Skriv ekvationen för en rät linje genom 2 punkter. Rak linje

Denna artikel avslöjar härledningen av ekvationen för en rät linje som passerar genom två givna punkter i ett rektangulärt koordinatsystem beläget på ett plan. Vi härleder ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter i ett rektangulärt koordinatsystem. Vi kommer visuellt att visa och lösa flera exempel relaterade till det material som behandlas.

Innan man erhåller ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter, är det nödvändigt att uppmärksamma några fakta. Det finns ett axiom som säger att genom två icke sammanfallande punkter på ett plan är det möjligt att dra en rät linje och bara en. Med andra ord, två givna punkter i planet bestäms av en rät linje som går genom dessa punkter.

Om planet ges av det rektangulära koordinatsystemet Oxy, kommer vilken rät linje som helst som visas i det att motsvara ekvationen för den räta linjen på planet. Det finns också ett samband med den räta linjens riktningsvektor Dessa data är tillräckliga för att rita upp ekvationen för en rät linje som går genom två givna punkter.

Tänk på ett exempel på att lösa ett liknande problem. Det är nödvändigt att komponera ekvationen för en rät linje a som går genom två felaktiga punkter M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2) belägna i det kartesiska koordinatsystemet.

I den kanoniska ekvationen för en rät linje på ett plan, med formen x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , specificeras ett rektangulärt koordinatsystem O x y med en rät linje som skär den i en punkt med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) med en guidevektor a → = (a x , a y) .

Det är nödvändigt att komponera den kanoniska ekvationen för den räta linjen a, som kommer att passera genom två punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2) .

Den räta linjen a har en riktningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), eftersom den skär punkterna M 1 och M 2. Vi har erhållit nödvändiga data för att transformera den kanoniska ekvationen med koordinaterna för riktningsvektorn M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) och koordinaterna för punkterna M 1 som ligger på dem (x 1, y 1) och M2 (x 2, y 2). Vi får en ekvation av formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Betrakta figuren nedan.

Efter beräkningarna skriver vi de parametriska ekvationerna för en rät linje i ett plan som går genom två punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2) . Vi får en ekvation av formen x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ eller x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Låt oss ta en närmare titt på några exempel.

Exempel 1

Skriv ekvationen för en rät linje som går genom 2 givna punkter med koordinaterna M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Lösning

Kanonisk ekvation för en rät linje som skär i två punkter med koordinaterna x 1 , y 1 och x 2 , har y 2 formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Enligt problemets tillstånd har vi att x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Det är nödvändigt att ersätta numeriska värden i ekvationen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Härifrån får vi att den kanoniska ekvationen kommer att ha formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Om det är nödvändigt att lösa ett problem med en annan typ av ekvation, kan du till att börja med gå till den kanoniska, eftersom det är lättare att komma till någon annan från den.

Exempel 2

Komponera allmän ekvation en rät linje som går genom punkterna med koordinaterna M 1 (1, 1) och M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.

Lösning

Först måste du skriva ner den kanoniska ekvationen för en given linje som går genom de givna två punkterna. Vi får en ekvation av formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Vi tar den kanoniska ekvationen till önskad form, då får vi:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Svar: x - 3 y + 2 = 0 .

Exempel på sådana uppgifter övervägdes i skolböckerna vid algebralektionerna. Skoluppgifter skilde sig åt genom att ekvationen för en rät linje med en lutningskoefficient var känd, med formen y \u003d k x + b. Om du behöver hitta värdet på lutningen k och talet b, där ekvationen y \u003d k x + b definierar en linje i O x y-systemet som passerar genom punkterna M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2), där x 1 ≠ x 2 . När x 1 = x 2 , då får lutningen värdet av oändlighet, och den räta linjen M 1 M 2 definieras av en allmän ofullständig ekvation av formen x - x 1 = 0 .

Eftersom prickarna M 1 och M 2är på en rät linje, så uppfyller deras koordinater ekvationen y 1 = k x 1 + b och y 2 = k x 2 + b. Det är nödvändigt att lösa ekvationssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b med avseende på k och b.

För att göra detta hittar vi k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Med sådana värden på k och b har ekvationen för en rät linje som går genom de givna två punkterna följande form y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Att memorera ett så stort antal formler på en gång kommer inte att fungera. För att göra detta är det nödvändigt att öka antalet repetitioner för att lösa problem.

Exempel 3

Skriv ekvationen för en rät linje med en lutning som går genom punkter med koordinaterna M 2 (2, 1) och y = k x + b.

Lösning

För att lösa problemet använder vi en formel med en lutning som har formen y \u003d k x + b. Koefficienterna k och b måste ha ett sådant värde att denna ekvation motsvarar en rät linje som går genom två punkter med koordinaterna M 1 (- 7 , - 5) och M 2 (2 , 1) .

poäng M 1 och M 2 placerade på en rät linje, då bör deras koordinater invertera ekvationen y = k x + b den korrekta likheten. Härifrån får vi att - 5 = k · (- 7) + b och 1 = k · 2 + b. Låt oss kombinera ekvationen till systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b och lösa.

Vid byte får vi det

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Nu ersätts värdena k = 2 3 och b = - 1 3 i ekvationen y = k x + b . Vi får att den önskade ekvationen som passerar genom de givna punkterna kommer att vara en ekvation som har formen y = 2 3 x - 1 3 .

Detta sätt att lösa förutbestämmer utgifterna för en stor mängd tid. Det finns ett sätt på vilket uppgiften löses bokstavligen i två steg.

Låt oss skriva den kanoniska ekvationen för en rät linje som går genom M 2 (2, 1) och M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Låt oss nu gå vidare till lutningsekvationen. Vi får att: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Svar: y = 2 3 x - 1 3 .

Om det i det tredimensionella rummet finns ett rektangulärt koordinatsystem O x y z med två givna icke-sammanfallande punkter med koordinaterna M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2), rät linje M som passerar genom dem 1 M 2 , är det nödvändigt att erhålla ekvationen för denna linje.

Vi har att kanoniska ekvationer av formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z och parametriska ekvationer x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ är kunna sätta en linje i O x y z koordinatsystemet som går genom punkter som har koordinater (x 1, y 1, z 1) med en riktningsvektor a → = (a x, a y, a z) .

Rak M 1 M 2 har en riktningsvektor av formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1), där linjen går genom punkten M 1 (x 1 , y 1 , z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2), därför kan den kanoniska ekvationen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, i sin tur, parametrisk x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Betrakta en figur som visar 2 givna punkter i rymden och ekvationen för en rät linje.

Exempel 4

Skriv ekvationen för en rät linje definierad i ett rektangulärt koordinatsystem O x y z i tredimensionellt utrymme, som går genom de givna två punkterna med koordinaterna M 1 (2, - 3, 0) och M 2 (1, - 3, - 5) ) .

Lösning

Vi måste hitta den kanoniska ekvationen. Eftersom vi talar om tredimensionellt rymd betyder det att när en rät linje passerar genom givna punkter kommer den önskade kanoniska ekvationen att ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Som villkor har vi att x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det följer att de nödvändiga ekvationerna kan skrivas på följande sätt:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter

Låt två poäng ges M 1 (x 1, y 1) och M 2 (x 2, y 2). Vi skriver ekvationen för en rät linje i formen (5), där kännu okänd koefficient:

Sedan poängen M 2 tillhör en given linje, då uppfyller dess koordinater ekvation (5): . Genom att uttrycka härifrån och ersätta den i ekvation (5), får vi den önskade ekvationen:

Om en Denna ekvation kan skrivas om i en form som är lättare att komma ihåg:

(6)

Exempel. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M 1 (1.2) och M 2 (-2.3)

Lösning. . Genom att använda proportionsegenskapen och utföra de nödvändiga transformationerna får vi den allmänna ekvationen för en rät linje:

Vinkel mellan två linjer

Tänk på två linjer l 1 och l 2:

l 1: , , och

l 2: , ,

φ är vinkeln mellan dem (). Figur 4 visar: .

Härifrån , eller

Med hjälp av formel (7) kan en av vinklarna mellan linjerna bestämmas. Den andra vinkeln är .

Exempel. Två räta linjer ges av ekvationerna y=2x+3 och y=-3x+2. hitta vinkeln mellan dessa linjer.

Lösning. Det kan ses från ekvationerna att k 1 \u003d 2 och k 2 \u003d-3. genom att ersätta dessa värden i formel (7), finner vi

. Så vinkeln mellan dessa linjer är .

Villkor för parallellitet och vinkelräthet för två linjer

Om rakt l 1 och l 2är alltså parallella φ=0 och tgφ=0. av formel (7) följer att , varifrån k 2 \u003d k 1. Således är villkoret för parallelliteten mellan två linjer att deras sluttningar är lika.

Om rakt l 1 och l 2 vinkelrätt alltså φ=π/2, a2 = π/2+ ai. . Förutsättningen för att två raka linjer ska vara vinkelräta är alltså att deras sluttningar är ömsesidiga i storlek och motsatta i tecken.

Avstånd från punkt till linje

Sats. Om en punkt M(x 0, y 0) ges, så definieras avståndet till linjen Ax + Vy + C \u003d 0 som

Bevis. Låt punkten M 1 (x 1, y 1) vara basen för den vinkelräta som faller från punkten M till den givna linjen. Då är avståndet mellan punkterna M och M 1:

x 1 och y 1 koordinaterna kan hittas som en lösning på ekvationssystemet:

Systemets andra ekvation är ekvationen för en rät linje som går genom en given punkt M 0 vinkelrätt mot en given rät linje.

Om vi ​​transformerar den första ekvationen i systemet till formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sedan, när vi löser, får vi:

Genom att ersätta dessa uttryck i ekvation (1) finner vi:

Teoremet har bevisats.

Exempel. Bestäm vinkeln mellan linjerna: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tgj=; j = p/4.

Exempel. Visa att linjerna 3x - 5y + 7 = 0 och 10x + 6y - 3 = 0 är vinkelräta.

Vi hittar: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, därför är linjerna vinkelräta.

Exempel. Spetsen för triangeln A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) är givna. Hitta ekvationen för höjden från vertex C.

Vi hittar ekvationen för sidan AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Den önskade höjdekvationen är: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.

k= . Då y = . Därför att höjd passerar genom punkt C, då uppfyller dess koordinater denna ekvation: varifrån b \u003d 17. Totalt: .

Svar: 3x + 2y - 34 = 0.

Avståndet från en punkt till en linje bestäms av längden på den vinkelräta som tappas från punkten till linjen.

Om linjen är parallell med projektionsplanet (h | | P 1), sedan för att bestämma avståndet från punkten MEN till rakt h det är nödvändigt att släppa en vinkelrät från punkten MEN till det horisontella h.

Tänk på mer komplext exempel när linjen är i allmänt läge. Låt det vara nödvändigt att bestämma avståndet från punkten M till rakt a allmän ståndpunkt.

Definitionsuppgift avstånd mellan parallella linjer löst på samma sätt som den föregående. En punkt tas på en linje, och en vinkelrät ritas från den till en annan linje. Längden på vinkelrät är lika med avståndet mellan de parallella linjerna.

Kurva av andra ordningenär en linje definierad av en ekvation av andra graden med avseende på de aktuella kartesiska koordinaterna. I det allmänna fallet, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

där A, B, C, D, E, F är reella tal och minst ett av talen A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Cirkel

Cirkel mitt- detta är platsen för punkter i planet på samma avstånd från punkten i planet C (a, b).

Cirkeln ges av följande ekvation:

Där x, y är koordinaterna för en godtycklig punkt på cirkeln, är R cirkelns radie.

Tecken på cirkelekvationen

1. Det finns ingen term med x, y

2. Koefficienterna vid x 2 och y 2 är lika

Ellips

Ellips platsen för punkter i ett plan kallas, summan av avstånden för var och en av vilka från två givna punkter i detta plan kallas foci (ett konstant värde).

Kanonisk ekvation för en ellips:

X och y tillhör en ellips.

a är ellipsens stora halvaxel

b är ellipsens mindre halvaxel

Ellipsen har 2 symmetriaxlar OX och OY. Ellipsens symmetriaxlar är dess axlar, skärningspunkten är ellipsens centrum. Den axel på vilken brännpunkterna är belägna kallas fokal axel. Ellipsens skärningspunkt med axlarna är ellipsens spets.

Kompressionsförhållande (stretching): e = c/a- excentricitet (karakteriserar formen på ellipsen), ju mindre den är, desto mindre förlängs ellipsen längs fokalaxeln.

Om ellipsens centrum inte är i mitten С(α, β)

Hyperbel

Överdriftär platsen för punkter i ett plan, absolutvärde avståndsskillnader, som var och en från två givna punkter i detta plan, kallade foci, är ett konstant värde, som skiljer sig från noll.

Kanonisk ekvation för en hyperbel

En hyperbel har två symmetriaxlar:

a - verklig symmetrihalvaxel

b - imaginär symmetrihalvaxel

Asymptoter för en hyperbel:

Parabel

parabelär platsen för punkter i ett plan på samma avstånd från en given punkt F, kallad fokus, och en given linje, som kallas riktlinje.

Kanonisk parabelekvation:

Y 2 \u003d 2px, där p är avståndet från fokus till riktningen (parabelparameter)

Om parabelns vertex är C (α, β), då är ekvationen för parabeln (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Om fokalaxeln tas som y-axeln kommer parabelekvationen att ha formen: x 2 \u003d 2qy

Fundera på hur man skriver ekvationen för en rät linje som går genom två punkter, med hjälp av exempel.

Exempel 1

Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A(-3; 9) och B(2;-1).

1 sätt - vi kommer att komponera ekvationen för en rät linje med en lutning.

Ekvationen för en rät linje med en lutning har formen . Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och B i ekvationen för en rät linje (x= -3 och y=9 - i det första fallet, x=2 och y= -1 - i det andra), får vi ett ekvationssystem , varifrån vi hittar värdena för k och b:

Om vi ​​adderar term för term de 1:a och 2:a ekvationerna får vi: -10=5k, varav k= -2. Genom att ersätta k= -2 i den andra ekvationen finner vi b: -1=2 (-2)+b, b=3.

Således är y= -2x+3 den önskade ekvationen.

2 sätt - vi kommer att komponera den allmänna ekvationen för en rät linje.

Den allmänna ekvationen för en rät linje har formen . Genom att ersätta koordinaterna för punkterna A och B i ekvationen får vi systemet:

Eftersom antalet okända är större än antalet ekvationer är systemet inte lösbart. Men det är möjligt att uttrycka alla variabler genom en. Till exempel genom b.

Multiplicera den första ekvationen i systemet med -1 och addera term för term till den andra:

vi får: 5a-10b=0. Därför a=2b.

Låt oss ersätta det mottagna uttrycket i den andra ekvationen: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
Ersätt a=2b, c= -3b i ekvationen ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Det återstår att dela båda delarna med b:

Den allmänna ekvationen för en rät linje reduceras lätt till ekvationen för en rät linje med en lutning:

3-vägs - vi kommer att komponera ekvationen för en rät linje som går genom 2 punkter.

Ekvationen för en rät linje som går genom två punkter är:

Ersätt i denna ekvation koordinaterna för punkterna A(-3; 9) och B(2;-1)

(dvs x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

och förenkla:

varav 2x+y-3=0.

I skolkursen används oftast ekvationen för en rät linje med en lutningskoefficient. Men det enklaste sättet är att härleda och använda formeln för ekvationen av en rät linje som går genom två punkter.

Kommentar.

Om, när man ersätter koordinaterna för givna punkter, en av ekvationens nämnare

visar sig vara lika med noll, då erhålls den önskade ekvationen genom att likställa motsvarande täljare med noll.

Exempel 2

Skriv ekvationen för en rät linje som går genom två punkter C(5; -2) och D(7; -2).

Ersätt i ekvationen för en rät linje som går genom 2 punkter koordinaterna för punkterna C och D.

Låt två poäng ges M(X 1 ,På 1) och N(X 2,y 2). Låt oss hitta ekvationen för den räta linjen som går genom dessa punkter.

Eftersom denna linje går genom punkten M, då enligt formel (1.13) har dess ekvation formen

På – Y 1 = K(X-x 1),

Var Kär den okända lutningen.

Värdet på denna koefficient bestäms från villkoret att den önskade räta linjen passerar genom punkten N, vilket betyder att dess koordinater uppfyller ekvationen (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Härifrån kan du hitta lutningen på denna linje:

,

Eller efter konvertering

(1.14)

Formel (1.14) definierar Ekvation för en linje som går genom två punkter M(X 1, Y 1) och N(X 2, Y 2).

I det särskilda fallet när punkterna M(A, 0), N(0, B), MEN ¹ 0, B¹ 0, ligg på koordinataxlarna, ekvation (1.14) har en enklare form

Ekvation (1,15) kallad Ekvation för en rät linje i segment, här MEN och B beteckna segment avskurna med en rak linje på axlarna (Figur 1.6).

Figur 1.6

Exempel 1.10. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna M(1, 2) och B(3, –1).

. Enligt (1.14) har ekvationen för den önskade räta linjen formen

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Genom att överföra alla termer till vänster sida får vi äntligen den önskade ekvationen

3X + 2Y – 7 = 0.

Exempel 1.11. Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt M(2, 1) och skärningspunkten för linjerna X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Vi hittar koordinaterna för linjernas skärningspunkt genom att lösa dessa ekvationer tillsammans

Om vi ​​adderar dessa ekvationer term för term får vi 2 X+ 1 = 0, varifrån . Genom att ersätta det hittade värdet i valfri ekvation hittar vi värdet på ordinatan På:

Låt oss nu skriva ekvationen för en rät linje som går genom punkterna (2, 1) och:

eller .

Därav eller -5( Y – 1) = X – 2.

Slutligen får vi ekvationen för den önskade räta linjen i formen X + 5Y – 7 = 0.

Exempel 1.12. Hitta ekvationen för en rät linje som går genom punkter M(2.1) och N(2,3).

Med formeln (1.14) får vi ekvationen

Det är inte vettigt eftersom den andra nämnaren är noll. Det kan ses av problemets tillstånd att bägge punkternas abskiss har samma värde. Följaktligen är den erforderliga linjen parallell med axeln OY och dess ekvation är: x = 2.

Kommentar . Om, när man skriver ekvationen för en rät linje enligt formel (1.14), en av nämnarna visar sig vara lika med noll, så kan den önskade ekvationen erhållas genom att likställa motsvarande täljare med noll.

Låt oss överväga andra sätt att sätta en rak linje på ett plan.

1. Låt en vektor som inte är noll vara vinkelrät mot en given linje L, och poängen M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje (Figur 1.7).

Figur 1.7

Beteckna M(X, Y) en godtycklig punkt på linjen L. Vektorer och Ortogonal. Genom att använda ortogonalitetsvillkoren för dessa vektorer får vi eller MEN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Vi har fått ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 är vinkelrät mot vektorn. Denna vektor kallas Normal vektor till en rak linje L. Den resulterande ekvationen kan skrivas om som

Åh + Wu + FRÅN= 0, där FRÅN = –(MENX 0 + Förbi 0), (1.16),

Var MEN och PÅär koordinaterna för normalvektorn.

Vi får den allmänna ekvationen för en rät linje i parametrisk form.

2. En linje på ett plan kan definieras enligt följande: låt en vektor som inte är noll vara parallell med en given linje L och prick M 0(X 0, Y 0) ligger på denna linje. Återigen, ta en godtycklig poäng M(X, y) på en rak linje (Figur 1.8).

Figur 1.8

Vektorer och kolinjär.

Låt oss skriva ner tillståndet för kollinearitet för dessa vektorer: , där Tär ett godtyckligt tal som kallas en parameter. Låt oss skriva denna likhet i koordinater:

Dessa ekvationer kallas Parametriska ekvationer Hetero. Låt oss utesluta parametern från dessa ekvationer T:

Dessa ekvationer kan skrivas i formen

. (1.18)

Den resulterande ekvationen kallas Den kanoniska ekvationen för en rät linje. Vector samtal Riktning vektor rak .

Kommentar . Det är lätt att se att if är normalvektorn till linjen L, då kan dess riktningsvektor vara vektorn , eftersom , dvs.

Exempel 1.13. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0(1, 1) parallellt med linje 3 X + 2På– 8 = 0.

Lösning . Vektorn är normalvektorn till de givna och önskade linjerna. Låt oss använda ekvationen för en rät linje som går genom en punkt M 0 med en given normalvektor 3( X –1) + 2(På– 1) = 0 eller 3 X + 2 år- 5 \u003d 0. Vi fick ekvationen för den önskade räta linjen.