Kublarning qisqartirilgan ko'paytirish farqi. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Algebra

Qisqa ko'paytirish formulalari ifodalarni o'zgartirish uchun ishlatiladi. Identifikatsiyalar butun ifodani ko'phad sifatida ifodalash va ko'phadlarni faktorlarga ajratish uchun ishlatiladi.

• 1 yig'indisi kvadrat(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
• 2 Farqning kvadrati(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
• 3 Kvadratchalar farqi a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
• 4 summa kubi(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 2
• 5 farq kubi(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 2
• 6 Kublar yig'indisi a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2)
• 7 Kublarning farqi a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Kvadratchalar uchun formulalar

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)

Kub formulalari

\((a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)

\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

\(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

To'rtinchi daraja uchun formulalar

\((a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\)

\((a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4\)

\(a^4 - b^4 = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)\);
\(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) dan kelib chiqadi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

1. Yig'indining kvadrati

2. Kvadrat farqi

3. Kvadratlarning yig‘indisi va ayirmasi

4. Yig‘indi uchinchi darajaga (yig‘indining kubi)

5. Uchinchi darajali farq (farq kubi)

6. Kublarning yig‘indisi va ayirmasi

7. To'rtinchi daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

8. Beshinchi daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

9. Oltinchi daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

10. N daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, bu erda n- har qanday natural son

11. N daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, bu erda n- hatto ijobiy raqam

12. N daraja uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, bu erda n- toq musbat raqam

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari (FSU) raqamlarni, ifodalarni, shu jumladan ko'phadlarni ko'paytirish va darajaga ko'tarish uchun kerak. Ya'ni, formulalar yordamida siz raqamlar bilan ancha tez va osonroq ishlashingiz mumkin. Shunday qilib, murakkab tenglamadan oddiy tenglama tuzish mumkin, bu vazifani soddalashtiradi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari bilan jadval

Ism	Formula	Qanday o'qish kerak
yig'indisi kvadrat		Birinchi ifodaning kvadrati, birinchi va ikkinchi ifodalarning ikki barobar ko'paytmasi va ikkinchi ifodaning kvadrati.
Farqning kvadrati		Ikki ifodaning ayirmasining kvadrati birinchi ifodaning kvadratiga, birinchi ifodaning ikkinchisiga ikki baravar ko‘paytmasi va ikkinchi ifodaning kvadratiga teng.
summa kubi		Ikki ifodaning ayirma kubi birinchi ifodaning kubiga plyus birinchi ifodaning ikkinchi ifodaga koʻpaytmasining uch karra koʻpaytmasiga, plyus birinchi ifodaning ikkinchi kvadratga uch karra koʻpaytmasiga va ikkinchi ifodaga teng. kubik.
farq kubi		Ikki miqdor ayirmasining kubi kubdagi birinchi ifodaga, birinchi ifodaning ikkinchi ifodaga koʻpaytmasining uch karra koʻpaytmasiga, plyus birinchi ifoda va ikkinchi kvadratning uch karra koʻpaytmasiga, minus ikkinchi ifodaga teng. kubik.
Kvadratchalar farqi		Birinchi va ikkinchi ifodalar kvadratlarining ayirmasi ikki ifodaning ayirmasi va ularning yig’indisining ko’paytmasiga teng.
Kublar yig'indisi		Ikki miqdor yig'indisi va ayirmaning to'liq bo'lmagan kvadrati ularning kublari yig'indisiga teng.
Kublarning farqi		Ikki ifodaning ayirmasining yig‘indining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasi ularning kublari ayirmasiga teng.

Birinchi to'rtta formulaga e'tibor bering. Ularning yordami bilan siz ikkita ifodaning yig'indisini (farqini) kvadrat yoki kub shaklida olishingiz mumkin. Beshinchi formulaga kelsak, u ikkita ifodaning farqini yoki yig'indisini qisqacha ko'paytirish uchun ishlatilishi kerak.

Oxirgi ikkita formulalar (6 va 7) ikkala ifodaning yig'indisini ularning to'liq bo'lmagan kvadrat ayirmasi yoki yig'indisiga ko'paytirish uchun ishlatiladi.

Yuqoridagi formulalar amalda ko'pincha kerak bo'ladi. Shuning uchun ularni yoddan bilish maqsadga muvofiqdir.

Agar siz ko'phadni faktorlarga ajratish misoliga duch kelsangiz, unda ko'p hollarda chap va o'ng tomonlarni almashtirishingiz kerak bo'ladi.

Masalan, xuddi shunday birinchi formulani oling:

va chap tomonni o'ngga, o'ng tomonni esa chapga qo'ying:

Xuddi shu protsedura qolgan formulalar bilan amalga oshirilishi mumkin.

FSU isboti

Keling, qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining isbotlariga to'xtalib o'tamiz. Bu qiyin emas. Siz shunchaki qavslarni ochishingiz kerak. Birinchi formulani ko'rib chiqing - yig'indining kvadrati:.

Birinchi qadam.

a + b ni ikkinchi darajaga ko'taring. Buning uchun biz darajaga tegmaymiz, lekin banal ko'paytirishni bajaramiz: = x.

Ikkinchi qadam. Endi biz uni qavs ichidan chiqaramiz: x + x.

Uchinchi qadam. Qavslarni kengaytiring: x + x + x + x .

To'rtinchi qadam. Biz ko'paytiramiz, belgilarni unutmaymiz: x + x +.

Beshinchi qadam. Biz ifodani soddalashtiramiz: .

Xuddi shu tarzda, mutlaqo har qanday qisqartirilgan ko'paytirish formulasini isbotlash mumkin.

FSO yordamida misollar va yechimlar

Qoida tariqasida, ushbu etti formuladan tenglamani va hatto oddiy misolni echish uchun ifodani soddalashtirish kerak bo'lganda foydalaniladi.

1-misol

Vazifa

Ifodani soddalashtiring:

Ko'rib turganingizdek, birinchi qisqartirilgan ko'paytirish formulasi, Sum Square, bu misolga mos keladi.

Yechim

Birinchi formulaga asoslanib, misolni omillarga ajratish kerak. Buning uchun biz formulaga qaraymiz va harflar o'rniga raqamlarni almashtiramiz. Bizning holatda, "a" 3x va "b" 5:

Biz o'ng tomonni ko'rib chiqamiz va natijani yozamiz. Biz olamiz:

Misolda siz ko'paytiriladigan hamma narsani ko'paytirishingiz va darhol javob olishingiz kerak:

Albatta, kasrlar bilan misollar mavjud. Ammo, agar siz oddiy misollarni qanday hal qilishni o'rgansangiz, unda siz boshqa turlardan qo'rqmaysiz.

2-misol

Vazifa

Ifodani soddalashtiring

Yechim

= – x x + =

Bu iboralarning qoʻsh koʻpaytmasi uch aʼzoning ikkinchi aʼzosiga (ortiqcha belgisi bilan) toʻgʻri keladi.

Shunday qilib, siz ko'rib turganingizdek, misollarda murakkab narsa yo'q. Asosiysi, formulalarni bilish, ular qayerda qo'llanilishi va ularsiz qayerda qilish mumkin.

Foydali manbalar

1. Arefieva I. G., Piryutko O. N. Algebra: umumiy o'rta ta'lim muassasalarining 7-sinfi uchun darslik qo'llanma: Minsk "Narodnaya Asveta", 2017 - 304 b.
2. Nikolskiy S. M., Potapov M. K. Algebra 7-sinf: M: 2015 - 287 b.
3. Rubin A. G., Chulkov P. V. Algebra. 7-sinf. M: 2015 - 224 b.

FSU - misollar bilan 7-sinf uchun algebrada qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yangilangan: 2019 yil 22-noyabr tomonidan: Ilmiy maqolalar.Ru

Matematik ifodalar (formulalar) qisqartirilgan ko'paytirish(yig‘indi va ayirmaning kvadrati, yig‘indi va ayirmaning kubi, kvadratlar ayirmasi, kublarning yig‘indisi va ayirmasi) aniq fanlarning ko‘p sohalarida nihoyatda o‘rnini bosa olmaydi. Ushbu 7 ta belgidan iborat yozuvlar ifodalarni soddalashtirish, tenglamalarni yechish, ko‘phadlarni ko‘paytirish, kasrlarni qisqartirish, integrallarni yechish va boshqa ko‘p ishlarni bajarishda almashtirib bo‘lmaydi. Shuning uchun ular qanday qilib olinganligini, nima uchun ekanligini va eng muhimi, ularni qanday eslab qolish va keyin ularni qo'llashni aniqlash juda foydali bo'ladi. Keyin ariza berish qisqartirilgan ko'paytirish formulalari amalda eng qiyin narsa nima ekanligini ko'rish bo'ladi X va nima bor. Shubhasiz, hech qanday cheklovlar yo'q a Va b yo'q, demak u har qanday sonli yoki so'zma-so'z ifoda bo'lishi mumkin.

Va shuning uchun ular:

Birinchidan x 2 - 2 da = (x - y) (x + y).Hisoblash uchun kvadratlarning farqi ikkita ifoda, bu ifodalarning farqlarini ularning yig'indisiga ko'paytirish kerak.

Ikkinchi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Topmoq so'm kvadrat ikkita ibora bo'lsa, birinchi ifodaning kvadratiga birinchi ifodaning ko'paytmasini ikkinchi va ikkinchi ifodaning kvadratiga ikki marta qo'shish kerak.

Uchinchi (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Hisoblash uchun farq kvadrat ikkita ibora bo'lsa, birinchi ifodaning kvadratidan birinchi ifodaning ikki barobar ko'paytmasini ikkinchi va ikkinchi ifodaning kvadratiga ayirish kerak.

To'rtinchi (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + 3 da. Hisoblash uchun summa kubi ikkita ifoda uchun birinchi ifodaning kubiga birinchi ifodaning kvadratining uch barobari va ikkinchisining ko'paytmasini, shuningdek, birinchi ifoda va ikkinchisining kvadratining uch karra ko'paytmasini, shuningdek, kubni qo'shishingiz kerak. ikkinchi ifoda.

Beshinchi (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 - 3 da. Hisoblash uchun farq kubi ikkita ifoda bo‘lsa, birinchi ifodaning kubidan birinchi ifoda kvadratining uch karra ko‘paytmasini ikkinchi va birinchi ifodaning uch karra ko‘paytmasini va ikkinchisining kvadratini minus ikkinchisining kubini ayirish kerak. ifoda.

oltinchi x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Hisoblash uchun kublar yig'indisi ikkita ibora, siz birinchi va ikkinchi ifodalarning yig'indisini ushbu ifodalar farqining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirishingiz kerak.

yettinchi x 3 - 3 da \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Hisoblash uchun kub farqlari ikkita ifoda bo'lsa, birinchi va ikkinchi ifodalarning ayirmasini shu ifodalar yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga ko'paytirish kerak.

Barcha formulalar teskari yo'nalishda (o'ngdan chapga) hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun ishlatilishini eslash qiyin emas.

Ushbu qonuniyatlarning mavjudligi taxminan 4 ming yil oldin ma'lum bo'lgan. Ular qadimgi Bobil va Misr aholisi tomonidan keng qo'llanilgan. Ammo o'sha davrlarda ular og'zaki yoki geometrik tarzda ifodalangan va hisob-kitoblarda harflardan foydalanmagan.

Keling, tahlil qilaylik yig'indi kvadrat isboti(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

Bu matematik qonuniyat miloddan avvalgi 3-asrda Iskandariyada ishlagan qadimgi yunon olimi Evklid buning formulasini isbotlashning geometrik usulidan foydalanganligini isbotladi, chunki qadimgi Ellada olimlari raqamlarni belgilash uchun ham harflardan foydalanmagan. Ular hamma joyda "a 2" emas, balki "a segmentidagi kvadrat", "ab" emas, balki "a va b segmentlari orasiga o'ralgan to'rtburchak" dan foydalanganlar.

Qisqartirilgan ifoda formulalari amaliyotda juda tez-tez qo'llaniladi, shuning uchun ularning barchasini yoddan bilib olish tavsiya etiladi. Shu paytgacha biz sodiqlik bilan xizmat qilamiz, uni chop etishni va doimo ko'z o'ngimizda saqlashni tavsiya qilamiz:

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining tuzilgan jadvalidagi dastlabki to'rtta formulalar ikkita ifodaning yig'indisini yoki ayirmasini kvadrat va kubga aylantirish imkonini beradi. Beshinchisi, ikki ifodaning farqini va yig'indisini qisqacha ko'paytirish uchun. Oltinchi va yettinchi formulalar esa ikkita a va b ifodalar yig‘indisini ularning to‘liq bo‘lmagan ayirma kvadratiga (a 2 −ab + b 2 ko‘rinishdagi ifoda shunday deyiladi) va ikkita ifodaning ayirmasiga ko‘paytirish uchun ishlatiladi. a va b mos ravishda ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadratiga (a 2 + a b+b 2 ).

Jadvaldagi har bir tenglik o'ziga xoslik ekanligini alohida ta'kidlash kerak. Bu nima uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qisqartirilgan ko'paytirish identifikatorlari deb ham ataladi.

Misollarni echishda, ayniqsa, ko'phadning faktorizatsiyasi sodir bo'lganda, FSU ko'pincha chap va o'ng qismlar qayta tartibga solingan shaklda qo'llaniladi:

Jadvaldagi oxirgi uchta identifikatsiya o'z nomlariga ega. a 2 −b 2 =(a−b) (a+b) formulasi deyiladi kvadratlar farqi formulasi, a 3 +b 3 =(a+b) (a 2 −a b+b 2) - kublar yig'indisi formulasi, lekin a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+b 2) - kub farq formulasi. Iltimos, biz oldingi FSU jadvalidagi qayta tartiblangan qismlarga ega tegishli formulalarni nomlamaganimizni unutmang.

Qo'shimcha formulalar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari jadvaliga yana bir nechta identifikatsiyani qo'shish zarar qilmaydi.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari (FSU) doiralari va misollar

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalarining (FSU) asosiy maqsadi ularning nomi bilan izohlanadi, ya'ni ifodalarni qisqacha ko'paytirishdan iborat. Biroq, FSO ning ko'lami ancha kengroq va qisqa ko'paytirish bilan cheklanmaydi. Keling, asosiy yo'nalishlarni sanab o'tamiz.

Shubhasiz, qisqartirilgan ko'paytirish formulasining markaziy qo'llanilishi ifodalarni bir xil o'zgartirishlarni amalga oshirishda topildi. Ko'pincha bu formulalar jarayonda qo'llaniladi ifodalarni soddalashtirish.

Misol.

9·y−(1+3·y) 2 ifodasini soddalashtiring.

Yechim.

Ushbu iborada kvadratlashtirish qisqartirilgan holda bajarilishi mumkin, bizda bor 9 y−(1+3 y) 2 =9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2). Qavslarni ochish va shunga o'xshash shartlarni berish kifoya: 9 y−(1 2 +2 1 3 y+(3 y) 2)= 9 y−1−6 y−9 y 2 =3 y−1−9 y 2.

Numeratorda ifoda ikki 2·x va z 2 ifodalar kublarining ayirmasi, maxrajda esa bu ifodalar kvadratlarining ayirmasi ifodalanadi. Tegishli formulalarni qo'llaganingizdan so'ng, asl kasr shaklni oladi . Endi siz pay va maxrajdagi bir xil ko'rsatkichlarni kamaytirishingiz mumkin: .

Keling, yechimni qisqacha bayon qilaylik:

Javob:

.

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari ba'zan ifodalarning qiymatlarini oqilona hisoblash imkonini beradi. Misol sifatida, keling, 79 raqamini kvadrat ayirma formulasi yordamida qanday qilib kvadratga aylantirish mumkinligini ko'rsatamiz: 79 2 =(80−1) 2 =80 2 −2 80 1+1 2 = 6400−160+1=6241 . Ushbu yondashuv sizga bunday hisob-kitoblarni hatto og'zaki ham bajarishga imkon beradi.

Xulosa qilib, keling, yana bir muhim o'zgarish haqida gapiraylik - binomning kvadrati, bu qisqartirilgan ko'paytirish kvadrat yig'indisi formulasiga asoslangan. Masalan, 4·x 2 +4·x−3 ifodasini (2·x) 2 +2·2·x·1+1 2 −4 ko‘rinishiga o‘tkazish mumkin va dastlabki uchta haddan foydalanib o‘zgartiriladi. yig'indining kvadrati bo'yicha formula. Shunday qilib, ifoda (2 x+1) 2 −4 ga aylanadi. Bunday transformatsiyalar, masalan, uchun keng qo'llaniladi.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 7 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 17-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 240 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkovich A.G. Algebra. 7-sinf. 14:00 da 1-qism. Ta'lim muassasalari talabalari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 13-nashr, Rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

>>Matematik: qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari

Bir nechta ko'phadni boshqasiga ko'paytirish ixcham, eslab qolish oson natijaga olib keladigan bir nechta holatlar mavjud. Bunday hollarda, har safar bir marta ko'paytirmaslik afzalroqdir polinom boshqa tomondan va tugagan natijadan foydalaning. Keling, ushbu holatlarni ko'rib chiqaylik.

1. Yig‘indining kvadrati va ayirmaning kvadrati:

1-misol Ifodadagi qavslarni oching:

a) (3x + 2) 2 ;

b) (5a 2 - 4b 3) 2

a) formuladan foydalanamiz (1), a ning rolini 3x, b ning rolini esa 2 raqami o'ynashini hisobga olgan holda.
Biz olamiz:

(Zx + 2) 2 = (3x) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) formuladan foydalanamiz (2), bu rolni hisobga olgan holda lekin gapiradi 5a 2, va rolda b gapiradi 4b 3. Biz olamiz:

(5a 2 -4b 3) 2 \u003d (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 \u003d 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Yig'indining kvadrati yoki farqning kvadrati uchun formulalardan foydalanganda buni yodda tuting
(- a - b) 2 \u003d (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Bu (- a) 2 = a 2 ekanligidan kelib chiqadi.

E'tibor bering, ba'zi matematik fokuslar (1) va (2) formulalarga asoslanadi, bu sizning boshingizda hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi.

Masalan, 1 va 9 bilan tugaydigan raqamlarni og'zaki ravishda kvadratga aylantirish mumkin. Haqiqatan ham

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 \u003d (70 - I) 2 \u003d 70 2 - 2 70 1 + 1 2 \u003d 4900 - 140 + 1 \u003d 4761.

Ba'zan siz 2 yoki 8 bilan tugaydigan raqamni tezda kvadratga olishingiz mumkin. Masalan,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Ammo eng oqlangan hiyla 5 bilan tugaydigan raqamlarni kvadratga aylantirishni o'z ichiga oladi.
Keling, 85 2 ga tegishli mulohaza yuritamiz.

Bizda ... bor:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Shuni ta'kidlaymizki, 85 2 ni hisoblash uchun 8 ni 9 ga ko'paytirish va olingan natijaning o'ng tomoniga 25 ni qo'shish kifoya edi. Xuddi shunday, siz boshqa holatlarda ham xuddi shunday qilishingiz mumkin. Masalan, 35 2 \u003d 1225 (o'ngdagi natijaga 3 4 \u003d 12 va 25 qo'shilgan);

65 2 = 4225; 1252 \u003d 15625 (o'ngdagi natijaga 12 18 \u003d 156 va 25 qo'shilgan).

Biz zerikarli (birinchi qarashda) formulalar (1) va (2) bilan bog'liq turli xil qiziqarli holatlar haqida gapirayotganimiz sababli, biz ushbu suhbatni quyidagi geometrik asoslar bilan to'ldiramiz. a va b musbat sonlar bo'lsin. Tomoni a + b bo'lgan kvadratni ko'rib chiqing va uning ikkita burchagidan mos ravishda a va b ga teng tomonlari bo'lgan kvadratlarni kesib oling (4-rasm).

Tomoni a + b bo'lgan kvadratning maydoni (a + b) 2 ga teng. Ammo biz bu kvadratni to'rt qismga ajratdik: tomoni a bo'lgan kvadrat (uning maydoni 2), b tomoni bo'lgan kvadrat (uning maydoni b 2), a va b tomonlari bo'lgan ikkita to'rtburchaklar (har birining maydoni). to'rtburchak ab). Demak, (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, ya'ni (1) formulani oldik.

a + b binomini a - b binomiga ko'paytiring. Biz olamiz:
(a + b) (a - b) \u003d a 2 - ab + ba - b 2 \u003d a 2 - b 2.
shunday

Matematikadagi har qanday tenglik chapdan o'ngga (ya'ni, tenglikning chap tomoni uning o'ng tomoni bilan almashtiriladi) va o'ngdan chapga (ya'ni, tenglikning o'ng tomoni chap tomoni bilan almashtiriladi) ishlatiladi. Agar formula C) chapdan o'ngga ishlatilsa, u mahsulotni (a + b) (a - b) yakuniy natija a 2 - b 2 bilan almashtirishga imkon beradi. Xuddi shu formuladan o'ngdan chapga foydalanish mumkin, keyin u a 2 - b 2 kvadratlar farqini (a + b) (a - b) mahsulot bilan almashtirishga imkon beradi. Formula (3) matematikada maxsus nom berilgan - kvadratlar farqi.

Izoh. "Kvadratlar farqi" va "kvadrat farqi" atamalarini aralashtirib yubormang. Kvadratchalar farqi 2 - b 2 ga teng, ya'ni biz (3) formula haqida gapiramiz; farqning kvadrati (a-b) 2 ga teng, shuning uchun biz (2) formula haqida gapiramiz. Oddiy tilda (3) formula "o'ngdan chapga" quyidagicha o'qiladi:

ikki raqam (ifoda) kvadratlarining farqi bu raqamlar (ifoda) va ularning farqi yig'indisining ko'paytmasiga teng;

2-misol Ko'paytirishni bajaring

(3x-2y)(3x+2y)
Yechim. Bizda ... bor:
(3x - 2y) (3x + 2y) \u003d (3x) 2 - (2y) 2 \u003d 9x 2 - 4y 2.

3-misol 16x 4 - 9 binomialni binomiallarning hosilasi sifatida ifodalang.

Yechim. Bizda: 16x 4 \u003d (4x 2) 2, 9 \u003d Z 2, ya'ni berilgan binomial kvadratlar farqi, ya'ni. formula (3), o'ngdan chapga o'qiladi, unga qo'llanilishi mumkin. Keyin biz olamiz:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - Vt 2 = (4x 2 + 3) (4x 2 - 3)

Formula (3), formulalar (1) va (2) kabi matematik hiylalar uchun ishlatiladi. Qarang:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Kvadratlar ayirmasi formulasi haqidagi suhbatni qiziq geometrik mulohaza bilan yakunlaylik. a va b musbat sonlar bo'lsin, bu erda a > b. Tomonlari a + b va a - b bo'lgan to'rtburchakni ko'rib chiqaylik (5-rasm). Uning maydoni (a + b) (a - b). B va a - b tomonlari bo'lgan to'rtburchakni kesib oling va 6-rasmda ko'rsatilganidek, qolgan qismga yopishtiring. Olingan rasm bir xil maydonga ega ekanligi aniq, ya'ni (a + b) (a - b). Ammo bu raqam bo'lishi mumkin
shunday quring: tomoni a bo'lgan kvadratdan b tomoni bilan kvadratni kesib oling (bu 6-rasmda aniq ko'rinadi). Shunday qilib, yangi raqamning maydoni 2 - b 2 ga teng. Shunday qilib, (a + b) (a - b) \u003d a 2 - b 2, ya'ni (3) formulasini oldik.

3. Kublarning farqi va kublar yig‘indisi

a - b binomini a 2 + ab + b 2 trinomiyasiga ko'paytiring.
Biz olamiz:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) \u003d a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -bb 2 \u003d a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 -b 3 \u003d a 3 -b 3.

Xuddi shunday

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(o'zingiz tekshiring). Shunday qilib,

Formula (4) odatda deyiladi kublarning farqi, formula (5) - kublar yig'indisi. Keling, (4) va (5) formulalarni oddiy tilga tarjima qilishga harakat qilaylik. Buni amalga oshirishdan oldin, a 2 + ab + b 2 ifodasi (1) formulada paydo bo'lgan va (a + b) 2 ni bergan a 2 + 2ab + b 2 ifodasiga o'xshashligiga e'tibor bering; a 2 - ab + b 2 ifodasi (2) formulada paydo bo'lgan va (a - b) 2 ni bergan a 2 - 2ab + b 2 ifodasiga o'xshaydi.

Bu juft iboralarni (tilda) bir-biridan farqlash uchun a 2 + 2ab + b 2 va 2 - 2ab + b 2 iboralarning har biri mukammal kvadrat (yig'indi yoki ayirma) deb ataladi va har bir ifoda a 2 + ab + b 2 va a 2 - ab + b 2 to'liq bo'lmagan kvadrat (yig'indi yoki farq) deb ataladi. Keyin biz (4) va (5) formulalarning quyidagi tarjimasini olamiz ("o'ngdan chapga" o'qing) oddiy tilga:

ikki son (ifoda) kublarining ayirmasi bu sonlar (ifodalar) ayirmasining ularning yig‘indisining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng; ikki son (ifoda) kublarining yig‘indisi bu sonlar (ifodalar) yig‘indisining ularning ayirmasining to‘liq bo‘lmagan kvadratiga ko‘paytmasiga teng.

Izoh. Ushbu bo'limda olingan barcha formulalar (1)-(5) ham chapdan o'ngga, ham o'ngdan chapga qo'llaniladi, faqat birinchi holatda (chapdan o'ngga) ular (1)-(5) qisqartirilgan ko'paytirish ekanligini aytishadi. formulalar, ikkinchi holatda (o'ngdan chapga) ular (1)-(5) koeffitsient formulalari ekanligini aytadilar.

4-misol Ko'paytiring (2x-1) (4x2 + 2x+1).

Yechim. Birinchi omil 2x va 1 monomiallar orasidagi farq, ikkinchi omil esa ularning yig'indisining to'liq bo'lmagan kvadrati bo'lganligi sababli (4) formuladan foydalanish mumkin. Biz olamiz:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) \u003d (2x) 3 - I 3 \u003d 8x 3 - 1.

5-misol 27a 6 + 8b 3 binomni ko‘phadlarning ko‘paytmasi sifatida ifodalang.

Yechim. Bizda: 27a 6 = (2 uchun) 3 , 8b 3 = (2b) 3 . Bu shuni anglatadiki, berilgan binomial kublar yig'indisi, ya'ni 95) formulasi unga qo'llanilishi, o'ngdan chapga o'qilishi mumkin. Keyin biz olamiz:

27a 6 + 8b 3 = (2 uchun) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b uchun) ((2 uchun) 2 - 2 uchun 2b + (2b) 2) = (2 + 2b uchun) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

O'quvchiga onlayn yordam berish, 7-sinf uchun matematika yuklab olish, kalendar-tematik rejalashtirish

A. V. Pogorelov, Geometriya 7-11 sinflar uchun, Ta'lim muassasalari uchun darslik

Dars mazmuni dars xulosasi qo'llab-quvvatlash ramka dars taqdimoti tezlashtirish usullari interaktiv texnologiyalar Amaliyot topshiriq va mashqlar o'z-o'zini tekshirish seminarlar, treninglar, keyslar, kvestlar uy vazifalarini muhokama qilish savollari talabalar tomonidan ritorik savollar Tasvirlar audio, videokliplar va multimedia fotosuratlar, rasmlar grafikasi, jadvallar, sxemalar hazil, latifalar, hazillar, komikslar, maqollar, krossvordlar, iqtiboslar Qo'shimchalar tezislar Inquisitive cheat sheets uchun maqolalar chips darsliklar asosiy va qo'shimcha atamalar lug'ati boshqa Darslik va darslarni takomillashtirishdarslikdagi xatolarni tuzatish darslikdagi parchani yangilash darsdagi innovatsiya elementlarini eskirgan bilimlarni yangilari bilan almashtirish Faqat o'qituvchilar uchun mukammal darslar yil uchun kalendar rejasi muhokama dasturining uslubiy tavsiyalari Integratsiyalashgan darslar