Паралелизъм на равнините: знак, условие. Относителното положение на две равнини в пространството Признаци за успоредност на две равнини Отклонение от успоредността на осите на отворите

05.05.2022 | Светът

ТЕКСТОВА ОБЯСНЕНИЕ НА УРОКА:

Нека представим концепцията за успоредни равнини

Според аксиома A3, ако две равнини имат обща точка, тогава те се пресичат по права линия.

От това следва, че равнините или се пресичат по права линия, или не се пресичат, тоест нямат една обща точка.

Определение. Две равнини се наричат успоредни, ако не се пресичат.

Ако равнините са успоредни, напишете:.

Теорема (признак за паралелизъм на равнините).

Ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина, тогава тези равнини са успоредни.

Доказателство.

Да разгледаме две равнини: .

Пресичащите се прави a1 и b1 лежат в равнината, а пресичащите се прави a2 и b2, успоредни на тях, лежат в равнината.

Нека докажем това.

Доказателство. Ние спорим с противоречие.

Да приемем, че равнините не са успоредни. След това има права c, те се пресичат по някакъв начин.

Тъй като правата a1 е успоредна на правата a2, лежаща в равнината, правата a1 е успоредна на равнината.

По същия начин правата b1 е успоредна на равнината.

Сега можете да използвате свойството на права линия, успоредна на равнина.

Тъй като равнината минава през правата a1 успоредна на друга равнина и пресича тази равнина, линията на пресичане на равнините c ще бъде успоредна на правата a1, т.е.

Следователно равнината минава и през правата b1, успоредна на равнината.

По този начин две прави a1 и b1 минават през точка O1 и са успоредни на права c.

Но това е невъзможно, само една права линия, успоредна на c, може да премине през O1.

Ако приемем, че сме стигнали до противоречие. Следователно, .

Теоремата е доказана.

Задача 1. Три отсечки A1A2, B1B2 и C1C2, които не лежат в една и съща равнина, имат обща средна точка. Докажете, че равнините A1B1C1 и A2B2C2 са успоредни.

Сегментите A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в една и съща равнина

O - обща средна точка на сегменти

Докажете: равнина A1B1C1 равнина A2B2C2

В равнината A1B1C1 вземаме пресичащите се отсечки A1B1 и A1C1 , а в равнината A2B2C2 - отсечките A2B2 и A2C2. Нека докажем, че те са съответно успоредни.

Да разгледаме четириъгълника A1B1A2B2.

Тъй като диагоналите му са разделени на две точки в пресечната точка, той е успоредник.

Следователно A1B1 A2B2

По същия начин от четириъгълника A1C1A2C2 получаваме, че A1C1 A2C2.

Въз основа на паралелизма на равнините,

Всеки, който някога е учил или учи в момента в училище, е срещал различни трудности при изучаването на дисциплините, които са включени в програмата, разработена от Министерството на образованието.

С какви трудности се сблъсквате

Изучаването на езици е придружено от запомняне на съществуващите граматически правила и основните изключения от тях. Физическото възпитание изисква от учениците голяма пресметливост, добра физическа форма и голямо търпение.

Нищо обаче не може да се сравни с трудностите, които възникват при изучаването на точни дисциплини. Алгебра, съдържаща сложни начини за решаване на елементарни задачи. Физика с богат набор от формули за физични закони. Геометрия и нейните секции, които се основават на сложни теореми и аксиоми.

Пример са аксиомите, които обясняват теорията на паралелизма на равнините, които трябва да се запомнят, тъй като те са в основата на целия курс на училищната програма по стереометрия. Нека се опитаме да разберем колко по-лесно и по-бързо може да се направи това.

Успоредни равнини по примери

Аксиомата, показваща паралелизма на равнините, е както следва: " Всякакви две равнини се считат за успоредни само ако не съдържат общи точки.“, тоест те не се пресичат помежду си. За да си представим тази картина по-подробно, като елементарен пример можем да посочим съотношението на тавана и пода или срещуположните стени в сграда. Веднага става ясно какво се има предвид и се потвърждава и фактът, че тези равнини в обичайния случай никога няма да се пресичат.

Друг пример е прозорец с двоен стъклопакет, където стъклените листове действат като равнини. Те също така при никакви обстоятелства няма да образуват пресечни точки един с друг. В допълнение към това можете да добавите рафтове за книги, куб на Рубик, където самолетите са противоположните му лица, и други елементи от ежедневието.

Разглежданите равнини са обозначени със специален знак под формата на две прави линии "||", които ясно илюстрират успоредността на равнините. По този начин, като се прилагат реални примери, може да се формира по-ясно възприемане на темата и следователно може да се продължи по-нататък към разглеждането на по-сложни понятия.

Къде и как се прилага теорията за успоредните равнини?

Когато изучават училищен курс по геометрия, учениците трябва да се справят с многостранни задачи, при които често е необходимо да се определи успоредността на прави линии, права линия и равнина помежду си или зависимостта на равнините една от друга. Анализирайки съществуващото състояние, всяка задача може да бъде свързана с четирите основни класа стереометрия.

Първият клас включва задачи, в които е необходимо да се определи успоредността на права линия и равнина между тях. Решението му се свежда до доказателството на едноименната теорема. За да направите това, трябва да определите дали за права, която не принадлежи на разглежданата равнина, има успоредна права, лежаща в тази равнина.

Вторият клас задачи включва тези, в които се използва знакът за успоредни равнини. Използва се за опростяване на процеса на доказване, като по този начин значително намалява времето за намиране на решение.

Следващият клас обхваща спектъра от задачи за съответствието на правите с основните свойства на паралелизма на равнините. Решението на задачите от четвърти клас е да се определи дали е изпълнено условието за успоредни равнини. Знаейки как точно се извършва доказването на конкретен проблем, става по-лесно за студентите да се ориентират, когато прилагат съществуващия арсенал от геометрични аксиоми.

Така задачите, чието условие изисква дефиниране и доказване на успоредността на правите, правата и равнината или две равнини една с друга, се свеждат до правилния избор на теоремата и решението според съществуващия набор от правила.

За успоредността на права и равнина

Паралелизмът на права линия и равнина е специална тема в стереометрията, тъй като именно това е основното понятие, на което се основават всички последващи свойства на успоредността на геометричните фигури.

Според наличните аксиоми, в случай, че две точки от права принадлежат на определена равнина, можем да заключим, че дадената права линия също лежи в нея. В тази ситуация става ясно, че има три варианта за местоположението на линията спрямо равнината в пространството:

Линията принадлежи на самолета.
За права и равнина има една обща пресечна точка.
Няма пресечни точки за права линия и равнина.

По-специално ни интересува последният вариант, когато няма пресечни точки. Само тогава можем да кажем, че правата и равнината са успоредни една спрямо друга. По този начин се потвърждава условието на основната теорема за знака на успоредност на права линия и равнина, която гласи, че: "Ако права, която не принадлежи на въпросната равнина, е успоредна на която и да е права в тази равнина, тогава въпросната права също е успоредна на дадената равнина."

Необходимостта от използване на знака за паралелизъм

Знакът за успоредност на равнините обикновено се използва за намиране на опростено решение на проблеми за равнините. Същността на този знак е следната: Ако има две пресичащи се прави, лежащи в една равнина, успоредни на две прави, принадлежащи на друга равнина, тогава такива равнини могат да се нарекат успоредни».

Допълнителни теореми

В допълнение към използването на функция, която доказва паралелизма на равнините, на практика може да се срещне използването на други две допълнителни теореми. Първият е представен в следната форма: Ако една от двете успоредни равнини е успоредна на третата, тогава втората равнина или също е успоредна на третата, или напълно съвпада с нея».

Въз основа на използването на дадените теореми винаги е възможно да се докаже успоредността на равнините по отношение на разглежданото пространство. Втората теорема показва зависимостта на равнините от перпендикулярна права и има формата: „ Ако две несъвпадащи равнини са перпендикулярни на някаква права линия, тогава те се считат за успоредни една на друга».

Понятието за необходимо и достатъчно условие

При многократно решаване на задачи за доказване на паралелност на равнините се извежда необходимото и достатъчно условие за паралелност на равнините. Известно е, че всяка равнина е дадена от параметрично уравнение от вида: A 1 x+ B 1 y+ C 1 z+D 1 =0. Нашето условие се основава на използването на система от уравнения, които определят местоположението на равнините в пространството и е представено със следната формулировка: За да се докаже паралелизма на две равнини, е необходимо и достатъчно системата от уравнения, описващи тези равнини, да е непоследователна, тоест да няма решение».

Основни свойства

Въпреки това, когато решавате геометрични задачи, използването на знака за успоредност не винаги е достатъчно. Понякога възниква ситуация, когато е необходимо да се докаже паралелизма на две или повече прави в различни равнини или равенството на отсечките, съдържащи се в тези прави. За да направите това, използвайте свойствата на успоредните равнини. В геометрията има само две от тях.

Първото свойство ви позволява да прецените паралелизма на линиите в определени равнини и е представено в следната форма: Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, тогава линиите, образувани от пресечните линии, също ще бъдат успоредни една на друга».

Смисълът на второто свойство е да докаже равенството на отсечките, разположени на успоредни прави. Неговото тълкуване е представено по-долу. " Ако разгледаме две успоредни равнини и затворим област между тях, тогава може да се твърди, че дължината на сегментите, образувани от тази област, ще бъде еднаква».

Тази статия ще проучи въпросите за паралелизма на равнините. Нека дадем определение на равнините, които са успоредни една на друга; обозначаваме знаците и достатъчните условия на паралелизъм; Нека разгледаме теорията чрез илюстрации и практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1

Паралелни равниниса равнини, които нямат общи точки.

За обозначаване на паралелизъм се използва следният символ: ∥. Ако са дадени две равнини: α и β, които са успоредни, кратък запис за това ще изглежда така: α ‖ β .

В чертежа, като правило, равнините, успоредни една на друга, се показват като два равни успоредника, отдалечени един от друг.

В речта успоредността може да се обозначи по следния начин: равнините α и β са успоредни, а също и - равнината α е успоредна на равнината β или равнината β е успоредна на равнината α.

Успоредност на равнините: знак и условия на паралелизъм

В процеса на решаване на геометрични задачи често възниква въпросът: успоредни ли са дадените равнини една на друга? За да се отговори на този въпрос, се използва знакът за успоредност, който също е достатъчно условие за успоредност на равнините. Нека го запишем като теорема.

Теорема 1

Равнините са успоредни, ако две пресичащи се прави от една равнина са съответно успоредни на две пресичащи се прави от друга равнина.

Доказателството на тази теорема е дадено в програмата по геометрия за 10 - 11 клас.

На практика, за доказване на паралелизъм, наред с други неща, се използват следните две теореми.

Теорема 2

Ако една от успоредните равнини е успоредна на третата равнина, тогава другата равнина или също е успоредна на тази равнина, или съвпада с нея.

Теорема 3

Ако две несъвпадащи равнини са перпендикулярни на някаква права, тогава те са успоредни.

Въз основа на тези теореми и самия знак за успоредност се доказва фактът на успоредност на произволни две равнини.

Нека разгледаме по-подробно необходимото и достатъчно условие за паралелност на равнините α и β, дадени в правоъгълна координатна система на тримерно пространство.

Да приемем, че в някаква правоъгълна координатна система е дадена равнината α, която съответства на общото уравнение A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, а също така е дадена равнината β, която се определя от общото уравнение от вида A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 .

Теорема 4

За да бъдат дадените равнини α и β успоредни, е необходимо и достатъчно системата от линейни уравнения A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 няма решение (беше несъвместимо).

Доказателство

Да предположим, че дадените равнини, определени от уравненията A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, са успоредни и следователно нямат общи точки. По този начин в правоъгълната координатна система на триизмерното пространство няма нито една точка, чиито координати да отговарят на условията на двете уравнения на равнините едновременно, т.е. Системата A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 няма решение. Ако посочената система няма решения, тогава в правоъгълната координатна система на триизмерното пространство няма нито една точка, чиито координати да отговарят едновременно на условията и на двете уравнения на системата. Следователно равнините, дадени от уравненията A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, нямат общи точки, т.е. те са успоредни.

Нека анализираме използването на необходимото и достатъчно условие за паралелност на равнините.

Пример 1

Дадени са две равнини: 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 . Трябва да определите дали са успоредни.

Решение

Записваме системата от уравнения от дадените условия:

2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0

Нека проверим дали е възможно да се реши получената система от линейни уравнения.

Рангът на матрицата 2 3 1 2 3 1 1 3 е равен на единица, тъй като минорите от втори ред са равни на нула. Рангът на матрицата 2 3 1 1 2 3 1 1 3 - 4 е равен на две, тъй като минорът на 2 1 2 3 - 4 е различен от нула. По този начин рангът на основната матрица на системата от уравнения е по-малък от ранга на разширената матрица на системата.

Заедно с това от теоремата на Кронекер-Капели следва: системата от уравнения 2 x + 3 y + z - 1 = 0 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 няма решения. Този факт доказва, че равнините 2 x + 3 y + z - 1 = 0 и 2 3 x + y + 1 3 z + 4 = 0 са успоредни.

Имайте предвид, че ако приложим метода на Гаус за решаване на система от линейни уравнения, това ще даде същия резултат.

Отговор:дадените равнини са успоредни.

Необходимото и достатъчно условие равнините да са успоредни може да се опише по друг начин.

Теорема 5

За да бъдат две несъвпадащи равнини α и β успоредни една на друга, е необходимо и достатъчно нормалните вектори на равнините α и β да са колинеарни.

Доказателството на формулираното условие се основава на дефиницията на нормалния вектор на равнината.

Да приемем, че n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) и n 2 → = (A 2 , B 2 , C 2) са нормалните вектори на равнините α и β, съответно. Нека напишем условието за колинеарност на тези вектори:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2, където t е някакво реално число.

По този начин, за да са успоредни несъвпадащи равнини α и β с нормалните вектори, дадени по-горе, е необходимо и достатъчно да се осъществи реално число t, за което е вярно равенството:

n 1 → = t n 2 ⇀ ⇔ A 1 = t A 2 B 1 = t B 2 C 1 = t C 2

Пример 2

Равнините α и β са дадени в правоъгълна координатна система на триизмерно пространство. Равнината α минава през точките: A (0 , 1 , 0) , B (- 3 , 1 , 1) , C (- 2 , 2 , - 2) . Равнината β се описва с уравнението x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 Необходимо е да се докаже паралелизма на дадените равнини.

Решение

Нека се уверим, че дадените равнини не съвпадат. Наистина е така, тъй като координатите на точка А не отговарят на уравнението на равнината β.

Следващата стъпка е да се определят координатите на нормалните вектори n 1 → и n 2 →, съответстващи на равнините α и β . Проверяваме и условието за колинеарност на тези вектори.

Векторът n 1 → може да бъде определен, като се вземе кръстосаното произведение на векторите A B → и A C → . Координатите им са съответно: (- 3 , 0 , 1) и (- 2 , 2 , - 2) . Тогава:

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → - 3 0 1 - 2 1 - 2 = - i → - 8 j → - 3 k → ⇔ n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3)

За да получим координатите на нормалния вектор на равнината x 12 + y 3 2 + z 4 = 1, ние свеждаме това уравнение до общото уравнение на равнината:

x 12 + y 3 2 + z 4 = 1 ⇔ 1 12 x + 2 3 y + 1 4 z - 1 = 0

Така: n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4 .

Нека проверим дали условието за колинеарност на векторите n 1 → = (- 1 , - 8 , - 3) и n 2 → = 1 12 , 2 3 , 1 4

Тъй като - 1 = t 1 12 - 8 = t 2 3 - 3 = t 1 4 ⇔ t = - 12, то векторите n 1 → и n 2 → са свързани с равенството n 1 → = - 12 n 2 → , т.е. са колинеарни.

Отговор: равнините α и β не съвпадат; техните нормални вектори са колинеарни. По този начин равнините α и β са успоредни.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Лекция номер 4.

Отклонения във формата и разположението на повърхностите.

GOST 2.308-79

При анализиране на точността на геометричните параметри на детайлите, номиналните и реалните повърхности се разграничават профилите; номинално и реално разположение на повърхности и профили. Номиналните повърхности, профили и подредба на повърхността се определят от номинални размери: линейни и ъглови.

В резултат на производството се получават реални повърхности, профили и подредба на повърхността. Те винаги имат отклонения от номиналното.

Допуски на формата.

Основата за формиране и количествена оценка на отклоненията във формата на повърхностите е прилежащ принцип.

прилежащ елемент, това е елемент в контакт с реалната повърхност и разположен извън материала на детайла, така че разстоянието от него в най-отдалечената точка на реалната повърхност в рамките на нормализираната площ би имало минимална стойност.

Съседен елемент може да бъде: права линия, равнина, окръжност, цилиндър и др. (фиг. 1, 2).

1 - съседен елемент;

2 - реална повърхност;

L е дължината на нормализирания участък;

Δ - отклонение на формата, определено от съседния елемент по нормалата към повърхността.

Т - толеранс на формата.

Фиг.2. Фиг. един

Поле на толерантност- площ в пространството, ограничена от две еднакво отдалечени повърхности, разположени една от друга на разстояние, равно на толеранса T, което се отлага от съседния елемент в тялото на детайла.

Количественото отклонение на формата се оценява по най-голямото разстояние от точките на реалната повърхност (профил) до съседната повърхност (профил) по нормалата към последната (фиг. 2). Съседни повърхности са: работни повърхности на работни плочи, интерференционни стъкла, извити линийки, калибри, контролни дорници и др.

Толерантност към форматасе нарича най-голямото допустимо отклонение Δ (фиг. 2).

Отклонения във формата на повърхностите.

1. Отклонение от праволинейността в равнинатае максимумът от точките на реалния профил до съседната права линия. (фиг. 3а).

Ориз. 3

Обозначение на чертежа:

Допуск на праволинейност 0,1 мм при дължина на основата 200 мм

2. Толерантност към плоскост- това е най-голямото допустимо разстояние () от точките на реалната повърхност до съседната равнина в нормализираната област (фиг. 3б).

Обозначение на чертежа:

Толеранс на плоскост (не повече от) 0,02 mm върху основната повърхност 200 100 mm.

Методи за контрол.

Измерване на плоскост с въртящ се плоскомер.
Фигура 5а.

Фиг.5b. Схема за измерване на неплоскост.

Управление в схема 6б

извършва на светлина или

със сонда

(грешка 1-3 μm)

Фигура 6. Схеми за измерване на неправолинейността.

Контролът на плоскостта се извършва:

По метода "На боята" по брой петна в рамката с размер 25 25 мм

С помощта на интерферентни плочи (за завършени повърхности до 120 мм) (фиг. 7).

Когато плоча се постави с лек наклон върху повърхността на правоъгълна част, която трябва да се проверява, се появяват интерференционни ресни, а на повърхността на кръгла част се появяват интерференционни пръстени.

Когато се наблюдава в бяла светлина, разстоянието между ресните е в= 0,3 µm (половината дължина на вълната на бялата светлина).

Ориз. 7.

Неравномерността се оценява във части от интервала на интерференционните ресни. Според снимката хм.

микрон

Толерантност към праволинейност брадвицилиндър 0,01 мм (стрелката за толеранс на формата лежи върху стрелката на размера 20f 7). (Фигура 8)

Схема на измерване

Допуските за праволинейност на повърхността са зададени на водачи; плоскост - за плоски крайни повърхности за осигуряване на херметичност (равнини на разделяне на части на тялото); работещи при високо налягане (крайни разпределители) и др.

Допуски за праволинейност на оста - за дълги цилиндрични повърхности (като пръти), движещи се в хоризонтална посока; цилиндрични водачи; за части, сглобени със съвпадащи повърхности на няколко повърхности.

Допуски и отклонения на формата на цилиндрични повърхности.

1. толерантност към закръгленост- най-допустимото отклонение от закръглеността, най-голямото разстояние i от точките на реалната повърхност до съседния кръг.

Поле на толерантност- площ, ограничена от две концентрични окръжности върху равнина, перпендикулярна на оста на повърхността на въртене.

Допуск на закръгленост на повърхността 0,01 мм.

Кръгли метри

Фигура 9. Схеми за измерване на отклонението от закръглеността.

Конкретни видове отклонения от закръглеността са овалността и изрязването (фиг. 10).

Овално изрязване

За различни срезове индикаторната глава се настройва под ъгъл (фиг. 9b).

2. Допуски на цилиндричност- това е най-голямото допустимо отклонение на реалния профил от съседния цилиндър.

Състои се от отклонението от закръглеността (измерено най-малко в три точки) и отклонението от праволинейността на оста.

3. Толеранс на профила на надлъжно сечение- това е най-голямото допустимо отклонение на профила или формата на реалната повърхност от съседния профил или повърхност (посочена от чертежа) в равнина, минаваща през оста на повърхността.

Толеранс на профила на надлъжно сечение 0,02 мм.
Конкретни видове отклонения на профила на надлъжното сечение:

Седло с конусова цев

Фиг. 11. Отклонение на профила на надлъжния разрез a, b, c, d и схема на измерване e.

Допуските на закръгленост и профил на надлъжния участък са зададени, за да се осигури еднаква хлабина в отделни секции и по цялата дължина на детайла, например в плъзгащи лагери, за части от двойка бутало-цилиндър, за двойки макари; цилиндричност за повърхности, изискващи пълен контакт на части (свързани чрез намеса и преход), както и за части с голяма дължина като "пръти".

Допуски на местоположението

Допуски на местоположението- това са най-големите допустими отклонения на действителното местоположение на повърхността (профила), оста, равнината на симетрия от нейното номинално местоположение.

При оценка на отклоненията в местоположението отклоненията във формата (разглеждани повърхности и основни) трябва да бъдат изключени от разглеждане (фиг. 12). В този случай реалните повърхности се заменят със съседни, а осите, равнините на симетрия се приемат като оси, равнини на симетрия и центрове на съседни елементи.

Допуски на паралелност на равнината- това е най-голямата допустима разлика между най-голямото и най-малкото разстояние между съседни равнини в рамките на нормализираната област.

За нормализиране и измерване на толеранси и отклонения на разположението се въвеждат базови повърхности, оси, равнини и др. Това са повърхности, равнини, оси и др., които определят положението на детайла по време на сглобяване (работа на продукта) и спрямо която се задава позицията на разглежданите елементи. Основни елементи на

чертежа се обозначава със знака ; Използват се главни букви на руската азбука.

Обозначаването на основи, секции (A-A) не трябва да се дублира. Ако основата е ос или равнина на симетрия, знакът се поставя върху продължението на размерната линия:

Допуск на паралелност 0,01 mm спрямо основата

повърхности А.

Толеранс на подравняване на повърхността в

диаметрално 0,02 мм

спрямо основната ос на повърхността

В случай, че проектно, технологично (определяне на позицията на детайла по време на производството) или измерване (определяне на позицията на детайла по време на измерване) не съвпадат, трябва да преизчислите извършените измервания.

Измерване на отклонения от успоредни равнини.

(в две точки на дадена дължина на повърхността)

Отклонението се определя като разлика между показанията на главата на даден интервал една от друга (главите са настроени на "0" според стандарта).

Допуск на успоредност на оста на отвора спрямо базовата равнина A на дължината L.

Фигура 14. (Схема за измерване)

Допуск на паралелизъм на ос.

Отклонение от паралелизма на осите в пространството- геометричната сума от отклоненията от успоредност на проекциите на осите в две взаимно перпендикулярни равнини. Една от тези равнини е обща равнина на осите (тоест минава през едната ос и точка на другата ос). Отклонение от паралелизъм в общата равнина- отклонение от успоредност на проекциите на осите върху общата им равнина. Несъответствие на осите- отклонение от проекциите на осите върху равнина, перпендикулярна на общата равнина на осите и минаваща през една от осите.

Поле на толерантност- това е правоъгълен паралелепипед със страните на сечението - , страничните повърхности са успоредни на основната ос. или цилиндър

Фиг. 15. Схема на измерване

Допуск на успоредност на оста на отвора 20H7 спрямо оста на отвора 30H7.

Толерантност на подравняване.

Отклонение от коаксиалността спрямо обща осе най-голямото разстояние между оста на разглежданата повърхност на въртене и общата ос на две или повече повърхности.

Поле на толерантност към концентричносте област в пространството, ограничена от цилиндър, чийто диаметър е равен на толеранса на подравняване в диаметър ( F = T) или два пъти толеранса на подравняване в радиално изражение: R=T/2(фиг. 16)

Толеранс на подравняване при радиално изражение на повърхности и спрямо общата ос на отворите A.

Фигура 16. Поле на толеранс на подравняване и схема на измерване

(отклонение на оста спрямо базовата ос A-ексцентриситет); R-радиус на първия отвор (R+e) – разстояние до основната ос в първата позиция на измерване; (R-e) - разстояние до основната ос във втора позиция след завъртане на детайла или индикатора на 180 градуса.

Индикаторът регистрира разликата в показанията (R+e)-(R-e)=2e=2 - отклонение от центровката в диаметър.

Толеранс на коаксиалност на шийките на вала в диаметрално отношение 0,02 mm (20 μm) спрямо общата ос на AB. Валовете от този тип са монтирани (базирани) на търкалящи или плъзгащи лагери. Основата е оста, минаваща през средата на шейните на вала (скрита основа).

Фигура 17. Схема на несъответствие на шейните на вала.

Изместването на осите на шейните на вала води до несъответствие на вала и нарушаване на работата на целия продукт като цяло.

Фигура 18. Схема за измерване на несъответствието на шейните на вала

Основата е направена върху опори за ножове, които се поставят в средните секции на шийките на вала. При измерване отклонението се получава в диаметралния израз D Æ = 2e.

Отклонението от подравняването спрямо основната повърхност обикновено се определя чрез измерване на биене на проверяваната повърхност в даден участък или крайни участъци - когато детайлът се върти около основната повърхност. Резултатът от измерването зависи от некръглостта на повърхността (което е около 4 пъти по-малко от несъответствието).

Фигура 19. Схема за измерване на подравняването на два отвора

Точността зависи от точността на прилягането на дорниците към отвора.

Зависимият толеранс може да се измери с помощта на габарит (фиг. 20).

Толеранс на подравняване на повърхността спрямо основната ос на повърхността в диаметър 0,02 mm, зависим толеранс.

Толерантност към симетрия

Допуск на симетрия по отношение на референтната равнина- най-голямото допустимо разстояние между разглежданата равнина на симетрия на повърхността и основната равнина на симетрия.

Фигура 21. Допуски на симетрия, схеми на измерване

Толерансът на симетрията в израза на радиуса е 0,01 mm спрямо основната равнина на симетрия A (фиг. 21b).

Отклонение DR(в израз на радиус) е равно на полуразликата на разстоянията A и B.

В диаметрално отношение DT \u003d 2e \u003d A-B.

Допуските за подравняване и симетрия се приписват на онези повърхности, които са отговорни за прецизното сглобяване и функциониране на продукта, където не се допускат значителни измествания на осите и равнините на симетрия.

Толеранс на пресичане на оси.

Толеранс при пресичане на ос- най-голямото допустимо разстояние между разглежданата и основната ос. Дефинира се за оси, които при номинално разположение трябва да се пресичат. Толерансът се посочва в диаметър или радиус (фиг. 22а).

При оценка на отклонениятаместата на отклонение на формата (разглеждани повърхности и основни) трябва да бъдат изключени от разглеждане (фиг. 12). В този случай реалните повърхности се заменят със съседни, а осите, равнините на симетрия се приемат като оси, равнини на симетрия и центрове на съседни елементи.

За стандартизация и измерваневъвеждат се допуски и отклонения на разположение, базови повърхности, оси, равнини и т. н. Това са повърхнини, равнини, оси и др., които определят положението на детайла по време на сглобяване (работа на продукта) и спрямо които се намира позицията на елементите разглежданото е зададено. Основните елементи в чертежа са обозначени със знака; Използват се главни букви на руската азбука. Обозначаването на основи, секции (A-A) не трябва да се дублира. Ако основата е ос или равнина на симетрия, знакът се поставя върху продължението на размерната линия:

Допуск на паралелност 0,01 mm спрямо основата

повърхности А.

Толеранс на подравняване на повърхността в

диаметрално 0,02 мм

спрямо основната ос на повърхността

В случай, че дизайнът, технологични (определяне на позицията на детайла по време на производството) или измерване (определяне на позицията на детайла по време на измерване) не съвпадат, преизчислете извършените измервания.

Измерване на отклонения от успоредни равнини.

(в две точки на дадена дължина на повърхността)

Допуск на успоредност на оста на отвора спрямо базовата равнина A на дължината L.

Фигура 14. (Схема за измерване)

Допуск на паралелизъм на ос.

Отклонение от паралелизма на осите в пространството - геометричната сума от отклоненията от успоредност на проекциите на осите в две взаимно перпендикулярни равнини. Една от тези равнини е обща равнина на осите (тоест минава през едната ос и точка на другата ос). Отклонение от паралелизъм в общата равнина- отклонение от успоредност на проекциите на осите върху общата им равнина. Несъответствие на осите- отклонение от проекциите на осите върху равнина, перпендикулярна на общата равнина на осите и минаваща през една от осите.

Поле на толерантност- Товаправоъгълен паралелепипед със страни на сечение -, страничните страни са успоредни на основната ос. или цилиндър

Фиг. 15. Схема на измерване

Допуск на успоредност на оста на отвора 20H7 спрямо оста на отвора 30H7.

Толерантност на подравняване.

Несъответствиеспрямо обща осе най-голямото разстояние между оста на разглежданата повърхност на въртене и общата ос на две или повече повърхности.

Поле на толерантност към концентричност е област в пространството, ограничена от цилиндър, чийто диаметър е равен на толеранса на подравняване в диаметър ( F = T) или два пъти толеранса на подравняване в радиално изражение: R=T/2(фиг. 16)

Толеранс на подравняване при радиално изражение на повърхности и спрямо общата ос на отворите A.

Фигура 16. Поле на толеранс на подравняване и схема на измерване

(отклонение на оста спрямо базовата ос A-ексцентриситет); R-радиус на първия отвор (R+e) - разстояние до основната ос в първа позиция на измерване; (R-e) - разстояние до основната ос във втора позиция след завъртане на детайла или индикатора на 180 градуса.

Индикаторът регистрира разликата в показанията (R+e)-(R-e)=2e=2 - отклонение от центровката в диаметър.

Толеранс на подравняване на шейната на валав диаметър, 0,02 mm (20 µm) спрямо общата ос на AB. Валовете от този тип са монтирани (базирани) на търкалящи или плъзгащи лагери. Основата е оста, минаваща през средата на шейните на вала (скрита основа).

Фигура 17. Схема на несъответствие на шейните на вала.

Фигура 18. Схема за измерване на несъответствието на шейните на вала

Несъответствиеспрямо основната повърхност обикновено се определя чрез измерване на биене на проверяваната повърхност в даден участък или крайни участъци - когато частта се върти около основната повърхност. Резултатът от измерването зависи от некръглостта на повърхността (което е около 4 пъти по-малко от несъответствието).

Фигура 19. Схема за измерване на подравняването на два отвора

Точността зависи от точността на прилягането на дорниците към отвора.

Ориз. 20.

Зависимият толеранс може да се измери с помощта на габарит (фиг. 20).

Толерантност към симетрия

Толерантност към симетрияспрямо референтната равнина- най-голямото допустимо разстояние между разглежданата равнина на симетрия на повърхността и основната равнина на симетрия.

Фигура 21. Допуски на симетрия, схеми на измерване

Толерансът на симетрията в израза на радиуса е 0,01 mm спрямо основната равнина на симетрия A (фиг. 21b).

Отклонение DR(в израз на радиус) е равно на полуразликата на разстоянията A и B.

В диаметрално отношение DT \u003d 2e \u003d A-B.

Толеранс на пресичане на оси.

Толеранс при пресичане на ос - най-голямото допустимо разстояние между разглежданата и еталонната ос. Дефинира се за оси, които при номинално разположение трябва да се пресичат. Толерансът се посочва в диаметър или радиус (фиг. 22а).

Фигура 22. а)

Толерансът на пресичане на осите на отворите Æ40H7 и Æ50H7 в радиус е 0,02 mm (20 µm).

Фиг. 22. b, c Схема за измерване на отклонението на пресечната точка на осите

Дорникът се поставя в 1 отвор, измерва се R1- височина (радиус) над оста.

Донникът се поставя във 2-рия отвор, измерен R2.

Резултат от измерването DR = R1 - R2се получава в израз на радиус, ако радиусите на отвора са различни, за да измерите отклонението на местоположението, трябва да извадите действителните размери и (или да вземете предвид размерите на дорниците. Донникът пасва върху отвора, контакт с годни)

DR = R1 - R2- ( - ) - отклонението се получава в израз на радиус

Толерансът на пресичане на оси се определя на части, при които неспазването на това изискване води до нарушаване на производителността, например: корпус на конусно зъбно колело.

Допуск на перпендикулярност

Допуск на перпендикулярност за повърхност спрямо основната повърхност.

Толерансът на перпендикулярност на страничната повърхност е 0,02 mm спрямо базовата равнина A. Отклонение от квадратуратае отклонението на ъгъла между равнините от правия ъгъл (90°), изразено в линейни единици дпо дължината на нормализирания участък Л.

Фигура 23. Схема за измерване на отклонението от перпендикулярност

Измерването може да се извърши с няколко индикатора, зададени на "0" според стандарта.

Толеранс на перпендикулярност на оста на отвора спрямо повърхността в диаметър 0,01 mm при радиус на измерване R = 40 mm.

Фигура 24. Схема за измерване на отклонението на перпендикулярността на оста

Толерансът на перпендикулярност се определя на повърхността, която определя функцията на продукта. Например: за осигуряване на еднаква междина или плътно прилягане по краищата на продукта, перпендикулярността на осите и равнината на технологичните устройства, перпендикулярността на водачите и др.

Толерантност на наклона

Отклонение на наклона на равнината - отклонението на ъгъла между равнината и основата от номиналния ъгъл а, изразено в линейни единици D по дължината на нормализирания участък L.

За измерване на отклонението се използват шаблони и приспособления.

Толеранс на позицията

Толеранс на позицията- това е най-голямото допустимо отклонение на действителното местоположение на елемента, оста, равнината на симетрия от номиналното му положение

Контролът може да се осъществява чрез управление на отделните му елементи, с помощта на измервателни машини, с - калибри.

Позиционният толеранс се определя за местоположението на центровете на отворите за крепежни елементи, сфери на свързващи пръти и др.

Общи толеранси на формата и местоположението

Пълна плоскост и толерантност към паралелизъм

Присвоява се на плоски повърхности, които определят позицията на детайла (на базата) и осигуряват плътно прилягане (стегнатост).

Пълна плоскост и толеранс на перпендикулярност.

Присвоява се на плоски странични повърхности, които определят позицията на частта (базирана) и осигуряват плътно прилягане.

Толеранс на радиално биене

Толерансът на радиално биене е най-голямата допустима разлика между най-голямото и най-малкото разстояние от всички точки на реалната повърхност на въртене до основната ос в сечение, перпендикулярно на основната ос.

Пълен толеранс на радиално биене.

Фигура 26.

Толеранс на пълно радиално биене в нормализираната област.

радиалното биене е сумата от отклоненията от закръгленост и коаксиалност в диаметрално отношение, - сумата от отклоненията от цилиндричността и коаксиалността.

Толерансът на радиално и пълно радиално биене се определя за критични въртящи се повърхности, където доминира изискването за подравняване на частите, не се изисква отделен контрол на допуските на формата. .

Толерантност към изтичане

Толерансът на крайното биене е най-голямата допустима разлика между най-голямото и най-малкото разстояния от точки на която и да е окръжност на крайната повърхност до равнина, перпендикулярна на основната ос. Отклонението се състои от

отклонения от перпендикулярност и праволинейност (флуктуации на повърхността на окръжността).

Пълен толеранс на изтичане

Пълен толеранс на крайно биене - това е най-голямата допустима разлика между най-голямото и най-малкото разстояние от точките на цялата крайна повърхност до равнината, перпендикулярна на основната ос.

Допуските на крайно биене се задават върху повърхностите на въртящите се части, които изискват минимално биене и въздействие върху частите в контакт с тях; например: опорни повърхности за търкалящи лагери, плъзгащи лагери, зъбни колела.

Толерантност на формата на даден профил, дадена повърхност

Допуск на формата на даден профил, толеранса на формата на дадена повърхност - това са най-големите отклонения на профила или формата на реалната повърхност от съседния профил и повърхност, посочени от чертежа.

Допуските се задават на части, които имат извити повърхности като гърбици, шаблони; профили на бъчви и др.

Нормализиране на толерансите на формата и местоположението

Може да се извършва:

по нива на относителна геометрична точност;

Въз основа на най-лошите условия на монтаж или експлоатация;

Въз основа на резултатите от изчисляването на размерните вериги.

Нива на относителна геометрична точност.

Съгласно GOST 24643-81 се установяват 16 степени на точност за всеки тип форма и толеранс на местоположение. Числовите стойности на толерансите при прехода от една степен на точност към друга се променят с коефициент на увеличение 1,6.

В зависимост от съотношението между толеранса на размера и толеранса на формата и местоположението има 3 нива на относителна геометрична точност:

A - нормално: зададено на 60% от толеранса T

B - увеличено - задайте 40%

C - висока - 25%

За цилиндрични повърхности:

Ниво A » 30% от T

Ниво B » 20% от T

По ниво C » 12,5% от T

Тъй като толерансът на формата на цилиндричната повърхност ограничава отклонението на радиуса, а не на целия диаметър.

Например: Æ 45 +0,062 в A:

На чертежите толерансът на формата и местоположението е посочен, когато те трябва да бъдат по-малки от допустимите отклонения на размера.

Ако няма индикация, те са ограничени до толеранса на самия размер.

Обозначения на чертежите

Допуските на формата и местоположението са посочени в правоъгълни кутии; в първата част от които - условен знак, във втората - числови стойности в mm; за допуски на местоположение основата е посочена в третата част.

Посоката на стрелката е нормална към повърхността. Дължината на измерване се посочва чрез знака за фракция "/". Ако не е посочено, контролът се извършва по цялата повърхност.

За толеранси на местоположение, които определят относителните позиции на повърхностите, е позволено да не се посочва основната повърхност:

Разрешено е да се посочи основната повърхност, ос без обозначение с буква:

Преди числовата стойност на толеранса, символът T, Æ, R, сфера,

ако полето на толеранса е дадено в термини от диаметър и радиус, сферата Æ, R ще се използва за ; (ос на отвора); .

Ако знакът не е посочен, толерансът се посочва в диаметралния израз.

За да позволите симетрия, използвайте знаците T (вместо Æ) или (вместо R).

Зависим толеранс, обозначен със знака.

След стойността на толеранса може да се посочи символ, като върху частта този символ показва областта, спрямо която се определя отклонението.

Нормиране на толерансите на формата и местоположението от най-лошите условия на монтаж.

Помислете за част, която контактува едновременно на няколко повърхности - прът.

В този случай,ако има голямо несъответствие между осите и на трите повърхности, сглобяването на продукта ще бъде трудно. Нека вземем най-лошия вариант за сглобяване - минималната празнина във връзката.

Да вземем за основна ос - оста на връзката.

След това изместване на оста .

В диаметрално отношение това е 0,025 мм.

Ако основата е оста на централните отвори, тогава изхождайки от подобни съображения.

Пример 2

Нека разгледаме стъпаловиден вал, контактуващ върху две повърхности, едната от които е работеща, а втората е предмет само на изискванията за събиране.

За най-лошите условия за сглобяване на части: и.

Да приемем, че частите на втулката и вала са идеално подравнени: При наличие на празнини и идеално подравнени части, пролуките са разпределени равномерно от двете страни и .

Фигурата показва, че частите ще бъдат сглобени, дори ако осите на стъпалата са изместени една спрямо друга с известно количество.

За и , т.е. допустимо изместване на осите в радиус. = e = 0,625 mm, или = 2e = 0,125 mm - в диаметър.

Пример 3

Помислете за болтово свързване на частите, когато се образуват пролуки между всяка от частите, които трябва да се съединят, и болта (тип А), докато пролуките са разположени в противоположни посоки. Оста на отвора в част 1 се измества от оста на болта наляво, а оста на част 2 се измества надясно.

Отвори за крепежни елементисе изпълняват с полета на толеранс H12 или H14 в съответствие с GOST 11284-75. Например, дупките могат да се използват под M10 (за прецизни връзки) и mm (за некритични връзки). С линеен луфт Изместване на осите в диаметрално отношение, стойността на позиционния толеранс = 0,5 mm, т.е. е равно на =.

Пример 4

Помислете за винтовата връзка на частите, когато празнината се образува само между една от частите и винта: (тип B)

На практика се въвеждат коефициенти на граница на точност: k

Където k \u003d 0,8 ... 1, ако монтажът се извършва без регулиране на позицията на частите;

k = 0,6 ... 0,8 (за шпилки k = 0,4) - по време на настройка.

Пример 5

Две плоски прецизни крайни повърхности са в контакт, S=0,005mm. Изисква се нормализиране на толеранса на плоскост. При наличие на крайни пролуки поради неплоскост (наклоните на частите се избират с помощта на пружини), възниква изтичане на работния флуид или газ, което намалява обемната ефективност на машините.

Стойността на отклонението за всяка от частите се определя като половината =. Може да се закръгли до цели числа \u003d 0,003 mm, т.к вероятността за по-лоши комбинации е доста незначителна.

Нормиране на толерансите на местоположение въз основа на вериги с размери.

Пример 6

Необходимо е да се нормализира толерансът на подравняване на монтажната ос 1 на технологичното устройство, за което толерансът на цялото устройство е зададен = 0,01.

Забележка: толерансът на цялото приспособление не трябва да надвишава 0,3 ... 0,5 от толеранса на продукта.

Помислете за факторите, влияещи върху подравняването на цялото устройство като цяло:

Несъответствие на повърхностите на детайлите 1;

Максимален луфт при свързването на части 1 и 2;

Несъответствие на отвора в 2 части и основната (монтирана в машината) повърхност.

Защото малка верига от размери (3 връзки) се използва за изчисляване на метода на пълна взаимозаменяемост; според който толерансът на затварящата връзка е равен на сбора от допуските на съставните връзки.

Толерансът на подравняване на цялото приспособление е равен на

За да елиминирате влиянието при свързване на 1 и 2 части, трябва да вземете преходно прилягане или намеса.

Ако бъде прието, тогава

Стойността се постига при операцията на фино смилане. Ако приспособлението има малки размери, тогава може да бъде осигурено с монтажна обработка.

Пример 7

Оразмеряване със стълба и верига за отвори за крепежни елементи.

Ако размерите са удължени под една линия, се прави верига.

TL D 1 = TL 1 + TL 2

TL D 2 = TL 2 + TL 3

TL D 3 = TL 3 + TL 4, т.е.

Точността на главната връзка винаги се влияе от само 2 връзки.

Ако TL 1 = TL 2 =

За нашия пример TL 1 = TL 2 = 0,5 (±0,25 мм)

Тази настройка ви позволява да увеличите допуските на съставните връзки, да намалите сложността на обработката.

Пример 9

Изчисляване на стойността на зависимия толеранс.

Ако са посочени например 2, това означава, че толерансът на центровка от 0,125 mm, определен за най-лошите условия на монтаж, може да бъде увеличен, ако образуваните празнини във връзката са по-големи от минималните.

Например, при производството на детайла са получени размери -39,95 mm; - 59,85 mm, възникват допълнителни празнини S add1 = d 1max - d 1izg = 39,975 - 39,95 = 0,025 mm и S add2 = d 2max - d 2izg = 59, 9 - 59,85 = 0,05 mm, осите могат допълнително да бъдат изместени една спрямо друга чрез e add \u003d e 1 dop + e 2 dop \u003d (в диаметрално отношение, от S 1 dop + S 2 dop = 0,075 мм).

Отклонението в диаметрално отношение, като се вземат предвид допълнителните хлабини, ще бъде: = 0,125 + S add1 + S add2 = 0,125 + 0,075 = 0,2 mm.

Пример 10

Искате да дефинирате зависим толеранс на подравняване за част от ръкава.

Символ: толеранс на подравняване на отвора Æ40H7 спрямо основната ос Æ60p6, толеранс зависи само от размерите на отвора.

Забележка: зависимостта е посочена само за онези повърхности, при които се образуват допълнителни хлабини в паса, за повърхности, свързани чрез прилягане с намеса или преход - допълнителните приплъзвания на осите са изключени.

По време на производството са получени следните размери: Æ40.02 и Æ60.04

T глава = 0,025 + S 1dop = 0,025 + (D огъване1 - D min1) = 0,025 + (40,02 - 40) = 0,045 mm(в диаметрално отношение)

Пример 11.

Определете стойността на разстоянието от центъра до центъра за детайла, ако размерите на отворите след производството са равни: D 1izg \u003d 10,55 mm; D 2izg \u003d 10,6 мм.

За първата дупка

T zav1 = 0,5 + (D 1izg - D 1min) = 0,5 + (10,55 - 10,5) = 0,55 mm или ± 0,275 mm

За втората дупка

T глава2 = 0,5 + (D 2огъване - D 2мин) = 0,5 + (10,6 - 10,5) = 0,6 мм или ± 0,3 мм

Отклонения в централното разстояние.