En av de mest kända exponentialfunktionerna i matematik är exponenten. Det representerar Euler-talet upphöjt till den specificerade styrkan. I Excel finns en separat operator som låter dig beräkna den. Låt oss se hur det kan användas i praktiken.

Exponenten är Eulertalet upphöjt till en given potens. Själva Euler-numret är ungefär 2,718281828. Ibland kallas det också för Napier-numret. Exponentfunktionen ser ut så här:

där e är Eulertalet och n är graden av höjning.

För att beräkna denna indikator i Excel används en separat operatör - EXP. Dessutom kan denna funktion visas som en graf. Vi kommer att prata om att arbeta med dessa verktyg vidare.

Metod 1: Beräkna exponenten genom att manuellt ange funktionen

EXP(tal)

Det vill säga, denna formel innehåller bara ett argument. Det är just den makt som Euler-talet måste höjas till. Detta argument kan antingen vara ett numeriskt värde eller en referens till en cell som innehåller en exponent.

Metod 2: Använda funktionsguiden

Även om syntaxen för att beräkna exponenten är extremt enkel, föredrar vissa användare att använda Funktionsguide. Låt oss titta på hur detta görs med ett exempel.

Om en cellreferens som innehåller en exponent används som argument, måste du placera markören i fältet "Antal" och välj helt enkelt den cellen på arket. Dess koordinater kommer omedelbart att visas i fältet. Efter detta, för att beräkna resultatet, klicka på knappen "OK".

Metod 3: plottning

Dessutom är det i Excel möjligt att konstruera en graf med de resultat som erhållits från beräkningen av exponenten som underlag. För att konstruera en graf måste arket redan ha beräknade värden för exponenten för olika potenser. De kan beräknas med någon av metoderna som beskrivs ovan.

Låt oss välja ett rektangulärt koordinatsystem på planet och plotta argumentets värden på abskissaxeln X, och på ordinatan - funktionens värden y = f(x).

Funktionsdiagram y = f(x)är mängden av alla punkter vars abskiss hör till funktionens definitionsdomän, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen.

Med andra ord, grafen för funktionen y = f (x) är mängden av alla punkter i planet, koordinater X, på som tillfredsställer förhållandet y = f(x).

I fig. 45 och 46 visar grafer över funktioner y = 2x + 1 Och y = x 2 - 2x.

Strängt taget bör man skilja mellan en graf för en funktion (vars exakta matematiska definition gavs ovan) och en ritad kurva, som alltid bara ger en mer eller mindre exakt skiss av grafen (och även då, som regel, inte hela grafen, utan bara dess del som ligger i de sista delarna av planet). I det följande kommer vi dock i allmänhet att säga "graf" snarare än "grafskiss."

Med hjälp av en graf kan du hitta värdet på en funktion vid en punkt. Nämligen om poängen x = a tillhör definitionsdomänen för funktionen y = f(x), sedan för att hitta numret fa)(dvs funktionsvärdena vid punkten x = a) bör du göra detta. Det är nödvändigt genom abskisspunkten x = a dra en rät linje parallell med ordinataaxeln; denna linje kommer att skära grafen för funktionen y = f(x) vid ett tillfälle; ordinatan för denna punkt kommer, i kraft av grafens definition, att vara lika med fa)(Fig. 47).

Till exempel för funktionen f(x) = x 2 - 2x med hjälp av grafen (fig. 46) hittar vi f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.

En funktionsgraf illustrerar tydligt beteendet och egenskaperna hos en funktion. Till exempel, från betraktande av fig. 46 är det tydligt att funktionen y = x 2 - 2x tar positiva värderingar när X< 0 och kl x > 2, negativ - vid 0< x < 2; наименьшее значение функция y = x 2 - 2x accepterar kl x = 1.

Att rita en funktion f(x) du måste hitta alla punkter i planet, koordinater X,på som uppfyller ekvationen y = f(x). I de flesta fall är detta omöjligt att göra, eftersom det finns ett oändligt antal sådana punkter. Därför är grafen för funktionen avbildad ungefär - med större eller mindre noggrannhet. Det enklaste är metoden att rita en graf med flera punkter. Den består i att argumentet X ge ett ändligt antal värden - säg x 1, x 2, x 3,..., x k och skapa en tabell som innehåller de valda funktionsvärdena.

Tabellen ser ut så här:

Efter att ha sammanställt en sådan tabell kan vi skissera flera punkter på grafen för funktionen y = f(x). När vi sedan förbinder dessa punkter med en jämn linje får vi en ungefärlig bild av funktionens graf y = f(x).

Det bör dock noteras att flerpunktsritningsmetoden är mycket opålitlig. Faktum är att grafens beteende mellan de avsedda punkterna och dess beteende utanför segmentet mellan de tagna extrempunkterna förblir okänt.

Exempel 1. Att rita en funktion y = f(x) någon kompilerade en tabell med argument och funktionsvärden:

Motsvarande fem punkter visas i fig. 48.

Baserat på placeringen av dessa punkter drog han slutsatsen att grafen för funktionen är en rät linje (visas i fig. 48 med en prickad linje). Kan denna slutsats anses tillförlitlig? Om det inte finns ytterligare överväganden som stödjer denna slutsats kan den knappast anses tillförlitlig. pålitlig.

För att underbygga vårt påstående, överväg funktionen

.

Beräkningar visar att värdena för denna funktion vid punkterna -2, -1, 0, 1, 2 beskrivs exakt av tabellen ovan. Emellertid är grafen för denna funktion inte alls en rät linje (den visas i fig. 49). Ett annat exempel skulle vara funktionen y = x + l + sinπx; dess betydelser beskrivs också i tabellen ovan.

Dessa exempel visar att metoden att konstruera en graf med flera punkter i sin "rena" form är opålitlig. För att plotta en graf för en given funktion, fortsätt därför som regel enligt följande. Först studeras egenskaperna för denna funktion, med hjälp av vilken du kan bygga en skiss av grafen. Sedan, genom att beräkna värdena för funktionen vid flera punkter (vilket val beror på funktionens etablerade egenskaper), hittas motsvarande punkter i grafen. Och slutligen ritas en kurva genom de konstruerade punkterna med hjälp av egenskaperna för denna funktion.

Vi kommer att titta på några (de enklaste och mest använda) egenskaperna hos funktioner som används för att hitta en grafskiss senare, men nu ska vi titta på några vanliga metoder för att konstruera grafer.

Graf för funktionen y = |f(x)|.

Det är ofta nödvändigt att rita en funktion y = |f(x)|, var f(x) - given funktion. Låt oss påminna dig om hur detta går till. Genom att definiera ett tals absoluta värde kan vi skriva

Det betyder att grafen för funktionen y =|f(x)| kan erhållas från grafen, funktion y = f(x) enligt följande: alla punkter på grafen för funktionen y = f(x), vars ordinater är icke-negativa, bör lämnas oförändrade; vidare, istället för punkterna i funktionsgrafen y = f(x) med negativa koordinater bör du konstruera motsvarande punkter på grafen för funktionen y = -f(x)(dvs en del av grafen för funktionen
y = f(x), som ligger under axeln X, ska reflekteras symmetriskt kring axeln X).

Exempel 2. Plotta funktionen y = |x|.

Låt oss ta grafen för funktionen y = x(Fig. 50, a) och en del av denna graf vid X< 0 (som ligger under axeln X) symmetriskt reflekterat i förhållande till axeln X. Som ett resultat får vi en graf över funktionen y = |x|(Fig. 50, b).

Exempel 3. Plotta funktionen y = |x 2 - 2x|.

Låt oss först plotta funktionen y = x 2 - 2x. Grafen för denna funktion är en parabel, vars grenar är riktade uppåt, parabelns vertex har koordinater (1; -1), dess graf skär x-axeln i punkterna 0 och 2. I intervallet (0; 2) funktionen tar negativa värden, därför reflekteras denna del av grafen symmetriskt i förhållande till abskissaxeln. Figur 51 visar grafen för funktionen y = |x 2 -2x|, baserat på grafen för funktionen y = x 2 - 2x

Graf för funktionen y = f(x) + g(x)

Tänk på problemet med att konstruera en graf för en funktion y = f(x) + g(x). om funktionsgrafer ges y = f(x) Och y = g(x).

Observera att definitionsdomänen för funktionen y = |f(x) + g(x)| är mängden av alla de värden av x för vilka båda funktionerna y = f(x) och y = g(x) är definierade, dvs. denna definitionsdomän är skärningspunkten mellan definitionsdomänerna, funktioner f(x) och g(x).

Låt poängen (x 0 , y 1) Och (x 0, y 2) tillhör graferna för funktioner y = f(x) Och y = g(x), dvs. y 1 = f(x 0), y2 = g(x 0). Då hör punkten (x0;. y1 + y2) till grafen för funktionen y = f(x) + g(x)(för f(x 0) + g(x 0) = y 1 +y2),. och valfri punkt på grafen för funktionen y = f(x) + g(x) kan erhållas på detta sätt. Därför grafen för funktionen y = f(x) + g(x) kan erhållas från funktionsdiagram y = f(x). Och y = g(x) ersätter varje punkt ( x n, y 1) funktionsgrafik y = f(x) punkt (x n, y 1 + y 2), Där y2 = g(x n), dvs genom att flytta varje punkt ( x n, y 1) funktionsdiagram y = f(x) längs axeln på med beloppet y 1 = g(x n). I det här fallet beaktas endast sådana punkter X n för vilken båda funktionerna är definierade y = f(x) Och y = g(x).

Denna metod för att plotta en funktion y = f(x) + g(x) kallas addition av funktionsgrafer y = f(x) Och y = g(x)

Exempel 4. I figuren konstruerades en graf över funktionen med metoden att lägga till grafer
y = x + sinx.

När du ritar en funktion y = x + sinx det trodde vi f(x) = x, A g(x) = sinx. För att plotta funktionsgrafen väljer vi punkter med abskissorna -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Värden f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx Låt oss beräkna på de valda punkterna och placera resultaten i tabellen.

1. Linjär bråkdelfunktion och dess graf

En funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom, kallas en rationell bråkfunktion.

Med konceptet rationella tal ni känner säkert varandra redan. Likaledes rationella funktionerär funktioner som kan representeras som kvoten av två polynom.

Om en bråkrationell funktion är kvoten av två linjära funktioner - polynom av första graden, d.v.s. formens funktion

y = (ax + b) / (cx + d), då kallas det fraktionell linjär.

Observera att i funktionen y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (annars blir funktionen linjär y = ax/d + b/d) och att a/c ≠ b/d (annars funktionen är konstant). Den linjära bråkfunktionen definieras för alla reella tal utom x = -d/c. Grafer för linjära bråkfunktioner skiljer sig inte i form från grafen y = 1/x du vet. En kurva som är en graf över funktionen y = 1/x kallas överdrift. Med en obegränsad ökning av x absolut värde funktionen y = 1/x minskar obegränsat i absolut värde och båda grenarna av grafen närmar sig x-axeln: den högra närmar sig ovanifrån och den vänstra underifrån. Linjerna som grenarna av en hyperbel närmar sig kallas dess asymptoter.

Exempel 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Lösning.

Låt oss välja hela delen: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: skift med 3 enhetssegment åt höger, sträcker sig längs Oy-axeln 7 gånger och skiftar med 2 enhetssegment uppåt.

Vilken bråkdel som helst y = (ax + b) / (cx + d) kan skrivas på liknande sätt och markerar "hela delen". Följaktligen är graferna för alla linjära bråkfunktioner hyperboler, förskjutna på olika sätt längs koordinataxlarna och sträckta längs Oy-axeln.

För att konstruera en graf av en godtycklig bråk-linjär funktion är det inte alls nödvändigt att transformera bråket som definierar denna funktion. Eftersom vi vet att grafen är en hyperbel kommer det att räcka med att hitta de raka linjer som dess grenar närmar sig - hyperbelns asymptoter x = -d/c och y = a/c.

Exempel 2.

Hitta asymptoterna i grafen för funktionen y = (3x + 5)/(2x + 2).

Lösning.

Funktionen är inte definierad, vid x = -1. Detta betyder att den räta linjen x = -1 fungerar som en vertikal asymptot. För att hitta den horisontella asymptoten, låt oss ta reda på vad värdena för funktionen y(x) närmar sig när argumentet x ökar i absolut värde.

För att göra detta, dividera täljaren och nämnaren för bråket med x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Som x → ∞ tenderar bråket till 3/2. Detta betyder att den horisontella asymptoten är den räta linjen y = 3/2.

Exempel 3.

Rita funktionen y = (2x + 1)/(x + 1).

Lösning.

Låt oss välja "hela delen" av bråkdelen:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: en förskjutning med 1 enhet åt vänster, en symmetrisk visning med avseende på Ox och en förskjutning med 2 enhetssegment upp längs Oy-axeln.

Domän D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Värdeintervall E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Skärningspunkter med axlar: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktionen ökar vid varje intervall i definitionsdomänen.

Svar: Bild 1.

2. Bråkdel rationell funktion

Betrakta en bråk-rationell funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom med högre grad än först.

Exempel på sådana rationella funktioner:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) eller y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Om funktionen y = P(x) / Q(x) representerar kvoten av två polynom med högre grad än den första, så kommer dess graf som regel att vara mer komplex, och det kan ibland vara svårt att konstruera den exakt , med alla detaljer. Det räcker dock ofta med att använda tekniker som liknar dem vi redan har introducerat ovan.

Låt bråket vara ett egentligt bråk (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+

+ (M1x + N1) / (x2 +ptx + qt) ml + …+ (Mmlx + Nml) / (x2 +ptx + qt).

Uppenbarligen kan grafen för en rationell bråkfunktion erhållas som summan av grafer för elementära bråk.

Rita grafer över bråkdelar rationella funktioner

Låt oss överväga flera sätt att konstruera grafer för en rationell bråkfunktion.

Exempel 4.

Rita grafen för funktionen y = 1/x 2 .

Lösning.

Vi använder grafen för funktionen y = x 2 för att konstruera en graf av y = 1/x 2 och använder tekniken att "dela" graferna.

Domän D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Värdeintervall E(y) = (0; +∞).

Det finns inga skärningspunkter med axlarna. Funktionen är jämn. Ökar för alla x från intervallet (-∞; 0), minskar för x från 0 till +∞.

Svar: Bild 2.

Exempel 5.

Rita funktionen y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Lösning.

Domän D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Här använde vi tekniken faktorisering, reduktion och reduktion till en linjär funktion.

Svar: Bild 3.

Exempel 6.

Rita funktionen y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Lösning.

Definitionsdomänen är D(y) = R. Eftersom funktionen är jämn är grafen symmetrisk kring ordinatan. Innan vi bygger en graf, låt oss omvandla uttrycket igen och markera hela delen:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Observera att isolering av heltalsdelen i formeln för en rationell bråkfunktion är en av de viktigaste när du konstruerar grafer.

Om x → ±∞, då y → 1, dvs. linjen y = 1 är horisontell asymptot.

Svar: Bild 4.

Exempel 7.

Låt oss betrakta funktionen y = x/(x 2 + 1) och försöka hitta dess största värde, dvs. mest höjdpunkt högra halvan av grafen. För att korrekt konstruera denna graf räcker inte dagens kunskap. Uppenbarligen kan vår kurva inte "stiga" särskilt högt, eftersom nämnaren börjar snabbt "överta" täljaren. Låt oss se om värdet på funktionen kan vara lika med 1. För att göra detta måste vi lösa ekvationen x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Denna ekvation har inga reella rötter. Det betyder att vårt antagande är felaktigt. För att hitta det mesta stort värde funktion måste du ta reda på vid vilken störst A ekvationen A = x/(x 2 + 1) kommer att ha en lösning. Låt oss ersätta den ursprungliga ekvationen med en kvadratisk: Аx 2 – x + А = 0. Denna ekvation har en lösning när 1 – 4А 2 ≥ 0. Härifrån finner vi högsta värde A = 1/2.

Svar: Figur 5, max y(x) = ½.

Har du fortfarande frågor? Vet du inte hur man plottar funktioner?
För att få hjälp av en handledare, registrera dig.
Första lektionen är gratis!

webbplats, vid kopiering av material helt eller delvis krävs en länk till originalkällan.

y (x) = e x, vars derivata är lika med själva funktionen.

Exponenten betecknas som , eller .

Nummer e

Grunden för exponentgraden är nummer e. Detta är ett irrationellt tal. Det är ungefär lika
e ≈ 2,718281828459045...

Antalet e bestäms genom sekvensens gräns. Detta är den så kallade andra underbara gränsen:
.

Siffran e kan också representeras som en serie:
.

Exponentiell graf

Exponentiell graf, y = e x .

Grafen visar exponenten e till en viss grad X.
y (x) = e x
Grafen visar att exponenten ökar monotont.

Formler

Grundformlerna är desamma som för exponentiell funktion med maktbas e.

;
;
;

Uttryck av en exponentiell funktion med en godtycklig bas av grad a till en exponential:
.

Privata värderingar

Låt y (x) = e x.
.

Sedan

Exponentegenskaper e > 1 .

Exponenten har egenskaperna hos en exponentialfunktion med en potensbas

Domän, uppsättning värden (x) = e x Exponent y
definieras för alla x.
- ∞ < x + ∞ .
Dess definitionsområde:
0 < y < + ∞ .

Dess många betydelser:

Extremer, ökar, minskar

Exponentialen är en monotont ökande funktion, så den har inga extrema. Dess huvudsakliga egenskaper presenteras i tabellen.

Omvänd funktion
;
.

Inversen av exponenten är den naturliga logaritmen.

Exponentens derivata e till en viss grad X Derivat e till en viss grad X :
.
lika med
.
Derivata av n:e ordningen:

Härleda formler > > >

Väsentlig

Komplexa siffror Åtgärder med komplexa tal utförs med hjälp av:
,
Eulers formler
.

var är den imaginära enheten:

; ;
.

Uttryck som använder trigonometriska funktioner

; ;
;
.

Power serie expansion

Använd litteratur:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter, "Lan", 2009.

Given metodiskt material bär referens tecken och relaterar till ett brett spektrum av ämnen. Artikeln ger en översikt över grafer över grundläggande elementära funktioner och diskuterar den viktigaste frågan – hur man bygger en graf korrekt och SNABBT. När man studerar högre matematik utan kunskap om graferna för grundläggande elementära funktioner kommer det att vara svårt, så det är mycket viktigt att komma ihåg hur graferna för en parabel, hyperbel, sinus, cosinus etc. ser ut, och komma ihåg några av funktionernas betydelser. Vi kommer också att prata om några egenskaper hos huvudfunktionerna.

Jag hävdar inte att materialet är fullständigt och vetenskapligt noggrant, tyngdpunkten kommer först och främst att läggas på praktiken - de saker som man möter bokstavligen vid varje steg, i vilket ämne som helst inom högre matematik. Diagram för dummies? Man skulle kunna säga så.

På grund av många förfrågningar från läsare klickbar innehållsförteckning:

Dessutom finns det en ultrakort synopsis om ämnet
– bemästra 16 typer av diagram genom att studera SEX sidor!

Seriöst, sex, till och med jag blev förvånad. Denna sammanfattning innehåller förbättrad grafik och är tillgänglig för en nominell avgift. En demoversion kan ses. Det är bekvämt att skriva ut filen så att graferna alltid finns till hands. Tack för att du stöttar projektet!

Och låt oss börja genast:

Hur konstruerar man koordinataxlar korrekt?

I praktiken genomförs prov nästan alltid av elever i separata anteckningsböcker, kantade i en kvadrat. Varför behöver du rutiga markeringar? När allt kommer omkring kan arbetet i princip utföras på A4-ark. Och buren är nödvändig bara för högkvalitativ och korrekt design av ritningar.

Varje ritning av en funktionsgraf börjar med koordinataxlar.

Ritningar kan vara tvådimensionella eller tredimensionella.

Låt oss först överväga det tvådimensionella fallet Kartesiskt rektangulärt koordinatsystem:

1) Rita koordinataxlar. Axeln kallas x-axeln , och axeln är y-axeln . Vi försöker alltid rita dem snyggt och inte krokigt. Pilarna ska inte heller likna Papa Carlos skägg.

2) Märk axlarna med versaler"X" och "Y". Glöm inte att märka yxorna.

3) Ställ in skalan längs axlarna: rita en nolla och två ettor. När du gör en ritning är den mest bekväma och mest använda skalan: 1 enhet = 2 celler (ritning till vänster) - om möjligt, håll dig till den. Men då och då händer det att ritningen inte får plats på anteckningsboken - då minskar vi skalan: 1 enhet = 1 cell (ritning till höger). Det är sällsynt, men det händer att skalan på ritningen måste minskas (eller ökas) ännu mer

Det finns INGET BEHOV av att "kulspruta" …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. För koordinatplanär inte ett monument över Descartes, och studenten är inte en duva. Vi lägger noll Och två enheter längs axlarna. Ibland i stället för enheter är det bekvämt att "markera" andra värden, till exempel "två" på abskissaxeln och "tre" på ordinataaxeln - och detta system (0, 2 och 3) kommer också unikt att definiera koordinatnätet.

Det är bättre att uppskatta de uppskattade dimensionerna på ritningen INNAN du konstruerar ritningen. Så, till exempel, om uppgiften kräver att rita en triangel med hörn , , , så är det helt klart att den populära skalan på 1 enhet = 2 celler inte kommer att fungera. Varför? Låt oss titta på poängen - här måste du mäta femton centimeter ner, och uppenbarligen kommer ritningen inte att passa (eller knappt passa) på ett anteckningsblock. Därför väljer vi omedelbart en mindre skala: 1 enhet = 1 cell.

Förresten, ungefär centimeter och anteckningsbokceller. Är det sant att 30 bärbara celler innehåller 15 centimeter? För skojs skull mäter du 15 centimeter i din anteckningsbok med en linjal. I Sovjetunionen kan detta ha varit sant... Det är intressant att notera att om du mäter samma centimeter horisontellt och vertikalt kommer resultaten (i cellerna) att bli annorlunda! Strängt taget är moderna anteckningsböcker inte rutiga, utan rektangulära. Detta kan verka nonsens, men att rita till exempel en cirkel med en kompass i sådana situationer är väldigt obekvämt. För att vara ärlig, i sådana ögonblick börjar du tänka på riktigheten av kamrat Stalin, som skickades till läger för hackarbete i produktionen, för att inte tala om den inhemska bilindustrin, fallande flygplan eller exploderande kraftverk.

På tal om kvalitet, eller en kort rekommendation om pappersvaror. Idag är de flesta bärbara datorer som säljs minst sagt kompletta skit. Av den anledningen att de blir blöta, och inte bara från gelpennor, utan även från kulspetspennor! De sparar pengar på papper. För registrering tester Jag rekommenderar att du använder anteckningsböcker från arkhangelsk massa- och pappersbruk (18 ark, fyrkantiga) eller "Pyaterochka", även om det är dyrare. Det är lämpligt att välja en gelpenna, även den billigaste kinesiska gelpåfyllningen är mycket bättre än en kulspetspenna, som antingen kladdar eller sliter sönder papperet. Den enda "konkurrenskraftiga" kulspetspenna jag kan minnas är Erich Krause. Hon skriver tydligt, vackert och konsekvent – ​​vare sig det är med en hel kärna eller med en nästan tom.

Dessutom: Synen av ett rektangulärt koordinatsystem genom analytisk geometris ögon behandlas i artikeln Linjärt (icke) beroende av vektorer. Grund för vektorer, detaljerad information om koordinatkvarter finns i lektionens andra stycke Linjära ojämlikheter.

3D-fodral

Det är nästan likadant här.

1) Rita koordinataxlar. Standard: axeltillämpning – riktad uppåt, axel – riktad åt höger, axel – riktad nedåt åt vänster strikt i en vinkel på 45 grader.

2) Märk axlarna.

3) Ställ in skalan längs axlarna. Skalan längs axeln är två gånger mindre än skalan längs de andra axlarna. Observera också att jag i den högra ritningen använde ett icke-standardiserat "skåra" längs axeln (denna möjlighet har redan nämnts ovan). Ur min synvinkel är detta mer exakt, snabbare och mer estetiskt tilltalande - det finns ingen anledning att leta efter mitten av cellen under ett mikroskop och "skulptera" en enhet nära ursprunget för koordinater.

När du gör en 3D-ritning, återigen, prioritera skalan
1 enhet = 2 celler (ritning till vänster).

Vad är alla dessa regler för? Regler är gjorda för att brytas. Det är vad jag ska göra nu. Faktum är att efterföljande ritningar av artikeln kommer att göras av mig i Excel, och koordinataxlarna kommer att se felaktiga ut ur synvinkeln av korrekt design. Jag skulle kunna rita alla grafer för hand, men det är faktiskt läskigt att rita dem eftersom Excel är ovilliga att rita dem mycket mer exakt.

Grafer och grundläggande egenskaper för elementära funktioner

Linjär funktion ges av ekvationen. Grafen för linjära funktioner är direkt. För att konstruera en rät linje räcker det att känna till två punkter.

Exempel 1

Konstruera en graf över funktionen. Låt oss hitta två punkter. Det är fördelaktigt att välja noll som en av punkterna.

Om, då

Låt oss ta en annan punkt, till exempel 1.

Om, då

När du slutför uppgifter sammanfattas vanligtvis punkternas koordinater i en tabell:

Och själva värdena beräknas muntligt eller på ett utkast, en miniräknare.

Två punkter har hittats, låt oss göra en ritning:

När vi förbereder en ritning signerar vi alltid grafiken.

Det skulle vara användbart att komma ihåg speciella fall av en linjär funktion:

Lägg märke till hur jag placerade signaturerna, signaturer bör inte tillåta avvikelser när man studerar ritningen. I det här fallet var det ytterst oönskat att sätta en signatur bredvid linjernas skärningspunkt, eller längst ner till höger mellan graferna.

1) En linjär funktion av formen () kallas direkt proportionalitet. Till exempel. En direkt proportionalitetsgraf går alltid genom origo. Således är det förenklat att konstruera en rak linje - det räcker att bara hitta en punkt.

2) En ekvation av formen anger en rät linje parallell med axeln, i synnerhet axeln själv ges av ekvationen. Grafen för funktionen ritas omedelbart, utan att hitta några punkter. Det vill säga, posten ska förstås på följande sätt: "y är alltid lika med -4, för vilket värde som helst på x."

3) En ekvation av formen anger en rät linje parallell med axeln, i synnerhet axeln själv ges av ekvationen. Grafen för funktionen ritas också omedelbart. Posten ska förstås på följande sätt: "x är alltid, för alla värden på y, lika med 1."

Vissa kommer att fråga, varför komma ihåg 6:e klass?! Det är så det är, kanske är det så, men under årens övning har jag mött ett drygt dussin elever som blivit förbryllade över uppgiften att konstruera en graf som eller.

Att konstruera en rak linje är den vanligaste åtgärden när man gör ritningar.

Den räta linjen diskuteras i detalj under analytisk geometri, och intresserade kan hänvisa till artikeln Ekvation för en rät linje på ett plan.

Graf för en kvadratisk, kubisk funktion, graf för ett polynom

Parabel. Graf över en kvadratisk funktion () representerar en parabel. Tänk på det berömda fallet:

Låt oss komma ihåg några egenskaper hos funktionen.

Så, lösningen på vår ekvation: – det är vid denna punkt som parabelns vertex är belägen. Varför det är så kan hittas i den teoretiska artikeln om derivatan och lektionen om funktionens extrema. Under tiden, låt oss beräkna motsvarande värde på "Y":

Således är spetsen vid punkten

Nu hittar vi andra punkter, samtidigt som vi fräckt använder parabelns symmetri. Det bör noteras att funktionen – är inte ens, men ändå upphävde ingen parabelns symmetri.

I vilken ordning man hittar de återstående poängen tror jag att det kommer att framgå av finalbordet:

Denna konstruktionsalgoritm kan figurativt kallas en "skyttel" eller "fram och tillbaka"-principen med Anfisa Chekhova.

Låt oss göra ritningen:

Från de undersökta graferna kommer en annan användbar funktion att tänka på:

För en kvadratisk funktion () följande är sant:

Om , då är parabelns grenar riktade uppåt.

Om , då är parabelns grenar riktade nedåt.

Fördjupade kunskaper om kurvan kan fås i lektionen Hyperbel och parabel.

En kubisk parabel ges av funktionen. Här är en teckning bekant från skolan:

Låt oss lista funktionens huvudegenskaper

Graf över en funktion

Den representerar en av grenarna av en parabel. Låt oss göra ritningen:

Funktionens huvudsakliga egenskaper:

I det här fallet är axeln vertikal asymptot för grafen för en hyperbel vid .

Det skulle vara ett GROV misstag om man, när man ritar en ritning, slarvigt låter grafen skära en asymptot.

Också ensidiga gränser säger oss att hyperbeln inte begränsat från ovan Och inte begränsat underifrån.

Låt oss undersöka funktionen i oändligheten: , det vill säga om vi börjar röra oss längs axeln till vänster (eller höger) till oändligheten, kommer "spelen" att vara ett ordnat steg oändligt nära närmar sig noll, och följaktligen grenarna av hyperbeln oändligt nära närma sig axeln.

Så är axeln horisontell asymptot för grafen för en funktion, om "x" tenderar till plus eller minus oändlighet.

Funktionen är udda, och därför är hyperbeln symmetrisk om ursprunget. Detta faktum är uppenbart från ritningen, dessutom är det lätt verifierat analytiskt: .

Grafen för en funktion av formen () representerar två grenar av en hyperbel.

Om , då är hyperbeln belägen i första och tredje koordinatkvarten(se bilden ovan).

Om , då är hyperbeln belägen i andra och fjärde koordinatkvarten.

Det angivna mönstret för hyperbelresidens är lätt att analysera ur synvinkeln av geometriska transformationer av grafer.

Exempel 3

Konstruera den högra grenen av hyperbeln

Vi använder den punktvisa konstruktionsmetoden och det är fördelaktigt att välja värdena så att de är delbara med en helhet:

Låt oss göra ritningen:

Det kommer inte att vara svårt att konstruera den vänstra grenen av hyperbeln. Grovt sett, i tabellen över punktvis konstruktion, lägger vi mentalt till ett minus till varje nummer, sätter motsvarande punkter och ritar den andra grenen.

Detaljerad geometrisk information om den aktuella linjen finns i artikeln Hyperbel och parabel.

Graf över en exponentiell funktion

I det här avsnittet kommer jag omedelbart att överväga den exponentiella funktionen, eftersom det i problem med högre matematik i 95% av fallen är exponentialen som dyker upp.

Låt mig påminna dig om att detta är ett irrationellt tal: , detta kommer att krävas när du konstruerar en graf, som jag faktiskt kommer att bygga utan ceremoni. Tre poäng, det kanske räcker:

Låt oss lämna grafen för funktionen i fred för nu, mer om den senare.

Funktionens huvudsakliga egenskaper:

Funktionsgrafer etc. ser i grunden likadana ut.

Jag måste säga att det andra fallet förekommer mindre ofta i praktiken, men det förekommer, så jag ansåg det nödvändigt att inkludera det i den här artikeln.

Graf över en logaritmisk funktion

Överväg en funktion med naturlig logaritm.
Låt oss göra en punkt-för-punkt-ritning:

Om du har glömt vad en logaritm är, se dina skolböcker.

Funktionens huvudsakliga egenskaper:

Definitionsdomän:

Värdeintervall: .

Funktionen är inte begränsad från ovan: , om än långsamt, men grenen av logaritmen går upp till oändligheten.
Låt oss undersöka beteendet för funktionen nära noll till höger: . Så är axeln vertikal asymptot för grafen för en funktion som "x" tenderar till noll från höger.

Det är absolut nödvändigt att känna till och komma ihåg det typiska värdet för logaritmen: .

Grafen för logaritmen vid basen ser i grunden likadan ut: , , ( decimal logaritm till bas 10), etc. Dessutom, ju större basen är, desto plattare blir grafen.

Vi kommer inte att överväga fallet; jag kommer inte ihåg när jag senast byggde en graf med en sådan grund. Och logaritmen verkar vara en mycket sällsynt gäst i problem av högre matematik.

I slutet av detta stycke kommer jag att säga ytterligare ett faktum: Exponentialfunktion och logaritmisk funktion– de två är ömsesidiga omvända funktioner . Om du tittar noga på grafen för logaritmen kan du se att detta är samma exponent, den är bara placerad lite annorlunda.

Grafer över trigonometriska funktioner

Var börjar trigonometrisk plåga i skolan? Rätt. Från sinus

Låt oss plotta funktionen

Denna linje kallas sinusformad.

Låt mig påminna dig om att "pi" är ett irrationellt tal: , och i trigonometri får det dina ögon att blända.

Funktionens huvudsakliga egenskaper:

Denna funktion är periodisk med period. Vad betyder det? Låt oss titta på segmentet. Till vänster och höger om den upprepas exakt samma del av grafen i det oändliga.

Definitionsdomän: , det vill säga för alla värden på "x" finns ett sinusvärde.

Värdeintervall: . Funktionen är begränsad: , det vill säga alla "spel" sitter strikt i segmentet .
Detta händer inte: eller, mer exakt, det händer, men dessa ekvationer har ingen lösning.