Funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping. Funksiyaning hosilasini onlayn hisoblash

1-misol

Malumot: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir: Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

, , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

3-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang. Keling, avval hosilani topamiz:

Xo'sh, bu butunlay boshqa masala. Nuqtadagi hosilaning qiymatini hisoblang:

Agar hosila qanday topilganligini tushunmasangiz, mavzuning dastlabki ikki darsiga qayting. Ark tangensi va uning ma'nolari bilan bog'liq qiyinchiliklar (tushunmovchilik) bo'lsa, albatta uslubiy materialni o‘rganish Elementar funksiyalarning grafiklari va xossalari- oxirgi xatboshi. Chunki talabalik yoshi uchun arktangentlar hali yetarli.

4-misol

Nuqtadagi funksiyaning hosilasini hisoblang.

Funksiya grafigiga teginish tenglamasi

Oldingi paragrafni birlashtirish uchun tegni topish masalasini ko'rib chiqing funktsiya grafikasi ayni paytda. Biz bu vazifani maktabda uchratganmiz va u oliy matematika kursida ham uchraydi.

"Namoyish" elementar misolini ko'rib chiqing.

Funksiya grafigiga abtsissa bilan nuqtada teginish tenglamasini yozing. Men darhol tayyor narsalarni olib kelaman grafik yechim vazifalar (amalda, bu ko'p hollarda kerak emas):

Tangensning qat'iy ta'rifi tomonidan berilgan funktsiya hosilasining ta'riflari, lekin hozircha biz masalaning texnik qismini o'zlashtiramiz. Shubhasiz, deyarli hamma intuitiv ravishda tangens nima ekanligini tushunadi. Agar siz "barmoqlarda" ni tushuntirsangiz, u holda funktsiya grafigiga teginish bo'ladi To'g'riga, bu funksiya grafigiga tegishli faqat nuqta. Bunday holda, to'g'ri chiziqning barcha yaqin nuqtalari funksiya grafigiga imkon qadar yaqin joylashgan.

Bizning holatimizga nisbatan qo'llaniladigan: da, tangens (standart yozuv) funksiya grafigiga bir nuqtada tegadi.

Va bizning vazifamiz to'g'ri chiziq tenglamasini topishdir.

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasi qanday topiladi? Ushbu vazifaning ikkita aniq nuqtasi so'zlardan kelib chiqadi:

1) hosilani topish kerak.

2) Berilgan nuqtada hosilaning qiymatini hisoblash kerak.

1-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

Yordam: Funktsiyani belgilashning quyidagi usullari ekvivalentdir:


Ba'zi vazifalarda funktsiyani "o'yinchi", ba'zilarida esa "ef dan x" sifatida belgilash qulay.

Avval hosilani topamiz:

Umid qilamanki, ko'pchilik allaqachon bunday lotinlarni og'zaki ravishda topishga moslashgan.

Ikkinchi bosqichda hosilaning qiymatini nuqtada hisoblaymiz:

Mustaqil yechim uchun kichik isitish misoli:

2-misol

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini hisoblang

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bir nuqtada hosilani topish zarurati quyidagi vazifalarda paydo bo'ladi: funktsiya grafigiga tangensni qurish (keyingi paragraf), ekstremum uchun funktsiyani o'rganish , grafikning burilish funksiyasini o'rganish , to'liq funktsiyani o'rganish va boshq.

Ammo ko'rib chiqilayotgan vazifa nazorat hujjatlarida va o'z-o'zidan topiladi. Va, qoida tariqasida, bunday hollarda, funktsiya juda murakkab beriladi. Shu munosabat bilan yana ikkita misolni ko'rib chiqing.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini hisoblang nuqtada.
Keling, avval hosilasini topamiz:

Asosan, lotin topiladi va kerakli qiymat almashtirilishi mumkin. Lekin men hech narsa qilishni xohlamayman. Ifoda juda uzun va "x" qiymati kasrdir. Shuning uchun biz lotinimizni iloji boricha soddalashtirishga harakat qilamiz. Bunday holda, keling, oxirgi uchta shartni umumiy maxrajga qisqartirishga harakat qilaylik: nuqtada.

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol.

F(x) funksiyaning Ho nuqtadagi hosilasining qiymati qanday topiladi? Umuman olganda, buni qanday hal qilish mumkin?

Agar formula berilgan bo'lsa, hosilani toping va X o'rniga X-nolni qo'ying. hisoblash
Agar biz b-8 USE, grafik haqida gapiradigan bo'lsak, u holda siz X o'qiga tangens hosil qiluvchi burchakning tangensini (o'tkir yoki o'tkir) topishingiz kerak (to'g'ri burchakli uchburchakning aqliy konstruktsiyasidan foydalangan holda va tangensini aniqlash). burchak)

Timur Adilxo'jaev

Birinchidan, siz belgi haqida qaror qabul qilishingiz kerak. Agar x0 pastki qismida bo'lsa koordinata tekisligi, u holda javobdagi belgi minus bo'ladi va agar yuqori bo'lsa, u holda +.
Ikkinchidan, to'rtburchaklar to'rtburchakda tange nima ekanligini bilishingiz kerak. Va bu qarama-qarshi tomonning (oyoq) qo'shni tomonga (shuningdek, oyoq) nisbati. Odatda rasmda bir nechta qora belgilar mavjud. Bu belgilardan siz yaratasiz to'g'ri uchburchak va tangalarni toping.

f x funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymati qanday topiladi?

aniq savol yo'q - 3 yil oldin

Umumiy holatda funktsiyaning biron bir o'zgaruvchiga nisbatan hosilasining qiymatini istalgan nuqtada topish uchun berilgan funksiyani shu o'zgaruvchiga nisbatan differentsiallash kerak bo'ladi. Sizning holatingizda, X o'zgaruvchisi tomonidan. Olingan ifodada X o'rniga, x ning qiymatini lotin qiymatini topishingiz kerak bo'lgan nuqtaga qo'ying, ya'ni. sizning holatingizda, nol X o'rniga qo'ying va olingan ifodani hisoblang.

Xo'sh, bu masalani tushunishga bo'lgan xohishingiz, menimcha, shubhasiz, men toza vijdon bilan qo'ygan + ga loyiqdir.

Hosilni topish muammosining bunday formulasi ko'pincha hosilaning geometrik ma'nosi bo'yicha materialni aniqlash uchun qo'yiladi. Muayyan funktsiyaning grafigi taklif qilingan, butunlay ixtiyoriy va emas tenglama bilan berilgan va belgilangan X0 nuqtasida hosilaning qiymatini (hosilning o'zini emas!) topish talab qilinadi. Buning uchun berilgan funksiyaga tangens quriladi va uning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalari topiladi. Keyin bu tegning tenglamasi y=kx+b ko'rinishda tuziladi.

Bu tenglamada k va koeffitsienti hosilaning qiymati bo'ladi. faqat b koeffitsientining qiymatini topish uchun qoladi. Buning uchun biz x \u003d o da y qiymatini topamiz, u 3 ga teng bo'lsin - bu b koeffitsientining qiymati. Biz X0 va Y0 qiymatlarini asl tenglamaga almashtiramiz va k ni topamiz - bu nuqtadagi hosilaning qiymati.

B9 masalada funktsiya yoki hosila grafigi berilgan, undan quyidagi miqdorlardan birini aniqlash talab etiladi:

1. X 0 nuqtadagi hosilaning qiymati,
2. Yuqori yoki past nuqtalar (ekstremal nuqtalar),
3. Ortib boruvchi va kamayuvchi funksiyalar intervallari (monotonlik oraliqlari).

Bu masalada keltirilgan funksiyalar va hosilalar doimo uzluksiz bo'lib, bu yechimni ancha soddalashtiradi. Vazifa matematik tahlil bo'limiga tegishli bo'lishiga qaramay, u hatto eng zaif o'quvchilarning kuchiga kiradi, chunki bu erda chuqur nazariy bilim talab qilinmaydi.

Losmalar, ekstremum nuqtalar va monotonlik oraliqlarining qiymatini topish uchun oddiy va universal algoritmlar mavjud - ularning barchasi quyida muhokama qilinadi.

Axmoqona xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun B9 muammosining shartini diqqat bilan o'qing: ba'zida juda katta matnlar paydo bo'ladi, ammo yechim yo'nalishiga ta'sir qiladigan bir nechta muhim shartlar mavjud.

Hosila qiymatini hisoblash. Ikki nuqta usuli

Agar masalaga x 0 nuqtada shu grafaga tangens bo‘lgan f(x) funksiyaning grafigi berilgan bo‘lsa va bu nuqtada hosilaning qiymatini topish talab etilsa, quyidagi algoritm qo‘llaniladi:

1. Tangens grafigida ikkita "adekvat" nuqtani toping: ularning koordinatalari butun son bo'lishi kerak. Bu nuqtalarni A (x 1 ; y 1) va B (x 2 ; y 2) deb belgilaymiz. Koordinatalarni to'g'ri yozing - bu yechimning asosiy nuqtasi va bu erda har qanday xato noto'g'ri javobga olib keladi.
2. Koordinatalarni bilgan holda, Dx = x 2 − x 1 argumentining ortishi va Dy = y 2 − y 1 funksiyasining o‘sishini hisoblash oson.
3. Nihoyat, hosila D = Dy/Dx qiymatini topamiz. Boshqacha qilib aytganda, siz funktsiya o'sishini argument o'sishiga bo'lishingiz kerak - va bu javob bo'ladi.

Yana bir bor ta'kidlaymiz: A va B nuqtalarni ko'pincha bo'lgani kabi f(x) funksiya grafigida emas, balki aniq tangens bo'yicha izlash kerak. Tangensda kamida ikkita shunday nuqta bo'lishi kerak, aks holda muammo noto'g'ri tuzilgan.

A (−3; 2) va B (−1; 6) nuqtalarini ko‘rib chiqing va o‘sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Hosilaning qiymati topilsin: D = Dy/Dx = 4/2 = 2.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 3) va B (3; 0) nuqtalarini ko'rib chiqing, o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Dy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Endi hosilaning qiymatini topamiz: D = Dy/Dx = -3/3 = -1.

Vazifa. Rasmda y \u003d f (x) funktsiyasining grafigi va abscissa x 0 nuqtasida unga tegish ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning x 0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.

A (0; 2) va B (5; 2) nuqtalarini ko'rib chiqing va o'sishlarni toping:
Dx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Dy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Hosilaning qiymatini topish qoladi: D = Dy/Dx = 0/5 = 0.

Oxirgi misoldan biz qoidani shakllantirishimiz mumkin: agar tangens OX o'qiga parallel bo'lsa, aloqa nuqtasida funktsiyaning hosilasi nolga teng. Bunday holda, siz hech narsani hisoblashingiz shart emas - shunchaki grafikaga qarang.

Yuqori va past ballarni hisoblash

Ba'zan B9 masaladagi funksiya grafigi o'rniga hosila grafigi beriladi va funktsiyaning maksimal yoki minimal nuqtasini topish talab qilinadi. Ushbu stsenariyda ikki nuqtali usul foydasiz, ammo boshqa, hatto oddiyroq algoritm ham mavjud. Birinchidan, terminologiyani aniqlaymiz:

1. X 0 nuqtasi f(x) funksiyaning maksimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≥ f(x).
2. x 0 nuqtasi f(x) funksiyaning minimal nuqtasi deyiladi, agar ushbu nuqtaning qaysidir qo'shnisida quyidagi tengsizlik bajarilsa: f(x 0) ≤ f(x).

Hosila grafigida maksimal va minimal nuqtalarni topish uchun quyidagi amallarni bajarish kifoya:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlagan holda lotin grafigini qayta chizing. Amaliyot shuni ko'rsatadiki, qo'shimcha ma'lumotlar faqat qarorga xalaqit beradi. Shuning uchun biz koordinata o'qida hosilaning nollarini belgilaymiz - va bu.
2. Nollar orasidagi intervallardagi hosila belgilarini toping. Agar biron bir x 0 nuqtasi uchun f'(x 0) ≠ 0 ekanligi ma'lum bo'lsa, u holda faqat ikkita variant mumkin: f'(x 0) ≥ 0 yoki f'(x 0) ≤ 0. Hosilning belgisi: dastlabki chizmadan aniqlash oson: agar hosilaviy grafik OX oʻqidan yuqorida joylashgan boʻlsa, u holda f'(x) ≥ 0. Aksincha, hosila grafik OX oʻqidan pastda joylashgan boʻlsa, f'(x) ≤ 0 boʻladi.
3. Biz lotinning nol va belgilarini yana tekshiramiz. Belgisi minusdan plyusga o'zgargan joyda minimal nuqta mavjud. Aksincha, lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgartirilsa, bu maksimal nuqtadir. Hisoblash har doim chapdan o'ngga amalga oshiriladi.

Ushbu sxema faqat uzluksiz funktsiyalar uchun ishlaydi - B9 muammosida boshqalar yo'q.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−5 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 5]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi minimal nuqtasini toping.

Keraksiz ma'lumotlardan xalos bo'laylik - biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−5; 5] va hosila nollari x = -3 va x = 2,5. Shuningdek, belgilarga e'tibor bering:

Shubhasiz, x = -3 nuqtada hosila belgisi minusdan ortiqchaga o'zgaradi. Bu minimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7]. f(x) funksiyaning shu segmentdagi maksimal nuqtasini toping.

Keling, faqat chegaralarni qoldirib, grafikni qayta chizamiz [−3; 7] va hosila nollari x = -1.7 va x = 5. Hosil boʻlgan grafikdagi hosilaning belgilariga eʼtibor bering. Bizda ... bor:

Shubhasiz, x = 5 nuqtasida lotin belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi - bu maksimal nuqta.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−6 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; to'rt]. f(x) funksiyaning [−4 oraliqga tegishli maksimal nuqtalari sonini toping; 3].

Masalaning shartlaridan kelib chiqadiki, grafikning faqat segment bilan chegaralangan qismini ko'rib chiqish kifoya [−4; 3]. Shuning uchun biz yangi grafik quramiz, unda biz faqat chegaralarni belgilaymiz [−4; 3] va uning ichidagi hosilaning nollari. Ya'ni, nuqtalar x = -3,5 va x = 2. Biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu grafikda faqat bitta maksimal nuqta x = 2. Aynan unda hosila belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi.

Butun son bo'lmagan koordinatali nuqtalar haqida kichik eslatma. Masalan, oxirgi masalada x = -3,5 nuqtasi ko'rib chiqildi, ammo xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz x = -3,4 ni olishimiz mumkin. Agar muammo to'g'ri tuzilgan bo'lsa, bunday o'zgarishlar javobga ta'sir qilmasligi kerak, chunki "belgilangan yashash joyisiz" nuqtalar muammoni hal qilishda bevosita ishtirok etmaydi. Albatta, butun sonli nuqtalar bilan bunday hiyla ishlamaydi.

Funksiyaning ortish va kamayish intervallarini topish

Bunday masalada maksimal va minimal nuqtalar kabi, hosila grafigidan funksiyaning o‘zi ortib yoki kamayadigan sohalarni topish taklif etiladi. Birinchidan, ko'tarilish va pasayish nima ekanligini aniqlaymiz:

1. f(x) funksiya, agar bu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa, segmentda ortib boruvchi deyiladi: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Boshqacha qilib aytganda, argumentning qiymati qanchalik katta bo'lsa, funktsiyaning qiymati shunchalik katta bo'ladi.
2. f(x) funksiya segmentdagi kamayuvchi deyiladi, agar ushbu segmentning istalgan ikkita x 1 va x 2 nuqtalari uchun quyidagi bayonot to'g'ri bo'lsa: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Bular. argumentning kattaroq qiymati funksiyaning kichikroq qiymatiga mos keladi.

Biz oshirish va kamaytirish uchun etarli shartlarni shakllantiramiz:

1. Uzluksiz f(x) funksiyaning segmentda ortishi uchun uning segment ichidagi hosilasi musbat bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≥ 0.
2. Uzluksiz f(x) funksiya segmentida kamayishi uchun uning segment ichidagi hosilasi manfiy bo'lishi kifoya, ya'ni. f'(x) ≤ 0.

Biz bu da'volarni isbotsiz qabul qilamiz. Shunday qilib, biz o'sish va pasayish intervallarini topish sxemasini olamiz, bu ko'p jihatdan ekstremum nuqtalarni hisoblash algoritmiga o'xshaydi:

1. Barcha keraksiz ma'lumotlarni olib tashlang. Hosilning asl grafigida bizni birinchi navbatda funksiyaning nollari qiziqtiradi, shuning uchun biz faqat ularni qoldiramiz.
2. Nol orasidagi oraliqda hosilaning belgilarini belgilang. f'(x) ≥ 0 bo'lgan joyda funksiya ortadi, f'(x) ≤ 0 bo'lsa, u kamayadi. Muammo x o'zgaruvchisiga cheklovlar bo'lsa, biz ularni qo'shimcha ravishda yangi diagrammada belgilaymiz.
3. Endi biz funktsiyaning xatti-harakati va cheklovni bilganimizdan so'ng, muammoda kerakli qiymatni hisoblash qoladi.

Vazifa. Rasmda f(x) funksiyaning [−3 oraliqda aniqlangan hosilasining grafigi ko'rsatilgan; 7.5]. f(x) funksiyaning kamayuvchi oraliqlarini toping. Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun sonlar yig'indisini yozing.

Odatdagidek, biz grafikni qayta chizamiz va chegaralarni belgilaymiz [−3; 7.5], shuningdek, x = -1.5 va x = 5.3 hosilasining nollari. Keyin hosila belgilarini belgilaymiz. Bizda ... bor:

(− 1,5) oraliqda hosila manfiy bo‘lgani uchun bu funksiya kamayuvchi intervaldir. Bu oraliq ichidagi barcha butun sonlarni yig'ish uchun qoladi:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Vazifa. Rasmda [−10] segmentida aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi ko‘rsatilgan; to'rt]. f(x) funktsiyaning ortishi oraliqlarini toping. Javobingizda ulardan eng kattasining uzunligini yozing.

Keling, ortiqcha ma'lumotlardan xalos bo'laylik. Biz faqat chegaralarni qoldiramiz [−10; 4] va hosilaning nollari, bu safar ular to'rtta bo'lib chiqdi: x = −8, x = −6, x = −3 va x = 2. Hosilning belgilariga e'tibor bering va quyidagi rasmni oling:

Biz funktsiyani oshirish intervallari bilan qiziqamiz, ya'ni. Bu yerda f'(x) ≥ 0. Grafikda ikkita shunday interval mavjud: (−8; −6) va (−3; 2). Keling, ularning uzunligini hisoblaylik:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (−3) = 5.

Intervallarning eng kattasining uzunligini topish talab qilinganligi uchun javob sifatida l 2 = 5 qiymatini yozamiz.

Kalkulyator barcha elementar funksiyalarning hosilalarini hisoblab, batafsil yechim beradi. Farqlash o'zgaruvchisi avtomatik ravishda aniqlanadi.

Funktsiya hosilasi matematik tahlilning eng muhim tushunchalaridan biridir. Bunday masalalar hosila paydo bo'lishiga olib keldi, masalan, vaqt momentidagi nuqtaning oniy tezligini hisoblash, agar vaqtga qarab yo'l ma'lum bo'lsa, nuqtadagi funktsiyaga teguvchini topish masalasi. .

Ko'pincha, funktsiyaning hosilasi, agar u mavjud bo'lsa, funktsiya o'sishining argument o'sishiga nisbati chegarasi sifatida aniqlanadi.

Ta'rif. Funktsiya nuqtaning ba'zi qo'shnilarida aniqlansin. Unda funktsiyaning nuqtadagi hosilasi, agar mavjud bo'lsa, chegara deyiladi

Funktsiyaning hosilasini qanday hisoblash mumkin?

Funktsiyalarni farqlashni o'rganish uchun o'rganish va tushunish kerak farqlash qoidalari va qanday foydalanishni o'rganing hosilaviy jadval.

Farqlash qoidalari

Haqiqiy o'zgaruvchining ixtiyoriy differentsiallanuvchi funksiyalari bo'lsin va qandaydir haqiqiy doimiy bo'lsin. Keyin

funksiyalar mahsulotini farqlash qoidasidir

bo'lak funksiyalarini differensiallash qoidasidir

0" balandligi="33" kengligi="370" style="vertical-align: -12px;"> — oʻzgaruvchan darajali funksiyani differentsiallash

- kompleks funksiyani differentsiallash qoidasi

quvvat funksiyasini differentsiallash qoidasidir

Funktsiyaning onlayn hosilasi

Bizning kalkulyatorimiz har qanday funktsiyaning hosilasini onlayn tarzda tez va aniq hisoblab chiqadi. Dastur lotinni hisoblashda xatolikka yo'l qo'ymaydi va uzoq va zerikarli hisob-kitoblardan qochishga yordam beradi. Onlayn kalkulyator Bu sizning yechimingizning to'g'riligini tekshirish zarurati tug'ilganda foydali bo'ladi va agar u noto'g'ri bo'lsa, tezda xatoni toping.

Geometrik ma'no haqida juda ko'p nazariyalar yozilgan. Men funktsiya o'sishining hosilasiga kirmayman, vazifalarni bajarish uchun asosiy narsani eslatib o'taman:

X nuqtadagi hosila shu nuqtadagi y = f (x) funktsiya grafigiga teginish qiyaligiga teng, ya'ni u X o'qiga moyillik burchagi tangensidir.

Keling, darhol imtihondan topshiriqni olib, uni tushunishni boshlaylik:

Vazifa raqami 1. Rasmda ko'rsatilgan funksiya grafigi y = f(x) va abscissa x0 nuqtada unga tegish. f(x) funksiyaning x0 nuqtadagi hosilasi qiymatini toping.
Kim shoshyapti va tushuntirishlarni tushunishni istamaydi: har qanday uchburchak hosil qiling (quyida ko'rsatilgandek) va tik turgan tomonni (vertikal) yotgan (gorizontal) bilan ajrating va agar siz belgini unutmasangiz (agar to'g'ri chiziq kamaysa (→↓)) xursand bo'lasiz. , u holda javob minus bilan bo'lishi kerak, agar to'g'ri chiziq (→) oshsa, javob ijobiy bo'lishi kerak!)

Tangens va X o'qi orasidagi burchakni topish kerak, uni a deb ataymiz: grafikning tangensi orqali istalgan joyga X o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz, biz bir xil burchakka ega bo'lamiz.

X0 nuqtasini qabul qilmaslik yaxshiroqdir, chunki aniq koordinatalarni aniqlash uchun katta lupa kerak bo'ladi.

Har qanday to'g'ri burchakli uchburchakni olib (rasmda 3 ta variant taklif qilingan), biz tga (burchaklar teng, mos keladigan) topamiz, ya'ni. f(x) funksiyaning x0 nuqtasida hosilasini olamiz. Nega shunday?

Agar boshqa x2, x1 va hokazo nuqtalarda tangenslarni o'tkazsak. tangenslar har xil bo'ladi.

Keling, to'g'ri chiziq qurish uchun 7-sinfga qaytaylik!

To'g'ri chiziq tenglamasi y = kx + b tenglama bilan berilgan, bu erda

k - X o'qiga nisbatan egilish.

b - Y o'qi bilan kesishish nuqtasi va koordinata o'rtasidagi masofa.

To'g'ri chiziqning hosilasi har doim bir xil bo'ladi: y" = k.

Chiziqning qaysi nuqtasida hosila olamiz, u o'zgarmaydi.

Shuning uchun, faqat tga ni topish qoladi (yuqorida aytib o'tilganidek: biz turgan tomonni yotgan tomonga ajratamiz). Biz qarama-qarshi oyoqni qo'shnisiga ajratamiz, biz k \u003d 0,5 ni olamiz. Biroq, agar grafik kamayib borayotgan bo'lsa, koeffitsient manfiy bo'ladi: k = -0,5.

Men sizga tekshirishni maslahat beraman ikkinchi yo'l:
To'g'ri chiziqni aniqlash uchun ikkita nuqtadan foydalanish mumkin. Istalgan ikkita nuqtaning koordinatalarini toping. Masalan, (-2;-2) va (2;-4):

Tenglamada y va x o‘rniga y = kx + b nuqtalarning koordinatalarini qo‘ying:

-2 = -2k + b

Bu sistemani yechib, b = -3, k = -0,5 ni olamiz

Xulosa: Ikkinchi usul uzoqroq, ammo unda siz belgi haqida unutmaysiz.

Javob: - 0,5

Vazifa raqami 2. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik f(x) funksiyalari. X o'qida sakkizta nuqta belgilangan: x1, x2, x3, ..., x8. Bu nuqtalarning nechtasi f(x) funktsiyaning ortish oraliqlarida yotadi?

Agar funktsiya grafigi kamayib borayotgan bo'lsa - hosila manfiy (va aksincha).

Agar funktsiya grafigi oshsa, hosila ijobiy bo'ladi (va aksincha).

Ushbu ikkita ibora ko'p muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Ehtiyotkorlik bilan qarang hosila yoki funktsiyaning chizmasi sizga beriladi va keyin ikkita iboradan birini tanlang.

Funktsiyaning sxematik grafigini tuzamiz. Chunki bizga hosilaning grafigi berilgan, u holda manfiy bo'lgan joyda funksiya grafigi kamayadi, musbat bo'lgan joyda esa ortadi!

Ma'lum bo'lishicha, o'sish sohalarida 3 ball yotadi: x4; x5; x6.

Javob: 3

Vazifa raqami 3. f(x) funksiya (-6; 4) oraliqda aniqlanadi. Rasmda ko'rsatilgan uning hosilasi grafigi. Funksiya eng katta qiymatni qabul qiladigan nuqtaning abssissasini toping.

Men sizga har doim funktsiya grafigi qanday ketishini shunday strelkalar yoki sxematik belgilar bilan (4 va 5-sonli kabi) qurishni maslahat beraman:

Shubhasiz, agar grafik -2 ga oshsa, maksimal nuqta -2 ga teng.

Javob: -2

Vazifa raqami 4. Rasmda f(x) funksiyaning grafigi va x o'qidagi o'n ikkita nuqta ko'rsatilgan: x1, x2, ..., x12. Ushbu nuqtalarning nechtasida funktsiyaning hosilasi manfiy bo'ladi?

Vazifa teskari, funktsiya grafigini hisobga olgan holda, siz funktsiyaning hosilasi grafigi qanday ko'rinishini sxematik tarzda qurishingiz va manfiy diapazonda qancha nuqta yotishini hisoblashingiz kerak.

Ijobiy: x1, x6, x7, x12.

Salbiy: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Javob: 7

Vazifaning yana bir turi, ba'zi dahshatli "ekstremallar" haqida so'ralganda? Bu nima ekanligini topish siz uchun qiyin bo'lmaydi, lekin men grafiklar uchun tushuntiraman.

Vazifa raqami 5. Rasmda (-16; 6) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya hosilasining grafigi berilgan. f(x) funksiyaning [-11” segmentidagi ekstremum nuqtalari sonini toping; 5].

-11 dan 5 gacha bo'lgan diapazonga e'tibor bering!

Keling, yorqin ko'zimizni plastinkaga qarataylik: funktsiya hosilasining grafigi berilgan => u holda ekstremallar X o'qi bilan kesishgan nuqtalardir.

Javob: 3

Vazifa raqami 6. Rasmda (-13; 9) intervalda aniqlangan f (x) funksiyaning hosilasi grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning [-12 oraliqdagi maksimal nuqtalari sonini toping; 5].

-12 dan 5 gacha bo'lgan diapazonga e'tibor bering!

Siz plastinkaga bir ko'z bilan qarashingiz mumkin, maksimal nuqta ekstremum bo'lib, undan oldin hosila ijobiy (funktsiya kuchayadi), undan keyin esa hosila salbiy (funktsiya kamayadi). Bu nuqtalar aylana bilan o'ralgan.

O'qlar funksiya grafigi qanday harakat qilishini ko'rsatadi.

Javob: 3

Vazifa raqami 7. Rasmda (-7; 5) oraliqda aniqlangan f(x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan. f(x) funksiyaning hosilasi 0 ga teng nuqtalar sonini toping.

Yuqoridagi jadvalga qarashingiz mumkin (hosil nolga teng, ya'ni bu ekstremal nuqtalar). Va bu masalada funktsiyaning grafigi berilgan, ya'ni siz topishingiz kerak burilish nuqtalari soni!

Va siz odatdagidek mumkin: biz lotinning sxematik grafigini quramiz.

Funktsiyalar grafigi o'z yo'nalishini o'zgartirganda hosila nolga teng bo'ladi (ortishdan kamayishgacha va aksincha)

Javob: 8

Vazifa raqami 8. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik(-2; 10) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya. O'sish funksiyasining intervallarini toping f(x). Javobingizda ushbu intervallarga kiritilgan butun nuqtalar yig'indisini ko'rsating.

Funktsiyaning sxematik grafigini tuzamiz:

Qaerda u ko'paysa, biz 4 ta butun nuqtani olamiz: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Javob: 22

Vazifa raqami 9. Rasmda ko'rsatilgan hosilaviy grafik(-6; 6) oraliqda aniqlangan f(x) funksiya. Funksiya grafigining tangensi y = 2x + 13 chiziqqa parallel yoki to‘g‘ri keladigan f(x) nuqtalar sonini toping.

Bizga hosilaning grafigi berilgan! Bu bizning tangensimiz ham lotinga "tarjima" qilinishi kerakligini anglatadi.

Tangens hosilasi: y" = 2.

Endi ikkala hosila tuzamiz:

Tangenslar uch nuqtada kesishadi, shuning uchun bizning javobimiz 3.

Javob: 3

Vazifa raqami 10. Rasmda f (x) funksiyaning grafigi ko'rsatilgan va -2, 1, 2, 3 nuqtalar belgilangan.Ushbu nuqtalarning qaysi birida hosilaning qiymati eng kichik? Iltimos, javobingizda ushbu nuqtani ko'rsating.

Vazifa biroz birinchisiga o'xshaydi: hosilaning qiymatini topish uchun siz ushbu grafaga bir nuqtada tangens qurishingiz va k koeffitsientini topishingiz kerak.

Agar chiziq kamayib borayotgan bo'lsa, k< 0.

Agar chiziq ortib borayotgan bo'lsa, k > 0.

Keling, koeffitsientning qiymati to'g'ri chiziqning qiyaligiga qanday ta'sir qilishini o'ylab ko'raylik:

K = 1 yoki k = - 1 bo'lganda, grafik x va y o'qlari o'rtasida o'rtada bo'ladi.

To'g'ri chiziq X o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa, k koeffitsienti nolga yaqinroq bo'ladi.

Chiziq Y o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa, k koeffitsienti cheksizlikka yaqinroq bo'ladi.

-2 va 1 k nuqtada<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>bu yerda hosilaning eng kichik qiymati bo'ladi

Javob: 1

Vazifa raqami 11. Chiziq y = x³ + x² + 2x + 8 funksiya grafigiga y = 3x + 9 tangens. Aloqa nuqtasining abssissasini toping.

Grafiklar hosilalari kabi umumiy nuqtaga ega bo'lganda, chiziq grafikga teginish bo'ladi. Grafiklar va ularning hosilalari tenglamalarini tenglashtiring:

Ikkinchi tenglamani yechish orqali biz 2 ball olamiz. Qaysi biri mos kelishini tekshirish uchun har bir x ni birinchi tenglamaga almashtiramiz. Faqat bittasi qiladi.

Men kubik tenglamani umuman hal qilmoqchi emasman, lekin shirin qalb uchun kvadrat.

Agar ikkita "oddiy" javob olsangiz, javob sifatida nima yozish kerak?

X (x) ni y \u003d 3x + 9 va y \u003d x³ + x² + 2x + 8 asl grafiklariga almashtirganda, siz bir xil Y ni olishingiz kerak.

y= 1³+1²+2×1+8=12

To'g'ri! Shunday qilib, x = 1 javob bo'ladi

Javob: 1

Vazifa raqami 12. y = − 5x − 6 to‘g‘ri chiziq ax² + 5x − 5 funksiya grafigiga tangens. a toping.

Xuddi shunday, biz funktsiyalar va ularning hosilalarini tenglashtiramiz:

Keling, ushbu tizimni a va x o'zgaruvchilarga nisbatan hal qilaylik:

Javob: 25

Sanab o'tish bilan bog'liq vazifa imtihonning birinchi qismida eng qiyinlaridan biri hisoblanadi, ammo ozgina e'tibor va muammoni tushunish bilan siz muvaffaqiyatga erishasiz va bu vazifani bajarish foizini oshirasiz!