Hur man minns punkter på en enhetscirkel. Cirkel på koordinatplanet Beteckna talen \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

När man studerar trigonometri i skolan ställs varje elev inför ett mycket intressant koncept av "numerisk cirkel". Det beror på skollärarens förmåga att förklara vad det är och varför det behövs, hur väl eleven kommer att gå till väga för trigonometri senare. Tyvärr kan inte alla lärare förklara detta material på ett tillgängligt sätt. Som ett resultat blir många elever förvirrade även med hur de ska fira punkter på talcirkeln. Om du läser den här artikeln till slutet kommer du att lära dig hur du gör det utan problem.

Så låt oss börja. Låt oss rita en cirkel med radien 1. Låt oss beteckna den "rätta" punkten i denna cirkel med bokstaven O:

Grattis, du har precis ritat en enhetscirkel. Eftersom radien för denna cirkel är 1, är dess längd .

Varje reellt tal kan associeras med längden på banan längs talcirkeln från punkten O. Rörelseriktningen är moturs som positiv riktning. För negativ - medurs:

Arrangemang av punkter på en talcirkel

Som vi redan har noterat är längden på den numeriska cirkeln (enhetscirkeln) lika med. Var kommer då numret att finnas på denna cirkel? Uppenbarligen från poängen O moturs måste du gå halva cirkelns längd, och vi kommer att befinna oss på önskad punkt. Låt oss beteckna det med en bokstav B:

Observera att samma punkt kan nås genom att passera halvcirkeln i negativ riktning. Sedan skulle vi sätta siffran på enhetscirkeln. Det vill säga siffrorna och motsvarar samma punkt.

Dessutom motsvarar samma punkt också talen , , , och i allmänhet en oändlig uppsättning tal som kan skrivas i formen , där , det vill säga hör till mängden heltal. Allt detta beror på att från punkten B du kan göra en "jord runt"-resa i vilken riktning som helst (lägg till eller subtrahera omkretsen) och komma till samma punkt. Vi får en viktig slutsats som måste förstås och kommas ihåg.

Varje nummer motsvarar en enda punkt på talcirkeln. Men varje punkt på talcirkeln motsvarar oändligt många siffror.

Låt oss nu dela den övre halvcirkeln av den numeriska cirkeln i lika långa bågar med en punkt C. Det är lätt att se att bågens längd OCär lika med . Låt oss lägga åt sidan nu från punkten C en båge av samma längd i moturs riktning. Som ett resultat kommer vi till saken B. Resultatet är ganska väntat, eftersom . Låt oss skjuta upp denna båge i samma riktning igen, men nu från punkten B. Som ett resultat kommer vi till saken D, som redan kommer att matcha numret:

Observera igen att denna punkt inte bara motsvarar numret utan även till exempel numret, eftersom denna punkt kan nås genom att avsätta punkten O kvartscirkel i medurs riktning (i negativ riktning).

Och i allmänhet noterar vi igen att denna punkt motsvarar ett oändligt antal siffror som kan skrivas i formen . Men de kan också skrivas som . Eller, om du vill, i form av . Alla dessa register är absolut likvärdiga, och de kan erhållas från varandra.

Låt oss nu bryta bågen i OC halverad prick M. Tänk nu vad bågens längd är OM? Det stämmer, halva bågen OC. Dvs. Vilka siffror motsvarar punkten M på en siffercirkel? Jag är säker på att du nu kommer att inse att dessa siffror kan skrivas i formuläret.

Men det är möjligt annars. Låt oss ta in den presenterade formeln. Då får vi det . Det vill säga dessa siffror kan skrivas som . Samma resultat kan erhållas med en talcirkel. Som jag sa, båda posterna är likvärdiga, och de kan erhållas från varandra.

Nu kan du enkelt ge ett exempel på siffror som motsvarar poäng N, P Och K på talcirkeln. Till exempel, siffror och:

Ofta är det de minsta positiva talen som tas för att beteckna motsvarande punkter på talcirkeln. Även om detta inte alls är nödvändigt, och poängen N, som du redan vet, motsvarar ett oändligt antal andra siffror. Inklusive till exempel numret .

Om du bryter bågen OC i tre lika stora bågar med prickar S Och L, så poängen S kommer att ligga mellan punkterna O Och L, sedan båglängden OS kommer att vara lika med , och längden på bågen OL kommer att vara lika med . Med hjälp av kunskapen som du fick i den föregående delen av lektionen kan du enkelt ta reda på hur resten av punkterna på talcirkeln blev:

Tal som inte är multiplar av π på talcirkeln

Låt oss nu ställa oss frågan, var på tallinjen ska vi markera punkten som motsvarar siffran 1? För att göra detta är det nödvändigt från den mest "rätta" punkten i enhetscirkeln O skjuta upp en båge, vars längd skulle vara lika med 1. Vi kan bara ungefärligt ange platsen för den önskade punkten. Låt oss fortsätta enligt följande.

I allmänhet förtjänar denna fråga särskild uppmärksamhet, men allt är enkelt här: i graders vinkel är både sinus och cosinus positiva (se figur), då tar vi plustecknet.

Försök nu, baserat på ovanstående, att hitta sinus och cosinus för vinklarna: och

Du kan fuska: särskilt för en vinkel i grader. Eftersom om en vinkel i en rätvinklig triangel är lika med grader, så är den andra lika med grader. Nu träder de välbekanta formlerna i kraft:

Sedan sedan, då och. Sedan, då och. Med grader är det ännu enklare: så om en av vinklarna i en rätvinklig triangel är lika med grader, så är den andra också lika med grader, vilket betyder att en sådan triangel är likbent.

Så hans ben är lika. Så dess sinus och cosinus är lika.

Hitta dig själv enligt den nya definitionen (genom x och y!) sinus och cosinus för vinklar i grader och grader. Det finns inga trianglar att rita här! De är för platta!

Du borde ha fått:

Du kan själv hitta tangenten och cotangensen genom att använda formlerna:

Observera att du inte kan dividera med noll!

Nu kan alla mottagna nummer sammanfattas i en tabell:

Här är värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för vinklarna Jag kvartal. För enkelhetens skull anges vinklarna både i grader och i radianer (men nu vet du förhållandet mellan dem!). Var uppmärksam på 2 streck i tabellen: nämligen kotangensen för noll och tangenten för grader. Det här är ingen tillfällighet!

Särskilt:

Låt oss nu generalisera begreppet sinus och cosinus till en helt godtycklig vinkel. Jag kommer att överväga två fall här:

1. Vinkeln sträcker sig från till grader
2. Vinkel större än grader

Generellt sett vred jag min själ lite och pratade om "ganska alla" hörn. De kan också vara negativa! Men vi kommer att överväga det här fallet i en annan artikel. Låt oss fokusera på det första fallet först.

Om vinkeln ligger i 1 fjärdedel är allt klart, vi har redan övervägt det här fallet och till och med ritat tabeller.

Låt nu vår vinkel vara större än grader och inte mer än. Det betyder att den ligger antingen i 2:a eller 3:e eller 4:e kvartalet.

Hur går det för oss? Ja, exakt samma!

Låt oss överväga istället för något sånt här...

... så här:

Det vill säga, betrakta vinkeln som ligger i andra kvartalet. Vad kan vi säga om honom?

Punkten som är skärningspunkten för strålen och cirkeln har fortfarande 2 koordinater (inget övernaturligt, eller hur?). Dessa är koordinaterna och

Dessutom är den första koordinaten negativ och den andra är positiv! Det betyder att i hörnen av andra kvartalet är cosinus negativ och sinus positiv!

Underbart, eller hur? Innan dess har vi aldrig stött på en negativ cosinus.

Ja, och i princip kunde det inte vara det när vi betraktade trigonometriska funktioner som förhållandet mellan sidorna i en triangel. Fundera förresten på vilka vinklar som har cosinus lika? Och vilken har en sinus?

På samma sätt kan du överväga vinklarna i alla andra håll. Jag påminner bara om att vinkeln räknas moturs! (som visas på sista bilden!).

Naturligtvis kan du räkna åt andra hållet, men inställningen till sådana vinklar kommer att vara något annorlunda.

Baserat på ovanstående resonemang är det möjligt att placera tecknen för sinus, cosinus, tangent (som sinus dividerat med cosinus) och cotangens (som cosinus dividerat med sinus) för alla fyra fjärdedelar.

Men jag upprepar än en gång, det är ingen idé att memorera den här teckningen. Allt du behöver veta:

Låt oss träna lite med dig. Mycket enkla pussel:

Ta reda på vilket tecken följande kvantiteter har:

Låt oss kolla?

1. grader - detta är en vinkel, större och mindre, vilket betyder att den ligger i 3 fjärdedelar. Rita valfri vinkel i 3 fjärdedelar och se vilken typ av y den har. Det kommer att bli negativt. Sedan.
   grader - vinkel 2 fjärdedelar. Sinus är positivt och cosinus är negativ. Plus dividerat med minus är minus. Innebär att.
   grader - vinkel, större och mindre. Så han ligger i 4 fjärdedelar. Varje hörn av fjärde kvartalet "X" kommer att vara positivt, vilket betyder
2. Vi arbetar med radianer på ett liknande sätt: detta är vinkeln för andra kvartalet (eftersom och. Sinus för andra kvartalet är positivt.
   .
   , detta är hörnet av fjärde kvartalet. Där är cosinus positivt.
   - hörnet av fjärde kvarten igen. Cosinus är positiv och sinus är negativ. Då blir tangenten mindre än noll:

Du kanske tycker att det är svårt att bestämma fjärdedelar i radianer. I så fall kan du alltid gå till grader. Svaret blir naturligtvis exakt detsamma.

Nu skulle jag vilja uppehålla mig mycket kort vid ytterligare en punkt. Låt oss komma ihåg den grundläggande trigonometriska identiteten igen.

Som jag sa, från det kan vi uttrycka sinus genom cosinus eller vice versa:

Valet av tecknet kommer endast att påverkas av den fjärdedel där vår vinkel alfa är belägen. För de två sista formlerna finns det många uppgifter i provet, till exempel är dessa:

En uppgift

Hitta om och.

Det här är faktiskt en uppgift för en kvart! Se hur det löser sig:

Lösning

Sedan byter vi ut värdet här. Nu är det upp till de små: ta itu med skylten. Vad behöver vi för detta? Ta reda på vilket kvarter vårt hörn ligger i. Beroende på problemets tillstånd: . Vilket kvartal är det här? Fjärde. Vad är tecknet på cosinus i fjärde kvadranten? Cosinus i fjärde kvadranten är positiv. Sedan återstår det för oss att välja plustecknet innan. , då.

Jag kommer inte att uppehålla mig vid sådana uppgifter nu, du kan hitta deras detaljerade analys i artikeln "". Jag ville bara påpeka för dig vikten av vilket tecken den eller den trigonometriska funktionen tar beroende på kvartalet.

Vinklar större än grader

Det sista jag skulle vilja notera i den här artikeln är hur man hanterar vinklar större än grader?

Vad är det och vad kan man äta det med för att inte kvävas? Låt oss ta, låt oss säga, en vinkel i grader (radianer) och gå moturs från den ...

På bilden ritade jag en spiral, men du förstår att vi faktiskt inte har någon spiral: vi har bara en cirkel.

Så vart kommer vi om vi börjar från en viss vinkel och går igenom hela cirkeln (grader eller radianer)?

Vart är vi på väg? Och vi kommer till samma hörn!

Detsamma gäller naturligtvis för alla andra vinklar:

Om vi ​​tar en godtycklig vinkel och passerar hela cirkeln, kommer vi tillbaka till samma vinkel.

Vad kommer det att ge oss? Här är vad: om, då

Därifrån får vi äntligen:

För vilket heltal som helst. Det betyder att sinus och cosinus är periodiska funktioner med en period.

Det är alltså inga problem att hitta tecknet på den nu godtyckliga vinkeln: vi behöver bara kassera alla "hela cirklar" som passar i vårt hörn och ta reda på i vilken fjärdedel det återstående hörnet ligger.

Till exempel, för att hitta ett tecken:

Vi kontrollerar:

1. I grader passar tider i grader (grader):
   grader kvar. Detta är den fjärde kvartsvinkeln. Det finns en negativ sinus, så
2. . grader. Detta är 3:e kvartsvinkeln. Där är cosinus negativ. Sedan
3. . . Sedan dess - hörnet av det första kvartalet. Där är cosinus positivt. Sedan cos
4. . . Sedan ligger vår vinkel i andra kvartalet, där sinusen är positiv.

Vi kan göra samma sak för tangent och cotangens. Men i själva verket är det ännu lättare med dem: de är också periodiska funktioner, bara deras period är 2 gånger mindre:

Så du förstår vad en trigonometrisk cirkel är och vad den är till för.

Men vi har fortfarande många frågor:

1. Vad är negativa vinklar?
2. Hur man beräknar värdena för trigonometriska funktioner i dessa vinklar
3. Hur man använder de kända värdena för trigonometriska funktioner i det första kvartalet för att leta efter värdena för funktioner i andra kvartal (behöver du verkligen klämma bordet ?!)
4. Hur använder man en cirkel för att förenkla lösningen av trigonometriska ekvationer?

GENOMSNITTLIG NIVÅ

Tja, i den här artikeln kommer vi att fortsätta att studera den trigonometriska cirkeln och diskutera följande punkter:

1. Vad är negativa vinklar?
2. Hur beräknar man värdena för trigonometriska funktioner i dessa vinklar?
3. Hur använder man de kända värdena för trigonometriska funktioner i det första kvartalet för att leta efter värdena för funktioner i andra kvartal?
4. Vad är tangentaxeln och cotangensaxeln?

Vi kommer inte att behöva några ytterligare kunskaper, förutom de grundläggande färdigheterna att arbeta med en enhetscirkel (föregående artikel). Nåväl, låt oss komma ner till den första frågan: vad är negativa vinklar?

Negativa vinklar

Negativa vinklar i trigonometri läggs ner på en trigonometrisk cirkel från början, i riktning moturs:

Låt oss komma ihåg hur vi tidigare ritade vinklar på en trigonometrisk cirkel: Vi gick från axelns positiva riktning moturs:

Sedan i vår figur konstrueras en vinkel lika med. På samma sätt byggde vi alla hörn.

Inget förbjuder oss dock att gå från axelns positiva riktning medurs.

Vi kommer också att få olika vinklar, men de kommer redan att vara negativa:

Följande bild visar två vinklar som är lika i absolut värde men motsatta i tecken:

Generellt kan regeln formuleras på följande sätt:

• Vi går motsols - vi får positiva vinklar
• Vi går medurs - vi får negativa vinklar

Schematiskt visas regeln i denna figur:

Du kan ställa en ganska rimlig fråga till mig: ja, vi behöver vinklar för att mäta deras värden på sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Så är det skillnad när vi har en positiv vinkel, och när vi har en negativ? Jag ska svara dig: som regel finns det.

Du kan dock alltid reducera beräkningen av den trigonometriska funktionen från en negativ vinkel till beräkningen av funktionen i vinkeln positivt.

Titta på följande bild:

Jag ritade två vinklar, de är lika i absolut värde men har motsatt tecken. Notera för var och en av vinklarna dess sinus och cosinus på axlarna.

Vad ser du och jag? Och här är vad:

• Sinusen är i hörnen och är motsatt i tecken! Sedan om
• Cosinus av hörnen och sammanfaller! Sedan om
• Sedan dess:
• Sedan dess:

Således kan vi alltid bli av med det negativa tecknet inuti vilken trigonometrisk funktion som helst: antingen genom att helt enkelt förstöra det, som med cosinus, eller genom att placera det framför funktionen, som med sinus, tangent och cotangens.

Förresten, kom ihåg vad namnet på funktionen är, där för alla tillåtna det är sant: ?

En sådan funktion kallas udda.

Och om det för något tillåtet är uppfyllt: ? I det här fallet kallas funktionen jämn.

Därför har vi just visat att:

Sinus, tangent och cotangens är udda funktioner, medan cosinus är jämnt.

Som du förstår är det alltså ingen skillnad om vi letar efter en sinus från en positiv vinkel eller en negativ: att hantera ett minus är väldigt enkelt. Så vi behöver inte separata tabeller för negativa vinklar.

Å andra sidan, måste du erkänna, skulle det vara mycket bekvämt, att bara känna till de trigonometriska funktionerna för vinklarna för den första fjärdedelen, att kunna beräkna liknande funktioner för de återstående fjärdedelarna. Kan det göras? Självklart! Du har minst två sätt: det första är att bygga en triangel och tillämpa Pythagoras sats (så här hittade du och jag värdena för trigonometriska funktioner för huvudvinklarna för den första fjärdedelen), och den andra - att komma ihåg värdena för funktionerna för vinklarna i första kvartalet och någon enkel regel, kunna beräkna trigonometriska funktioner för alla andra fjärdedelar. Det andra sättet kommer att spara dig mycket krångel med trianglar och med Pythagoras, så jag ser det som mer lovande:

Så denna metod (eller regel) kallas - reduktionsformler.

Cast formler

Grovt sett hjälper dessa formler dig att inte komma ihåg en sådan tabell (den innehåller förresten 98 siffror!):

om du kommer ihåg den här (endast 20 nummer):

Det vill säga, du kan inte störa dig på helt onödiga 78-nummer! Låt oss till exempel behöva räkna. Det är klart att det inte finns något sådant i det lilla bordet. Vad gör vi? Och här är vad:

Först behöver vi följande kunskap:

1. Sinus och cosinus har en period (grader), d.v.s.

   Tangent (cotangens) har en period (grader)

   Vilket heltal som helst

2. Sinus och tangent är udda funktioner, och cosinus är jämnt:

Vi har redan bevisat det första påståendet med dig, och giltigheten av det andra fastställdes ganska nyligen.

Den faktiska castingregeln ser ut så här:

1. Om vi ​​beräknar värdet på den trigonometriska funktionen från en negativ vinkel gör vi det positivt med hjälp av en grupp formler (2). Till exempel:
2. Vi förkastar för sinus och cosinus dess perioder: (i grader), och för tangenten - (grader). Till exempel:
3. Om det återstående "hörnet" är mindre än grader, är problemet löst: vi letar efter det i den "lilla tabellen".
4. Annars letar vi efter vilket kvartal vår hörna ligger i: det blir 2:a, 3:e eller 4:e kvartalet. Vi tittar på tecknet på önskad funktion i kvartalet. Kom ihåg denna skylt!
5. Representera en vinkel i någon av följande former:

   (om under andra kvartalet)
   (om under andra kvartalet)
   (om under tredje kvartalet)
   (om under tredje kvartalet)
   
   (om i fjärde kvartalet)

   så att den återstående vinkeln är större än noll och mindre än grader. Till exempel:

   I princip spelar det ingen roll i vilken av de två alternativa formerna för varje kvartal du representerar hörnet. Detta kommer inte att påverka det slutliga resultatet.

6. Låt oss nu se vad vi fick: om du valde att spela in genom eller grader plus minus något, kommer funktionens tecken inte att ändras: du tar bara bort eller och skriver ner sinus, cosinus eller tangens för den återstående vinkeln. Om du väljer att spela in genom eller grader, ändra sedan sinus till cosinus, cosinus till sinus, tangent till cotangens, cotangens till tangent.
7. Vi sätter tecknet från paragraf 4 framför det resulterande uttrycket.

Låt oss demonstrera allt ovan med exempel:

1. Beräkna
2. Beräkna
3. Hitta-di-dessa betydelser you-ra-same-nia:

Låt oss börja i ordning:

1. Vi agerar enligt vår algoritm. Välj ett heltal av cirklar för:

   I allmänhet drar vi slutsatsen att helheten placeras i hörnet 5 gånger, men hur mycket är kvar? Vänster. Sedan

   Tja, vi har kasserat överskottet. Låt oss nu ta itu med tecknet. ligger i 4 kvarter. Sinus för fjärde kvartalet har ett minustecken, och jag bör inte glömma att sätta det i svaret. Vidare presenterar vi enligt en av de två formlerna i punkt 5 i reduktionsreglerna. Jag kommer välja:

   Nu tittar vi på vad som hände: vi har ett fall med grader, sedan kastar vi bort det och ändrar sinus till cosinus. Och sätt ett minustecken framför den!

   grader är vinkeln i det första kvartalet. Vi vet (du lovade mig att lära mig ett litet bord!!) dess betydelse:

   Då får vi det slutgiltiga svaret:

   Svar:

2. allt är sig likt, men istället för grader - radianer. Det är ok. Det viktigaste att komma ihåg är det

   Men du kan inte ersätta radianer med grader. Det är en fråga om din smak. Jag kommer inte att ändra något. Jag börjar igen med att slänga hela cirklar:

   Vi kastar - det här är två hela cirklar. Det återstår att räkna ut. Denna vinkel är i tredje kvartalet. Cosinus för tredje kvartalet är negativ. Glöm inte att sätta ett minustecken i ditt svar. kan föreställas som. Återigen minns vi regeln: vi har fallet med ett "heltal" (eller), då ändras inte funktionen:

   Sedan.
   Svar: .

3. . Du måste göra samma sak, men med två funktioner. Jag ska fatta mig lite kortare: och grader är vinklarna för andra kvartalet. Cosinus för andra kvartalet har ett minustecken och sinus har ett plustecken. kan representeras som: men hur då

   Båda fallen är "halvor av en helhet". Då blir sinus en cosinus, och cosinus blir en sinus. Dessutom finns det ett minustecken framför cosinus:

Svar: .

Träna nu på egen hand med följande exempel:

Och här är lösningarna:

1. 
   Låt oss först bli av med minus genom att flytta det framför sinus (eftersom sinus är en udda funktion !!!). Tänk sedan på vinklarna:

   Vi kasserar ett heltal av cirklar - det vill säga tre cirklar ().
   Det återstår att beräkna: .
   Vi gör samma sak med det andra hörnet:

   Ta bort ett heltal av cirklar - 3 cirklar () sedan:

   Nu tänker vi: i vilket kvarter ligger det återstående hörnet? Han "når inte" allt. Vad är då en fjärdedel? Fjärde. Vad är tecknet på cosinus för fjärde kvartalet? Positiv. Låt oss nu föreställa oss. Eftersom vi subtraherar från ett heltal, ändrar vi inte tecknet för cosinus:

   Vi ersätter all mottagen data i formeln:

   Svar: .

2. 
   Standard: vi tar bort minus från cosinus, med det faktum att.
   Det återstår att räkna cosinus av grader. Låt oss ta bort hela cirklarna: . Sedan

   Sedan.
   Svar: .

3. Vi agerar som i föregående exempel.

   Eftersom du kommer ihåg att tangentens period är (eller) till skillnad från cosinus eller sinus, där den är 2 gånger större, tar vi bort heltal.

   grader är vinkeln i andra kvartalet. Tangenten för andra kvartalet är negativ, låt oss inte glömma "minus" i slutet! kan skrivas som. Tangent ändras till cotangens. Äntligen får vi:

   Sedan.
   Svar: .

Nåväl, det är väldigt få kvar!

Tangentaxel och cotangensaxel

Det sista jag skulle vilja uppehålla mig vid här är på ytterligare två axlar. Som vi redan har diskuterat har vi två axlar:

1. Axel - cosinusaxel
2. Axel - sinusaxel

Faktum är att vi har slut på koordinataxlar, eller hur? Men hur är det med tangenter och cotangenter?

Verkligen, för dem finns det ingen grafisk tolkning?

Det är faktiskt så, du kan se det på den här bilden:

I synnerhet från dessa bilder kan vi säga följande:

1. Tangent och cotangens har samma tecken i fjärdedelar
2. De är positiva i 1:a och 3:e kvartalen
3. De är negativa i 2:a och 4:e kvartalet
4. Tangent ej definierad i vinklar
5. Cotangens ej definierad i vinklar

Vad är de här bilderna till för? Du lär dig på avancerad nivå, där jag berättar hur du kan förenkla lösningen av trigonometriska ekvationer med hjälp av en trigonometrisk cirkel!

AVANCERAD NIVÅ

I den här artikeln kommer jag att beskriva hur enhetscirkel (trigonometrisk cirkel) kan vara användbar för att lösa trigonometriska ekvationer.

Jag kan lyfta fram två fall där det kan vara användbart:

1. I svaret får vi ingen "vacker" vinkel, men vi måste ändå välja rötterna
2. Svaret är för många serier av rötter

Du behöver ingen specifik kunskap, förutom kunskap om ämnet:

Jag försökte skriva ämnet "trigonometriska ekvationer" utan att tillgripa en cirkel. Många skulle inte berömma mig för ett sådant tillvägagångssätt.

Men jag föredrar formeln, så vad kan du göra. Men i vissa fall räcker det inte med formler. Följande exempel motiverade mig att skriva den här artikeln:

Lös ekvationen:

Okej då. Att lösa själva ekvationen är lätt.

Omvänd ersättning:

Därför är vår ursprungliga ekvation ekvivalent med fyra enklaste ekvationer! Behöver vi verkligen skriva ner fyra serier av rötter:

Detta kunde i princip ha slutat. Men bara inte för läsarna av denna artikel, som påstår sig vara någon form av "komplexitet"!

Låt oss först överväga den första serien av rötter. Så vi tar en enhetscirkel, låt oss nu tillämpa dessa rötter på cirkeln (separat för och för):

Var uppmärksam: vilken vinkel visade sig mellan hörnen och? Det här är hörnet. Låt oss nu göra samma sak för serien: .

Mellan rötterna i ekvationen erhålls återigen vinkeln c. Låt oss nu kombinera dessa två bilder:

Vad ser vi? Och då är alla vinklar mellan våra rötter lika. Vad betyder det?

Om vi ​​börjar från ett hörn och tar vinklar som är lika (för vilket heltal som helst), så kommer vi alltid att träffa en av de fyra punkterna på den översta cirkeln! Så 2 serier av rötter:

Kan kombineras till en:

Ack, för serier av rötter:

Dessa argument är inte längre giltiga. Gör en ritning och förstå varför det är så. Men de kan kombineras så här:

Då har den ursprungliga ekvationen rötter:

Vilket är ett ganska kort och koncist svar. Och vad betyder korthet och koncisthet? Om nivån på din matematiska läskunnighet.

Detta var det första exemplet där användningen av den trigonometriska cirkeln gav användbara resultat.

Det andra exemplet är ekvationer som har "fula rötter".

Till exempel:

1. Lös ekvationen.
2. Hitta dess rötter som hör till gapet.

Den första delen är inte svår.

Eftersom du redan är bekant med ämnet kommer jag att tillåta mig att vara kort i mina beräkningar.

då eller

Så vi hittade rötterna till vår ekvation. Inget komplicerat.

Det är svårare att lösa den andra delen av uppgiften, utan att veta vad arccosinus för minus en fjärdedel är exakt lika med (detta är inte ett tabellvärde).

Men vi kan skildra den hittade serien av rötter på en enhetscirkel:

Vad ser vi? För det första gjorde figuren det klart för oss i vilka gränser arccosine ligger:

Denna visuella tolkning hjälper oss att hitta rötterna som hör till segmentet: .

Först kommer själva numret in i det, sedan (se fig.).

tillhör också segmentet.

Således hjälper enhetscirkeln till att avgöra vilka gränser "fula" hörn hamnar inom.

Du bör ha minst en fråga till: Men hur är det med tangenter och cotangenter?

Faktum är att de också har sina egna yxor, även om de har ett lite specifikt utseende:

Annars kommer sättet att hantera dem att vara detsamma som med sinus och cosinus.

Exempel

En ekvation ges.

• Lös denna ekvation.
• Ange rötterna till denna ekvation som hör till intervallet.

Lösning:

Vi ritar en enhetscirkel och markerar våra lösningar på den:

Av figuren kan man förstå att:

Eller ännu mer: sedan dess

Sedan hittar vi rötterna som hör till segmentet.

, (eftersom)

Jag överlåter åt dig att se till att vår ekvation inte har några andra rötter som hör till intervallet.

SAMMANFATTNING OCH GRUNDFORMEL

Det huvudsakliga instrumentet för trigonometri är trigonometrisk cirkel, den låter dig mäta vinklar, hitta deras sinus, cosinus och så vidare.

Det finns två sätt att mäta vinklar.

1. Genom grader
2. Genom radianer

Och vice versa: från radianer till grader:

För att hitta sinus och cosinus för en vinkel behöver du:

1. Rita en enhetscirkel där mitten sammanfaller med hörnet.
2. Hitta skärningspunkten för denna vinkel med cirkeln.
3. Dess "x"-koordinat är cosinus för den önskade vinkeln.
4. Dess "spel"-koordinat är sinus för den önskade vinkeln.

Cast formler

Det här är formler som låter dig förenkla komplexa uttryck för en trigonometrisk funktion.

Dessa formler hjälper dig att inte komma ihåg en sådan tabell:

Sammanfattande

Du lärde dig hur man gör en universell trigonometrisporre.

Du har lärt dig att lösa problem mycket enklare och snabbare och, viktigast av allt, utan fel.

Du insåg att du inte behöver proppa några bord och i allmänhet finns det lite att proppa!

Nu vill jag höra från dig!

Lyckades du hantera detta komplexa ämne?

Vad tyckte du om? Vad gillade du inte?

Kanske har du hittat ett misstag?

Skriv i kommentarerna!

Och lycka till på provet!

Lösning:

1) Eftersom 7π = 3٠2π + π , ger vridning med 7π samma punkt som vridning med π, dvs. en punkt med koordinater (- 1; 0) erhålls. (fig.9)

2) Eftersom = -2π - , att sedan slå på producerar samma punkt som att slå på - , dvs. en punkt med koordinater (0; 1) erhålls (fig. 10)

Fig.9 Fig.10

Uppgift #2

Skriv ner alla vinklar med vilka du behöver rotera punkten (1; 0) för att få punkten

N
.

Lösning:

Av den högra triangeln AON (fig. 11) följer att vinkeln AON är , d.v.s. en av de möjliga rotationsvinklarna är . Därför uttrycks alla vinklar med vilka punkten (1;0) måste roteras för att erhålla punkten enligt följande: + 2πk, där k är vilket heltal som helst.

Fig. 11

Övningar för självlösning:

1°. Konstruera en punkt på enhetscirkeln som erhålls genom att rotera punkten (1; 0) med en given vinkel:

a) 4π; b) -225°; i) - ; G) - ; e)
; e)
.

2°. Hitta koordinaterna för punkten som erhålls genom att rotera punkten Р(1;0) med en vinkel:

a) 3π; b) -
; c) 540°;

d) 810°; e)
, k är ett heltal; e)
.

3°. Bestäm den fjärdedel i vilken punkten är belägen, erhållen genom att vrida punkten P (1; 0) med en vinkel:

a) 1; b) 2,75; c) 3,16; d) 4,95.

4*. På enhetscirkeln, konstruera en punkt som erhålls genom att vrida punkten P (1; 0) genom en vinkel:

men)
; b)
; c) 4,57n; d) - 7π.

fem*. Hitta koordinaterna för punkten som erhålls genom att vrida punkten P (1; 0) med en vinkel (k är ett heltal):

men)
; b)
; i)
; G)
.

6*. Skriv ner alla vinklar med vilka du behöver rotera punkten P (1; 0) för att få en punkt med koordinater:

men)
; b)
;

i)
; G)
.

DEFINITION AV SINE, COSINE AV VINKEL

Fig. 12

I dessa definitioner, vinkeln α kan uttryckas i både grader och radianer. Till exempel, när man vrider punkten (1; 0) med vinkeln , dvs. vinkeln är 90°, punkten (0;1) erhålls. Punktordinata ( 0 ;1 ) är lika med 1 , så sin = synd 90° = 1; abskissan för denna punkt är lika med 0 , så cos = cos 90° = 0

Uppgift 1

Hitta sin (- π) och cos (- π).

Lösning:

Punkten (1; 0) när du svänger genom vinkeln - π kommer att gå till punkten (-1; 0) (Fig. 13), därför sin (- π) \u003d 0, cos (- π) \u003d - 1.

Fig. 13

Uppgift #2

Lös ekvationen sin x = 0.

Lösning:

Att lösa ekvationen sin x \u003d 0 innebär att hitta alla vinklar vars sinus är noll. En ordinata lika med noll har två punkter i enhetscirkeln (1; 0 ) och (- 1; 0 ). Dessa punkter erhålls från punkten (1;0) genom att vrida genom vinklarna 0, π, 2π, 3π, etc., samt genom vinklarna - π, - 2π, - 3π, etc.. därför sin x = 0 för x = πk., där k är vilket heltal som helst, dvs. lösningen kan göras så här:

x = πk., k
.

Svar: x = πk., k

(Z är notationen för mängden heltal, läs "k tillhör Z").

Genom att argumentera på liknande sätt kan vi få följande lösningar av trigonometriska ekvationer:

syndx		x = + 2πk, k	x = - +2πk., k
	x = +2πk., k	x = 2πk., k	x = π + 2 πk., k

Här är en tabell med vanliga värden för sinus, cosinus, tangent och cotangens.

Uppgift 1

Beräkna: 4sin +
cos-tg.

Lösning:

Med hjälp av bordet får vi

4 sin + cos - tg = 4 ٠ + ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

:

1°. Beräkna:

a) synd + synd; b) synd - cos π; c) sin 0 - cos 2π; d) sin3 - cos .

2°. Hitta värdet på ett uttryck:

a) 3 sin + 2 cos - tg; b)
;

i)
; d) cos 0 - sin 3π.

3°. Lös ekvationen:

a) 2 sin x = 0; b) cosx = 0; c) cos x - 1 = 0; d) 1 – sin x = 0.

4*. Hitta värdet på ett uttryck:

a) 2 synd α +
cos α kl α = ; b) 0,5 cos a - sin a vid a = 60°;

c) sin3a - cos2a vid a =; d) cos + synd på α = .

fem*. Lös ekvationen:

a) sinx \u003d - 1; b) cos x = 0; c) synd
; d) sin3 x = 0.

Tecken på sinus, cosinus och tangent

Låt sedan punkten röra sig moturs längs enhetscirkeln sinus positivt in första och andra koordinatkvarter (fig. 14); cosinus positivt in första och fjärde koordinatkvarter (fig. 15); tangent och cotangens positivt in första och tredje koordinatkvarter (fig. 16).

Fig.14 Fig.15 Fig.16

Uppgift 1

Ta reda på tecknen för sinus, cosinus och tangens för en vinkel:

1) ; 2) 745°; 3)
.

Lösning:

1) En vinkel motsvarar en punkt på enhetscirkeln som ligger i andra kvartal. Därför sin > 0, cos

2) Eftersom 745° = 2 ٠360° + 25°, så motsvarar rotationen av punkten (1; 0) med en vinkel på 745° en punkt som ligger i först kvartal.

Därför sin 745° > 0, cos 745° > 0, tg 745° > 0.

3) Punkten rör sig medurs, därför - π , när punkten (1; 0) roteras med en vinkel, erhålls en punkt tredje kvartal. Synda därför

Övningar för självlösning :

1°. I vilken kvart erhålls punkten genom att vrida punkten P (1; 0) genom vinkeln α, om:

men) α = ; b) α = - ; i) α = ;Dokumentera

Hennes beslut. Kontrollera Jobb måste undertecknas av studenten. offset på kontrollera arbete uppvisade enligt resultaten ... på en av sex identiska kort. Kort ordnade på rad i slumpmässig ordning. Vad...

Testkort; kreditkort; g) Uppgiftskort på högre nivå (textuppgiftsuppgifter med en parameter). Slutsats

Tester

Oral arbete. kort- simulatorer; kort för matematisk diktering; kort-tester; kort för offset; g) kort... kontrollerar, generaliserar, forskningskaraktär, kontrollera arbete Och offset. Material tar hänsyn till två nivåer av djup...

Självständigt arbete, som är det viktigaste utbildningsmedlet, bör baseras på den vetenskapliga organisationen av mentalt arbete, vilket kräver efterlevnad av följande bestämmelser

PM

Klassificering) av boken som studeras. Kort du kan använda standard eller ... studenter som har godkänt alla offset och/eller kontrollera arbete tillhandahålls av läroplanen, ... betygsbok eller kopia av läroplanen kort student, men till ansökan om återinträde...

Riktlinjer för studiet av disciplinen och utförandet av prov för studenter på korrespondenskurser Alla specialiteter

Riktlinjer

I kontrollera arbete. 3. Riktlinjer för genomförande kontrollera arbete Kontrollera Jobbär ett viktigt steg i förberedelserna för leverans. offset av ... i tabell 2 - cirka tre divisioner. Skapa formulär " Kort Redovisning" för att mata in data i tabellen...

>> Talcirkel

Medan vi studerat algebrakursen i årskurs 7-9 har vi hittills behandlat algebraiska funktioner, d.v.s. funktioner givna analytiskt av uttryck, i vilkas notation algebraiska operationer på tal och en variabel användes (addition, subtraktion, multiplikation, division, exponentiering, kvadratrotsextraktion). Men matematiska modeller av verkliga situationer förknippas ofta med funktioner av en annan typ, inte algebraiska. Med de första representanterna för klassen av icke-algebraiska funktioner - trigonometriska funktioner - kommer vi att bekanta oss i detta kapitel. Du kommer att studera trigonometriska funktioner och andra typer av icke-algebraiska funktioner (exponentiell och logaritmisk) mer ingående på gymnasiet.
För att introducera trigonometriska funktioner behöver vi en ny matematisk modell- en siffercirkel, som du ännu inte träffat, men är väl bekant med tallinjen. Kom ihåg att en tallinje är en linje på vilken startpunkten O, skalan (enkelt segment) och den positiva riktningen anges. Vi kan associera vilket reellt tal som helst med en punkt på en rät linje och vice versa.

Hur hittar man motsvarande punkt M på linjen med talet x? Siffran 0 motsvarar startpunkten O. Om x > 0, då rör sig i en rät linje från punkten 0 i positiv riktning, måste du gå n^:e längden x; slutet av denna väg kommer att vara den önskade punkten M(x). Om x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Och hur löste vi det omvända problemet, d.v.s. hur hittade du x-koordinaten för en given punkt M på tallinjen? Vi hittade längden på segmentet OM och tog det med tecknet "+" eller * - "beroende på vilken sida av punkten O punkten M ligger på den räta linjen.

Men i verkliga livet måste du inte bara röra dig i en rak linje. Ganska ofta övervägs rörelse cirklar. Här är ett konkret exempel. Vi kommer att betrakta stadion löpbandet som en cirkel (i själva verket är det naturligtvis inte en cirkel, men kom ihåg hur sportkommentatorer brukar säga: "löparen sprang en cirkel", "det finns en halv cirkel kvar att springa till mållinje”, etc.), dess längd är 400 m. Starten är markerad - punkt A (bild 97). Löparen från punkt A rör sig i en cirkel moturs. Var kommer han att vara på 200 meter? efter 400 m? efter 800 m? efter 1500 m? Och var ska man dra mållinjen om han springer en maratonsträcka på 42 km 195 m?

Efter 200 m kommer han att befinna sig i punkt C, diametralt mittemot punkt A (200 m är längden på halva löpbandet, d.v.s. längden på halva cirkeln). Efter att ha sprungit 400 m (d.v.s. "ett varv", som idrottarna säger), kommer han att återvända till punkt A. Efter att ha sprungit 800 m (d.v.s. "två varv") kommer han återigen att vara vid punkt A. Och vad är 1500 m? Detta är "tre cirklar" (1200 m) plus ytterligare 300 m, d.v.s. 3

Löpband - målgången på denna sträcka kommer att vara vid punkt 2) (Fig. 97).

Vi måste ta itu med maraton. Efter att ha sprungit 105 varv kommer idrottaren att övervinna distansen 105-400 = 42 000 m, d.v.s. 42 km. Det är 195 m kvar till mållinjen, vilket är 5 m mindre än halva omkretsen. Detta innebär att målgången på maratonsträckan kommer att vara vid punkt M, belägen nära punkt C (Fig. 97).

Kommentar. Naturligtvis förstår du konventionen i det sista exemplet. Ingen springer maratonsträckan runt stadion, max är 10 000 m, d.v.s. 25 cirklar.

Du kan springa eller gå en stig av valfri längd längs stadions löparbana. Detta betyder att varje positivt tal motsvarar någon punkt - "avslutet på distansen". Dessutom kan vilket negativt tal som helst associeras med en cirkelpunkt: du behöver bara få idrottaren att springa i motsatt riktning, dvs. börja från punkt A inte i motsatt riktning, utan i medurs riktning. Då kan stadionlöparbanan betraktas som en numerisk cirkel.

I princip kan vilken cirkel som helst betraktas som en numerisk, men i matematik kom man överens om att använda en enhetscirkel för detta ändamål - en cirkel med radien 1. Detta kommer att bli vårt "löpband". Längden b av en cirkel med radie K beräknas med formeln Längden på en halvcirkel är n, och längden på en kvartscirkel är AB, BC, SB, DA i fig. 98 - lika Vi är överens om att kalla bågen AB den första fjärdedelen av en enhetscirkel, bågen BC - den andra fjärdedelen, bågen CB - den tredje fjärdedelen, bågen DA - den fjärde fjärdedelen (Fig. 98). I det här fallet talar vi vanligtvis om en öppen båge, d.v.s. om en båge utan dess ändar (något som liknar ett intervall på en tallinje).

Definition. En enhetscirkel ges, startpunkten A är markerad på den - den högra änden av den horisontella diametern (Fig. 98). Associera varje reellt tal I med en cirkelpunkt enligt följande regel:

1) om x > 0, då vi rör oss från punkt A i motsols riktning (den positiva riktningen för att gå runt cirkeln), beskriver vi en bana längs cirkeln med en längd och slutpunkten M för denna bana kommer att vara den önskade punkt: M = M (x);

2) om x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 tilldelar vi punkt A: A = A(0).

En enhetscirkel med en etablerad överensstämmelse (mellan reella tal och cirkelpunkter) kommer att kallas en talcirkel.
Exempel 1 Hitta på talcirkeln
Eftersom de första sex av de givna sju siffrorna är positiva, måste du för att hitta motsvarande punkter på cirkeln gå längs med cirkeln en bana med en given längd, och flytta från punkt A i positiv riktning. Samtidigt tar vi hänsyn till det

Punkt A motsvarar siffran 2, eftersom, efter att ha passerat en bana med längd 2 längs cirkeln, dvs. exakt en cirkel kommer vi igen till startpunkten A Så, A \u003d A (2).
Vad har hänt Så, när du går från punkt A i en positiv riktning, måste du gå igenom en hel cirkel.

Kommentar. När vi går i 7:e eller 8:e klass arbetade med tallinjen kom vi för korthetens skull överens om att inte säga "den punkt på linjen som motsvarar talet x", utan att säga "punkten x". Vi kommer att följa exakt samma överenskommelse när vi arbetar med en numerisk cirkel: "punkt f" - det betyder att vi talar om en cirkelpunkt som motsvarar talet
Exempel 2
Om vi ​​delar första kvartalet AB i tre lika delar med punkterna K och P får vi:

Exempel 3 Hitta punkter på talcirkeln som motsvarar siffror
Vi kommer att göra konstruktioner med hjälp av Fig. 99. Att skjuta upp bågen AM (dess längd är lika med -) från punkten A fem gånger i negativ riktning, får vi punkten!, - mitten av bågen BC. Så,

Kommentar. Lägg märke till några friheter vi tar när vi använder matematiskt språk. Det är tydligt att bågen AK och längden på bågen AK är olika saker (det första konceptet är en geometrisk figur och det andra konceptet är ett tal). Men båda betecknas på samma sätt: AK. Dessutom, om punkterna A och K är förbundna med ett segment, betecknas både det resulterande segmentet och dess längd på samma sätt: AK. Det framgår vanligtvis av sammanhanget vilken innebörd som läggs på beteckningen (båge, båglängd, segment eller segmentlängd).

Därför kommer två layouter av nummercirkeln att vara mycket användbara för oss.

FÖRSTA LAYOUT
Var och en av de fyra fjärdedelarna av den numeriska cirkeln är uppdelad i två lika delar, och deras "namn" skrivs nära var och en av de åtta tillgängliga punkterna (bild 100).

ANDRA LAYOUT Var och en av de fyra fjärdedelarna av den numeriska cirkeln är uppdelad i tre lika delar, och deras "namn" skrivs nära var och en av de tolv tillgängliga punkterna (Fig. 101).

Observera att på båda layouterna kan vi tilldela andra "namn" till de givna punkterna.
Har du märkt att i alla analyserade exempel, bågarnas längder
uttryckt med några bråkdelar av talet n? Detta är inte förvånande: trots allt är längden på en enhetscirkel 2n, och om vi delar cirkeln eller dess fjärdedel i lika delar, får vi bågar vars längder uttrycks som bråkdelar av talet och. Och vad tror du, är det möjligt att hitta en sådan punkt E på enhetscirkeln att längden på bågen AE blir lika med 1? Låt oss gissa:

Genom att argumentera på ett liknande sätt drar vi slutsatsen att man på enhetscirkeln kan hitta både punkten Eg, för vilken AE, = 1, och punkten E2, för vilken AEg = 2, och punkten E3, för vilken AE3 = 3, och punkten E4, för vilken AE4 = 4, och punkt Eb, för vilken AEb = 5, och punkt E6, för vilken AE6 = 6. I fig. 102 (ungefär) är motsvarande punkter markerade (dettare, för orientering, är varje fjärdedel av enhetscirkeln uppdelad med streck i tre lika delar).

Exempel 4 Hitta på talcirkeln den punkt som motsvarar talet -7.

Vi behöver, med utgångspunkt från punkten A (0) och rör oss i negativ riktning (medurs), gå runt cirkelbanan av längd 7. Om vi ​​går igenom en cirkel får vi (ungefär) 6,28, vilket betyder att vi måste fortfarande gå (i samma riktning) en väg med längden 0,72. Vad är denna båge? Något mindre än en halv kvarts cirkel, d.v.s. dess längd är mindre än antal -.

Så, en numerisk cirkel, som en numerisk rät linje, motsvarar varje reellt tal en punkt (bara, naturligtvis, är det lättare att hitta det på en rät linje än på en cirkel). Men för en rak linje gäller också motsatsen: varje punkt motsvarar ett enda tal. För en numerisk cirkel är ett sådant påstående inte sant, vi har upprepade gånger övertygat oss själva om detta ovan. För en talcirkel är följande påstående sant.
Om punkten M i den numeriska cirkeln motsvarar talet I, så motsvarar den också numret på formen I + 2k, där k är vilket heltal som helst (k e 2).

Faktum är att 2n är längden på den numeriska (enhets)cirkeln och heltal |d| kan betraktas som antalet kompletta rundor av cirkeln i en eller annan riktning. Om till exempel k = 3 betyder det att vi gör tre varv av cirkeln i positiv riktning; om k \u003d -7 betyder det att vi gör sju (| k | \u003d | -71 \u003d 7) rundor av cirkeln i negativ riktning. Men om vi är vid punkten M(1), genom att göra mer | till | fulla cirklar kommer vi återigen att befinna oss vid punkten M.

A.G. Mordkovich Algebra årskurs 10

Lektionens innehåll lektionssammanfattning stödram lektionspresentation accelerativa metoder interaktiva tekniker Öva uppgifter och övningar självgranskning workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från elever Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder grafik, tabeller, scheman humor, anekdoter, skämt, serieliknelser, talesätt, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar chips för nyfikna spjälsängar läroböcker grundläggande och ytterligare ordlista med termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i lärobokens element av innovation i lektionen och ersätta föråldrad kunskap med nya Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året metodologiska rekommendationer för diskussionsprogrammet Integrerade lektioner

Gymnasieelever vet aldrig när de kan ha problem med sina studier. Svårigheter kan leverera vilket ämne som helst som studeras i skolan, allt från det ryska språket och slutar med livssäkerhet. En av de akademiska discipliner som regelbundet får skolbarn att svettas är algebra. Algebraisk vetenskap börjar terrorisera barnens sinnen från sjunde klass och fortsätter denna verksamhet under det tionde och elfte studieåret. Tonåringar kan göra sina liv enklare med hjälp av olika medel, som alltid inkluderar lösare.

Samling av GDZ för årskurserna 10-11 i algebra (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva) Detta är ett bra tillägg till huvudboken. Med hjälp av referensinformationen i den är eleven redo att lösa vilken övning som helst. Uppgifterna inkluderar följande ämnen:

• trigonometriska funktioner och ekvationer;
• logaritmer;
• grad.

De inlämnade svaren och kommentarerna har de nödvändiga författarens anteckningar som definitivt kommer att hjälpa barnet.

Varför behöver du en lösare

Publikationen ger alla elever möjlighet att arbeta igenom materialet på egen hand och vid missförstånd eller överhoppning av ett ämne kan de själva gå igenom det utan att kompromissa med kvaliteten. Dessutom låter referensdata dig effektivt förbereda dig för det kommande oberoende och kontrollarbetet. De mest nyfikna eleverna kan gå vidare i läroplanen, vilket i framtiden kommer att ha en positiv inverkan på tillägnandet av kunskap och en ökning av medelpoängen.

Förutom tionde- och elfteklassare Alimovs algebra för årskurs 10-11 föräldrar och lärare kan mycket väl använda det: för de förra kommer det att bli ett verktyg för att övervaka barnets kunskap, och för de senare kommer det att vara grunden för att utveckla sitt eget material och testuppgifter för klassrumsaktiviteter.

Hur samlingen fungerar

Resursen upprepar helt strukturen i läroboken. Inuti har användaren möjlighet att se svaren på 1624 övningar, samt uppgifterna i avsnittet "Kontrollera dig själv", uppdelat i tretton kapitel. Nycklarna finns tillgängliga dygnet runt, numret kan hittas genom sökfältet eller genom enkel navigering.