Planens parallellitet: tecken, tillstånd. Den relativa positionen för två plan i rymden Tecken på parallellitet mellan två plan Avvikelse från parallelliteten för hålens axlar
TEXT FÖRKLARING AV LEKTIONEN:
Låt oss introducera begreppet parallella plan
Enligt axiom A3, om två plan har en gemensam punkt, så skär de varandra i en rät linje.
Det följer av detta att planen antingen skär varandra i en rät linje, eller inte skärs, det vill säga att de inte har en enda gemensam punkt.
Definition. Två plan kallas parallella om de inte skär varandra.
Om planen är parallella, skriv:.
Sats (ett tecken på parallellitet mellan plan).
Om två skärande linjer i ett plan är parallella med två skärande linjer i ett annat plan, så är dessa plan parallella.
Bevis.
Tänk på två plan: .
De skärande linjerna a1 och b1 ligger i planet, och de skärande linjerna a2 och b2 parallella med dem ligger i planet.
Låt oss bevisa det.
Bevis. Vi argumenterar med motsägelse.
Antag att planen inte är parallella. Sedan finns det en linje c, de skär varandra på något sätt.
Eftersom linjen a1 är parallell med linjen a2 som ligger i planet, är linjen a1 parallell med planet.
På liknande sätt är linjen b1 parallell med planet.
Nu kan du använda egenskapen för en rät linje parallell med ett plan.
Eftersom planet passerar genom linjen a1 parallellt med ett annat plan och skär detta plan, kommer skärningslinjen för planen c att vara parallell med linjen a1, d.v.s.
Men planet går därför också genom linjen b1 parallellt med planet.
Således går två linjer a1 och b1 genom punkt O1 och är parallella med linje c.
Men detta är omöjligt, bara en rät linje parallell med c kan passera genom O1.
Förutsatt att vi har kommit fram till en motsägelse. Följaktligen.
Teoremet har bevisats.
Uppgift 1. Tre segment A1A2, B1B2 och C1C2, som inte ligger i samma plan, har en gemensam mittpunkt. Bevisa att planen A1B1C1 och A2B2C2 är parallella.
Segmenten A1A2, B1B2 och C1C2 ligger inte i samma plan
O - gemensam mittpunkt av segment
Bevisa: Plan A1B1C1 plan A2B2C2
I planet A1B1C1 tar vi de korsande segmenten A1B1 och A1C1, och i planet A2B2C2 - segmenten A2B2 och A2C2. Låt oss bevisa att de är parallella.
Betrakta fyrhörningen A1B1A2B2.
Eftersom dess diagonaler är delade i skärningspunkten är det ett parallellogram.
Därför A1B1 A2B2
På samma sätt, från fyrhörningen A1C1A2C2 får vi den A1C1 A2C2.
På basis av planens parallellitet,
Alla som någon gång studerat eller för närvarande studerar i skolan har haft olika svårigheter att studera de discipliner som ingår i utbildningsministeriets program.
Vilka svårigheter möter du
Studiet av språk åtföljs av memorering av befintliga grammatiska regler och de viktigaste undantagen från dem. Idrott kräver av eleverna en stor uträkning, god fysisk form och stort tålamod.
Inget kan dock jämföras med de svårigheter som uppstår i studiet av exakta discipliner. Algebra, som innehåller invecklade sätt att lösa elementära problem. Fysik med en rik uppsättning formler för fysiska lagar. Geometri och dess sektioner, som bygger på komplexa satser och axiom.
Ett exempel är axiomen som förklarar teorin om planens parallellitet, som måste komma ihåg, eftersom de ligger till grund för hela skolans läroplan om stereometri. Låt oss försöka ta reda på hur enklare och snabbare detta kan göras.
Parallella plan genom exempel
Axiomet, som indikerar planens parallellitet, är som följer: " Alla två plan anses vara parallella endast om de inte innehåller gemensamma punkter.”, det vill säga att de inte korsar varandra. För att föreställa oss denna bild mer i detalj, som ett elementärt exempel, kan vi citera förhållandet mellan tak och golv eller motsatta väggar i en byggnad. Det blir omedelbart klart vad som menas, och faktum bekräftas också att dessa plan i det vanliga fallet aldrig kommer att skära varandra.
Ett annat exempel är ett tvåglasfönster, där glasskivor fungerar som plan. De kommer inte heller under några omständigheter att bilda skärningspunkter med varandra. Utöver detta kan du lägga till bokhyllor, en Rubiks kub, där planen är dess motsatta ansikten, och andra delar av vardagen.
De betraktade planen är betecknade med ett speciellt tecken i form av två räta linjer "||", som tydligt illustrerar planens parallellitet. Genom att tillämpa verkliga exempel kan man alltså bilda sig en tydligare uppfattning om ämnet, och därför kan man gå vidare till övervägandet av mer komplexa begrepp.
Var och hur tillämpas teorin om parallella plan?
När man studerar en skolgeometrikurs måste eleverna hantera mångsidiga uppgifter, där det ofta är nödvändigt att bestämma parallelliteten mellan räta linjer, en rät linje och ett plan mellan sig eller planens beroende av varandra. Genom att analysera det befintliga tillståndet kan varje uppgift relateras till de fyra huvudklasserna av stereometri.
Den första klassen innehåller uppgifter där det är nödvändigt att bestämma parallelliteten för en rät linje och ett plan mellan sig. Dess lösning reduceras till beviset för satsen med samma namn. För att göra detta måste du bestämma om det för en linje som inte hör till det aktuella planet finns en parallell linje i detta plan.
Den andra klassen av problem inkluderar de där tecknet för parallella plan används. Det används för att förenkla bevisprocessen, vilket avsevärt minskar tiden för att hitta en lösning.
Nästa klass täcker spektrumet av problem om linjers överensstämmelse med huvudegenskaperna för parallellism av plan. Lösningen av problem i den fjärde klassen är att avgöra om villkoret för parallella plan är uppfyllt. Genom att veta exakt hur bevisningen av ett visst problem sker, blir det lättare för eleverna att navigera när de tillämpar den befintliga arsenalen av geometriska axiom.
Sålunda reduceras uppgifterna, vars tillstånd kräver att definiera och bevisa parallelliteten hos räta linjer, en rät linje och ett plan eller två plan med varandra, till det korrekta valet av satsen och lösningen enligt den befintliga uppsättningen av regler.
Om parallelliteten mellan en rät linje och ett plan
Parallelliteten för en rak linje och ett plan är ett speciellt ämne inom stereometri, eftersom det är just detta som är det grundläggande konceptet på vilket alla efterföljande egenskaper hos parallelliteten hos geometriska figurer är baserade.
Enligt de tillgängliga axiomen, i det fall då två punkter på en rät linje tillhör ett visst plan, kan vi dra slutsatsen att den givna räta linjen också ligger i det. I denna situation blir det tydligt att det finns tre alternativ för linjens placering i förhållande till planet i rymden:
- Linjen tillhör planet.
- För en linje och ett plan finns en gemensam skärningspunkt.
- Det finns inga skärningspunkter för en rät linje och ett plan.
Vi är särskilt intresserade av den sista varianten, när det inte finns några skärningspunkter. Först då kan vi säga att linjen och planet är parallella i förhållande till varandra. Således bekräftas tillståndet för huvudsatsen om tecknet på parallellitet för en rät linje och ett plan, som säger att: "Om en linje som inte tillhör det aktuella planet är parallell med någon linje i det planet, så är linjen i fråga också parallell med det givna planet."
Behovet av att använda tecknet på parallellism
Planens parallellitets tecken används vanligtvis för att hitta en förenklad lösning på problem kring plan. Kärnan i detta tecken är följande: Om det finns två skärande linjer som ligger i samma plan, parallella med två linjer som tillhör ett annat plan, kan sådana plan kallas parallella».
Ytterligare satser
Förutom att använda en egenskap som bevisar planens parallellitet, kan man i praktiken stöta på användningen av två andra ytterligare satser. Den första presenteras i följande form: Om ett av de två parallella planen är parallellt med det tredje, så är det andra planet antingen parallellt med det tredje eller helt sammanfaller med det».
Baserat på användningen av de givna satserna är det alltid möjligt att bevisa planens parallellitet med avseende på det aktuella utrymmet. Den andra satsen visar planets beroende av en vinkelrät linje och har formen: " Om två icke-sammanfallande plan är vinkelräta mot någon rät linje, anses de vara parallella med varandra».
Konceptet med ett nödvändigt och tillräckligt villkor
När man upprepade gånger löser problem med att bevisa planens parallellitet, härleddes ett nödvändigt och tillräckligt villkor för planens parallellitet. Det är känt att vilket plan som helst ges av en parametrisk ekvation av formen: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Vårt tillstånd är baserat på användningen av ett ekvationssystem som anger platsen för plan i rymden, och representeras av följande formulering: För att bevisa parallelliteten mellan två plan är det nödvändigt och tillräckligt att ekvationssystemet som beskriver dessa plan är inkonsekvent, det vill säga inte har någon lösning».
Grundläggande egenskaper
Men när man löser geometriska problem är det inte alltid tillräckligt att använda tecknet på parallellitet. Ibland uppstår en situation när det är nödvändigt att bevisa parallelliteten mellan två eller flera linjer i olika plan eller likheten mellan segmenten som finns på dessa linjer. För att göra detta, använd egenskaperna för parallella plan. Inom geometri finns det bara två av dem.
Den första egenskapen låter dig bedöma parallelliteten hos linjer i vissa plan och presenteras i följande form: Om två parallella plan skärs av ett tredje, kommer linjerna som bildas av skärningslinjerna också att vara parallella med varandra».
Innebörden av den andra egenskapen är att bevisa likheten mellan segment som ligger på parallella linjer. Dess tolkning presenteras nedan. " Om vi betraktar två parallella plan och omsluter ett område mellan dem, så kan man hävda att längden på segmenten som bildas av denna region kommer att vara densamma».
Den här artikeln kommer att studera frågorna om planens parallellitet. Låt oss ge en definition av plan som är parallella med varandra; vi betecknar parallellismens tecken och tillräckliga villkor; Låt oss titta på teori genom illustrationer och praktiska exempel.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definition 1
Parallella planär plan som inte har gemensamma punkter.
För att beteckna parallellitet används följande symbol: ∥. Om två plan ges: α och β , som är parallella, kommer en kort post om detta att se ut så här: α ‖ β .
På ritningen visas som regel plan parallella med varandra som två lika parallellogram förskjutna från varandra.
I tal kan parallellism betecknas på följande sätt: planen α och β är parallella, och även - planet α är parallell med planet β eller planet β är parallell med planet α.
Planens parallellitet: tecken och villkor för parallellism
I processen att lösa geometriska problem uppstår ofta frågan: är parallella givna plan sinsemellan? För att svara på denna fråga används tecknet för parallellitet, vilket också är ett tillräckligt villkor för planens parallellitet. Låt oss skriva ner det som ett teorem.
Sats 1
Plan är parallella om två skärande linjer i ett plan är parallella med två skärande linjer i ett annat plan.
Beviset för denna sats ges i geometriprogrammet för årskurserna 10 - 11.
I praktiken, för att bevisa parallellism, bland annat, används följande två satser.
Sats 2
Om ett av de parallella planen är parallellt med det tredje planet, så är det andra planet antingen också parallellt med detta plan eller sammanfaller med det.
Sats 3
Om två icke-sammanfallande plan är vinkelräta mot någon linje, så är de parallella.
På grundval av dessa satser och tecknet på parallellism i sig bevisas faktumet av parallellism för alla två plan.
Låt oss överväga mer i detalj det nödvändiga och tillräckliga villkoret för parallelliteten för planen α och β, givet i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd.
Låt oss anta att i något rektangulärt koordinatsystem är planet α givet, vilket motsvarar den allmänna ekvationen A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, och även planet β är givet, som definieras av den allmänna ekvationen av formen A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .
Sats 4
För att de givna planen α och β ska vara parallella är det nödvändigt och tillräckligt att systemet linjära ekvationer A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0 hade ingen lösning (var inkonsekvent).
Bevis
Antag att de givna plan som definieras av ekvationerna A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 och A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 är parallella och därför inte har gemensamma punkter. Det finns alltså inte en enda punkt i det rektangulära koordinatsystemet för tredimensionellt rymd, vars koordinater skulle motsvara förhållandena för båda ekvationerna av planen samtidigt, dvs. system A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 har ingen lösning. Om det angivna systemet inte har några lösningar, finns det inte en enda punkt i det rektangulära koordinatsystemet för tredimensionellt rymd, vars koordinater samtidigt skulle uppfylla villkoren för systemets båda ekvationer. Därför har planen som ges av ekvationerna A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 och A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 inga gemensamma punkter, d.v.s. de är parallella.
Låt oss analysera användningen av det nödvändiga och tillräckliga villkoret för planens parallellitet.
Exempel 1
Givet två plan: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 och 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Du måste avgöra om de är parallella.
Lösning
Vi skriver ner ekvationssystemet från de givna förhållandena:
2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0
Låt oss kontrollera om det är möjligt att lösa det resulterande systemet med linjära ekvationer.
Rangen på matrisen 2 3 1 2 3 1 1 3 är lika med ett, eftersom andra ordningens minderåriga är lika med noll. Rangen på matrisen 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 är lika med två, eftersom minor av 2 1 2 3 - 4 är icke-noll. Således är rangordningen för ekvationssystemets huvudmatris mindre än rangordningen för systemets utökade matris.
Tillsammans med detta följer av Kronecker-Capelli-satsen: ekvationssystemet 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 har inga lösningar. Detta faktum bevisar att planen 2 x + 3 y + z - 1 = 0 och 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 är parallella.
Observera att om vi tillämpade Gauss-metoden för att lösa ett system av linjära ekvationer, skulle detta ge samma resultat.
Svar: givna plan är parallella.
Det nödvändiga och tillräckliga villkoret för att planen ska vara parallella kan beskrivas på annat sätt.
Sats 5
För att två icke-sammanfallande plan α och β ska vara parallella med varandra, är det nödvändigt och tillräckligt att normalvektorerna för planen α och β är kolinjära.
Beviset för det formulerade tillståndet är baserat på definitionen av planets normalvektor.
Antag att n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) och n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) är normalvektorerna för planen α respektive β. Låt oss skriva tillståndet för kollinearitet för dessa vektorer:
n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, där t är något riktigt nummer.
För att icke-sammanfallande plan α och β med normalvektorerna ovan ska vara parallella, är det nödvändigt och tillräckligt att ett reellt tal t äger rum, för vilket likheten är sann:
n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2
Exempel 2
Planen α och β ges i ett rektangulärt koordinatsystem av tredimensionellt rymd. Planet α passerar genom punkterna: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Planet β beskrivs av ekvationen x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Det är nödvändigt att bevisa parallelliteten för de givna planen.
Lösning
Låt oss se till att de givna planen inte sammanfaller. Det är faktiskt så, eftersom koordinaterna för punkten A inte motsvarar ekvationen för planet β.
Nästa steg är att bestämma koordinaterna för normalvektorerna n 1 → och n 2 → motsvarande planen α och β . Vi kontrollerar också tillståndet för kollinearitet för dessa vektorer.
Vektorn n 1 → kan specificeras genom att ta korsprodukten av vektorer A B → och A C → . Deras koordinater är respektive: (- 3 , 0 , 1) och (- 2 , 2 , - 2) . Sedan:
n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)
För att erhålla koordinaterna för normalvektorn för planet x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, reducerar vi denna ekvation till den allmänna ekvationen för planet:
x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0
Således: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .
Låt oss kontrollera om tillståndet för kolinaritet för vektorerna n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) och n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4
Eftersom - 1 \u003d t 1 12 - 8 \u003d t 2 3 - 3 \u003d t 1 4 ⇔ t \u003d - 12, då är vektorerna n 1 → och n 2 → relaterade av likheten n 1 → = - . n 2 → , dvs. är kolinjära.
Svar: planen α och β sammanfaller inte; deras normala vektorer är kolinjära. Planen α och β är alltså parallella.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Föreläsning nummer 4.
Avvikelser i form och placering av ytor.
GOST 2,308-79
När man analyserar noggrannheten hos de geometriska parametrarna för delar, nominella och verkliga ytor, särskiljs profiler; nominellt och reellt arrangemang av ytor och profiler. Nominella ytor, profiler och ytarrangemang bestäms av nominella dimensioner: linjär och vinkel.
Verkliga ytor, profiler och ytarrangemang erhålls som ett resultat av tillverkningen. De har alltid avvikelser från det nominella.
Formtoleranser.
Grunden för bildandet och kvantitativ bedömning av avvikelser i form av ytor är angränsande princip.
angränsande element, detta är ett element i kontakt med den verkliga ytan och beläget utanför delens material, så att avståndet från det vid den mest avlägsna punkten på den verkliga ytan inom det normaliserade området skulle ha ett minimivärde.
Ett angränsande element kan vara: en rät linje, ett plan, en cirkel, en cylinder, etc. (Fig. 1, 2).
1 - intilliggande element;
2 - verklig yta;
L är längden av den normaliserade sektionen;
Δ - formavvikelse, bestämd från det intilliggande elementet längs normalen till ytan.
T - formtolerans.
Fig 2. Fig. ett
Toleransfält- ett område i rymden som begränsas av två ekvidistanta ytor åtskilda från varandra på ett avstånd lika med toleransen T, som avsätts från det intilliggande elementet i delens kropp.
Formens kvantitativa avvikelse uppskattas av det största avståndet från punkterna på den verkliga ytan (profilen) till den intilliggande ytan (profilen) längs normalen till den senare (fig. 2). Intilliggande ytor är: arbetsytor på arbetsplattor, interferensglas, böjda linjaler, kalibrar, styrdorn, etc.
Formtolerans kallas den största tillåtna avvikelsen Δ (Fig. 2).
Avvikelser i form av ytor.
1. Avvikelse från rakhet i planetär maximum från punkterna i den verkliga profilen till den intilliggande räta linjen. (Fig. 3a).
Ris. 3
Beteckning på ritningen:
Rakhetstolerans 0,1 mm på baslängd 200 mm
2. Flathetstolerans- detta är det största tillåtna avståndet () från punkterna på den verkliga ytan till det intilliggande planet inom det normaliserade området (fig. 3b).
Beteckning på ritningen:
Planhetstolerans (högst) 0,02 mm på basytan 200 100 mm.
Kontrollmetoder.
Mätning av planhet med en roterande planmätare.
Figur 5a.
Fig 5b. Schema för att mäta icke-planhet.
Kontroll i schema 6b
utförs i ljus eller
med en sond
(fel 1-3μm)
Figur 6. Schema för att mäta icke rakhet.
Planhetskontroll utförs:
Genom metoden "På färgen" av antalet fläckar i ramen storlek 25 25mm
Med hjälp av interferensplattor (för färdiga ytor upp till 120 mm) (Fig. 7).
När en platta appliceras med en lätt lutning mot ytan av en rektangulär del som ska kontrolleras, uppstår interferensfransar och interferensringar visas på ytan av en rund del.
När det observeras i vitt ljus är avståndet mellan fransarna i= 0,3 µm (halva våglängden av vitt ljus).
|
mikron 
Rakhetstolerans yxor cylinder 0,01 mm (formtoleranspilen vilar på storlekspilen 20f 7). (Figur 8)
Mätschema
Ytans rakhetstoleranser är inställda på styrningarna; planhet - för plana ändytor för att säkerställa täthet (plan för delning av kroppsdelar); arbetar vid höga tryck (ändfördelare) etc.
Axelräthetstoleranser - för långa cylindriska ytor (som stavar) som rör sig i horisontell riktning; cylindriska styrningar; för delar monterade med passande ytor på flera ytor.
Toleranser och avvikelser i formen på cylindriska ytor.
1. rundhetstolerans- den mest tillåtna avvikelsen från rundheten, det största avståndet i från punkterna på den verkliga ytan till den intilliggande cirkeln.
Toleransfält- ett område som begränsas av två koncentriska cirklar på ett plan vinkelrätt mot rotationsytans axel.
Ytans rundhetstolerans 0,01 mm.
Runda meter
Figur 9. Schema för att mäta avvikelsen från rundhet.
Särskilda typer av avvikelser från rundhet är ovalitet och skärning (fig. 10).
Ovality Cut
För olika snitt är indikatorhuvudet inställt i en vinkel (fig. 9b).
2. Cylindricitetstoleranser- detta är den största tillåtna avvikelsen för den verkliga profilen från den intilliggande cylindern.
Den består av avvikelsen från rundheten (mätt vid minst tre punkter) och avvikelsen från axelns rakhet.
3. Profiltolerans för längdsnitt- detta är den största tillåtna avvikelsen av profilen eller formen på den verkliga ytan från den intilliggande profilen eller ytan (specificerad på ritningen) i ett plan som går genom ytans axel.
Profiltolerans i längdsnitt 0,02 mm.
Särskilda typer av avvikelse av profilen för den längsgående sektionen:
Taper Barrel Sadel
| |
Fig. 11. Avvikelse för profilen för längdsnittet a, b, c, d och mätschema e.
Toleranser för rundhet och profil för den längsgående sektionen är inställda för att säkerställa enhetligt spel i enskilda sektioner och längs hela längden av delen, till exempel i glidlager, för delar av ett kolv-cylinderpar, för spolpar; cylindricitet för ytor som kräver fullständig kontakt mellan delar (anslutna genom passningar med en interferenspassning och övergång), samt för delar av stor längd såsom "stänger".
Plats toleranser
Plats toleranser- dessa är de största tillåtna avvikelserna av den faktiska platsen för ytan (profilen), axeln, symmetriplanet från dess nominella läge.
Vid utvärdering av avvikelser i platsen bör avvikelser i formen (betraktade ytor och baser) uteslutas från hänsyn (Fig. 12). I det här fallet ersätts verkliga ytor av intilliggande, och axlar, symmetriplan tas som axlar, symmetriplan och centra för intilliggande element.
Planparallellitetstoleranser- detta är den största tillåtna skillnaden mellan största och minsta avstånd mellan intilliggande plan inom det normaliserade området.
För att normalisera och mäta toleranser och avvikelser av placeringen införs basytor, axlar, plan etc. Dessa är ytor, plan, axlar etc. som bestämmer delens position vid montering (arbete av produkten) och i förhållande till vilken positionen för de berörda elementen är inställd. Grundläggande element på
ritningen anges med tecknet; versaler i det ryska alfabetet används.
Beteckningen på baser, sektioner (A-A) bör inte dupliceras. Om basen är en axel eller ett symmetriplan, placeras tecknet på fortsättningen av måttlinjen:
Parallellitetstolerans 0,01 mm i förhållande till basen
ytor A.
Ytjusteringstolerans in
diametralt 0,02 mm
i förhållande till ytans basaxel
I händelse av att designen, den tekniska (bestämma delens position under tillverkningen) eller mätningen (bestämma delens position under mätningen) inte stämmer överens, bör du räkna om de utförda mätningarna.
Mätning av avvikelser från parallella plan.
(vid två punkter på en given ytlängd)
Avvikelsen definieras som skillnaden mellan huvudets avläsningar vid ett givet intervall från varandra (huvudena är inställda på "0" enligt standarden).
Tolerans för parallellitet för hålaxeln i förhållande till referensplanet A på längden L.
Figur 14. (Mätschema)
Axelparallellitetstolerans.
Avvikelse från parallellism av axlar i rymden- den geometriska summan av avvikelser från parallelliteten för axlarnas projektioner i två inbördes vinkelräta plan. Ett av dessa plan är ett gemensamt plan för axlarna (det vill säga det passerar genom en axel och en punkt på den andra axeln). Avvikelse från parallellitet i det gemensamma planet- avvikelse från parallelliteten hos axlarnas projektioner på deras gemensamma plan. Axlar felinställning- avvikelse från axlarnas projektioner på ett plan vinkelrätt mot axlarnas gemensamma plan och som går genom en av axlarna.
Toleransfält- detta är en rektangulär parallellepiped med sidorna av sektionen - , sidoytorna är parallella med basaxeln. eller cylinder
Fig 15. Mätschema 
Tolerans för parallellitet hos hålets 20H7 axel i förhållande till hålets 30H7 axel.
Inriktningstolerans.
Avvikelse från koaxialitet i förhållande till en gemensam axelär det största avståndet mellan axeln för den betraktade rotationsytan och den gemensamma axeln för två eller flera ytor.
Koncentricitetstoleransfältär ett område i rymden som begränsas av en cylinder vars diameter är lika med inriktningstoleransen i diametral termer ( F = T) eller två gånger inriktningstoleransen i radiella termer: R=T/2(Fig. 16)
Inriktningstolerans i radiellt uttryck av ytor och i förhållande till den gemensamma axeln för hålen A.
Figur 16. Inriktningstoleransfält och mätschema
(axelavvikelse i förhållande till basaxelns A-excentricitet); R-radie för det första hålet (R+e) – avstånd till basaxeln i den första mätpositionen; (R-e) - avstånd till basaxeln i det andra läget efter att ha vridit delen eller indikatorn 180 grader.
Indikatorn registrerar skillnaden i avläsningar (R+e)-(R-e)=2e=2 - avvikelse från inriktning i diametrala termer.
Tolerans för koaxialiteten för axelns halsar i diametrala termer 0,02 mm (20 μm) i förhållande till AB:s gemensamma axel. Axlar av denna typ är installerade (baserade) på rullnings- eller glidlager. Basen är den axel som går genom mitten av axeltapparna (dold bas).
Figur 17. Schema för felinställning av axeltapparna.
Förskjutningen av axeltapparnas axlar leder till en felinriktning av axeln och en kränkning av prestanda för hela produkten som helhet.
Figur 18. Schema för mätning av felinställningen av axeltapparna
Basen är gjord på knivstöd, som är placerade i skafthalsarnas mittsektioner. Vid mätning erhålls avvikelsen i det diametrala uttrycket D Æ = 2e.
Felinriktningen i förhållande till basytan bestäms vanligtvis genom att mäta utloppet av ytan som kontrolleras i en given sektion eller extrema sektioner - när delen roterar runt basytan. Resultatet av mätningen beror på att ytan inte är cirkulär (vilket är cirka 4 gånger mindre än felinriktningen).
Figur 19. Schema för att mäta inriktningen av två hål
Noggrannheten beror på noggrannheten i passningen av dornarna i hålet.
Beroende tolerans kan mätas med en mätare (fig. 20).
Tolerans för ytinriktning i förhållande till ytans basaxel i diametrala termer 0,02 mm, beroende tolerans.
Symmetritolerans
Symmetritolerans med avseende på referensplanet- det största tillåtna avståndet mellan ytans symmetriplan och symmetrins basplan.
Figur 21. Symmetritoleranser, mätscheman
Symmetritoleransen i radieuttrycket är 0,01 mm i förhållande till basplanet för symmetri A (fig. 21b).
Avvikelse DR(i radieuttryck) är lika med halva skillnaden mellan avstånden A och B.
I diametrala termer DT \u003d 2e \u003d A-B.
Inriktnings- och symmetritoleranser tilldelas de ytor som är ansvariga för produktens exakta montering och funktion, där betydande förskjutningar av axlarna och symmetriplanen inte är tillåtna.
Axelkorsningstolerans.
Axelkorsningstolerans- det största tillåtna avståndet mellan den betraktade och basaxeln. Den definieras för axlar som i nominellt arrangemang måste skära varandra. Toleransen anges i ett diametralt eller radieuttryck (bild 22a).
Plats toleranser- dessa är de största tillåtna avvikelserna av den faktiska platsen för ytan (profilen), axeln, symmetriplanet från dess nominella läge.
Vid utvärdering av avvikelser placeringar av formavvikelser (betraktade ytor och baser) bör uteslutas från övervägande (Fig. 12). I det här fallet ersätts verkliga ytor av intilliggande, och axlar, symmetriplan tas som axlar, symmetriplan och centra för intilliggande element.
Planparallellitetstoleranser- detta är den största tillåtna skillnaden mellan största och minsta avstånd mellan intilliggande plan inom det normaliserade området.
För standardisering och mätning införs toleranser och lägesavvikelser, basytor, axlar, plan etc. Det är ytor, plan, axlar etc. som bestämmer delens position vid montering (produktdrift) och i förhållande till vilken elementens position under övervägande är satt. Grundelementen i ritningen indikeras av tecknet; versaler i det ryska alfabetet används. Beteckningen på baser, sektioner (A-A) bör inte dupliceras. Om basen är en axel eller ett symmetriplan, placeras tecknet på fortsättningen av måttlinjen:
Parallellitetstolerans 0,01 mm i förhållande till basen
ytor A.
Ytjusteringstolerans in
diametralt 0,02 mm
i förhållande till ytans basaxel
I händelse av att designen, tekniska (bestämma delens position under tillverkningen) eller mätning (bestämma delens position under mätningen) stämmer inte överens, räkna om de utförda mätningarna.
Mätning av avvikelser från parallella plan.
(vid två punkter på en given ytlängd)
Avvikelsen definieras som skillnaden mellan huvudets avläsningar vid ett givet intervall från varandra (huvudena är inställda på "0" enligt standarden).
Tolerans för parallellitet för hålaxeln i förhållande till referensplanet A på längden L.
Figur 14. (Mätschema)
Axelparallellitetstolerans.
Avvikelse från parallellism av axlar i rymden - den geometriska summan av avvikelser från parallelliteten för axlarnas projektioner i två inbördes vinkelräta plan. Ett av dessa plan är ett gemensamt plan för axlarna (det vill säga det passerar genom en axel och en punkt på den andra axeln). Avvikelse från parallellitet i det gemensamma planet- avvikelse från parallelliteten hos axlarnas projektioner på deras gemensamma plan. Axlar felinställning- avvikelse från axlarnas projektioner på ett plan vinkelrätt mot axlarnas gemensamma plan och som går genom en av axlarna.
Toleransfält- detta är rektangulär parallellepiped med sektionssidor -, sidoytorna är parallella med basaxeln. eller cylinder
Fig 15. Mätschema
Tolerans för parallellitet hos hålets 20H7 axel i förhållande till hålets 30H7 axel.
Inriktningstolerans.
Felinriktning i förhållande till en gemensam axelär det största avståndet mellan axeln för den betraktade rotationsytan och den gemensamma axeln för två eller flera ytor.
Koncentricitetstoleransfält är ett område i rymden som begränsas av en cylinder vars diameter är lika med inriktningstoleransen i diametral termer ( F = T) eller två gånger inriktningstoleransen i radiella termer: R=T/2(Fig. 16)
Inriktningstolerans i radiellt uttryck av ytor och i förhållande till den gemensamma axeln för hålen A.
Figur 16. Inriktningstoleransfält och mätschema
(axelavvikelse i förhållande till basaxelns A-excentricitet); R-radie för det första hålet (R+e) - avstånd till basaxeln i den första mätpositionen; (R-e) - avstånd till basaxeln i det andra läget efter att ha vridit delen eller indikatorn 180 grader.
Indikatorn registrerar skillnaden i avläsningar (R+e)-(R-e)=2e=2 - avvikelse från inriktning i diametrala termer.
Inriktningstolerans för axeltapp i diametrala termer, 0,02 mm (20 µm) i förhållande till AB:s gemensamma axel. Axlar av denna typ är installerade (baserade) på rullnings- eller glidlager. Basen är den axel som går genom mitten av axeltapparna (dold bas).
Figur 17. Schema för felinställning av axeltapparna.
Förskjutningen av axeltapparnas axlar leder till en felinriktning av axeln och en kränkning av prestanda för hela produkten som helhet.
Figur 18. Schema för mätning av felinställningen av axeltapparna
Basen är gjord på knivstöd, som är placerade i skafthalsarnas mittsektioner. Vid mätning erhålls avvikelsen i det diametrala uttrycket D Æ = 2e.
Felinriktning i förhållande till basytan bestäms vanligtvis genom att mäta utloppet av ytan som kontrolleras i en given sektion eller extrema sektioner - när delen roterar runt basytan. Resultatet av mätningen beror på att ytan inte är cirkulär (vilket är cirka 4 gånger mindre än felinriktningen).
Figur 19. Schema för att mäta inriktningen av två hål
Noggrannheten beror på noggrannheten i passningen av dornarna i hålet.
Ris. tjugo.
Beroende tolerans kan mätas med en mätare (fig. 20).
Tolerans för ytinriktning i förhållande till ytans basaxel i diametrala termer 0,02 mm, beroende tolerans.
Symmetritolerans
Symmetritolerans i förhållande till referensplanet- det största tillåtna avståndet mellan ytans symmetriplan och symmetrins basplan.
Figur 21. Symmetritoleranser, mätscheman
Symmetritoleransen i radieuttrycket är 0,01 mm i förhållande till basplanet för symmetri A (fig. 21b).
Avvikelse DR(i radieuttryck) är lika med halva skillnaden mellan avstånden A och B.
I diametrala termer DT \u003d 2e \u003d A-B.
Inriktnings- och symmetritoleranser tilldelas de ytor som är ansvariga för produktens exakta montering och funktion, där betydande förskjutningar av axlarna och symmetriplanen inte är tillåtna.
Axelkorsningstolerans.
Axelkorsningstolerans - det största tillåtna avståndet mellan den betraktade och referensaxeln. Den definieras för axlar som i nominellt arrangemang måste skära varandra. Toleransen anges i ett diametralt eller radieuttryck (bild 22a).
Figur 22. a)
Toleransen för skärningen av axlarna för hålen Æ40H7 och Æ50H7 i radietermer är 0,02 mm (20 µm).
Fig. 22. b, c Schema för att mäta avvikelsen för axlarnas skärningspunkt
Dornen placeras i 1 hål, uppmätt R1- höjd (radie) över axeln.
Dornen placeras i det andra hålet, uppmätt R2.
Mätresultat DR = R1 - R2 erhålls i ett radieuttryck, om hålradierna skiljer sig, för att mäta avvikelsen för platsen måste du subtrahera faktiska värden storlekar och (eller ta hänsyn till dornarnas dimensioner. Dornen passar på hålet, kontakt på passningen)
DR = R1 - R2- ( - ) - avvikelse erhålls i radieuttryck
Axlars korsningstolerans tilldelas delar där underlåtenhet att uppfylla detta krav leder till prestandabrott, till exempel: ett koniskt växelhus.
Vinkelriktighetstolerans
Vinkelriktighetstolerans för en yta i förhållande till basytan.
Toleransen för sidoytans vinkelräthet är 0,02 mm i förhållande till referensplanet A. Fyrkantighetsavvikelseär vinkelns avvikelse mellan planen från rät vinkel (90°), uttryckt i linjära enheter D längs den normaliserade sektionens längd L.
Figur 23. Schema för mätning av vinkelräthetsavvikelse
Mätningen kan utföras med flera indikatorer inställda på "0" enligt standarden.
Tolerans för vinkelräthet för hålaxeln i förhållande till ytan i diametrala termer 0,01 mm vid mätradien R = 40 mm.
Figur 24. Schema för att mäta avvikelsen för axelns vinkelräthet
Vinkelriktighetstoleransen tilldelas på den yta som bestämmer produktens funktion. Till exempel: för att säkerställa ett enhetligt mellanrum eller en åtsittande passning längs produktens ändar, axlarnas vinkelräta och tekniska anordningars plan, styrningarnas vinkelräta, etc.
Lutningstolerans
Avvikelse av planets lutning - avvikelsen av vinkeln mellan planet och basen från den nominella vinkeln a, uttryckt i linjära enheter D över längden av den normaliserade sektionen L.
För att mäta avvikelsen används mallar och fixturer.
Positionstolerans
Positionstolerans- detta är den största tillåtna avvikelsen av elementets faktiska placering, axel, symmetriplan från dess nominella position
Styrning kan utföras genom styrning av dess individuella element, med hjälp av mätmaskiner, med - kalibrar.
Positionell tolerans tilldelas platsen för mitten av hål för fästelement, sfärer av vevstakar, etc.
Totala form- och platstoleranser
Total planhet och parallellitetstolerans
Tilldelas till plana ytor som bestämmer delens position (baserad) och ger en åtsittande passform (täthet).
Total planhet och vinkelräthetstolerans.
Tilldelad till lägenhet sidoytor, som bestämmer delens position (baserad) och ger en åtsittande passform.
Radiell utloppstolerans
Radiell utloppstolerans är den största tillåtna skillnaden mellan de största och minsta avstånden från alla punkter på den verkliga rotationsytan till basaxeln i en sektion som är vinkelrät mot basaxeln.
Full radiell utloppstolerans.
Bild 26.
Tolerans för full radiell utlopp inom det normaliserade området.
radiell utlopp är summan av avvikelser från rundhet och koaxialitet i diametrala termer, - summan av avvikelser från cylindricitet och koaxialitet.
Tolerans för radiell och full radiell utlopp tilldelas kritiska roterande ytor, där kravet på inriktning av delar dominerar, separat kontroll av formtoleranser krävs inte.
Runout tolerans
Endrunout-tolerans är den största tillåtna skillnaden mellan det största och det minsta avståndet från punkter på någon cirkel av ändytan till ett plan vinkelrätt mot basaxeln. Avvikelsen består av
avvikelser från vinkelräthet och rakhet (fluktuationer av cirkelns yta).
Full utloppstolerans
Full ändutloppstolerans - detta är den största tillåtna skillnaden mellan de största och minsta avstånden från punkter på hela ändytan till ett plan vinkelrätt mot basaxeln.
Endrunout toleranser är inställda på ytorna av roterande delar som kräver minimalt utlopp och påverkan på delarna i kontakt med dem; till exempel: tryckytor för rullningslager, glidlager, kugghjul.
Tolerans för formen av en given profil, en given yta
Tolerans för formen på en given profil, toleransen för formen på en given yta - dessa är de största avvikelserna av profilen eller formen på den verkliga ytan från den intilliggande profilen och ytan som anges av ritningen.
Toleranser sätts på delar som har krökta ytor såsom kammar, mallar; tunnprofiler etc.
Normalisering av form- och platstoleranser
Kan utföras:
genom nivåer av relativ geometrisk noggrannhet;
Baserat på de sämsta förhållandena vid montering eller drift;
Baserat på resultaten av beräkningen av dimensionella kedjor.
Nivåer av relativ geometrisk noggrannhet.
Enligt GOST 24643-81 fastställs 16 grader av noggrannhet för varje typ av form och platstolerans. De numeriska värdena för toleranserna vid övergången från en noggrannhetsgrad till en annan ändras med en ökningsfaktor på 1,6.
Beroende på förhållandet mellan storlekstoleransen och form- och platstoleransen finns det tre nivåer av relativ geometrisk noggrannhet:
A - normal: inställd på 60 % av toleransen T
B - ökat - satt 40%
C - hög - 25 %
För cylindriska ytor:
Nivå A » 30 % av T
Nivå B » 20 % av T
På nivå C » 12,5 % av T
Eftersom toleransen för formen på den cylindriska ytan begränsar radiens avvikelse, inte hela diametern.
Till exempel: Æ 45 +0,062 i A:
På ritningarna anges form- och platstoleransen när de ska vara mindre än storlekstoleranserna.
Om det inte finns någon indikation, är de begränsade till toleransen för själva storleken.
Beteckningar på ritningarna
Form- och platstoleranser anges i rektangulära rutor; i den första delen av vilken - ett konventionellt tecken, i den andra - numeriska värden i mm; för platstoleranser anges basen i den tredje delen.
Pilens riktning är vinkelrät mot ytan. Mätlängden anges med bråktecknet "/". Om det inte är specificerat utförs kontroll över hela ytan.
För platstoleranser som bestämmer ytornas relativa positioner är det tillåtet att inte specificera basytan:
Det är tillåtet att ange basytan, axeln, utan beteckning med en bokstav:
Före toleransens numeriska värde, symbolen T, Æ, R, sfär,
om toleransfältet anges i diametral- och radietermer kommer sfären Æ, R att användas för ; (hålaxel); .
Om tecknet inte anges anges toleransen i det diametrala uttrycket.
För att tillåta symmetri, använd tecknen T (istället för Æ) eller (istället för R).
Beroende tolerans, indikerad av skylten.
Efter toleransvärdet kan en symbol indikeras, och på delen anger denna symbol det område i förhållande till vilket avvikelsen bestäms.
Ransonering av form- och platstoleranser från de sämsta monteringsförhållandena.
Tänk på en del som kommer i kontakt med flera ytor samtidigt - en stång.
Isåfall, om det finns en stor snedställning mellan axlarna på alla tre ytorna kommer monteringen av produkten att bli svår. Låt oss ta det sämsta alternativet för montering - det minsta gapet i anslutningen.
Låt oss ta för basaxeln - anslutningens axel.
Sedan axelförskjutningen.
I diametrala termer är detta 0,025 mm.
Om basen är centrumhålens axel, utgå från liknande överväganden.
Exempel 2
Låt oss överväga en stegad axel som kontaktar två ytor, varav den ena fungerar, den andra är endast föremål för insamlingskraven.
För de sämsta förhållandena för montering av delar: och.
Antag att hylsan och axeldelarna är perfekt inriktade: I närvaro av mellanrum och perfekt inriktade delar är mellanrummen fördelade jämnt på båda sidor och .
Figuren visar att delarna kommer att monteras även om stegens axlar är förskjutna relativt varandra med ett belopp.
För och , d.v.s. tillåten förskjutning av axlarna i radietermer. = e = 0,625 mm, eller = 2e = 0,125 mm - i diametrala termer.
Exempel 3
Tänk på den bultade anslutningen av delar, när gap bildas mellan var och en av delarna som ska sammanfogas och bulten (typ A), medan mellanrummen är placerade i motsatta riktningar. Hålets axel i del 1 förskjuts från bultens axel till vänster och axeln för del 2 förskjuts till höger.
Hål för fästelement utförs med toleransfält H12 eller H14 i enlighet med GOST 11284-75. Till exempel kan hål användas under M10 (för exakta anslutningar) och mm (för icke-kritiska anslutningar). Med ett linjärt spel Förskjutning av axlarna i diametral termer, värdet på positionstoleransen = 0,5 mm, dvs. är lika med =.
Exempel 4
Tänk på skruvförbindningen av delar, när gapet endast bildas mellan en av delarna och skruven: (typ B)
I praktiken introduceras noggrannhetsmarginalfaktorer: k
Där k \u003d 0,8 ... 1, om monteringen utförs utan att justera delarnas position;
k \u003d 0,6 ... 0,8 (för dubbar k \u003d 0,4) - under justering.
Exempel 5
Två plana precisionsändytor är i kontakt, S=0,005 mm. Det krävs för att normalisera planhetstoleransen. I närvaro av ändgap på grund av icke-planhet (delarnas sluttningar väljs med fjädrar), uppstår läckage av arbetsvätskan eller gasen, vilket minskar maskinernas volymetriska effektivitet.
Avvikelsevärdet för var och en av delarna definieras som halva =. Kan avrundas uppåt till heltalsvärden \u003d 0,003 mm, eftersom sannolikheten för sämre kombinationer är ganska försumbar.
Ransonering av platstoleranser baserat på dimensionella kedjor.
Exempel 6
Det är nödvändigt att normalisera inriktningstoleransen för monteringsaxeln 1 för den tekniska enheten, för vilken toleransen för hela enheten är inställd = 0,01.
Observera: toleransen för hela fixturen bör inte överstiga 0,3 ... 0,5 av produktens tolerans.
Tänk på faktorerna som påverkar inriktningen av hela enheten som helhet:
Felinriktning av delytor 1;
Maximalt spelrum i anslutningen av delar 1 och 2;
Felinriktning av hålet i 2 delar och basytan (monterad i maskinen).
Därför att liten kedja av storlekar (3 länkar) används för att beräkna metoden för fullständig utbytbarhet; enligt vilken toleransen för den stängande länken är lika med summan av toleranserna för de ingående länkarna.
Inriktningstoleransen för hela fixturen är lika med
För att eliminera påverkan vid anslutning av 1 och 2 delar bör du ta en övergångspassning eller en interferenspassning.
Om det accepteras, alltså
Värdet uppnås vid drift av finslipning. Om fixturen har små dimensioner kan den förses med monteringsbearbetning.
Exempel 7
Dimensionering med stege och kedja för hål för fästelement.
Om måtten är långsträckta under en linje görs en kedja.
.TL D 1 = TL 1 + TL 2
TL D 2 = TL 2 + TL 3
TL D 3 = TL 3 + TL 4, dvs.
Huvudlänkens noggrannhet påverkas alltid av endast 2 länkar.
Om en TL 1 = TL 2 =
För vårt exempel TL 1 = TL 2 = 0,5 (±0,25 mm)
Den här inställningen låter dig öka toleranserna för de ingående länkarna, minska bearbetningens komplexitet.
Exempel 9
Beräkning av värdet på den beroende toleransen.
Om t.ex. 2 anges betyder detta att den 0,125 mm inriktningstolerans som bestämts för de sämsta monteringsförhållandena kan ökas om gapen som bildas i anslutningen är större än minimum.
Till exempel, vid tillverkningen av delen, erhölls dimensioner på -39,95 mm; - 59,85 mm, ytterligare luckor uppstår S add1 = d 1max - d 1izg = 39,975 - 39,95 = 0,025 mm och S add2 = d 2max - d 2izg = 59, 9 - 59,85 \u003d 0,05 mm, axlarna kan dessutom förskjutas i förhållande till varandra genom att e add \u003d e 1 dop + e 2 dop \u003d (i diametrala termer med S 1 dop + S 2 dop \u003d 0,07 mm).
Felinriktningen i diametral termer, med hänsyn till ytterligare spelrum, kommer att vara: = 0,125 + S add1 + S add2 = 0,125 + 0,075 = 0,2 mm.
Exempel 10
Du vill definiera en beroende inriktningstolerans för en hylsdel.
Symbol: hålinriktningstolerans Æ40H7 i förhållande till basaxeln Æ60p6, tolerans beror endast på håldimensioner.
Obs: beroendet indikeras endast på de ytor där ytterligare spelrum bildas i passningarna, för ytor anslutna genom passningar med en interferenspassning eller övergång - ytterligare axelslirar är uteslutna.
Under tillverkningen erhölls följande dimensioner: Æ40.02 och Æ60.04
T-huvud \u003d 0,025 + S 1dop \u003d 0,025 + (D böj1 - D min1) \u003d 0,025 + (40,02 - 40) \u003d 0,045 mm(i diametrala termer)
Exempel 11.
Bestäm värdet på centrum-till-centrum-avståndet för delen, om dimensionerna på hålen efter tillverkning är lika: D 1izg \u003d 10,55 mm; D 2izg \u003d 10,6 mm.
För det första hålet
T zav1 \u003d 0,5 + (D 1izg - D 1 min) \u003d 0,5 + (10,55 - 10,5) \u003d 0,55 mm eller ± 0,275 mm
För det andra hålet
T head2 \u003d 0,5 + (D 2böj - D 2min) \u003d 0,5 + (10,6 - 10,5) \u003d 0,6 mm eller ± 0,3 mm
Avvikelser på mittavstånd.
