Nëse në kryqëzimin e dy. Nëse, në kryqëzimin e dy vijave të drejta, një e treta

Gjeometria. Emërtoni 3 shenja të drejtëzave paralele dhe keni marrë përgjigjen më të mirë

Përgjigje nga Hoster Garenov[i ri]
Nëse, kur 2 drejtëza kryqëzojnë një të tretën, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është e barabartë me 180 gradë, atëherë drejtëza të tilla janë paralele.
Nëse, kur 2 drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore janë të barabarta, atëherë drejtëza të tilla janë paralele.
Nëse 2 drejtëza janë pingul me një të tretën, atëherë ato janë paralele.

Përgjigje nga Pazitea[guru]
1. Shenja e parë e paralelizmit.
Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele.
2. Shenja e dytë e paralelizmit.
Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.
3. Shenja e tretë e paralelizmit.
Na tregoni se kur dy drejtëza AB dhe CD kryqëzohen me një drejtëz të tretë, shuma e çdo këndi të brendshëm të njëanshëm është e barabartë me 2d (ose 180°). A do të jenë paralele në këtë rast drejtëzat AB dhe CD (Fig. 192).
Le të jenë /1 dhe /2 kënde të brendshme të njëanshme dhe të mblidhen deri në 2d.
Por / 3 + / 2 = 2d, pasi këndet janë ngjitur. Prandaj, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.
Prandaj / 1 = / 3, dhe këto kënde të brendshme shtrihen në mënyrë tërthore. Prandaj, AB || CD.
Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është e barabartë me 2d, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

Përgjigje nga 3 pergjigje[guru]

Përshëndetje! Këtu është një përzgjedhje e temave me përgjigje për pyetjen tuaj: Gjeometria. Emërtoni 3 shenja të drejtëzave paralele

Përgjigje nga 3 pergjigje[guru]

AB Dhe MED përshkohet nga vija e tretë e drejtë MN, atëherë këndet e formuara në këtë rast marrin dyshe emrat e mëposhtëm:

këndet përkatëse: 1 dhe 5, 4 dhe 8, 2 dhe 6, 3 dhe 7;

kënde të brendshme tërthore: 3 dhe 5, 4 dhe 6;

kënde të jashtme tërthore: 1 dhe 7, 2 dhe 8;

qoshet e brendshme të njëanshme: 3 dhe 6, 4 dhe 5;

qoshet e jashtme të njëanshme: 1 dhe 8, 2 dhe 7.

Pra, ∠ 2 = ∠ 4 dhe ∠ 8 = ∠ 6, por sipas asaj që është vërtetuar, ∠ 4 = ∠ 6.

Prandaj, ∠ 2 =∠ 8.

3. Këndet përkatëse 2 dhe 6 janë të njëjta, pasi ∠ 2 = ∠ 4, dhe ∠ 4 = ∠ 6. Le të sigurohemi gjithashtu që këndet e tjera përkatëse të jenë të barabarta.

4. Shuma qoshet e brendshme të njëanshme 3 dhe 6 do të jenë 2d sepse shuma qoshet ngjitur 3 dhe 4 është e barabartë me 2d = 180 0, dhe ∠ 4 mund të zëvendësohet me ∠ identike 6. Ne gjithashtu sigurohemi që shuma e këndeve 4 dhe 5 është e barabartë me 2d.

5. Shuma qoshet e jashtme të njëanshme do të jetë 2d sepse këto kënde janë përkatësisht të barabarta qoshet e brendshme të njëanshme si qoshe vertikale.

Nga justifikimi i provuar më sipër marrim teorema të kundërt.

Kur, në kryqëzimin e dy rreshtave me një vijë të tretë arbitrare, marrim se:

1. Këndet e brendshme tërthore janë të njëjta;

ose 2. Këndet e jashtme tërthore janë identike;

ose 3. Këndet përkatëse janë të barabarta;

ose 4. Shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është 2d = 180 0;

ose 5. Shuma e të njëanshmeve të jashtme është 2d = 180 0 ,

atëherë dy drejtëzat e para janë paralele.

KAPITULLI III.
PARALEL DIREKT

§ 35. SHENJAT E DY VJESHTAVE PARALELE.

Teorema që dy pingul me një drejtëz janë paralele (§ 33) jep një shenjë se dy drejtëza janë paralele. Mund të tërhiqni më shumë shenjat e përgjithshme paralelizmi i dy drejtëzave.

1. Shenja e parë e paralelizmit.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet e brendshme që shtrihen në mënyrë tërthore janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele.

Lërini drejtëzat AB dhe CD të priten nga drejtëza EF dhe / 1 = / 2. Merrni pikën O - mesi i segmentit KL të sekantit EF (Fig. 189).

Le ta ulim OM pingul nga pika O në drejtëzën AB dhe ta vazhdojmë derisa të kryqëzohet me drejtëzën CD, AB_|_MN. Le të vërtetojmë se CD_|_MN.
Për ta bërë këtë, merrni parasysh dy trekëndësha: MOE dhe NOK. Këta trekëndësha janë të barabartë me njëri-tjetrin. Me të vërtetë: / 1 = / 2 sipas kushteve të teoremës; OK = ОL - nga ndërtimi;
/ MOL = / NOK, si kënde vertikale. Kështu, brinja dhe dy këndet ngjitur të një trekëndëshi janë përkatësisht të barabarta me brinjën dhe dy këndet ngjitur të një trekëndëshi tjetër; prandaj, /\ MOL = /\ NOK, dhe kështu
/ LMO = / KNO, por / LMO është i drejtpërdrejtë, që do të thotë / KNO është gjithashtu i drejtpërdrejtë. Pra, drejtëzat AB dhe CD janë pingul me të njëjtën drejtëz MN, prandaj janë paralele (§ 33), gjë që duhej vërtetuar.

Shënim. Kryqëzimi i drejtëzave MO dhe CD mund të përcaktohet duke rrotulluar trekëndëshin MOL rreth pikës O me 180°.

2. Shenja e dytë e paralelizmit.

Le të shohim nëse drejtëzat AB dhe CD janë paralele nëse, kur ato kryqëzojnë drejtëzën e tretë EF, këndet përkatëse janë të barabarta.

Le të jenë të barabartë disa kënde përkatëse, për shembull / 3 = / 2 (vizatimi 190);
/ 3 = / 1, pasi këndet janë vertikale; Do të thotë, / 2 do të jetë e barabartë / 1. Por këndet 2 dhe 1 janë kënde të brendshme ndërprerëse, dhe ne tashmë e dimë se nëse kur dy drejtëza kryqëzojnë të tretën, këndet e brendshme që ndërpriten janë të barabarta, atëherë këto drejtëza janë paralele. Prandaj, AB || CD.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, këndet përkatëse janë të barabarta, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

Ndërtimi i vijave paralele duke përdorur një vizore dhe një trekëndësh vizatimi bazohet në këtë veti. Kjo bëhet si më poshtë.

Le t'ia bashkojmë trekëndëshin vizores siç tregohet në vizatimin 191. Ne do ta lëvizim trekëndëshin në mënyrë që njëra nga anët e tij të rrëshqasë përgjatë vizores dhe do të vizatojmë disa vija të drejta përgjatë një ane tjetër të trekëndëshit. Këto rreshta do të jenë paralele.

3. Shenja e tretë e paralelizmit.

Na tregoni se kur dy drejtëza AB dhe CD priten me një drejtëz të tretë, shuma e çdo këndi të brendshëm të njëanshëm është e barabartë me 2 d(ose 180°). A do të jenë paralele në këtë rast drejtëzat AB dhe CD (Fig. 192).

Le / 1 dhe / 2 janë kënde të brendshme të njëanshme dhe mblidhen deri në 2 d.
Por / 3 + / 2 = 2d si kënde ngjitur. Prandaj, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Nga këtu / 1 = / 3, dhe këto kënde të brendshme shtrihen në mënyrë tërthore. Prandaj, AB || CD.

Nëse, kur dy drejtëza kryqëzojnë një të tretën, shuma e këndeve të brendshme të njëanshme është e barabartë me 2 d, atëherë këto dy drejtëza janë paralele.

Ushtrimi.

Vërtetoni se drejtëzat janë paralele:
a) nëse këndet e jashtme tërthore janë të barabarta (Fig. 193);
b) nëse shuma e këndeve të jashtme të njëanshme është e barabartë me 2 d(vizatimi 194).

Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

Teorema 1. Nëse, kur dy drejtëza priten me një sekant:

këndet e kryqëzuara janë të barabarta, ose

këndet përkatëse janë të barabarta, ose

atëherë shuma e këndeve të njëanshme është 180°

vijat janë paralele(Fig. 1).

Dëshmi. Ne kufizohemi në vërtetimin e rastit 1.

Le të jenë drejtëzat ndërprerëse a dhe b tërthore dhe këndet AB të jenë të barabartë. Për shembull, ∠ 4 = ∠ 6. Le të vërtetojmë se a || b.

Supozoni se drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Pastaj ata kryqëzohen në një pikë M dhe, për rrjedhojë, një nga këndet 4 ose 6 do të jetë këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM. Për saktësi, le të jetë ∠ 4 këndi i jashtëm i trekëndëshit ABM, dhe ∠ 6 ai i brendshëm. Nga teorema mbi këndin e jashtëm të një trekëndëshi del se ∠ 4 është më i madh se ∠ 6, dhe kjo bie ndesh me kushtin, që do të thotë se drejtëzat a dhe 6 nuk mund të kryqëzohen, pra janë paralele.

Përfundimi 1. Dy drejtëza të ndryshme në një rrafsh pingul me të njëjtën drejtëz janë paralele(Fig. 2).

Koment. Mënyra se si sapo vërtetuam rastin 1 të Teoremës 1 quhet metoda e vërtetimit me kontradiktë ose reduktim në absurditet. Kjo metodë mori emrin e saj të parë sepse në fillim të argumentit bëhet një supozim që është në kundërshtim (të kundërt) me atë që duhet të vërtetohet. Quhet çon në absurd për faktin se, duke arsyetuar mbi bazën e supozimit të bërë, arrijmë në një përfundim absurd (në absurd). Marrja e një përfundimi të tillë na detyron të hedhim poshtë supozimin e bërë në fillim dhe të pranojmë atë që duhej vërtetuar.

Detyra 1. Ndërtoni një vijë që kalon këtë pikë M dhe paralel me një drejtëz të dhënë a, që nuk kalon nga pika M.

Zgjidhje. Vizatojmë një drejtëz p përmes pikës M pingul me drejtëzën a (Fig. 3).

Pastaj vizatojmë një drejtëz b përmes pikës M pingul me drejtëzën p. Drejtëza b është paralele me drejtëzën a sipas përfundimit të teoremës 1.

Një përfundim i rëndësishëm rrjedh nga problemi i shqyrtuar:
përmes një pike që nuk shtrihet në një vijë të caktuar, është gjithmonë e mundur të vizatohet një vijë paralele me atë të dhënë.

Vetia kryesore e drejtëzave paralele është si më poshtë.

Aksioma e drejtëzave paralele. Nëpër një pikë të caktuar që nuk shtrihet në një drejtëz të caktuar, kalon vetëm një drejtëz paralel me atë të dhënë.

Le të shqyrtojmë disa veti të drejtëzave paralele që rrjedhin nga kjo aksiomë.

1) Nëse një drejtëz pret një nga dy drejtëza paralele, atëherë ajo pret edhe tjetrën (Fig. 4).

2) Nëse dy drejtëza të ndryshme janë paralele me një vijë të tretë, atëherë ato janë paralele (Fig. 5).

Teorema e mëposhtme është gjithashtu e vërtetë.

Teorema 2. Nëse dy drejtëza paralele priten nga një transversal, atëherë:

këndet tërthore janë të barabarta;

këndet përkatëse janë të barabarta;

shuma e këndeve të njëanshme është 180°.

Përfundimi 2. Nëse një drejtëz është pingul me njërën nga dy drejtëzat paralele, atëherë ajo është gjithashtu pingul me tjetrën(shih Fig. 2).

Koment. Teorema 2 quhet inversi i Teoremës 1. Përfundimi i Teoremës 1 është kushti i Teoremës 2. Dhe kushti i Teoremës 1 është përfundimi i Teoremës 2. Jo çdo teoremë ka një të kundërt, d.m.th. nëse kjo teoremë është e vërtetë, atëherë teorema e bashkëbisedimit mund të jetë i pasaktë.

Le ta shpjegojmë këtë duke përdorur shembullin e teoremës për këndet vertikale. Kjo teoremë mund të formulohet si më poshtë: nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta. Teorema e kundërt do të ishte: nëse dy kënde janë të barabartë, atëherë ato janë vertikale. Dhe kjo, natyrisht, nuk është e vërtetë. Dy kënde të barabarta nuk duhet të jetë fare vertikale.

Shembulli 1. Dy drejtëza paralele kryqëzohen nga një e tretë. Dihet se ndryshimi midis dy këndeve të brendshme të njëanshme është 30°. Gjeni këto kënde.

Zgjidhje. Le të plotësojë Figura 6 kushtin.

Ky kapitull i kushtohet studimit të drejtëzave paralele. Ky është emri që u jepet dy drejtëzave në një rrafsh që nuk kryqëzohen. Ne shohim segmente të vijave paralele në mjedis - këto janë dy skajet e një tavoline drejtkëndore, dy skajet e një kopertine libri, dy shufrat e trolejbusit, etj. Vijat paralele luajnë një rol shumë të rëndësishëm në gjeometri. Në këtë kapitull do të mësoni se cilat janë aksiomat e gjeometrisë dhe cila është aksioma e drejtëzave paralele - një nga aksiomat më të famshme të gjeometrisë.

Në paragrafin 1, kemi vërejtur se dy drejtëza ose kanë një pikë të përbashkët, domethënë kryqëzohen, ose nuk kanë një pikë të vetme të përbashkët, domethënë nuk kryqëzohen.

Përkufizimi

Paralelizmi i drejtëzave a dhe b shënohet si vijon: a || b.

Figura 98 tregon drejtëzat a dhe b pingul me drejtëzën c. Në paragrafin 12, ne përcaktuam se drejtëza të tilla a dhe b nuk kryqëzohen, domethënë ato janë paralele.

Oriz. 98

Së bashku me linjat paralele, shpesh konsiderohen segmente paralele. Të dy segmentet quhen paralele, nëse shtrihen në drejtëza paralele. Në figurën 99, segmentet AB dhe CD janë paralele (AB || CD), por segmentet MN dhe CD nuk janë paralele. Paralelizmi i një segmenti dhe një vijë të drejtë (Fig. 99, b), një rreze dhe një vijë e drejtë, një segment dhe një rreze, dy rreze (Fig. 99, c) përcaktohet në mënyrë të ngjashme.

Oriz. 99 Shenjat e paralelizmit të dy drejtëzave

Drejtëza me quhet sekant në raport me drejtëzat a dhe b, nëse i pret në dy pika (Fig. 100). Kur drejtëzat a dhe b kryqëzohen me transversalin c, formohen tetë kënde, të cilat tregohen me numra në figurën 100. Disa çifte të këtyre këndeve kanë emra të veçantë:

kënde tërthore: 3 dhe 5, 4 dhe 6;
kënde të njëanshme: 4 dhe 5, 3 dhe 6;
këndet përkatëse: 1 dhe 5, 4 dhe 8, 2 dhe 6, 3 dhe 7.

Oriz. 100

Le të shqyrtojmë tre shenja të paralelizmit të dy drejtëzave të lidhura me këto çifte këndesh.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabarta drejtëzat ndërprerëse a dhe b këndet AB: ∠1 = ∠2 (Fig. 101, a).

Le të vërtetojmë se një || b. Nëse këndet 1 dhe 2 janë të drejtë (Fig. 101, b), atëherë drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën AB dhe, rrjedhimisht, paralele.

Oriz. 101

Le të shqyrtojmë rastin kur këndet 1 dhe 2 nuk janë të drejtë.

Nga mesi O i segmentit AB vizatojmë një OH pingul në vijën e drejtë a (Fig. 101, c). Në vijën e drejtë b nga pika B ne do të heqim segmentin ВН 1, të barabartë me segmentin AH, siç tregohet në figurën 101, c, dhe do të vizatojmë segmentin OH 1. Trekëndëshat OHA dhe OH 1 B janë të barabartë në të dyja anët dhe këndi ndërmjet tyre (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), prandaj ∠3 = ∠4 dhe ∠5 = ∠6. Nga barazia ∠3 = ∠4 rezulton se pika H 1 shtrihet në vazhdimin e rrezes OH, pra pikat H, O dhe H 1 shtrihen në të njëjtën drejtëz dhe nga barazia ∠5 = ∠6 rezulton se këndi 6 është një vijë e drejtë (pasi këndi 5 është një kënd i drejtë). Pra, drejtëzat a dhe b janë pingul me drejtëzën HH 1, pra janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Le të jenë të barabartë këndet përkatëse kur drejtëzat a dhe b priten me transversalin c, për shembull ∠1 =∠2 (Fig. 102).

Oriz. 102

Meqenëse këndet 2 dhe 3 janë vertikale, atëherë ∠2 = ∠3. Nga këto dy barazime del se ∠1 = ∠3. Por këndet 1 dhe 3 janë tërthorazi, kështu që drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Teorema

Dëshmi

Lëreni kryqëzimin e drejtëzave a dhe b me një transversal c të mbledhë këndet e njëanshme të barabartë me 180°, për shembull ∠1 + ∠4 = 180° (shih Fig. 102).

Meqenëse këndet 3 dhe 4 janë ngjitur, atëherë ∠3 + ∠4 = 180°. Nga këto dy barazime del se këndet kryq 1 dhe 3 janë të barabartë, prandaj drejtëzat a dhe b janë paralele. Teorema është vërtetuar.

Mënyra praktike për të ndërtuar drejtëza paralele

Shenjat e vijave paralele qëndrojnë në themel të metodave të ndërtimit të vijave paralele duke përdorur mjete të ndryshme të përdorura në praktikë. Konsideroni, për shembull, metodën e ndërtimit të vijave paralele duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore. Për të ndërtuar një vijë të drejtë që kalon nëpër pikën M dhe paralele me një vijë të caktuar a, ne aplikojmë një katror vizatimor në drejtëzën a dhe një vizore në të siç tregohet në figurën 103. Më pas, duke lëvizur katrorin përgjatë vizores, do të sigurojmë se pika M është në anën e katrorit dhe vizatoni vijën e drejtë b. Drejtëzat a dhe b janë paralele, pasi këndet përkatëse, të përcaktuara në figurën 103 me shkronjat α dhe β, janë të barabarta.

Oriz. 103 Figura 104 tregon një metodë për ndërtimin e vijave paralele duke përdorur një shirit tërthor. Kjo metodë përdoret në praktikën e vizatimit.

Oriz. 104 Një metodë e ngjashme përdoret gjatë kryerjes së punimeve të zdrukthtarisë, ku një bllok (dy dërrasa druri të lidhura me një menteshë, Fig. 105) përdoret për të shënuar vija paralele.

Oriz. 105

Detyrat

186. Në figurën 106 drejtëzat a dhe b priten me drejtëzën c. Vërtetoni se një || b, nëse:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, dhe këndi 7 është tre herë më i madh se këndi 3.

Oriz. 106

187. Bazuar në të dhënat në figurën 107, vërtetoni se AB || D.E.

Oriz. 107

188. Segmentet AB dhe CD kryqëzohen në mesin e tyre të përbashkët. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

189. Duke përdorur të dhënat në figurën 108, vërtetoni se BC || A.D.

Oriz. 108

190. Në figurën 109, AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Vërtetoni se DE || AC.

Oriz. 109

191. Segmenti BK është përgjysmues i trekëndëshit ABC. Një vijë e drejtë vizatohet përmes pikës K, duke e prerë anën BC në pikën M në mënyrë që BM = MK. Vërtetoni se drejtëzat KM dhe AB janë paralele.

192. Në trekëndëshin ABC, këndi A është 40° dhe këndi ALL, ngjitur me këndin ACB, është 80°. Vërtetoni se përgjysmuesja e këndit ALL është paralele me drejtëzën AB.

193. Në trekëndëshin ABC, ∠A = 40°, ∠B = 70°. Një drejtëz BD vizatohet përmes kulmit B në mënyrë që rrezja BC të jetë përgjysmues i këndit ABD. Vërtetoni se drejtëzat AC dhe BD janë paralele.

194. Vizatoni një trekëndësh. Nëpër çdo kulm të këtij trekëndëshi, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni një vijë të drejtë paralele me anën e kundërt.

195. Vizatoni trekëndëshin ABC dhe shënoni pikën D në brinjën AC. Nëpër pikën D, duke përdorur një katror vizatimor dhe një vizore, vizatoni vija të drejta paralele me dy anët e tjera të trekëndëshit.