Një katërkëndësh konveks është një figurë e përbërë nga katër brinjë të lidhura me njëra-tjetrën në kulmet, duke formuar katër kënde së bashku me brinjët, ndërsa vetë katërkëndëshi është gjithmonë në të njëjtin rrafsh në raport me vijën e drejtë në të cilën shtrihet njëra nga anët e tij. Me fjalë të tjera, e gjithë figura është në njërën anë të cilësdo anë të saj.

Në kontakt me

Siç mund ta shihni, përkufizimi është mjaft i lehtë për t'u mbajtur mend.

Karakteristikat dhe llojet themelore

Pothuajse të gjitha figurat e njohura për ne, të përbërë nga katër qoshe dhe anët, mund t'i atribuohen katërkëndëshave konveks. Mund të dallohen sa vijon:

1. paralelogram;
2. katror;
3. drejtkëndësh;
4. trapezoid;
5. romb.

Të gjitha këto figura i bashkon jo vetëm fakti se janë katërkëndësh, por edhe fakti se janë edhe konveks. Vetëm shikoni diagramin:

Figura tregon një trapez konveks. Këtu mund të shihni se trapezi është në të njëjtin plan ose në njërën anë të segmentit. Nëse kryeni veprime të ngjashme, mund të zbuloni se në rastin e të gjitha anëve të tjera, trapezi është konveks.

A është paralelogrami katërkëndësh konveks?

Më sipër është një imazh i një paralelogrami. Siç shihet nga figura, paralelogrami është gjithashtu konveks. Nëse shikoni figurën në lidhje me linjat në të cilat shtrihen segmentet AB, BC, CD dhe AD, bëhet e qartë se ajo është gjithmonë në të njëjtin plan nga këto rreshta. Karakteristikat kryesore të një paralelogrami janë se anët e tij janë paralele në çift dhe të barabarta në të njëjtën mënyrë si këndet e kundërta janë të barabarta me njëri-tjetrin.

Tani, imagjinoni një katror ose një drejtkëndësh. Sipas vetive të tyre kryesore, ato janë gjithashtu paralelograme, domethënë të gjitha anët e tyre janë të renditura në çifte paralelisht. Vetëm në rastin e një drejtkëndëshi, gjatësia e brinjëve mund të jetë e ndryshme, dhe këndet janë të drejta (të barabarta me 90 gradë), një katror është një drejtkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe këndet janë gjithashtu të drejta, ndërsa gjatësitë të brinjëve dhe këndeve të një paralelogrami mund të jenë të ndryshme.

Si rezultat, shuma e të katër këndeve të katërkëndëshit duhet të jetë e barabartë me 360 ​​gradë. Mënyra më e lehtë për ta përcaktuar këtë është me një drejtkëndësh: të katër qoshet e drejtkëndëshit janë të drejtë, domethënë të barabartë me 90 gradë. Shuma e këtyre këndeve 90 gradë jep 360 gradë, me fjalë të tjera, nëse shtoni 90 gradë 4 herë, merrni rezultatin e dëshiruar.

Vetia e diagonaleve të katërkëndëshit konveks

Diagonalet e një katërkëndëshi konveks priten. Në të vërtetë, ky fenomen mund të vërehet vizualisht, thjesht shikoni figurën:

Figura në të majtë tregon një katërkëndësh ose katërkëndësh jo konveks. Si të duash. Siç mund ta shihni, diagonalet nuk kryqëzohen, të paktën jo të gjitha. Në të djathtë është një katërkëndësh konveks. Këtu veçoria e diagonaleve të kryqëzohen tashmë është vërejtur. E njëjta veti mund të konsiderohet si shenjë e konveksitetit të katërkëndëshit.

Veti dhe shenja të tjera të konveksitetit të një katërkëndëshi

Konkretisht, sipas këtij termi, është shumë e vështirë të përmendim ndonjë veçori dhe veçori specifike. Është më e lehtë të izolohet sipas llojeve të ndryshme të katërkëndëshave të këtij lloji. Mund të filloni me një paralelogram. Ne tashmë e dimë se kjo është një figurë katërkëndore, anët e së cilës janë paralele dhe të barabarta në çift. Në të njëjtën kohë, kjo përfshin edhe vetinë e diagonaleve të një paralelogrami që të kryqëzohen me njëra-tjetrën, si dhe shenjën e konveksitetit të vetë figurës: paralelogrami është gjithmonë në të njëjtin rrafsh dhe në njërën anë në lidhje me ndonjë. të anëve të saj.

Kështu që, veçoritë dhe vetitë kryesore janë të njohura:

1. shuma e këndeve të një katërkëndëshi është 360 gradë;
2. diagonalet e figurave kryqëzohen në një pikë.

Drejtkëndësh. Kjo figurë ka të njëjtat veti dhe veçori si një paralelogram, por të gjitha këndet e tij janë të barabarta me 90 gradë. Prandaj emri, drejtkëndësh.

Sheshi, i njëjti paralelogram, por qoshet e tij janë të drejta, si një drejtkëndësh. Për shkak të kësaj, një katror rrallë quhet drejtkëndësh. Por tipari kryesor dallues i një katrori, përveç atyre të listuara më sipër, është se të katër anët e tij janë të barabarta.

Trapezi është një figurë shumë interesante.. Ky është gjithashtu një katërkëndësh dhe gjithashtu konveks. Në këtë artikull, trapezi është konsideruar tashmë duke përdorur shembullin e një vizatimi. Është e qartë se ajo është gjithashtu konveks. Dallimi kryesor, dhe, në përputhje me rrethanat, një shenjë e një trapezi është se anët e tij nuk mund të jenë absolutisht të barabarta me njëra-tjetrën në gjatësi, si dhe këndet e saj në vlerë. Në këtë rast, figura mbetet gjithmonë në të njëjtin rrafsh në lidhje me ndonjë nga vijat e drejta që lidhin dy nga kulmet e saj përgjatë segmenteve që formojnë figurën.

Rombi është një figurë po aq interesante. Pjesërisht një romb mund të konsiderohet katror. Një shenjë e një rombi është fakti që diagonalet e tij jo vetëm që kryqëzohen, por edhe ndajnë qoshet e rombit në gjysmë, dhe vetë diagonalet kryqëzohen në kënde të drejta, domethënë ato janë pingul. Nëse gjatësitë e anëve të rombit janë të barabarta, atëherë diagonalet ndahen gjithashtu në gjysmë në kryqëzim.

Deltoide ose romboide konvekse (rombe) mund të ketë gjatësi të ndryshme anësore. Por në të njëjtën kohë, si vetitë dhe veçoritë kryesore të vetë rombit, ashtu edhe tiparet dhe vetitë e konveksitetit ruhen ende. Kjo do të thotë, ne mund të vërejmë se diagonalet përgjysmojnë qoshet dhe kryqëzohen në kënde të drejta.

Detyra e sotme ishte të shqyrtojmë dhe kuptojmë se çfarë janë katërkëndëshat konveks, cilat janë ato dhe veçoritë dhe vetitë e tyre kryesore. Kujdes! Vlen të kujtojmë edhe një herë se shuma e këndeve të një katërkëndëshi konveks është 360 gradë. Perimetri i figurave, për shembull, është i barabartë me shumën e gjatësive të të gjitha segmenteve që formojnë figurën. Formulat për llogaritjen e perimetrit dhe sipërfaqes së katërkëndëshave do të diskutohen në artikujt vijues.

Llojet e katërkëndëshave konveks

Përkufizimi. Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift.

Prona. Në një paralelogram, anët e kundërta janë të barabarta dhe këndet e kundërta janë të barabarta.

Prona. Diagonalet e një paralelogrami përgjysmohen nga pika e kryqëzimit.

1 shenjë e një paralelogrami. Nëse dy brinjë të një katërkëndëshi janë të barabarta dhe paralele, atëherë katërkëndëshi është paralelogram.

Shenja 2 e një paralelogrami. Nëse anët e kundërta të një katërkëndëshi janë të barabarta në çifte, atëherë katërkëndëshi është një paralelogram.

Shenja 3 e një paralelogrami. Nëse në një katërkëndësh diagonalet priten dhe pika e kryqëzimit është dygjysmuar, atëherë ky katërkëndësh është paralelogram.

Përkufizimi. Një trapez është një katërkëndësh në të cilin dy anët janë paralele dhe dy anët e tjera nuk janë paralele. Brinjët paralele quhen bazat.

Trapezi quhet izosceles (izosceles) nëse anët e tij janë të barabarta. Në një trapezoid izoscelular, këndet në bazat janë të barabarta.

drejtkëndëshe.

vija e mesme e trapezit. Vija e mesme është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre.

Drejtkëndësh

Përkufizimi.

Prona. Diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta.

Shenjë drejtkëndëshe. Nëse diagonalet e një paralelogrami janë të barabarta, atëherë paralelogrami është një drejtkëndësh.

Përkufizimi.

Prona. Diagonalet e një rombi janë reciproke pingul dhe presin këndet e tij.

Përkufizimi.

Një katror është një lloj i veçantë drejtkëndëshi, dhe gjithashtu një lloj i veçantë rombi. Prandaj, ajo ka të gjitha vetitë e tyre.

Vetitë:
1. Të gjitha cepat e sheshit janë të drejta

Katërkëndësh të gjitha rregullat

Fjalë kyçe:
katërkëndësh, konveks, shuma e këndeve, sipërfaqja e një katërkëndëshi

katërkëndëshi quhet një figurë, e cila përbëhet nga katër pika dhe katër segmente që i lidhin ato në seri. Në këtë rast, asnjë tre nga këto pika nuk duhet të shtrihet në një vijë të drejtë, dhe segmentet që i lidhin ato nuk duhet të kryqëzohen.

• Kulmet e katërkëndëshit quhen fqinje nëse janë skajet e njërës anë të saj.
• Kulmet që nuk janë fqinje , thirrur e kundërt .
• Quhen segmente vijash që lidhin kulmet e kundërta të një katërkëndëshi diagonale .
• Brinjët e katërkëndëshit që burojnë nga e njëjta kulm quhen fqinje partive.
• Palët që nuk kanë fund të përbashkët quhen e kundërt partive.
• Katërkëndëshi quhet konveks , nëse ndodhet në një gjysmë rrafsh në raport me vijën e drejtë që përmban njërën nga anët e saj.

Llojet e katërkëndëshave

1. Paralelogrami Një katërkëndësh me brinjë të kundërta paralele
   • Drejtkëndësh një paralelogram me të gjitha këndet e drejta
   • Rombi - një paralelogram me të gjitha anët të barabarta
   • Sheshi - një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta
2. Trapez - një katërkëndësh në të cilin dy brinjë janë paralele dhe dy brinjët e tjera nuk janë paralele
3. Deltoid Një katërkëndësh, dy palë brinjë të afërta të të cilit janë të barabarta

Katërkëndëshe

katërkëndëshi quhet një figurë, e cila përbëhet nga katër pika dhe katër segmente që i lidhin ato në seri. Në këtë rast, asnjë nga këto pika nuk shtrihet në të njëjtën vijë të drejtë dhe segmentet që i lidhin ato nuk kryqëzohen.

e kundërt. e kundërt.

Llojet e katërkëndëshave

Paralelogrami

Paralelogrami quhet katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift.

Vetitë e paralelogramit

• anët e kundërta janë të barabarta;
• këndet e kundërta janë të barabarta;
• shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha brinjëve:

Veçoritë e paralelogramit

Trapez Quhet një katërkëndësh, në të cilin dy anët e kundërta janë paralele dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Anët paralele të një trapezi quhen të saj bazat dhe anët jo paralele anët. Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vija e mesme.

Trapezi quhet izosceles(ose izosceles) nëse anët e tij janë të barabarta.

Një trapez me një kënd të drejtë quhet drejtkëndëshe.

Vetitë e trapezit

Shenjat e një trapezi

Drejtkëndësh

Drejtkëndësh Një paralelogram quhet nëse të gjitha këndet janë kënde të drejta.

Karakteristikat e drejtkëndëshit

Karakteristikat e drejtkëndëshit

Një paralelogram është një drejtkëndësh nëse:

1. Një nga cepat e saj është e drejtë.
2. Diagonalet e tij janë të barabarta.

Rombi Një paralelogram quhet nëse të gjitha brinjët janë të barabarta.

Vetitë e rombit

• të gjitha vetitë e një paralelogrami;
• diagonalet janë pingule;

Shenjat e një rombi

Sheshi Quhet një drejtkëndësh në të cilin të gjitha brinjët janë të barabarta.

Vetitë katrore

• të gjitha qoshet e sheshit janë të drejta;
• diagonalet e katrorit janë të barabarta, reciproke pingule, pika e kryqëzimit është e ndarë në gjysmë dhe këndet e katrorit janë të ndarë në gjysmë.

Shenjat katrore

Formulat bazë

S=d 1 d 2 mëkat

Paralelogrami
a dhe b- palët ngjitur; - këndi midis tyre; h a - lartësi në anën a.

S = ab mëkat

S=d 1 d 2 mëkat

Trapez
a dhe b- baza; h- distanca midis tyre; l- vija e mesme .

Drejtkëndësh

S=d 1 d 2 mëkat

S = një 2 mëkat

S=d 1 d 2

Sheshi
d- diagonale.

www.univer.omsk.su

Vetitë e katërkëndëshave. Llojet e katërkëndëshave. Vetitë e katërkëndëshave arbitrare. Vetitë e paralelogramit. Vetitë e rombit. Karakteristikat e drejtkëndëshit. Vetitë katrore. vetitë e trapezit. Përafërsisht klasa 7-9 (13-15 vjeç)

Vetitë e katërkëndëshave. Llojet e katërkëndëshave. Vetitë e katërkëndëshave arbitrare.
Vetitë e paralelogramit. Vetitë e rombit. Karakteristikat e drejtkëndëshit. Vetitë katrore. vetitë e trapezit.

Llojet e katërkëndëshave:

• Paralelogramiështë një katërkëndësh, brinjët e kundërta të të cilit janë paralele

• Rombiështë një paralelogram me të gjitha brinjët të barabarta.

• Drejtkëndëshështë një paralelogram me të gjitha këndet e drejta.

• Sheshiështë një drejtkëndësh me të gjitha anët e barabarta.

Vetitë e katërkëndëshave arbitrare:

Karakteristikat e paralelogramit:

Karakteristikat e rombit:

Karakteristikat e drejtkëndëshit:

Karakteristikat katrore:

Karakteristikat e trapezit:

Konsulencë dhe teknike
Mbështetja e faqes: Ekipi Zavarka

Katërkëndësh të gjitha rregullat

Gjeometria jo-Euklidiane, gjeometri e ngjashme me gjeometrinë Euklidi në atë që përcakton lëvizjen e figurave, por ndryshon nga gjeometria Euklidiane në atë që një nga pesë postulatet e saj (i dyti ose i pesti) zëvendësohet nga mohimi i tij. Mohimi i një prej postulateve Euklidiane (1825) ishte një ngjarje e rëndësishme në historinë e mendimit, sepse shërbeu si hapi i parë drejt teoria e relativitetit.

Postulati i dytë i Euklidit thotë se çdo segment i linjës mund të zgjatet pafundësisht. Euklidi me sa duket besonte se ky postulat përmbante gjithashtu deklaratën se vija e drejtë ka gjatësi të pafundme. Megjithatë në gjeometrinë "eliptike" çdo vijë e drejtë është e fundme dhe, si një rreth, është e mbyllur.

Postulati i pestë thotë se nëse një drejtëz pret dy drejtëza të dhëna në mënyrë që dy këndet e brendshme në njërën anë të saj të jenë më pak se dy kënde të drejta në shumë, atëherë këto dy drejtëza, nëse shtrihen pafundësisht, do të kryqëzohen në anën ku shuma e këto kënde janë më të vogla se shuma e dy drejtëzave. Por në gjeometrinë "hiperbolike", mund të ekzistojë një drejtëz CB (shih Fig.), pingul në pikën C me një drejtëz të caktuar r dhe që kryqëzon një drejtëz tjetër s në një kënd të mprehtë në pikën B, por, megjithatë, drejtëzat e pafundme r dhe s nuk do të kryqëzohen kurrë.

Nga këto postulate të rishikuara doli se shuma e këndeve të një trekëndëshi, e barabartë me 180° në gjeometrinë Euklidiane, është më e madhe se 180° në gjeometrinë eliptike dhe më pak se 180° në gjeometrinë hiperbolike.

Katërkëndëshi

Katërkëndëshiështë një shumëkëndësh që përmban katër kulme dhe katër brinjë.

Katërkëndëshi, figura gjeometrike- një shumëkëndësh me katër qoshe, si dhe çdo objekt, një pajisje e kësaj forme.

Quhen dy brinjë jo të afërta të një katërkëndëshi e kundërt. Quhen edhe dy kulme që nuk janë fqinje e kundërt.

Katërkëndëshat janë konveks (si ABCD) dhe
jo konveks (A 1 B 1 C 1 D 1).

Llojet e katërkëndëshave

• Paralelogrami- një katërkëndësh në të cilin të gjitha anët e kundërta janë paralele;
• Drejtkëndësh- një katërkëndësh me të gjitha këndet e drejta;
• Rombi- një katërkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta;
• Sheshi- një katërkëndësh në të cilin të gjitha këndet janë të drejta dhe të gjitha brinjët janë të barabarta;
• Trapez- një katërkëndësh me dy brinjë të kundërta paralele;
• Deltoid Një katërkëndësh, dy palë brinjë të afërta të të cilit janë të barabarta.

Paralelogrami

Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çift.

Paralelogrami (nga greqishtja parallelos - paralel dhe gram - drejtëz) d.m.th. shtrihet në drejtëza paralele. Raste të veçanta të një paralelogrami janë një drejtkëndësh, një katror dhe një romb.

• anët e kundërta janë të barabarta;
• këndet e kundërta janë të barabarta;
• diagonalet e pikës së kryqëzimit ndahen në gjysmë;
• shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është 180°;
• shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha brinjëve.

Një katërkëndësh është një paralelogram nëse:

1. Dy anët e tij të kundërta janë të barabarta dhe paralele.
2. Anët e kundërta janë të barabarta në çifte.
3. Këndet e kundërta janë të barabartë në çifte.
4. Diagonalet e pikës së kryqëzimit ndahen në gjysmë.

Drejtkëndësh

Një drejtkëndësh është një paralelogram me të gjitha këndet e drejta.

• anët e kundërta janë të barabarta;
• këndet e kundërta janë të barabarta;
• diagonalet e pikës së kryqëzimit ndahen në gjysmë;
• shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është 180°;
• diagonalet janë të barabarta.

Një paralelogram është një drejtkëndësh nëse:

1. Një nga cepat e saj është e drejtë.
2. Diagonalet e tij janë të barabarta.

Një romb është një paralelogram në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.

• anët e kundërta janë të barabarta;
• këndet e kundërta janë të barabarta;
• diagonalet e pikës së kryqëzimit ndahen në gjysmë;
• shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është 180°;
• shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha brinjëve;
• diagonalet janë pingule;
• diagonalet janë përgjysmuesit e këndeve të tij.

Një paralelogram është një romb nëse:

1. Dy anët e tij ngjitur janë të barabarta.
2. Diagonalet e saj janë pingul.
3. Një nga diagonalet është përgjysmuesja e këndit të saj.

Një katror është një drejtkëndësh në të cilin të gjitha anët janë të barabarta.

• të gjitha qoshet e sheshit janë të drejta;
• diagonalet e katrorit janë të barabarta, reciproke pingule, pika e kryqëzimit është e ndarë në gjysmë dhe këndet e katrorit janë të ndarë në gjysmë.

1. Një drejtkëndësh është një katror nëse ka disa karakteristika të një rombi.

Një trapez është një katërkëndësh në të cilin dy anët e kundërta janë paralele dhe dy të tjerat nuk janë paralele.

Brinjët paralele të një trapezi quhen bazat e tij, dhe anët jo paralele quhen brinjët e tij. Segmenti që lidh mesin e anëve quhet vijë e mesme.

Një trapezoid quhet izosceles (ose isosceles) nëse anët e tij janë të barabarta.

Një trapez me një kënd të drejtë quhet trapez me kënd të drejtë.

• vija e mesme e saj është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre;
• nëse trapezi është dykëndor, atëherë diagonalet e tij janë të barabarta dhe këndet në bazë janë të barabarta;
• nëse trapezi është izosceles, atëherë rreth tij mund të përshkruhet një rreth;
• nëse shuma e bazave është e barabartë me shumën e brinjëve, atëherë në të mund të futet një rreth.

1. Një katërkëndësh është një trapez nëse anët e tij paralele nuk janë të barabarta

Deltoid Një katërkëndësh me dy palë brinjë me të njëjtën gjatësi. Ndryshe nga një paralelogram, dy palë brinjë fqinje nuk janë të barabarta, por dy palë brinjë fqinje. Deltoidi ka formën e një qifti.

• Këndet ndërmjet brinjëve me gjatësi të pabarabartë janë të barabartë.
• Diagonalet e deltoidit (ose zgjatimet e tyre) priten në kënde të drejta.
• Një rreth mund të futet në çdo deltoid konveks, përveç kësaj, nëse deltoidi nuk është një romb, atëherë ekziston një rreth tjetër tangjent me zgjatimet e të katër anëve. Për një deltoid jo-konveks, mund të ndërtohet një rreth tangjent me dy anët më të mëdha dhe zgjatime të dy brinjëve më të vogla, dhe një rreth tangjent me dy anët më të vogla dhe zgjatime të dy brinjëve më të mëdha.

• Nëse këndi midis anëve të pabarabarta të deltoidit është një vijë e drejtë, atëherë në të mund të futet një rreth (deltoidi i përshkruar).
• Nëse një palë anash të kundërta të një deltoidi janë të barabarta, atëherë një deltoid i tillë është një romb.
• Nëse një palë brinjë të kundërta dhe të dy diagonalet e një deltoidi janë të barabarta, atëherë deltoidi është një katror. Një deltoid i brendashkruar me diagonale të barabarta është gjithashtu një katror.

Shfaqja e gjeometrisë daton në kohët e lashta dhe ishte për shkak të nevojave praktike të veprimtarisë njerëzore (nevoja për të matur tokën, për të matur vëllimet e trupave të ndryshëm, etj.).

Informacioni dhe konceptet më të thjeshta gjeometrike njiheshin në Egjiptin e lashtë. Gjatë kësaj periudhe, deklaratat gjeometrike u formuluan në formën e rregullave të dhëna pa prova.

Nga shekulli i VII para Krishtit e. deri në shekullin I pas Krishtit e. gjeometria si shkencë u zhvillua me shpejtësi në Greqinë e lashtë. Gjatë kësaj periudhe u bë jo vetëm grumbullimi i informacioneve të ndryshme gjeometrike, por u përpunua edhe metodologjia e vërtetimit të pohimeve gjeometrike dhe u bënë përpjekjet e para për të formuluar dispozitat (aksiomat) bazë parësore të gjeometrisë, nga të cilat shumë gjeometrike të ndryshme. pohimet rrjedhin nga arsyetimi thjesht logjik. Niveli i zhvillimit të gjeometrisë në Greqinë e lashtë pasqyrohet në veprën e "Fillimeve" të Euklidit.

Në këtë libër për herë të parë u përpoq të jepej një ndërtim sistematik i planimetrisë mbi bazën e koncepteve dhe aksiomave (postulateve) gjeometrike të papërcaktuara bazë.

Një vend të veçantë në historinë e matematikës zë postulati i pestë i Euklidit (aksioma e drejtëzave paralele). Për një kohë të gjatë, matematikanët u përpoqën pa sukses të nxjerrin postulatin e pestë nga pjesa tjetër e postulateve të Euklidit, dhe vetëm në mesin e shekullit të 19-të, falë studimeve të N. I. Lobachevsky, B. Riemann dhe J. Boyai, u bë e qartë se postulati i pestë nuk mund të rrjedhë nga pjesa tjetër, dhe sistemi i aksiomave, i propozuar nga Euklidi nuk është i vetmi i mundshëm.

"Elementet" e Euklidit patën një ndikim të madh në zhvillimin e matematikës. Për më shumë se dy mijë vjet, ky libër ka qenë jo vetëm një tekst shkollor për gjeometrinë, por ka shërbyer edhe si pikënisje për shumë studime matematikore, si rezultat i të cilave lindën degë të reja të pavarura të matematikës.

Ndërtimi sistematik i gjeometrisë zakonisht kryhet sipas planit të mëposhtëm:

I. Janë renditur konceptet kryesore gjeometrike, të cilat janë paraqitur pa përkufizime.

II. Jepet një formulim i aksiomave të gjeometrisë.

III. Mbi bazën e aksiomave dhe koncepteve bazë gjeometrike, formulohen koncepte dhe teorema të tjera gjeometrike.

1. Origjina e emrit Gjeometria jo-Euklidiane?
2. Cilat forma quhen katërkëndësha?
3. Vetitë e një paralelogrami?
4. Llojet e katërkëndëshave?

Lista e burimeve të përdorura

1. A.G. Tsypkin. Manuali i Matematikës
2. “Provimi i unifikuar i shtetit 2006. Matematikë. Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen e studentëve / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. Mazur K. I. "Zgjidhja e problemeve kryesore konkurruese në matematikë të koleksionit të redaktuar nga M. I. Scanavi"

Puna në mësim

Ju mund të ngrini një pyetje në lidhje me arsimin modern, të shprehni një ide ose të zgjidhni një problem urgjent në Forumi Arsimor ku një këshill arsimor i mendimit dhe veprimit të freskët mblidhet ndërkombëtarisht. Duke krijuar blog, Ju jo vetëm që do të përmirësoni statusin tuaj si mësues kompetent, por gjithashtu do të jepni një kontribut të rëndësishëm në zhvillimin e shkollës së së ardhmes. Shoqata e Drejtuesve të Arsimit ju hap derën specialistëve të rangut më të lartë dhe ju fton të bashkëpunoni në drejtim të krijimit të shkollave më të mira në botë.

Të njohura:

• Neni 282. Nxitja e urrejtjes ose armiqësisë, si dhe poshtërimi i dinjitetit njerëzor.
• Llogaritësi i tatimit në pronë të korporatave Si të llogarisni tatimin në pronë të korporatave Formulari i llogaritjes për paradhëniet ka ndryshuar. Duke filluar me raportimin për gjysmën e parë të vitit 2017, llogaritja e tatimit në pronë të korporatave […]
• Ligjet e ekologjisë Për më shumë se 100 vjet studim gjithëpërfshirës të popullsive dhe komuniteteve, është grumbulluar një sasi e madhe faktesh. Midis tyre - një numër i madh, duke reflektuar fenomene dhe procese të rastësishme ose të parregullta. Por jo […]
• Opsionet për sigurimin e pensioneve në sistemin e sigurimit të detyrueshëm pensional Deri në fund të vitit 2015, qytetarët e lindur në 1967 e më të rinj mund të zgjidhnin: të vazhdonin të formonin kursime pensionale ose […]
• Urdhri i Ministrisë së Bujqësisë 549 Regjistruar në Ministrinë e Drejtësisë së Federatës Ruse më 5 Mars 2009 N 13476 MINISTRIA E BUJQËSISË E FEDERATISË RUSE, datë 16 Dhjetor 2008 N 532 MBI MIRATIMIN E MIRATIVE TË KOSOVËS PYJET DHE […]
• Rritja e pensioneve për fëmijët me aftësi të kufizuara nga 1 janari 2018 Sigurimi pensional i qytetarëve është detyrim i shtetit. Kjo thuhet në kodin ligjor të vendit - në Kushtetutë. Mes invalidëve që kanë nevojë për […]
• Rregulla e rendit të brendshëm të Sh.A. RZD SH.A. "HEKURUDHA RUSE" UDHËR i datës 26 korrik 2012 N 87 PËR MIRATIMIN E RREGULLAVE TË RREGULLIMIT TË BRENDSHËM TË PUNËS SË SHËRBIMEVE RAJONALE (DEPARTAMENTI) TË ZHVILLIMIT DHE ZHVILLIMIT […]
• Ligji i 3 fazave të comte Pozitivizmit si një lëvizje filozofike rrjedh nga nocioni se pjesa më e madhe e njohurive për botën, njeriun dhe shoqërinë merret në shkenca të veçanta, se shkenca "pozitive" duhet të braktisë përpjekjet […]

Një nga temat më interesante në gjeometri nga lënda shkollore është "Katërkëndëshat" (klasa 8). Çfarë lloje të figurave të tilla ekzistojnë, çfarë veti të veçanta kanë ato? Çfarë është unike për katërkëndëshat me kënde nëntëdhjetë gradë? Le të shqyrtojmë të gjitha këto.

Cila figurë gjeometrike quhet katërkëndësh

Shumëkëndëshat, të cilët përbëhen nga katër anë dhe, në përputhje me rrethanat, nga katër kulme (kënde), quhen katërkëndësha në gjeometrinë Euklidiane.

Historia e emrit të këtij lloji figurash është interesante. Në gjuhën ruse, emri "katërkëndësh" formohet nga fraza "katër qoshe" (në të njëjtën mënyrë si "trekëndësh" - tre qoshe, "pentagon" - pesë qoshe, etj.).

Sidoqoftë, në latinisht (nëpërmjet të cilave erdhën shumë terma gjeometrikë në shumicën e gjuhëve të botës), quhet katërkëndësh. Kjo fjalë është formuar nga numri quadri (katër) dhe emri latus (ana). Pra, mund të konkludojmë se ndër të lashtët ky poligon përmendej vetëm si "katërkëndësh".

Nga rruga, një emër i tillë (me theks në praninë e katër anëve dhe jo të qosheve në figurat e këtij lloji) është ruajtur në disa gjuhë moderne. Për shembull, në anglisht - katërkëndësh dhe në frëngjisht - quadrilatère.

Në të njëjtën kohë, në shumicën e gjuhëve sllave, lloji i konsideruar i figurave ende identifikohet nga numri i këndeve, dhe jo nga anët. Për shembull, në sllovakisht (štvoruholník), në bullgarisht ("chetirigalnik"), në bjellorusisht ("chatyrokhkutnik"), në ukrainisht ("chotirikutnik"), në çekisht (čtyřúhelník), por në polonisht katërkëndëshi quhet me numrin e anët - czworoboczny.

Cilat lloje të katërkëndëshave studiohen në kurrikulën shkollore

Në gjeometrinë moderne, ekzistojnë 4 lloje poligonesh me katër anë.

Sidoqoftë, për shkak të vetive shumë komplekse të disa prej tyre, në mësimet e gjeometrisë, nxënësit e shkollës njihen vetëm me dy lloje.

• Paralelogrami. Anët e kundërta të një katërkëndëshi të tillë janë paralele në çift me njëra-tjetrën dhe, në përputhje me rrethanat, janë gjithashtu të barabarta në çifte.
• Trapez (trapez ose trapez). Ky katërkëndësh përbëhet nga dy brinjë të kundërta paralele me njëra-tjetrën. Megjithatë, palët e tjera të palëve nuk e kanë këtë veçori.

Llojet e katërkëndëshave të pa studiuara në lëndën e gjeometrisë shkollore

Përveç sa më sipër, ka edhe dy lloje të tjera katërkëndëshash me të cilët nxënësit e shkollës nuk njihen në mësimet e gjeometrisë, për shkak të kompleksitetit të tyre të veçantë.

• Deltoid (qift)- një figurë në të cilën secila prej dy palëve të brinjëve ngjitur është e barabartë në gjatësi me njëra-tjetrën. Një katërkëndësh i tillë mori emrin e tij për faktin se në pamje ngjan mjaft fort me shkronjën e alfabetit grek - "delta".
• Antiparalelogram- kjo shifër është po aq komplekse sa edhe emri i saj. Në të, dy anët e kundërta janë të barabarta, por në të njëjtën kohë ato nuk janë paralele me njëra-tjetrën. Veç kësaj, anët e gjata të kundërta të këtij katërkëndëshi kryqëzohen me njëra-tjetrën, si dhe zgjatimet e dy brinjëve të tjera, më të shkurtra.

Llojet e paralelogramit

Duke u marrë me llojet kryesore të katërkëndëshave, ia vlen t'i kushtohet vëmendje nëngrupeve të tij. Pra, të gjithë paralelogramët, nga ana tjetër, ndahen gjithashtu në katër grupe.

• Paralelogrami klasik.
• Romb (rombi)- një figurë katërkëndore me brinjë të barabarta. Diagonalet e tij kryqëzohen në kënde të drejta, duke e ndarë rombin në katër trekëndësha kënddrejtë të barabartë.
• Drejtkëndësh. Emri flet vetë. Meqenëse është një katërkëndësh me kënde të drejta (secili prej tyre është i barabartë me nëntëdhjetë gradë). Anët e tij të kundërta janë jo vetëm paralele me njëra-tjetrën, por edhe të barabarta.
• Shesh (katror). Ashtu si një drejtkëndësh, ai është një katërkëndësh me kënde të drejta, por i ka të gjitha anët të barabarta me njëra-tjetrën. Kjo shifër është afër një romb. Pra, mund të argumentohet se një katror është një kryqëzim midis një rombi dhe një drejtkëndëshi.

Vetitë e veçanta të drejtkëndëshit

Duke marrë parasysh figurat në të cilat secili nga këndet midis brinjëve është i barabartë me nëntëdhjetë gradë, ia vlen të ndalemi më nga afër në drejtkëndësh. Pra, çfarë veçori të veçanta ka ai që e dallojnë atë nga paralelogramët e tjerë?

Për të pohuar se paralelogrami në shqyrtim është një drejtkëndësh, diagonalet e tij duhet të jenë të barabarta me njëra-tjetrën dhe secili nga këndet duhet të jetë i drejtë. Për më tepër, katrori i diagonaleve të tij duhet të korrespondojë me shumën e katrorëve të dy anëve ngjitur të kësaj figure. Me fjalë të tjera, një drejtkëndësh klasik përbëhet nga dy trekëndëshat kënddrejtë, dhe në to, siç dihet, diagonalja e katërkëndëshit në shqyrtim vepron si hipotenuzë.

E fundit nga shenjat e renditura të kësaj figure është edhe veti e veçantë e saj. Përveç kësaj, ka edhe të tjera. Për shembull, fakti që të gjitha brinjët e katërkëndëshit të studiuar me kënde të drejta janë në të njëjtën kohë lartësitë e tij.

Përveç kësaj, nëse një rreth vizatohet rreth ndonjë drejtkëndëshi, diametri i tij do të jetë i barabartë me diagonalen e figurës së brendashkruar.

Ndër vetitë e tjera të këtij katërkëndëshi është se është i sheshtë dhe nuk ekziston në gjeometrinë jo-Euklidiane. Kjo për faktin se në një sistem të tillë nuk ka figura katërkëndëshe, shuma e këndeve të të cilave është e barabartë me treqind e gjashtëdhjetë gradë.

Sheshi dhe veçoritë e tij

Duke u marrë me shenjat dhe vetitë e një drejtkëndëshi, ia vlen t'i kushtohet vëmendje katërkëndëshit të dytë të njohur për shkencën me kënde të drejta (ky është një katror).

Duke qenë në fakt i njëjti drejtkëndësh, por me brinjë të barabarta, kjo figurë ka të gjitha vetitë e saj. Por ndryshe nga ai, katrori është i pranishëm në gjeometrinë jo-Euklidiane.

Përveç kësaj, kjo shifër ka veçori të tjera dalluese të veta. Për shembull, fakti që diagonalet e një katrori nuk janë vetëm të barabarta me njëra-tjetrën, por edhe kryqëzohen në një kënd të drejtë. Kështu, si një romb, një katror përbëhet nga katër trekëndësha kënddrejtë, në të cilët ndahet me diagonale.

Për më tepër, kjo shifër është më simetrikja nga të gjithë katërkëndëshat.

Sa është shuma e këndeve të një katërkëndëshi

Duke marrë parasysh veçoritë e katërkëndëshave të gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje këndeve të tyre.

Pra, në secilën nga figurat e mësipërme, pavarësisht nëse ka kënde të drejta apo jo, shuma totale e tyre është gjithmonë e njëjtë - treqind e gjashtëdhjetë gradë. Ky është një tipar unik dallues i këtij lloji të figurës.

Perimetri i katërkëndëshave

Pasi të keni kuptuar se cila është shuma e këndeve të një katërkëndëshi dhe vetitë e tjera të veçanta të figurave të këtij lloji, ia vlen të dini se cilat formula përdoren më së miri për të llogaritur perimetrin dhe sipërfaqen e tyre.

Për të përcaktuar perimetrin e çdo katërkëndëshi, thjesht duhet të shtoni së bashku gjatësinë e të gjitha anëve të tij.

Për shembull, në figurën KLMN, perimetri i tij mund të llogaritet duke përdorur formulën: P \u003d KL + LM + MN + KN. Nëse zëvendësoni numrat këtu, merrni: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

Në rastin kur figura në fjalë është një romb ose katror, ​​për të gjetur perimetrin, mund ta thjeshtoni formulën duke shumëzuar gjatësinë e njërës prej anëve të saj me katër: P \u003d KL x 4. Për shembull: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Formulat katërkëndëshe të sipërfaqes

Pasi të keni kuptuar se si të gjeni perimetrin e çdo figure me katër qoshe dhe anët, ia vlen të merren parasysh mënyrat më të njohura dhe të thjeshta për të gjetur zonën e saj.

Veti të tjera të katërkëndëshave: rrathë të brendashkruar dhe të rrethuar

Duke marrë parasysh tiparet dhe vetitë e një katërkëndëshi si një figurë e gjeometrisë Euklidiane, ia vlen t'i kushtohet vëmendje aftësisë për të përshkruar rreth ose brenda tij rrathë:

• Nëse shumat e këndeve të kundërta të një figure janë njëqind e tetëdhjetë gradë secila dhe janë të barabarta në çift me njëra-tjetrën, atëherë një rreth mund të përshkruhet lirisht rreth një katërkëndëshi të tillë.
• Sipas teoremës së Ptolemeut, nëse një rreth është i rrethuar jashtë një shumëkëndëshi me katër brinjë, atëherë prodhimi i diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e prodhimeve të anëve të kundërta të figurës së dhënë. Kështu, formula do të duket si kjo: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Nëse ndërtoni një katërkëndësh në të cilin shumat e brinjëve të kundërta janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë në të mund të futet një rreth.

Pasi të keni kuptuar se çfarë është një katërkëndësh, cilat lloje të tij ekzistojnë, cilat prej tyre kanë vetëm kënde të drejta midis anëve dhe cilat veti kanë, ia vlen të mbani mend gjithë këtë material. Në veçanti, formulat për gjetjen e perimetrit dhe zonës së poligoneve të konsideruara. Në fund të fundit, shifrat e kësaj forme janë një nga më të zakonshmet, dhe kjo njohuri mund të jetë e dobishme për llogaritjet në jetën reale.

Në kurrikulën e shkollës, mësimet e gjeometrisë kanë të bëjnë me lloje të ndryshme katërkëndëshash: rombe, paralelogramë, drejtkëndësha, trapezoide, katrorë. Format e para për të studiuar janë një drejtkëndësh dhe një katror.

Pra, çfarë është një drejtkëndësh? Përkufizimi për klasën 2 shkolla e mesme do të duket kështu: është një katërkëndësh me të katër këndet djathtas. Është e lehtë të imagjinohet se si duket një drejtkëndësh: është një figurë me 4 kënde të drejta dhe brinjë paralele me njëra-tjetrën në çifte.

Në kontakt me

Si të kuptojmë, duke zgjidhur problemën e radhës gjeometrike, me çfarë katërkëndëshi kemi të bëjmë? Ka tre karakteristika kryesore, me të cilin mund të përcaktoni me saktësi se po flasim për një drejtkëndësh. Le t'i quajmë ata:

• figura është një katërkëndësh me tre kënde të barabarta me 90°;
• katërkëndëshi i paraqitur është paralelogram me diagonale të barabarta;
• një paralelogram që ka të paktën një kënd të drejtë.

Është interesante të dihet: çfarë është konveks, tiparet dhe shenjat e tij.

Meqenëse një drejtkëndësh është një paralelogram (d.m.th., një katërkëndësh me anët e kundërta paralele në çift), atëherë të gjitha vetitë dhe veçoritë e tij do të plotësohen për të.

Formulat për llogaritjen e gjatësisë së anëve

në një drejtkëndësh anët e kundërta janë të barabarta dhe reciprokisht paralele. Ana më e gjatë zakonisht quhet gjatësi (shënohet me a), ana më e shkurtër quhet gjerësi (shënohet me b). Në drejtkëndëshin në imazh, gjatësitë janë brinjët AB dhe CD, dhe gjerësia janë AC dhe B.D. Ato janë gjithashtu pingul me bazat (d.m.th., ato janë lartësi).

Për të gjetur anët, mund të përdorni formulat e mëposhtme. Në to janë miratuar konventa: a - gjatësia e drejtkëndëshit, b - gjerësia e tij, d - diagonalja (segmenti që lidh kulmet e dy këndeve që shtrihen përballë njëri-tjetrit), S - sipërfaqja e figurës, P - perimetri, α - këndi midis diagonales dhe gjatësisë, β është një kënd akut i formuar nga të dy diagonalet. Mënyrat për të gjetur gjatësinë e anëve:

• Duke përdorur diagonalen dhe anën e njohur: a \u003d √ (d ² - b ²), b \u003d √ (d ² - a ²).
• Sipas sipërfaqes së figurës dhe njërës prej anëve të saj: a = S / b, b = S / a.
• Duke përdorur perimetrin dhe anën e njohur: a = (P - 2 b) / 2, b = (P - 2 a) / 2.
• Përmes diagonales dhe këndit ndërmjet saj dhe gjatësisë: a = d sinα, b = d cosα.
• Përmes diagonales dhe këndit β: a = d sin 0,5 β, b = d cos 0,5 β.

Perimetri dhe zona

Perimetri i një katërkëndëshi quhet shuma e gjatësive të të gjitha brinjëve të saj. Për të llogaritur perimetrin, mund të përdoren formulat e mëposhtme:

• Nëpër të dy anët: P = 2 (a + b).
• Përmes zonës dhe njërës prej anëve: P \u003d (2S + 2a ²) / a, P \u003d (2S + 2b ²) / b.

Një zonë është një hapësirë ​​e kufizuar nga një perimetër. Tre mënyra kryesore për të llogaritur sipërfaqen:

• Nëpër gjatësitë e të dy anëve: S = a*b.
• Duke përdorur perimetrin dhe çdo anë të njohur: S \u003d (Pa - 2 a ²) / 2; S = (Pb - 2b²) / 2.
• Diagonalisht dhe këndi β: S = 0,5 d² sinβ.

Në detyrat e një kursi të matematikës shkollore, shpesh kërkohet të zotëroni mirë vetitë e diagonaleve të një drejtkëndëshi. Ne rendisim ato kryesore:

1. Diagonalet janë të barabarta me njëra-tjetrën dhe ndahen në dy segmente të barabarta në pikën e kryqëzimit të tyre.
2. Diagonalja përcaktohet si rrënja e shumës së të dy anëve në katror (rrjedh nga teorema e Pitagorës).
3. Diagonalja e ndan drejtkëndëshin në dy trekëndësha me kënd të drejtë.
4. Pika e kryqëzimit përkon me qendrën e rrethit të rrethuar, dhe vetë diagonalet përkojnë me diametrin e tij.

Formulat e mëposhtme përdoren për të llogaritur gjatësinë e diagonales:

• Duke përdorur gjatësinë dhe gjerësinë e figurës: d = √ (a ² + b ²).
• Duke përdorur rrezen e një rrethi të rrethuar rreth një katërkëndëshi: d = 2 R.

Përkufizimi dhe vetitë e një katrori

Një katror është një rast i veçantë i një rombi, paralelogrami ose drejtkëndëshi. Dallimi i tij nga këto figura është se të gjitha këndet e tij janë të drejta dhe të katër anët janë të barabarta. Një katror është një katërkëndësh i rregullt.

Një katërkëndësh quhet katror në rastet e mëposhtme:

1. Nëse është një drejtkëndësh, gjatësia a dhe gjerësia b janë të barabarta.
2. Nëse është një romb me diagonale me gjatësi të barabartë dhe katër kënde të drejta.

Vetitë e një katrori përfshijnë të gjitha vetitë e diskutuara më parë në lidhje me një drejtkëndësh, si dhe sa vijon:

1. Diagonalet janë pingul me njëra-tjetrën (vetia e rombit).
2. Pika e kryqëzimit përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar.
3. Të dy diagonalet e ndajnë katërkëndëshin në katër trekëndësha identikë kënddrejtë dhe dykëndësh.

Këtu janë disa formula të përdorura shpesh për llogaritja e perimetrit, sipërfaqes dhe elementeve të një katrori:

• Diagonalja d = a √2.
• Perimetri P = 4 a.
• Zona S = a².
• Rrezja e rrethit të rrethuar është gjysma e diagonales: R = 0,5 a √2.
• Rrezja e një rrethi të brendashkruar përcaktohet si gjysma e gjatësisë së anës: r = a / 2.

Shembull pyetjesh dhe detyrash

Le të analizojmë disa nga pyetjet që mund të hasni gjatë studimit të matematikës në shkollë dhe të zgjidhim disa probleme të thjeshta.

Detyra 1. Si do të ndryshojë sipërfaqja e një drejtkëndëshi nëse gjatësia e brinjëve të tij trefishohet?

Zgjidhje : Le të shënojmë sipërfaqen e figurës origjinale si S0, dhe sipërfaqen e katërkëndëshit me gjatësinë e trefishtë të anëve - S1. Sipas formulës së konsideruar më parë, marrim: S0 = ab. Tani le të rrisim gjatësinë dhe gjerësinë me 3 herë dhe të shkruajmë: S1= 3 a 3 b = 9 ab. Duke krahasuar S0 dhe S1, bëhet e qartë se zona e dytë është 9 herë më e madhe se e para.

Pyetja 1. A është katror një katërkëndësh me kënde të drejta?

Zgjidhje : Nga përkufizimi del se një figurë me kënde të drejta është katror vetëm nëse gjatësitë e të gjitha brinjëve të saj janë të barabarta. Përndryshe, figura është një drejtkëndësh.

Detyra 2. Diagonalet e një drejtkëndëshi formojnë një kënd prej 60 gradë. Gjerësia e drejtkëndëshit është 8. Njehsoni sa është diagonalja.

Zgjidhja: Kujtojmë se diagonalet janë të dyfishta nga pika e kryqëzimit. Pra, kemi të bëjmë me një trekëndësh dykëndësh me një kënd në kulm të barabartë me 60°. Meqenëse trekëndëshi është dykëndësh, këndet në bazë do të jenë gjithashtu të njëjta. Nga llogaritjet e thjeshta, marrim se secila prej tyre është e barabartë me 60 °. Nga kjo rezulton se trekëndëshi është barabrinjës. Gjerësia që ne njohim është baza e trekëndëshit, kështu që gjysma e diagonales është gjithashtu 8, dhe gjatësia e të gjithë diagonales është dyfishi i asaj dhe e barabartë me 16.

Pyetja 2. A i ka një drejtkëndësh të gjitha brinjët të barabarta apo jo?

Zgjidhje : Mjafton të kujtojmë se të gjitha anët duhet të jenë të barabarta për një katror, ​​i cili është një rast i veçantë i një drejtkëndëshi. Në të gjitha rastet e tjera, një kusht i mjaftueshëm është prania e të paktën 3 këndeve të drejta. Barazia e palëve nuk është karakteristikë e detyrueshme.

Detyra 3. Sipërfaqja e katrorit është e njohur dhe e barabartë me 289. Gjeni rrezet e rrathëve të brendashkruar dhe të rrethuar.

Zgjidhje : Sipas formulave për katrorin, ne do të kryejmë llogaritjet e mëposhtme:

• Le të përcaktojmë se me çfarë janë të barabartë elementët kryesorë të katrorit: a = √ S = √289 = 17; d = a √2 =1 7√2.
• Le të llogarisim se sa është e barabartë rrezja e rrethit të përshkruar rreth katërkëndëshit: R = 0,5 d = 8,5√2.
• Le të gjejmë rrezen e rrethit të brendashkruar: r = a / 2 = 17 / 2 = 8,5.

Tema e mësimit

• Përkufizimi i një katërkëndëshi.

Objektivat e mësimit

• Edukative - përsëritje, përgjithësim dhe testim i njohurive me temën: "Katërkëndëshat"; zhvillimi i aftësive bazë.
• Zhvillimi - për të zhvilluar vëmendjen e studentëve, këmbënguljen, këmbënguljen, të menduarit logjik, të folurit matematikor.
• Edukative - përmes një mësimi, për të kultivuar një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, për të rrënjosur aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë, pavarësinë.

Objektivat e mësimit

• Për të formuar aftësi në ndërtimin e një katërkëndëshi duke përdorur një shirit shkallësh dhe një trekëndësh vizatimi.
• Kontrolloni aftësinë e nxënësve për të zgjidhur problemet.

Plani i mësimit

1. Referenca e historisë. Gjeometria jo-Euklidiane.
2. Katërkëndëshi.
3. Llojet e katërkëndëshave.

Gjeometria jo-Euklidiane

Gjeometria jo-Euklidiane, gjeometri e ngjashme me gjeometrinë Euklidi në atë që përcakton lëvizjen e figurave, por ndryshon nga gjeometria Euklidiane në atë që një nga pesë postulatet e saj (i dyti ose i pesti) zëvendësohet nga mohimi i tij. Mohimi i një prej postulateve Euklidiane (1825) ishte një ngjarje e rëndësishme në historinë e mendimit, sepse shërbeu si hapi i parë drejt teoria e relativitetit.

Postulati i dytë i Euklidit thotë se çdo segment i linjës mund të zgjatet pafundësisht. Euklidi me sa duket besonte se ky postulat përmbante gjithashtu deklaratën se vija e drejtë ka gjatësi të pafundme. Megjithatë në gjeometrinë "eliptike" çdo vijë e drejtë është e fundme dhe, si një rreth, është e mbyllur.

Postulati i pestë thotë se nëse një drejtëz pret dy drejtëza të dhëna në mënyrë që dy këndet e brendshme në njërën anë të saj të jenë më pak se dy kënde të drejta në shumë, atëherë këto dy drejtëza, nëse shtrihen pafundësisht, do të kryqëzohen në anën ku shuma e këto kënde janë më të vogla se shuma e dy drejtëzave. Por në gjeometrinë "hiperbolike", mund të ekzistojë një drejtëz CB (shih Fig.), pingul në pikën C me një drejtëz të caktuar r dhe që kryqëzon një drejtëz tjetër s në një kënd të mprehtë në pikën B, por, megjithatë, drejtëzat e pafundme r dhe s nuk do të kryqëzohen kurrë.

Nga këto postulate të rishikuara doli se shuma e këndeve të një trekëndëshi, e barabartë me 180° në gjeometrinë Euklidiane, është më e madhe se 180° në gjeometrinë eliptike dhe më pak se 180° në gjeometrinë hiperbolike.

Katërkëndëshi

Lëndët > Matematikë > Matematikë Klasa 8