Najděte všechny kořeny rovnice, které patří do intervalu. Řešení goniometrických rovnic na intervalu

V tomto článku se pokusím vysvětlit 2 způsoby zakořenění v goniometrické rovnici: pomocí nerovností a pomocí trigonometrické kružnice. Přejděme k jasnému příkladu a za pochodu na to přijdeme.

A) Vyřešte rovnici sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Najděte všechny kořeny této rovnice, které patří do intervalu [-7Pi/2; -2Pi]

Pojďme vyřešit a.

Použijeme redukční vzorec pro sinus sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cos - 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

Cox = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2pin, n ∈ Z

Řešíme bod b.

1) Výběr kořenů pomocí nerovností

Zde je vše provedeno jednoduše, získané kořeny dosadíme do nám daného intervalu [-7Pi / 2; -2Pi], najděte celočíselné hodnoty pro n.

7Pi/2 je menší nebo roven Pi/2 + Pin je menší nebo roven -2Pi

Okamžitě vše vydělte pí

7/2 menší nebo rovno 1/2 + n menší nebo rovno -2

7/2 - 1/2 menší nebo rovno n menší nebo rovno -2 - 1/2

4 menší nebo rovno n menší nebo rovno -5/2

Celá čísla n v této mezeře jsou -4 a -3. Takže kořeny patřící do tohoto intervalu budou Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

Podobně uděláme další dvě nerovnosti

7Pi/2 je menší nebo rovno Pi/4 + 2Pin je menší nebo rovno -2Pi
-15/8 menší nebo rovno n menší nebo rovno -9/8

V tomto intervalu nejsou žádná celá čísla n

7Pi/2 menší nebo rovno -Pi/4 + 2Pin menší nebo rovno -2Pi
-13/8 menší nebo rovno n menší nebo rovno -7/8

Jedno celé číslo n v této mezeře je -1. Takže vybraný kořen na tomto intervalu je -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Takže odpověď v odstavci b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Výběr kořenů pomocí trigonometrické kružnice

Chcete-li použít tuto metodu, musíte pochopit, jak tento kruh funguje. Se bude snažit prostý jazyk vysvětlit, jak tomu rozumím. Myslím, že ve školách v hodinách algebry bylo toto téma mnohokrát vysvětleno chytrými slovy učitele, v učebnicích jsou složité formulace. Osobně to chápu jako kruh, který lze nekonečněkrát obcházet, vysvětluje se to tím, že funkce sinus a kosinus jsou periodické.

Jdeme dokola proti směru hodinových ručiček

Obejděte 2x proti směru hodinových ručiček

Jděte kolem 1krát ve směru hodinových ručiček (hodnoty budou záporné)

Vraťme se k naší otázce, potřebujeme vybrat kořeny na intervalu [-7Pi/2; -2Pi]

Abyste se dostali k číslům -7Pi / 2 a -2Pi, musíte kruh obejít dvakrát proti směru hodinových ručiček. Abychom našli kořeny rovnice na tomto intervalu, je nutné odhadnout a dosadit.

Uvažujme x = Pi/2 + Pin. Jaká je přibližná hodnota n pro x, aby bylo někde v tomto rozsahu? Dosadíme, řekněme -2, dostaneme Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, samozřejmě to není zahrnuto v našem rozsahu, pak vezmeme méně než -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, toto je vhodné, zkusme další -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, také vhodné.

Při argumentaci podobně pro Pi/4 + 2Pin a -Pi/4 + 2Pin najdeme další kořen -9Pi/4.

Srovnání dvou metod.

První způsob (pomocí nerovností) je mnohem spolehlivější a mnohem snáze pochopitelný, ale pokud opravdu vážně rozumíte trigonometrickému kruhu a druhému způsobu výběru, pak bude výběr kořenů mnohem rychlejší, můžete ušetřit asi 15 minut na zkoušce.

Úkol 1

Logika je jednoduchá: uděláme to jako dříve, přestože goniometrické funkce mají nyní složitější argument!

Pokud bychom měli řešit rovnici ve tvaru:

Pak bychom napsali následující odpověď:

Nebo (protože)

Ale teď hrajeme následující výraz:

Pak můžete napsat:

Naším cílem s vámi je udělat to tak, abyste nalevo stáli jednoduše, bez jakýchkoliv „nečistot“!

Pojďme se jich zbavit!

Nejprve odstraňte jmenovatele na: Chcete-li to provést, vynásobte naši rovnost:

Nyní se zbavíme tím, že jím vydělíme obě části:

Nyní se zbavme osmi:

Výsledný výraz lze zapsat jako 2 řady řešení (analogicky s kvadratickou rovnicí, kde diskriminant buď sčítáme, nebo odečítáme)

Musíme najít největší záporný kořen! Je jasné, že je potřeba třídit.

Podívejme se nejprve na první sérii:

Je jasné, že když vezmeme, pak ve výsledku dostaneme kladná čísla, ale nás nezajímají.

Musí se to tedy brát negativně. Nech být.

Když už bude kořen:

A musíme najít největší záporák!! Takže jít zde negativním směrem už nemá smysl. A největší záporná odmocnina pro tuto řadu bude stejná.

Nyní zvažte druhou sérii:

A znovu nahradíme: , pak:

Nemám zájem!

Pak už to nemá smysl zvyšovat! Pojďme snížit! Nechte tedy:

Hodí se!

Nech být. Pak

Pak - největší záporný kořen!

Odpovědět:

Úkol č. 2

Opět řešíme, bez ohledu na složitý kosinusový argument:

Nyní vyjádříme znovu vlevo:

Vynásobte obě strany

Rozdělte obě strany

Zbývá jej posunout doprava a změnit jeho znaménko z mínus na plus.

Opět dostaneme 2 řady kořenů, jednu s a druhou s.

Musíme najít největší záporný kořen. Zvažte první sérii:

Je jasné, že dostaneme první zápornou odmocninu at, bude se rovnat a bude to největší záporná odmocnina v řadě 1.

Pro druhou sérii

První záporná odmocnina bude také získána na a bude se rovnat. Od, pak je největší záporný kořen rovnice.

Odpovědět: .

Úkol #3

Rozhodneme se bez ohledu na složitý argument tečny.

Zdá se, že to není nic složitého, že?

Stejně jako dříve vyjadřujeme na levé straně:

No, to je skvělé, obecně existuje pouze jedna řada kořenů! Opět najděte největší zápor.

Je jasné, že to dopadne, pokud dáme . A tento kořen je rovný.

Odpovědět:

Nyní se pokuste sami vyřešit následující problémy.

Domácí úkol nebo 3 úkoly k samostatnému řešení.

1. Re-shi-te rovnice.
   
2. Re-shi-te rovnice.
   V from-ve-te on-pi-shi-te nejmenší kořen in-lo-zhi-tel-ny.
3. Re-shi-te rovnice.
   V from-ve-te on-pi-shi-te nejmenší kořen in-lo-zhi-tel-ny.

připraveni? kontrolujeme. Nebudu podrobně popisovat celý algoritmus řešení, zdá se mi, že mu již byla věnována dostatečná pozornost výše.

Dobře, je všechno v pořádku? Ach, ty ošklivé dutiny, s nimi jsou vždycky nějaké potíže!

Nyní můžete vyřešit nejjednodušší goniometrické rovnice!

Podívejte se na řešení a odpovědi:

Úkol 1

Vyjádřit

Nejmenší kladný kořen získáme, pokud dáme, since, then

Odpovědět:

Úkol č. 2

Nejmenší kladná odmocnina bude získána při.

Bude rovný.

Odpovědět: .

Úkol #3

Když dostaneme, když máme.

Odpovědět: .

Tyto znalosti vám pomohou vyřešit mnoho problémů, se kterými se u zkoušky setkáte.

Pokud žádáte o hodnocení „5“, pak stačí přejít ke čtení článku pro střední úroveň, který bude věnován řešení složitějších goniometrických rovnic (úloha C1).

STŘEDNÍ ÚROVEŇ

V tomto článku popíšu řešení goniometrických rovnic složitějšího typu a jak vybrat jejich kořeny. Zde se zaměřím na následující témata:

1. Goniometrické rovnice pro vstupní úroveň (viz výše).

Složitější goniometrické rovnice jsou základem problémů se zvýšenou složitostí. Vyžadují jak řešení samotné rovnice v obecném tvaru, tak nalezení kořenů této rovnice, které patří do nějakého daného intervalu.

Řešení goniometrických rovnic je redukováno na dva dílčí úkoly:

1. Řešení rovnice
2. Výběr kořene

Je třeba poznamenat, že druhý není vždy vyžadován, ale ve většině příkladů je stále nutné provést výběr. A pokud to není vyžadováno, pak můžete spíše sympatizovat - to znamená, že rovnice je sama o sobě poměrně komplikovaná.

Moje zkušenost s analýzou úloh C1 ukazuje, že jsou obvykle rozděleny do následujících kategorií.

Čtyři kategorie úloh se zvýšenou složitostí (dříve C1)

1. Rovnice redukující na faktorizaci.
2. Rovnice, které se redukují do tvaru.
3. Rovnice řešené změnou proměnné.
4. Rovnice vyžadující dodatečný výběr kořenů kvůli iracionalitě nebo jmenovateli.

Jednoduše řečeno: pokud dostanete jeden z prvních tří typů rovnic pak se považujte za šťastného. Pro ně je zpravidla nutné navíc vybrat kořeny patřící do určitého intervalu.

Pokud narazíte na rovnici typu 4, pak máte menší štěstí: musíte se s ní déle a pečlivěji potýkat, ale často to nevyžaduje další výběr kořenů. Přesto tento typ rovnic rozeberu v příštím článku a tento budu věnovat řešení rovnic prvních tří typů.

Rovnice redukce na faktoring

Nejdůležitější věc, kterou si musíte zapamatovat, abyste mohli řešit rovnice tohoto typu, je

Jak ukazuje praxe, tato znalost zpravidla stačí. Podívejme se na několik příkladů:

Příklad 1. Rovnice, která redukuje na faktorizaci pomocí vzorců redukce a sinusu dvojitého úhlu

• Re-shi-te rovnice
• Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice

Zde, jak jsem slíbil, licí vzorce fungují:

Pak bude moje rovnice vypadat takto:

Pak bude moje rovnice mít následující tvar:

Krátkozraký student by mohl říci: a teď zmenším obě části o, dostanu nejjednodušší rovnici a užijte si života! A bude se hořce mýlit!

PAMATUJTE: NIKDY NEREDUKTUJTE OBĚ ČÁSTI TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE PRO FUNKCI OBSAHUJÍCÍ NEZNÁMÉ! TAKTO ZTRATÍTE KOŘENY!

Tak co dělat? Ano, vše je jednoduché, přeneste vše jedním směrem a vyjměte společný faktor:

Tak jsme to vyloučili, hurá! Nyní se rozhodujeme:

První rovnice má kořeny:

A druhý:

Tím je první část problému hotová. Nyní musíme vybrat kořeny:

Mezera je taková:

Nebo to lze napsat i takto:

No, vezměme kořeny:

Nejprve pracujme s první sérií (a je to přinejmenším jednodušší!)

Vzhledem k tomu, že náš interval je zcela záporný, není třeba brát nezáporné, stále budou dávat nezáporné kořeny.

Vezměme to tedy - trochu moc, nehodí se to.

Nechte tedy - opět netrefil.

Ještě jeden pokus – pak – tam, trefte se! První kořen nalezen!

Střílím znovu: pak - znovu udeř!

Tak ještě jednou: - to už je úlet.

Takže z první řady patří 2 kořeny do intervalu: .

Pracujeme s druhou sérií (budujeme k moci podle pravidla):

Podstřelit!

Opět chybí!

Opět nedostatek!

Mám to!

Let!

Do mého rozsahu tedy patří následující kořeny:

Tento algoritmus použijeme k řešení všech ostatních příkladů. Pojďme si společně procvičit ještě jeden příklad.

Příklad 2. Rovnice, která redukuje na faktorizaci pomocí redukčních vzorců

• Vyřešte rovnici

Rozhodnutí:

Opět notoricky známé herecké vzorce:

Opět se nepokoušejte řezat!

První rovnice má kořeny:

A druhý:

Nyní opět hledání kořenů.

Začnu druhou sérií, o ní už vím vše z předchozí ukázky! Podívejte se a ujistěte se, že kořeny patřící k mezeře jsou následující:

Nyní první série a je to jednodušší:

Pokud - vhodné

Pokud - také dobré

Pokud - již let.

Potom budou kořeny:

Samostatná práce. 3 rovnice.

Dobře, rozumíte technice? Řešení goniometrických rovnic se již nezdá tak obtížné? Pak sami rychle vyřešte následující problémy a vy a já vyřešíme další příklady:

1. Vyřešte rovnici
   Najděte všechny kořeny této rovnice, které jsou připojeny k mezeře.
2. Re-shi-te rovnice
   Uveďte kořeny rovnice, které jsou připojeny k řezu
3. Re-shi-te rovnice
   Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, at-nad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Rovnice 1

A opět licí vzorec:

První řada kořenů:

Druhá řada kořenů:

Zahájíme výběr pro interval

Odpovědět: , .

Rovnice 2 Kontrola samostatné práce.

Docela složité seskupování do faktorů (použiji vzorec pro sinus dvojitého úhlu):

pak nebo

Toto je obecné řešení. Nyní musíme zakořenit. Problém je v tom, že nemůžeme říct přesnou hodnotu úhlu, jehož kosinus je roven jedné čtvrtině. Proto se nemohu jen tak zbavit arccosinu - taková nepříjemnost!

Co mohu udělat, je zjistit, že od té doby.

Udělejme tabulku: interval:

No, bolestným hledáním jsme došli k neuspokojivému závěru, že naše rovnice má jeden kořen v uvedeném intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Rovnice 3. Ověření samostatné práce.

Děsivá rovnice. Řeší se to však docela jednoduše použitím vzorce pro sinus dvojitého úhlu:

Zkrátíme to o 2:

Seskupujeme první termín s druhým a třetí se čtvrtým a vyjmeme společné faktory:

Je jasné, že první rovnice nemá kořeny, a nyní zvažte druhou:

Obecně jsem se chtěl zabývat řešením takových rovnic o něco později, ale protože se ukázalo, nedalo se nic dělat, museli jsme se rozhodnout ...

Rovnice formuláře:

Tato rovnice je vyřešena vydělením obou stran:

Naše rovnice má tedy jedinou řadu kořenů:

Musíte najít ty z nich, které patří do intervalu: .

Znovu sestavíme tabulku, jako jsem to udělal předtím:

Odpovědět: .

Rovnice, které se redukují do tvaru:

No a teď je čas přejít k druhé části rovnic, zvláště když už jsem vyhrkl, v čem spočívá řešení nového typu goniometrických rovnic. Ale nebude zbytečné opakovat rovnici tvaru

Řeší se dělením obou částí kosinusem:

1. Re-shi-te rovnice
   Označte kořeny rovnice, které jsou připojeny k cut-off.
2. Re-shi-te rovnice
   Uveďte kořeny rovnice, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Příklad 1

První je docela jednoduchý. Přesuňte se doprava a použijte vzorec s dvojitým úhlem kosinus:

Aha! Typ rovnice: . Obě části rozděluji na

Provádíme odstranění kořenů:

Mezera:

Odpovědět:

Příklad 2

Vše je také docela triviální: otevřeme závorky vpravo:

Základní trigonometrická identita:

Sinus dvojitého úhlu:

Nakonec dostaneme:

Třídění kořenů: mezera.

Odpovědět: .

No, jak se vám líbí technika, není příliš složitá? Doufám, že ne. Okamžitě můžeme provést rezervaci: v čisté formě jsou rovnice, které se okamžitě redukují na rovnici pro tečnu, poměrně vzácné. Obvykle je tento přechod (dělení kosinusem) pouze částí většího problému. Zde je příklad k procvičení:

• Re-shi-te rovnice
• Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez.

Pojďme zkontrolovat:

Rovnice je vyřešena okamžitě, stačí obě části vydělit:

Prosévání kořenů:

Odpovědět: .

Tak či onak jsme se ještě nesetkali s rovnicemi toho druhu, o kterém jsme právě hovořili. Na závěr je však ještě příliš brzy: existuje ještě jedna „vrstva“ rovnic, kterou jsme neanalyzovali. Tak:

Řešení goniometrických rovnic změnou proměnné

Vše je zde transparentní: rovnici se podíváme pozorně, maximálně ji zjednodušíme, provedeme náhradu, vyřešíme, provedeme inverzní náhradu! Slovy, všechno je velmi snadné. Podívejme se na to v akci:

Příklad.

• Řešte rovnici: .
• Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez.

No a zde se nám samotná výměna navrhuje do rukou!

Pak naše rovnice zní takto:

První rovnice má kořeny:

A ta druhá je taková:

Nyní najdeme kořeny, které patří do intervalu

Odpovědět: .

Pojďme se společně podívat na trochu složitější příklad:

• Re-shi-te rovnice
• Uveďte kořeny dané rovnice, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Zde není náhrada hned vidět, navíc není příliš patrná. Nejprve se zamysleme: co můžeme dělat?

Můžeme si např. představit

A zároveň

Pak moje rovnice zní:

A teď pozornost, soustřeďte se:

Rozdělme obě strany rovnice na:

Najednou jsme pro tebe a já dostali kvadratickou rovnici! Udělejme substituci, pak dostaneme:

Rovnice má následující kořeny:

Nepříjemná druhá řada kořenů, ale nedá se nic dělat! Provádíme výběr kořenů na intervalu.

I to musíme vzít v úvahu

Od té doby

Odpovědět:

Chcete-li se upevnit, než problémy vyřešíte sami, je zde pro vás další cvičení:

• Re-shi-te rovnice
• Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, at-nad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.

Zde musíte mít oči otevřené: máme jmenovatele, kteří mohou být nula! Proto musíte být obzvláště pozorní ke kořenům!

Nejprve potřebuji transformovat rovnici, abych mohl provést vhodnou substituci. Momentálně mě nenapadá nic lepšího, než přepsat tečnu na sinus a kosinus:

Nyní půjdu od kosinu k sinu podle základní trigonometrické identity:

A nakonec vše přivedu ke společnému jmenovateli:

Nyní mohu přejít k rovnici:

Ale u (tj. u).

Nyní je vše připraveno k výměně:

Pak buď

Pozor však, když, tak zároveň!

Kdo tím trpí? Problém je s tečnou, ta není definována, když je kosinus nula (nastává dělení nulou).

Kořeny rovnice jsou tedy:

Nyní vyloučíme kořeny v intervalu:

	- sedí
	- Vyhledávání

Naše rovnice má tedy jeden kořen na intervalu a ten se rovná.

Vidíte: vzhled jmenovatele (stejně jako tečna vede k určitým potížím s kořeny! Zde musíte být opatrnější!).

Rozbor goniometrických rovnic už máme skoro hotový, zbývá už jen velmi málo - vyřešit dva problémy sami. Zde jsou.

1. Vyřešte rovnici
   Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez.
2. Re-shi-te rovnice
   Uveďte kořeny této rovnice, které jsou připojeny k řezu.

Rozhodl jsem se? Ne moc těžké? Pojďme zkontrolovat:

1. Pracujeme podle redukčních vzorců:

   Dosadíme do rovnice:

   Pojďme si vše přepsat na kosinus, aby bylo pohodlnější provést náhradu:

   Nyní je snadné provést náhradu:

   Je jasné, že jde o cizí kořen, protože rovnice nemá řešení. Pak:

   Na intervalu hledáme kořeny, které potřebujeme

   Odpovědět: .

2. 
   Zde je náhrada okamžitě viditelná:

   Pak buď

   	- sedí!	- sedí!
   	- sedí!	- sedí!
   	- hodně!	- také hodně!

   Odpovědět:

Tak a teď všechno! Tím ale řešení goniometrických rovnic nekončí, nechali jsme za sebou ty nejtěžší případy: když je v rovnicích iracionalita nebo různé druhy „složitých jmenovatelů“. Jak takové úkoly vyřešit, zvážíme v článku pro pokročilou úroveň.

POKROČILÁ ÚROVEŇ

Kromě goniometrických rovnic uvažovaných v předchozích dvou článcích uvažujeme o další třídě rovnic, které vyžadují ještě pečlivější analýzu. Tyto trigonometrické příklady obsahují buď iracionalitu, nebo jmenovatele, což ztěžuje jejich analýzu.. S těmito rovnicemi se však můžete setkat v části C zkouškové práce. Je tu však stříbro: u takových rovnic se již zpravidla neklade otázka, který z jejích kořenů patří do daného intervalu. Netlučme se, ale jen trigonometrické příklady.

Příklad 1

Vyřešte rovnici a najděte ty kořeny, které patří do segmentu.

Rozhodnutí:

Máme jmenovatele, který by se neměl rovnat nule! Pak se rozhodněte daná rovnice je stejné jako řešení systému

Pojďme vyřešit každou z rovnic:

A teď to druhé:

Nyní se podívejme na seriál:

Je jasné, že tato možnost nám nevyhovuje, protože v tomto případě je jmenovatel nastaven na nulu (viz vzorec pro kořeny druhé rovnice)

Pokud - pak je vše v pořádku a jmenovatel se nerovná nule! Potom kořeny rovnice jsou: , .

Nyní vybereme kořeny patřící do intervalu.

	- není vhodné	- sedí
	- sedí	- sedí
	výčet	výčet

Potom kořeny jsou:

Víte, i výskyt malé interference ve formě jmenovatele významně ovlivnil řešení rovnice: zavrhli jsme řadu kořenů, které jmenovatele anulují. Věci se mohou ještě zkomplikovat, pokud narazíte na trigonometrické příklady, které mají iracionalitu.

Příklad 2

Řešte rovnici:

Rozhodnutí:

No, alespoň nemusíte vybírat kořeny, a to je dobře! Pojďme nejprve vyřešit rovnici, bez ohledu na iracionalitu:

A co, to je vše? Ne, bohužel, to by bylo příliš snadné! Je třeba si uvědomit, že pod odmocninou mohou stát pouze nezáporná čísla. Pak:

Řešení této nerovnosti:

Nyní zbývá zjistit, zda část kořenů první rovnice nedopatřením nespadla do místa, kde nerovnost neplatí.

K tomu můžete znovu použít tabulku:

	: , ale	Ne!
		Ano!
		Ano!

Tak mi jeden z kořenů „vypadl“! Ukázalo se, že pokud dáte . Pak lze odpověď napsat takto:

Odpovědět:

Vidíte, kořen vyžaduje ještě větší pozornost! Pojďme to zkomplikovat: nechť teď mám pod kořenem goniometrickou funkci.

Příklad 3

Jako předtím: nejprve vyřešíme každou zvlášť, a pak se zamyslíme nad tím, co jsme udělali.

Nyní druhá rovnice:

Nyní je nejtěžší zjistit, zda jsou pod aritmetickým kořenem získány záporné hodnoty, pokud tam dosadíme kořeny z první rovnice:

Číslo je třeba chápat jako radiány. Protože radián je přibližně stupňů, radiány jsou přibližně stupňů. Tohle je roh druhé čtvrtiny. Jaké je znaménko kosinusu druhého čtvrtletí? Mínus. A co sinus? Plus. Tak co ten výraz:

Je to méně než nula!

Takže - není kořen rovnice.

Nyní se otočte.

Porovnejme toto číslo s nulou.

Kotangens je funkce klesající o 1 čtvrtinu (čím menší argument, tím větší kotangens). radiány jsou přibližně stupňů. Ve stejný čas

od té doby a proto
,

Odpovědět: .

Může to být ještě těžší? Nemáš zač! Bude to obtížnější, pokud bude kořenem stále goniometrická funkce a druhá část rovnice bude opět goniometrická funkce.

Čím více trigonometrických příkladů, tím lépe, podívejte se dále:

Příklad 4

Kořen není vhodný kvůli omezenému kosinusu

Teď ten druhý:

Zároveň podle definice kořene:

Musím si pamatovat jednotkový kruh: jmenovitě ty čtvrtiny, kde je sinus menší než nula. Co jsou tyto prostory? Třetí a čtvrtý. Pak nás budou zajímat ta řešení první rovnice, která leží ve třetím nebo čtvrtém kvadrantu.

První řada dává kořeny ležící na průsečíku třetí a čtvrté čtvrtiny. Druhá řada je od ní diametrálně odlišná a dává vzniknout kořenům ležícím na pomezí první a druhé čtvrtiny. Proto nám tato řada nevyhovuje.

Odpovědět: ,

A znovu trigonometrické příklady s "obtížnou iracionalitou". Nejen, že máme opět goniometrickou funkci pod kořenem, ale nyní je i ve jmenovateli!

Příklad 5

No, nedá se nic dělat – chováme se jako předtím.

Nyní pracujeme se jmenovatelem:

nechci rozhodovat trigonometrická nerovnost, a proto budu jednat lstivě: vezmu a dosadím svou řadu kořenů do nerovnosti:

Pokud je sudá, pak máme:

protože pak všechny úhly pohledu leží ve čtvrté čtvrtině. A opět posvátná otázka: jaké je znamení sinusu ve čtvrté čtvrtině? Záporný. Pak ta nerovnost

Pokud je liché, pak:

V jaké čtvrtině je úhel? Tohle je roh druhé čtvrtiny. Pak jsou všechny rohy opět rohy druhé čtvrtiny. Sinus je kladný. Přesně to, co potřebujete! Takže série je:

Hodí se!

S druhou řadou kořenů nakládáme stejným způsobem:

Dosaďte do naší nerovnosti:

Pokud je sudý, pak

Rohy první čtvrtiny. Sinus je tam kladný, takže řada je vhodná. Nyní, pokud je to liché, pak:

taky sedí!

Tak a teď zapíšeme odpověď!

Odpovědět:

No, tohle byl možná nejpracnější případ. Nyní vám nabízím úkoly k samostatnému řešení.

Cvičení

1. Vyřešte a najděte všechny kořeny rovnice, které patří do segmentu.

Řešení:

1. 
   První rovnice:
   nebo
   Kořen ODZ:

   Druhá rovnice:

   Výběr kořenů, které patří do intervalu

   Odpovědět:

Nebo
nebo
Ale

Zvážit: . Pokud je sudý, pak
- nesedí!
Pokud - liché, : - sedí!
Naše rovnice má tedy následující řadu kořenů:
nebo
Výběr kořenů na intervalu:

	- není vhodné	- sedí
	- sedí	- hodně
	- sedí	hodně

Odpovědět: , .

Nebo
Od té doby, když tečna není definována. Okamžitě zahoďte tuto sérii kořenů!

Druhá část:

To přitom ODZ požaduje

Zkontrolujeme kořeny nalezené v první rovnici:

Pokud podepíšete:

Úhly první čtvrtiny, kde je tečna kladná. Není vhodné!
Pokud podepíšete:

Roh čtvrté čtvrtiny. Tam je tečna záporná. Vyhovuje. Napište odpověď:

Odpovědět: , .

V tomto článku jsme společně rozebrali složité goniometrické příklady, ale rovnice byste měli být schopni vyřešit sami.

SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá přísně pod znaménkem goniometrická funkce.

Existují dva způsoby, jak řešit trigonometrické rovnice:

Prvním způsobem je použití vzorců.

Druhý způsob je přes trigonometrický kruh.

Umožňuje měřit úhly, najít jejich sinus, kosinus a další.

Můžete si objednat podrobné řešení vašeho problému!!!

Rovnost obsahující neznámou pod znaménkem goniometrické funkce (`sin x, cos x, tg x` nebo `ctg x`) se nazývá goniometrická rovnice a jejich vzorcem se budeme dále zabývat.

Nejjednodušší rovnice jsou `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je úhel, který má být nalezen, `a` je libovolné číslo. Napišme kořenové vzorce pro každý z nich.

1. Rovnice `sin x=a`.

Pro `|a|>1` nemá žádná řešení.

S `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.

Kořenový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnice `cos x=a`

Když `|a|>1` - jako v případě sinus, řešení mezi reálná čísla nemá.

S `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.

Kořenový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Speciální případy pro sinus a kosinus v grafech.

3. Rovnice `tg x=a`

Má nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.

Kořenový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnice `ctg x=a`

Má také nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.

Kořenový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pro kořeny goniometrických rovnic v tabulce

Pro sinus:
Pro kosinus:
Pro tečnu a kotangensu:
Vzorce pro řešení rovnic obsahujících inverzní goniometrické funkce:

Metody řešení goniometrických rovnic

Řešení jakékoli goniometrické rovnice se skládá ze dvou fází:

• pomocí jej převést na nejjednodušší;
• vyřešte výslednou jednoduchou rovnici pomocí výše uvedených vzorců pro kořeny a tabulky.

Zvažme hlavní metody řešení pomocí příkladů.

algebraická metoda.

V této metodě se provádí nahrazení proměnné a její nahrazení rovností.

Příklad. Vyřešte rovnici: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

proveďte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, poté `2y^2-3y+1=0`,

najdeme kořeny: `y_1=1, y_2=1/2`, z nichž vyplývají dva případy:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpověď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizace.

Příklad. Vyřešte rovnici: `sin x+cos x=1`.

Rozhodnutí. Posuňte doleva všechny členy rovnosti: `sin x+cos x-1=0`. Pomocí , transformujeme a faktorizujeme levou stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpověď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukce na homogenní rovnici

Nejprve musíte tuto trigonometrickou rovnici převést do jedné ze dvou forem:

`a sin x+b cos x=0` (homogenní rovnice prvního stupně) nebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogenní rovnice druhého stupně).

Poté obě části rozdělte `cos x \ne 0` pro první případ a `cos^2 x \ne 0` pro druhý případ. Dostaneme rovnice pro `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, které je nutné vyřešit pomocí známých metod.

Příklad. Vyřešte rovnici: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Rozhodnutí. Zapišme pravou stranu jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x -` ` sin^2 x - cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x - 2 cos^2 x=0`.

Toto je homogenní goniometrická rovnice druhého stupně, vydělením její levé a pravé strany `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) - \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x - 2=0`. Zavedeme náhradu `tg x=t`, výsledkem je `t^2 + t - 2=0`. Kořeny této rovnice jsou `t_1=-2` a `t_2=1`. Pak:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpovědět. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Přejděte do Half Corner

Příklad. Vyřešte rovnici: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Rozhodnutí. Při použití vzorců pro dvojitý úhel je výsledek: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 - 11 tg x/2 +6=0`

Použití výše uvedeného algebraická metoda, dostaneme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpovědět. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedení pomocného úhlu

V trigonometrické rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c jsou koeficienty a x je proměnná, dělíme obě části `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) +b^2)).

Koeficienty na levé straně mají vlastnosti sinus a kosinus, konkrétně součet jejich druhých mocnin je roven 1 a jejich modul není větší než 1. Označte je následovně: `\frac a(sqrt (a^2+ b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2))= C', pak:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Podívejme se blíže na následující příklad:

Příklad. Vyřešte rovnici: `3 sin x+4 cos x=2`.

Rozhodnutí. Vydělením obou stran rovnice `sqrt (3^2+4^2)` ​​dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označte `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Protože `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, bereme `\varphi=arcsin 4/5` jako pomocný úhel. Potom zapíšeme naši rovnost ve tvaru:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorce pro součet úhlů pro sinus zapíšeme naši rovnost v následujícím tvaru:

`sin(x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpovědět. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkově-racionální goniometrické rovnice

Jedná se o rovnosti se zlomky, v jejichž čitatelích a jmenovatelích jsou goniometrické funkce.

Příklad. Vyřešte rovnici. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Rozhodnutí. Vynásobte a vydělte pravou stranu rovnice `(1+cos x)`. V důsledku toho získáme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Vzhledem k tomu, že jmenovatel nemůže být nula, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Srovnejte čitatele zlomku s nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom `sin x=0` nebo `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhledem k tomu, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, řešení jsou `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpovědět. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie a zejména trigonometrické rovnice se používají téměř ve všech oblastech geometrie, fyziky a inženýrství. Učení začíná v 10. třídě, vždy jsou úkoly na zkoušku, tak si zkuste zapamatovat všechny vzorce goniometrických rovnic - určitě se vám budou hodit!

Nemusíte se je však ani učit nazpaměť, hlavní je pochopit podstatu a umět odvodit. Není to tak těžké, jak se zdá. Přesvědčte se sami sledováním videa.

Účel lekce:

A) upevnit schopnost řešit jednoduché goniometrické rovnice;

b) naučit, jak vybrat kořeny goniometrických rovnic z daného intervalu

Během vyučování.

1. Aktualizace znalostí.

a) Kontrola domácího úkolu: třída dostane vedení domácí práce– vyřešte rovnici a najděte způsob, jak vybrat kořeny z daného intervalu.

1) cos X= -0,5, kde xI [-]. Odpovědět:.

2) hřích X= , kde хI . Odpovědět: ; .

3) protože 2 X= -, kde xI. Odpovědět:

Studenti zapisují řešení na tabuli, někteří pomocí grafu, někteří metodou výběru.

V této době třída působí ústně.

Najděte hodnotu výrazu:

a) tg - hřích + cos + hřích. Odpověď: 1.

b) 2 arccos 0 + 3 arccos 1. Odpovědět: ?

c) arcsin + arcsin. Odpovědět:.

d) 5 arctg (-) - arccos (-). Odpovědět:-.

Pojďme zkontrolovat domácí úkoly, otevřít sešity s domácími úkoly.

Někteří z vás našli řešení pomocí přizpůsobení a někteří pomocí grafu.

2. Závěr o tom, jak tyto úkoly řešit a zadání problému, tedy sdělení tématu a účelu lekce.

– a) Těžko řešitelné pomocí výběru, pokud je dán velký interval.

– b) Grafická metoda neposkytuje přesné výsledky, vyžaduje ověření a zabere mnoho času.

- Proto musí existovat ještě alespoň jeden způsob, nejuniverzálnější - zkusme ho najít. Tak co budeme dnes ve třídě dělat? (Naučte se volit kořeny goniometrické rovnice na daném intervalu.)

- Příklad 1. (Student jde k tabuli)

cos X= -0,5, kde xI [-].

Otázka: Co určuje odpověď na tento úkol? (Z společné řešení rovnic. Řešení zapisujeme v obecném tvaru). Řešení je napsáno na tabuli.

x = + 2k, kde k R.

Zapišme toto řešení jako množinu:

- Co myslíte, pod jakým zápisem řešení je vhodné volit kořeny na intervalu? (z druhého záznamu). Ale opět je to volba. Co potřebujeme vědět, abychom dostali správnou odpověď? (Musíme znát hodnoty k).

(Udělejme matematický model pro nalezení k).

protože kI Z, pak k = 0, tedy X= =	z této nerovnosti je zřejmé, že neexistují žádné celočíselné hodnoty k.

Závěr: Chcete-li při řešení goniometrické rovnice vybrat kořeny z daného intervalu, musíte:

1. vyřešit rovnici tvaru hřích x = a, cos x = a výhodnější je zapsat kořeny rovnice jako dvě řady kořenů.
2. pro řešení rovnic tvaru tan x = a, ctg x = a zapsat obecný vzorec kořeny.
3. vytvořte pro každé řešení matematický model ve formě dvojité nerovnosti a najděte celočíselnou hodnotu parametru k nebo n.
4. nahradit tyto hodnoty do kořenového vzorce a vypočítat je.

3. Upevnění.

Vyřešte příklady č. 2 a č. 3 z domácího úkolu pomocí získaného algoritmu. Zároveň u tabule pracují dva žáci a následuje kontrola práce.

Povinné minimální znalosti

sin x \u003d a, -1 a 1 (a 1)
x = arcsin a + 2 n, n Z
x = - arcsin a + 2 n, n Z
nebo
x = (- 1)k arcsin a + k, k Z
arcsin (- a) = - arcsin a
hřích x = 1
x = /2 + 2 k, k Z
hřích x = 0
x = k, kZ
hřích x = - 1
x = -/2 + 2 k, k Z
y
y
X
y
X
X

Povinné minimální znalosti

cos x = a, -1 a 1 (a 1)
x = arccos a + 2 n, n Z
arccos (- a) = - arccos a
cos x = 1
x = 2 k, k Z
cos x = 0
x = /2 + k, kZ
y
y
X
cos x = - 1
x = + 2 k, k Z
y
X
X

Povinné minimální znalosti

tg x = a, a R
x = arctg a + n, n Z
ctg x = a, a R
x = arcctg a + n, n Z
arctg (- a) = - arctg a
arctg (- a) = - arctg a Redukujte rovnici na jedinou funkci
Redukujte na jeden argument
Některé metody řešení
goniometrické rovnice
Aplikace goniometrických vzorců
Použití vzorců pro zkrácené násobení
Faktorizace
Redukce na kvadratickou rovnici sin x, cos x, tg x
Zavedením pomocného argumentu
Vydělením obou stran homogenní rovnice prvního stupně
(asin x +bcosx = 0) na cos x
Vydělením obou stran homogenní rovnice druhého stupně
(a sin2 x +bsin x cos x+ c cos2x =0) na cos2 x

Ústní cvičení Vypočítej

arcsin½
arcsin(-√2/2)
arccos √3/2
arccos (-1/2)
arctan √3
arctan (-√3/3)
= /6
= - /4
= /6
= - arccos ½ = - /3 = 2 /3
= /3
= - /6

(pomocí trigonometrického kruhu)
cos 2x \u003d ½, x [- / 2; 3/2]
2x = ± arccos ½ + 2 n, n Z
2x = ±/3 + 2n, n Z
x = ±/6 + n, n Z
Kořeny vybíráme pomocí trigonometrické kružnice
Odpověď: - /6; /6; 5/6; 7/6

Různé metody selekce kořenů

Najděte kořeny rovnice, které patří do daného intervalu
sin 3x \u003d √3/2, x [- /2; /2]
3x = (– 1)k /3 + k, k Z
x = (– 1)k /9 + k/3, k Z
Kořeny vybereme výčtem hodnot k:
k = 0, x = /9 - patří do intervalu
k = 1, x = - /9 + /3 = 2 /9 - patří do intervalu
k = 2, x = /9 + 2 /3 = 7 /9 - nepatří do intervalu
k = - 1, x = - /9 - /3 = - 4 /9 - patří do intervalu
k = - 2, x = /9 - 2 /3 = - 5 /9 - nepatří do intervalu
Odpověď: -4/9; /devět; 2/9

Různé metody selekce kořenů

Najděte kořeny rovnice, které patří do daného intervalu
(pomocí nerovnosti)
opálení 3x = - 1, x (- /2;)
3x = -/4 + n, n Z
x = -/12 + n/3, n Z
Kořeny vybereme pomocí nerovnosti:
– /2 < – /12 + n/3 < ,
– 1/2 < – 1/12 + n/3 < 1,
– 1/2 + 1/12 < n/3 < 1+ 1/12,
– 5/12 < n/3 < 13/12,
– 5/4 < n < 13/4, n Z,
n = -1; 0; jeden; 2; 3
n \u003d - 1, x \u003d - / 12 - / 3 \u003d - 5 / 12
n = 0, x = – /12
n = 1, x = - /12 + /3 = /4
n \u003d 2, x \u003d - / 12 + 2 / 3 \u003d 7 / 12
n \u003d 3, x \u003d - / 12 + \u003d 11 / 12
Odpověď: - 5/12; - /12; /4; 7/12; 11/12

10. Různé metody selekce kořenů

Najděte kořeny rovnice, které patří do daného intervalu
(pomocí grafu)
cos x = – √2/2, x [–4; 5/4]
x = arccos (– √2/2) + 2n, nZ
x = 3/4 + 2n, nZ
Vyberme kořeny pomocí grafu:
x \u003d - / 2 - / 4 \u003d - 3 / 4; x = - - /4 = - 5 /4
Odpověď: 5/4; 3/4

11. 1. Vyřešte rovnici 72cosx = 49sin2x a naznačte její kořeny na úsečce [; 5/2]

1. Řešte rovnici 72cosx = 49sin2x
a označte jeho kořeny na segmentu [ ; 5/2]
Pojďme řešit rovnici:
72cosx = 49sin2x,
72cosx = 72sin2x,
2cos x = 2sin 2x,
cos x – 2 sinx cosx = 0,
cosx(1–2sinx) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + k, kZ
nebo
1–2 sinx = 0,
hřích x = ½,
x = (-1)n/6 + n, nZ
Vyberme kořeny pomocí
trigonometrický kruh:
x = 2 + /6 = 13/6
Odpovědět:
a) /2 + k, kZ, (-1)n/6 + n, nZ
b) 3/2; 5/2; 13/6

12. 2. Řešte rovnici 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 Najděte její kořeny na úsečce

2. Vyřešte rovnici 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
Najděte jeho kořeny v segmentu
4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0
4cos2x + 8 cos (3/2 - x) +1 = 0,
4cos2x - 8 sin x +1 = 0,
4 - 4 sin2 x - 8 sin x +1 = 0,
4sin 2x + 8sin x - 5 = 0,
D/4 = 16 + 20 = 36,
sin x = -2,5
nebo
sin x = ½
x = (-1)k/6 + k, kZ

13. Vybereme kořeny na segmentu (pomocí grafů)

Vybereme kořeny na segmentu
(pomocí grafů)
sin x = ½
Nakreslete funkce y = sin x a y = ½
x = 4 +/6 = 25/6
Odpověď: a) (-1)k /6 + k, k Z; b) 25.6

14. 3. Řešte rovnici Najděte její kořeny na úsečce

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
4 (sin2 2x + cos2 2x) – cos2 2x = 3 sin2 2x + 4 sin 2x cos 2x,
hřích2 2x + 3 cos2 2x – 4 hřích 2x cos 2x = 0
Pokud cos2 2x = 0, pak sin2 2x = 0, což je nemožné, takže
cos2 2x 0 a obě strany rovnice lze vydělit cos2 2x.
tg22x + 3 – 4 tg2x = 0,
tg22x – 4tg 2x + 3= 0,
tg 2x = 1,
2x = /4 + n, n Z
x = /8 + n/2, n Z
nebo
tg 2x = 3,
2x = arctg 3 + k, k Z
x \u003d ½ arctan 3 + k / 2, k Z

15.

4 - cos2 2x = 3 sin2 2x + 2 sin 4x
x = /8 + n/2, n Z nebo x = ½ arktanu 3 + k/2, k Z
Od 0< arctg 3< /2,
0 < ½ arctg 3< /4, то ½ arctg 3
je řešení
Od 0< /8 < /4 < 1,значит /8
je také řešení
Jiná řešení nebudou spadat
mezera od nich
jsou získány z čísel ½ arctan 3 a /8
sečtením čísel, která jsou násobky /2.
Odpověď: a) /8 + n/2, n Z ; ½ arctan 3 + k/2, k Z
b) /8; ½ arctanu 3

16. 4. Řešte rovnici log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 Najděte její kořeny na úsečce

4. Řešte rovnici log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2
Najděte jeho kořeny v segmentu
Pojďme řešit rovnici:
log5(cos x – sin 2x + 25) = 2
ODZ: cos x - sin 2x + 25 > 0,
cos x - sin 2x + 25 \u003d 25, 25\u003e 0,
cos x – 2sin x cos x = 0,
cos x (1–2 sin x) = 0,
cos x = 0,
x = /2 + n, nZ
nebo
1–2 sinx = 0,
hřích x = 1/2
x = (-1)k/6 + k, kZ

17.

Proveďme výběr kořenů na segmentu
Proveďme výběr kořenů na segmentu:
1) x = /2 + n, n Z
2/2 + n 7/2, n Z
2 1/2 + n 7/2, n Z
2 – ½ n 7/2 – ½, n Z
1,5 n 3, n Z
n = 2; 3
x = /2 + 2 = 5 /2
x = /2 + 3 = 7/2
2) hřích x = 1/2
x = 2 + /6 = 13/6
x = 3 - /6 = 17/6
Odpověď: a) /2 + n, n Z ; (-1)k /6 + k, k Z
b) 13/6; 5/2; 7/2; 17/6

18. 5. Řešte rovnici 1/sin2x + 1/sin x = 2 Najděte její kořeny na úsečce [-5/2; -3/2]

5. Řešte rovnici 1/sin2x + 1/sin x = 2
Najděte jeho kořeny na intervalu [-5/2; -3/2]
Pojďme řešit rovnici:
1/sin2x + 1/sinx = 2
x k
Změna 1/sin x = t,
t2 + t = 2,
t2 + t – 2 = 0,
t1= – 2, t2 = 1
1/sin x = - 2,
sin x \u003d - ½,
x = -/6 + 2 n, n Z
nebo
x = – 5/6 + 2n, nZ
1/sin x = 1,
hřích x = 1,
x = /2 + 2n, nZ
Tato řada kořenů je vyloučena, protože -150º+ 360ºn mimo rozsah
nastavit rozpětí [-450º; -270º]

19.

Pokračujeme ve výběru kořenů na segmentu
Zvažte zbývající řadu kořenů a vyberte kořeny
na intervalu [-5/2; -3 /2] ([-450º; -270º]):
1) x \u003d - / 6 + 2 n, n Z
2) x = /2 + 2n, nZ
-5 /2 - /6 + 2 n -3 /2, n Z
-5 /2 /2 + 2 n -3 /2, n Z
-5/2 -1/6 + 2n -3/2, n Z
-5/2 1/2 + 2n -3/2, n Z
-5/2 +1/6 2n -3/2 + 1/6, n Z
-5/2 - 1/2 2n -3/2 - 1/2, n Z
– 7/3 2n -4/3, n Z
– 3 2n -2, n Z
-7/6 n -2/3, n Z
-1,5 n-1, n Z
n=-1
n=-1
x = - /6 - 2 = -13 /6 (-390º)
x = /2 - 2 = -3 /2 (-270º)
Odpověď: a) / 2 + 2 n, n Z ; (-1)k+1/6 + k, k Z
b) -13/6; -3/2

20. 6. Řešte rovnici |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Najděte její kořeny na úsečce [-1; osm]

Pojďme řešit rovnici
|sinx|/sinx + 2 = 2cosx
1)Pokud sin x >0, pak |sin x| = hřích x
Rovnice bude mít tvar:
2 cosx=3,
cos x \u003d 1,5 - nemá žádné kořeny
2) Je-li hřích x<0, то |sin x| =-sin x
a rovnice bude mít tvar
2cosx=1, cosx=1/2,
x = ±π/3 +2πk, k Z
Vzhledem k tomu, že hřích x< 0, то
zbývá jedna sada odpovědí
x = - π/3 +2πk, k Z
Udělejme výběr kořenů na
segment [-1; osm]
k=0, x= - π/3, - π< -3, - π/3 < -1,
-π/3 do toho nepatří
segment
k=1, x = - π/3 +2π = 5π/3<8,
5 pi/3 [-1; osm]
k=2, x= - π/3 + 4π = 11π/3 > 8,
11π/3 do toho nepatří
segment.
Odpověď: a) - π/3 +2πk, k Z
b) 5
π/3

21. 7. Řešte rovnici 4sin3x=3cos(x- π/2) Najděte její kořeny na intervalu

8. Řešte rovnici √1-sin2x= sin x
Najděte jeho kořeny v intervalu
Vyřešme rovnici √1-sin2x= sin x.
sin x ≥ 0,
1-sin2x=sin2x;
sin x ≥ 0,
2sin2x = 1;
sinx≥0,
sin x =√2/2; sin x = - √2/2;
hřích x =√2/2
x=(-1)k/4 + k, k Z
hřích x =√2/2

25. Proveďme výběr kořenů na segmentu

Proveďme výběr kořenů na segmentu
x=(-1)k/4 + k, k Z
hřích x =√2/2
y=sin x a y=√2/2
5 /2 + /4 = 11 /4
Odpověď: a) (-1)k /4 + k, k Z ;b) 11 /4

26. 9. Řešte rovnici (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Najděte její kořeny v intervalu [-5; -7/2]

9. Vyřešte rovnici (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0
Najděte jeho kořeny v intervalu [-5 ; -7/2]
Pojďme řešit rovnici
(sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0.
1) ODZ: cos x<0 ,
/2 +2n 2) sin2x + 2 sin2x = 0,
2 sinx∙cos x + 2 sin2x = 0,
sin x (cos x + sin x) = 0,
sin x=0, x= n, n Z
nebo
cos x+ sin x=0 | : cosx,
tg x= -1, x= -/4 + n, n Z
S přihlédnutím k ODZ
x= n, nZ, x= +2 n, nZ;
x= - /4 + n, n Z,
x= 3/4 + 2n, nZ

27. Vyberte kořeny na daném segmentu

Vezměme kořeny na dané
segment [-5 ; -7/2]
x = +2 n, nZ;
-5 ≤ +2 n ≤ -7 /2,
-5-1 ≤ 2n ≤ -7/2-1,
-3≤ n ≤ -9/4, n Z
n=-3, x=-6=-5
x= 3/4 + 2n, nZ
-5 ≤ 3 /4 + 2n ≤ -7 /2
-23/8 ≤ n ≤ -17/8, žádný takový
celé číslo n
Odpověď: a) +2 n, n Z ;
3/4 + 2n, nZ;
b) -5.

28. 10. Řešte rovnici 2sin2x =4cos x –sinx+1 Najděte její kořeny v intervalu [/2; 3/2]

10. Vyřešte rovnici 2sin2x \u003d 4cos x -sinx + 1
Najděte jeho kořeny na intervalu [ /2; 3/2]
Pojďme řešit rovnici
2sin2x = 4cosx - sinx+1
2sin2x \u003d 4cos x - sinx + 1,
4 sinx∙cos x - 4cos x + sin x -1 = 0,
4cos x(hřích x - 1) + (hřích x - 1) = 0,
(sin x – 1)(4cos x +1)=0,
sin x – 1= 0, sin x = 1, x = /2+2 n, n Z
nebo
4cos x +1= 0, cos x = -0,25
x = ±(-arccos(0,25)) + 2n,nZ
Kořeny této rovnice zapisujeme jinak
x = - arccos(0,25) + 2n,
x = -(- arccos(0,25)) + 2n, nZ

29. Vyberte kořeny pomocí kruhu

x = /2+2 n, nZ, x = /2;
x = -arccos(0,25)+2n,
x \u003d - (-arccos (0,25)) +2 n, n Z,
x = - arccos(0,25),
x = + arccos(0,25)
Odpověď: a) /2+2n,
-arccos(0,25)+2n,
-(-arccos(0,25)) +2 n, n Z;
b) /2;
- arccos(0,25); + arccos (0,25)