Odredite za svaku vrijednost parametra a. Jednačine sa parametrima

1. Zadatak.
Na kojim vrijednostima parametra a jednadžba ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ima tačno jedan korijen?

1. Odluka.
At a= 1 jednačina ima oblik 2 x= 0 i očigledno ima jedan korijen x= 0. Ako a Broj 1, dakle zadata jednačina je kvadratna i ima jedan korijen za one vrijednosti parametra za koje je diskriminant kvadratni trinom jednako nuli. Izjednačavanjem diskriminanta sa nulom dobijamo jednačinu za parametar a 4a 2 - 8a= 0, odakle a= 0 ili a = 2.

1. Odgovor: jednadžba ima jedan korijen u a O(0; 1; 2).

2. Zadatak.
Pronađite sve vrijednosti parametara a, za koji jednadžba ima dva različita korijena x 2 +4sjekira+8a+3 = 0.
2. Odluka.
Jednačina x 2 +4sjekira+8a+3 = 0 ima dva različita korijena ako i samo ako D = 16a 2 -4(8a+3) > 0. Dobijamo (nakon smanjenja za zajednički faktor 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, odakle

2. Odgovor:

a O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) I (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Zadatak.
To je poznato
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Grafikujte funkciju f 1 (x) at a = 1.
b) Po kojoj vrijednosti a grafovi funkcija f 1 (x) i f 2 (x) imaju jednu zajedničku tačku?

3. Rješenje.
3.a. Hajde da se transformišemo f 1 (x) na sledeći način
Grafikon ove funkcije a= 1 je prikazano na slici desno.
3.b. Odmah primjećujemo da su grafovi funkcija y = kx+b i y = sjekira 2 +bx+c (a br. 0) seku u jednoj tački ako i samo ako je kvadratna jednačina kx+b = sjekira 2 +bx+c ima jedan korijen. Korišćenje View f 1 of 3.a, izjednačavamo diskriminanta jednačine a = 6x-x 2 -6 na nulu. Iz jednačine 36-24-4 a= 0 dobijamo a= 3. Uradite isto sa jednačinom 2 x-a = 6x-x 2 -6 nalazi a= 2. Lako je provjeriti da ove vrijednosti parametara zadovoljavaju uslove problema. odgovor: a= 2 ili a = 3.

4. Zadatak.
Pronađite sve vrijednosti a, pod kojim je skup rješenja nejednakosti x 2 -2sjekira-3a i 0 sadrži segment .

4. Rješenje.
Prva koordinata vrha parabole f(x) = x 2 -2sjekira-3a je jednako x 0 = a. Iz svojstava kvadratne funkcije, uslov f(x) i 0 na intervalu je ekvivalentan ukupnosti tri sistema
ima tačno dva rješenja?

5. Odluka.
Prepišimo ovu jednačinu u obliku x 2 + (2a-2)x - 3a+7 = 0. Ovo je kvadratna jednačina, ima tačno dva rješenja ako je njena diskriminanta striktno veća od nule. Računajući diskriminanta, dobijamo da je uslov da imamo tačno dva korena ispunjenje nejednakosti a 2 +a-6 > 0. Rješavajući nejednakost, nalazimo a < -3 или a> 2. Očigledno, prva od nejednačina nema rješenja u prirodnim brojevima, a najmanje prirodno rješenje druge je broj 3.

5. Odgovor: 3.

6. Zadatak (10 ćelija)
Pronađite sve vrijednosti a, za koji je graf funkcije ili, nakon očiglednih transformacija, a-2 = | 2-a| . Posljednja jednačina je ekvivalentna nejednakosti a i 2.

6. Odgovor: a O ; ako su vrijednosti parametra a veće od jedan, tada će jednadžba imati dva korijena.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti jednadžbe s parametrom?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

1. Sistemi linearnih jednadžbi s parametrom

Sistemi linearnih jednačina sa parametrom rešavaju se istim osnovnim metodama kao i konvencionalni sistemi jednačina: metodom zamene, metodom sabiranja jednačina i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearnih sistema olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.

Primjer 1

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sistem jednačina nema rješenja.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Rješenje.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

1 način. Koristimo svojstvo: sistem nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). tada imamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ili sistem

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve jednadžbe a 2 = 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.

Odgovor: a = -2.

2 way. Rješavamo metodom zamjene.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Nakon uzimanja zajedničkog faktora y iz zagrada u prvoj jednačini, dobijamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sistem nema rješenja ako prva jednačina nema rješenja, tj

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Očigledno je da je a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uslov, daje se samo odgovor sa minusom.

odgovor: a = -2.

Primjer 2

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koji sistem jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

(8x + ay = 2,
(os + 2y = 1.

Rješenje.

Po svojstvu, ako je omjer koeficijenata na x i y isti, i jednak je omjeru slobodnih članova sistema, tada ima beskonačan broj rješenja (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je \u003d 4 odgovor u ovom primjeru.

odgovor: a = 4.

2. Sistemi racionalnih jednačina sa parametrom

Primjer 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Rješenje.

Pomnožite prvu jednačinu sistema sa 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Oduzmite drugu jednačinu od prve, dobijamo 5|h| = 4 – a. Ova jednačina će imati jedina odluka za a = 4. U drugim slučajevima, ova jednačina će imati dva rješenja (za a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primjer 4

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sistem jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

(x + y = a,
(y - x 2 = 1.

Rješenje.

Ovaj sistem ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, grafik druge jednačine sistema je parabola, podignuta duž ose Oy za jedan jedinični segment. Prva jednadžba definira skup linija paralelnih pravoj y = -x (slika 1). Slika jasno pokazuje da sistem ima rješenje ako je prava linija y \u003d -x + a tangenta na parabolu u tački s koordinatama (-0,5; 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu prave linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primjer 5

Koristeći metodu zamjene, saznajte pri kojoj vrijednosti parametra a sistem ima jedinstveno rješenje.

(sjekira - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Rješenje.

Izrazite y iz prve jednačine i zamijenite ga drugom:

(y \u003d ah - a - 1,
(sjekira + (a + 2) (os - a - 1) = 2.

Drugu jednačinu dovodimo u oblik kx = b, koja će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:

sjekira + a 2 x - a 2 - a + 2ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 može se predstaviti kao proizvod zagrada

(a + 2)(a + 1), a na lijevoj strani vadimo x iz zagrada:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Očigledno, a 2 + 3a ne smije biti jednako nuli, dakle,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.

odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primjer 6

Koristeći metodu grafičkog rješenja, odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sistem ima jedinstveno rješenje.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Rješenje.

Na osnovu uslova gradimo krug sa centrom na početku koordinata i radijusom od 3 jedinična segmenta, upravo ovaj krug postavlja prvu jednačinu sistema

x 2 + y 2 = 9. Druga jednačina sistema (y = |x| + a) je izlomljena linija. Korišćenjem slika 2 razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate bilo kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti sisteme jednačina?
Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. U matematici postoje zadaci u kojima je potrebno tražiti rješenja linearnih i kvadratnih jednadžbi u opštem obliku ili tražiti broj korijena koje jednačina ima u zavisnosti od vrijednosti parametra. Svi ovi zadaci sa parametrima.

Razmotrite sljedeće jednačine kao ilustrativan primjer:

\[y = kx,\] gdje je \ - varijable, \ - parametar;

\[y = kx + b,\] gdje je \ - varijable, \ - parametar;

\[ax^2 + bx + c = 0,\] gdje je \ varijabla, \[a, b, c\] je parametar.

Rješavanje jednadžbe sa parametrom znači, po pravilu, rješavanje beskonačnog skupa jednačina.

Međutim, pridržavajući se određenog algoritma, lako se mogu riješiti sljedeće jednadžbe:

1. Odredite "kontrolne" vrijednosti parametra.

2. Riješite originalnu jednačinu za [\x\] sa vrijednostima parametara navedenim u prvom paragrafu.

3. Riješite originalnu jednačinu za [\x\] sa vrijednostima parametara koje se razlikuju od onih odabranih u prvom paragrafu.

Recimo da je data sljedeća jednačina:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Nakon analize početnih podataka, jasno je da je \[\ge 0.\]

Pravilom modula \ izražavamo \

Odgovor: \ gdje \

Gdje mogu riješiti jednačinu s parametrom na mreži?

Jednačinu možete riješiti na našoj web stranici https://site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.