Napišite jednačinu prave kroz 2 tačke. Duž

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu koji se nalazi na ravni. Izvodimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu. Vizuelno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih za obrađeno gradivo.

Prije dobijanja jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije nepodudarne tačke na ravni moguće povući pravu liniju i samo jednu. Drugim riječima, dvije date tačke ravni određene su pravom linijom koja prolazi kroz ove tačke.

Ako je ravan data pravokutnim koordinatnim sistemom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravni. Postoji i veza sa usmjeravajućim vektorom prave linije.Ovi podaci su dovoljni da se sastavi jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke.

Razmotrimo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je sastaviti jednačinu prave a koja prolazi kroz dve neusklađene tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) koje se nalaze u Dekartovom koordinatnom sistemu.

U kanonskoj jednadžbi ravne linije na ravni, koja ima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , pravokutni koordinatni sistem O x y je specificiran ravnom linijom koja se s njom siječe u tački s koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vodećim vektorom a → = (a x , a y) .

Potrebno je sastaviti kanonsku jednačinu prave a, koja će prolaziti kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) .

Prava a ima usmjeravajući vektor M 1 M 2 → sa koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da seče tačke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe sa koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama tačaka M 1 koje leže na njima (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Razmotrite sliku ispod.

Nakon proračuna, zapisujemo parametarske jednačine prave linije u ravni koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pogledajmo pobliže nekoliko primjera.

Primjer 1

Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz 2 date tačke sa koordinatama M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Rješenje

Kanonska jednadžba za pravu liniju koja se seče u dve tačke sa koordinatama x 1 , y 1 i x 2 , y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Prema uvjetu zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeričke vrijednosti potrebno je zamijeniti u jednadžbi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odavde dobijamo da će kanonska jednačina imati oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ako je potrebno riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda za početak možete prijeći na kanonsku, jer je iz nje lakše doći do bilo koje druge.

Primjer 2

Compose opšta jednačina prava linija koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sistemu.

Rješenje

Prvo treba da zapišete kanonsku jednačinu date prave koja prolazi kroz date dve tačke. Dobijamo jednačinu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovodimo kanonsku jednačinu u željeni oblik, tada dobijamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

Primjeri takvih zadataka razmatrani su u školskim udžbenicima na časovima algebre. Školski zadaci su se razlikovali po tome što je poznata jednadžba ravne linije s koeficijentom nagiba, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b, na kojem jednačina y = k x + b definira pravu u sistemu O x y koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2 . Kada je x 1 = x 2 , tada nagib poprima vrijednost beskonačnosti, a prava linija M 1 M 2 definirana je općom nepotpunom jednačinom oblika x - x 1 = 0 .

Zato što su tačke M 1 i M 2 nalaze se na pravoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sistem jednačina y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b u odnosu na k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa takvim vrijednostima k i b, jednačina prave linije koja prolazi kroz date dvije tačke ima sljedeći oblik y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Pamtiti tako ogroman broj formula odjednom neće raditi. Da biste to učinili, potrebno je povećati broj ponavljanja u rješavanju problema.

Primjer 3

Napišite jednačinu prave linije sa nagibom koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rješenje

Da bismo riješili problem, koristimo formulu s nagibom koji ima oblik y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednačina odgovara pravoj liniji koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (- 7 , - 5) i M 2 (2 , 1) .

bodova M 1 i M 2 smještene na pravoj liniji, tada njihove koordinate treba da obrnu jednadžbu y = k x + b u tačnu jednakost. Odavde dobijamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Kombinirajmo jednačinu u sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene, to dobijamo

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Dobijamo da će željena jednačina koja prolazi kroz date tačke biti jednačina koja ima oblik y = 2 3 x - 1 3 .

Ovakav način rješavanja predodređuje utrošak velike količine vremena. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.

Pišemo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) , koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada pređimo na jednadžbu nagiba. Dobijamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dve date nepodudarne tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prava M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednačinu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednačine oblika x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ mogu postaviti pravu u koordinatnom sistemu O x y z koja prolazi kroz tačke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) sa usmjeravajućim vektorom a → = (a x, a y, a z) .

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , gdje prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat, parametarski x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Razmotrite sliku koja prikazuje 2 date tačke u prostoru i jednadžbu prave linije.

Primjer 4

Napišite jednačinu prave linije definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora, koja prolazi kroz date dve tačke sa koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5 ) .

Rješenje

Moramo pronaći kanonsku jednačinu. Pošto govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada prava prolazi kroz date tačke, željena kanonska jednačina će imati oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uslovu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz toga slijedi da se potrebne jednadžbe mogu napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka su data dva boda M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Zapisujemo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5): . Izražavajući odavde i zamenjujući je u jednačinu (5), dobijamo željenu jednačinu:

Ako a Ova jednačina se može prepisati u obliku koji se lakše pamti:

(6)

Primjer. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1.2) i M 2 (-2.3)

Rješenje. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave:

Ugao između dvije linije

Razmotrite dvije linije l 1 i l 2:

l 1: , , i

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Slika 4 pokazuje: .

Odavde , ili

Pomoću formule (7) može se odrediti jedan od uglova između linija. Drugi ugao je .

Primjer. Dvije prave su date jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. pronađite ugao između ovih linija.

Rješenje. Iz jednadžbi se može vidjeti da je k 1 = 2, a k 2 =-3. zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

. Dakle, ugao između ovih linija je .

Uslovi za paralelnost i okomitost dvije prave

Ako je ravno l 1 i l 2 onda su paralelne φ=0 i tgφ=0. iz formule (7) slijedi da , odakle k 2 \u003d k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih nagiba.

Ako je ravno l 1 i l 2 onda okomito φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Dakle, uslov da dvije prave budu okomite je da su njihovi nagibi recipročni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do prave Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se naći kao rješenje sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tgj= ; j = p/4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednačinu za visinu povučenu iz vrha C.

Nalazimo jednačinu stranice AB: ; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Udaljenost od tačke do prave određena je dužinom okomice spuštene od tačke do prave.

Ako je prava paralelna sa ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od tačke ALI na ravno h potrebno je ispustiti okomicu iz tačke ALI do horizontale h.

Razmotrite više složen primjer kada je linija u općem položaju. Neka je potrebno odrediti udaljenost od tačke M na ravno a opšti položaj.

Definicijski zadatak udaljenosti između paralelnih linija riješeno na sličan način kao i prethodni. Na jednoj pravoj se uzima tačka, a iz nje se povlači okomita na drugu pravu. Dužina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih linija.

Kriva drugog reda je prava definisana jednadžbom drugog stepena u odnosu na trenutne kartezijanske koordinate. U opštem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje A, B, C, D, E, F - realni brojevi i najmanje jedan od brojeva A 2 +B 2 +C 2 ≠0.

Krug

Centar kruga- ovo je mjesto tačaka u ravni jednako udaljenoj od tačke ravni C (a, b).

Krug je dat sljedećom jednačinom:

Gdje su x, y koordinate proizvoljne tačke na kružnici, R je polumjer kružnice.

Znak jednačine kružnice

1. Ne postoji član sa x, y

2. Koeficijenti na x 2 i y 2 su jednaki

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto tačaka u ravni, a zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni naziva se žarište (konstantna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a je glavna poluosa elipse

b je mala poluosa elipse

Elipsa ima 2 ose simetrije OX i OY. Osi simetrije elipse su njene ose, tačka njihovog preseka je centar elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta naziva se fokusna osa. Tačka preseka elipse sa osama je vrh elipse.

Omjer kompresije (istezanja): ε = c/a- ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, to je elipsa manje produžena duž žižne ose.

Ako centri elipse nisu u centru S(α, β)

Hiperbola

Hiperbola naziva se lokus tačaka u ravni, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka iz dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonska jednadžba hiperbole

Hiperbola ima 2 ose simetrije:

a - realna poluosa simetrije

b - imaginarna poluosa simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

parabola je lokus tačaka u ravni jednako udaljenoj od date tačke F, koja se zove fokus, i date prave, koja se zove direktrisa.

Kanonička parabola jednadžba:

Y 2 \u003d 2px, gdje je p udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), tada je jednadžba parabole (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ako se fokalna os uzme kao y-osa, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 = 2qy

Razmislite kako napisati jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke, koristeći primjere.

Primjer 1

Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(-3; 9) i B(2;-1).

1 način - sastavit ćemo jednadžbu ravne linije sa nagibom.

Jednačina prave linije sa nagibom ima oblik . Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednadžbu prave (x= -3 i y=9 - u prvom slučaju, x=2 i y= -1 - u drugom), dobijamo sistem jednačina , iz čega nalazimo vrijednosti k i b:

Sabirajući član po član 1. i 2. jednačinu, dobijamo: -10=5k, odakle je k= -2. Zamjenom k= -2 u drugu jednačinu, nalazimo b: -1=2 (-2)+b, b=3.

Dakle, y= -2x+3 je željena jednačina.

2 način - sastavit ćemo opštu jednačinu prave linije.

Opća jednadžba prave linije ima oblik . Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednačinu dobijamo sistem:

Pošto je broj nepoznanica veći od broja jednačina, sistem nije rješiv. Ali moguće je izraziti sve varijable kroz jednu. Na primjer, kroz b.

Množenjem prve jednačine sistema sa -1 i dodavanjem člana po član drugoj:

dobijamo: 5a-10b=0. Dakle, a=2b.

Zamenimo primljeni izraz u drugu jednačinu: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c=-3b.
Zamijenite a=2b, c= -3b u jednačinu ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Ostaje podijeliti oba dijela sa b:

Opća jednačina ravne linije lako se svodi na jednadžbu ravne linije s nagibom:

3 način - sastavit ćemo jednačinu prave linije koja prolazi kroz 2 tačke.

Jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije tačke je:

Zamijenite u ovoj jednadžbi koordinate tačaka A(-3; 9) i B(2;-1)

(tj. x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

i pojednostavi:

odakle je 2x+y-3=0.

U školskom predmetu najčešće se koristi jednačina prave linije sa koeficijentom nagiba. Ali najlakši način je da se izvede i koristi formula za jednadžbu prave linije koja prolazi kroz dvije tačke.

Komentar.

Ako se, prilikom zamjene koordinata datih tačaka, jedan od nazivnika jednačine

ispada da je jednaka nuli, tada se željena jednačina dobija izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Primjer 2

Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz dvije tačke C(5; -2) i D(7; -2).

Zamijenite u jednadžbu prave linije koja prolazi kroz 2 tačke koordinate tačaka C i D.

Neka su data dva boda M(X 1 ,At 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.

Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

At – Y 1 = K(X-x 1),

Gdje K je nepoznati nagib.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Odavde možete pronaći nagib ove linije:

,

Ili nakon konverzije

(1.14)

Formula (1.14) definira Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).

U konkretnom slučaju kada su tačke M(A, 0), N(0, B), ALI ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) poprima jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Jednačina prave linije u segmentima, ovdje ALI i B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Napišite jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14) jednačina željene prave ima oblik

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu

3X + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Koordinate tačke preseka pravih pronalazimo zajedničkim rešavanjem ovih jednačina

Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu nalazimo vrijednost ordinate At:

Sada napišimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke (2, 1) i :

ili .

Stoga ili -5( Y – 1) = X – 2.

Konačno, dobijamo jednačinu željene prave linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Naći jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobijamo jednačinu

To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka se vidi da apscise obe tačke imaju istu vrednost. Dakle, tražena prava je paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe ravne linije prema formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Razmotrimo druge načine postavljanja prave linije na ravni.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i poenta M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).

Slika 1.7

Označite M(X, Y) proizvoljna tačka na pravoj L. Vektori i Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti za ove vektore, dobijamo ili ALI(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor . Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao

Oh + Wu + OD= 0, gdje OD = –(ALIX 0 + By 0), (1.16),

Gdje ALI i AT su koordinate vektora normale.

Dobijamo opštu jednačinu prave u parametarskom obliku.

2. Prava na ravni se može definirati na sljedeći način: neka vektor različit od nule bude paralelan datoj pravoj L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Opet, uzmite proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearno.

Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T je proizvoljan broj, koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Pravo. Izuzmimo iz ovih jednačina parametar T:

Ove jednačine se mogu napisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave linije. Vektorski poziv Vektor pravca pravca .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor , budući da , tj.

Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2At– 8 = 0.

Rješenje . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(At– 1) = 0 ili 3 X + 2g- 5 \u003d 0. Dobili smo jednadžbu željene prave linije.