Способы математического описания марковского случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями, зависят от того, в какие моменты времени - заранее известные или случайные - могут происходить переходы («перескоки») системы из состояния в состояние.

Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в строго определенные, заранее фиксированные моменты времени: . В промежутки времени между этими моментами система S сохраняет свое состояние.

Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход системы из состояния в состояние возможен в любой, наперед неизвестный, случайный момент

Рассмотрим прежде всего марковский случайный процесс с дискретными состояниями и дискретным временем.

Пусть имеется физическая система S, которая может находиться в состояниях:

причем переходы («перескоки») системы из состояния в состояние воз можны только в моменты:

Будем называть эти моменты «шагами» или «этапами» процесса и рассматривать случайный процесс, происходящий в системе S, как функцию целочисленного аргумента: (номера шага).

Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в последовательные моменты времени система S оказывается в тех или других состояниях, ведя себя, например, следующим образом:

В общем случае в моменты система может не только менять состояние, но и оставаться в прежнем, например:

Условимся обозначать событие, состоящее в том, что после шагов система находится в состоянии При любом k события

образуют полную группу и несовместны.

Процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий, например:

Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния в любое не зависит от того, когда и как система пришла в состояние

Мы будем описывать марковскую цепь с помощью так называемых вероятностей состояний. Пусть в любой момент времени (после любого, шага) система S может быть в одном из состояний:

т. е. осуществится одно из полной группы несовместных событий:

Обозначим вероятности этих событий:

Вероятности после первого шага,

Вероятности после второго шага; и вообще после шага:

Легко видеть, что для каждого номера шага к

так как это - вероятности несовместных событий, образующих полную группу.

Будем называть вероятности

вероятностями состояний; поставим задачу: найти вероятности состояний системы для любого к.

Изобразим состояния системы в виде графа (рис. 4.6), где стрелками указаны возможные переходы системы из состояния в состояние за один шаг.

Случайный процессе (марковскую цепь) можно представить себе так, как будто точка, изображающая систему S, случайным образом перемещается (блуждает) по графу состояний, перескакивая из состояния в состояние в моменты а иногда (в общем случае) и задерживаясь какое-то число шагов в одном и том же состоянии. Например, последовательность переходов

можно изобразить на графе состояний как последовательность различных положений точки (см. пунктирные стрелки, изображающие переходы из состояния в состояние на рис. 4.7). «Задержка» системы в состоянии на третьем шаге изображена стрелкой, выходящей из состояния и в него же возвращающейся.

Для любого шага (момента времени или номера существуют какие-то вероятности перехода системы из любого состояния в любое другое (некоторые из них равны нулю, если непосредственный переход за один шаг невозможен), а также вероятность задержки системы в данном состоянии.

Будем называть эти вероятности переходными вероятностями марковской цепи.

Марковская цепь называется однородной, если переходные вероятности не зависят от номера шага. В противном случае марковская цепь называется неоднородной.

Рассмотрим сначала однородную марковскую цепь. Пусть система S имеет возможных состояний Предположим, что для каждого состояния нам известна вероятность перехода в любое другое состояние за один шаг (в том числе и вероятность задержки в данном состоянии). Обозначим вероятность перехода за один шаг из состояния S, в состояние будет вероятность задержки системы в состоянии Запишем переходные вероятности в виде прямоугольной таблицы (матрицы):

Некоторые из переходных вероятностей могут быть равны нулю: это означает, что за один шаг переход системы из состояния в невозможен. По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности того, что система не выйдет из состояния а останется в нем.

Пользуясь введенными выше событиями переходные вероятности можно записать как условные вероятности:

Отсюда следует, что сумма членов, стоящих в каждой строке матрицы (2.3), должна быть равна единице, так как, в каком бы состоянии система ни была перед шагом, события несовместны и образуют полную группу.

При рассмотрении марковских цепей часто бывает удобно пользоваться графом состояний, на котором у стрелок проставлены соответствующие переходные вероятности (см. рис. 4.8). Такой граф мы будем называть «размеченным графом состояний».

Заметим, что на рис. 4.8 проставлены не все переходные вероятности, а только те из них, которые не равны нулю и меняют состояние системы, т. е. при «вероятности задержки» проставлять на графе излишне, так как каждая из них дополняет до единицы сумму переходных вероятностей, соответствующих всем стрелкам, исходящим из данного состояния. Например, для графа рис. 4.8

Если из состояния S; не исходит ни одной стрелки (переход из него ни в какое другое состояние невозможен), соответствующая вероятность задержки равна единице.

Имея в распоряжении размеченный граф состояний (или, что равносильно, матрицу переходных вероятностей) и зная начальное состояние системы, можно найти вероятности состояний

после любого шага.

Покажем, как это делается.

Предположим, что в начальный момент (перед первым шагом) система находится в каком-то определенном состоянии, например, Тогда, для начального момента (0) будем иметь:

т. е. вероятности всех состояний равны нулю, кроме вероятности начального состояния которая равна единице.

Найдем вероятности состояний после первого шага. Мы знаем, что перед первым шагом система заведомо находится в состоянии

Значит, за первый шаг она перейдет в состояния с вероятностями

записанными в строке матрицы переходных вероятностей. Таким образом, вероятности состояний после первого шага будут:

Найдем вероятности состояний после второго шага:

Будем вычислять их по формуле полной вероятности, с гипотезами:

После первого шага система была в состоянии

После первого шага система была в состоянии

После первого шага система была в состоянии

Вероятности гипотез известны (см. (2.4)); условные вероятности перехода в состояние при каждой гипотезе тоже известны и записаны в матрице переходных вероятностей. По формуле полной вероятности получим:

или, гораздо короче,

В формуле (2.6) суммирование распространяется формально на все состояния фактически учитывать надо только те из них, для которых переходные вероятности отличны от нуля, то есть те состояния, из которых может совершиться переход в состояние (или задержка в нем).

Таким образом, вероятности состояний после второго шага известны. Очевидно, после третьего шага они определяются аналогично:

и вообще после шага:

Итак, вероятности состояний после шага определяются рекуррентной формулой (2.8) через вероятности состояний после шага; те, в свою очередь через вероятности состояний после шага, и т. д.

Пример 1. По некоторой цели ведется стрельба четырьмя выстрелами в моменты времени

Возможные состояния цели (системы ):

Цель невредима;

Цель незначительно повреждена;

Цель получила существенные повреждения;

Цель полностью поражена (не может функционировать). Размеченный граф состояний системы показан на рис. 4.9.

В начальный момент цель находится в состоянии (не повреждена). Определить вероятности состояний цели после четырех выстрелов Решение. Из графа состояний имеем;

5.1. Случайные процессы и их классификация

Случайный процесс (СП) это некоторый процесс или явление, поведение которого в течение времени и результат заранее предсказывать невозможно. Примеры случайных процессов: динамика изменения курса валют или акций, выручка или прибыль организации с течением времени, объемы продаж товара и т.д.
Если случайный процесс может изменить своё состояние только в строго определённый момент времени, то он называется процессом с дискретным временем.
Если же смена состояния возможна в произвольный момент времени, то это СП с непрерывным временем.
Если в любой момент времени СП представляет собой дискретную случайную величину (ее значение можно перечислить и выделить два соседних значения), то это процесс с дискретным состоянием.
Если же в любой момент времени состояние может меняться непрерывно, плавно и нельзя выделить два соседних состояния, то это СП с непрерывным состоянием.
Таким образом, возможно 4 вида СП:
1) СП с непрерывным временем и непрерывным состоянием (пример: температура воздуха в некоторый момент времени, изменяется плавно в любой момент времени).
2) СП с непрерывным временем и дискретным состоянием (пример: число посетителей в магазине, изменяется кратно одному в любой момент времени).
3) СП с дискретным временем и непрерывным состоянием (пример: динамика курса курс валюты, изменяется плавно в момент валютных торгов).
4) СП с дискретным временем и дискретным состоянием (пример: число пассажиров в транспорте изменяется кратно одному и только в определенные моменты времени, на остановках).
Рассмотрим некоторую систему S , в которой в данный момент времени t о протекает СП. Этот процесс называется Марковским, если для любого момента времени t > t о , поведение системы в будущем зависит только от того, в каком состоянии система находилась в данный момент времени при t = t о , и никак не зависит от того, как, когда и в каких состояниях она пребывала в прошлом при t < t о . Другими словами, «прошлое» Марковского процесса никак не влияет на «будущее» (только через «настоящее»).

5.2. Потоки событий.

Простейшим видом СП являются потоки событий. Потоком событий называется некоторая последовательность однотипных событий, которые происходят в случайные моменты времени (например, звонки по телефону, посетители магазина, автомобили, проезжающие перекресток и т.д.). Они относятся к СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Математически поток событий можно изобразить в виде случайных точек на оси времени.

Если события в потоке происходят поодиночке, а не группами из нескольких событий, то такой поток называется ординарным. Поток событий называется потоком без последствий, если для любых непересекающихся интервалов времени style="color:red"> число событий в одном интервале никак не влияет на то, сколько и каким образом будут происходить события в другом интервале. Ординарный поток без последствия называется потоком Пуассона. Важнейшей характеристикой любого потока событий является его интенсивность – среднее число событий, произошедших в потоке за одну единицу времени .
С интенсивностью тесно связана величина , которая имеет смысл среднего интервала времени между двумя событиями. Если интервалы между соседними событиями есть случайные величины, которые независимы друг от друга, то такой поток событий называется потоком Пальма.
Если интенсивность потока событий не зависит от времени , то такой поток называется стационарным. Если в потоке события происходят через равные интервалы времени, то он называется регулярным.
Стационарный поток Пуассона называется простейшим потоком. В экономическом моделировании в основном используют потоки Пуассона, в том числе простейшие. Для них справедливы следующие теоремы:
1) Число событий, произошедших в потоке Пуассона, есть случайная величина, распределённая по закону Пуассона. Вероятность того, что в потоке Пуассона с интенсивностью за интервал времени (t 1 ; t 2) произойдёт ровно k событий, равна:
, где .
Если поток простейший , то .
2) Интервал между событиями или время ожидания очередного события T в потоке Пуассона есть случайная величина, распределенная по показательному закону, т. е вероятность того, что следующее событие произойдет не ранее t , равна:
.
Если поток простейший, то
Пример : Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час. Определить вероятность того, что: а) за 5 минут будет 2 покупателя; б) за 10 минут будет не менее 3 покупателей; в) за 3 минуты не будет ни одного покупателя.
Решение. Выбрав за единицу времени 1 минуту, интенсивность пуассоновского потока покупателей магазина (20 покупателей в час или 1/3 покупателя за минуту).
а) k =2, t 1 =0, t 2 =5,

б) k ≥3, t 1 =0, t 2 =10, найдем вероятность события обратного события , что будет менее 3 покупателей ;
.
в) по второй теореме t=3, .

5.3. Марковский СП, с дискретным состоянием

В моделировании вероятностных (стохастических) экономических систем очень часто используют Марковский СП. Рассмотрим СП с дискретным состоянием и непрерывным временем. Тогда все его состояния можно перечислить: S 1 ,S 2 ,…, S n .
Описать все возможные переходы между состояниями можно с помощью графа состояний.
Граф состояний представляет собой упорядоченный граф, вершинами которого являются возможные состояния S i и между двумя состояниями существует ребро - стрелка, если возможен непосредственный переход между состояниями.
Например, магазин может пребывать в следующих состояниях:
S 1 - имеются клиенты, которые обслуживаются,
S 2 – клиентов нет,
S 3 – осуществляется прием товара,
S 4 – учет товара, который происходит иногда после его приема.
Тогда работу магазина можно описать графом состояний

Для расчета основных характеристик системы, необходимо знать вероятностные показатели при переходе между состояниями.
Рассмотрим 2 состояния S i и S j . Интенсивностью переходного потока называется среднее число переходов из состояния S i в состояние S j за единицу времени, которое система проводит в состояние S i . Если известно среднее времяT ij , которое система проводит в S i до того как перейдет в S j , то можно записать: .
Интенсивности переходных потоковуказываются на графе состояний рядом с соответствующими стрелками. Главная задача в таких моделях состоит в определении вероятностей состояний , которые имеют смысл средней доли времени, которого система проводит в этом состоянии.
Для нахождения вероятностей состояний составляется система уравнений
(*)
Данную систему можно составлять по следующим правилам:
1) Число уравнений в системе равно числу состояний.
2) Каждое состояние S j соответствует уравнению с номером j .
3) В левой части каждого уравнения находится сумма интенсивностей (стоят над стрелками) для всех стрелок, входящих в состояние S j умноженных на вероятности состояний, из которых выходят стрелки;
4) В правой части уравнений находится сумма интенсивностей, выходящих из S j стрелок, эта сумма умножается на вероятность P j .
Однако система уравнений (*) является вырожденной и для нахождения единственного решения в этой системе, одно любое уравнение нужно заменить на условие нормировки:
.
Пример 1: Автоматизированная сборочная линия предприятия в среднем 1 раз в месяц выходит из строя и ремонтируется в среднем 3 дня. Кроме того в среднем 2 раза в месяц она проходит техническое обслуживание, которое длиться в среднем 1 день. В среднем в одном случае из трех при техническом обслуживании обнаруживается неполадка и линия ремонтируется. Определить, какую среднюю прибыль приносит линия за месяц, если за один день безотказной работы прибыль равна 15 тысяч рублей. Один день технической обработки обходится в 20 тысяч рублей, а один день ремонта – 30 тысяч рублей.
Решение. Найдем вероятности состояний, равные долям времени работы, ремонта и технического обслуживания. Пусть:
S 1 - линия работает,
S 2 - техническое обслуживание,
S 3 - ремонт.

Составляем систему уравнений. В состояние S 1 входят 2 стрелки: из S 2 с интенсивностью 20 и из S 3 с интенсивностью 10, поэтому левая часть первого уравнения имеет вид: . Из состояния S 1 выходят две стрелки с интенсивностями 2 и 1, поэтому правая часть первого уравнения системы примет вид: . Аналогично, на основании состояний S 2 и S 3 составляем второе и третье уравнения. В результате, система будет иметь вид:

Однако, данная система является вырожденной и для ее решения нужно заменить одно любое (например, первое) уравнение условием нормировки: . В результате, получаем систему:

Выражаем из 1-го и 2-го уравнений Р 1 и Р 3 через Р 2: , и подставляя результат в 3-е уравнение, находим:, , . Умножаем вероятности на 30 дней месяца и находим, что в среднем в месяц линия работает 24,3 дня, техническое обслуживание – 1,6 дней, ремонт – 4,1 дня. Отсюда следует, что средняя прибыль будет 24,3×15-1,6×20-4,1×30=209,5 тыс.руб.
Пример 2 : В туристическом агентстве работает продавец и менеджер. В среднем в агентство приходят 2 клиента за час. Если продавец свободен, он обслуживает клиента, если – занят, то клиента обслуживает менеджер, если оба заняты – клиент уходит. Среднее время обслуживания продавцом 20 минут, менеджером – 30 минут. Каждый клиент приносит среднюю прибыль 100 рублей.
Определить среднюю прибыль агентства за 1 час, и среднее число упущенных клиентов за час.
Решение. Определяем состояния системы:
S 1 – продавец и менеджер свободны,
S 2 – продавец занят, менеджер свободен,
S 3 – продавец свободен, менеджер занят,
S 4 – оба заняты.
Строим граф состояний:

Составляем систему уравнений, заменяя 4-е уравнение условием нормировки:

Решая систему уравнений, находим:
.
Следовательно, продавец занимается обслуживанием P 2 + P 4 =0,25+0,15=0,4, то есть 40% времени. Если бы он обслуживал 100% времени, то за час обслуживал бы 3-х клиентов, а реально: 3 ×0,4=1,2 и приносит прибыль за 1 час 120 рублей. Менеджер работает P 3 + P 4 =0,11+0,15=0,26, т.е 26% времени и поэтому за час обслужит 2 ×0,26=0,52 клиента и приносит прибыль 52 рубля в час. Средняя прибыль за 1 час составит 172 рубля. Клиенты теряются в состоянии S 4 . Так как P 4 =0,15, то в час теряется 15 % клиентов из 2-х возможных или 0,3 клиента. Убытки составляют 30 рублей в час из-за потерянных клиентов.

5.4. Процессы гибели и размножения.

Во многих экономических системах, в которых функционирует СП, возникают ситуации, когда из любого (кроме первого и последнего) состояния S i возможен переход только в соседние состояния S i +1 и S i -1 . такие процессы называются процессами гибели и размножения и они описываются графом состояний.


Интенсивности называются интенсивностями размножения, а m i – интенсивности гибели. Для нахождения вероятности каждого состояния используются формулы:
, (+)
, , …, .
Пример 5.1. В автохозяйстве 5 автомобилей. Каждый из них в среднем 4 раза в год ломается и ремонт длиться в среднем 1 месяц. Определить, какую долю времени все автомобили исправны и среднее число исправных автомобилей в произвольный момент времени.
Решение. Вводим состояния системы:
S 0 – все автомобили сломаны,
S 1 – 1 автомобиль исправен,
S 2 – 2 автомобиля исправны,
S 3 – 3 автомобиля исправны,
S 4 – 4 автомобиля исправны,
S 5 – 5 автомобилей исправны.
Построим граф состояний и расставим переходные интенсивности.
Например, для перехода из S 1 в S 0 имеем ситуацию: исправен 1 автомобиль и он ломается, это происходит 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 4. Для перехода из S 2 в S 1: исправны 2 автомобиля и каждый из них ломается 4 раза в год, т.е. интенсивность равна 8. Остальные интенсивности гибели расставляются по аналогии.
Для перехода из S 4 в S 5 имеем ситуацию: неисправен 1 автомобиль и он ремонтируется, это длится 1 месяц или 12 раз в год, т.е. интенсивность равна 12. Для перехода из S 3 в S 4 имеем ситуацию: неисправны 2 автомобиля и каждый из них может быть отремонтирован с интенсивностью 12, т.е. общая интенсивность равна 24. Остальные интенсивности размножения расставляются по аналогии.

Вычисляем по формулам (+) вероятности состояний, равные средней доли времени нахождения системы в этих состояниях.


, = 0,088, , ,
Все автомобили исправны в состоянии S 5 , средняя доля времени, когда автомобили исправны – 0,24. Среднее число исправных автомобилей находится как математическое ожидание:

Пример 5.2 . Организация принимает заявки от населения на проведение ремонтных работ. Заявки принимаются по телефону, по двум линиям и их обслуживают два диспетчера. Если одна линия занята, заявка автоматически переключается на вторую. Если обе линии заняты – заявка теряется. Среднее число обслуживания одной заявки – 6 минут. В среднем одна заявка приносит прибыль в 30 рублей. Какова прибыль за час? Целесообразно ли организовывать третий канал с третьим диспетчером, если его обслуживание обойдётся в 150 рублей в час?
Решение . Рассмотрим сначала систему с двумя каналами.
Введем возможные состояния:
S 0 – нет заявок (оба телефона свободны),
S 1 – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S 2 – две заявки обслуживаются (оба телефона заняты).
Граф состояний будет иметь вид:

Находим вероятности состояний. По приведенным формулам (+):

В среднем, за час теряется 54% заявок или 0,54 ×30 = 16,2 заявки. Обслуживается 13,8 заявок в час и средняя прибыль 13,8 ×30 = 414 рублей.
Рассмотрим теперь ситуацию с тремя линиями. В этом случае три оператора обслуживают 3 телефонные линии, и поступающий звонок приходит на любую свободную линию. Возможны следующие состояния:
S 0 – нет заявок (три телефона свободны),
S 1 – одна заявка обслуживается (один телефон занят),
S 2 – две заявки обслуживаются (два телефона заняты),
S 3 – три заявки обслуживаются (все телефоны заняты).

По формулам (+) находим вероятности состояний:
,
.
В среднем теряется 35% заявок или 10,4 заявки в час. Обслуживается 19,6 заявок. Средняя прибыль – 588 рублей в час. Прибыль выросла на 174. При затратах 150 рублей в час, третий канал обслуживания вводить целесообразно.

МОСКВА, 30 июл — РИА Новости. Физики БФУ им. И. Канта рассмотрели одну из возможных математических моделей темной энергии, и выяснили, что будущее нашей Вселенной может быть намного более непредсказуемым и катастрофичным, чем считалось ранее. Результаты исследования опубликованы в высокорейтинговом научном журнале "The European Physical Journal C" .

"Учет нового класса сингулярностей (состояний, при которых тот или иной параметр становится бесконечным) делает будущее нашей Вселенной непредсказуемым и опасным. В данной работе мы показали, что некоторые сингулярности могут возникнуть совершенно внезапно, практически в любой момент времени. Ни звезды, ни даже галактики такой катастрофы не переживут, — рассказал один из авторов исследования, профессор БФУ им. И. Канта Артем Юров.

В конце ХХ — начале ХХI века в космологии был сделан целый ряд важных открытий: обнаружены косвенные доказательства инфляционного расширения Вселенной, темная материя и энергия, гравитационные волны. В 1998 году ученые открыли, что наша Вселенная не просто расширяется, а расширяется с нарастающей скоростью.

Причиной этого ускорения ученые считают так называемый "темный сектор" Вселенной. Согласно данным наблюдений, общее содержимое нашей Вселенной лишь на 4,9% состоит из привычной нам барионной материи, остальные 95,1 % приходятся на "темный сектор", который состоит из загадочной темной материи (26,8%) и еще более таинственной темной энергии (68,3%).

О том, что такое темная энергия, существуют три основные гипотезы. Согласно первой, темная энергия это космологическая константа — неизменная энергетическая плотность, равномерно заполняющая пространство Вселенной. Вторая гипотеза определяет темную энергию как некую квинтэссенцию — динамическое поле, энергетическая плотность которого может меняться в пространстве и времени. По третьей, темная энергия есть проявление модифицированной гравитации на расстояниях порядка размера видимой части Вселенной.

"Будущее нашей Вселенной зависит от того, какая из этих моделей верна. Если верная вторая гипотеза и темная энергия действительно является квинтэссенцией, то будущее может оказаться полно удивительных и неприятных сюрпризов. В частности, возможно появление сингулярностей прямо во время ускоренного расширения! Например, среднее давление квинтэссенции может вдруг "взорваться", — отметил профессор Юров.

То, что такая катастрофа возможна, вычислил в 2004 году профессор Кембриджского университета Джон Бэрроу. Более полное математическое изучение этого вопроса позволило физикам Сергею Одинцову, Синити Нодзири и Синдзи Цудзикаве провести классификацию таких возможных катастрофических сингулярностей будущего.

Группа физиков БФУ им. Канта под руководством профессора Артема Юрова предположила и показала математически, что может существовать целый класс сингулярностей, не охваченных классификацией Одинцова-Нодзири-Цудзикавы. Это означает, что наша Вселенная может погибнуть внезапно. Исследованием российских физиков, которое проводилось при поддержке Проекта 5-100, заинтересовались зарубежные коллеги. В частности, с письмом к авторам обратился Джон Бэрроу.

"Модель, о которой мы говорим — одна из сотен моделей рождения и смерти нашей Вселенной. Авторы из БФУ им. И. Канта корректно рассмотрели модель со специфическим потенциалом скалярного поля, и показали, что масштабный фактор может резко менять свое поведение. Для специалистов эта работа представляет интерес. Ее надо иметь ввиду для будущего, так как она видимо не противоречит современным данным наблюдений", — подчеркнул космолог, профессор НИЯУ МИФИ Сергей Рубин.

Московский Государственный Технический Университет им. Н. Э. Баумана.

Кафедра «Высшая математика».

Домашнее задание по курсу

«теория вероятности».

Вариант № 5.

Выполнил: Котляров А.С.

Группа: МТ6-62

Проверил: Шахов

Москва. 2000 г.

Задача 1. Одновременно бросаются две кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков:

3. заключена в промежутке .

Решение.

Все пространство возможных событий:

={(1,1);(1,2);(1,3);.......................(1,6);

(2,1);(2,2); ..............................(2,6);

........................................................

(6,1);(6,2);...............................(6,6)}.

Число возможных вариантов N=36.

Событие А – сумма очков равна 7.

А={(1,6);(2,5);(3,4);(4,3);(5,2);(6,1)}.

Вероятность события А: P(A)=

Событие B – сумма очков меньше 8.

В={(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6);

(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(3,1);(3,2);(3,3);(3,4);

(4,1);(4,2);(4,3);

Вероятность события В:

Событие С – сумма очков больше 6.

С={(1,6);(2,5);(2,6);(3,4);(3,5);(3,6);(4,3);(4,4);(4,5);(4,6);(5,2);.........(5,6);(6,1);.......(6,6)}.

Вероятность события C:

Событие D – сумма выпавших очков заключена в интервале .

D={(1,2);(1,3);(1,4);(2,1);(2,2);(2,3);(3,1);(3,2);(4,1)}.

Вероятность события D:

Задача 2. На некоторое обслуживающее устройство поступают две заявки. Каждая может поступить в любой момент времени в течение 100 минут. Время обслуживания первой заявки 5 минут, второй – 25 минут. При поступлении заявки на занятое устройство заявка не принимается. При поступлении заявки хотя бы в последний момент времени заявка обслуживается. Найти вероятность того, что:

Обе заявки будут обслужены (событие А);

Будет обслужена одна заявка (событие В).

Р
ешение.

Обозначим: X –время прихода заявки 1,

Y - время прихода заявки 2.

Обе заявки будут обслужены:

а) Заявка 1 пришла первая: YX+5,

(область D1);

б) Заявка 2 пришла первая: XY+25,

(область D2);

Будет обслужена одна заявка:

а) заявка 1:

0X95; Y75 (область D5)

б) заявка 2:

0Y75; X95 (область D6)

в) заявка 2 пришла во время выполнения заявки 1:

XYX+5 (область D3)

г) заявка 1 пришла во время выполнения заявки 2: Y XY+25 (область D4)

Вероятность того, что будет обслужена одна заявка:

Задача 3. Задана электрическая схема системы, состоящей из 5 элементов. Событие - отказ i-го элемента за некоторый промежуток времени. Вероятности безотказной работы заданы:

Событие А – безотказная работа всей системы за рассматриваемый промежуток времени. Требуется:

Р
ешение.

Второй узел, состоящий из элементов 3,4 выходит из строя, если оба эти элементы выходят из строя, т.е. происходит событие (
).

Вся цепь выйдет из строя, если оба узла не будут проводить ток, т.е.:

(
)(
)

Надежность системы:

Задача 4 . Из партии, содержащей 12 изделий, среди которых 7 высшего сорта, для контроля последовательно выбирают наугад 6 изделий. Найти вероятность того, что среди выбранных изделий окажется ровно 5 высшего сорта при условии, что выборка производится:

с возвращением,

без возвращения.

Решение.

1 ) Пусть событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия высшего сорта;

событие (i=1,2,3,4,5)- извлечение изделия не высшего сорта.

Извлекаются 6 изделий из 12. Найдем число возможных сочетаний:

.

Интересующее нас событие В состоит в том, чтобы из 6 выбранных было 5 высшего сорта. Найдем сочетание из 6 по 1:

Вероятность события В:

……………………………………………………

Задача 5. На склад поступили детали, изготовляемые на трех станках. На первом станке изготовлено 60% деталей, на втором – 10%, на третьем – 30%. Вероятность изготовления брака на i-станке равна:

Определить вероятность того, что:

изделие, взятое со склада, оказалось бракованным (событие А);

бракованное изделие изготовлено на i-м станке (событие Bi).

Решение.

событие Hi заключается в том, что изделие изготовлено на i-том станке

;
;
;

Задача 6. Произведено 4 выстрела с постоянной вероятностью попадания равной 0.6.

Для случайной величины m числа попаданий в цель найти:

распределение вероятностей;

функцию распределения и построить ее график;

вероятность попадания случайной величины в интервал ]0.5,2[;

математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение.

1) обозначим:

1. попадание 1 раз

   попадание 2 раза

   попадание 3 раза

   попадание 4 раза

2) найдем функцию распределения:

0X1: F(X)=P(m1)=P(m=0)=0.0256 ;

1X2: F(X)=P(m2)=P(m=0)+P(m=1)=0.0256+0.1536=0.1792 ;

2X3: F(X)=P(m3)=P(m=0)+P(m=1)+P(m=2)=0.1792+0.3456=0.5248 ;

3X4: F(X)=P(m4)=P(m3)+P(m=3)=0.5248+0.3456=0.8704 ;

4X5: F(X)=P(m5)=P(m4)+P(m=5)=0.8704+0.1296=1 ;

определим вероятность попадания случайной величины m в интервал ]0.5;2[ :

P(0.5m2)=P(m=2)=0.3456 ;

для определения математического ожидания воспользуемся формулой:

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

.

Задание №7

Случайная непрерывная величина имеет плотность вероятности f(x) = 32*t*е

Требуется:

1.)Найти её функцию распределения F(x).

2.)Построить графики функции распределения F(x) и плотности вероятности f(x).

3.)Вычислить вероятность попадания случайной величины в (0.5; 2)

Решение.

1.)F(x) = 32*t*e dt = -e + 1

2.)Графики приведены ниже

3.)Вероятность попадания в случайный интервал найдем как:

Р(0.5 < < 2) = F(0.5) – F(2) = 0.0001

4.)

Задача 8. Дана плотность вероятности f(x) случайной величины . Случайная величина  связана со случайной величиной  функциональной зависимостью
. Найти:

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя плотность вероятности случайной величины ;

Плотность вероятности случайной величины  и построить ее график;

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины , используя найденную плотность вероятности случайной величины .

Решение.

1. Математическое ожидание:

2. Плотность вероятности случайной величины :

3. Математическое ожидание:

Дисперсия случайной величины :

Числовые характеристики, вычисленные разными методами, совпадают.

Задача 9. Дана система двух случайных величин (,), закон распределения которой задан таблицей 1. Найти:

Законы распределения случайных величин  и ;

Математические ожидания и дисперсии случайных величин и ;

Решение.

распределение случайной величины :

(2)=0.18+0.15+0.08=0.51

(3)=0.04+0.12+0.12=0.28

(5)=0.06+0.05+0.10=0.21

распределение случайной величины :

(-1)=0.18+0.04+0.06=0.28

(0)=0.15+0.12+0.05=0.32

(1)=0.08+0.12+0.10=0.30

(2)=0.10

Дисперсия случайной величины :

Математическое ожидание случайной величины :

Дисперсия случайной величины :

Корреляционный момент:

Коэффициент корреляции:

(2/0)=
;

(3/0)=

(5/0)=

Условные распределения

Условные математические ожидания:

Задача 10. Система непрерывных случайных величин (,) распределена равномерно в области D, ограниченной линиями x=1, y=0,
x>0;найти:

Решение.

1. Так как распределение равномерное, то f(x;y)=const. Совместную плотность вероятности находим из условия нормировки:

2. Плотности вероятностей случайных величин  и :

.
; x;

; y[-2;0];

Математические ожидания и дисперсии случайных величин  и :

;

;

;

;

;

;

;

Задача 11. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, =а+b+с, где (,) – система случайных величин из задачи 10. а=2; b=-3; c=3.

Решение.

Находим математическое ожидание:

Дисперсия:

=.

3. Динамика финансовых потоков показывает, что в любой момент времени Компания может отвечать по своим обязательствам.

4. Результаты по проекту (коэффициент дисконтирования в расчетах принят на уровне 8% в год):

результаты от реализации проекта (рис.6.4.);

аккумулированные результаты от реализации проекта (рис.6.5.);

Из последнего представленного графика видно, что срок начала возврата средств – 2001 г. (второй год с начала реализации проекта) и срок окупаемости 7 лет (с учетом дисконтирования – 9 лет).

Аккумулированная дисконтированная прибыль составляет $1’466’000.

7.СТРУКТУРА РИСКОВ И МЕРЫ ПО ПРЕДОВРАЩЕНИЮ 7.1.Основные факторы риска

Главными факторами, порождающими основные риски реализации проекта и создающими реальную угрозу существованию компании, являются:

переход от государственного финансирования к совместному финансированию объекта с коммерческими структурами (изменение статуса и организации проведения работ);

высокие темпы намеченного роста услуг (постановка принципиально нового бизнеса);

рынок занят другими, в настоящее время более сильными конкурирующими организациями необходимы неординарные усилия для завоевания рыночной ниши за полгода - год.

7.2.Структура и анализ рисков и меры по их минимизации 7.2.1.Политические риски

Связаны с нестабильностью хозяйственного, налогового, банковского, земельного и других законодательств в РФ, отсутствием поддержки или противодействием правительства и т.п.

Меры по снижению риска:

выработка внутренней налоговой политики;

формирование деловой внешней среды (партнеры, консорциумы, финансово-промышленные группы);

активное участие учредителей во взаимодействии с властными структурами;

придание учреждению статуса медицинского.

7.2.2.Юридические риски

Связаны с несовершенством законодательства, нечетко оформленными документами, неясностью судебных мер в случае разногласий учредителей (например, в иностранном суде и т.п.), затягивание сроков Подрядчиком.

Меры по снижению риска:

четкая и однозначная формулировка соответствующих статей в документах;

привлечение для оформления документов специалистов, имеющих практический опыт в этой области;

выделение необходимых финансовых средств для оплаты высококлассных юристов и переводчиков.

7.2.3.Технические риски

Связаны со сложностью проведения работ и отсутствием на настоящий момент технического проекта.

Возможно неполное использование оборудования и задержка во вводе технических систем.

Меры по снижению риска:

ускоренная проработка (или получение гарантий от поставщиков) технической увязки оборудования и технических комплексов;

заключение контрактов на условии «под ключ» с санкциями за неувязки и срывы сроков;

страхование технических рисков.

7.2.4.Производственные риски

Связаны в первую очередь с возможностью задержек ввода в эксплуатацию новых технических средств и недостаточно высокого качества предоставляемых услуг.

Потенциал выпуска качественных услуг в перспективе высок.

Существенным риском может явиться отсутствие высоко квалифицированного персонала (по оказанию гостиничных услуг).

Меры по снижению рисков:

четкое календарное планирование и управление реализацией проекта;

ускоренная разработка дизайн концепции, включая критерии качества;

разработка и использование продуманной системы контроля качества услуг на всех этапах ее создания;

обоснование и выделение достаточных финансовых средств для приобретения высококачественного оборудования;

подготовка квалифицированных кадров (в том числе за рубежом).

7.2.5.Внутренний социально-психологический риск

При становлении данного вида бизнеса могут возникнуть следующие социально-психологические риски:

социальная напряженность в коллективе;

дефицит, текучесть профессиональных кадров;

наличие деструктивной позиции.

Меры по снижению риска:

подбор профессиональных кадров (включая тестирование), при необходимости – обучение;

выработка механизма стимулирования работников, включая участие в результатах работы Компании;

система сквозной многоуровневой информированности коллектива и управленцев;

разработка эффективного подхода к формированию и распределению фонда оплаты труда.

7.2.6.Маркетинговые риски

Связаны с возможными задержками выхода на рынок, неправильным (без учета потребностей рынка) выбором услуг, ошибочным выбором маркетинговой стратегии, ошибками в ценовой политике и т.п.

Задержки выхода на рынок могут быть вызваны как производственно-техническими причинами, рассмотренными выше, так и неготовностью компании эффективно реализовать и продвинуть на рынок свой технический, производственный, художественный и другой потенциал, что требует соответствующей мировым стандартам маркетинговой программы и реализующей ее службы.

Поскольку в настоящий момент не имеется полномасштабной программы маркетинговых мероприятий, то оценка степени решения маркетинговых задач низкая. В то время как для фирмы, ставящей целью отвоевать часть рынка у конкурирующих фирм, маркетинговые задачи должны быть первоприоритетными.

Анализ конкурентов показывает, что конкурентная борьба будет жесткой, конкуренты имеют ряд преимуществ. В связи с этим необходимо тщательно осознать свои главные преимущества и сфокусировать на них основные усилия и ресурсы.

Меры по снижению риска:

создание сильной маркетинговой службы;

разработка маркетинговой стратегии;

разработка и реализация продуктовой (ассортиментной) политики и подчинение ей деятельности всех подразделений (например, путем разработки и использования технологии управления по результатам);

разработка и реализация программы маркетинговых мероприятий;

проведение полного комплекса маркетинговых исследований и т.п.

7.2.7.Финансовые риски

Связаны в первую очередь с обеспечением доходов, зависящих в первую очередь от рекламы, а также с привлечением инвестиций.

Рабочий вариант финансового плана (Приложение 1) предполагает, что основные финансовые поступления обеспечиваются за счет использования номеров. Снижение цены или загрузки номеров гостиничного комплекса приводит к серьезным трудностям по реализации проекта.

Меры по снижению риска:

неотложное проведение исследований требований потребителей услуг;

разработка и использование продуманной системы контроля качества услуг на всех этапах их создания;

обоснование и выделение достаточных финансовых средств для создания и приобретения высококачественного оборудования;

использование подхода диверсификации источников дохода, в первую очередь, за счет связки «офис-номера»;

выход на фондовый рынок.

Другим важнейшим фактором финансового риска является необходимость своевременного получения крупных инвестиций.

Наличие инвестиций является необходимым условием начала проекта: насколько они задержатся, настолько задержится начало проекта.

Таким образом, инвестиции – это самый жесткий и жизненно важный фактор.

Меры по снижению риска:

разнообразие предлагаемых схем финансирования проекта;

разработка инвестиционно-финансовой стратегии, целью которой является попадание в зону прибыльного функционирования;

проведение комплекса мер по поиску инвестиционных и кредитных ресурсов.

Ближайшие шаги разработчиков и собственников проекта:

проведение углубленной проблемной диагностики проекта;

проведение комплекса мер по поиску инвестиционных и кредитных ресурсов;

организация коллективной работы руководства верхнего и среднего уровня с консультантами по выработке стратегии и конкретной программы мероприятий, в первую очередь, связанных с маркетингом, рекламой и диверсификацией и обеспечивающих:

установление АО;

высокую экономическую эффективность проекта;

минимизацию риска;

формирование и организационное оформление команд для реализации выработанных мероприятий;

поиск стратегических зарубежных партнеров, имеющих опыт в создании подобных учреждений и способных оказать техническую и инвестиционную поддержку.

#ФАЙЛ: Buisnes-Plan.INF
#ТЕМА: Бизнес-План "СОЗДАНИЕ ГОСТИНИЧНОГО КОМПЛЕКСА "
#РАЗДЕЛ: Менеджмент
#НАЗHАЧЕHИЕ: Бизнес-План
#ФОРМАТ: WinWord
#

Таблица 3.2.

Качественная характеристика гостиниц г. Москвы

№

Название гостиницы

Адрес гостиницы

Катего-рия

Число мест

Всего номеров

Зеленодольская ул.,3,к.2

Ботаническая ул.,41

Плотников пер.,12

10-летия Октября ул.,11

Аэростар

Ленинградский пр-т,37

Аэрофлот

Ленинградский пр-т,37

Смоленская ул,8

Будапешт

Петровские линии,18/22

Ленинский пр-т,2/1

Вилла Переделкино

Чоботовская 1-ая аллея,2а

Докучаев пер.,2

Гостиничная ул.,9а

Ярославская ул.,17

Даниловская

Староданиловский Б. пер.,5

Ягодная ул.,15

Золотое кольцо

Смоленская ул.,5

Вернадского просп.,16

Лианозовская

Дмитровское ш,108

Вавилова ул.,7а

Филевская Б.ул.,25

Металлург

Октябрьский пер.,12

Молодежный

Дмитровское ш.,27

Ибрагимова ул.,30

Никоновка

Никоновский пер.,3/1

Косыгина ул.,15

Роял-Зенит

Таманская ул.,49,к.Б

Ярославское ш.,116,к.2

Северная

Сущевский Вал,50

Седьмой этаж

Вернадского просп,88,к.1,этаж7

Крылатская ул.,2

Ленинский пр-т,90/2

Ленинский пр-т,38

Литовский б-р,3а

1812-го года ул.,6а

Центральный Дом Туриста

Ленинский пр-т,146

Верхние Поля ул.,27

Электрон-1

Андропова пр.,38,к.2

Электрон-2

Нагорная,19

Балаклавский пр-т,2,к.2

Ярославская

Ярославская ул.,8

Таблица 3.3.

Характеристика услуг гостиниц г. Москвы

№

Название гостиницы

Ин.п люкс

Кр. карты

Адм. През-та РФ

цирковая

Аэростар

Аэрофлот

Будапешт

Вилла Переделкино

Даниловская

патриар-хия

Золотое кольцо

Адм. През-та РФ

Лианозовская

Мин. экон.

Металлург

Молодежный

Никоновка

Роял-Зенит

Северная

Седьмой этаж

Центральный Дом Туриста

Электрон-1

Электрон-2

Ярославская

Приложение 2

Финансовый план

Таблица 1: Капиталовложения в проект (динамика и структура), тыс.$US

Таблица 2: Источники финансирования, тыс.$US

№

Центры вложений

Российские заимодатели

Инопартнер

Результаты проекта возврат оборотных средств прибыль от проекта

Таблица 3: Расчеты по кредиту, тыс.$US

Проценты по кредиту 12% годовых

Выплаты: раз в год

Суммарные выплаты 0.0 ТЫС

№

Центры вложений

Взятый кредит

Кредит аккумулированный

Проценты по кредиту

Оплата процентов

Таблица 4: Структура себестоимости, тыс.$US

№

Показатель

Эксплуатационные расходы

Амортизация

Зарплата персонала

Начисления на зарплату

Себестоимость

Таблица 5: Структура поступлений, тыс.$US

№

Центр прибыли

Плата за номер

Аренда офисов

Аренда складов

Дополнительные доходы

Таблица 6: Формирование и распределение прибыли, тыс.$US

Ставка налога на прибыль 30%

Ставка налога на имущество 2"%

№

Показатель

Себестоимость

на прибыль на имущество

Чистая прибыль покрытие кредита на реинвестирование дивиденды

Дивиденды

Статей затрат За отчётный год Сумма, руб. Процент в общей сумме затрат за год, % На одни койко-сутки, руб. 1 Заработная плата основного персонала гостиничного комплекса 1056000 21,31 172,21 2 Единый социальный налог (26% от ФОТ) 274560 5,54 44,77 3 Питание в номерах (завтрак) 766500 15,47 125 4 Амортизация основных средств 1082054 21,83 176,46 5 ...

Инженер, служба ремонта, служба благоустройства территории, служба связи и телекоммуникаций, инспекторы по противопожарной безопасности и технике безопасности. Вспомогательные службы обеспечивают процесс работы гостиничного комплекса, предлагая услуги прачечной, химчистки, портного и др. Дополнительные службы оказывают платные услуги. В их состав входят: бизнес-центр, спортивно-оздоровительный...