Ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given linje. Allmän ekvation för ett plan - beskrivning, exempel, problemlösning Skriv ekvationen för ett plan som passerar genom en punkt vinkelrätt

Om alla siffror A, B, C och D är icke-noll, så kallas den allmänna ekvationen för planet komplett. Annars kallas den allmänna ekvationen för planet Ofullständig.

Låt oss överväga alla möjliga allmänna ofullständiga ekvationer av planet i det rektangulära koordinatsystemet Oxyz i tredimensionellt rum.

Låt D = 0, då har vi en allmän ofullständig ekvation av formens plan . Detta plan i det rektangulära koordinatsystemet Oxyz passerar genom origo. I själva verket, när vi ersätter punktens koordinater i den resulterande ofullständiga ekvationen för planet, kommer vi till identiteten.

För , eller , eller har vi generella ofullständiga ekvationer för planen , eller , eller respektive. Dessa ekvationer definierar plan som är parallella med koordinatplanen Oxy , Oxz respektive Oyz (se artikeln Parallellismvillkor för plan) och som går genom punkterna och motsvarande. På. Sedan poängen hör till planet efter villkor, då måste koordinaterna för denna punkt uppfylla ekvationen för planet, det vill säga att likheten måste vara sann. Härifrån finner vi. Således har den önskade ekvationen formen .

Vi presenterar det andra sättet att lösa detta problem.

Eftersom planet, vars allmänna ekvation vi måste sammanställa, är parallell med planet Oyz , kan vi som dess normalvektor ta normalvektorn för planet Oyz . Normal vektor koordinatplan Oyz är koordinatvektorn. Nu känner vi till normalvektorn för planet och planets punkt, därför kan vi skriva ner dess allmänna ekvation (vi löste ett liknande problem i föregående stycke i denna artikel):
, då måste dess koordinater uppfylla ekvationen för planet. Därför jämställdheten där vi hittar. Nu kan vi skriva den önskade allmänna ekvationen för planet, den har formen .

Svar:

Bibliografi.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Högre matematik. Volym ett: Element av linjär algebra och analytisk geometri.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytisk geometri.

Egenskaper för en rät linje i euklidisk geometri.

Det finns oändligt många linjer som kan dras genom vilken punkt som helst.

Genom två icke sammanfallande punkter finns det bara en rak linje.

Två icke-sammanfallande linjer i planet antingen skär varandra vid en enda punkt, eller är

parallell (följer av den föregående).

Det finns tre alternativ i 3D-rymden. relativ position två raka linjer:

• linjer skär varandra;

• raka linjer är parallella;

• raka linjer skär varandra.

Hetero linje- algebraisk kurva av första ordningen: i det kartesiska koordinatsystemet, en rät linje

ges på planet av en ekvation av första graden (linjär ekvation).

Allmän ekvation för en rät linje.

Definition. Vilken linje som helst i planet kan ges av en första ordningens ekvation

Ah + Wu + C = 0,

och konstant A, B inte lika med noll samtidigt. Denna första ordningens ekvation kallas allmän

rak linje ekvation. Beroende på konstanternas värden A, B Och MED Följande specialfall är möjliga:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linjen går genom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- rät linje parallell med axeln Åh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- rät linje parallell med axeln OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linjen sammanfaller med axeln OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linjen sammanfaller med axeln Åh

Ekvationen för en rät linje kan representeras i olika former beroende på vilken given som helst

initiala förhållanden.

Ekvation av en rät linje med en punkt och en normalvektor.

Definition. I ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrätt mot linjen som ges av ekvationen

Ah + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom en punkt A(1, 2) vinkelrätt mot vektorn (3, -1).

Lösning. Låt oss komponera vid A \u003d 3 och B \u003d -1 ekvationen för den räta linjen: 3x - y + C \u003d 0. För att hitta koefficienten C

vi ersätter koordinaterna för den givna punkten A i det resulterande uttrycket. Vi får: 3 - 2 + C \u003d 0, därför

C = -1. Totalt: önskad ekvation: 3x - y - 1 \u003d 0.

Ekvation för en rät linje som går genom två punkter.

Låt två poäng ges i rymden M 1 (x 1, y 1, z 1) Och M2 (x 2, y2, z 2), Sedan rak linje ekvation,

passerar genom dessa punkter:

Om någon av nämnarna är lika med noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll. På

plan, är ekvationen för en rät linje skriven ovan förenklad:

Om x 1 ≠ x 2 Och x = x 1, Om x 1 = x 2 .

Fraktion = k kallad lutning faktor hetero.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A(1, 2) och B(3, 4).

Lösning. Genom att tillämpa formeln ovan får vi:

Ekvation av en rät linje med en punkt och en lutning.

Om den allmänna ekvationen för en rät linje Ah + Wu + C = 0 ta med till formuläret:

och utse , sedan anropas den resulterande ekvationen

ekvation för en rät linje med lutning k.

Ekvationen för en rät linje på en punkt och en riktningsvektor.

I analogi med punkten med tanke på ekvationen för en rät linje genom normalvektorn, kan du gå in i uppgiften

en rät linje genom en punkt och en riktningsvektor för en rät linje.

Definition. Varje vektor som inte är noll (α 1 , α 2), vars komponenter uppfyller villkoret

Aa1 + Ba2 = 0 kallad riktningsvektor för den räta linjen.

Ah + Wu + C = 0.

Exempel. Hitta ekvationen för en rät linje med riktningsvektor (1, -1) och passerar genom punkt A(1, 2).

Lösning. Vi kommer att leta efter ekvationen för den önskade räta linjen i formen: Axe + By + C = 0. Enligt definitionen,

koefficienter måste uppfylla villkoren:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Då har ekvationen för en rät linje formen: Axe + Ay + C = 0, eller x + y + C/A = 0.

på x=1, y=2 vi får C/A = -3, dvs. önskad ekvation:

x + y - 3 = 0

Ekvation för en rät linje i segment.

Om i den allmänna ekvationen för den räta linjen Ah + Wu + C = 0 C≠0, då, dividerat med -C, får vi:

eller var

geometrisk känsla koefficienter genom att koefficienten a är koordinaten för skärningspunkten

rak med axel Åh, A b- koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och axeln OU.

Exempel. Den allmänna ekvationen för en rät linje ges x - y + 1 = 0. Hitta ekvationen för denna räta linje i segment.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalekvationen för en rät linje.

Om båda sidor av ekvationen Ah + Wu + C = 0 dividera med tal , som kallas

normaliserande faktor, då får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalekvationen för en rät linje.

Tecknet ± för den normaliserande faktorn måste väljas så att μ * C< 0.

R- längden på den vinkelräta som faller från origo till linjen,

A φ - vinkeln som bildas av denna vinkelrät mot axelns positiva riktning Åh.

Exempel. Givet den allmänna ekvationen för en rät linje 12x - 5y - 65 = 0. Krävs för att skriva olika typer av ekvationer

denna raka linje.

Ekvationen för denna räta linje i segment:

Ekvationen för denna linje med lutning: (dividera med 5)

Ekvation för en rät linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Det bör noteras att inte varje rät linje kan representeras av en ekvation i segment, till exempel räta linjer,

parallellt med axlarna eller passerar genom origo.

Vinkel mellan linjer på ett plan.

Definition. Om två rader anges y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, Den där vasst hörn mellan dessa rader

kommer att definieras som

Två linjer är parallella if k 1 = k 2. Två linjer är vinkelräta

Om k 1 \u003d -1 / k 2 .

Sats.

Direkt Ah + Wu + C = 0 Och A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0är parallella när koefficienterna är proportionella

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Om också С 1 \u003d λС, då sammanfaller linjerna. Koordinater för skärningspunkten mellan två linjer

hittas som en lösning på ekvationssystemet för dessa linjer.

Ekvation för en rät linje som går igenom given poäng vinkelrätt mot denna linje.

Definition. En linje som går genom en punkt M 1 (x 1, y 1) och vinkelrätt mot linjen y = kx + b

representeras av ekvationen:

Avståndet från en punkt till en linje.

Sats. Om en poäng ges M(x 0, y 0), sedan avståndet till linjen Ah + Wu + C = 0 definierad som:

Bevis. Låt poängen M 1 (x 1, y 1)- basen av vinkelrät föll från punkten M för en given

direkt. Sedan avståndet mellan punkterna M Och M 1:

(1)

Koordinater x 1 Och 1 kan hittas som en lösning på ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt

given rad. Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Den här artikeln ger en uppfattning om hur man skriver ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt i tredimensionellt utrymme vinkelrätt mot en given linje. Låt oss analysera ovanstående algoritm med hjälp av exemplet för att lösa typiska problem.

Hitta ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt i rymden vinkelrätt mot en given linje

Låt ett tredimensionellt rum och ett rektangulärt koordinatsystem O x y z ges i det. Punkten M 1 (x 1, y 1, z 1), den räta linjen a och planet α som går genom punkten M 1 vinkelrätt mot den räta linjen a ges också. Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för planet α.

Innan vi går vidare med att lösa detta problem, låt oss komma ihåg geometrisatsen från programmet för årskurs 10 - 11, som lyder:

Definition 1

Ett enda plan passerar genom en given punkt i det tredimensionella rummet och är vinkelrät mot en given linje.

Fundera nu på hur man hittar ekvationen för detta enda plan som passerar genom startpunkten och vinkelrätt mot den givna linjen.

Det är möjligt att skriva den allmänna ekvationen för ett plan om koordinaterna för en punkt som hör till detta plan är kända, liksom koordinaterna för planets normalvektor.

Genom problemets tillstånd får vi koordinaterna x 1, y 1, z 1 för punkten M 1 genom vilken planet α passerar. Om vi ​​bestämmer koordinaterna för normalvektorn för planet α, kommer vi att kunna skriva den önskade ekvationen.

Normalvektorn för planet α, eftersom den inte är noll och ligger på linjen a, vinkelrät mot planet α, kommer att vara vilken riktningsvektor som helst för linjen a. Så problemet med att hitta koordinaterna för den normala vektorn för planet α omvandlas till problemet med att bestämma koordinaterna för den riktande vektorn för den räta linjen a .

Bestämningen av koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a kan utföras med olika metoder: det beror på varianten av att sätta den räta linjen a i de initiala förhållandena. Till exempel om raden a i problemformuleringen anges kanoniska ekvationer snäll

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

eller parametriska ekvationer typ:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

då kommer den räta linjens riktningsvektor att ha koordinaterna a x, a y och a z. I det fall då den räta linjen a representeras av två punkter M 2 (x 2, y 2, z 2) och M 3 (x 3, y 3, z 3), kommer koordinaterna för riktningsvektorn att bestämmas som (x3 - x2, y3 - y2, z3 - z2).

Definition 2

Algoritm för att hitta ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt vinkelrät mot en given linje:

Bestäm koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a: a → = (a x, a y, a z) ;

Vi definierar koordinaterna för normalvektorn för planet α som koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a:

n → = (A, B, C), där A = a x, B = a y, C = a z;

Vi skriver ekvationen för planet som går genom punkten M 1 (x 1, y 1, z 1) och har en normalvektor n→=(A, B, C) i formen A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Detta kommer att vara den erforderliga ekvationen för ett plan som passerar genom en given punkt i rymden och är vinkelrät mot en given linje.

Den resulterande allmänna ekvationen för planet: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 gör det möjligt att erhålla ekvationen för planet i segment eller den normala ekvationen för planet.

Låt oss lösa några exempel med hjälp av algoritmen ovan.

Exempel 1

En punkt M 1 (3, - 4, 5) ges, genom vilken planet passerar, och detta plan är vinkelrät mot koordinatlinjen O z.

Lösning

riktningsvektorn för koordinatlinjen Oz kommer att vara koordinatvektorn k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Därför har planets normalvektor koordinater (0 , 0 , 1) . Låt oss skriva ekvationen för ett plan som går genom en given punkt M 1 (3, - 4, 5) vars normalvektor har koordinater (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

Svar: z - 5 = 0 .

Överväg ett annat sätt att lösa det här problemet:

Exempel 2

Ett plan som är vinkelrätt mot linjen Oz kommer att ges av en ofullständig generell ekvation av planet av formen С z + D = 0 , C ≠ 0 . Låt oss definiera värdena för C och D: de för vilka planet passerar genom en given punkt. Ersätt koordinaterna för denna punkt i ekvationen C z + D = 0 , vi får: C · 5 + D = 0 . De där. tal, C och D är relaterade med - D C = 5 . Om vi ​​tar C \u003d 1 får vi D \u003d - 5.

Ersätt dessa värden i ekvationen C z + D = 0 och erhåll den nödvändiga ekvationen för ett plan vinkelrätt mot linjen Oz och som går genom punkten M 1 (3, - 4, 5) .

Det kommer att se ut så här: z - 5 = 0.

Svar: z - 5 = 0 .

Exempel 3

Skriv en ekvation för ett plan som går genom origo och vinkelrätt mot linjen x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Lösning

Baserat på problemets villkor kan man hävda att styrvektorn för en given rät linje kan tas som en normalvektor n → för ett givet plan. Således: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Låt oss skriva ekvationen för ett plan som går genom punkten O (0, 0, 0) och har en normalvektor n → \u003d (- 3, - 7, 2):

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Vi har erhållit den erforderliga ekvationen för planet som går genom origo vinkelrätt mot den givna linjen.

Svar:- 3x - 7y + 2z = 0

Exempel 4

Givet ett rektangulärt koordinatsystem O x y z i tredimensionellt rum innehåller det två punkter A (2 , - 1 , - 2) och B (3 , - 2 , 4) . Planet α går genom punkten A vinkelrätt mot linjen AB. Det är nödvändigt att komponera ekvationen för planet α i segment.

Lösning

Planet α är vinkelrät mot linjen A B, då kommer vektorn A B → att vara normalvektorn för planet α. Koordinaterna för denna vektor bestäms som skillnaden mellan motsvarande koordinater för punkterna B (3, - 2, 4) och A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Den allmänna ekvationen för planet kommer att skrivas i följande form:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Nu komponerar vi den önskade ekvationen för planet i segmenten:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Svar:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Det bör också noteras att det finns problem vars krav är att skriva en ekvation för ett plan som passerar genom en given punkt och vinkelrätt mot två givna plan. I allmänhet är lösningen på detta problem att skriva en ekvation för ett plan som går genom en given punkt vinkelrät mot en given linje, eftersom två skärande plan definierar en rät linje.

Exempel 5

Ett rektangulärt koordinatsystem O x y z ges, i det finns en punkt M 1 (2, 0, - 5) . Ekvationerna för två plan 3 x + 2 y + 1 = 0 och x + 2 z - 1 = 0 ges också, som skär längs den räta linjen a . Det är nödvändigt att komponera en ekvation för ett plan som går genom punkten M 1 vinkelrätt mot linjen a.

Lösning

Låt oss bestämma koordinaterna för riktningsvektorn för den räta linjen a . Den är vinkelrät mot både normalvektorn n 1 → (3 , 2 , 0) i planet n → (1 , 0 , 2) och normalvektorn 3 x + 2 y + 1 = 0 i planet x + 2 z - 1 = 0 .

Sedan tar den riktande vektorn α → rät linje a vektorprodukten av vektorerna n 1 → och n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Således kommer vektorn n → = (4, - 6, - 2) att vara normalvektorn för planet vinkelrätt mot linjen a. Vi skriver den önskade ekvationen för planet:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Svar: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Det kan specificeras på olika sätt (en punkt och en vektor, två punkter och en vektor, tre punkter, etc.). Det är med detta i åtanke som planets ekvation kan ha olika sorter. Under vissa förhållanden kan planen också vara parallella, vinkelräta, skärande, etc. Vi kommer att prata om detta i den här artikeln. Vi kommer att lära oss hur man skriver den allmänna ekvationen för planet och inte bara.

Normal form av ekvationen

Låt oss säga att det finns ett mellanslag R 3 som har ett rektangulärt koordinatsystem XYZ. Vi ställer in vektorn α, som kommer att frigöras från initialpunkten O. Genom slutet av vektorn α ritar vi planet P, som kommer att vara vinkelrätt mot det.

Beteckna med P en godtycklig punkt Q=(x, y, z). Vi kommer att underteckna radievektorn för punkten Q med bokstaven p. I detta fall är längden på vektorn α p=IαI och Ʋ=(cosα, cosβ, cosγ).

Detta är en enhetsvektor som pekar i sidled, precis som vektorn α. α, β och γ är de vinklar som bildas mellan vektorn Ʋ och de positiva riktningarna för rymdaxlarna x, y, z respektive. Projektionen av någon punkt QϵП på vektorn Ʋ är konstant värde, vilket är lika med p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Denna ekvation är vettig när p=0. Det enda är att planet P i det här fallet kommer att skära punkten O (α=0), som är origo, och enhetsvektorn Ʋ som frigörs från punkten O kommer att vara vinkelrät mot P, oavsett dess riktning, vilket betyder att vektorn Ʋ bestäms från tecken-noggrannhet. Den föregående ekvationen är ekvationen för vårt P-plan, uttryckt i vektorform. Men i koordinater ser det ut så här:

P här är större än eller lika med 0. Vi har hittat ekvationen för ett plan i rymden i dess normala form.

Allmän ekvation

Om vi ​​multiplicerar ekvationen i koordinater med ett tal som inte är lika med noll, får vi en ekvation som motsvarar den givna, som bestämmer samma plan. Det kommer att se ut så här:

Här är A, B, C tal som samtidigt skiljer sig från noll. Denna ekvation kallas den allmänna planekvationen.

Planekvationer. Speciella fall

Ekvationen i allmän form kan modifieras i närvaro av ytterligare villkor. Låt oss överväga några av dem.

Antag att koefficienten A är 0. Det betyder att det givna planet är parallellt med den givna axeln Ox. I det här fallet kommer formen på ekvationen att ändras: Ву+Cz+D=0.

På samma sätt kommer ekvationens form att ändras under följande förhållanden:

• För det första, om B = 0, kommer ekvationen att ändras till Ax + Cz + D = 0, vilket kommer att indikera parallellitet med Oy-axeln.
• För det andra, om С=0, omvandlas ekvationen till Ах+Ву+D=0, vilket kommer att indikera parallellitet med den givna axeln Oz.
• För det tredje, om D=0, kommer ekvationen att se ut som Ax+By+Cz=0, vilket betyder att planet skär O (origo).
• För det fjärde, om A=B=0, kommer ekvationen att ändras till Cz+D=0, vilket kommer att visa sig vara parallellt med Oxy.
• För det femte, om B=C=0, så blir ekvationen Ax+D=0, vilket betyder att planet till Oyz är parallellt.
• För det sjätte, om A=C=0, kommer ekvationen att ha formen Ву+D=0, det vill säga den kommer att rapportera parallellism till Oxz.

Typ av ekvation i segment

I det fall då talen A, B, C, D inte är noll, kan formen av ekvation (0) vara som följer:

x/a + y/b + z/c = 1,

där a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Vi får som ett resultat Det är värt att notera att detta plan kommer att skära Ox-axeln i en punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0) och Oz - (0,0,c) .

Med hänsyn till ekvationen x/a + y/b + z/c = 1 är det lätt att visuellt representera planets placering i förhållande till ett givet koordinatsystem.

Normala vektorkoordinater

Normalvektorn n till planet P har koordinater som är koefficienterna för den allmänna ekvationen för det givna planet, det vill säga n (A, B, C).

För att bestämma koordinaterna för normalen n är det tillräckligt att känna till den allmänna ekvationen för ett givet plan.

När man använder ekvationen i segment, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt när man använder den allmänna ekvationen, kan man skriva koordinaterna för vilken normalvektor som helst i ett givet plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det är värt att notera att den normala vektorn hjälper till att lösa olika problem. De vanligaste är uppgifter som består i att bevisa planens vinkelräta eller parallellitet, problem med att hitta vinklar mellan plan eller vinklar mellan plan och linjer.

Vy över planets ekvation enligt koordinaterna för punkten och normalvektorn

En vektor som inte är noll n vinkelrät mot ett givet plan kallas normal (normal) för ett givet plan.

Antag att i koordinatrummet (rektangulärt koordinatsystem) ges Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• nollvektor n=A*i+B*j+C*k.

Det är nödvändigt att komponera en ekvation för ett plan som kommer att passera genom punkten Mₒ vinkelrätt mot normalen n.

I rymden väljer vi vilken godtycklig punkt som helst och betecknar den med M (x y, z). Låt radievektorn för någon punkt M (x, y, z) vara r=x*i+y*j+z*k, och radievektorn för punkten Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punkten M kommer att tillhöra det givna planet om vektorn MₒM är vinkelrät mot vektorn n. Vi skriver ortogonalitetsvillkoret med hjälp av den skalära produkten:

[MₒM, n] = 0.

Eftersom MₒM \u003d r-rₒ kommer vektorekvationen för planet att se ut så här:

Denna ekvation kan ta en annan form. För att göra detta används egenskaperna hos den skalära produkten, och den vänstra sidan av ekvationen transformeras. = - . Om den betecknas som c, kommer följande ekvation att erhållas: - c \u003d 0 eller \u003d c, som uttrycker konstansen för projektionerna på normalvektorn för radievektorerna för de givna punkterna som hör till planet.

Nu kan du få koordinatvyn för posten vektorekvation vårt plan = 0. Eftersom r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, och n = A*i+B*j+C*k, vi har:

Det visar sig att vi har en ekvation för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot normalen n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Vy av planekvationen enligt koordinaterna för två punkter och en vektor i linje med planet

Vi definierar två godtyckliga punkter M′ (x′,y′,z′) och M″ (x″,y″,z″), samt vektorn a (a′,a″,a‴).

Nu kan vi komponera en ekvation för ett givet plan, som kommer att passera genom de tillgängliga punkterna M′ och M″, såväl som vilken punkt M som helst med koordinater (x, y, z) parallella med den givna vektorn a.

I detta fall måste vektorerna M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) och M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vara i samma plan som vektorn a=(a′,a″,a‴), vilket betyder att (M′M, M″M, a)=0.

Så vår ekvation av ett plan i rymden kommer att se ut så här:

Typ av ekvation för ett plan som skär tre punkter

Anta att vi har tre punkter: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som inte tillhör samma räta linje. Det är nödvändigt att skriva ekvationen för planet som passerar genom de givna tre punkterna. Teorin om geometri hävdar att denna typ av plan verkligen existerar, bara det är det enda och oefterhärmliga. Eftersom detta plan skär punkten (x′, y′, z′), kommer formen på dess ekvation att vara följande:

Här skiljer sig A, B, C från noll samtidigt. Dessutom skär det givna planet ytterligare två punkter: (x″,y″,z″) och (x‴,y‴,z‴). I detta avseende måste följande villkor vara uppfyllda:

Nu kan vi komponera ett homogent system med okända u, v, w:

I vårt fall är x, y eller z en godtycklig punkt som uppfyller ekvation (1). Med hänsyn till ekvationen (1) och ekvationssystemet (2) och (3), uppfyller ekvationssystemet som anges i figuren ovan vektorn N (A, B, C), som är icke-trivial. Det är därför som determinanten för detta system är lika med noll.

Ekvation (1), som vi har erhållit, är ekvationen för planet. Den passerar exakt genom 3 punkter, och detta är lätt att kontrollera. För att göra detta måste vi dekomponera vår determinant över elementen i den första raden. Det följer av de existerande egenskaperna hos determinanten att vårt plan samtidigt skär tre initialt givna punkter (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vill säga att vi har löst uppgiften som ligger framför oss.

Dihedral vinkel mellan plan

En dihedral vinkel är en rumslig vinkel geometrisk figur, bildad av två halvplan som utgår från en rät linje. Detta är med andra ord den del av rymden som begränsas av dessa halvplan.

Låt oss säga att vi har två plan med följande ekvationer:

Vi vet att vektorerna N=(A,B,C) och N¹=(A¹,B¹,C¹) är vinkelräta enligt de givna planen. I detta avseende är vinkeln φ mellan vektorerna N och N¹ lika med vinkeln (dihedral), som är mellan dessa plan. Den skalära produkten har formen:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

just därför

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det räcker med att ta hänsyn till att 0≤φ≤π.

Faktum är att två plan som skär varandra bildar två (diedriska) vinklar: φ 1 och φ 2 . Deras summa är lika med π (φ 1 + φ 2 = π). När det gäller deras cosinus är deras absoluta värden lika, men de skiljer sig i tecken, det vill säga cos φ 1 =-cos φ 2. Om vi ​​i ekvation (0) ersätter A, B och C med talen -A, -B respektive -C, så kommer ekvationen som vi får att bestämma samma plan, den enda vinkeln φ i cos ekvationφ= NNi/|N||Ni | kommer att ersättas med π-φ.

Ekvation med vinkelrät plan

Plan kallas vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90 grader. Med hjälp av materialet som beskrivs ovan kan vi hitta ekvationen för ett plan vinkelrätt mot ett annat. Låt oss säga att vi har två plan: Ax+By+Cz+D=0 och A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan konstatera att de kommer att vara vinkelräta om cosφ=0. Detta betyder att NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallellplans ekvation

Parallella är två plan som inte innehåller gemensamma punkter.

Villkoret (deras ekvationer är desamma som i föregående stycke) är att vektorerna N och N¹, som är vinkelräta mot dem, är kolinjära. Detta innebär att följande proportionalitetsvillkor är uppfyllda:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Om proportionalitetsvillkoren utökas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

detta indikerar att dessa plan sammanfaller. Det betyder att ekvationerna Ax+By+Cz+D=0 och A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.

Avstånd till plan från punkt

Låt oss säga att vi har ett plan P, som ges av ekvation (0). Det är nödvändigt att hitta avståndet till den från punkten med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. För att göra detta måste du föra ekvationen för planet P till normal form:

(p,v)=p (p≥0).

I det här fallet är ρ(x,y,z) radievektorn för vår punkt Q som ligger på P, p är längden av den vinkelräta P som frigjordes från nollpunkten, v är enhetsvektorn som finns i en riktning.

Skillnaden ρ-ρº för radievektorn för någon punkt Q=(x,y,z) som hör till P, såväl som radievektorn för en given punkt Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) är en sådan vektor, absolutvärde vars projektion på v är lika med avståndet d, som måste hittas från Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) till P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-poo,v)= (p,v)-(poo,v) =р-(poo,v).

Så visar det sig

d=|(poo,v)-p|.

Således kommer vi att hitta det absoluta värdet av det resulterande uttrycket, det vill säga det önskade d.

Med hjälp av parametrarnas språk får vi det uppenbara:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Om den givna punkten Q 0 är på andra sidan av planet P, såväl som origo, så är mellan vektorn ρ-ρ 0 och v därför:

d=-(ρ-poo,v)=(poo,v)-p>0.

I fallet när punkten Q 0, tillsammans med origo, ligger på samma sida av P, är den skapade vinkeln spetsig, det vill säga:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Som ett resultat visar det sig att i det första fallet (ρ 0 ,v)> р, i det andra (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan och dess ekvation

Tangentplanet till ytan vid kontaktpunkten Mº är det plan som innehåller alla möjliga tangenter till kurvorna som dras genom denna punkt på ytan.

Med denna form av ytekvationen F (x, y, z) \u003d 0, kommer ekvationen för tangentplanet vid tangentpunkten Mº (xº, yº, zº) att se ut så här:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Om du anger ytan i explicit form z=f (x, y), kommer tangentplanet att beskrivas med ekvationen:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Skärning mellan två plan

I koordinatsystemet (rektangulärt) finns Oxyz, två plan П′ och П″ ges, som skär varandra och inte sammanfaller. Eftersom vilket plan som helst i ett rektangulärt koordinatsystem bestäms av den allmänna ekvationen, kommer vi att anta att P′ och P″ ges av ekvationerna A′x+B′y+C′z+D′=0 och A″x +B″y+ С″z+D″=0. I det här fallet har vi det normala n′ (A′, B′, C′) för P′-planet och det normala n″ (A″, B″, C″) för P″-planet. Eftersom våra plan inte är parallella och inte sammanfaller, är dessa vektorer inte kolinjära. Med hjälp av matematikens språk kan vi skriva detta villkor enligt följande: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Låt linjen som ligger i skärningspunkten mellan P′ och P″ betecknas med bokstaven a, i detta fall a = P′ ∩ P″.

a är en rät linje som består av mängden av alla punkter i (gemensamma) plan П′ och П″. Detta innebär att koordinaterna för varje punkt som hör till linjen a samtidigt måste uppfylla ekvationerna A′x+B′y+C′z+D′=0 och A″x+B″y+C″z+D″= 0. Detta betyder att punktens koordinater kommer att vara en speciell lösning av följande ekvationssystem:

Som ett resultat visar det sig att den (allmänna) lösningen av detta ekvationssystem kommer att bestämma koordinaterna för var och en av punkterna på den räta linjen, som kommer att fungera som skärningspunkten för P′ och P″, och bestämma den räta linje a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulär) i rymden.

För att få den allmänna ekvationen för planet analyserar vi planet som passerar genom en given punkt.

Låt det finnas tre koordinataxlar som vi redan känner till i rymden - Oxe, Oj Och Uns. Håll pappersarket så att det förblir plant. Planet kommer att vara själva arket och dess fortsättning i alla riktningar.

Låta P godtyckligt plan i rymden. Vilken vektor som helst som är vinkelrät mot den kallas normal vektor till detta plan. Naturligtvis talar vi om en vektor som inte är noll.

Om någon punkt på planet är känd P och någon vektor av normalen till den, så är planet i rymden genom dessa två förhållanden fullständigt bestämt(genom en given punkt finns det bara ett plan vinkelrätt mot en given vektor). Den allmänna ekvationen för planet kommer att se ut så här:

Så det finns förhållanden som sätter ekvationen för planet. För att få det själv plan ekvation, som har ovanstående form, tar vi på planet P slumpmässig punkt M med variabla koordinater x, y, z. Denna punkt tillhör planet endast om vektor vinkelrätt mot vektorn(Figur 1). För detta, enligt villkoret för vinkelräta vektorer, är det nödvändigt och tillräckligt att skalärprodukten av dessa vektorer är lika med noll, dvs.

Vektorn ges av tillstånd. Vi hittar vektorns koordinater med formeln :

.

Använd nu prickproduktformeln för vektorer , uttrycker vi den skalära produkten i koordinatform:

Sedan poängen M(x; y; z) väljs godtyckligt på planet, så är den sista ekvationen uppfylld av koordinaterna för någon punkt som ligger på planet P. För punkt N, inte liggande på ett givet plan, , dvs. jämställdhet (1) kränks.

Exempel 1 Skriv en ekvation för ett plan som går genom en punkt och vinkelrätt mot en vektor.

Lösning. Vi använder formel (1), titta på den igen:

I denna formel, siffrorna A , B Och C vektorkoordinater och siffror x0 , y0 Och z0 - punktkoordinater.

Beräkningarna är mycket enkla: vi ersätter dessa siffror i formeln och får

Vi multiplicerar allt som ska multipliceras och summerar bara siffror (som är utan bokstäver). Resultat:

.

Den erforderliga ekvationen för planet i detta exempel visade sig uttryckas av den allmänna ekvationen av första graden med avseende på variabla koordinater x, y, z godtycklig punkt i planet.

Alltså en formekvation

kallad den allmänna ekvationen för planet .

Exempel 2 Konstruera i ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem planet som ges av ekvationen .

Lösning. För att konstruera ett plan är det nödvändigt och tillräckligt att känna till tre av dess punkter som inte ligger på en rät linje, till exempel skärningspunkterna mellan planet och koordinataxlarna.

Hur hittar man dessa punkter? För att hitta skärningspunkten med axeln Uns, måste du ersätta nollor istället för x och y i ekvationen som ges i problemsatsen: x = y= 0 . Därför får vi z= 6 . Således skär det givna planet axeln Uns vid punkten A(0; 0; 6) .

På samma sätt hittar vi skärningspunkten mellan planet och axeln Oj. På x = z= 0 får vi y= −3 , det vill säga en punkt B(0; −3; 0) .

Och slutligen hittar vi skärningspunkten för vårt plan med axeln Oxe. På y = z= 0 får vi x= 2 , det vill säga en punkt C(2; 0; 0). Enligt de tre punkter som erhållits i vår lösning A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) och C(2; 0; 0) vi bygger det givna planet.

Överväg nu specialfall av planets allmänna ekvation. Dessa är fall då vissa ekvationskoefficienter (2) försvinner.

1. När D= 0 ekvation definierar ett plan som går genom origo, eftersom koordinaterna för en punkt 0 (0; 0; 0) uppfyller denna ekvation.

2. När A= 0 ekvation definierar ett plan parallellt med axeln Oxe, eftersom normalvektorn för detta plan är vinkelrät mot axeln Oxe(dess projektion på axeln Oxeär lika med noll). Likaså när B= 0 plan axel parallell Oj, och när C= 0 plan parallell med axeln Uns.

3. När A=D= 0-ekvationen definierar ett plan som passerar genom axeln Oxe eftersom den är parallell med axeln Oxe (A=D= 0). På samma sätt passerar planet genom axeln Oj, och planet genom axeln Uns.

4. När A=B= 0-ekvationen definierar ett plan parallellt med koordinatplanet xOy eftersom den är parallell med axlarna Oxe (A= 0) och Oj (B= 0). På samma sätt är planet parallellt med planet yOz, och planet - planet xOz.

5. När A=B=D= 0 ekvation (eller z= 0) definierar koordinatplanet xOy eftersom den är parallell med planet xOy (A=B= 0) och passerar genom origo ( D= 0). Likaså ekvationen y= 0 i rymden definierar koordinatplanet xOz, och ekvationen x= 0 - koordinatplan yOz.

Exempel 3 Komponera ekvationen för planet P passerar genom axeln Oj och peka.

Lösning. Så planet passerar genom axeln Oj. Så i hennes ekvation y= 0 och denna ekvation har formen . För att bestämma koefficienterna A Och C vi använder det faktum att punkten tillhör planet P .

Därför finns det bland dess koordinater de som kan ersättas i planets ekvation, som vi redan har härlett (). Låt oss titta på punktens koordinater igen:

M0 (2; −4; 3) .

Bland dem x = 2 , z= 3 . Vi sätter in dem i den allmänna ekvationen och får ekvationen för vårt specifika fall:

2A + 3C = 0 .

Vi lämnar 2 A på vänster sida av ekvationen överför vi 3 C till höger sida och få

A = −1,5C .

Ersätter det hittade värdet A in i ekvationen får vi

eller .

Detta är ekvationen som krävs i exempelvillkoret.

Lös problemet på planets ekvationer själv och titta sedan på lösningen

Exempel 4 Bestäm planet (eller planen om fler än ett) med avseende på koordinataxlarna eller koordinatplanen om planet/planen ges av ekvationen .

Lösningar på typiska problem som uppstår i tester - i manualen "Problem på ett plan: parallellitet, vinkelräthet, skärning av tre plan i en punkt" .

Ekvation för ett plan som passerar genom tre punkter

Som redan nämnts är ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att konstruera ett plan, förutom en punkt och en normalvektor, också tre punkter som inte ligger på en rät linje.

Låt det ges tre olika punkter , och , inte ligger på samma räta linje. Eftersom dessa tre punkter inte ligger på en rät linje, är vektorerna och inte kolinjära, och därför ligger någon punkt i planet i samma plan med punkterna , och om och endast om vektorerna , och coplanar, dvs. om och endast om den blandade produkten av dessa vektorerär lika med noll.

Med hjälp av det blandade produktuttrycket i koordinater får vi planekvationen

(3)

Efter att ha utökat determinanten blir denna ekvation en ekvation av formen (2), dvs. den allmänna ekvationen för planet.

Exempel 5 Skriv en ekvation för ett plan som går genom tre givna punkter som inte ligger på en rät linje:

och att bestämma ett särskilt fall av linjens allmänna ekvation, om någon.

Lösning. Enligt formel (3) har vi:

Planets normala ekvation. Avstånd från punkt till plan

Normalekvationen för ett plan är dess ekvation, skriven i formen