En kropps rörelse längs ett lutande plan är ett klassiskt exempel på en kropps rörelse under inverkan av flera icke-samriktningskrafter. Standardmetoden för att lösa problem med denna typ av rörelse är att expandera vektorerna för alla krafter till komponenter riktade längs koordinataxlarna. Sådana komponenter är linjärt oberoende. Detta gör att man kan skriva ner Newtons andra lag för komponenterna längs varje axel separat. Således förvandlas Newtons andra lag, som är en vektorekvation, till ett system av två (tre för ett tredimensionellt fall) algebraiska ekvationer.

Krafterna som verkar på blocket
vid accelererad nedåtgående rörelse

Tänk på en kropp som glider nedför ett lutande plan. I det här fallet verkar följande krafter på den:

• Allvar m g , riktad vertikalt nedåt;
• Stöd reaktionskraften N , riktad vinkelrätt mot planet;
• glidande friktionskraft F tr, riktad motsatt hastigheten (upp längs det lutande planet när kroppen slirar)

När man löser problem som involverar ett lutande plan är det ofta bekvämt att införa ett lutande koordinatsystem, vars OX-axel är riktad nedåt längs planet. Detta är bekvämt, för i det här fallet måste bara en vektor brytas ner i komponenter - gravitationsvektorn m g , och friktionskraftsvektorerna F tr och stödja reaktionskrafter N redan riktad längs axlarna. Med denna expansion är tyngdkraftens x-komponent lika med mg synd( α ) och motsvarar den "dragkraft" som är ansvarig för den accelererade nedåtgående rörelsen, och y-komponenten - mg för( α ) = N balanserar stödets reaktionskraft, eftersom det inte finns någon kroppsrörelse längs OY-axeln.
glidande friktionskraft F tr = µN proportionell mot stödets reaktionskraft. Detta gör att vi kan få följande uttryck för friktionskraften: F tr = mmg för( α ). Denna kraft är motsatt till gravitationens "dragande" komponent. Därför, för kroppen glider ner , får vi uttrycken för den totala resulterande kraften och accelerationen:

F x= mg(synd( α ) – µ för( α ));
a x= g(synd( α ) – µ för( α )).

Det är inte svårt att se att om µ < tg(α ), då har uttrycket ett positivt tecken och vi har att göra med en likformigt accelererad rörelse nedför det lutande planet. Om µ >tg( α ), då kommer accelerationen att ha ett negativt tecken och rörelsen blir lika långsam. Sådan rörelse är möjlig endast om kroppen ges en initial hastighet nedför sluttningen. I det här fallet kommer kroppen gradvis att sluta. Om, med förbehåll för µ >tg( α ) objektet är initialt i vila, sedan kommer det inte att börja glida ner. Här kommer den statiska friktionskraften att helt kompensera för den "dragande" komponenten av gravitationen.

När friktionskoefficienten är exakt lika med tangenten för planets lutningsvinkel: µ = tg( α ), vi har att göra med ömsesidig kompensation för alla tre krafterna. I detta fall, enligt Newtons första lag, kan kroppen antingen vara i vila eller röra sig med konstant hastighet (I detta fall är enhetlig rörelse endast möjlig nedåt).

Krafterna som verkar på blocket
glida på ett lutande plan:
upp slow motion-fodral

Kroppen kan dock även driva upp det lutande planet. Ett exempel på en sådan rörelse är rörelsen av en hockeypuck uppför en isrutschbana. När en kropp rör sig uppåt riktas både friktionskraften och den "dragande" komponenten av gravitationen nedåt längs ett lutande plan. I det här fallet har vi alltid att göra med lika långsam rörelse, eftersom den totala kraften är riktad i motsatt riktning mot hastigheten. Uttrycket för accelerationen för denna situation erhålls på liknande sätt och skiljer sig endast i tecken. Så för kroppen glider uppför ett lutande plan , vi har.

Ett lutande plan är en plan yta i någon vinkel mot horisontalplanet. Det gör att du kan lyfta lasten med mindre kraft än om denna last lyfts vertikalt uppåt. På ett lutande plan stiger lasten längs detta plan. Samtidigt övervinner han ett större avstånd än om han höjde sig vertikalt.

Anteckning 1

Dessutom, hur många gånger det finns en vinst i styrka, så många gånger blir avståndet som belastningen kommer att övervinna större.

Figur 1. Lutande plan

Om höjden till vilken lasten måste lyftas är lika med $h$, och därmed kraften $F_h$ skulle förbrukas, och längden på det lutande planet är $l$, och kraften $F_l$ förbrukas, då $l$ är relaterat till $h $ som $F_h$ är relaterat till $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Däremot är $F_h$ vikten av lasten ($P$). Därför brukar det skrivas så här: $l/h = P/F$, där $F$ är kraften som lyfter lasten.

Mängden kraft $F$ som måste appliceras på en vikt $P$ för att kroppen ska vara i jämvikt på ett lutande plan är lika med $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ om kraften $P$ appliceras parallellt med det lutande planet (Fig.2, a), och $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, om $Р$-kraften appliceras parallellt till basen av det lutande planet (Fig.2, b).

Figur 2. Belastningsrörelse på ett lutande plan

a) kraften är parallell med planet b) kraften är parallell med basen

Det lutande planet ger en styrka, med dess hjälp är det lättare att lyfta lasten till en höjd. Ju mindre vinkeln $\alpha $, desto större blir styrkan. Om vinkeln $\alpha $ är mindre än friktionsvinkeln, kommer lasten inte att röra sig spontant, och det krävs en ansträngning för att dra ner den.

Om vi ​​tar hänsyn till friktionskrafterna mellan lasten och det lutande planet, erhålls följande värden för $F_1$ och $F_2$: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf \varphi )$) /cos$(\mathbf \varphi )$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)

Plustecknet syftar på att flytta uppåt, minustecknet för att sänka lasten. Verkningsgrad för lutande plan $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$ ) om kraften $P$ är riktad parallellt med planet, och $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) om kraften $P$ är riktad parallellt med basen av det lutande planet.

Det lutande planet lyder "mekanikens gyllene regel". Ju mindre vinkeln är mellan ytan och det lutande planet (dvs. ju plattare den är, inte stiger brant), desto mindre kraft måste anbringas för att lyfta lasten, men desto större avstånd måste övervinnas.

I frånvaro av friktionskrafter är förstärkningen $K = P/F = 1/sin$$\alpha = l/h$. Under verkliga förhållanden, på grund av friktionskraftens verkan, är effektiviteten hos det lutande planet mindre än 1, förstärkningen i kraft är mindre än förhållandet $l/h$.

Exempel 1

En last som väger 40 kg lyfts längs ett lutande plan till en höjd av 10 m med en kraft på 200 N (fig. 3). Vad är längden på det lutande planet? Ignorera friktion.

$(\mathbf \eta )$ = 1

När en kropp rör sig längs ett lutande plan är förhållandet mellan den applicerade kraften och kroppens vikt lika med förhållandet mellan längden på det lutande planet och dess höjd: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\ mathbf \alpha )\ ))$. Därför $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\m$.

Svar: Längden på det lutande planet är 5,1 m

Exempel 2

Två kroppar med massorna $m_1$ = 10 g och $m_2$ = 15 g är förbundna med en gänga som kastas över ett fast block installerat på ett lutande plan (fig. 4). Planet bildar en vinkel $\alpha $ = 30$()^\circ$ med horisonten. Hitta accelerationen med vilken dessa kroppar kommer att röra sig.

$(\mathbf \alpha )$ = 30 grader

$g$ = 9,8 $m/s_2$

Låt oss rikta OX-axeln längs det lutande planet, och OY-axeln vinkelrät mot det, och projicera vektorerna $\ (\overrightarrow(Р))_1\ och\ (\overrightarrow(Р))_2$ på dessa axlar. Som framgår av figuren är resultanten av de krafter som appliceras på var och en av kropparna lika med skillnaden mellan projektionerna av vektorerna $\ (\overrightarrow(P))_1\ (\overrightarrow(P)) _2$ på OX-axeln:

\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\right |=g(sin \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sin 30()^\circ \ )\cdot \ vänster|0,015-0,01\höger|=0,0245\ H\] \

Svar: Accelerationer av kroppar $a_1=2.45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1.63\ m/s^2$

Förutom spaken och blocket inkluderar enkla mekanismer också ett lutande plan och dess varianter: en kil och en skruv.

LUTANDE PLAN

Ett lutande plan används för att flytta tunga föremål till en högre nivå utan att direkt lyfta dem.
Sådana anordningar inkluderar ramper, rulltrappor, konventionella trappor och transportörer.

Om du behöver lyfta lasten till en höjd är det alltid lättare att använda en svag lutning än en brant. Dessutom, ju lägre lutningen är, desto lättare är det att utföra detta arbete. När tid och avstånd inte är viktiga, men det är viktigt att lyfta lasten med minsta ansträngning, är det lutande planet oumbärligt.

Dessa ritningar kan hjälpa till att förklara hur den enkla TILT PLANE-mekanismen fungerar.
Klassiska beräkningar av verkan av ett lutande plan och andra enkla mekanismer tillhör den enastående forntida mekanikern Archimedes of Syracuse.

Under byggandet av tempel transporterade, höjde och installerade egyptierna kolossala obelisker och statyer, vars vikt var tiotals och hundratals ton! Allt detta kunde göras med, bland andra enkla mekanismer, ett lutande plan.

Egypternas huvudsakliga lyftanordning var ett lutande plan - en ramp. Rammens ram, det vill säga dess sidor och skiljeväggar. När pyramiden växte byggdes rampen på. Stenar släpades längs dessa ramper på slädar. Rampvinkeln var mycket liten - 5 eller 6 grader.

Kolumner av det forntida egyptiska templet i Thebe.

Var och en av dessa enorma kolonner drogs av slavar längs en ramp - ett lutande plan. När pelaren kröp ner i gropen krattades sand ut genom hålet och sedan demonterades tegelväggen och vallen togs bort. Således hade till exempel den sluttande vägen till Khafre-pyramiden, med en höjd av 46 meter, en längd på cirka en halv kilometer.

En kropp på ett lutande plan hålls av en kraft som är lika många gånger mindre än vikten av denna kropp som längden på det lutande planet är större än dess höjd.
Detta villkor för kraftbalansen på ett lutande plan formulerades av den holländska vetenskapsmannen Simon Stevin (1548-1620).

Ritning på titelbladet av boken av S. Stevin, med vilken han bekräftar sin formulering.

Det lutande planet vid Krasnoyarsks vattenkraftverk används mycket genialiskt. Här finns istället för slussar en fartygskammare som rör sig längs en lutande överfart. För dess rörelse krävs en dragkraft på 4000 kN.

Och varför slingrar sig bergsvägar i en mild "serpentin"?

En kil är en variant av en enkel mekanism som kallas ett "lutande plan". Kilen består av två lutande plan, vars baser är i kontakt. Det används för att få en styrka, det vill säga med hjälp av en mindre kraft för att motverka en större kraft.

När man hugger ved, för att underlätta arbetet, sätts en metallkil in i stockens spricka och slås på den med kolven av en yxa.

Den ideala ökningen i styrka som ges av kilen är lika med förhållandet mellan dess längd och tjockleken vid den trubbiga änden. På grund av den höga friktionen är dess effektivitet så liten att den ideala vinsten inte spelar någon roll.

En annan typ av lutande plan är skruven.
En skruv är ett lutande plan lindat runt en axel. Gängan på en skruv är ett lutande plan som upprepade gånger lindas runt en cylinder.

På grund av den höga friktionen är dess effektivitet så liten att den ideala vinsten inte spelar så stor roll. Beroende på det lutande planets stigningsriktning kan skruvgängan vara vänster eller höger.
Exempel på enkla enheter med skruvgängor är en domkraft, en bult med en mutter, en mikrometer, ett skruvstäd.

Trafik. Värme Kitaygorodsky Alexander Isaakovich

Lutande plan

Lutande plan

En brant sluttning är svårare att ta sig över än en mjuk. Det är lättare att rulla en kropp till en höjd på ett lutande plan än att lyfta den vertikalt. Varför är det och hur mycket lättare? Lagen om tillägg av krafter tillåter oss att förstå dessa frågor.

På fig. 12 visar en vagn på hjul, som hålls i ett lutande plan genom spänningen av ett rep. Förutom dragkraft verkar ytterligare två krafter på vagnen - vikt och stödets reaktionskraft, som alltid verkar längs normalen till ytan, oavsett om stödytan är horisontell eller lutande.

Som redan nämnts, om kroppen trycker på stödet, så motverkar stödet trycket eller, som man säger, skapar en reaktionskraft.

Vi är intresserade av i vilken utsträckning det är lättare att dra vagnen uppför ett lutande plan än att lyfta den vertikalt.

Låt oss utöka krafterna så att den ena är riktad längs och den andra är vinkelrät mot den yta längs vilken kroppen rör sig. För att kroppen ska vila på ett lutande plan måste linans dragkraft balansera endast den längsgående komponenten. När det gäller den andra komponenten balanseras den av stödets reaktion.

Hitta repspänningskraften av intresse för oss T kan vara antingen geometrisk konstruktion eller trigonometri. Den geometriska konstruktionen består i att rita från slutet av viktvektorn P vinkelrätt mot planet.

I figuren kan du hitta två liknande trianglar. Lutande plan längdförhållande l till höjden här lika med förhållandet mellan motsvarande sidor i krafttriangeln. Så,

Ju mer lutande det lutande planet ( h/l liten), så det är naturligtvis lättare att dra upp kroppen.

Och nu för de som kan trigonometri: eftersom vinkeln mellan viktens tvärgående komponent och viktvektorn lika med vinkeln? lutande plan (dessa är vinklar med inbördes vinkelräta sidor), då

Så, rulla vagnen på ett lutande plan med en vinkel? i synd? gånger lättare än att lyfta den vertikalt.

Bra att komma ihåg värderingar trigonometriska funktioner för vinklar 30, 45 och 60°. Genom att känna till dessa siffror för sinus (sin 30° = 1/2; sin 45° = sqrt(2)/2; *5 sin 60° = sqrt(3)/2), får vi en god uppfattning om förstärkningen i styrka när man rör sig längs lutande plan.

Från formlerna kan man se att med en vinkel på ett lutande plan på 30 ° kommer våra ansträngningar att vara hälften av vikten: T = P(1/2). Vid vinklar på 45° och 60° måste repet dras med krafter lika med cirka 0,7 och 0,9 av vagnens vikt. Som du kan se gör sådana branta lutande plan saker lite lättare.