Скороченого множення різниця кубів. Формули скороченого множення

Алгебра

Формули скороченого множення використовуються для перетворення виразів. Тотожності використовуються уявлення цілого висловлювання як многочлена і розкладання многочленів на множники.

• 1 Квадрат суми(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Квадрат різниці(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Різниця квадратів a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 Куб суми(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 Куб різниці(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Сума кубів a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
• 7 Різниця кубів a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Формули для квадратів

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Формули для кубів

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

Формули для четвертого ступеня

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

(a 4 - b 4 = (a - b) (a + b) (a 2 + b 2));
випливає з (a^2 - b^2 = (a + b) (a - b) \).

Формули скороченого множення

1. Квадрат суми

2. Квадрат різниці

3. Сума та різницю квадратів

4. Сума третього ступеня (куб суми)

5. Різниця в третьому ступені (куб різниці)

6. Сума та різницю кубів

7. Формули скороченого множення для четвертого ступеня

8. Формули скороченого множення для п'ятого ступеня

9. Формули скороченого множення для шостого ступеня

10. Формули скороченого множення для ступеня n де n- будь-яке натуральне число

11. Формули скороченого множення для ступеня n де n- парне позитивне число

12. Формули скороченого множення для ступеня n де n- непарне позитивне число

Формули скороченого множення (ФСУ)потрібні для того, щоб множити і зводити до ступеня числа, вирази, у тому числі багаточлени. Тобто за допомогою формул можна працювати з числами значно швидше та простіше. Таким чином, можна зі складного рівняння зробити звичайне, що спростить завдання.

Таблиця з формулами скороченого множення

Назва	Формула	Як читається
Квадрат суми		Квадрат першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразу, плюс квадрат другого виразу.
Квадрат різниці		Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу, мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
Куб суми		Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток першого виразу в квадраті на другий вираз, плюс потрійний добуток першого виразу на другий у квадраті, плюс другий вираз у кубі.
Куб різниці		Куб різниці двох величин дорівнює перший вираз у кубі мінус потрійний добуток першого виразу в квадраті на другий вираз, плюс потрійний добуток першого виразу на другий у квадраті, мінус другий вираз у кубі.
Різниця квадратів		Різниця квадратів першого та другого виразів дорівнює добутку різниці двох виразів та їх суми.
Сума кубів		Добуток суми двох величин на неповний квадрат різниці дорівнює сумі їх кубів.
Різниця кубів		Добуток різниці двох виразів на неповний квадрат суми дорівнює різниці їх кубів.

Зверніть увагу на перші чотири формули. Завдяки їм можна зводити у квадрат або куб суми (різниці) двох виразів. Щодо п'ятої формули, її потрібно застосовувати, щоб коротко помножити різницю або суму двох виразів.

Дві останні формули (6 і 7) застосовуються, щоб множити суми обох виразів на їхній неповний квадрат різниці або суми.

Вищеперелічені формули досить часто потрібні практично. Саме тому їх бажано знати напам'ять.

Якщо вам потрапив приклад, розкласти багаточлен на множники, тоді у багатьох випадках потрібно ліву та праву частину переставити місцями.

Наприклад, візьмемо ту саму першу формулу:

і ліву частину поставимо праворуч, а праву ліворуч:

Таку ж процедуру можна робити і з рештою формул.

Доказ ФСУ

Зупинимося на доказах формул скороченого множення. Це не складно. Потрібно лише розкрити дужки. Розглянемо першій формулі – квадрат суми: .

Крок перший.

Зведемо a + b на другий ступінь. Для цього ступінь не чіпатимемо, а виконаємо банальне множення: = x .

Крок другий.Тепер і виносимо за дужки: x + x.

Крок третій. Розкриваємо дужки: x + x + x + x.

Крок четвертий. Множимо, не забуваючи про знаки: x + x + .

Крок п'ятий. Спрощуємо вираз: .

Так само можна довести абсолютно будь-яку формулу скороченого множення.

Приклади та рішення за допомогою ФСУ

Як правило, ці сім формул застосовуються тоді, коли потрібно спростити вираз, щоб вирішити якесь рівняння і навіть звичайний приклад.

Приклад 1

Завдання

Спростіть вираз:

Як видно, до цього прикладу підходить перша формула скороченого множення – квадрат суми.

Рішення

З першої формули треба приклад розкласти на множники. Для цього дивимося на формулу і замість букв підставляємо цифри. У нашому випадку "а" - це 3x, а "b" - це 5:

Вважаємо праву частину та записуємо результат. У нас виходить:

У прикладі треба помножити все те, що множиться і одразу отримуємо відповідь:

Звичайно, є приклади і з дробами. Але якщо навчитеся вирішувати прості приклади, тоді інші види вам будуть не страшні.

Приклад 2

Завдання

Спростіть вираз

Рішення

= - x x + =

Подвоєний твір цих виразів – , який збігається з другим членом тричлена (зі знаком «плюс), значить,

Отже, очевидно, нічого складно у прикладах немає. Головне, знати формули, де їх можна застосовувати, а де можна обійтися без них.

Корисні джерела

1. Ареф'єва І. Г., Пірютко О. Н. Алгебра: підручник посібник для 7 класу закладів загальної середньої освіти: Мінськ “Народна Асвіта”, 2017 – 304 с.
2. Микільський С. М., Потапов М. К. Алгебра 7 клас: М: 2015 - 287 с.
3. Рубін А. Р., Чулков П. Ст Алгебра. 7 клас. М: 2015 – 224 с.

ФСУ – формули скороченого множення з алгебри за 7 клас із прикладамионовлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру

Математичні вирази (формули) скороченого множення(квадрат суми та різниці, куб суми та різниці, різниця квадратів, сума та різниця кубів) вкрай не замінні у багатьох областях точних наук. Ці 7 символьних записів не замінні при спрощенні виразів, рішенні рівнянь, при множенні багаточленів, скороченні дробів, рішенні інтегралів та багато іншого. А значить буде дуже корисно розібратися, як вони виходять, для чого вони потрібні, і найголовніше, як їх запам'ятати і потім застосовувати. Потім застосовуючи формули скороченого множенняна практиці найскладнішим буде побачити, що є хі що є у. Очевидно, що жодних обмежень для aі bні, а значить це можуть бути будь-які числові або буквені вирази.

І так ось вони:

Перша х 2 - у 2 = (х - у) (х + у). Щоб розрахувати різницю квадратівдвох виразів треба перемножити різниці цих виразів з їхньої суми.

Друга (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2. Щоб знайти квадрат сумидвох виразів потрібно до квадрата першого виразу додати подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Третя (х - у) 2 = х 2 - 2ху + у 2. Щоб обчислити квадрат різницідвох виразів потрібно від квадрата першого виразу відібрати подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.

Четверта (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3.Щоб обчислити куб сумидвох виразів потрібно до куба першого виразу додати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.

П'ята (х - у) 3 = х 3 - 3х 2 у + 3ху 2 - у 3. Щоб розрахувати куб різницідвох виразів необхідно від куба першого виразу відібрати потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.

Шоста х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2)Щоб вирахувати суму кубівдвох виразів потрібно помножити суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.

Сьома х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2)Щоб зробити обчислення різниці кубівдвох виразів треба помножити різницю першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.

Не складно запам'ятати, що це формули застосовуються до проведення розрахунків й у протилежному напрямі (праворуч ліворуч).

Про існування цих закономірностей знали ще близько 4 тисяч років тому. Їх широко застосовували жителі стародавнього Вавилону та Єгипту. Але у ті епохи вони висловлювалися словесно чи геометрично і за розрахунках не використовували букви.

Розберемо доказ квадрата суми(а + b) 2 = a 2 +2ab + b2.

Першим цю математичну закономірністьдовів давньогрецький вчений Евклід, який працював в Олександрії в III столітті до н. Ними повсюдно вживалися не "а 2", а "квадрат на відрізку а", не "ab", а "прямокутник, укладений між відрізками a і b".

Формули скороченого висловлювання часто-густо застосовуються практично, отже їх усе бажано вивчити напам'ять. До цього моменту ми будемо служити вірою і правдою, яку ми рекомендуємо роздрукувати і весь час тримати перед очима:

Перші чотири формули із складеної таблиці формул скороченого множення дозволяють зводити в квадрат і куб суму або різницю двох виразів. П'ята призначена для короткого множення різниці та суми двох виразів. А шоста і сьома формули використовуються для множення суми двох виразів a та b на їх неповний квадрат різниці (так називають вираз виду a 2 −a·b+b 2 ) та різниці двох виразів a та b на неповний квадрат їх суми (a 2 + a b + b 2) відповідно.

Варто окремо помітити, що кожна рівність у таблиці є тотожністю . Цим пояснюється, чому формули скороченого множення ще називають тотожністю скороченого множення.

При вирішенні прикладів, особливо у яких має місце розкладання многочлена на множники , ФСУ часто використовують у вигляді з переставленими місцями лівими та правими частинами:

Три останніх тотожності в таблиці мають свої назви. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) називається формулою різниці квадратів, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - формулою суми кубів, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - формулою різниці кубів. Зверніть увагу, що відповідних формул з переставленими частинами з попередньої таблиці ФСУ ми не назвали.

Додаткові формули

У таблицю формул скороченого множення не завадить додати ще кілька тотожностей.

Сфери застосування формул скороченого множення (ФСУ) та приклади

Основне призначення формул скороченого множення (ФСУ) пояснюється їх назвою, тобто воно полягає в короткому множенні виразів. Однак сфера застосування ФСУ набагато ширша і не обмежується коротким множенням. Перелічимо основні напрямки.

Безперечно, центральний додаток формули скороченого множення знайшли у виконанні тотожних перетворень виразів . Найчастіше ці формули використовуються у процесі спрощення виразів.

приклад.

Спростіть вираз 9·y−(1+3·y) 2 .

Рішення.

У цьому виразі зведення у квадрат можна виконати скорочено, маємо 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2). Залишається лише розкрити дужки та навести подібні члени: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.

У чисельнику вираз являє собою різницю кубів двох виразів 2 x і z 2 , а в знаменнику - різниця квадратів цих виразів. Після застосування відповідних формул вихідний дріб набуде вигляду . Тепер можна скоротити однакові множники у чисельнику та знаменнику: .

Оформимо все рішення коротко:

Відповідь:

.

Формули скороченого множення іноді дозволяють раціонально обчислювати значення виразів. Як приклад покажемо, як можна звести число 79 квадрат за допомогою формули квадрата різниці: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2·80·1+1 2 = 6400-160 +1 = 6241 . Такий підхід дозволяє виконувати такі обчислення навіть усно.

Насамкінець скажемо ще про одне важливе перетворення - виділення квадрата двочлена, В основі якого лежить формула скороченого множення квадрат суми. Наприклад, вираз 4·x 2 +4·x−3 може бути перетворено до виду (2·x) 2 +2·2·x·1+1 2 −4 , і перші три доданки замінюються з використанням формули квадратом суми. Отже вираз набуває вигляду (2·x+1) 2 −4 . Подібні перетворення широко використовуються, наприклад, при .

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 13-те вид., Випр. – К.: Мнемозіна, 2009. – 160 с.: іл. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.

>>Математика: Формули скороченого множення

Формули скороченого множення

Є кілька випадків, коли множення одного многочлена на інший призводить до компактного результату, що легко запам'ятовується. У цих випадках краще не множити щоразу один багаточленна інший, а користуватись готовим результатом. Розглянемо ці випадки.

1. Квадрат суми та квадрат різниці:

приклад 1.Розкрити дужки у виразі:

а) (Зх + 2) 2;

б) (5а 2 - 4b 3) 2

а) Скористаємося формулою (1),врахувавши, що у ролі а виступає Зх, а ролі b - число 2.
Отримаємо:

(Зх + 2) 2 = (Зх) 2 + 2 Зх 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

б) Скористаємося формулою (2), врахувавши, що в ролі авиступає 5а 2, а в ролі bвиступає 4b 3. Отримаємо:

(5а 2 -4b 3) 2 = (5а 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6 .

При використанні формул квадрата суми або квадрата різниці враховуйте, що
(- a - b) 2 = (а + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Це випливає з того, що (а) 2 = а 2 .

Зазначимо, що на формулах (1) та (2) засновані деякі математичні фокуси, що дозволяють проводити обчислення в умі.

Наприклад, можна практично усно зводити до квадрата числа, що закінчуються на 1 і 9. Справді

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 – I) 2 = 70 2 – 2 70 1 + 1 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761.

Іноді можна швидко звести в квадрат і число, що закінчується цифрою 2 або 8. Наприклад,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Але найелегантніший фокус пов'язаний із зведенням у квадрат чисел, що закінчуються цифрою 5.
Проведемо відповідні міркування для 85 2 .

Маємо:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Помічаємо, що з обчислення 85 2 досить було помножити 8 на 9 і отриманого результату приписати праворуч 25. Аналогічно можна й інших випадках. Наприклад, 352 = 1225 (34 = 12 і до отриманого числа приписали праворуч 25);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 і до отриманого числа приписали праворуч 25).

Якщо ми з вами заговорили про різні цікаві обставини, пов'язані з нудними (на перший погляд) формулами (1) і (2), то доповнимо цю розмову наступним геометричним міркуванням. Нехай а і b - позитивні числа. Розглянемо квадрат зі стороною а + b і виріжемо у двох кутах квадрати зі сторонами, відповідно рівними а і b (рис. 4).

Площа квадрата зі стороною а+b дорівнює (а+b) 2 . Але цей квадрат ми розрізали на чотири частини: квадрат зі стороною а (його площа дорівнює а 2), квадрат зі стороною b (його площа дорівнює b 2), два прямокутники зі сторонами а та b (площа кожного такого прямокутника дорівнює ab). Значить (а + b) 2 = а 2 + b 2 + 2аb, тобто отримали формулу (1).

Помножимо двочлен а + b на двочлен а - b. Отримаємо:
(а + b) (а – b) = а 2 – аb + bа – b 2 = а 2 – b 2 .
Отже

Будь-яка рівність у математиці використовується як зліва направо (тобто. ліва частина рівності замінюється його правою частиною), і справа наліво (тобто. права частина рівності замінюється його лівою частиною). Якщо формулу C) використовувати зліва направо, вона дозволяє замінити твір (а + b) (а - b) готовим результатом а 2 - b 2 . Цю ж формулу можна використовувати праворуч наліво, тоді вона дозволяє замінити різницю квадратів а 2 - b 2 добутком (а + b) (а - b). Формулі (3) у математиці дано спеціальну назву - різницю квадратів.

Зауваження. Не плутайте терміни «різниця квадратів» до «квадрат різниці». Різниця квадратів - це а 2 - b 2, отже, йдеться про формулу (3); квадрат різниці - це (a-b) 2, отже йдеться про формулу (2). Звичайною мовою формулу (3) читають «праворуч наліво» так:

різниця квадратів двох чисел (виразів) дорівнює добутку суми цих чисел (виразів) на їх різницю,

приклад 2.Виконати множення

(3x-2y)(3x+ 2y)
Рішення. Маємо:
(Зх - 2у) (Зх + 2у) = (Зx) 2 - (2у) 2 = 9x 2 - 4y 2 .

приклад 3.Уявити двочлен 16x 4 - 9 як твори двочленів.

Рішення. Маємо: 16x 4 =(4x 2) 2 , 9 = З 2 , отже, заданий двочлен є різницю квадратів, тобто. до нього можна застосувати формулу (3), прочитану праворуч наліво. Тоді отримаємо:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - З 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Формула (3), як і формули (1) та (2), використовується для математичних фокусів. Дивіться:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Завершимо розмову про формулу різниці квадратів цікавою геометричною міркуванням. Нехай а та b - позитивні числа, причому а > b. Розглянемо прямокутник із сторонами а + b та а - b (рис. 5). Його площа дорівнює (а + b) (а – b). Відріжемо прямокутник зі сторонами b і а - b і підклеїмо його до частини, що залишилася так, як показано на малюнку 6. Зрозуміло, що отримана фігура має ту ж площу, тобто (а + b) (а - b). Але цю фігуру можна
побудувати так: із квадрата зі стороною а вирізати квадрат зі стороною b (це добре видно на рис. 6). Значить площа нової фігури дорівнює а 2 - b 2 . Отже, (а + b) (а - b) = а 2 - b 2 тобто отримали формулу (3).

3. Різниця кубів та сума кубів

Помножимо двочлен а - b на тричлен а 2 + ab + b2.
Отримаємо:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -b b 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b- аb2-b3 = а3-b3.

Аналогічно

(а + b) (а 2 - аb + b 2) = а 3 + b 3

(Перевірте це самі). Отже,

Формулу (4) зазвичай називають різницею кубівформулу (5) - сумою кубів. Спробуємо перекласти формули (4) та (5) на звичайну мову. Перш ніж це зробити, зауважимо, що вираз a 2 + ab + b 2 схожий на вираз а 2 + 2ab + b 2 яке фігурувало у формулі (1) і давало (а + b) 2 ; вираз а 2 - ab + b 2 схожий на вираз а 2 - 2ab + b 2 яке фігурувало у формулі (2) і давало (а - b) 2 .

Щоб відрізнити (у мові) ці пари виразів одна від одної, кожен із виразів а 2 + 2ab + b 2 і а 2 - 2ab + b 2 називають повним квадратом (суми або різниці), а кожне з виразів а 2 + ab + b 2 і а 2 - ab + b 2 називають неповним квадратом (суми чи різниці). Тоді виходить наступний переклад формул (4) і (5) (прочитаних «праворуч наліво») на звичайну мову:

різницю кубів двох чисел (виразів) дорівнює добутку різниці цих чисел (виразів) на неповний квадрат їх суми; сума кубів двох чисел (виразів) дорівнює добутку суми цих чисел (виразів) на неповний квадрат їхньої різниці.

Зауваження. Усі отримані у цьому параграфі формули (1)-(5) використовуються як зліва направо, так і праворуч наліво, тільки в першому випадку (зліва направо) кажуть, що (1)-(5) - формули скороченого множення, а у другому випадку (праворуч ліворуч) кажуть, що (1)-(5) - формули розкладання на множники.

приклад 4.Виконати множення (2х-1) (4x2 + 2х +1).

Рішення. Оскільки перший множник є різниця одночленів 2х і 1, а другий множник - неповний квадрат їх суми, можна скористатися формулою (4). Отримаємо:

(2x - 1)(4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Приклад 5.Подати двочлен 27а 6 + 8b 3 у вигляді добутку багаточленів.

Рішення. Маємо: 27а 6 = (За 2) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Значить, заданий двочлен є сумою кубів, тобто до нього можна застосувати формулу 95), прочитану праворуч наліво. Тоді отримаємо:

27а 6 + 8b 3 = (За 2) 3 + (2b) 3 = (За 2 + 2Ь) ((За 2) 2 - За 2 2Ь + (2b) 2) = (За 2 + 2Ь) (9а 4 - 6а 2 Ь + 4b 2).

Допомога школяру онлайн , Математика для 7 класу скачати , календарно-тематичне планування

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки