë a≥c.

Prova e tyre është shumë e ngjashme me ato të dhëna tashmë, kështu që ne nuk do të ndalemi në to, por do të kalojmë në vetitë e tjera të rëndësishme të pabarazive numerike.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Le të plotësojmë vetitë themelore të pabarazive numerike me një sërë rezultatesh që kanë një rëndësi të madhe praktike. Metodat për vlerësimin e vlerave të shprehjeve bazohen në to zgjidhjet e pabarazive e kështu me radhë. Prandaj, këshillohet që t'i kuptoni mirë.

Në këtë pjesë, ne do të formulojmë vetitë e pabarazive vetëm për një shenjë të pabarazisë strikte, por vlen të kemi parasysh se vetitë e ngjashme do të vlejnë për shenjën e kundërt, si dhe për shenjat e pabarazive jo të rrepta. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull. Më poshtë formulojmë dhe vërtetojmë vetinë e mëposhtme të pabarazive: nëse a
nëse a>b atëherë a+c>b+c ;

nëse a≤b atëherë a+c≤b+c ;

nëse a≥b, atëherë a+c≥b+c.

Për lehtësi, ne do të paraqesim vetitë e pabarazive numerike në formën e një liste, ndërsa do të japim deklaratën përkatëse, do ta shkruajmë zyrtarisht duke përdorur shkronja, do të japim një provë dhe më pas do të tregojmë shembuj të përdorimit. Dhe në fund të artikullit do të përmbledhim të gjitha vetitë e pabarazive numerike në një tabelë. Shkoni!

Shtimi (ose zbritja) e ndonjë numri në të dy anët e një pabarazie të vërtetë numerike prodhon një mosbarazim të vërtetë numerik. Me fjalë të tjera, nëse numrat a dhe b janë të tillë që a
Për ta vërtetuar atë, le të bëjmë dallimin midis anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë së fundit numerike dhe të tregojmë se është negative në kushtin a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Meqenëse nga kushti a
Ne nuk ndalemi në vërtetimin e kësaj vetie të pabarazive numerike për zbritjen e një numri c, pasi në bashkësinë e numrave realë zbritja mund të zëvendësohet duke shtuar -c.

Për shembull, nëse shtoni numrin 15 në të dy anët e mosbarazimit numerik të saktë 7>3, ju merrni mosbarazimin e saktë numerik 7+15>3+15, që është e njëjta gjë, 22>18.

Nëse të dy anët e një pabarazie numerike të vlefshme shumëzohen (ose pjesëtohen) me të njëjtin numër pozitiv c, ju merrni një pabarazi numerike të vlefshme. Nëse të dyja anët e pabarazisë shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër negativ c, dhe shenja e pabarazisë është e kundërt, atëherë pabarazia do të jetë e vërtetë. Në trajtë fjalë për fjalë: nëse numrat a dhe b plotësojnë pabarazinë a b·c.

Dëshmi. Le të fillojmë me rastin kur c>0. Le të bëjmë dallimin ndërmjet anës së majtë dhe të djathtë të pabarazisë numerike që vërtetohet: a·c−b·c=(a−b)·c . Meqenëse nga kushti a 0 , atëherë prodhimi (a−b)·c do të jetë një numër negativ si prodhim i një numri negativ a−b dhe një numri pozitiv c (i cili vjen nga ). Prandaj, a·c−b·c<0 , откуда a·c
Ne nuk ndalemi te vërtetimi i vetive të shqyrtuara për pjesëtimin e të dy anëve të një pabarazie të vërtetë numerike me të njëjtin numër c, pasi pjesëtimi mund të zëvendësohet gjithmonë me shumëzim me 1/c.

Le të tregojmë një shembull të përdorimit të vetive të analizuara në numra të caktuar. Për shembull, mund të keni të dyja anët e pabarazisë numerike të saktë 4<6 умножить на положительное число 0,5 , что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5 , откуда −2<3 . А если обе части верного числового неравенства −8≤12 разделить на отрицательное число −4 , и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4) , откуда 2≥−3 .

Nga vetia e sapo diskutuar e shumëzimit të të dy anëve të një barazie numerike me një numër, pasojnë dy rezultate praktikisht të vlefshme. Pra, ne i formulojmë ato në formën e pasojave.

Të gjitha vetitë e trajtuara më sipër në këtë paragraf i bashkon fakti se fillimisht jepet një mosbarazim numerik i saktë dhe prej tij, nëpërmjet disa manipulimeve me pjesët e mosbarazimit dhe shenjës, fitohet një tjetër jobarazim numerik i saktë. Tani do të paraqesim një bllok vetish në të cilin fillimisht jepen jo një, por disa pabarazi numerike të sakta dhe nga përdorimi i përbashkët i tyre fitohet një rezultat i ri pas mbledhjes ose shumëzimit të pjesëve të tyre.

Nëse numrat a, b, c dhe d plotësojnë pabarazitë a
Le të vërtetojmë se (a+c)−(b+d) është një numër negativ, kjo do të vërtetojë se a+c
Me induksion, kjo veti shtrihet në mbledhjen term pas termi të tre, katër dhe, në përgjithësi, të çdo numri të fundëm të pabarazive numerike. Pra, nëse për numrat a 1, a 2, …, a n dhe b 1, b 2, …, b n pabarazitë e mëposhtme janë të vërteta: a 1 a 1 +a 2 +…+a n .

Për shembull, na janë dhënë tre pabarazi numerike të sakta të së njëjtës shenjë −5<−2 , −1<12 и 3<4 . Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4 – тоже верное.

Ju mund të shumëzoni pabarazitë numerike të së njëjtës shenjë term me term, të dyja anët e të cilave përfaqësohen me numra pozitiv. Në veçanti, për dy pabarazi a
Për ta vërtetuar atë, mund të shumëzoni të dyja anët e pabarazisë a
Kjo veti është gjithashtu e vërtetë për shumëzimin e çdo numri të fundëm të pabarazive numerike të vërteta me pjesë pozitive. Kjo do të thotë, nëse a 1, a 2, …, a n dhe b 1, b 2, …, b n janë numra pozitivë, dhe a 1 a 1 · a 2 ·…·a n .

Më vete, vlen të përmendet se nëse shënimi për pabarazitë numerike përmban numra jo pozitiv, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi mund të çojë në pabarazi numerike të pasakta. Për shembull, pabarazitë numerike 1<3 и −5<−4 – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4) , что то же самое, −5<−12 , а это неверное неравенство.

Pasoja. Shumëzimi termik i pabarazive të vërteta identike të formës a

Në fund të artikullit, siç u premtuam, do të mbledhim të gjitha pronat e studiuara në tabela e vetive të inekuacioneve numerike:

Bibliografi.

Moro M.I.. Matematika. Libër mësuesi për 1 klasë. fillim shkolla Në 2 orë Pjesa 1. (Gjysma e parë e vitit) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - M.: Arsimi, 2006. - 112 f.: i sëmurë.+Shto. (2 të veçanta l. i sëmurë). - ISBN 5-09-014951-8.

Matematika: tekst shkollor për klasën e 5-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Botimi 21, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 f.: ill. ISBN 5-346-00699-0.

Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Mordkovich A.G. Algjebër. klasën e 8-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich. - Botimi i 11-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 f.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Fusha e numrave real ka vetinë e renditjes (Seksioni 6, f. 35): për çdo numër a, b, një dhe vlen vetëm një nga tre marrëdhëniet: ose . Në këtë rast, hyrja a > b do të thotë se diferenca është pozitive dhe diferenca e hyrjes është negative. Ndryshe nga fusha e numrave realë, fusha e numrave kompleks nuk është e renditur: për numrat kompleksë, konceptet "më shumë" dhe "më pak" nuk janë të përcaktuara; Prandaj, ky kapitull trajton vetëm numrat realë.
Marrëdhëniet i quajmë pabarazi, numrat a dhe b janë terma (ose pjesë) të mosbarazimit, shenjat > (më e madhe se) dhe pabarazitë a > b dhe c > d quhen pabarazi me të njëjtin (ose të njëjtin) kuptim; pabarazitë a > b dhe c Nga përkufizimi i pabarazisë rrjedh menjëherë se
1) çdo numër pozitiv më i madh se zero;
2) çdo numër negativ është më i vogël se zero;
3) çdo numër pozitiv është më i madh se çdo numër negativ;
4) nga dy numra negativë, ai vlera absolute e të cilit është më i vogël është më i madh.
Të gjitha këto deklarata pranojnë një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Le të shkojë drejtimi pozitiv i boshtit numerik në të djathtë të pikës fillestare; atëherë, pavarësisht nga shenjat e numrave, më i madhi prej tyre përfaqësohet nga një pikë që shtrihet në të djathtë të pikës që përfaqëson numrin më të vogël.
Pabarazitë kanë këto veti themelore.
1. Asimetria (pakthyeshmëria): nëse , atëherë , dhe anasjelltas.

Në të vërtetë, nëse ndryshimi është pozitiv, atëherë ndryshimi është negativ. Ata thonë se kur riorganizohen termat e një pabarazie, kuptimi i pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën.
2. Transitiviteti: nëse , atëherë . Në të vërtetë, nga pozitiviteti i dallimeve rrjedh se
Përveç shenjave të pabarazisë, shenjat e pabarazisë dhe përdoren gjithashtu si më poshtë: hyrja do të thotë që ose ose Prandaj, për shembull, mund të shkruani, dhe gjithashtu. Në mënyrë tipike, pabarazitë e shkruara duke përdorur shenja quhen pabarazi strikte, dhe ato që shkruhen duke përdorur shenja quhen pabarazi jo të rrepta. Prandaj, vetë shenjat quhen shenja të pabarazisë strikte ose jo të rreptë. Vetitë 1 dhe 2 të diskutuara më sipër janë gjithashtu të vërteta për pabarazitë jo strikte.
Le të shqyrtojmë tani veprimet që mund të kryhen në një ose më shumë pabarazi.
3. Shtimi i të njëjtit numër në termat e një inekuacioni nuk e ndryshon kuptimin e mosbarazimit.
Dëshmi. Le të jepet një pabarazi dhe një numër arbitrar. Sipas përkufizimit, ndryshimi është pozitiv. Le t'i shtojmë këtij numri dy numra të kundërt, të cilët nuk do ta ndryshojnë atë, d.m.th.
Kjo barazi mund të rishkruhet si më poshtë:
Nga kjo rezulton se ndryshimi është pozitiv, d.m.th
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Kjo është baza për mundësinë që çdo anëtar i pabarazisë të anohet nga një pjesë në tjetrën me shenjën e kundërt. Për shembull, nga pabarazia
vijon se
4. Kur shumëzohen termat e një pabarazie me të njëjtin numër pozitiv, kuptimi i mosbarazimit nuk ndryshon; Kur termat e një pabarazie shumëzohen me të njëjtin numër negativ, kuptimi i pabarazisë ndryshon në të kundërtën.

Dëshmi. Le atëherë Nëse atëherë meqë prodhimi i numrave pozitivë është pozitiv. Duke hapur kllapat në anën e majtë të pabarazisë së fundit, marrim , d.m.th. Çështja konsiderohet në të njëjtën mënyrë.
Pikërisht i njëjti përfundim mund të nxirret në lidhje me pjesëtimin e pjesëve të mosbarazimit me çdo numër tjetër përveç zeros, pasi pjesëtimi me një numër është i barabartë me shumëzimin me një numër dhe numrat kanë të njëjtat shenja.
5. Termat e pabarazisë le të jenë pozitive. Pastaj, kur termat e tij ngrihen në të njëjtën fuqi pozitive, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.
Dëshmi. Le në këtë rast, nga vetia kalimtare, dhe . Pastaj, për shkak të rritjes monotonike të funksionit të fuqisë për dhe pozitiv, do të kemi
Në veçanti, nëse ku është një numër natyror, atëherë marrim
dmth, kur nxjerrim rrënjën nga të dyja anët e një pabarazie me terma pozitivë, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.
Le të jenë termat e pabarazisë negative. Atëherë nuk është e vështirë të vërtetohet se kur termat e saj ngrihen në një fuqi të çuditshme natyrore, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon, por kur ngrihet në një fuqi të barabartë natyrore, ai ndryshon në të kundërtën. Nga pabarazitë me terma negativë mund të nxirret edhe rrënja e shkallës tek.
Më tej, termat e pabarazisë le të kenë shenja të ndryshme. Pastaj, kur e ngremë atë në një fuqi tek, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon, por kur e ngrihet në një fuqi çift, në rastin e përgjithshëm, nuk mund të thuhet asgjë e caktuar për kuptimin e pabarazisë që rezulton. Në fakt, kur një numër ngrihet në një fuqi tek, shenja e numrit ruhet dhe për këtë arsye kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon. Kur një pabarazi ngrihet në një fuqi të barabartë, formohet një pabarazi me terma pozitivë dhe kuptimi i saj do të varet nga vlerat absolute të termave të pabarazisë origjinale, një pabarazi me të njëjtin kuptim si ai origjinal; me kuptim të kundërt, madje mund të arrihet barazi!
Është e dobishme të kontrolloni gjithçka që është thënë për ngritjen e pabarazive në fuqi duke përdorur shembullin e mëposhtëm.
Shembulli 1. Ngrini pabarazitë e mëposhtme në fuqinë e treguar, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në shenjën e kundërt ose të barabartë, nëse është e nevojshme.
a) 3 > 2 në fuqinë 4; b) deri në shkallën 3;

c) deri në shkallën 3; d) deri në shkallën 2;
e) në fuqinë 5; e) deri në shkallën 4;
g) 2 > -3 në fuqinë 2; h) në fuqinë 2,
6. Nga një pabarazi mund të kalojmë në një pabarazi ndërmjet nëse termat e pabarazisë janë të dyja pozitive ose të dyja negative, atëherë midis reciprokeve të tyre ekziston një pabarazi me kuptim të kundërt:
Dëshmi. Nëse a dhe b janë të së njëjtës shenjë, atëherë produkti i tyre është pozitiv. Pjestojeni me pabarazi
d.m.th., ajo që kërkohej të merrej.
Nëse termat e një pabarazie kanë shenja të kundërta, atëherë pabarazia midis reciprokeve të tyre ka të njëjtin kuptim, pasi shenjat e një pabarazie janë të njëjta me shenjat e vetë sasive.
Shembulli 2. Kontrolloni veçorinë e fundit 6 duke përdorur pabarazitë e mëposhtme:
7. Logaritmi i inekuacioneve mund të bëhet vetëm në rastin kur termat e mosbarazimeve janë pozitive (numrat negativë dhe logaritmet zero nuk kanë).
Le . Pastaj do të ketë
dhe kur do të ketë
Korrektësia e këtyre pohimeve bazohet në monotoninë e funksionit logaritmik, i cili rritet nëse baza dhe zvogëlohet me
Pra, kur merret logaritmi i një pabarazie të përbërë nga terma pozitivë në një bazë më të madhe se një, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim me atë të dhënë, dhe kur logaritmin e çojmë në një bazë pozitive më të vogël se një, një pabarazi e formohet kuptimi i kundërt.
8. Nëse, atëherë nëse, por, atëherë.
Kjo rrjedh menjëherë nga vetitë e monotonitetit të funksionit eksponencial (Seksioni 42), i cili rritet në rast dhe zvogëlohet nëse
Kur shtohen pabarazitë termike me të njëjtin kuptim, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si të dhënat.
Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë pohim për dy pabarazi, megjithëse është e vërtetë për çdo numër pabarazish të shtuara. Le të jepen pabarazitë

Sipas përkufizimit, numrat do të jenë pozitivë; atëherë edhe shuma e tyre del pozitive, d.m.th.
Duke grupuar termat ndryshe, marrim
dhe për këtë arsye
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke shtuar dy ose më shumë pabarazi me kuptime të ndryshme.
10. Nëse nga një pabarazi zbresim, term për term, një pabarazi tjetër me kuptim të kundërt, atëherë formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si i pari.
Dëshmi. Le të jepen dy pabarazi me kuptime të ndryshme. E dyta prej tyre, sipas vetive të pakthyeshmërisë, mund të rishkruhet si më poshtë: d > c. Le të shtojmë tani dy pabarazi me të njëjtin kuptim dhe të marrim pabarazinë
të njëjtin kuptim. Nga kjo e fundit gjejmë
dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.
Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke zbritur nga një pabarazi një pabarazi tjetër me të njëjtin kuptim.