Ilmiy elektron kutubxona. Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema To'g'ri burchakli uchburchaklar tenglik belgilari

22.03.2023 | Insholar

Teorema. Uchburchakning ichki burchaklarining yig'indisi ikkita to'g'ri burchakka teng.

Keling, ABC uchburchagini olaylik (208-rasm). Uning ichki burchaklarini 1, 2 va 3 raqamlari bilan belgilaymiz. Buni isbotlaylik

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Uchburchakning qaysidir uchi orqali, masalan, B, AC ga parallel boʻlgan MN toʻgʻri chiziqni oʻtkazamiz.

B cho'qqisida biz uchta burchak oldik: ∠4, ∠2 va ∠5. Ularning yig'indisi to'g'ri burchak, shuning uchun u 180 ° ga teng:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Lekin ∠4 = ∠1 - MN va AC parallel chiziqlari va AB kesmasi bo'lgan ichki ko'ndalang burchaklar.

∠5 = ∠3 - bular MN va AC parallel chiziqlari va BC sekantli ichki ko'ndalang burchaklardir.

Bu shuni anglatadiki, ∠4 va ∠5 ularning teng ∠1 va ∠3 bilan almashtirilishi mumkin.

Shuning uchun, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorema isbotlangan.

2. Uchburchakning tashqi burchagi xossasi.

Teorema. Uchburchakning tashqi burchagi summasiga teng unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchak.

Haqiqatdan ham, ABC uchburchakda (209-rasm) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, balki ∠VSD ham bu uchburchakning ∠1 va ∠2 ga qoʻshni boʻlmagan tashqi burchagi ham 180° ga teng. - ∠3.

Shunday qilib:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Demak, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Uchburchakning tashqi burchagining olingan xossasi uchburchakning tashqi burchagi haqidagi ilgari isbotlangan teoremaning mazmunini oydinlashtiradi, bunda faqat uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan uchburchakning har bir ichki burchagidan katta ekanligini koʻrsatgan; endi tashqi burchak unga qo'shni bo'lmagan ikkala ichki burchaklar yig'indisiga teng ekanligi aniqlandi.

3. 30° burchakli to‘g‘ri burchakli uchburchakning xossasi.

Teorema. 30° burchakka qarama-qarshi yotgan toʻgʻri burchakli uchburchakning oyogʻi gipotenuzaning yarmiga teng.

ACB to'g'ri burchakli uchburchakdagi B burchagi 30° ga teng bo'lsin (210-rasm). Keyin uning boshqa o'tkir burchagi 60 ° ga teng bo'ladi.

AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng ekanligini isbotlaylik. Keling, yuqoridan tashqarida AC oyog'ini davom ettiramiz to'g'ri burchak C va AC segmentiga teng bo'lgan CM segmentini chetga surib qo'ying. M nuqtani B nuqtaga tutashtiramiz. Olingan VSM uchburchak ACB uchburchagiga teng. Biz ABM uchburchakning har bir burchagi 60° ga teng ekanligini ko'ramiz, shuning uchun bu uchburchak teng yonli uchburchakdir.

AC oyog'i AM ning yarmiga teng va AM AB ga teng bo'lgani uchun, AC oyog'i AB gipotenuzasining yarmiga teng bo'ladi.

Isbot:

ABC uchburchagi berilgan.
B cho'qqisi orqali AC asosiga parallel DK to'g'ri chiziqni o'tkazamiz.
\angle CBK= \angle C sifatida ichki ko'ndalang yotuvchi parallel DK va AC, va BC sekant.
\angle DBA = \angle DK \parallel AC va AB sekant bilan yotadigan ichki ko'ndalang. DBK burchagi teskari va ga teng
\angle DBK = \angle DBA + \angle B + \angle CBK
Ochilmagan burchak 180 ^\circ va \angle CBK = \angle C va \angle DBA = \angle A ga teng bo'lgani uchun, biz olamiz 180 ^\circ = \burchak A + \burchak B + \burchak C.

Teorema isbotlangan

Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teoremadan xulosalar:

so'm o'tkir burchaklar to'g'ri burchakli uchburchak ga teng 90°.
Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakda har bir o'tkir burchak teng 45°.
Teng tomonli uchburchakda har bir burchak tengdir 60°.
Har qanday uchburchakda yoki barcha burchaklar o'tkir yoki ikkita burchak o'tkir, uchinchisi esa o'tkir yoki to'g'ri.
Uchburchakning tashqi burchagi unga qoʻshni boʻlmagan ikkita ichki burchaklar yigʻindisiga teng.

Uchburchak tashqi burchak teoremasi

Uchburchakning tashqi burchagi uchburchakning shu tashqi burchakka tutash boʻlmagan qolgan ikkita burchaklarining yigʻindisiga teng.

Isbot:

ABC uchburchagi berilgan, bu erda BCD tashqi burchakdir.
\angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
Tengliklardan burchak \angle BCD + \angle BCA = 180^0
olamiz \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi- 7-sinf geometriyasida o'qitiladigan muhim, ammo juda oddiy mavzu. Mavzu teorema, qisqacha isbot va bir qancha mantiqiy natijalardan iborat. Ushbu mavzuni bilish ushbu mavzuni keyingi o'rganishda geometrik masalalarni yechishda yordam beradi.

Teorema - ixtiyoriy uchburchakning qanday burchaklari qo'shiladi?

Teorema shuni ko'rsatadiki, agar siz har qanday uchburchakni, uning turidan qat'i nazar, olsangiz, barcha burchaklarning yig'indisi doimo 180 daraja bo'ladi. Bu quyidagicha isbotlangan:

masalan, ABC uchburchagini oling, cho'qqida joylashgan B nuqtasi orqali to'g'ri chiziq o'tkazing va uni "a" deb belgilang, "a" to'g'ri chiziq AC tomoniga qat'iy parallel;
"a" to'g'ri chiziq va AB va BC tomonlari o'rtasida burchaklar belgilanadi, ularni 1 va 2 raqamlari bilan belgilaydi;
1 burchak A burchakka, 2 burchak esa C burchakka teng deb hisoblanadi, chunki bu burchaklar ko'ndalang yotadi deb hisoblanadi;
Shunday qilib, 1, 2 va 3 burchaklar orasidagi yig'indi (B burchak o'rniga belgilanadi) B cho'qqisi bilan ochilgan burchakka teng deb tan olinadi va 180 daraja.

Agar raqamlar bilan ko'rsatilgan burchaklarning yig'indisi 180 gradus bo'lsa, u holda A, B va C burchaklarining yig'indisi 180 gradusga teng deb tan olinadi. Bu qoida har qanday uchburchak uchun amal qiladi.

Geometrik teoremadan kelib chiqadigan narsa

Yuqoridagi teoremadan bir nechta xulosalarni ajratib ko'rsatish odatiy holdir.

Agar muammo to'g'ri burchakli uchburchakni ko'rib chiqsa, u holda uning burchaklaridan biri sukut bo'yicha 90 gradusga teng bo'ladi va o'tkir burchaklar yig'indisi ham 90 daraja bo'ladi.
Agar haqida gapiramiz to'g'ri teng yonli uchburchak haqida, keyin uning 90 gradusgacha bo'lgan o'tkir burchaklari individual ravishda 45 gradusga teng bo'ladi.
Teng tomonli uchburchak uchta teng burchakdan iborat bo'lib, ularning har biri mos ravishda 60 darajaga teng bo'ladi va jami 180 daraja bo'ladi.
Har qanday uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchaklar yig'indisiga teng bo'ladi.

Quyidagi qoidani olish mumkin: har qanday uchburchak kamida ikkita o'tkir burchakka ega. Ba'zi hollarda uchburchak uchta o'tkir burchakdan iborat bo'lib, faqat ikkitasi bo'lsa, uchinchi burchak to'g'ri yoki to'g'ri bo'ladi.

>>Geometriya: uchburchak burchaklarining yig‘indisi. To'liq darslar

DARS MAVZU: Uchburchak burchaklarining yig'indisi.

Dars maqsadlari:

“Uchburchak burchaklari yig‘indisi” mavzusi bo‘yicha talabalarning bilimlarini mustahkamlash va tekshirish;
Uchburchak burchaklarining xossalarini isbotlash;
Ushbu xususiyatni oddiy masalalarni yechishda qo'llash;
Rivojlanish uchun tarixiy materiallardan foydalanish kognitiv faoliyat talabalar;
Chizmalarni qurishda aniqlik mahoratini singdirish.

Dars maqsadlari:

Talabalarning muammoni yechish qobiliyatlarini tekshirish.

Dars rejasi:

uchburchak;
Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema;
Misol vazifalari.

Uchburchak.

Fayl: O.gif uchburchak- 3 ta uchi (burchak) va 3 tomoni bo'lgan eng oddiy ko'pburchak; uch nuqta bilan chegaralangan tekislikning bir qismi va bu nuqtalarni juftlik bilan bog'laydigan uchta segment.
Fazoda bitta to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bitta va faqat bitta tekislikka to'g'ri keladi.
Har qanday ko'pburchak uchburchaklarga bo'linishi mumkin - bu jarayon deyiladi triangulyatsiya.
Matematikaning butunlay uchburchaklar qonunlarini o'rganishga bag'ishlangan bo'limi mavjud - Trigonometriya.

Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema.

Fayl:T.gif Uchburchak burchak yigʻindisi teoremasi Evklid geometriyasining klassik teoremasi boʻlib, uchburchak burchaklarining yigʻindisi 180° ga teng ekanligini bildiradi.

isbot" :

D ABC berilgan bo'lsin. B cho'qqisi orqali (AC) ga parallel chiziq o'tkazamiz va uning ustida A va D nuqtalar BC to'g'rining qarama-qarshi tomonlarida bo'lishi uchun D nuqtani belgilaymiz. Keyin burchak (DBC) va burchak (ACB) BD va AC parallel chiziqlari va sekant (BC) bilan ichki ko'ndalang yotganga teng. U holda uchburchakning B va C uchlaridagi burchaklarining yig'indisi burchakka (ABD) teng bo'ladi. Lekin ABC uchburchakning A uchidagi burchak (ABD) va burchak (BAC) BD va AC parallel chiziqlari va sekant (AB) bilan ichki bir tomonlama bo'lib, ularning yig'indisi 180° ga teng. Demak, uchburchak burchaklarining yig'indisi 180° ga teng. Teorema isbotlangan.

Oqibatlari.

Uchburchakning tashqi burchagi uchburchakning unga qo‘shni bo‘lmagan ikki burchagi yig‘indisiga teng.

Isbot:

D ABC berilgan bo'lsin. D nuqtasi AC chizig'ida yotadi, shunda A C va D o'rtasida yotadi. Keyin BAD uchburchakning A uchidagi burchagiga tashqi va A + BAD = 180 °. Lekin A + B + C = 180 °, va shuning uchun B + C = 180 ° - A. Demak, BAD = B + C. Natijada isbotlangan.

Oqibatlari.

Uchburchakning tashqi burchagi unga qo'shni bo'lmagan uchburchakning har qanday burchagidan kattaroqdir.

Vazifa.

Uchburchakning tashqi burchagi - bu uchburchakning istalgan burchagiga qo'shni burchak. Uchburchakning tashqi burchagi unga qo‘shni bo‘lmagan uchburchakning ikki burchagi yig‘indisiga teng ekanligini isbotlang.
(1-rasm)

Yechim:

In D ABC ∠DAS tashqi bo'lsin (1-rasm). Keyin ∠DAC = 180°-∠BAC (qoʻshni burchaklar xossasi boʻyicha), ∠B+∠C uchburchak burchaklarining yigʻindisi haqidagi teorema boʻyicha = 180°-∠BAC. Bu tengliklardan ∠DAS=∠V+∠S ni olamiz

Qiziqarli fakt:

Uchburchak burchaklarining yig'indisi" :

Lobachevskiy geometriyasida uchburchak burchaklarining yig’indisi har doim 180 dan kichik bo’ladi.Yevklid geometriyasida u har doim 180 ga teng. Riman geometriyasida uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 dan katta bo'ladi.

Matematika tarixidan:

Evklid (miloddan avvalgi 3-asr) "Elementlar" asarida quyidagi ta'rifni beradi: "Parallel chiziqlar - bu bir tekislikda bo'lgan va har ikki yo'nalishda cheksiz ravishda cho'zilgan holda, bir-biri bilan har ikki tomonda uchrashmaydi."
Posidonius (miloddan avvalgi 1-asr) “Bir tekislikda yotgan, bir-biridan teng masofada joylashgan ikkita toʻgʻri chiziq”
Qadimgi yunon olimi Papp (miloddan avvalgi III asr) parallellik belgisini kiritgan to'g'ri belgi=. Keyinchalik ingliz iqtisodchisi Rikardo (1720-1823) bu belgini tenglik belgisi sifatida ishlatgan.
Faqat 18-asrda ular parallel chiziqlar uchun belgi - || belgisidan foydalanishni boshladilar.
Avlodlar o'rtasidagi jonli aloqa bir lahzaga ham uzilmaydi, biz har kuni ajdodlarimiz to'plagan tajribani o'rganamiz. Qadimgi yunonlar kuzatishlar va amaliy tajribaga asoslanib, xulosalar chiqardilar, farazlar bildirdilar, so'ngra olimlar yig'ilishlarida - simpoziumlarda (so'zma-so'z "ziyofat") bu farazlarni asoslash va isbotlashga harakat qilishdi. O'sha paytda: "Haqiqat tortishuvlarda tug'iladi" degan bayonot paydo bo'ldi.

Savollar:

Uchburchak nima?
Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema nima deydi?
Uchburchakning tashqi burchagi nimaga teng?

Isbot

Mayli ABC" - ixtiyoriy uchburchak. Keling, uni tepadan o'tkazaylik B chiziqqa parallel chiziq A.C. (bunday to'g'ri chiziq Evklid to'g'ri chiziq deb ataladi). Unda bir nuqtani belgilaymiz D Shunday qilib, nuqtalar A Va D to'g'ri chiziqning qarama-qarshi tomonlarida yotqiz Miloddan avvalgi.Burchaklar DBC Va ACB sekant tomonidan hosil qilingan ichki ko'ndalang yotishga teng Miloddan avvalgi parallel chiziqlar bilan A.C. Va BD. Shuning uchun, uchburchakning burchaklaridagi burchaklarining yig'indisi B Va BILAN burchakka teng ABD.Uchburchakning barcha uch burchagi yig’indisi burchaklar yig’indisiga teng ABD Va BAC. Bu burchaklar parallel uchun ichki bir tomonlama bo'lgani uchun A.C. Va BD sekantda AB, keyin ularning yig'indisi 180 ° ga teng. Teorema isbotlangan.

Oqibatlari

Teoremadan kelib chiqadiki, har qanday uchburchakning ikkita o'tkir burchagi bor. Darhaqiqat, qarama-qarshilik bilan isbotdan foydalanib, uchburchakning faqat bitta o'tkir burchagi bor yoki umuman o'tkir burchaklari yo'q deb faraz qilaylik. Keyin bu uchburchak kamida ikkita burchakka ega, ularning har biri kamida 90 °. Bu burchaklarning yig'indisi 180° dan kam emas. Ammo bu mumkin emas, chunki uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° ga teng. Q.E.D.

Simpleks nazariyasiga umumlashtirish

Simpleksning i va j yuzlari orasidagi burchak qayerda.

Eslatmalar

Sharda uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan oshadi, farq sferik ortiqcha deb ataladi va uchburchakning maydoniga proportsionaldir.
Lobachevskiy tekisligida uchburchak burchaklarining yig'indisi har doim 180 ° dan kichik bo'ladi. Farqi uchburchakning maydoniga ham proportsionaldir.

Shuningdek qarang

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Teylor
Nijniy Lebyaji ko'prigi

Boshqa lug'atlarda "Uchburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema" nima ekanligini ko'ring:

Ko'pburchak burchaklar yig'indisi teoremasi- Evklid geometriyasida ko'pburchaklar xossasi: Uchburchakning n burchaklarining yig'indisi 180° (n 2) ga teng. Mundarija 1 Isbot 2 Eslatma ... Vikipediya

Pifagor teoremasi- Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri bo'lib, to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari orasidagi munosabatni o'rnatadi. Mundarija 1 ... Vikipediya

Uchburchakning maydoni

Pifagor teoremasi- Pifagor teoremasi Evklid geometriyasining asosiy teoremalaridan biri bo‘lib, to‘g‘ri burchakli uchburchak tomonlari orasidagi munosabatni o‘rnatadi. Mundarija 1 Bayonotlar 2 Dalillar ... Vikipediya

Kosinus teoremasi- Kosinuslar teoremasi Pifagor teoremasini umumlashtirishdir. Uchburchakning bir tomonining kvadrati uning boshqa ikki tomonining kvadratlari yig'indisiga, bu tomonlarning ular orasidagi burchakning kosinusiga ikki barobar ko'paytmasiga teng. Bilan tekis uchburchak uchun a,b,c tomonlari va burchak a... ... Vikipediya

Uchburchak- Bu atamaning boshqa maʼnolari ham bor, qarang: Uchburchak (maʼnolari). Uchburchak (Yevklid fazosida). geometrik shakl, bir to'g'ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtani bog'laydigan uchta segmentdan tashkil topgan. Uch nuqta,... ...Vikipediya

Uchburchaklar tenglik belgilari- standart yozuvlar Uchburchak 3 ta uchi (burchak) va 3 tomoni bo'lgan eng oddiy ko'pburchakdir; tekislikning bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqta bilan chegaralangan qismi va bu nuqtalarni juft-juft qilib bog'laydigan uchta segment. Uchburchakning uchlari ... Vikipediya

Evklid- Qadimgi yunon matematigi. 3-asrda Iskandariyada ishlagan. Miloddan avvalgi e. Qadimgi matematika asoslarini, elementar geometriyani, sonlar nazariyasini, munosabatlarning umumiy nazariyasini hamda sohalar va hajmlarni aniqlash usulini o'z ichiga olgan "Asosiylar" (15 kitob) asosiy asari ... ... ensiklopedik lug'at

EUCLID- (miloddan avvalgi 275-270 yillarda vafot etgan) qadimgi yunon matematigi. Uning tug'ilgan vaqti va joyi to'g'risida ma'lumotlar bizgacha yetib kelmagan, ammo ma'lumki, Evklid Iskandariyada yashagan va uning faoliyatining gullagan davri Misrda Ptolemey I hukmronligi davrida sodir bo'lgan... ... Katta ensiklopedik lug'at

EVKLID BO'LMAGAN GEOMETRIYA- evklid geometriyasiga o'xshash geometriya, chunki u figuralar harakatini belgilaydi, lekin Evklid geometriyasidan beshta postulatdan biri (ikkinchi yoki beshinchisi) inkori bilan almashtirilishi bilan farq qiladi. Evklid postulatlaridan birini inkor qilish... ... Collier ensiklopediyasi