Bernoullis lagformulering. Skoluppslagsbok

11.02.2022 | Kompositioner

Vad har Bernoullis lag med flyg att göra? Det visar sig mest direkt. Med dess hjälp är det möjligt att förklara uppkomsten av lyftkraften från flygplansvingen och andra aerodynamiska krafter.

Bernoullis lag

Upphovsmannen till denna lag Schweizisk universalfysiker, mekaniker och matematiker. Daniel Bernoulli är son till den berömde schweiziske matematikern Johann Bernoulli. PÅ 1838 utgav han grundläggande vetenskapligt arbete "Hydrodynamics", där han hämtade sin berömda lag.

Det bör sägas att på den tiden existerade inte aerodynamik som vetenskap ännu. Och Bernoullis lag beskrev beroendet av flödeshastigheten för en ideal vätska på tryck. Men i början av 1900-talet började flyget att växa fram. Det var här Bernoullis lag kom väl till pass. När allt kommer omkring, om vi betraktar luftflödet som en inkompressibel vätska, är denna lag också giltig för luftflöden. Med dess hjälp kunde de förstå hur man lyfter ett flygplan tyngre än luft upp i luften. Detta är aerodynamikens viktigaste lag, eftersom den fastställer ett samband mellan luftrörelsens hastighet och trycket som verkar i den, vilket hjälper till att göra beräkningar av de krafter som verkar på flygplanet.

Bernoullis lag är en konsekvens av lagen om energibevarande för stationärt flöde av en idealisk och inkompressibel vätska .

Inom aerodynamik anses luft som inkompressibel vätska det vill säga ett medium vars densitet inte ändras med tryck. MEN stationär ett flöde betraktas där partiklar rör sig längs banor som är konstanta i tiden, vilket kallas strömlinjer. Virvlar bildas inte i sådana flöden.

För att förstå kärnan i Bernoullis lag, låt oss bekanta oss med jetkontinuitetsekvationen.

Jetkontinuitetsekvation

Av det framgår att ju högre vätskeflödet (och inom aerodynamik, luftflödet), desto lägre tryck, och vice versa.

Bernoulli-effekten kan observeras sittande vid den öppna spisen. Vid kraftiga vindbyar ökar luftflödeshastigheten och trycket sjunker. Lufttrycket i rummet är högre. Och lågorna rusar upp i skorstenen.

Bernoullis lag och luftfart

Med hjälp av denna lag är det mycket enkelt att förklara hur lyftkraften för ett flygplan som är tyngre än luft uppstår.

Under flygningen skär flygplanets vinge så att säga luftflödet i två delar. En del flyter runt den övre ytan av vingen, och den andra den nedre. Vingens form är sådan att den övre strömmen måste övervinna ett större avstånd för att ansluta till den nedre vid en punkt. Det betyder att han rör sig snabbare. Och eftersom hastigheten är större, är trycket ovanför vingens övre yta mindre än under den nedre. På grund av skillnaden i dessa tryck uppstår vingens lyftkraft.

När flygplanet klättrar ökar tryckskillnaden vilket gör att lyftkraften också ökar vilket gör att flygplanet kan höjas.

Vi kommer omedelbart att klargöra att lagarna som beskrivs ovan är giltiga om luftflödets hastighet inte överstiger ljudets hastighet (upp till 340 m / s). När allt kommer omkring ansåg vi luft som en inkompressibel vätska. Men det visar sig att vid hastigheter över ljudets hastighet beter sig luftflödet annorlunda. Luftens kompressibilitet kan inte längre försummas. Och luften under dessa förhållanden, som vilken gas som helst, försöker expandera och uppta en större volym. Betydande tryckfall eller stötvågor uppstår. Och själva luftflödet smalnar inte av, utan tvärtom expanderar. Lösningen av problem med rörelsen av luftflöden med hastigheter nära eller överstigande ljudets hastighet är gasdynamik , som uppstod som en fortsättning på aerodynamiken.

Med hjälp av aerodynamiska lagar låter teoretisk aerodynamik dig göra beräkningar av de aerodynamiska krafter som verkar på flygplanet. Och riktigheten av dessa beräkningar kontrolleras genom att testa den konstruerade modellen på speciella experimentanläggningar, som kallas vindtunnlar . Dessa installationer låter dig mäta storleken på krafterna med speciella instrument.

Förutom att studera krafterna som verkar på aerodynamiska modeller, används aerodynamiska mätningar för att studera fördelningen av värdena för hastighet, densitet och temperatur hos luften som strömmar runt modellen.

I det här avsnittet kommer vi att tillämpa lagen om energibevarande på förflyttning av vätska eller gas genom rör. Vätskerörelsen genom rör finns ofta i teknik och vardag. Vattenledningar levererar vatten i staden till hus, till platser för dess konsumtion. I maskiner levererar rör olja för smörjning, bränsle till motorer etc. Vätskerörelsen genom rör finns ofta i naturen. Det räcker med att säga att blodcirkulationen hos djur och människor är flödet av blod genom rör - blodkärl. Till viss del är vattenflödet i floder också ett slags vätskeflöde genom rör. Flodbädden är ett slags rör för strömmande vatten.

Som ni vet överför en stationär vätska i ett kärl, enligt Pascals lag, externt tryck i alla riktningar och till alla punkter i volymen utan förändring. Men när en vätska strömmar utan friktion genom ett rör, området tvärsnitt som är olika i olika sektioner, trycket är inte detsamma längs röret. Låt oss ta reda på varför trycket i en rörlig vätska beror på rörets tvärsnittsarea. Men först, låt oss bekanta oss med en viktig egenskap hos något vätskeflöde.

Låt oss anta att vätskan strömmar genom ett horisontellt placerat rör, vars sektion är olika på olika ställen, till exempel genom ett rör, varav en del visas i figur 207.

Om vi mentalt ritade flera sektioner längs röret, vars ytor är lika, och mätte mängden vätska som strömmade genom var och en av dem under en viss tidsperiod, skulle vi finna att samma mängd vätska strömmade genom varje sektion. Detta innebär att all vätska som passerar genom den första sektionen på samma tid passerar genom den tredje sektionen samtidigt, även om den är mycket mindre i yta än den första. Om så inte vore fallet, och t.ex. mindre vätska passerade genom områdessektionen under tiden, än genom areasektionen, då skulle överskottsvätskan behöva samlas någonstans. Men vätskan fyller hela röret, och det finns ingenstans för det att samlas.

Hur kan en vätska som har runnit genom en bred sektion hinna "pressa" sig genom en smal samtidigt? Uppenbarligen, för detta, när man passerar genom smala delar av röret, måste rörelsehastigheten vara större, och lika många gånger som tvärsnittsarean är mindre.

Låt oss faktiskt överväga en viss sektion av en rörlig vätskekolonn, som i det första ögonblicket sammanfaller med en av rörets sektioner (fig. 208). Under tiden kommer detta område att röra sig ett avstånd som är lika med var vätskeflödets hastighet är. Volymen V av vätskan som strömmar genom rörsektionen är lika med produkten av området för denna sektion och längden

Volymen vätska som strömmar per tidsenhet är

Volymen vätska som strömmar per tidsenhet genom rörsektionen är lika med produkten av rörets tvärsnittsarea och flödeshastigheten.

Som vi nyss har sett måste denna volym vara densamma i olika sektioner av röret. Därför, ju mindre tvärsnitt av röret, desto högre rörelsehastighet.

Hur mycket vätska som passerar genom en sektion av röret under en viss tid, samma mängd måste passera för en sådan

samtidigt genom någon annan sektion.

Dessutom antar vi att en given vätskemassa alltid har samma volym, att den inte kan komprimera och minska sin volym (en vätska sägs vara inkompressibel). Det är t.ex. välkänt, att på flodens smala ställen är vattenflödets hastighet större än i de breda. Om vi anger vätskeflödeshastigheten i sektioner efter area genom så kan vi skriva:

Av detta framgår att när en vätska passerar från en rörsektion med större tvärsnittsarea till en sektion med mindre tvärsnittsarea ökar flödeshastigheten, dvs vätskan rör sig med acceleration. Och detta, enligt Newtons andra lag, innebär att en kraft verkar på vätskan. Vad är denna kraft?

Denna kraft kan bara vara skillnaden mellan tryckkrafterna i de breda och smala sektionerna av röret. I en bred sektion av röret måste således vätskans tryck vara större än i en smal sektion av röret.

Detsamma följer av lagen om energibevarande. Faktum är att om vätskans hastighet ökar på de smala platserna i röret, ökar också dess kinetiska energi. Och eftersom vi har antagit att vätskan flyter utan friktion måste denna ökning av kinetisk energi kompenseras av en minskning av potentiell energi, eftersom den totala energin måste förbli konstant. Vad är den potentiella energin här? Om röret är horisontellt är den potentiella energin för interaktion med jorden i alla delar av röret densamma och kan inte ändras. Detta innebär att endast den potentiella energin av elastisk interaktion återstår. Tryckkraften som får vätskan att strömma genom röret är den elastiska kraften för att komprimera vätskan. När vi säger att en vätska är inkompressibel, menar vi bara att den inte kan komprimeras tillräckligt för att märkbart ändra dess volym, men en mycket liten kompression, som orsakar uppkomsten av elastiska krafter, inträffar oundvikligen. Dessa krafter skapar vätsketryck. Detta är komprimeringen av vätskan och minskar i de smala delarna av röret, vilket kompenserar för ökningen i hastighet. På smala ställen av rör måste därför vätsketrycket vara mindre än i breda.

Detta är lagen som upptäcktes av Petersburg-akademikern Daniil Bernoulli:

Trycket på den strömmande vätskan är högre i de delar av flödet där hastigheten på dess rörelse är mindre, och,

tvärtom, i de sektioner där hastigheten är högre är trycket mindre.

Konstigt som det kan tyckas, men när vätskan "klämmer" genom de smala sektionerna av röret, ökar dess kompression inte, utan minskar. Och erfarenheten bekräftar detta väl.

Om röret genom vilket vätskan strömmar är försett med öppna rör lödda i det - tryckmätare (Fig. 209), kommer det att vara möjligt att observera tryckfördelningen längs röret. På smala ställen i röret är höjden på vätskekolonnen i det manometriska röret mindre än i breda. Det gör att det är mindre tryck på dessa platser. Ju mindre tvärsnitt av röret, desto större flödeshastighet i det och desto lägre tryck. Det är naturligtvis möjligt att välja en sådan sektion där trycket är lika med det yttre atmosfärstrycket (höjden på vätskenivån i manometern blir då lika med noll). Och om vi tar ett ännu mindre tvärsnitt, kommer trycket på vätskan i den att vara mindre än atmosfäriskt.

Detta vätskeflöde kan användas för att pumpa luft. Den så kallade vattenjetpumpen arbetar enligt denna princip. Figur 210 visar ett diagram över en sådan pump. En vattenstråle leds genom rör A med ett smalt hål i änden. Vattentrycket vid röröppningen är mindre än atmosfärstrycket. Det är därför

gas från den evakuerade volymen genom rör B dras till änden av rör A och avlägsnas tillsammans med vatten.

Allt som sägs om vätskans rörelse genom rör gäller för gasens rörelse. Om gasflödet inte är för högt och gasen inte är tillräckligt komprimerad för att ändra sin volym, och om friktionen dessutom försummas, så gäller Bernoullis lag även för gasflöden. I de smala delarna av rören, där gasen rör sig snabbare, är dess tryck lägre än i de breda delarna och kan bli lägre än atmosfärstrycket. I vissa fall kräver detta inte ens rör.

Du kan göra ett enkelt experiment. Om du blåser på ett pappersark längs dess yta, som visas i figur 211, kan du se att pappret kommer att höjas. Detta beror på minskningen av trycket i luftströmmen ovanför papperet.

Samma fenomen inträffar under flygningen av ett flygplan. Det mötande luftflödet rinner in i den konvexa övre ytan av vingen på ett flygande flygplan, och på grund av detta uppstår en minskning av trycket. Trycket ovanför vingen är mindre än trycket under vingen. Det är därför vingens lyftkraft uppstår.

Övning 62

1. Tillåten hastighet för oljeflöde genom rör är 2 m/sek. Vilken volym olja passerar genom ett rör med en diameter på 1 m på 1 timme?

2. Mät mängden vatten som rinner ut ur en kran under en given tid. Bestäm hastigheten på vattenflödet genom att mäta diametern på röret framför kranen.

3. Vad bör diametern på rörledningen vara genom vilken vatten måste rinna per timme? Tillåtet vattenflöde 2,5 m/sek.

Ta ett rör genom vilket en vätska strömmar. Vårt rör är inte detsamma längs hela längden, utan har en annan tvärsnittsdiameter. Bernoullis lag uttrycks i det faktum att, trots olika diameter, strömmar samma volym vätska genom vilken sektion som helst i detta rör samtidigt.

De där. hur mycket vätska som passerar genom en sektion av röret under en viss tid, måste samma mängd passera genom vilken annan sektion som helst samtidigt. Och eftersom volymen av vätskan inte förändras, och vätskan i sig praktiskt taget inte komprimeras, förändras något annat.

I den smalare delen av röret är vätskehastigheten högre och trycket lägre. Omvänt, i breda delar av röret är hastigheten lägre och trycket högre.

Vätsketryck och hastighet ändras. Om röret genom vilket vätskan strömmar är försett med öppna manometerrör lödda i det (bild 209), kommer det att vara möjligt att observera tryckfördelningen längs röret.

Tillämpad på aerodynamik uttrycks Bernoullis lag i det faktum att luftflödet på vingen har en annan hastighet och tryck under vingen och ovanför vingen, som ett resultat av att vingens lyftkraft uppstår.

Låt oss göra ett enkelt experiment. Ta en liten bit papper och placera den direkt framför oss på detta sätt:

Och så blåser vi över dess yta, då rätar en bit papper, mot förmodan, istället för att böja sig ännu mer mot jorden, tvärtom. Saken är att genom att blåsa luft över arkets yta minskar vi dess tryck, medan lufttrycket under arket förblir detsamma. Det visar sig att det finns ett område med lågt tryck ovanför bladet och ett område med ökat tryck under bladet. Luftmassor försöker ”förflytta sig” från högtrycksområdet till lågtrycksområdet, vilket leder till att bladet rätar ut.

Du kan också göra ett annat experiment. Ta två pappersark och placera dem framför dig enligt följande:

Och att sedan blåsa in i området mellan dem, kommer pappersbitarna, tvärtemot våra förväntningar, istället för att flytta från varandra, tvärtom, närma sig. Här ser vi samma effekt. Luftmassorna på plåtens yttersidor har mer tryck än luften som accelereras av oss mellan plåtarna. Detta leder till att pappersarken attraheras av varandra.

Samma princip används av skärmflygare, hängglidare, flygplan, segelflygplan, helikoptrar och andra flygplan för att genomföra sina flygningar. Det är detta som gör att ett passagerarflygplan med flera ton kan lyfta.

En stor del av världen omkring oss lyder fysikens lagar. Detta borde inte vara förvånande, eftersom termen "fysik" kommer från det grekiska ordet, som betyder "natur" i översättning. Och en av dessa lagar, som ständigt arbetar runt oss, är Bernoullis lag.

Lagen i sig verkar som en konsekvens av principen om energihushållning. Denna tolkning av den gör att vi kan ge en ny förståelse för många tidigare välkända fenomen. För att förstå kärnan i lagen räcker det helt enkelt med att återkalla en strömmande ström. Här flyter det, rinner mellan stenar, grenar och rötter. På vissa ställen görs den bredare, någonstans smalare. Man kan se att där bäcken är bredare rinner vattnet långsammare, där det är smalare rinner vattnet snabbare. Detta är Bernoulli-principen, som fastställer förhållandet mellan trycket i ett vätskeflöde och hastigheten på ett sådant flöde.

Det är sant att läroböcker i fysik formulerar det något annorlunda, och det har att göra med hydrodynamik, och inte med en strömmande ström. I en ganska populär Bernoulli kan det sägas på detta sätt - trycket på en vätska som strömmar i ett rör är högre där hastigheten är lägre, och vice versa: där hastigheten är större är trycket lägre.

För att bekräfta är det tillräckligt att utföra ett enkelt experiment. Du måste ta ett pappersark och blåsa längs det. Papperet kommer att stiga upp i den riktning längs vilken luftflödet passerar.

Allt är väldigt enkelt. Som Bernoullis lag säger, där hastigheten är högre är trycket lägre. Detta innebär att längs ytan av plåten, där flödet passerar mindre, och i botten av plåten, där det inte finns något luftflöde, är trycket större. Här stiger plåten i den riktning där trycket är mindre, d.v.s. där luftflödet är.

Den beskrivna effekten används flitigt i vardagen och inom tekniken. Som ett exempel, överväg en sprutpistol eller airbrush. De använder två rör, ett med en större sektion, det andra med ett mindre. Den med större diameter kopplas till en behållare med färg, medan den med mindre sektion passerar luft med hög hastighet. På grund av den resulterande tryckskillnaden kommer färgen in i luftströmmen och överförs av denna ström till ytan som ska målas.

Samma princip gäller för pumpen. Det som beskrivs ovan är faktiskt pumpen.

Inte mindre intressant är Bernoullis lag som tillämpas på dränering av träsk. Som alltid är allt väldigt enkelt. Våtmarkerna är förbundna med älven med diken. Det finns en ström i floden, men inte i träsket. Återigen blir det en tryckskillnad, och floden börjar suga ut vatten ur våtmarkerna. Det är en ren demonstration av fysiklagens arbete.

Denna effekt kan också vara destruktiv. Till exempel, om två fartyg passerar nära varandra, kommer hastigheten på vattenrörelsen mellan dem att vara högre än på andra sidan. Som ett resultat kommer en ytterligare kraft att uppstå som kommer att locka skeppen till varandra, och en katastrof kommer att vara oundviklig.

Allt ovanstående kan anges i form av formler, men det är inte alls nödvändigt att skriva Bernoulli-ekvationerna för att förstå den fysiska essensen av detta fenomen.

För en bättre förståelse ger vi ytterligare ett exempel på användningen av den beskrivna lagen. Alla föreställer sig en raket. I en speciell kammare förbränns bränsle och en jetström bildas. För att påskynda det används en speciellt avsmalnande sektion - ett munstycke. Här sker en acceleration av gasstrålen och som ett resultat en ökning

Det finns många fler olika alternativ för att använda Bernoullis lag inom teknik, men det är helt enkelt omöjligt att överväga alla inom ramen för denna artikel.

Så, Bernoullis lag är formulerad, en förklaring av den fysiska essensen av de pågående processerna ges, exempel från naturen och tekniken visar möjliga alternativ för att tillämpa denna lag.

Bernoullis princip beskriver flödet av en vätska. Det blev ett av de tidigaste exemplen på energibesparing som människan kände till. Den anger att vid konstant flöde är energin vid vilken punkt som helst i röret summan av det dynamiska trycket (V), vikten (höjd över havet; hydrostatiskt) tryck (Z) och det statiska trycket (P). Det tar formen av en bevarandeekvation där summan av de tre variablerna alltid kommer att förbli konstant i frånvaro av energiförlust eller tillskott.

Energi = V + Z + P = konstant

Summan av de tre termerna är lika med det totala trycket. Den första termen är den kinetiska energin, den andra termen är den potentiella energin för gravitationskrafter, och den tredje termen är den potentiella energin för tryckkrafter. Det totala trycket förblir konstant tills ytterligare energi tillförs eller tas bort från systemet.

1/2ρv 2 (dynamiskt tryck) + ρgz (vikttryck) + P (statiskt tryck) = Ptot = konstant

var:
ρ = densitet
v = flödeshastighet
g = fritt fallacceleration
z = höjd

P = tryck

Med hjälp av Bernoullis ekvation kan trycken vid valfria två punkter i röret också jämföras med vätskeflödet. Återigen, om ingen energi läggs till (inte tas bort), blir summan av de tre termerna på vänster sida lika med summan av termerna på höger sida.

(1/2ρv a 2 + ρgz a + P a) = (1/2ρv b 2 + ρgz b + P b)

var:
a och b - punkter på olika ställen i röret

Bernoullis teori i aktion

Figur 1 visar Bernoulli-principen i funktion. Flödet flyter i ett horisontellt rör från vänster till höger utan energiförlust på grund av friktion. Diametern på de vänstra och högra delarna är lika, och delen i mitten är två tredjedelar av denna diameter. Vertikala rör (piezometriska rör) till vänster och i mitten ventileras till atmosfären, och vattennivån i dem är proportionell mot det statiska trycket (P) i dessa zoner. De mäter statiskt tryck på samma sätt som en manometer. Observera att det uppmätta trycket i delen med stor diameter är större än det uppmätta trycket i den sammandragna delen. Detta är att vänta, eftersom hastigheten i den centrala delen uppenbarligen är högre. Enligt Bernoullis ekvation minskar trycket med ökande hastighet.

Figur 1. Horisontellt rör med konstant flöde från vänster till höger utan energiförlust på grund av friktion

Det händer dock något ovanligt med det statiska trycket (P), vilket visas av vattennivån i det vertikala röret till höger. Man skulle förvänta sig att trycket skulle återgå till samma nivå som i det vänstra piezometriska röret i frånvaro av friktionsförluster i den avsmalnande sektionen. Men nivån till höger indikerar mer tryck, och ingen ytterligare energi tillförs systemet. Det visar sig att kolumnen till höger är ett Pitotrör. Den här enheten mäter trycket på ett annat sätt - förutom statiskt tryck mäter den även det extra trycket som skapas av flödet.

Om ventilen på nedströmssidan stängdes och flödet stoppades, skulle alla tre vertikala rören visa samma statiska tryck, oavsett form eller position. Efter att flödet återupptagits kommer det statiska trycket som mäts av de piezometriska rören att motsvara det statiska trycket i ett visst område. Men till skillnad från ett piezometriskt rör är inloppet på pitotröret riktat mot flödet, med flödet som trycker in mer vatten i röret. När vatten slutar rinna in i röret (stagnation) är den vertikala nivån i den maximal och är lika med summan statiskt och dynamiskt tryck. Trycket som mäts av Pitotröret är det totala trycket i flödesröret.

Figur 2 är en grafisk representation av Bernoullis ekvation. Det används ofta vid design av rörledningar och öppna kanalsystem. Ekvationen visar effekten på det hydrauliska systemet med förändringar i rörstorlek, höjd, tryck och förluster på kopplingar och ventiler. Detta exempel illustrerar trycket vid tre punkter i ett rör med jämnt kontinuerligt flöde utan någon höjdförändring.

Figur 2. Grafisk representation av Bernoullis ekvation. Den hydrauliska gradienten återspeglar förändringen i statiskt tryck P på grund av friktionsförluster. Energigradienten återspeglar förändringen i det totala trycket (V+P). Vikttrycket (Z) i detta exempel påverkar inte det totala trycket eftersom det inte finns någon höjdskillnad.

Vattennivån i de vertikala rören motsvarar det statiska trycket (P) vid dessa punkter. Den lutande linjen som förbinder rören kallas hydraulisk gradient eller piezometrisk linje. Den lutande linjen ovanför den hydrauliska gradienten, parallell med den, är energigradienten, som motsvarar det totala trycket i rörledningen. Det kan mätas med ett pitotrör eller beräknas med hjälp av flödeshastigheten och hastighetstryckekvationen (1/2ρv 2).

Energigradienten eller trycklinjen är summan av hastighetshöjden och det statiska trycket vid vilken punkt som helst. I detta exempel förblir det dynamiska trycket konstant vid varje punkt, och den hydrostatiska inställningen minskar som en funktion av den totala friktionen vid varje punkt. I mer svåra exempel dessa två gradienter är inte parallella med varandra, utan kommer att röra sig i båda riktningarna beroende på rörstorlek, höjd och andra faktorer.

Bernoullis princip fungerar när ett flygplan flyger eller flygbanan för en snurrande boll är krökt. Denna princip gäller även för fartyg till havs - fartyg bör inte passera för nära varandra, eftersom den ökade hastigheten på vattenflödet mellan dem skapar en lågtryckszon som kan leda till en sidokollision. Av denna anledning tenderar pålar snarare än solida väggar att installeras i stora bryggor. Slutligen finns det "baddraperi"-effekten (när baddraperiet attraheras av vatten som rinner från duschen).

I nästa artikel kommer vi att undersöka något liknande arbete utfört av Giovanni Venturi och Evangelista Torricelli och se hur det har utökat vår förståelse av hydraulik. Vi kommer att illustrera vikten av att ta hänsyn till hastighetshöjden vid testning av pumpar på installationsplatsen.

Material framställt av Alexey Zimmer