Jednadžba ravni koja prolazi kroz datu tačku okomita na datu pravu. Opća jednadžba ravni - opis, primjeri, rješavanje problema Napišite jednadžbu ravni koja prolazi kroz tačku okomito

Ako su svi brojevi A, B, C i D različiti od nule, onda se opšta jednačina ravnine naziva kompletan. Inače, naziva se opšta jednačina ravni nepotpuno.

Razmotrimo sve moguće opšte nekompletne jednačine ravnine u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru.

Neka je D = 0, tada imamo opštu nepotpunu jednačinu ravni oblika . Ova ravan u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz prolazi kroz ishodište. Zaista, kada zamenimo koordinate tačke u rezultirajuću nepotpunu jednačinu ravni, dolazimo do identiteta .

Za , ili , ili imamo opće nepotpune jednadžbe ravnina , ili , ili respektivno. Ove jednadžbe definiraju ravnine koje su paralelne s koordinatnim ravninama Oxy , Oxz i Oyz (pogledajte članak Uvjet paralelizma za ravnine) i prolaze kroz tačke i shodno tome. At. Od tačke pripada ravni po uslovu, tada koordinate ove tačke moraju zadovoljiti jednačinu ravni, odnosno jednakost mora biti tačna. Odavde nalazimo . Dakle, željena jednačina ima oblik .

Predstavljamo drugi način rješavanja ovog problema.

Pošto je ravan čiju opštu jednačinu treba da sastavimo paralelna sa Oyz ravninom, onda možemo uzeti vektor normale Oyz ravni kao njen normalni vektor. Normalni vektor koordinatna ravan Oyz je koordinatni vektor. Sada znamo vektor normale ravnine i tačku ravnine, stoga možemo zapisati njenu opštu jednačinu (sličan problem smo rešili u prethodnom pasusu ovog članka):
, tada njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačinu ravnine. Dakle, jednakost gde nalazimo. Sada možemo napisati željenu opštu jednačinu ravnine, ona ima oblik .

odgovor:

Bibliografija.

• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Viša matematika. Prvi tom: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analitička geometrija.

Svojstva prave linije u euklidskoj geometriji.

Postoji beskonačno mnogo pravih koje se mogu povući kroz bilo koju tačku.

Kroz bilo koje dvije tačke koje se ne poklapaju, postoji samo jedna prava linija.

Dvije nepodudarne prave u ravni se ili seku u jednoj tački, ili su

paralelno (slijedi iz prethodnog).

Postoje tri opcije u 3D prostoru. relativnu poziciju dvije ravne linije:

• linije se seku;

• ravne su paralelne;

• prave se seku.

Pravo linija- algebarska kriva prvog reda: u Dekartovom koordinatnom sistemu prava linija

je dato na ravni jednačinom prvog stepena (linearna jednačina).

Opšta jednačina prave linije.

Definicija. Bilo koja linija u ravni može se dati jednačinom prvog reda

Ah + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nije jednako nuli u isto vrijeme. Ova jednačina prvog reda se zove general

jednačina prave linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i OD Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- prava paralelna sa osom Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- prava paralelna sa osom OU

. B = C = 0, A ≠ 0- linija se poklapa sa osom OU

. A = C = 0, B ≠ 0- linija se poklapa sa osom Oh

Jednačina prave linije može se predstaviti u različitim oblicima u zavisnosti od bilo koje date

početni uslovi.

Jednadžba prave linije po tački i vektora normale.

Definicija. U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu, vektor sa komponentama (A, B)

okomito na pravu datu jednacinom

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Rješenje. Sastavimo na A = 3 i B = -1 jednadžbu prave linije: 3x - y + C = 0. Da pronađemo koeficijent C

u rezultirajući izraz zamjenjujemo koordinate date tačke A. Dobijamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: željena jednadžba: 3x - y - 1 \u003d 0.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Neka su u prostoru date dvije tačke M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M2 (x 2, y 2 , z 2), onda jednačina prave linije,

prolazeći kroz ove tačke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba postaviti jednak nuli. Na

ravni, gore napisana jednačina prave je pojednostavljena:

ako x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako x 1 = x 2 .

Razlomak = k pozvao faktor nagiba ravno.

Primjer. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke A(1, 2) i B(3, 4).

Rješenje. Primjenom gornje formule dobijamo:

Jednadžba prave linije po tački i nagibu.

Ako je opšta jednačina prave linije Ah + Wu + C = 0 dovesti u formu:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednačina zove

jednačina prave linije sa nagibom k.

Jednadžba prave linije na tački i usmjerivača.

Po analogiji sa tačkom koja razmatra jednadžbu prave linije kroz vektor normale, možete ući u zadatak

prava linija kroz tačku i vektor pravca prave linije.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1 , α 2), čije komponente zadovoljavaju uslov

Aα 1 + Bα 2 = 0 pozvao vektor smjera prave linije.

Ah + Wu + C = 0.

Primjer. Naći jednačinu prave sa vektorom pravca (1, -1) i koja prolazi kroz tačku A(1, 2).

Rješenje. Tražićemo jednadžbu željene prave linije u obliku: Ax + By + C = 0. prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti uslove:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednačina prave linije ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

at x=1, y=2 dobijamo C/ A = -3, tj. željena jednačina:

x + y - 3 = 0

Jednačina prave linije u segmentima.

Ako je u opštoj jednačini prave Ah + Wu + C = 0 C≠0, onda, dijeljenjem sa -C, dobijamo:

ili , gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata tačke preseka

ravno sa osovinom Oh, a b- koordinata tačke preseka linije sa osom OU.

Primjer. Daje se opšta jednačina prave linije x - y + 1 = 0. Naći jednačinu ove prave u segmentima.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Normalna jednačina prave linije.

Ako obje strane jednačine Ah + Wu + C = 0 podijeliti brojem , koji se zove

normalizujući faktor, onda dobijamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednačina prave linije.

Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0.

R- dužina okomice spuštena od početka do prave,

a φ - ugao koji formira ova okomita sa pozitivnim smjerom ose Oh.

Primjer. S obzirom na opštu jednačinu prave linije 12x - 5y - 65 = 0. Potreban za pisanje različitih vrsta jednačina

ovu pravu liniju.

Jednačina ove prave linije u segmentima:

Jednačina ove prave sa nagibom: (podijeliti sa 5)

Jednačina prave linije:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p=5.

Treba napomenuti da se ne može svaka prava linija predstaviti jednadžbom u segmentima, na primjer, prave,

paralelno sa osama ili prolazeći kroz ishodište.

Ugao između linija na ravni.

Definicija. Ako su data dva reda y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, onda oštri ugao između ovih redova

će se definisati kao

Dvije prave su paralelne ako k 1 = k 2. Dvije prave su okomite

ako k 1 \u003d -1 / k 2 .

Teorema.

Direktno Ah + Wu + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelni kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 \u003d λB. Ako takođe S 1 \u003d λS, tada se linije poklapaju. Koordinate tačke preseka dve prave

nalaze se kao rješenje sistema jednačina ovih linija.

Jednačina prave linije koja prolazi dati poen okomito na ovu pravu.

Definicija. Prava koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1) i okomito na pravu y = kx + b

predstavljena jednačinom:

Udaljenost od tačke do prave.

Teorema. Ako je dat poen M(x 0, y 0), zatim udaljenost do linije Ah + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Pusti poentu M 1 (x 1, y 1)- osnova okomice ispuštena iz tačke M za dato

direktno. Zatim udaljenost između tačaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i 1 može se naći kao rješenje sistema jednačina:

Druga jednačina sistema je jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku M 0 okomito

zadata linija. Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Ovaj članak daje ideju o tome kako napisati jednadžbu za ravan koja prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru okomito na datu pravu. Analizirajmo gornji algoritam na primjeru rješavanja tipičnih problema.

Pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru okomito na datu pravu

Neka su u njemu dati trodimenzionalni prostor i pravougaoni koordinatni sistem O x y z. Date su i tačka M 1 (x 1, y 1, z 1), prava a i ravan α koja prolazi kroz tačku M 1 okomita na pravu a. Potrebno je zapisati jednačinu ravni α.

Pre nego što pređemo na rešavanje ovog problema, podsetimo se teoreme geometrije iz programa za 10. - 11. razred, koja glasi:

Definicija 1

Jedna ravan prolazi kroz datu tačku u trodimenzionalnom prostoru i okomita je na datu pravu.

Sada razmislite kako pronaći jednadžbu ove pojedinačne ravni koja prolazi kroz početnu tačku i okomita na datu pravu.

Opću jednačinu ravni je moguće napisati ako su poznate koordinate tačke koja pripada ovoj ravni, kao i koordinate vektora normale ravnine.

Uslovom zadatka date su nam koordinate x 1, y 1, z 1 tačke M 1 kroz koju prolazi ravan α. Ako odredimo koordinate vektora normale ravni α, tada ćemo moći napisati željenu jednačinu.

Normalni vektor ravni α, pošto je različit od nule i leži na pravoj a, okomito na ravan α, biće bilo koji usmeravajući vektor prave a. Dakle, problem nalaženja koordinata vektora normale ravni α transformiše se u problem određivanja koordinata usmeravajućeg vektora prave a .

Određivanje koordinata usmjeravajućeg vektora prave a može se izvršiti različitim metodama: ovisi o varijanti postavljanja prave a u početnim uvjetima. Na primjer, ako je dat red a u iskazu problema kanonske jednačine vrsta

x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z

ili parametarske jednadžbe oblika:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ

tada će usmjeravajući vektor prave linije imati koordinate a x, a y i a z. U slučaju kada je prava a predstavljena sa dve tačke M 2 (x 2, y 2, z 2) i M 3 (x 3, y 3, z 3), tada će koordinate vektora pravca biti određene kao (x3 - x2, y3 - y2 , z3 – z2).

Definicija 2

Algoritam za pronalaženje jednačine ravnine koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu:

Odredite koordinate vektora usmjeravanja prave a: a → = (a x, a y, a z) ;

Koordinate vektora normale ravni α definiramo kao koordinate usmjeravajućeg vektora prave a:

n → = (A , B , C) , gdje je A = a x , B = a y , C = a z;

Pišemo jednačinu ravnine koja prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i ima normalan vektor n→=(A, B, C) u obliku A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Ovo će biti tražena jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku u prostoru i okomita je na datu pravu.

Rezultirajuća opšta jednačina ravnine: A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) \u003d 0 omogućava dobivanje jednadžbe ravnine u segmentima ili normalne jednačine ravnine.

Rešimo neke primjere koristeći gore dobiveni algoritam.

Primjer 1

Zadata je tačka M 1 (3, - 4, 5) kroz koju prolazi ravan, a ova ravan je okomita na koordinatnu pravu O z.

Rješenje

vektor smjera koordinatne linije O z bit će koordinatni vektor k ⇀ = (0 , 0 , 1) . Dakle, vektor normale ravni ima koordinate (0 , 0 , 1) . Napišimo jednačinu ravni koja prolazi kroz datu tačku M 1 (3, - 4, 5) čiji vektor normale ima koordinate (0, 0, 1):

A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (x - 3) + 0 (y - (- 4)) + 1 (z - 5) = 0 ⇔ z - 5 = 0

odgovor: z - 5 = 0 .

Razmotrite još jedan način rješavanja ovog problema:

Primjer 2

Ravan koja je okomita na pravu O z će biti data nepotpunom opštom jednačinom ravnine oblika C z + D = 0 , C ≠ 0 . Definirajmo vrijednosti C i D: one za koje ravan prolazi kroz datu tačku. Zamenimo koordinate ove tačke u jednačinu C z + D = 0 , dobićemo: C · 5 + D = 0 . One. brojevi, C i D su povezani sa - D C = 5 . Uzimajući C \u003d 1, dobijamo D \u003d - 5.

Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu C z + D = 0 i dobijete traženu jednačinu za ravan okomitu na pravu O z i koja prolazi kroz tačku M 1 (3, - 4, 5) .

Izgledaće ovako: z - 5 = 0.

odgovor: z - 5 = 0 .

Primjer 3

Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište i okomita na pravu x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

Rješenje

Na osnovu uslova zadatka, može se tvrditi da se vodeći vektor date prave linije može uzeti kao normalni vektor n → date ravni. Dakle: n → = (- 3 , - 7 , 2) . Napišimo jednadžbu ravnine koja prolazi kroz tačku O (0, 0, 0) i ima normalni vektor n → \u003d (- 3, - 7, 2) :

3 (x - 0) - 7 (y - 0) + 2 (z - 0) = 0 ⇔ - 3 x - 7 y + 2 z = 0

Dobili smo traženu jednačinu za ravan koja prolazi kroz ishodište okomito na datu pravu.

odgovor:- 3x - 7y + 2z = 0

Primjer 4

Dat pravougaoni koordinatni sistem O x y z u trodimenzionalnom prostoru, sadrži dve tačke A (2 , - 1 , - 2) i B (3 , - 2 , 4) . Ravan α prolazi kroz tačku A okomitu na pravu AB. Potrebno je sastaviti jednačinu ravni α u segmentima.

Rješenje

Ravan α je okomita na pravu A B, tada će vektor A B → biti vektor normale ravni α. Koordinate ovog vektora određuju se kao razlika između odgovarajućih koordinata tačaka B (3, - 2, 4) i A (2, - 1, - 2):

A B → = (3 - 2 , - 2 - (- 1) , 4 - (- 2)) ⇔ A B → = (1 , - 1 , 6)

Opća jednačina ravnine će se napisati u sljedećem obliku:

1 x - 2 - 1 y - (- 1 + 6 (z - (- 2)) = 0 ⇔ x - y + 6 z + 9 = 0

Sada sastavljamo željenu jednačinu ravnine u segmentima:

x - y + 6 z + 9 = 0 ⇔ x - y + 6 z = - 9 ⇔ x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

odgovor:x - 9 + y 9 + z - 3 2 = 1

Također treba napomenuti da postoje problemi čiji je zahtjev da se napiše jednačina za ravan koja prolazi kroz datu tačku i okomita je na dvije date ravni. Općenito, rješenje ovog problema je pisanje jednadžbe za ravan koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu, jer dve ravni koje se seku definišu pravu liniju.

Primjer 5

Dat je pravougaoni koordinatni sistem O x y z, u njemu je tačka M 1 (2, 0, - 5) . Date su i jednadžbe dvije ravni 3 x + 2 y + 1 = 0 i x + 2 z - 1 = 0, koje se sijeku duž prave a . Potrebno je sastaviti jednačinu za ravan koja prolazi tačkom M 1 okomito na pravu a.

Rješenje

Odredimo koordinate usmjeravajućeg vektora prave a . On je okomit i na vektor normale n 1 → (3 , 2 , 0) ravni n → (1 , 0 , 2) i na vektor normale 3 x + 2 y + 1 = 0 u ravni x + 2 z - 1 = 0 .

Tada usmjeravajući vektor α → prava a uzimamo vektorski proizvod vektora n 1 → i n 2 → :

a → = n 1 → × n 2 → = i → j → k → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 k → ⇒ a → = (4 , - 6 , - 2 )

Tako će vektor n → = (4, - 6, - 2) biti vektor normale ravni okomite na pravu a. Zapisujemo željenu jednačinu ravnine:

4 (x - 2) - 6 (y - 0) - 2 (z - (- 5)) = 0 ⇔ 4 x - 6 y - 2 z - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 x - 3 y - z - 9 = 0

odgovor: 2 x - 3 y - z - 9 = 0

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Može se specificirati na različite načine (jedna tačka i vektor, dve tačke i vektor, tri tačke itd.). Imajući to na umu da jednačina ravni može imati različite oblike. Takođe, pod određenim uslovima, ravni mogu biti paralelne, okomite, ukrštane, itd. O tome ćemo govoriti u ovom članku. Naučit ćemo kako napisati opštu jednačinu ravnine i ne samo.

Normalni oblik jednačine

Recimo da postoji prostor R 3 koji ima pravougaoni koordinatni sistem XYZ. Postavimo vektor α, koji će biti oslobođen iz početne tačke O. Kroz kraj vektora α povlačimo ravan P koja će biti okomita na nju.

Označimo sa P proizvoljnu tačku Q=(x, y, z). Radijus vektor tačke Q označićemo slovom p. Dužina vektora α je p=IαI i Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Ovo je jedinični vektor koji pokazuje bočno, baš kao i vektor α. α, β i γ su uglovi koji se formiraju između vektora Ʋ i pozitivnih pravaca prostornih osa x, y, z, redom. Projekcija neke tačke QϵP na vektor Ʋ je konstantna vrijednost jednaka r: (r,Ʋ) = r(r≥0).

Ova jednadžba ima smisla kada je p=0. Jedino što će ravan P u ovom slučaju preseći tačku O (α=0), koja je ishodište, a jedinični vektor Ʋ, oslobođen iz tačke O, biće okomit na P, bez obzira na njegov pravac, što znači da je vektor Ʋ određen sa znakom tačno. Prethodna jednačina je jednačina naše P ravni, izražena u vektorskom obliku. Ali u koordinatama to će izgledati ovako:

P je ovdje veće ili jednako 0. Pronašli smo jednačinu ravni u prostoru u njenom normalnom obliku.

Opća jednačina

Ako pomnožimo jednačinu u koordinatama bilo kojim brojem koji nije jednak nuli, dobićemo jednačinu ekvivalentnu datoj, koja određuje tu istu ravan. To će izgledati ovako:

Ovdje su A, B, C brojevi koji su istovremeno različiti od nule. Ova jednačina se naziva opšta ravan jednačina.

Jednačine u ravni. Posebni slučajevi

Jednačina u opštem obliku može se modifikovati u prisustvu dodatnih uslova. Hajde da razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent A 0. To znači da je data ravan paralelna datoj osi Ox. U ovom slučaju, oblik jednačine će se promijeniti: Vu+Cz+D=0.

Slično, oblik jednačine će se promijeniti pod sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, tada će se jednadžba promijeniti u Ax + Cz + D = 0, što će ukazati na paralelizam s Oy osom.
• Drugo, ako je S=0, onda se jednačina transformiše u Ah+Vu+D=0, što će ukazati na paralelizam sa datom osom Oz.
• Treće, ako je D=0, jednačina će izgledati kao Ax+By+Cz=0, što će značiti da ravan seče O (početak).
• Četvrto, ako je A=B=0, tada će se jednačina promijeniti u Cz+D=0, što će se pokazati paralelnim sa Oxy.
• Peto, ako je B=C=0, onda jednačina postaje Ax+D=0, što znači da je ravan na Oyz paralelna.
• Šesto, ako je A=C=0, tada će jednadžba poprimiti oblik Vu+D=0, odnosno izvestiće paralelizam Oxz.

Tip jednadžbe u segmentima

U slučaju kada su brojevi A, B, C, D različiti od nule, oblik jednačine (0) može biti sljedeći:

x/a + y/b + z/c = 1,

u kojem a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Dobijamo kao rezultat Vrijedi napomenuti da će ova ravnina presjeći os Ox u tački s koordinatama (a,0,0), Oy - (0,b,0) i Oz - (0,0,c) .

Uzimajući u obzir jednačinu x/a + y/b + z/c = 1, lako je vizuelno predstaviti položaj ravni u odnosu na dati koordinatni sistem.

Normalne vektorske koordinate

Vektor normale n na ravan P ima koordinate koje su koeficijenti opšte jednačine date ravni, odnosno n (A, B, C).

Da bi se odredile koordinate normale n, dovoljno je poznavati opštu jednačinu date ravni.

Kada se koristi jednačina u segmentima, koja ima oblik x/a + y/b + z/c = 1, kao i kada se koristi opšta jednačina, mogu se napisati koordinate bilo kog vektora normale date ravni: (1 /a + 1/b + 1/ sa).

Treba napomenuti da normalni vektor pomaže u rješavanju raznih problema. Najčešći su zadaci koji se sastoje u dokazivanju okomitosti ili paralelnosti ravni, zadaci u pronalaženju uglova između ravni ili uglova između ravnina i pravih.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama tačke i vektora normale

Vektor različit od nule n okomit na datu ravan naziva se normalnim (normalnim) za datu ravan.

Pretpostavimo da su u koordinatnom prostoru (pravougaoni koordinatni sistem) Oxyz dati:

• tačka Mₒ sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ);
• nulti vektor n=A*i+B*j+C*k.

Potrebno je sastaviti jednačinu za ravan koja će prolaziti kroz tačku Mₒ okomito na normalu n.

U prostoru biramo bilo koju proizvoljnu tačku i označavamo je sa M (x y, z). Neka je vektor radijusa bilo koje tačke M (x, y, z) r=x*i+y*j+z*k, a vektor radijusa tačke Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Tačka M pripadaće datoj ravni ako je vektor MₒM okomit na vektor n. Zapisujemo uslov ortogonalnosti koristeći skalarni proizvod:

[MₒM, n] = 0.

Budući da je MₒM = r-rₒ, vektorska jednačina ravnine će izgledati ovako:

Ova jednačina može poprimiti drugi oblik. Za to se koriste svojstva skalarnog proizvoda, a lijeva strana jednadžbe se transformira. = - . Ako se označi kao c, tada će se dobiti sljedeća jednadžba: - c = 0 ili \u003d c, koja izražava konstantnost projekcija na normalni vektor vektora radijusa datih tačaka koje pripadaju ravni.

Sada možete dobiti koordinatni oblik pisanja vektorske jednačine naše ravni = 0. Pošto je r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, i n = A*i+B *j+C*k, imamo:

Ispada da imamo jednadžbu za ravan koja prolazi kroz tačku okomitu na normalu n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Pogled na jednadžbu ravnine prema koordinatama dvije tačke i vektora kolinearnog ravni

Definiramo dvije proizvoljne tačke M′ (x′,y′,z′) i M″ (x″,y″,z″), kao i vektor a (a′,a″,a‴).

Sada možemo sastaviti jednačinu za datu ravan, koja će prolaziti kroz dostupne tačke M′ i M″, kao i bilo koju tačku M sa koordinatama (x, y, z) paralelnim datom vektoru a.

U ovom slučaju, vektori M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) i M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) moraju biti komplanarni sa vektorom a=(a′,a″,a‴), što znači da je (M′M, M″M, a)=0.

Dakle, naša jednačina ravnine u prostoru će izgledati ovako:

Vrsta jednačine ravnine koja seče tri tačke

Pretpostavimo da imamo tri tačke: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), koje ne pripadaju istoj pravoj liniji. Potrebno je napisati jednačinu ravni koja prolazi kroz date tri tačke. Teorija geometrije tvrdi da ova vrsta ravni zaista postoji, samo što je jedina i neponovljiva. Pošto ova ravan siječe tačku (x′, y′, z′), oblik njene jednadžbe će biti sljedeći:

Ovdje se A, B, C razlikuju od nule u isto vrijeme. Takođe, data ravan seče još dve tačke: (x″,y″,z″) i (x‴,y‴,z‴). U tom smislu moraju biti ispunjeni sljedeći uslovi:

Sada možemo sastaviti homogeni sistem sa nepoznatim u, v, w:

U našem slučaj x,y ili z je proizvoljna tačka koja zadovoljava jednačinu (1). S obzirom na jednačinu (1) i sistem jednačina (2) i (3), sistem jednačina prikazan na gornjoj slici zadovoljava vektor N (A, B, C), koji nije trivijalan. Zbog toga je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Jednačina (1) koju smo dobili je jednačina ravnine. Prolazi tačno kroz 3 tačke i to je lako provjeriti. Da bismo to učinili, moramo proširiti našu determinantu na elemente u prvom redu. Iz postojećih svojstava determinante proizilazi da naša ravan istovremeno siječe tri početno date tačke (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Odnosno, riješili smo zadatak koji je pred nama.

Diedarski ugao između ravnina

Diedarski ugao je prostorni geometrijska figura, formiran od dvije poluravnine koje izlaze iz jedne prave linije. Drugim riječima, ovo je dio prostora koji je ograničen ovim poluravnima.

Recimo da imamo dvije ravni sa sljedećim jednadžbama:

Znamo da su vektori N=(A,B,C) i N¹=(A¹,B¹,C¹) okomiti prema datim ravnima. U tom smislu, ugao φ između vektora N i N¹ jednak je uglu (diedralu), koji se nalazi između ovih ravni. Skalarni proizvod ima oblik:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

upravo zato

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da je 0≤φ≤π.

Zapravo, dvije ravni koje se seku formiraju dva (diedralna) ugla: φ 1 i φ 2 . Njihov zbir je jednak π (φ 1 + φ 2 = π). Što se tiče njihovih kosinusa, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali se razlikuju po predznacima, odnosno cos φ 1 =-cos φ 2. Ako u jednačini (0) zamijenimo A, B i C brojevima -A, -B i -C, redom, tada će jednačina koju dobijemo odrediti istu ravan, jedini ugao φ u jednačini cos φ= NN 1 /|N||N 1 | će biti zamijenjen sa π-φ.

Jednačina okomite ravni

Ravnine se nazivaju okomite ako je ugao između njih 90 stepeni. Koristeći gore opisani materijal, možemo pronaći jednadžbu ravnine koja je okomita na drugu. Recimo da imamo dvije ravni: Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Možemo reći da će oni biti okomiti ako je cosφ=0. To znači da je NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Jednačina paralelne ravni

Paralelne su dvije ravni koje ne sadrže zajedničke tačke.

Uslov (njihove jednačine su iste kao u prethodnom paragrafu) je da su vektori N i N¹, koji su okomiti na njih, kolinearni. To znači da su ispunjeni sljedeći uvjeti proporcionalnosti:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Ako su uslovi proporcionalnosti prošireni - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

ovo ukazuje da se ove ravni poklapaju. To znači da jednačine Ax+By+Cz+D=0 i A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 opisuju jednu ravan.

Udaljenost do ravnine od tačke

Recimo da imamo ravan P, koja je data jednačinom (0). Potrebno je pronaći udaljenost do nje od tačke sa koordinatama (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Da biste to učinili, trebate dovesti jednadžbu ravnine P u normalan oblik:

(ρ,v)=p (p≥0).

U ovom slučaju, ρ(x,y,z) je vektor radijusa naše tačke Q, koja se nalazi na P, p je dužina okomice P koja je oslobođena od nulte tačke, v je jedinični vektor, koji je nalazi se u pravcu a.

Razlika ρ-ρº radijus vektora neke tačke Q=(x, y, z) koja pripada P, kao i vektor radijusa date tačke Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednostčija je projekcija na v jednaka udaljenosti d, koja se mora naći od Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) do P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, ali

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =r-(ρ 0 ,v).

Tako se ispostavilo

d=|(ρ 0 ,v)-p|.

Tako ćemo naći apsolutnu vrijednost rezultirajućeg izraza, odnosno željeni d.

Koristeći jezik parametara, dobijamo očigledno:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Ako je data tačka Q 0 na drugoj strani ravni P, kao i ishodište, onda je između vektora ρ-ρ 0 i v prema tome:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

U slučaju kada se tačka Q 0, zajedno sa ishodištem, nalazi na istoj strani od P, tada je stvoreni ugao oštar, odnosno:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Kao rezultat toga, ispada da je u prvom slučaju (ρ 0 ,v)> r, u drugom (ρ 0 ,v)<р.

Tangentna ravan i njena jednadžba

Tangentna ravan na površinu u tački tangente Mº je ravan koja sadrži sve moguće tangente na krivulje povučene kroz ovu tačku na površini.

S ovim oblikom jednadžbe površine F (x, y, z) = 0, jednadžba tangentne ravnine u tački tangente Mº (xº, yº, zº) izgledat će ovako:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Ako zadate površinu u eksplicitnom obliku z=f (x, y), tada će tangentna ravan biti opisana jednadžbom:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Presjek dvije ravni

U koordinatnom sistemu (pravougaonom) nalazi se Oxyz, date su dve ravni P′ i P″ koje se seku i ne poklapaju. Pošto je bilo koja ravan koja se nalazi u pravougaonom koordinatnom sistemu određena opštom jednačinom, pretpostavićemo da su P′ i P″ date jednačinama A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x +B″y+ S″z+D″=0. U ovom slučaju imamo normalu n′ (A′, B′, C′) P′ ravni i normalu n″ (A″, B″, C″) P″ ravni. Pošto naše ravni nisu paralelne i ne poklapaju se, ovi vektori nisu kolinearni. Koristeći jezik matematike, ovaj uslov možemo napisati na sljedeći način: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Neka prava koja leži na presjeku P′ i P″ bude označena slovom a, u ovom slučaju a = P′ ∩ P″.

a je prava linija koja se sastoji od skupa svih tačaka (zajedničkih) ravni P′ i P″. To znači da koordinate bilo koje tačke koja pripada pravoj a moraju istovremeno zadovoljiti jednačine A′x+B′y+C′z+D′=0 i A″x+B″y+C″z+D″= 0. To znači da će koordinate tačke biti posebno rješenje sljedećeg sistema jednačina:

Kao rezultat toga, ispada da će (opće) rješenje ovog sistema jednadžbi odrediti koordinate svake od tačaka prave linije, koja će djelovati kao presječna tačka P′ i P″, i odrediti pravu prava a u koordinatnom sistemu Oxyz (pravougaona) u prostoru.

Da bismo dobili opštu jednačinu ravni, analizirajmo ravan koja prolazi kroz datu tačku.

Neka postoje tri koordinatne ose koje su nam već poznate u svemiru - Ox, Oy i Oz. Držite list papira tako da ostane ravan. Ravan će biti sam list i njegov nastavak u svim smjerovima.

Neka P proizvoljna ravan u prostoru. Svaki vektor okomit na njega naziva se normalni vektor na ovaj avion. Naravno, govorimo o vektoru koji nije nula.

Ako je poznata neka tačka ravnine P i neki vektor normale na njega, onda je ova dva uslova ravan u prostoru potpuno određena(kroz datu tačku postoji samo jedna ravan okomita na dati vektor). Opća jednačina ravnine će izgledati ovako:

Dakle, postoje uslovi koji postavljaju jednačinu ravni. Da ga dobijem sam ravan jednadžba, koji ima gornji oblik, uzimamo u avion P proizvoljno tačka M sa promenljivim koordinatama x, y, z. Ova tačka pripada ravni samo ako vektor okomito na vektor(Sl. 1). Za to je, prema uslovu okomitosti vektora, potrebno i dovoljno da skalarni proizvod ovih vektora bude jednak nuli, tj.

Vektor je zadan uslovom. Koordinate vektora nalazimo po formuli :

.

Sada, koristeći formulu dot proizvoda vektora , izražavamo skalarni proizvod u koordinatnom obliku:

Od tačke M(x; y; z) je proizvoljno odabran na ravni, tada je posljednja jednačina zadovoljena koordinatama bilo koje tačke koja leži na ravni P. Za poen N, ne leži na datoj ravni, , tj. jednakost (1) je narušena.

Primjer 1 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačku i okomita je na vektor.

Rješenje. Koristimo formulu (1), pogledajte je ponovo:

U ovoj formuli, brojevi A , B i C vektorske koordinate i brojeve x0 , y0 i z0 - koordinate tačke.

Izračuni su vrlo jednostavni: ove brojeve zamjenjujemo u formulu i dobivamo

Množimo sve što treba pomnožiti i zbrajamo samo brojeve (koji su bez slova). rezultat:

.

Pokazalo se da je tražena jednačina ravnine u ovom primjeru izražena opštom jednadžbom prvog stepena u odnosu na promjenjive koordinate x, y, z proizvoljna tačka ravni.

Dakle, jednačina oblika

pozvao opšta jednačina ravni .

Primjer 2 Konstruisati u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu ravan zadatu jednačinom .

Rješenje. Za konstruisanje ravni potrebno je i dovoljno poznavati bilo koje tri njene tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji, na primer, tačke preseka ravnine sa koordinatnim osa.

Kako pronaći ove tačke? Da se pronađe tačka preseka sa osom Oz, trebate zamijeniti nule umjesto x i y u jednadžbi datoj u izjavi problema: x = y= 0 . Dakle, dobijamo z= 6 . Dakle, data ravan seče osu Oz u tački A(0; 0; 6) .

Na isti način nalazimo tačku presjeka ravnine sa osom Oy. At x = z= 0 dobijamo y= −3 , odnosno tačka B(0; −3; 0) .

I konačno, nalazimo tačku preseka naše ravni sa osom Ox. At y = z= 0 dobijamo x= 2, odnosno tačka C(2; 0; 0) . Prema tri boda dobijene u našem rješenju A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) i C(2; 0; 0) gradimo datu ravan.

Razmislite sada specijalni slučajevi opšte jednačine ravnine. To su slučajevi kada određeni koeficijenti jednačine (2) nestanu.

1. Kada D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz ishodište, budući da su koordinate tačke 0 (0; 0; 0) zadovoljavaju ovu jednačinu.

2. Kada A= 0 jednačina definira ravan paralelnu osi Ox, budući da je vektor normale ove ravni okomit na osu Ox(njegova projekcija na os Ox jednako nuli). Slično, kada B= 0 avion osa paralelna Oy, i kada C= 0 avion paralelno sa osom Oz.

3. Kada A=D= 0 jednačina definira ravan koja prolazi kroz osu Ox jer je paralelna sa osom Ox (A=D= 0). Slično, ravnina prolazi kroz osu Oy, i ravan kroz osu Oz.

4. Kada A=B= 0 jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj ravni xOy jer je paralelan sa osama Ox (A= 0) i Oy (B= 0). Isto tako, ravan je paralelna sa ravninom yOz, a avion - avion xOz.

5. Kada A=B=D= 0 jednačina (ili z= 0) definira koordinatnu ravan xOy, pošto je paralelna sa ravninom xOy (A=B= 0) i prolazi kroz ishodište ( D= 0). Slično, jednačina y= 0 u prostoru definira koordinatnu ravan xOz, i jednadžba x= 0 - koordinatna ravan yOz.

Primjer 3 Sastavite jednačinu ravnine P prolazeći kroz osu Oy i tačka.

Rješenje. Dakle, ravan prolazi kroz osu Oy. Dakle, u njenoj jednačini y= 0 i ova jednadžba ima oblik . Za određivanje koeficijenata A i C koristimo činjenicu da tačka pripada ravni P .

Dakle, među njegovim koordinatama postoje one koje se mogu zamijeniti u jednadžbu ravnine koju smo već izveli (). Pogledajmo još jednom koordinate tačke:

M0 (2; −4; 3) .

Među njima x = 2 , z= 3 . Zamjenjujemo ih u opću jednačinu i dobivamo jednačinu za naš konkretni slučaj:

2A + 3C = 0 .

Odlazimo 2 A na lijevoj strani jednačine prenosimo 3 C na desnu stranu i dobiti

A = −1,5C .

Zamjena pronađene vrijednosti A u jednačinu , dobijamo

ili .

Ovo je jednadžba potrebna u primjeru stanja.

Sami riješite problem na jednačinama ravnine, a zatim pogledajte rješenje

Primjer 4 Odredite ravninu (ili ravnine ako ih je više od jedne) u odnosu na koordinatne ose ili koordinatne ravni ako su ravnine date jednadžbom .

Rješenja tipičnih problema koji se javljaju u testovima - u priručniku "Problemi na ravni: paralelizam, okomitost, sjecište tri ravnine u jednoj tački".

Jednačina ravni koja prolazi kroz tri tačke

Kao što je već pomenuto, neophodan i dovoljan uslov za konstruisanje ravni, pored jedne tačke i vektora normale, su i tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj.

Neka postoji tri različite točke , I , Ne leži na istoj pravoj liniji. Budući da ove tri točke ne leže na jednoj pravoj liniji, vektori i nisu kolinearni, pa stoga bilo koja točka ravnine leži u istoj ravni s točkama , i ako i samo ako su vektori , i komplanarno, tj. ako i samo ako mješoviti proizvod ovih vektora jednako nuli.

Koristeći izraz mješovitog proizvoda u koordinatama, dobijamo jednadžbu ravnine

(3)

Nakon proširenja determinante, ova jednačina postaje jednačina oblika (2), tj. opšta jednačina ravni.

Primjer 5 Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri date tačke koje ne leže na pravoj liniji:

i da se odredi poseban slučaj opće jednadžbe prave, ako postoji.

Rješenje. Prema formuli (3) imamo:

Normalna jednačina ravnine. Udaljenost od tačke do ravni

Normalna jednačina ravni je njena jednačina, zapisana u obliku