Förkortad multiplikationsskillnad av kuber. Förkortade multiplikationsformler

Algebra

Korta multiplikationsformler används för att transformera uttryck. Identiteter används för att representera hela uttrycket som ett polynom och faktorisera polynom.

• 1 summa kvadrat(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Skillnadens kvadrat(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Skillnad mellan rutor a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 summakub(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 skillnadskub(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Summan av kuber a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Skillnad på kuber a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Formler för rutor

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Kubformler

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Formler för fjärde graden

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
följer av \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\).

Förkortade multiplikationsformler

1. Kvaddra summan

2. Kvadratisk skillnad

3. Summa och skillnad av kvadrater

4. Summa till tredje potens (kub av summan)

5. Skillnad till tredje graden (skillnadskub)

6. Summa och skillnad av kuber

7. Formler för förkortad multiplikation för fjärde graden

8. Formler för förkortad multiplikation för femte graden

9. Förkortade multiplikationsformler för sjätte graden

10. Förkortade multiplikationsformler för grad n, där n- vilket naturligt tal som helst

11. Förkortade multiplikationsformler för grad n, där n- jämnt positivt tal

12. Förkortade multiplikationsformler för grad n, där n- udda positivt tal

Förkortade multiplikationsformler (FSU) behövs för att multiplicera och höja till en potens av tal, uttryck, inklusive polynom. Det vill säga att man med hjälp av formler kan arbeta med siffror mycket snabbare och enklare. Således är det möjligt att göra en vanlig ekvation av en komplex ekvation, vilket kommer att förenkla uppgiften.

Tabell med förkortade multiplikationsformler

namn	Formel	Hur man läser
summa kvadrat		Kvadraten på det första uttrycket plus två gånger produkten av det första och andra uttrycket, plus kvadraten på det andra uttrycket.
Skillnadens kvadrat		Kvadraten på skillnaden mellan två uttryck är lika med kvadraten på det första uttrycket, minus två gånger produkten av det första uttrycket med det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.
summakub		Kuben för skillnaden mellan två uttryck är lika med kuben för det första uttrycket plus tre gånger produkten av det första uttrycket i kvadrat med det andra uttrycket, plus tre gånger produkten av det första uttrycket med det andra i kvadrat, plus det andra uttrycket kubad.
skillnadskub		Kuben för skillnaden mellan två kvantiteter är lika med det första uttrycket i kuben minus tre gånger produkten av det första uttrycket i kvadrat med det andra uttrycket, plus tre gånger produkten av det första uttrycket och det andra i kvadrat, minus det andra uttrycket kubad.
Skillnad mellan rutor		Skillnaden mellan kvadraterna för det första och andra uttrycket är lika med produkten av skillnaden mellan de två uttrycken och deras summa.
Summan av kuber		Produkten av summan av två kvantiteter och den ofullständiga kvadraten på skillnaden är lika med summan av deras kuber.
Skillnad på kuber		Produkten av skillnaden mellan två uttryck med den ofullständiga kvadraten på summan är lika med skillnaden mellan deras kuber.

Var uppmärksam på de fyra första formlerna. Tack vare dem kan du kvadrera eller kubera summan (skillnaden) av två uttryck. När det gäller den femte formeln måste den användas för att kort multiplicera skillnaden eller summan av två uttryck.

De två sista formlerna (6 och 7) används för att multiplicera summorna av båda uttrycken med deras ofullständiga kvadratiska skillnad eller summa.

Ovanstående formler behövs ganska ofta i praktiken. Det är därför det är önskvärt att kunna dem utantill.

Om du stöter på ett exempel på att faktorisera ett polynom, måste du i många fall byta vänster och höger sida.

Ta till exempel samma första formel:

och lägg vänster sida till höger och höger sida till vänster:

Samma procedur kan göras med resten av formlerna.

FSU-bevis

Låt oss uppehålla oss vid bevisen för de förkortade multiplikationsformlerna. Det här är inte svårt. Du behöver bara öppna fästena. Tänk på den första formeln - kvadraten på summan:.

Steg ett.

Höj a + b till andra potens. För att göra detta kommer vi inte att röra graden, utan utföra en banal multiplikation: = x.

Steg två. Nu tar vi det ur parentes: x + x.

Steg tre. Expandera parenteserna: x + x + x + x .

Steg fyra. Vi multiplicerar, inte att glömma tecknen: x + x +.

Steg fem. Vi förenklar uttrycket: .

På samma sätt kan absolut vilken förkortad multiplikationsformel som helst bevisas.

Exempel och lösningar med FSO

Som regel används dessa sju formler när du behöver förenkla uttrycket för att lösa valfri ekvation och till och med ett vanligt exempel.

Exempel 1

Träning

Förenkla uttrycket:

Som du kan se passar den första förkortade multiplikationsformeln, Sumkvadrat, detta exempel.

Lösning

Baserat på den första formeln är det nödvändigt att dekomponera exemplet i faktorer. För att göra detta tittar vi på formeln och ersätter siffror istället för bokstäver. I vårt fall är "a" 3x och "b" är 5:

Vi överväger rätt sida och skriver resultatet. Vi får:

I exemplet måste du multiplicera allt som multipliceras och omedelbart få svaret:

Visst finns det exempel med bråk. Men om du lär dig att lösa enkla exempel, kommer du inte att vara rädd för andra typer.

Exempel 2

Träning

Förenkla uttrycket

Lösning

= – x x + =

Dubbelprodukten av dessa uttryck är , som sammanfaller med den andra medlemmen av trinomialet (med plustecknet), vilket betyder

Så, som du kan se, finns det inget komplicerat i exemplen. Det viktigaste är att känna till formlerna, var de kan tillämpas och var du kan klara dig utan dem.

Användbara källor

1. Arefieva I. G., Piryutko O. N. Algebra: lärobokhandbok för 7:e klass av institutioner för allmän gymnasieutbildning: Minsk "Narodnaya Asveta", 2017 - 304 s.
2. Nikolsky S. M., Potapov M. K. Algebra Betyg 7: M: 2015 - 287 s.
3. Rubin A.G., Chulkov P.V. Algebra. 7 grader. M: 2015 - 224 sid.

FSU - formler för förkortad multiplikation i algebra för årskurs 7 med exempel uppdaterad: 22 november 2019 av: Vetenskapliga artiklar.Ru

Matematiska uttryck (formler) förkortad multiplikation(kvadraten av summan och skillnaden, kuben av summan och skillnaden, skillnaden mellan kvadrater, summan och skillnaden av kuber) är extremt oersättliga inom många områden av de exakta vetenskaperna. Dessa 7 tecken är oersättliga när man förenklar uttryck, löser ekvationer, multiplicerar polynom, reducerar bråk, löser integraler och mycket mer. Så det kommer att vara mycket användbart att ta reda på hur de erhålls, vad de är till för, och viktigast av allt, hur man kommer ihåg dem och sedan tillämpar dem. Ansöker sedan förkortade multiplikationsformler i praktiken blir det svåraste att se vad som är X och vad har. Det finns uppenbarligen inga begränsningar på a och b nej, vilket betyder att det kan vara vilket numeriskt eller bokstavligt uttryck som helst.

Och så här är de:

Först x 2 - vid 2 = (x - y) (x + y).Att räkna ut skillnad på rutor två uttryck, är det nödvändigt att multiplicera skillnaderna mellan dessa uttryck med deras summor.

Andra (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Att hitta summan i kvadrat två uttryck måste du lägga till kvadraten av det första uttrycket två gånger produkten av det första uttrycket med det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.

Tredje (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Att räkna ut skillnaden i kvadrat två uttryck måste du subtrahera från kvadraten av det första uttrycket två gånger produkten av det första uttrycket med det andra plus kvadraten på det andra uttrycket.

Fjärde (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 år + 3x 2 + vid 3. Att räkna ut summakub två uttryck måste du lägga till kuben av det första uttrycket tre gånger produkten av kvadraten av det första uttrycket och det andra, plus tre gånger produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra, plus kuben av andra uttrycket.

Femte (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 år + 3x 2 - vid 3. Att räkna ut skillnadskub två uttryck, är det nödvändigt att subtrahera från kuben av det första uttrycket tre gånger produkten av kvadraten av det första uttrycket med det andra plus tre gånger produkten av det första uttrycket och kvadraten av det andra minus kuben av det andra uttryck.

sjätte x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Att räkna ut summan av kuber två uttryck måste du multiplicera summan av de första och andra uttrycken med den ofullständiga kvadraten på skillnaden mellan dessa uttryck.

sjunde x 3 - vid 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) För att göra en beräkning kub skillnader två uttryck, är det nödvändigt att multiplicera skillnaden mellan de första och andra uttrycken med den ofullständiga kvadraten på summan av dessa uttryck.

Det är inte svårt att komma ihåg att alla formler används för att göra beräkningar i motsatt riktning (från höger till vänster).

Förekomsten av dessa regelbundenheter var känd för cirka 4 tusen år sedan. De användes i stor utsträckning av invånarna i det forntida Babylon och Egypten. Men i dessa epoker uttrycktes de verbalt eller geometriskt och använde inte bokstäver i beräkningar.

Låt oss analysera summa kvadratbevis(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2.

Detta matematisk regelbundenhet bevisade den antika grekiska vetenskapsmannen Euclid, som arbetade i Alexandria på 300-talet f.Kr., använde han den geometriska metoden för att bevisa formeln för detta, eftersom forskarna i det antika Hellas inte heller använde bokstäver för att beteckna siffror. De använde överallt inte "a 2", utan "kvadrat på segment a", inte "ab", utan "rektangel innesluten mellan segmenten a och b".

Förkortade uttrycksformler används mycket ofta i praktiken, så det är lämpligt att lära sig dem alla utantill. Tills nu kommer vi att tjäna troget, vilket vi rekommenderar att du skriver ut och håller framför ögonen hela tiden:

De fyra första formlerna från den sammanställda tabellen med förkortade multiplikationsformler låter dig kvadratisera och kubera summan eller skillnaden mellan två uttryck. Den femte är för att kort multiplicera skillnaden och summan av två uttryck. Och de sjätte och sjunde formlerna används för att multiplicera summan av två uttryck a och b med deras ofullständiga kvadrat av skillnaden (så här kallas uttrycket för formen a 2 −a b + b 2) och skillnaden mellan två uttryck a och b med den ofullständiga kvadraten på deras summa (a 2 + a b+b 2 ).

Det är värt att notera separat att varje jämställdhet i tabellen är en identitet. Detta förklarar varför formler för förkortad multiplikation också kallas för förkortade multiplikationsidentiteter.

När man löser exempel, särskilt där faktoriseringen av ett polynom äger rum, används FSU ofta i formen med de vänstra och högra delarna omarrangerade:

De tre sista identiteterna i tabellen har sina egna namn. Formeln a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) kallas formel för skillnad på kvadrater, a 3 + b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - formeln för summan av kuber, a a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - formel för kubskillnad. Observera att vi inte namngav motsvarande formler med omarrangerade delar från föregående FSU-tabell.

Ytterligare formler

Det skadar inte att lägga till några fler identiteter i tabellen med förkortade multiplikationsformler.

Omfattningar av förkortade multiplikationsformler (FSU) och exempel

Huvudsyftet med de förkortade multiplikationsformlerna (FSU) förklaras av deras namn, det vill säga det består av en kort multiplikation av uttryck. Omfattningen av FSO är dock mycket bredare och är inte begränsad till kort multiplikation. Låt oss lista de viktigaste riktningarna.

Utan tvekan hittades den centrala tillämpningen av formeln för reducerad multiplikation i att utföra identiska transformationer av uttryck. Oftast används dessa formler i processen uttrycksförenklingar.

Exempel.

Förenkla uttrycket 9·y−(1+3·y) 2 .

Lösning.

I detta uttryck kan kvadrering utföras förkortat har vi 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Det återstår bara att öppna parenteserna och ge liknande villkor: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

I täljaren är uttrycket skillnaden mellan kuberna för två uttryck 2 x och z 2 , och i nämnaren - skillnaden mellan kvadraterna för dessa uttryck. Efter att ha tillämpat lämpliga formler kommer den ursprungliga fraktionen att anta formen . Nu kan du minska samma faktorer i täljaren och nämnaren: .

Låt oss kort sammanfatta lösningen:

Svar:

.

Reducerade multiplikationsformler gör det ibland möjligt att rationellt beräkna värdena på uttryck. Som ett exempel, låt oss visa hur du kan kvadrera talet 79 med kvadratskillnaden: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6400−160+1=6241 . Detta tillvägagångssätt låter dig utföra sådana beräkningar även muntligt.

Avslutningsvis, låt oss prata om ytterligare en viktig transformation - kvadrera ett binomial, som är baserad på formeln för förkortad multiplikationskvadratsumma. Till exempel kan uttrycket 4·x 2 +4·x−3 konverteras till formen (2·x) 2 +2·2·x·1+1 2 −4 , och de tre första termerna ersätts med hjälp av formel med kvadraten på summan. Så uttrycket blir (2 x+1) 2 −4 . Sådana transformationer används i stor utsträckning, till exempel för .

Bibliografi.

• Algebra: lärobok för 7 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 17:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 240 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7 grader. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 13:e upplagan, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 s.: ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematik (en manual för sökande till tekniska skolor): Proc. ersättning.- M.; Högre skola, 1984.-351 s., ill.

>>Matematik: Formler med reducerad multiplikation

Förkortade multiplikationsformler

Det finns flera fall där multiplikationen av ett polynom med ett annat leder till ett kompakt resultat som är lätt att komma ihåg. I dessa fall är det bättre att inte multiplicera en gång varje gång polynomå andra sidan och använd det färdiga resultatet. Låt oss överväga dessa fall.

1. Kvadraten på summan och kvadraten på skillnaden:

Exempel 1Öppna parenteser i ett uttryck:

a) (3x + 2)2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) Vi använder formel (1), med hänsyn till att rollen som a spelas av 3x, och rollen som b är siffran 2.
Vi får:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Vi använder formel (2), med tanke på det i rollen a talar 5a 2, och i rollen b talar 4b 3. Vi får:

(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

När du använder formlerna för kvadraten på summan eller kvadraten på skillnaden, tänk på det
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Detta följer av det faktum att (- a) 2 = a 2 .

Observera att vissa matematiska trick är baserade på formlerna (1) och (2), så att du kan göra beräkningar i ditt huvud.

Till exempel kan man praktiskt taget verbalt kvadrera tal som slutar på 1 och 9. Verkligen

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Ibland kan du också snabbt kvadrera ett tal som slutar på 2 eller 8. T.ex.

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Men det mest eleganta tricket innebär att kvadrera siffror som slutar på 5.
Låt oss föra motsvarande resonemang för 85 2 .

Vi har:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Vi noterar att för att beräkna 85 2 räckte det att multiplicera 8 med 9 och lägga till 25 till höger till det erhållna resultatet. På samma sätt kan du göra detsamma i andra fall. Till exempel, 35 2 \u003d 1225 (3 4 \u003d 12 och 25 lades till det resulterande numret till höger);

652 = 4225; 1252 \u003d 15625 (12 18 \u003d 156 och 25 lades till det resulterande numret till höger).

Eftersom vi talar om olika märkliga omständigheter förknippade med tråkiga (vid första anblicken) formler (1) och (2), kommer vi att komplettera denna konversation med följande geometriska resonemang. Låt a och b vara positiva siffror. Betrakta en kvadrat med sidan a + b och skär ut rutor med sidor lika med a respektive b i två av dess hörn (bild 4).

Arean av en kvadrat med sidan a + b är (a + b) 2 . Men vi skär denna kvadrat i fyra delar: en kvadrat med sidan a (dess area är a 2), en kvadrat med sidan b (dess area är b 2), två rektanglar med sidorna a och b (arean av varje sådan rektangeln är ab). Följaktligen, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, d.v.s. vi har erhållit formel (1).

Multiplicera binomialen a + b med binomialen a - b. Vi får:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
Så

All likhet i matematik används både från vänster till höger (dvs. den vänstra sidan av likheten ersätts av dess högra sida) och från höger till vänster (dvs. den högra sidan av likheten ersätts av dess vänstra sida). Om formel C) används från vänster till höger, låter den dig ersätta produkten (a + b) (a - b) med det färdiga resultatet a 2 - b 2 . Samma formel kan användas från höger till vänster, då låter den dig ersätta skillnaden mellan rutor a 2 - b 2 med produkten (a + b) (a - b). Formel (3) i matematik får ett speciellt namn - skillnaden mellan kvadrater.

Kommentar. Blanda inte ihop termerna "skillnad mellan rutor" och "kvadratskillnad". Skillnaden mellan kvadrater är a 2 - b 2, vilket betyder att vi talar om formel (3); kvadraten på skillnaden är (a-b) 2, så vi pratar om formel (2). I vanligt språk läses formel (3) "från höger till vänster" enligt följande:

skillnaden mellan kvadraterna av två tal (uttryck) är lika med produkten av summan av dessa tal (uttryck) och deras skillnad,

Exempel 2 Utför multiplikation

(3x-2y)(3x+2y)
Lösning. Vi har:
(3x - 2y) (3x + 2y) \u003d (3x) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.

Exempel 3 Uttryck binomialen 16x 4 - 9 som en produkt av binomialen.

Lösning. Vi har: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, vilket betyder att den givna binomialen är skillnaden mellan kvadrater, dvs. formel (3), läs från höger till vänster, kan tillämpas på den. Då får vi:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - B 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formel (3), liksom formlerna (1) och (2), används för matematiska trick. Ser:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Låt oss avsluta samtalet om formeln för skillnaden mellan kvadrater med ett nyfiket geometriskt resonemang. Låt a och b vara positiva tal, där a > b. Betrakta en rektangel med sidorna a + b och a - b (fig. 5). Dess område är (a + b) (a - b). Skär av en rektangel med sidorna b och a - b och limma fast den på den återstående delen som visas i figur 6. Det är tydligt att den resulterande figuren har samma yta, dvs (a + b) (a - b). Men den här siffran kan
bygg så här: från en ruta med sida a, skär ut en ruta med sida b (det syns tydligt i fig. 6). Så arean av den nya figuren är a 2 - b 2 . Så, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, d.v.s. vi fick formeln (3).

3. Skillnad mellan kuber och summa av kuber

Multiplicera binomialet a - b med trinomiet a 2 + ab + b 2.
Vi får:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

Liknande

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(kolla själv). Så,

Formel (4) brukar kallas skillnad på kuber, formel (5) - summan av kuber. Låt oss försöka översätta formlerna (4) och (5) till ett vanligt språk. Innan du gör detta, notera att uttrycket a 2 + ab + b 2 liknar uttrycket a 2 + 2ab + b 2 som förekom i formel (1) och gav (a + b) 2 ; uttrycket a 2 - ab + b 2 liknar uttrycket a 2 - 2ab + b 2 som förekom i formel (2) och gav (a - b) 2 .

För att skilja (på språket) dessa uttryckspar från varandra kallas vart och ett av uttrycken a 2 + 2ab + b 2 och a 2 - 2ab + b 2 en perfekt kvadrat (summa eller skillnad), och vart och ett av uttrycken a 2 + ab + b 2 och a 2 - ab + b 2 kallas en ofullständig kvadrat (summa eller skillnad). Då får vi följande översättning av formlerna (4) och (5) (läs "från höger till vänster") till vanligt språk:

skillnaden mellan kuber av två tal (uttryck) är lika med produkten av skillnaden mellan dessa tal (uttryck) med den ofullständiga kvadraten på deras summa; summan av kuber av två tal (uttryck) är lika med produkten av summan av dessa tal (uttryck) med den ofullständiga kvadraten på deras skillnad.

Kommentar. Alla formler (1)-(5) som erhålls i detta avsnitt används både från vänster till höger och från höger till vänster, bara i det första fallet (från vänster till höger) säger de att (1)-(5) är förkortad multiplikation formler, och i det andra fallet (från höger till vänster) säger de att (1)-(5) är faktoriseringsformler.

Exempel 4 Multiplicera (2x-1)(4x2 + 2x+1).

Lösning. Eftersom den första faktorn är skillnaden mellan monomialerna 2x och 1, och den andra faktorn är den ofullständiga kvadraten av deras summa, kan formel (4) användas. Vi får:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

Exempel 5 Uttryck binomialet 27a 6 + 8b 3 som en produkt av polynom.

Lösning. Vi har: 27а 6 = (För 2) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Detta betyder att den givna binomialen är summan av kuber, dvs formel 95) kan appliceras på den, läs från höger till vänster. Då får vi:

27a 6 + 8b 3 = (För 2) 3 + (2b) 3 = (För 2 + 2b) ((För 2) 2 - För 2 2b + (2b) 2) = (För 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2b + 4b 2).

Hjälp en elev online, nedladdning av matematik för årskurs 7, kalendertematisk planering

A. V. Pogorelov, Geometri för årskurserna 7-11, Lärobok för utbildningsinstitutioner

Lektionens innehåll lektionssammanfattning stödram lektionspresentation accelerativa metoder interaktiva tekniker Öva uppgifter och övningar självgranskning workshops, utbildningar, fall, uppdrag läxor diskussionsfrågor retoriska frågor från studenter Illustrationer ljud, videoklipp och multimedia fotografier, bilder grafik, tabeller, scheman humor, anekdoter, skämt, serieliknelser, talesätt, korsord, citat Tillägg sammandrag artiklar chips för nyfikna cheat sheets läroböcker grundläggande och ytterligare ordlista med termer andra Förbättra läroböcker och lektionerrätta fel i läroboken uppdatera ett fragment i lärobokens element av innovation i lektionen och ersätta föråldrad kunskap med nya Endast för lärare perfekta lektioner kalenderplan för året metodiska rekommendationer för diskussionsprogrammet Integrerade lektioner