Vyeta teoremasi. Foydalanishga misollar

Kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida ildiz formulalaridan tashqari boshqa foydali munosabatlar ham mavjud. Vyeta teoremasi. Ushbu maqolada biz Vyeta teoremasining formulasini va isbotini beramiz kvadrat tenglama. Keyinchalik, Veta teoremasiga qarama-qarshi teoremani ko'rib chiqamiz. Shundan so'ng, biz eng ko'p echimlarni tahlil qilamiz tipik misollar. Va nihoyat, biz haqiqiy ildizlar o'rtasidagi munosabatni aniqlaydigan Vieta formulalarini yozamiz algebraik tenglama n daraja va uning koeffitsientlari.

Sahifani navigatsiya qilish.

Vyeta teoremasi, formulasi, isboti

D=b 2 −4·a·c bo‘lgan a·x 2 +b·x+c=0 ko‘rinishdagi kvadrat tenglamaning ildizlari formulalaridan quyidagi munosabatlar kelib chiqadi: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Bu natijalar tasdiqlangan Vyeta teoremasi:

Teorema.

Agar x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning ildizlari a x 2 +b x+c=0, u holda ildizlar yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan b va a koeffitsientlarining nisbati va ko'paytmasiga teng bo'ladi. ildizlar c va a koeffitsientlarining nisbatiga teng, ya'ni.

Isbot.

Vyeta teoremasining isbotini quyidagi sxema bo‘yicha bajaramiz: ma’lum ildiz formulalari yordamida kvadrat tenglamaning ildizlarining yig‘indisi va ko‘paytmasini tuzamiz, so‘ngra hosil bo‘lgan ifodalarni o‘zgartiramiz va ularning −b/ ga teng ekanligiga ishonch hosil qilamiz. a va c/a.

Keling, ildizlarning yig'indisidan boshlaymiz va uni tuzamiz. Endi kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz, bizda . Hosil bo'lgan kasrning sonida, undan keyin:. Nihoyat, 2 dan keyin biz . Bu kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisiga Vyeta teoremasining birinchi munosabatini isbotlaydi. Keling, ikkinchisiga o'tamiz.

Kvadrat tenglamaning ildizlari ko'paytmasini tuzamiz: . Kasrlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, oxirgi mahsulot quyidagicha yozilishi mumkin. Endi biz qavsni hisoblagichdagi qavsga ko'paytiramiz, lekin bu mahsulotni yiqitish tezroq bo'ladi. kvadrat farq formulasi, Shunday qilib. Keyin, eslab, biz keyingi o'tishni amalga oshiramiz. Va kvadrat tenglamaning diskriminanti D=b 2 −4·a·c formulaga to‘g‘ri kelganligi sababli, oxirgi kasrdagi D o‘rniga b 2 −4·a·c ni qo‘yishimiz mumkin, biz olamiz. Qavslarni ochib, o'xshash atamalarni keltirganimizdan so'ng kasrga kelamiz va uning 4·a ga kamayishi ni beradi. Bu ildizlar hosilasi uchun Vyeta teoremasining ikkinchi munosabatini isbotlaydi.

Agar biz tushuntirishlarni o'tkazib yuborsak, Veta teoremasining isboti lakonik shaklga ega bo'ladi:
,
.

Shuni ta'kidlash kerakki, qachon nolga teng Diskriminant kvadrat tenglama bitta ildizga ega. Ammo, agar bu holda tenglama ikkita bir xil ildizga ega deb hisoblasak, Veta teoremasidagi tengliklar ham amal qiladi. Darhaqiqat, D=0 bo‘lganda kvadrat tenglamaning ildizi teng bo‘lsa, u holda va , va D=0 bo‘lgani uchun, ya’ni b 2 −4·a·c=0, bundan b 2 =4·a·c bo‘ladi. .

Amalda Vyeta teoremasi ko'pincha x 2 +p·x+q=0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga (etakchi koeffitsient a 1 ga teng) nisbatan qo'llaniladi. Ba'zan u faqat shu turdagi kvadrat tenglamalar uchun tuziladi, bu umumiylikni cheklamaydi, chunki har qanday kvadrat tenglama har ikki tomonni nolga teng bo'lmagan a soniga bo'lish orqali ekvivalent tenglama bilan almashtirilishi mumkin. Vieta teoremasining tegishli formulasini keltiramiz:

Teorema.

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi x 2 +p x+q=0 qarama-qarshi belgi bilan olingan x koeffitsientiga, ildizlarning ko'paytmasi esa erkin hadga, ya'ni x 1 ga teng. +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Teorema Vyeta teoremasiga teskari

Oldingi paragrafda keltirilgan Vyeta teoremasining ikkinchi formulasi shuni ko'rsatadiki, agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p x+q=0 bo'lsa, u holda x 1 +x 2 =−p munosabatlari , x 1 x 2 =q. Boshqa tomondan, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q yozma munosabatlardan x 1 va x 2 kvadrat tenglamaning x 2 +p x+q=0 ildizlari ekanligi kelib chiqadi. Boshqacha qilib aytganda, Veta teoremasining teskarisi to'g'ri. Uni teorema shaklida tuzamiz va isbotlaymiz.

Teorema.

Agar x 1 va x 2 raqamlari x 1 +x 2 =−p va x 1 · x 2 =q bo‘lsa, x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 +p · x+q bo‘ladi. =0.

Isbot.

x 2 +p·x+q=0 tenglamadagi p va q koeffitsientlarini ularning x 1 va x 2 orqali ifodalari bilan almashtirib, ekvivalent tenglamaga aylantiriladi.

Hosil bo'lgan tenglamaga x o'rniga x 1 raqamini qo'yaylik, biz tenglikka ega bo'lamiz x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, bu har qanday x 1 va x 2 uchun 0=0 to'g'ri sonli tenglikni ifodalaydi, chunki x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 1 tenglamaning ildizidir x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, demak, x 1 ekvivalent x 2 +p·x+q=0 tenglamaning ildizi.

Agar tenglamada bo'lsa x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x o'rniga x 2 raqamini qo'ying, biz tenglikni olamiz x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Bu haqiqiy tenglik, chunki x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Demak, x 2 ham tenglamaning ildizi hisoblanadi x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, va shuning uchun tenglamalar x 2 +p·x+q=0.

Bu teoremaning isbotini to'ldiradi, teoremaning teskarisi Vyeta.

Viet teoremasidan foydalanishga misollar

Vyeta teoremasi va unga qarama-qarshi teoremaning amaliy qo'llanilishi haqida gapirish vaqti keldi. Ushbu bo'limda biz eng tipik misollarning bir nechta yechimlarini tahlil qilamiz.

Keling, Vyeta teoremasiga teskari teoremani qo'llashdan boshlaylik. Berilgan ikkita raqam berilgan kvadrat tenglamaning ildizi ekanligini tekshirish uchun foydalanish qulay. Bunday holda, ularning yig'indisi va farqi hisoblab chiqiladi, shundan so'ng munosabatlarning haqiqiyligi tekshiriladi. Agar bu munosabatlarning ikkalasi ham qondirilsa, u holda teorema tufayli Veta teoremasiga qarama-qarshi bo'lib, bu raqamlar tenglamaning ildizlari ekanligi to'g'risida xulosa chiqariladi. Agar munosabatlarning kamida bittasi bajarilmasa, bu raqamlar kvadrat tenglamaning ildizi emas. Ushbu yondashuv topilgan ildizlarni tekshirish uchun kvadrat tenglamalarni echishda qo'llanilishi mumkin.

Misol.

1) x 1 =−5, x 2 =3 yoki 2) yoki 3) juft sonlardan qaysi biri 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning ildiz juftidir?

Yechim.

Berilgan 4 x 2 −16 x+9=0 kvadrat tenglamaning koeffitsientlari a=4, b=−16, c=9. Vyeta teoremasiga ko‘ra, kvadrat tenglamaning ildizlari yig‘indisi −b/a ga, ya’ni 16/4=4 ga, ildizlarning ko‘paytmasi c/a ga, ya’ni 9 ga teng bo‘lishi kerak. /4.

Keling, berilgan uchta juftlikning har biridagi raqamlarning yig'indisi va mahsulotini hisoblab chiqamiz va ularni hozirgina olingan qiymatlar bilan solishtiramiz.

Birinchi holatda bizda x 1 +x 2 =−5+3=−2. Olingan qiymat 4 dan farq qiladi, shuning uchun boshqa tekshirishni amalga oshirib bo'lmaydi, lekin Vyeta teoremasiga teskari teoremadan foydalanib, birinchi juft raqamlar berilgan kvadrat tenglamaning bir juft ildizi emas degan xulosaga kelish mumkin.

Keling, ikkinchi holatga o'tamiz. Bu erda, ya'ni birinchi shart bajariladi. Biz ikkinchi shartni tekshiramiz: natijada olingan qiymat 9/4 dan farq qiladi. Binobarin, ikkinchi sonlar juftligi kvadrat tenglamaning ildiz jufti emas.

Oxirgi bitta holat qoldi. Bu erda va. Ikkala shart ham bajariladi, shuning uchun bu x 1 va x 2 raqamlari berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob:

Kvadrat tenglamaning ildizlarini topishda Veta teoremasining teskarisi amalda qo‘llanilishi mumkin. Odatda, butun sonli koeffitsientli berilgan kvadrat tenglamalarning butun son ildizlari tanlanadi, chunki boshqa hollarda buni qilish juda qiyin. Bunday holda, ular ikkita sonning yig'indisi minus belgisi bilan olingan kvadrat tenglamaning ikkinchi koeffitsientiga teng bo'lsa va bu sonlarning ko'paytmasi bo'sh hadga teng bo'lsa, bu raqamlardan foydalanadilar. bu kvadrat tenglamaning ildizlari. Keling, buni bir misol bilan tushunaylik.

X 2 −5 x+6=0 kvadrat tenglamani olaylik. X 1 va x 2 raqamlari bu tenglamaning ildizi bo'lishi uchun ikkita tenglik bajarilishi kerak: x 1 + x 2 =5 va x 1 · x 2 =6. Faqatgina bunday raqamlarni tanlash qoladi. Bu holda buni qilish juda oddiy: bunday raqamlar 2 va 3 ga teng, chunki 2+3=5 va 2·3=6. Shunday qilib, 2 va 3 - bu kvadrat tenglamaning ildizlari.

Vyeta teoremasiga teskari teorema, ildizlardan biri allaqachon ma'lum yoki aniq bo'lsa, berilgan kvadrat tenglamaning ikkinchi ildizini topish uchun foydalanish uchun ayniqsa qulaydir. Bunda ikkinchi ildizni har qanday munosabatdan topish mumkin.

Masalan, 512 x 2 −509 x −3=0 kvadrat tenglamani olaylik. Bu erda birlik tenglamaning ildizi ekanligini ko'rish oson, chunki bu kvadrat tenglamaning koeffitsientlari yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, x 1 = 1. Ikkinchi ildizni x 2, masalan, x 1 ·x 2 =c/a munosabatidan topish mumkin. Bizda 1 x 2 =−3/512 bor, undan x 2 =−3/512. Kvadrat tenglamaning ikkala ildizini ham shunday aniqladik: 1 va -3/512.

Ildizlarni tanlash faqat eng oddiy holatlarda tavsiya etilishi aniq. Boshqa hollarda, ildizlarni topish uchun siz diskriminant orqali kvadrat tenglamaning ildizlari uchun formulalardan foydalanishingiz mumkin.

Boshqa amaliy foydalanish Vyeta teoremasiga teskari teorema x 1 va x 2 ildizlari berilgan kvadrat tenglamalarni tuzishdan iborat. Buning uchun berilgan kvadrat tenglamaning qarama-qarshi belgisi bilan x koeffitsientini beradigan ildizlarning yig'indisini va erkin muddatni beradigan ildizlarning ko'paytmasini hisoblash kifoya.

Misol.

Ildizlari -11 va 23 bo'lgan kvadrat tenglamani yozing.

Yechim.

x 1 =−11 va x 2 =23 ni belgilaymiz. Bu sonlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini hisoblaymiz: x 1 +x 2 =12 va x 1 ·x 2 =−253. Shuning uchun ko'rsatilgan raqamlar ikkinchi koeffitsienti -12 va erkin hadi -253 bo'lgan qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari hisoblanadi. Ya’ni, x 2 −12·x−253=0 kerakli tenglamadir.

Javob:

x 2 −12·x−253=0 .

Kvadrat tenglamalar ildizlari belgilariga oid masalalarni yechishda Viet teoremasi juda tez-tez ishlatiladi. Vyeta teoremasi x 2 +p·x+q=0 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari belgilari bilan qanday bog‘langan? Mana ikkita tegishli bayonot:

• Agar erkin atama q bo'lsa ijobiy raqam va agar kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo'lsa, u holda ularning ikkalasi ham ijobiy yoki ikkalasi ham manfiy bo'ladi.
• Agar q erkin atamasi manfiy son bo’lsa va kvadrat tenglama haqiqiy ildizlarga ega bo’lsa, ularning belgilari boshqacha bo’ladi, boshqacha aytganda, bir ildiz musbat, ikkinchisi manfiy.

Bu gaplar x 1 · x 2 =q formulasidan, shuningdek, musbat ko‘paytirish qoidalaridan kelib chiqadi, manfiy raqamlar va turli belgilarga ega raqamlar. Keling, ularni qo'llash misollarini ko'rib chiqaylik.

Misol.

R ijobiy. Diskriminant formuladan foydalanib D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 ifoda qiymatini topamiz. har qanday real r uchun musbat, shuning uchun har qanday haqiqiy r uchun D>0. Binobarin, dastlabki kvadrat tenglama har qanday uchun ikkita ildizga ega haqiqiy qadriyatlar parametr r.

Keling, ildizlar qachon turli belgilarga ega ekanligini bilib olaylik. Agar ildizlarning belgilari har xil bo'lsa, ularning mahsuloti manfiy bo'ladi va Vyeta teoremasiga ko'ra, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari mahsuloti erkin muddatga teng. Shuning uchun bizni r ning o'sha qiymatlari qiziqtiradi, ular uchun r-1 erkin atamasi manfiy bo'ladi. Shunday qilib, bizni qiziqtirgan r qiymatlarini topish uchun bizga kerak qaror chiziqli tengsizlik r−1<0 , откуда находим r<1 .

Javob:

da r<1 .

Vieta formulalari

Yuqorida biz kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi haqida gapirdik va u tasdiqlaydigan munosabatlarni tahlil qildik. Ammo faqat kvadrat tenglamalar emas, balki kub tenglamalar, to'rtinchi darajali tenglamalarning haqiqiy ildizlari va koeffitsientlarini bog'laydigan formulalar mavjud. algebraik tenglamalar daraja n. Ular chaqiriladi Vyeta formulalari.

Shaklning n darajali algebraik tenglamasi uchun Vieta formulasini yozamiz va uning n ta haqiqiy ildizi x 1, x 2, ..., x n bor deb faraz qilamiz (ular orasida mos keladiganlari ham bo'lishi mumkin):

Vietaning formulalarini olish mumkin ko'phadning chiziqli omillarga parchalanishi haqidagi teorema, shuningdek, barcha mos keladigan koeffitsientlarning tengligi orqali teng ko'phadlarni aniqlash. Demak, polinom va uning shaklning chiziqli omillariga kengayishi tengdir. Oxirgi mahsulotdagi qavslarni ochib, tegishli koeffitsientlarni tenglashtirib, biz Vietaning formulalarini olamiz.

Xususan, n=2 uchun bizda kvadrat tenglama uchun allaqachon tanish bo'lgan Vyeta formulalari mavjud.

Kubik tenglama uchun Vyeta formulalari shaklga ega

Shuni ta'kidlash kerakki, Vyeta formulalarining chap tomonida elementar deb ataladigan narsalar mavjud. simmetrik polinomlar.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumiy ta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra va matematik tahlilning boshlanishi. 10-sinf: darslik. umumiy ta'lim uchun muassasalar: asosiy va profil. darajalari / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Jijchenko. - 3-nashr. - M.: Ta'lim, 2010.- 368 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-022771-1.

Matematikada ko'plab kvadrat tenglamalarni juda tez va hech qanday diskriminantlarsiz yechish mumkin bo'lgan maxsus texnikalar mavjud. Bundan tashqari, to'g'ri tayyorgarlik bilan ko'pchilik kvadrat tenglamalarni og'zaki, so'zma-so'z "bir qarashda" echishni boshlaydi.

Afsuski, maktab matematikasining zamonaviy kursida bunday texnologiyalar deyarli o'rganilmagan. Lekin siz bilishingiz kerak! Va bugun biz ushbu usullardan birini - Vyeta teoremasini ko'rib chiqamiz. Birinchidan, yangi ta'rifni kiritamiz.

x 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi kvadrat tenglama qisqartirilgan deyiladi. E'tibor bering, x 2 uchun koeffitsient 1. Koeffitsientlar bo'yicha boshqa cheklovlar yo'q.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 - qisqartirilgan kvadrat tenglama;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - ham qisqartirilgan;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - lekin bu umuman berilmagan, chunki x 2 koeffitsienti 2 ga teng.

Albatta, ax 2 + bx + c = 0 ko'rinishidagi har qanday kvadrat tenglamani qisqartirish mumkin - barcha koeffitsientlarni a soniga bo'lish kifoya. Biz buni har doim qilishimiz mumkin, chunki kvadrat tenglamaning ta'rifi a ≠ 0 ekanligini bildiradi.

To'g'ri, bu o'zgarishlar har doim ham ildizlarni topish uchun foydali bo'lmaydi. Quyida biz buni faqat kvadrat tomonidan berilgan yakuniy tenglamada barcha koeffitsientlar butun son bo'lganda bajarish kerakligiga ishonch hosil qilamiz. Hozircha eng oddiy misollarni ko'rib chiqamiz:

Vazifa. Kvadrat tenglamani qisqartirilgan tenglamaga aylantiring:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

Har bir tenglamani o'zgaruvchining x 2 koeffitsientiga ajratamiz. Biz olamiz:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - hamma narsani 3 ga bo'lingan;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - −4 ga bo‘lingan;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1,5 ga bo'lingan, barcha koeffitsientlar butun songa aylandi;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3,5x - 5,5 = 0 - 2 ga bo'lingan. Bunday holda, kasr koeffitsientlari paydo bo'ldi.

Ko'rib turganingizdek, yuqoridagi kvadrat tenglamalar, hatto dastlabki tenglamada kasrlar bo'lsa ham, butun son koeffitsientlari bo'lishi mumkin.

Endi asosiy teoremani tuzamiz, buning uchun aslida qisqartirilgan kvadrat tenglama tushunchasi kiritilgan:

Vyeta teoremasi. X 2 + bx + c = 0 ko'rinishdagi qisqartirilgan kvadrat tenglamani ko'rib chiqaylik. Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari x 1 va x 2 bo'lsin. Bunday holda, quyidagi bayonotlar haqiqatdir:

1. x 1 + x 2 = −b. Boshqacha qilib aytganda, berilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi qarama-qarshi belgi bilan olingan x o'zgaruvchining koeffitsientiga teng;
2. x 1 x 2 = c. Kvadrat tenglama ildizlarining mahsuloti erkin koeffitsientga teng.

Misollar. Oddiylik uchun biz faqat yuqoridagi kvadrat tenglamalarni ko'rib chiqamiz, ular qo'shimcha o'zgartirishlarni talab qilmaydi:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; ildizlar: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15; ildizlar: x 1 = 3; x 2 = -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = 4; ildizlar: x 1 = -1; x 2 = -4.

Viet teoremasi bizga kvadrat tenglamaning ildizlari haqida qo'shimcha ma'lumot beradi. Bir qarashda, bu qiyin bo'lib tuyulishi mumkin, ammo minimal tayyorgarlik bilan siz bir necha soniya ichida ildizlarni "ko'rish" va ularni tom ma'noda taxmin qilishni o'rganasiz.

Vazifa. Kvadrat tenglamani yeching:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Keling, Vieta teoremasidan foydalanib koeffitsientlarni yozishga harakat qilaylik va ildizlarni "taxmin qilaylik":

1. x 2 - 9x + 14 = 0 qisqartirilgan kvadrat tenglama.
   Vyeta teoremasi bo'yicha bizda: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Ildizlar 2 va 7 raqamlari ekanligini ko'rish oson;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - ham qisqartirildi.
   Vyeta teoremasi bo‘yicha: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Demak, ildizlar: 3 va 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - bu tenglama kamaytirilmaydi. Ammo biz buni hozir tenglamaning ikkala tomonini a = 3 koeffitsientiga bo'lish orqali tuzatamiz. Biz quyidagilarga erishamiz: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Vyeta teoremasi yordamida yechamiz: x 1 + x 2 = -11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ildizlar: −10 va −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - yana x 2 uchun koeffitsient 1 ga teng emas, ya'ni. tenglama berilmagan. Biz hamma narsani a = -7 raqamiga ajratamiz. Biz olamiz: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Vyeta teoremasi bo‘yicha: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Ushbu tenglamalardan ildizlarni taxmin qilish oson: 5 va 6.

Yuqoridagi mulohazalardan Vyeta teoremasi kvadrat tenglamalar yechimini qanday soddalashtirishi aniq. Hech qanday murakkab hisob-kitoblar, arifmetik ildizlar yoki kasrlar yo'q. Va bizga diskriminant ham kerak emas edi ("Kvadrat tenglamalarni echish" darsiga qarang).

Albatta, barcha mulohazalarimizda biz ikkita muhim farazdan kelib chiqdik, ular, umuman olganda, har doim ham haqiqiy muammolarda uchramaydi:

1. Kvadrat tenglama qisqartiriladi, ya'ni. x 2 uchun koeffitsient 1 ga teng;
2. Tenglama ikki xil ildizga ega. Algebraik nuqtai nazardan, bu holda diskriminant D > 0 - aslida, biz dastlab bu tengsizlikni to'g'ri deb hisoblaymiz.

Biroq, tipik matematik masalalarda bu shartlar bajariladi. Agar hisob-kitob natijasida "yomon" kvadrat tenglama paydo bo'lsa (x 2 koeffitsienti 1 dan farq qiladi), buni osongina tuzatish mumkin - darsning boshida misollarga qarang. Men ildizlar haqida umuman jimman: bu qanday muammo, javobi yo'q? Albatta, ildizlar bo'ladi.

Shunday qilib, Vieta teoremasi yordamida kvadrat tenglamalarni yechishning umumiy sxemasi quyidagicha:

1. Kvadrat tenglamani berilgan tenglamaga kamaytiring, agar bu masala bayonida hali bajarilmagan bo'lsa;
2. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi koeffitsientlar kasr bo'lsa, diskriminant yordamida yechamiz. Hatto ko'proq "qulay" raqamlar bilan ishlash uchun dastlabki tenglamaga qaytishingiz mumkin;
3. Butun sonli koeffitsientlar bo'lsa, biz Viet teoremasi yordamida tenglamani yechamiz;
4. Agar siz bir necha soniya ichida ildizlarni aniqlay olmasangiz, Viet teoremasini unuting va diskriminant yordamida hal qiling.

Vazifa. Tenglamani yeching: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Demak, oldimizda kamaytirilmagan tenglama bor, chunki koeffitsient a = 5. Hamma narsani 5 ga bo'linib, biz olamiz: x 2 - 7x + 10 = 0.

Kvadrat tenglamaning barcha koeffitsientlari butun sondir - keling, uni Viet teoremasi yordamida echishga harakat qilaylik. Bizda: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Bu holda, ildizlarni taxmin qilish oson - ular 2 va 5. Diskriminant yordamida hisoblashning hojati yo'q.

Vazifa. Tenglamani yeching: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0.

Keling, ko'rib chiqaylik: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - bu tenglama kamaytirilmagan, ikkala tomonni a = −5 koeffitsientiga ajratamiz. Biz olamiz: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - kasr koeffitsientlari bo'lgan tenglama.

Dastlabki tenglamaga qaytib, diskriminant orqali hisoblash yaxshiroq: −5x 2 + 8x − 2,4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2,4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1,2; x 2 = 0,4.

Vazifa. Tenglamani yeching: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Birinchidan, hamma narsani a = 2 koeffitsientiga ajratamiz. Biz x 2 + 5x - 300 = 0 tenglamani olamiz.

Bu qisqartirilgan tenglama, Veta teoremasiga ko'ra bizda: x 1 + x 2 = -5; x 1 x 2 = -300. Bu holda kvadrat tenglamaning ildizlarini taxmin qilish qiyin - shaxsan men bu muammoni hal qilishda jiddiy tiqilib qoldim.

Biz diskriminant orqali ildizlarni izlashimiz kerak: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Agar siz diskriminantning ildizini eslamasangiz, shuni ta'kidlayman: 1225: 25 = 49. Shuning uchun 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Endi diskriminantning ildizi ma'lum, tenglamani yechish qiyin emas. Biz olamiz: x 1 = 15; x 2 = -20.

Sakkizinchi sinfda o‘quvchilar kvadrat tenglamalar va ularni yechish usullari bilan tanishadilar. Shu bilan birga, tajriba shuni ko'rsatadiki, ko'pchilik o'quvchilar to'liq kvadrat tenglamalarni echishda faqat bitta usuldan - kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanadilar. Yaxshi aqliy arifmetik ko'nikmalarga ega bo'lgan talabalar uchun bu usul aniq mantiqiy emas. Talabalar ko'pincha o'rta maktabda ham kvadrat tenglamalarni echishga majbur bo'lishadi va u erda diskriminantni hisoblash uchun vaqt sarflash juda achinarli. Menimcha, kvadrat tenglamalarni o‘rganishda Vyeta teoremasini qo‘llashga ko‘proq vaqt va e’tibor qaratish lozim (A.G. Mordkovich “Algebra-8” dasturiga ko‘ra “Vyeta teoremasi. Kvadratning parchalanishi” mavzusini o‘rganish uchun bor-yo‘g‘i ikki soat rejalashtirilgan. trinomial chiziqli omillarga").

Aksariyat algebra darsliklarida bu teorema qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun tuzilgan va shunday deyilgan: agar tenglamaning va ildizlari bo'lsa, ular uchun , , tengliklari bajariladi. Keyin Vyeta teoremasiga qarama-qarshi bayonot tuziladi va ushbu mavzuni mashq qilish uchun bir qancha misollar taklif etiladi.

Keling, aniq misollar keltiramiz va Viet teoremasidan foydalanib, yechim mantiqini kuzatamiz.

Misol 1. Tenglamani yeching.

Aytaylik, bu tenglamaning ildizlari bor, ya'ni, va. Keyin, Veta teoremasiga ko'ra, tengliklar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak:

Iltimos, ildizlarning mahsuloti ijobiy raqam ekanligini unutmang. Demak, tenglamaning ildizlari bir xil belgiga ega. Va ildizlarning yig'indisi ham musbat son bo'lganligi sababli, tenglamaning ikkala ildizi ham musbat degan xulosaga kelamiz. Keling, yana ildizlarning mahsulotiga qaytaylik. Faraz qilaylik, tenglamaning ildizlari musbat sonlar. Keyin to'g'ri birinchi tenglikni faqat ikki usulda olish mumkin (omillar tartibiga qadar): yoki . Keling, taklif qilingan raqamlar juftligini Veta teoremasining ikkinchi bayonotining maqsadga muvofiqligini tekshirib ko'ramiz: . Shunday qilib, 2 va 3 raqamlari ikkala tenglikni qanoatlantiradi va shuning uchun berilgan tenglamaning ildizlari hisoblanadi.

Javob: 2; 3.

Yuqoridagi kvadrat tenglamani Viet teoremasi yordamida yechishda fikrlashning asosiy bosqichlarini ajratib ko‘rsatamiz:

Vyeta teoremasining bayonini yozing

(*)

• tenglama ildizlarining belgilarini aniqlang (Agar ko‘paytma va ildizlarning yig‘indisi musbat bo‘lsa, ikkala ildiz ham musbat sonlar bo‘ladi. Agar ildizlarning ko‘paytmasi musbat son, ildizlarning yig‘indisi manfiy bo‘lsa, u holda Agar ildizlarning ko'paytmasi manfiy son bo'lsa, unda ildizlarning yig'indisi musbat bo'lsa, u holda moduli kattaroq bo'lgan ildiz musbat sondir. ildizlar yig'indisi noldan kichik bo'lsa, moduli kattaroq ildiz manfiy sondir);
• ko'paytmasi yozuvda (*) to'g'ri birinchi tenglikni beradigan butun sonlar juftlarini tanlang;
• topilgan sonlar juftligidan (*) yozuvdagi ikkinchi tenglikka almashtirilganda toʻgʻri tenglikni beradigan juftni tanlang;
• javobingizda tenglamaning topilgan ildizlarini ko'rsating.

Keling, yana bir nechta misollar keltiraylik.

2-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo‘lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot ijobiy, yig'indisi esa manfiy son ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ikkala ildiz ham manfiy sonlardir. 10 (-1 va -10; -2 va -5) ko'paytmasini beradigan juft omillarni tanlaymiz. Raqamlarning ikkinchi juftligi -7 ga qo'shiladi. Bu -2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: -2; -5.

3-misol: Tenglamani yeching .

Yechim.

Berilgan tenglamaning ildizlari bo‘lsin. Keyin, Veta teoremasi bo'yicha, mahsulot salbiy ekanligini ta'kidlaymiz. Bu shuni anglatadiki, ildizlar turli belgilarga ega. Ildizlarning yig'indisi ham manfiy sondir. Bu eng katta modulga ega bo'lgan ildiz salbiy ekanligini anglatadi. Mahsulotni -10 (1 va -10; 2 va -5) beradigan juft omillarni tanlaymiz. Ikkinchi raqamlar juftligi -3 ga qo'shiladi. Bu 2 va -5 raqamlari bu tenglamaning ildizlari ekanligini anglatadi.

Javob: 2; -5.

E'tibor bering, Vieta teoremasi, qoida tariqasida, to'liq kvadrat tenglama uchun shakllantirilishi mumkin: kvadrat tenglama bo'lsa ildizlari bor va ular uchun , , tengliklari qanoatlantiriladi. Biroq, bu teoremani qo'llash juda muammoli, chunki to'liq kvadrat tenglamada ildizlardan kamida bittasi (agar mavjud bo'lsa, albatta) kasr sondir. Va kasrlarni tanlash bilan ishlash uzoq va qiyin. Lekin hali ham chiqish yo'li bor.

To'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing . Tenglamaning ikkala tomonini birinchi koeffitsientga ko'paytiring A va tenglamani shaklda yozing . Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz va qisqartirilgan kvadrat tenglamani olamiz, uning ildizlarini va (agar mavjud bo'lsa) Viet teoremasi yordamida topish mumkin. Keyin asl tenglamaning ildizlari bo'ladi. Yordamchi qisqartirilgan tenglamani yaratish juda oddiy ekanligini unutmang: ikkinchi koeffitsient saqlanib qoladi va uchinchi koeffitsient mahsulotga teng. ac. Talabalar ma'lum mahorat bilan darhol yordamchi tenglama tuzadilar, Vyeta teoremasi yordamida uning ildizlarini topadilar va berilgan to'liq tenglamaning ildizlarini ko'rsatadilar. Keling, misollar keltiraylik.

4-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama tuzamiz va Viet teoremasidan foydalanib, uning ildizlarini topamiz. Bu degani, asl tenglamaning ildizlari .

Javob: .

5-misol: Tenglamani yeching .

Yordamchi tenglama shaklga ega. Vyeta teoremasiga ko'ra, uning ildizlari . Asl tenglamaning ildizlarini topish .

Javob: .

Vyeta teoremasini qo'llash to'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini og'zaki ravishda topishga imkon beradigan yana bir holat. Buni isbotlash qiyin emas 1 raqami tenglamaning ildizidir , agar va faqat agar. Tenglamaning ikkinchi ildizi Vyeta teoremasi bilan topiladi va ga teng. Boshqa bayonot: shunday qilib -1 raqami tenglamaning ildizi bo'lsin zarur va yetarli. U holda Vyeta teoremasi bo'yicha tenglamaning ikkinchi ildizi ga teng bo'ladi. Shu kabi gaplarni qisqartirilgan kvadrat tenglama uchun ham tuzish mumkin.

6-misol: Tenglamani yeching.

E'tibor bering, tenglama koeffitsientlarining yig'indisi nolga teng. Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: .

7-misol. Tenglamani yeching.

Bu tenglamaning koeffitsientlari xossani qanoatlantiradi (haqiqatdan ham, 1-(-999)+(-1000)=0). Shunday qilib, tenglamaning ildizlari .

Javob: ..

Vyeta teoremasini qo‘llashga misollar

1-topshiriq. Berilgan kvadrat tenglamani Vyeta teoremasidan foydalanib yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

2-topshiriq. To‘liq kvadrat tenglamani yordamchi qisqartirilgan kvadrat tenglamaga o‘tish orqali yeching.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

3-topshiriq. Kvadrat tenglamani xossasidan foydalanib yeching.

Kvadrat tenglamani yechish usullaridan biri foydalanishdir VIET formulalari, bu FRANCOIS VIETTE sharafiga nomlangan.

U 16-asrda frantsuz qiroliga xizmat qilgan mashhur huquqshunos edi. Bo'sh vaqtida u astronomiya va matematikani o'rgangan. U kvadrat tenglamaning ildizlari va koeffitsientlari o'rtasida bog'lanishni o'rnatdi.

Formulaning afzalliklari:

1 . Formulani qo'llash orqali siz tezda yechim topishingiz mumkin. Chunki kvadratga ikkinchi koeffitsientni kiritish shart emas, keyin undan 4ac ayirish, diskriminantni topish va ildizlarni topish uchun uning qiymatini formulaga almashtirish kerak.

2 . Yechimsiz siz ildizlarning belgilarini aniqlashingiz va ildizlarning qiymatlarini tanlashingiz mumkin.

3 . Ikki yozuv tizimini hal qilib, ildizlarni o'zlari topish qiyin emas. Yuqoridagi kvadrat tenglamada ildizlar yig'indisi ikkinchi koeffitsientning minus belgisi bilan qiymatiga teng. Yuqoridagi kvadrat tenglamadagi ildizlarning mahsuloti uchinchi koeffitsientning qiymatiga teng.

4 . Ushbu ildizlardan foydalanib, kvadrat tenglamani yozing, ya'ni teskari masalani yeching. Masalan, bu usul nazariy mexanika masalalarini yechishda qo'llaniladi.

5 . Etakchi koeffitsient birga teng bo'lganda formuladan foydalanish qulay.

Kamchiliklari:

1 . Formula universal emas.

Vieta teoremasi 8-sinf

Formula
Agar x 1 va x 2 qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0 bo'lsa, u holda:

Misollar
x 1 = -1; x 2 = 3 - tenglamaning ildizlari x 2 - 2x - 3 = 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Qarama-qarshi teorema

Formula
Agar x 1, x 2, p, q raqamlari shartlar bilan bog'langan bo'lsa:

U holda x 1 va x 2 tenglamaning ildizlari x 2 + px + q = 0.

Misol
Uning ildizlaridan foydalanib, kvadrat tenglama tuzamiz:

X 1 = 2 - ? 3 va x 2 = 2 + ? 3.

P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

Kerakli tenglama quyidagi ko'rinishga ega: x 2 - 4x + 1 = 0.

Kvadrat tenglamalar uchun Vyeta teoremasini shakllantirish va isbotlash. Vietaning teskari teoremasi. Kub tenglamalar va ixtiyoriy tartibli tenglamalar uchun Vyeta teoremasi.

Tarkib

Shuningdek qarang: Kvadrat tenglamaning ildizlari

Kvadrat tenglamalar

Vyeta teoremasi

Kiritilgan kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
(1) .
Keyin ildizlar yig'indisi koeffitsientga teng bo'ladi , qarama-qarshi belgi bilan olinadi. Ildizlarning mahsuloti erkin muddatga teng:
;
.

Bir nechta ildizlar haqida eslatma

Agar (1) tenglamaning diskriminanti nolga teng bo'lsa, bu tenglama bitta ildizga ega. Ammo, noqulay formulalarga yo'l qo'ymaslik uchun, odatda, bu holda (1) tenglama ikkita ko'p yoki teng ildizga ega ekanligi qabul qilinadi:
.

Bir dalil

(1) tenglamaning ildizlarini topamiz. Buning uchun kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini qo'llang:
;
;
.

Ildizlarning yig'indisini toping:
.

Mahsulotni topish uchun quyidagi formuladan foydalaning:
.
Keyin

.

Teorema isbotlangan.

Ikki dalil

Agar raqamlar (1) kvadrat tenglamaning ildizlari bo'lsa, u holda
.
Qavslarni ochish.

.
Shunday qilib, (1) tenglama quyidagi shaklni oladi:
.
(1) bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:
;
.

Teorema isbotlangan.

Vietaning qarama-qarshi teoremasi

Ixtiyoriy raqamlar bo'lsin. U holda va kvadrat tenglamaning ildizlari
,
Qayerda
(2) ;
(3) .

Vietaning qarama-qarshi teoremasini isbotlash

Kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(1) .
(1) tenglamaning ildizlari bo'lsa va bo'lsa, va bo'lishini isbotlashimiz kerak.

(2) va (3) ni (1) ga almashtiramiz:
.
Biz tenglamaning chap tomonidagi atamalarni guruhlaymiz:
;
;
(4) .

(4) ni almashtiramiz:
;
.

(4) ni almashtiramiz:
;
.
Tenglama amal qiladi. Ya'ni, raqam (1) tenglamaning ildizidir.

Teorema isbotlangan.

To'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi

Endi to'liq kvadrat tenglamani ko'rib chiqing
(5) ,
qaerda va ba'zi raqamlar. Bundan tashqari.

(5) tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
.
Ya'ni, biz berilgan tenglamani oldik
,
Qaerda;

.

U holda to'liq kvadrat tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi.
.
To'liq kvadrat tenglamaning ildizlarini belgilaymiz
;
.

Keyin ildizlarning yig'indisi va mahsuloti quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

Kub tenglama uchun Vyeta teoremasi
(6) ,
Xuddi shunday, biz kub tenglamaning ildizlari o'rtasida bog'lanishlarni o'rnatishimiz mumkin. Kub tenglamasini ko'rib chiqing
bu yerda , , , ba’zi raqamlar. Bundan tashqari.
(7) ,
Keling, bu tenglamani quyidagilarga ajratamiz:
Qayerda,,.

.

(7) tenglamaning (va (6) tenglamaning) ildizlari , , bo'lsin. Keyin
;
;
.

(7) tenglama bilan taqqoslab, biz quyidagilarni topamiz:

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi
.

Xuddi shu tarzda n-darajali tenglama uchun , , ... , , ildizlari orasidagi bog‘lanishlarni topish mumkin.
;
;
;

.

n-darajali tenglama uchun Vyeta teoremasi quyidagi shaklga ega:
.
Ushbu formulalarni olish uchun tenglamani quyidagicha yozamiz:

Keyin , , , ... uchun koeffitsientlarni tenglashtiramiz va erkin hadni solishtiramiz.
Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, muhandislar va kollej talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, "Lan", 2009 yil.

SM. Nikolskiy, M.K. Potapov va boshqalar, Algebra: umumiy ta'lim muassasalarida 8-sinf uchun darslik, Moskva, Ta'lim, 2006 yil.