Rotationsrörelse av en stel kropp runt en fast axel. Rotationsrörelse för en stel kropp: ekvation, formler Rotationsrörelse är absolut

Stel kroppskinematik

I motsats till kinematiken för en punkt, löser kinematiken för stela kroppar två huvudproblem:

Specificering av rörelse och bestämning av de kinematiska egenskaperna hos kroppen som helhet;

Bestämning av kinematiska egenskaper hos kroppspunkter.

Metoder för att specificera och bestämma kinematiska egenskaper beror på typen av kroppsrörelse.

Denna handbok diskuterar tre typer av rörelse: translationell, roterande runt en fast axel och planparallell rörelse av en stel kropp.

Translationell rörelse av en stel kropp

Translationell är en rörelse där en rät linje dragen genom två punkter på kroppen förblir parallell med sin ursprungliga position (fig. 2.8).

Teoremet har bevisats: under translationsrörelse rör sig alla punkter i kroppen längs samma banor och har vid varje tidpunkt samma storlek och riktning för hastighet och acceleration (Fig. 2.8).

Slutsats: En stel kropps translationsrörelse bestäms av rörelsen av någon av dess punkter, och därför reduceras uppgiften och studien av dess rörelse till punktens kinematik.

Ris. 2.8 Fig. 2.9

Rotationsrörelse av en stel kropp runt en fast axel.

Rotationsrörelse runt en fast axel är rörelsen av en stel kropp där två punkter som hör till kroppen förblir orörliga under hela rörelsetiden.

Kroppens position bestäms av rotationsvinkeln (fig. 2.9). Måttenheten för vinkel är radian. (En radian är mittvinkeln i en cirkel vars båglängd är lika med radien; cirkelns hela vinkel innehåller 2 radianer.)

Lagen för en kropps rotationsrörelse runt en fast axel = (t). Vi bestämmer kroppens vinkelhastighet och vinkelacceleration genom differentieringsmetoden

Vinkelhastighet, rad/s; (2,10)

Vinkelacceleration, rad/s 2 (2,11)

När en kropp roterar runt en fast axel, rör sig dess punkter som inte ligger på rotationsaxeln i cirklar med centrum på rotationsaxeln.

Om du dissekerar kroppen med ett plan vinkelrätt mot axeln, välj en punkt på rotationsaxeln MED och en godtycklig punkt M, peka sedan M kommer att beskriva runt en punkt MED cirkelradie R(Fig. 2.9). Under dt en elementär rotation sker genom en vinkel, och punkten M kommer att röra sig längs banan en sträcka. Låt oss bestämma den linjära hastighetsmodulen:

Accelerationspunkt M med en känd bana bestäms den av dess komponenter, se (2.8)

Genom att ersätta uttryck (2.12) i formlerna får vi:

där: - tangentiell acceleration,

Normal acceleration.

Plan - parallell rörelse av en stel kropp

Planparallell rörelse är rörelsen hos en stel kropp där alla dess punkter rör sig i plan parallella med ett fast plan (Fig. 2.10). För att studera en kropps rörelse räcker det att studera en sektions rörelse S av denna kropp med ett plan parallellt med det fasta planet. Sektionsrörelse S i dess plan kan betraktas som komplex, bestående av två elementära rörelser: a) translationell och roterande; b) roterande i förhållande till det rörliga (momentana) centrumet.

I den första versionen sektionens rörelse kan specificeras av rörelseekvationerna för en av dess punkter (poler) och sektionens rotation runt polen (fig. 2.11). Vilken sektionspunkt som helst kan tas som en stolpe.

Ris. 2.10 Fig. 2.11

Rörelseekvationerna kommer att skrivas i formen:

X A = X A (t)

Y A = Y A (t) (2.14)

A = A (t)

De kinematiska egenskaperna hos polen bestäms från ekvationerna för dess rörelse.

Hastigheten för vilken punkt som helst av en platt figur som rör sig i dess plan är sammansatt av polens hastighet (godtyckligt vald i sektionen av punkten A) och rotationshastigheten runt stolpen (rotation av spetsen I runt punkten A).

Accelerationen av en punkt i en rörlig platt figur består av polens acceleration i förhållande till en stationär referensram och accelerationen på grund av rotationsrörelse runt polen.

I det andra alternativet rörelsen av sektionen betraktas som roterande runt ett rörligt (momentant) centrum P(Fig. 1.12). I det här fallet kommer hastigheten för någon punkt B i sektionen att bestämmas av formeln för rotationsrörelse

Vinkelhastighet runt det momentana centrumet R kan bestämmas om hastigheten för någon sektionspunkt, till exempel punkt A, är känd.

Fig.2.12

Positionen för det momentana rotationscentrumet kan bestämmas baserat på följande egenskaper:

Punktens hastighetsvektor är vinkelrät mot radien;

En punkts absoluta hastighet är proportionell mot avståndet från punkten till rotationscentrum ( V= R) ;

Hastigheten i rotationscentrum är noll.

Låt oss överväga några fall för att bestämma positionen för det momentana centret.

1. Riktningarna för hastigheterna för två punkter i en platt figur är kända (Fig. 2.13). Låt oss rita radielinjer. Det momentana rotationscentrumet P är beläget i skärningspunkten mellan perpendikulära ritningar till hastighetsvektorerna.

2. Hastigheterna för punkterna A och B är kända, och vektorerna och är parallella med varandra, och linjen AB vinkelrät (fig. 2. 14). I detta fall ligger det momentana rotationscentrumet på linjen AB. För att hitta det drar vi en proportionalitetslinje för hastigheter baserat på beroendet V= R.

3. En kropp rullar utan att glida på den stationära ytan av en annan kropp (Fig. 2.15). Kropparnas kontaktpunkt för tillfället har noll hastighet, medan hastigheterna för andra punkter i kroppen inte är noll. Tangentpunkten P kommer att vara det momentana rotationscentrumet.

Ris. 2.13 Fig. 2.14 Fig. 2.15

Utöver de övervägda alternativen kan hastigheten för en sektionspunkt bestämmas baserat på satsen om projektionerna av hastigheterna för två punkter i en stel kropp.

Sats: projektionerna av hastigheterna för två punkter i en stel kropp på en rät linje som dras genom dessa punkter är lika med varandra och lika riktade.

Bevis: avstånd AB kan därför inte ändras

V Och för kan inte vara mer eller mindre V I cos (Fig. 2.16).

Ris. 2.16

Utgång: V A för = V I cos. (2,19)

Komplex punktrörelse

I de föregående styckena betraktade vi rörelsen av en punkt i förhållande till en fast referensram, den så kallade absoluta rörelsen. I praktiken finns det problem där rörelsen av en punkt i förhållande till ett koordinatsystem är känd, som rör sig i förhållande till ett fast system. I detta fall är det nödvändigt att bestämma punktens kinematiska egenskaper i förhållande till det stationära systemet.

Det kallas vanligtvis: rörelsen av en punkt i förhållande till ett rörligt system - relativ, rörelsen av en punkt tillsammans med ett rörligt system - bärbar, rörelsen av en punkt i förhållande till ett stationärt system - absolut. Hastigheter och accelerationer kallas i enlighet därmed:

Relativ; - bildlig; -absolut.

Enligt satsen om addition av hastigheter är den absoluta hastigheten för en punkt lika med vektorsumman av de relativa och bärbara hastigheterna (Fig.).

Hastighetens absoluta värde bestäms av cosinussatsen

Fig.2.17

Acceleration enligt parallellogramregeln bestäms endast med translationell rörelse

Med icke-translationell translationsrörelse uppträder en tredje komponent av acceleration, kallad rotations eller Coriolis.

Coriolisaccelerationen är numeriskt lika med

var är vinkeln mellan vektorerna och

Riktningen för Coriolis-accelerationsvektorn bestäms lämpligen av regeln för N.E. Zjukovsky: projicera vektorn på ett plan vinkelrätt mot den bärbara rotationsaxeln, rotera projektionen 90 grader i den bärbara rotationsriktningen. Den resulterande riktningen kommer att motsvara riktningen för Coriolis-accelerationen.

Frågor för självkontroll på avsnittet

1. Vilka är kinematikens huvuduppgifter? Nämn de kinematiska egenskaperna.

2. Nämn metoderna för att specificera en punkts rörelse och bestämma kinematiska egenskaper.

3. Ge definitionen av translationell, roterande runt en fast axel, planparallell rörelse av en kropp.

4. Hur bestäms rörelsen hos en stel kropp under translationell, rotation kring en fast axel och planparallell rörelse av kroppen, och hur bestäms hastigheten och accelerationen för en punkt under dessa kroppsrörelser?

Den här artikeln beskriver en viktig del av fysiken - "Kinematics and dynamics of rotational motion".

Grundläggande begrepp för kinematik för rotationsrörelse

Rotationsrörelse av en materialpunkt runt en fixerad axel kallas sådan rörelse, vars bana är en cirkel som ligger i ett plan vinkelrätt mot axeln och dess centrum ligger på rotationsaxeln.

Rotationsrörelse för en stel kropp är en rörelse där alla punkter på kroppen rör sig längs koncentriska (vars centrum ligger på samma axel) cirklar i enlighet med regeln för rotationsrörelsen för en materialpunkt.

Låt en godtycklig stel kropp T rotera runt O-axeln, som är vinkelrät mot ritningens plan. Låt oss välja punkt M på denna kropp När den roteras kommer denna punkt att beskriva en cirkel med radie runt O-axeln r.

Efter en tid kommer radien att rotera relativt sin ursprungliga position med en vinkel Δφ.

Riktningen för den högra skruven (medurs) tas som den positiva rotationsriktningen. Förändringen i rotationsvinkeln över tiden kallas ekvationen för rotationsrörelse för en stel kropp:

φ = φ(t).

Om φ mäts i radianer (1 rad är vinkeln som motsvarar en båge med längd lika med dess radie), så är längden på cirkelbågen ΔS, som materialpunkten M kommer att passera i tiden Δt, lika med:

ΔS = Δφr.

Grundläggande element i kinematik för enhetlig rotationsrörelse

Ett mått på rörelsen av en materialpunkt under en kort tidsperiod dt fungerar som en elementär rotationsvektor dφ.

Vinkelhastigheten för en materialpunkt eller kropp är en fysisk storhet som bestäms av förhållandet mellan vektorn för en elementär rotation och varaktigheten av denna rotation. Riktningen för vektorn kan bestämmas av regeln för den högra skruven längs O-axeln i skalär form:

ω = dφ/dt.

Om ω = dφ/dt = const, då kallas sådan rörelse enhetlig rotationsrörelse. Med den bestäms vinkelhastigheten av formeln

ω = φ/t.

Enligt den preliminära formeln, dimensionen av vinkelhastighet

[ω] = 1 rad/s.

En kropps enhetliga rotationsrörelse kan beskrivas med rotationsperioden. Rotationsperioden T är en fysisk storhet som bestämmer den tid under vilken en kropp gör ett helt varv runt rotationsaxeln ([T] = 1 s). Om vi ​​i formeln för vinkelhastighet tar t = T, φ = 2 π (ett helt varv med radien r), då

ω = 2π/T,

Därför definierar vi rotationsperioden enligt följande:

T = 2π/ω.

Antalet varv som en kropp gör per tidsenhet kallas rotationsfrekvensen ν, som är lika med:

v = 1/T.

Frekvensenheter: [ν]= 1/s = 1 s-1 = 1 Hz.

Genom att jämföra formlerna för vinkelhastighet och rotationsfrekvens får vi ett uttryck som förbinder dessa storheter:

ω = 2πν.

Grundläggande element i kinematiken för ojämn rotationsrörelse

Den ojämna rotationsrörelsen hos en stel kropp eller materialpunkt runt en fast axel kännetecknas av dess vinkelhastighet, som förändras med tiden.

Vektor ε , som kännetecknar förändringshastigheten för vinkelhastigheten, kallas vinkelaccelerationsvektorn:

e = dω/dt.

Om en kropp roterar, accelererar, det vill säga dω/dt > 0, har vektorn en riktning längs axeln i samma riktning som ω.

Om rotationsrörelsen är långsam - dω/dt< 0 , då är vektorerna ε och ω motsatt riktade.

Kommentar. När ojämn rotationsrörelse uppstår kan vektorn ω ändras inte bara i storlek, utan också i riktning (när rotationsaxeln roteras).

Samband mellan storheter som kännetecknar translationell och roterande rörelse

Det är känt att båglängden med radiens rotationsvinkel och dess värde hänger samman med relationen

ΔS = Δφr.

Sedan den linjära hastigheten för en materialpunkt som utför rotationsrörelse

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr.

Den normala accelerationen för en materialpunkt som utför roterande translationsrörelse bestäms enligt följande:

a = υ2/r = ω2r2/r.

Alltså i skalär form

a = ω 2 r.

Tangentiell accelererad materialpunkt som utför roterande rörelse

a = εr.

Momentum för en materialpunkt

Vektorprodukten av radievektorn för banan för en materialpunkt med massa m i och dess rörelsemängd kallas rörelsemängden för denna punkt kring rotationsaxeln. Riktningen på vektorn kan bestämmas med hjälp av rätt skruvregel.

Momentum av en materialpunkt ( L i) är riktad vinkelrätt mot planet ritat genom r i och υ i, och bildar en högertrippel av vektorer med dem (det vill säga när man rör sig från slutet av vektorn r i Till υ i den högra skruven visar vektorns riktning L i).

I skalär form

L = m i υ i r i sin(υ i, r i).

Med tanke på att när man rör sig i en cirkel är radievektorn och den linjära hastighetsvektorn för den i:te materialpunkten inbördes vinkelräta,

sin(υ i, ri) = 1.

Så vinkelmomentet för en materialpunkt för rotationsrörelse kommer att ta formen

L = m i υ i r i.

Kraftmomentet som verkar på den i:te materiella punkten

Vektorprodukten av radievektorn, som dras till den punkt där kraften appliceras, och denna kraft kallas kraftmomentet som verkar på den i:te materialpunkten relativt rotationsaxeln.

I skalär form

M i = r i F i sin(ri, Fi).

Med tanke på att r i sinα = l i,M i = l i F i.

Magnitud l i, lika med längden av vinkelrät sänkt från rotationspunkten till kraftens verkningsriktning, kallas kraftens arm F i.

Dynamik av roterande rörelse

Ekvationen för rotationsrörelsens dynamik är skriven som följer:

M = dL/dt.

Formuleringen av lagen är som följer: förändringshastigheten för rörelsemängden hos en kropp som roterar runt en fast axel är lika med det resulterande momentet i förhållande till denna axel av alla yttre krafter som appliceras på kroppen.

Impulsmoment och tröghetsmoment

Det är känt att för den i:te materialpunkten ges rörelsemängden i skalär form av formeln

L i = m i υ i r i.

Om vi ​​istället för linjär hastighet ersätter dess uttryck med vinkelhastighet:

υ i = ωr i ,

då kommer uttrycket för rörelsemängden att ta formen

Li = m i r i 2 ω.

Magnitud I i = m i r i 2 kallas tröghetsmomentet i förhållande till axeln för den i:te materialpunkten hos en absolut stel kropp som passerar genom dess masscentrum. Sedan skriver vi rörelsemängden för materialpunkten:

Li = I i ω.

Vi skriver rörelsemängden för en absolut stel kropp som summan av rörelsemängden för de materialpunkter som utgör denna kropp:

L = Iω.

Kraftmoment och tröghetsmoment

Lagen om rotationsrörelse säger:

M = dL/dt.

Det är känt att en kropps rörelsemängd kan representeras genom tröghetsmomentet:

L = Iω.

M = Idω/dt.

Med tanke på att vinkelaccelerationen bestäms av uttrycket

ε = dω/dt,

vi får en formel för kraftmomentet, representerat genom tröghetsmomentet:

M = Ie.

Kommentar. Ett kraftmoment anses positivt om vinkelaccelerationen som orsakar det är större än noll, och vice versa.

Steiners teorem. Lagen för addition av tröghetsmoment

Om en kropps rotationsaxel inte passerar genom dess masscentrum, kan man i förhållande till denna axel hitta dess tröghetsmoment med Steiners teorem:
I = I 0 + ma 2 ,

Var jag 0- kroppens första tröghetsmoment; m- kroppsmassa; a- avstånd mellan axlar.

Om ett system som roterar runt en fast axel består av n kroppar, då kommer det totala tröghetsmomentet för denna typ av system att vara lika med summan av momenten av dess komponenter (lagen för addition av tröghetsmoment).

Roterande de kallar en sådan rörelse där två punkter associerade med kroppen, därför, den räta linjen som passerar genom dessa punkter, förblir orörliga under rörelsen (Fig. 2.16). Fast rak linje A B kallad rotationsaxel.

Ris. 2,1V. Mot definitionen av en kropps rotationsrörelse

Kroppens position under rotationsrörelse bestämmer rotationsvinkeln φ, rad (se fig. 2.16). Vid förflyttning ändras rotationsvinkeln med tiden, d.v.s. lagen för en kropps rotationsrörelse definieras som lagen för förändring i tid för värdet av den dihedriska vinkeln Ф = Ф(/) mellan ett fast halvplan TO () , passerar genom rotationsaxeln och är rörlig n 1 ett halvplan som är kopplat till kroppen och även passerar genom rotationsaxeln.

Banorna för alla punkter i kroppen under rotationsrörelse är koncentriska cirklar belägna i parallella plan med centrum på rotationsaxeln.

Kinematiska egenskaper hos kroppens rotationsrörelse. På samma sätt som kinematiska egenskaper introducerades för en punkt, introduceras ett kinematiskt begrepp som kännetecknar förändringshastigheten för funktionen φ(c), som bestämmer kroppens position under rotationsrörelse, d.v.s. vinkelhastighet co = f = s/f/s//, vinkelhastighetsdimension [co] = rad /Med.

I tekniska beräkningar används ofta uttrycket för vinkelhastighet med en annan dimension - i termer av antalet varv per minut: [i] = rpm, och förhållandet mellan P och co kan representeras som: co = 27w/60 = 7w/30.

I allmänhet varierar vinkelhastigheten med tiden. Måttet på förändringshastigheten i vinkelhastigheten är vinkelaccelerationen e = c/co/c//= co = f, dimensionen för vinkelaccelerationen [e] = rad/s 2 .

De införda vinkelkinematiska egenskaperna bestäms helt genom att specificera en funktion - rotationsvinkeln mot tiden.

Kinematiska egenskaper hos kroppspunkter under roterande rörelse. Tänk på poängen M kropp placerad på ett avstånd p från rotationsaxeln. Denna punkt rör sig längs en cirkel med radien p (Fig. 2.17).

Ris. 2.17.

punkter på kroppen under dess rotation

Båglängd M Q M cirkel med radie p definieras som s= ptp, där f är rotationsvinkeln, rad. Om rörelselagen för en kropp ges som φ = φ(g), så är rörelselagen för en punkt M längs banan bestäms av formeln S= рф(7).

Genom att använda uttrycken för kinematiska egenskaper med den naturliga metoden att specificera en punkts rörelse, får vi kinematiska egenskaper för punkter i en roterande kropp: hastighet enligt formel (2.6)

V= 5 = rf = rso; (2,22)

tangentiell acceleration enligt uttryck (2.12)

i t = K = sor = er; (2,23)

normal acceleration enligt formel (2.13)

a„ = Och 2 /р = с 2 р2 /р = ogr; (2,24)

total acceleration med uttryck (2.15)

A = -]A + a] = px/e 2 + co 4. (2,25)

Karakteristiken för den totala accelerationens riktning anses vara p - avvikelsesvinkeln för vektorn för total acceleration från radien av cirkeln som beskrivs av punkten (fig. 2.18).

Från fig. 2.18 får vi

tgjLi = aja n=re/pco 2 =g/(o 2. (2,26)

Ris. 2.18.

Observera att alla kinematiska egenskaper hos punkterna i en roterande kropp är proportionella mot avstånden till rotationsaxeln. Ve-

Deras identiteter bestäms genom derivator av samma funktion - rotationsvinkeln.

Vektoruttryck för vinkel- och linjära kinematiska egenskaper. För en analytisk beskrivning av de vinkelkinematiska egenskaperna hos en roterande kropp, tillsammans med rotationsaxeln, begreppet rotationsvinkel vektor(Fig. 2.19): φ = φ(/)A:, där Till- äta

rotationsaxelvektor

1; Till=sop51.

Vektorn f är riktad längs denna axel så att den kan ses från "änden"

rotation som sker moturs.

Ris. 2.19.

egenskaper i vektorform

Om vektorn φ(/) är känd kan alla andra vinkelegenskaper för rotationsrörelse representeras i vektorform:

• vinkelhastighetsvektor co = f = f Till. Riktningen för vinkelhastighetsvektorn bestämmer tecknet för derivatan av rotationsvinkeln;
• vinkelaccelerationsvektor є = сo = Ф Till. Riktningen för denna vektor bestämmer tecknet för derivatan av vinkelhastigheten.

De införda vektorerna с och є tillåter oss att erhålla vektoruttryck för punkters kinematiska egenskaper (se fig. 2.19).

Observera att modulen för punktens hastighetsvektor sammanfaller med modulen för vektorprodukten av vinkelhastighetsvektorn och radievektorn: |cox G= sogvіpa = skräp. Med hänsyn till riktningarna för vektorerna с och r och regeln för vektorproduktens riktning, kan vi skriva ett uttryck för hastighetsvektorn:

V= co xg.

På samma sätt är det lätt att visa det

• ? X
• - egBіpa= єр = ett t Och

Sosor = co p = i.

(Dessutom sammanfaller vektorerna för dessa kinematiska egenskaper i riktning med motsvarande vektorprodukter.

Följaktligen kan de tangentiella och normala accelerationsvektorerna representeras som vektorprodukter:

• (2.28)
• (2.29)

a x = g X G

A= co x V.

I naturen och tekniken möter vi ofta manifestationen av rotationsrörelse hos solida kroppar, till exempel axlar och kugghjul. Hur denna typ av rörelse beskrivs i fysiken, vilka formler och ekvationer som används för detta, dessa och andra frågor behandlas i den här artikeln.

Vad är rotation?

Var och en av oss vet intuitivt vilken typ av rörelse vi pratar om. Rotation är en process där en kropp eller materialpunkt rör sig i en cirkulär bana runt en viss axel. Ur geometrisk synvinkel är en stel kropp en rak linje, vars avstånd förblir oförändrat under rörelse. Detta avstånd kallas rotationsradien. I det följande kommer vi att beteckna det med bokstaven r. Om rotationsaxeln passerar genom kroppens masscentrum, kallas den för sin egen axel. Ett exempel på rotation runt sin egen axel är motsvarande rörelse hos solsystemets planeter.

För att rotation ska ske måste det finnas centripetalacceleration, som uppstår på grund av centripetalkraft. Denna kraft riktas från kroppens masscentrum till rotationsaxeln. Centripetalkraftens natur kan vara mycket olika. Så, på en kosmisk skala, spelas dess roll av gravitationen om kroppen är säkrad med en tråd, då kommer spänningskraften hos den senare att vara centripetal. När en kropp roterar runt sin egen axel, spelas rollen som centripetalkraft av den interna elektrokemiska interaktionen mellan de element som utgör kroppen (molekyler, atomer).

Det är nödvändigt att förstå att utan närvaron av en centripetalkraft kommer kroppen att röra sig i en rak linje.

Fysiska storheter som beskriver rotation

För det första är dessa dynamiska egenskaper. Dessa inkluderar:

• vinkelmoment L;
• tröghetsmoment I;
• kraftmoment M.

För det andra är dessa kinematiska egenskaper. Låt oss lista dem:

• rotationsvinkel θ;
• vinkelhastighet ω;
• vinkelacceleration α.

Låt oss kort beskriva var och en av dessa kvantiteter.

Vinkelmomentet bestäms av formeln:

Där p är linjärt rörelsemängd, m är massan av en materialpunkt, v är dess linjära hastighet.

Tröghetsmomentet för en materialpunkt beräknas med hjälp av uttrycket:

För varje kropp med komplex form beräknas värdet I som integralsumman av materialpunkternas tröghetsmoment.

Kraftmomentet M beräknas enligt följande:

Här är F den yttre kraften, d är avståndet från dess appliceringspunkt till rotationsaxeln.

Den fysiska betydelsen av alla kvantiteter vars namn innehåller ordet "ögonblick" liknar betydelsen av motsvarande linjära kvantiteter. Till exempel visar kraftmomentet förmågan hos den applicerade kraften att överföras till ett system av roterande kroppar.

Kinematiska egenskaper bestäms matematiskt av följande formler:

Som framgår av dessa uttryck liknar vinkelegenskaperna i betydelse de linjära (hastighet v och acceleration a), endast de är tillämpliga för en cirkulär bana.

Dynamik av rotation

Inom fysiken utförs studiet av rotationsrörelsen hos en stel kropp med hjälp av två grenar av mekanik: dynamik och kinematik. Låt oss börja med dynamik.

Dynamics studerar yttre krafter som verkar på ett system av roterande kroppar. Låt oss omedelbart skriva ner ekvationen för rotationsrörelse för en stel kropp och sedan analysera dess komponenter. Så denna ekvation ser ut så här:

Som verkar på ett system med ett tröghetsmoment I, vilket orsakar uppkomsten av vinkelacceleration α. Ju mindre värdet på I är, desto lättare är det, med hjälp av ett visst moment M, att snurra systemet till höga hastigheter under korta tidsperioder. Till exempel är det lättare att rotera en metallstav längs dess axel än vinkelrätt mot den. Det är dock lättare att rotera samma stång runt en axel som är vinkelrät mot den och passerar genom masscentrum än genom dess ände.

Lagen om bevarande av kvantitet L

Denna kvantitet introducerades ovan, den kallas vinkelmoment. Ekvationen för rotationsrörelse för en stel kropp, som presenteras i föregående stycke, är ofta skriven i en annan form:

Om momentet för externa krafter M verkar på systemet under tiden dt, så orsakar det en förändring i systemets vinkelmoment med mängden dL. Följaktligen, om kraftmomentet är noll, så är L = konst. Detta är lagen för bevarande av kvantiteten L. För den kan vi, med hjälp av förhållandet mellan linjär och vinkelhastighet, skriva:

L = m*v*r = m*ω*r2 = I*ω.

Sålunda, i frånvaro av vridmoment, är produkten av vinkelhastighet och tröghetsmoment ett konstant värde. Denna fysiska lag används av konståkare i sina framträdanden eller av konstgjorda satelliter som måste roteras runt sin egen axel i yttre rymden.

Centripetal acceleration

Ovan, när man studerar rotationsrörelsen hos en stel kropp, har denna mängd redan beskrivits. Arten av centripetalkrafter noterades också. Här kommer vi bara att komplettera denna information och tillhandahålla motsvarande formler för att beräkna denna acceleration. Låt oss beteckna det som ett c.

Eftersom centripetalkraften är riktad vinkelrätt mot axeln och passerar genom den skapar den inget vridmoment. Det vill säga, denna kraft har absolut ingen effekt på de kinematiska egenskaperna hos rotationen. Det skapar dock centripetalacceleration. Här är två formler för att bestämma det:

Således, ju större vinkelhastighet och radie, desto större kraft måste anbringas för att hålla kroppen på en cirkulär bana. Ett slående exempel på denna fysiska process är sladd av en bil under en sväng. En sladd uppstår om centripetalkraften, vars roll spelas av friktionskraften, blir mindre än centrifugalkraften (tröghetskaraktäristik).

Tre huvudsakliga kinematiska egenskaper listades ovan i artikeln. fast kropp beskrivs med följande formler:

θ = ω*t => ω = konst., α = 0;

θ = ω 0 *t + α*t 2 /2 => ω = ω 0 + α*t, α = konst.

Den första raden innehåller formler för enhetlig rotation, som förutsätter frånvaron av ett yttre kraftmoment som verkar på systemet. Den andra raden innehåller formler för likformigt accelererad rörelse i en cirkel.

Observera att rotation inte bara kan ske med positiv acceleration, utan även med negativ. I det här fallet, i formlerna på den andra raden, bör du sätta ett minustecken före den andra termen.

Exempel på problemlösning

Ett kraftmoment på 1000 N*m verkade på metallaxeln i 10 sekunder. Genom att veta att axelns tröghetsmoment är lika med 50 kg * m 2 är det nödvändigt att bestämma vinkelhastigheten som det nämnda kraftmomentet gav axeln.

Med hjälp av den grundläggande rotationsekvationen beräknar vi axelns acceleration:

Eftersom denna vinkelacceleration verkade på axeln under en tid t = 10 sekunder, för att beräkna vinkelhastigheten använder vi formeln för likformigt accelererad rörelse:

ω = ω 0 + α*t = M/I*t.

Här ω 0 = 0 (axeln roterade inte förrän kraftmomentet M verkade).

Vi ersätter de numeriska värdena för kvantiteterna i likheten och vi får:

ω = 1000/50*10 = 200 rad/s.

För att omvandla detta tal till vanliga varv per sekund måste du dividera det med 2*pi. Efter att ha utfört denna åtgärd finner vi att axeln kommer att rotera med en frekvens på 31,8 rpm.

Rotationen av en stel kropp runt en fast axel är en sådan rörelse där två punkter på kroppen förblir orörliga under hela rörelsetiden. I detta fall förblir alla punkter på kroppen som ligger på en rak linje som passerar genom dess fasta punkter också orörliga. Denna linje kallas kroppsrotationsaxel .

Låt punkterna A och B vara stationära. Låt oss rikta axeln längs rotationsaxeln. Genom rotationsaxeln ritar vi ett stationärt plan och ett rörligt, fäst vid en roterande kropp (vid ).

Planets och själva kroppens position bestäms av den dihedrala vinkeln mellan planen och. Låt oss beteckna det. Vinkeln kallas kroppsrotationsvinkel .

Kroppens position i förhållande till det valda referenssystemet bestäms unikt när som helst om ekvationen är given, där är en två gånger differentierbar funktion av tiden. Denna ekvation kallas rotationsekvationen för en stel kropp runt en fast axel .

En kropp som roterar runt en fast axel har en frihetsgrad, eftersom dess position bestäms genom att endast specificera en parameter - vinkeln.

En vinkel anses vara positiv om den läggs moturs och negativ i motsatt riktning. Banorna för en kropps punkter under dess rotation runt en fast axel är cirklar placerade i plan vinkelräta mot rotationsaxeln.

För att karakterisera rotationsrörelsen hos en stel kropp runt en fast axel introducerar vi begreppen vinkelhastighet och vinkelacceleration.

Algebraisk vinkelhastighet av en kropp vid vilket ögonblick som helst kallas den första derivatan med avseende på tiden av rotationsvinkeln i detta ögonblick, det vill säga.

Vinkelhastigheten är positiv när kroppen roterar moturs, eftersom rotationsvinkeln ökar med tiden, och negativ när kroppen roterar medurs, eftersom rotationsvinkeln minskar.

Dimensionen av vinkelhastighet per definition:

Inom teknik är vinkelhastigheten rotationshastigheten uttryckt i varv per minut. På en minut kommer kroppen att rotera genom en vinkel , där n är antalet varv per minut. Om vi ​​dividerar denna vinkel med antalet sekunder i en minut får vi

Algebraisk vinkelacceleration av kroppen kallas den första derivatan med avseende på tid av vinkelhastigheten, det vill säga den andra derivatan av rotationsvinkeln, dvs.

Dimensionen av vinkelacceleration per definition:

Låt oss introducera begreppen vektorer för vinkelhastighet och vinkelacceleration för en kropp.

Och , var är enhetsvektorn för rotationsaxeln. Vektorer och kan avbildas när som helst på rotationsaxeln de är glidande vektorer.

Algebraisk vinkelhastighet är projektionen av vinkelhastighetsvektorn på rotationsaxeln. Algebraisk vinkelacceleration är projektionen av vinkelaccelerationsvektorn för hastighet på rotationsaxeln.

Om vid , ökar den algebraiska vinkelhastigheten med tiden och därför roterar kroppen accelererat för tillfället i positiv riktning. Riktningarna för vektorerna och sammanfaller, de är båda riktade i den positiva riktningen av rotationsaxeln.

När och kroppen roterar snabbt i negativ riktning. Riktningarna för vektorerna och sammanfaller, de är båda riktade mot den negativa sidan av rotationsaxeln.