Napišite jednačinu prave kroz 2 tačke. Duž

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravokutnom koordinatnom sistemu koji se nalazi na ravni. Izvedemo jednačinu prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke u pravougaonom koordinatnom sistemu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih za obrađeni materijal.

Prije dobijanja jednačine prave koja prolazi kroz dvije date tačke, potrebno je obratiti pažnju na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije divergentne tačke na ravni moguće povući pravu liniju i samo jednu. Drugim rečima, dve date tačke na ravni su definisane pravom linijom koja prolazi kroz ove tačke.

Ako je ravan definirana pravokutnim koordinatnim sistemom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravni. Postoji i veza sa usmjeravajućim vektorom prave linije. Ovi podaci su dovoljni da se sastavi jednačina prave linije koja prolazi kroz dvije date tačke.

Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je napraviti jednačinu za pravu liniju a koja prolazi kroz dvije divergentne tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u Dekartovom koordinatnom sistemu.

U kanonskoj jednadžbi prave na ravni, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y, pravougaoni koordinatni sistem O x y je specificiran sa pravom koja se sa njom seče u tački sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) sa vodećim vektorom a → = (a x , a y) .

Potrebno je napraviti kanonsku jednačinu prave a, koja će prolaziti kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Prava a ima vektor pravca M 1 M 2 → sa koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), pošto seče tačke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe sa koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama tačaka M 1 koje leže na njima (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Dobijamo jednačinu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite sliku ispod.

Nakon proračuna, zapisujemo parametarske jednačine prave na ravni koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobijamo jednačinu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.

Primjer 1

Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz 2 date tačke sa koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Rješenje

Kanonska jednadžba za pravu koja se seče u dve tačke sa koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uslovima zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeričke vrijednosti je potrebno zamijeniti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobijamo da kanonska jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, onda prvo možete prijeći na kanonsku, jer je lakše doći od nje do bilo koje druge.

Primjer 2

Compose opšta jednačina prava linija koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sistemu.

Rješenje

Prvo, trebate zapisati kanonsku jednačinu date prave koja prolazi kroz date dvije tačke. Dobijamo jednačinu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovedemo kanonsku jednačinu u željeni oblik, tada ćemo dobiti:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima tokom časova algebre. Školski problemi su se razlikovali po tome što je poznata jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom, koja ima oblik y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koji jednačina y = k x + b definira pravu u sistemu O x y koja prolazi kroz tačke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada ugaoni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a prava linija M 1 M 2 definirana je općom nepotpunom jednačinom oblika x - x 1 = 0 .

Jer bodovi M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednačinu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sistem jednačina y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.

Da bismo to uradili, nalazimo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Sa ovim vrijednostima k i b, jednačina prave koja prolazi kroz date dvije tačke postaje y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Nemoguće je zapamtiti tako ogroman broj formula odjednom. Da biste to učinili, potrebno je povećati broj ponavljanja u rješavanju problema.

Primjer 3

Zapišite jednačinu prave linije sa ugaonim koeficijentom koja prolazi kroz tačke sa koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu sa ugaonim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednačina odgovara pravoj liniji koja prolazi kroz dvije tačke sa koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Poeni M 1 I M 2 nalaze se na pravoj liniji, onda njihove koordinate moraju činiti jednačinu y = k x + b istinitom jednakošću. Iz ovoga dobijamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Kombinirajmo jednačinu u sistem - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene to dobijamo

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada se vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamjenjuju u jednadžbu y = k x + b. Nalazimo da će tražena jednačina koja prolazi kroz date tačke biti jednačina oblika y = 2 3 x - 1 3 .

Ova metoda rješenja unaprijed određuje gubljenje puno vremena. Postoji način na koji se zadatak rješava u bukvalno dva koraka.

Napišimo kanonsku jednačinu prave koja prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), koja ima oblik x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada pređimo na jednadžbu nagiba. Dobijamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravougaoni koordinatni sistem O x y z sa dve date nepodudarne tačke sa koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), prava M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednačinu ove prave.

Imamo te kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednačine oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mogu definirati pravu u koordinatnom sistemu O x y z, koja prolazi kroz tačke koje imaju koordinate (x 1, y 1, z 1) sa vektorom smjera a → = (a x, a y, a z).

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje prava prolazi kroz tačku M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmotrite crtež koji prikazuje 2 date tačke u prostoru i jednačinu prave linije.

Primjer 4

Napišite jednačinu prave definisane u pravougaonom koordinatnom sistemu O x y z trodimenzionalnog prostora, prolazeći kroz date dve tačke sa koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Rješenje

Potrebno je pronaći kanonsku jednačinu. Jer mi pričamo o tome o trodimenzionalnom prostoru, što znači da kada prava prolazi kroz date tačke, željena kanonska jednačina će imati oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uslovu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Iz toga slijedi da će se potrebne jednačine napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka su data dva boda M 1 (x 1,y 1) I M 2 (x 2,y 2). Zapišimo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5): . Izražavajući odavde i zamenjujući je u jednačinu (5), dobijamo traženu jednačinu:

Ako ova jednačina se može prepisati u obliku koji je pogodniji za pamćenje:

(6)

Primjer. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Rješenje. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave:

Ugao između dvije prave linije

Razmotrite dvije ravne linije l 1 I l 2:

l 1: , , I

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Sa slike 4 je jasno: .

Odavde , ili

Pomoću formule (7) možete odrediti jedan od uglova između pravih linija. Drugi ugao je jednak .

Primjer. Dvije prave su date jednadžbama y=2x+3 i y=-3x+2. pronađite ugao između ovih linija.

Rješenje. Iz jednačina je jasno da je k 1 =2, a k 2 =-3. Zamjenom ovih vrijednosti u formulu (7) nalazimo

. Dakle, ugao između ovih linija je jednak .

Uslovi za paralelnost i okomitost dvije prave

Ako je ravno l 1 I l 2 onda su paralelne φ=0 I tgφ=0. iz formule (7) slijedi da , odakle k 2 =k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih ugaonih koeficijenata.

Ako je ravno l 1 I l 2 su onda okomite φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Dakle, uslov za okomitost dvije prave je da su njihovi ugaoni koeficijenti inverzni po veličini i suprotni po predznaku.

Udaljenost od tačke do linije

Teorema. Ako je data tačka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do prave Ax + Bu + C = 0 određuje kao

Dokaz. Neka je tačka M 1 (x 1, y 1) osnova okomice spuštene iz tačke M na datu pravu liniju. Tada je rastojanje između tačaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 se mogu naći rješavanjem sistema jednadžbi:

Druga jednačina sistema je jednačina prave linije koja prolazi ovu tačku M 0 je okomito na datu pravu liniju.

Ako transformišemo prvu jednačinu sistema u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada, rješavanjem, dobijamo:

Zamjenom ovih izraza u jednačinu (1) nalazimo:

Teorema je dokazana.

Primjer. Odrediti ugao između pravih: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Primjer. Pokažite da su prave 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomite.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, prave su okomite.

Primjer. Dati su vrhovi trougla A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Naći jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Pronalazimo jednačinu stranice AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Tražena jednačina visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k= . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz tačku C, tada njene koordinate zadovoljavaju ovu jednačinu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y – 34 = 0.

Udaljenost od tačke do prave određena je dužinom okomice povučene od tačke do prave.

Ako je prava paralelna sa ravninom projekcije (h | | P 1), zatim da bi se odredila udaljenost od tačke A na pravu liniju h potrebno je spustiti okomicu iz tačke A do horizontale h.

Hajde da razmotrimo više složen primjer, kada linija zauzima opći položaj. Neka je potrebno odrediti udaljenost od tačke M na pravu liniju A opšti položaj.

Definicijski zadatak udaljenosti između paralelnih linija rješava se slično kao i prethodni. Tačka se uzima na jednoj pravoj i okomita se spušta sa nje na drugu pravu. Dužina okomice jednaka je udaljenosti između paralelnih linija.

Kriva drugog reda naziva se linija definisana jednačinom drugog stepena u odnosu na struju Kartezijanske koordinate. U opštem slučaju, Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdje A, B, C, D, E, F – realni brojevi i najmanje jedan od brojeva A 2 +B 2 +C 2 ≠0.

Krug

Centar kruga– ovo je geometrijsko mjesto tačaka u ravni jednako udaljenih od tačke u ravni C(a,b).

Krug je dat sljedećom jednačinom:

Gdje su x,y koordinate proizvoljne tačke na kružnici, R je polumjer kružnice.

Znak jednačine kružnice

1. Nedostaje termin sa x,y

2. Koeficijenti za x 2 i y 2 su jednaki

Elipsa

Elipsa naziva se geometrijsko mjesto tačaka u ravni, a zbir udaljenosti svake od dvije date tačke ove ravni se naziva fokusima (konstantna vrijednost).

Kanonska jednadžba elipse:

X i y pripadaju elipsi.

a – velika poluosa elipse

b – mala osa elipse

Elipsa ima 2 ose simetrije OX i OU. Osi simetrije elipse su njene ose, tačka njihovog preseka je centar elipse. Osa na kojoj se nalaze žarišta naziva se fokalna osa. Tačka preseka elipse sa osama je vrh elipse.

Omjer kompresije (zatezanja): ε = s/a– ekscentricitet (karakterizira oblik elipse), što je manji, to je elipsa manje produžena duž žižne ose.

Ako centri elipse nisu u centru C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola naziva se geometrijski lokus tačaka u ravni, apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima, od kojih je svaka od dvije date tačke ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost različita od nule.

Kanonička hiperbola jednadžba

Hiperbola ima 2 ose simetrije:

a – realna poluosa simetrije

b – imaginarna poluosa simetrije

Asimptote hiperbole:

Parabola

Parabola je lokus tačaka u ravni jednako udaljenih od date tačke F, koja se zove fokus, i date prave, koja se zove direktrisa.

Kanonska jednadžba parabole:

U 2 =2rh, gdje je r udaljenost od fokusa do direktrise (parabola parametar)

Ako je vrh parabole C (α, β), onda je jednadžba parabole (y-β) 2 = 2r(x-α)

Ako se fokalna os uzme kao ordinatna os, tada će jednadžba parabole imati oblik: x 2 =2qu

Pogledajmo kako napraviti jednadžbu za pravu koja prolazi kroz dvije točke koristeći primjere.

Primjer 1.

Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz tačke A(-3; 9) i B(2;-1).

Metoda 1 - kreirati jednadžbu prave linije sa ugaonim koeficijentom.

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom ima oblik . Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednadžbu prave (x= -3 i y=9 - u prvom slučaju, x=2 i y= -1 - u drugom), dobijamo sistem jednačina iz kojih nalazimo vrijednosti k i b:

Sabiranjem 1. i 2. jednačine član po član dobijamo: -10=5k, odakle je k= -2. Zamjenom k= -2 u drugu jednačinu, nalazimo b: -1=2·(-2)+b, b=3.

Dakle, y= -2x+3 je tražena jednačina.

Metoda 2 - napravimo opštu jednačinu prave linije.

Opća jednadžba prave linije ima oblik . Zamjenom koordinata tačaka A i B u jednačinu dobijamo sistem:

Pošto je broj nepoznanica veći od broja jednačina, sistem nije rješiv. Ali sve varijable se mogu izraziti kroz jednu. Na primjer, kroz b.

Množenjem prve jednačine sistema sa -1 i dodavanjem člana po član sa drugom:

dobijamo: 5a-10b=0. Dakle, a=2b.

Zamenimo dobijeni izraz u drugu jednačinu: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Zamijenite a=2b, c= -3b u jednačinu ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Ostaje podijeliti obje strane sa b:

Opća jednačina prave linije se lako može svesti na jednadžbu prave linije sa ugaonim koeficijentom:

Metoda 3 - kreirati jednadžbu prave linije koja prolazi kroz 2 tačke.

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije tačke je:

Zamenimo koordinate tačaka A(-3; 9) i B(2;-1) u ovu jednačinu

(to jest, x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

i pojednostavi:

odakle je 2x+y-3=0.

IN školski kurs Najčešće se koristi jednačina prave linije sa nagibom. Ali najlakši način je da se izvede i koristi formula za jednadžbu prave koja prolazi kroz dvije tačke.

Komentar.

Ako se, prilikom zamjene koordinata datih tačaka, jedan od nazivnika jednačine

ispada da je jednaka nuli, tada se tražena jednačina dobija izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Primjer 2.

Napišite jednačinu za pravu liniju koja prolazi kroz dvije tačke C(5; -2) i D(7;-2).

Zamjenjujemo koordinate tačaka C i D u jednadžbu prave linije koja prolazi kroz 2 tačke.

Neka su data dva boda M(X 1 ,U 1) i N(X 2,y 2). Nađimo jednačinu prave koja prolazi kroz ove tačke.

Pošto ova prava prolazi kroz tačku M, tada prema formuli (1.13) njena jednadžba ima oblik

U – Y 1 = K(X–x 1),

Gdje K– nepoznati ugaoni koeficijent.

Vrijednost ovog koeficijenta određuje se iz uslova da željena prava linija prolazi kroz tačku N, što znači da njegove koordinate zadovoljavaju jednačinu (1.13)

Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),

Odavde možete pronaći nagib ove linije:

,

Ili nakon konverzije

(1.14)

Formula (1.14) određuje Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije tačke M(X 1, Y 1) i N(X 2, Y 2).

U posebnom slučaju kada tačke M(A, 0), N(0, B), A ¹ 0, B¹ 0, leže na koordinatnoj osi, jednačina (1.14) će poprimiti jednostavniji oblik

Jednadžba (1.15) pozvao Jednačina prave linije u segmentima, Evo A I B označavamo segmente odsečene pravom linijom na osovinama (slika 1.6).

Slika 1.6

Primjer 1.10. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačke M(1, 2) i B(3, –1).

. Prema (1.14), jednačina željene linije ima oblik

2(Y – 2) = -3(X – 1).

Prenoseći sve članove na lijevu stranu, konačno dobijamo željenu jednačinu

3X + 2Y – 7 = 0.

Primjer 1.11. Napišite jednačinu za pravu koja prolazi kroz tačku M(2, 1) i tačka preseka pravih X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.

. Naći ćemo koordinate tačke preseka pravih zajedničkim rešavanjem ovih jednačina

Ako saberemo ove jednačine pojam po član, dobićemo 2 X+ 1 = 0, odakle . Zamjenom pronađene vrijednosti u bilo koju jednačinu nalazimo vrijednost ordinate U:

Zapišimo sada jednačinu prave koja prolazi kroz tačke (2, 1) i:

ili .

Stoga ili –5( Y – 1) = X – 2.

Konačno dobijamo jednačinu željene linije u obliku X + 5Y – 7 = 0.

Primjer 1.12. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M(2.1) i N(2,3).

Koristeći formulu (1.14) dobijamo jednačinu

To nema smisla jer je drugi imenilac nula. Iz uslova zadatka jasno je da apscise obe tačke imaju istu vrednost. To znači da je željena ravna linija paralelna sa osom OY a njegova jednadžba je: x = 2.

Komentar . Ako se pri pisanju jednadžbe prave po formuli (1.14) pokaže da je jedan od nazivnika jednak nuli, onda se željena jednačina može dobiti izjednačavanjem odgovarajućeg brojnika sa nulom.

Razmotrimo druge načine definiranja prave na ravni.

1. Neka je vektor različit od nule okomit na datu pravu L, i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj (slika 1.7).

Slika 1.7

Označimo M(X, Y) bilo koja tačka na pravoj L. Vektori i Ortogonalno. Koristeći uslove ortogonalnosti ovih vektora, dobijamo ili A(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.

Dobili smo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 je okomito na vektor. Ovaj vektor se zove Normalni vektor na pravu liniju L. Rezultirajuća jednačina se može prepisati kao

Oh + Wu + WITH= 0, gdje WITH = –(AX 0 + By 0), (1.16),

Gdje A I IN– koordinate vektora normale.

Dobijamo opštu jednačinu linije u parametarskom obliku.

2. Prava linija na ravni se može definirati na sljedeći način: neka je vektor različit od nule paralelan datoj pravoj liniji L i tačka M 0(X 0, Y 0) leži na ovoj pravoj. Uzmimo opet proizvoljnu tačku M(X, y) na pravoj liniji (slika 1.8).

Slika 1.8

Vektori i kolinearno.

Zapišimo uvjet kolinearnosti ovih vektora: , gdje T– proizvoljan broj koji se naziva parametar. Zapišimo ovu jednakost u koordinatama:

Ove jednačine se nazivaju Parametarske jednadžbe Pravo. Isključimo parametar iz ovih jednačina T:

Ove jednačine se inače mogu napisati u obliku

. (1.18)

Rezultirajuća jednačina se zove Kanonska jednadžba prave. Vektor se zove Vektor usmjeravanja je ravan .

Komentar . Lako je vidjeti da je if normalni vektor na pravu L, tada njegov vektor smjera može biti vektor jer , tj.

Primjer 1.13. Napišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0(1, 1) paralelno sa linijom 3 X + 2U– 8 = 0.

Rješenje . Vektor je vektor normale na date i željene linije. Koristimo jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M 0 sa datim vektorom normale 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 ili 3 X + 2u– 5 = 0. Dobili smo jednačinu željene linije.