Dělení logaritmů se stejnými základy. Výpočet logaritmů, příklady, řešení

hlavní vlastnosti.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identické důvody

Log6 4 + log6 9.

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme.

Příklady řešení logaritmů

Co když základem nebo argumentem logaritmu je mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Úkol. Najděte význam výrazu:

Přechod na nový základ

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Úkol. Najděte význam výrazu:

Viz také:

Základní vlastnosti logaritmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent se rovná 2,7 a dvojnásobku roku narození Lva Nikolajeviče Tolstého.

Základní vlastnosti logaritmů

Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

Příklady pro logaritmy

Logaritmické výrazy

Příklad 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocí vlastností 3.5 vypočítáme

2.

3.

Příklad 2. Najděte x if

Příklad 3. Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: klíčový moment Tady - identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho z nich je postaveno na této skutečnosti zkušební papíry. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.

Extrahování exponentu z logaritmu

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. Čísla před znaménkem logaritmu můžete zadat do samotného logaritmu. To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem.

Logaritmické vzorce. Logaritmické příklady řešení.

Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jak jsou pohodlné, lze vyhodnotit pouze rozhodnutím logaritmické rovnice a nerovnosti.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Teď se toho zbavíme dekadický logaritmus, stěhování na novou základnu:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to pouze logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Co se vlastně stane, když číslo b umocníme takovou mocninu, že číslo b této mocnině dá číslo a? Správně: výsledkem je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Viz také:

Logaritmus b na základ a označuje výraz. Vypočítat logaritmus znamená najít mocninu x (), při které je rovnost splněna

Základní vlastnosti logaritmu

Je nutné znát výše uvedené vlastnosti, protože téměř všechny problémy a příklady související s logaritmy jsou řešeny na jejich základě. Zbytek exotických vlastností lze odvodit pomocí matematických manipulací s těmito vzorci

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Při výpočtu vzorce pro součet a rozdíl logaritmů (3.4) narazíte poměrně často. Zbytek je poněkud složitý, ale v řadě úloh je nepostradatelný pro zjednodušení složitých výrazů a výpočet jejich hodnot.

Běžné případy logaritmů

Některé z běžných logaritmů jsou ty, ve kterých je základ dokonce deset, exponenciální nebo dva.
Logaritmus se základem deset se obvykle nazývá dekadický logaritmus a je jednoduše označen lg(x).

Z nahrávky je patrné, že v nahrávce nejsou napsány základy. Například

Přirozený logaritmus je logaritmus, jehož základem je exponent (označený ln(x)).

Exponent je 2,718281828…. Chcete-li si zapamatovat exponent, můžete si prostudovat pravidlo: exponent se rovná 2,7 a dvojnásobku roku narození Lva Nikolajeviče Tolstého. Znáte-li toto pravidlo, budete znát jak přesnou hodnotu exponentu, tak datum narození Lva Tolstého.

A další důležitý logaritmus k základu dva je označen

Derivace logaritmu funkce je rovna jedné dělené proměnnou

Integrální nebo primitivní logaritmus je určen vztahem

Daný materiál vám postačí k řešení široké třídy problémů souvisejících s logaritmy a logaritmy. Abychom vám pomohli látku pochopit, uvedu pouze několik běžných příkladů ze školních osnov a univerzit.

Příklady pro logaritmy

Logaritmické výrazy

Příklad 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Pomocí vlastností 3.5 vypočítáme

2.
Vlastností rozdílu logaritmů máme

3.
Pomocí vlastností 3.5 najdeme

Zdánlivě složitý výraz je zjednodušen do tvaru pomocí řady pravidel

Hledání logaritmických hodnot

Příklad 2. Najděte x if

Řešení. Pro výpočet použijeme na poslední termín 5 a 13 vlastností

Dáme to na záznam a truchlíme

Protože se základy rovnají, dáváme rovnítko mezi výrazy

Logaritmy. První úroveň.

Nechť je uvedena hodnota logaritmů

Vypočítejte log(x), pokud

Řešení: Vezměme logaritmus proměnné a zapišme logaritmus přes součet jejích členů

Toto je jen začátek našeho seznámení s logaritmy a jejich vlastnostmi. Procvičte si výpočty, obohaťte své praktické dovednosti – znalosti, které získáte, budete brzy potřebovat k řešení logaritmických rovnic. Po prostudování základních metod řešení takových rovnic rozšíříme vaše znalosti o další neméně důležité téma - logaritmické nerovnice...

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: logax a logay. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log6 4 + log6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log2 48 − log2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log3 135 − log3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když základem nebo argumentem logaritmu je mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. Čísla před znaménkem logaritmu můžete zadat do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log7 496.

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 24; 49 = 72. Máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log2 7. Protože log2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je uveden logaritmus logax. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log5 16 log2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu. V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to pouze logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Co se vlastně stane, když číslo b umocníme takovou mocninu, že číslo b této mocnině dá číslo a? Správně: výsledkem je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log25 64 = log5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

1. logaa = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
2. loga 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Logaritmus čísla b (b > 0) na základ a (a > 0, a ≠ 1)– exponent, na který musí být číslo a zvýšeno, aby získalo b.

Základ 10 logaritmu b lze zapsat jako log(b) a logaritmus k základu e (přirozený logaritmus) je ln(b).

Často se používá při řešení problémů s logaritmy:

Vlastnosti logaritmů

Existují čtyři hlavní vlastnosti logaritmů.

Nechť a > 0, a ≠ 1, x > 0 a y > 0.

Vlastnost 1. Logaritmus součinu

Logaritmus produktu rovnající se součtu logaritmy:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Vlastnost 2. Logaritmus podílu

Logaritmus kvocientu rovná se rozdílu logaritmů:

log a (x / y) = log a x – log a y

Vlastnost 3. Logaritmus síly

Logaritmus stupně rovná se součinu mocniny a logaritmu:

Pokud je základ logaritmu ve stupních, pak platí jiný vzorec:

Vlastnost 4. Logaritmus kořene

Tuto vlastnost lze získat z vlastnosti logaritmu mocniny, protože n-tá odmocnina se rovná mocnině 1/n:

Vzorec pro převod z logaritmu v jednom základu na logaritmus v jiném základu

Tento vzorec se také často používá při řešení různých úloh na logaritmech:

Speciální případ:

Porovnání logaritmů (nerovnice)

Mějme 2 funkce f(x) a g(x) pod logaritmy se stejnými základy a mezi nimi je znaménko nerovnosti:

Chcete-li je porovnat, musíte se nejprve podívat na základnu logaritmů a:

• Pokud a > 0, pak f(x) > g(x) > 0
• Pokud 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Jak řešit problémy s logaritmy: příklady

Problémy s logaritmy zařazené do Jednotné státní zkoušky z matematiky pro 11. ročník v úloze 5 a úloze 7 naleznete úlohy s řešením na našem webu v příslušných sekcích. V bance matematických úloh se také nacházejí úlohy s logaritmy. Všechny příklady najdete při hledání na webu.

Co je to logaritmus

Logaritmy byly vždy považovány za obtížné téma ve školních kurzech matematiky. Existuje mnoho různých definic logaritmu, ale z nějakého důvodu většina učebnic používá tu nejsložitější a neúspěšnější z nich.

Logaritmus definujeme jednoduše a jasně. Chcete-li to provést, vytvořte tabulku:

Takže máme mocniny dvou.

Logaritmy - vlastnosti, vzorce, jak řešit

Pokud vezmete číslo ze spodního řádku, můžete snadno najít moc, na kterou budete muset zvýšit dvojku, abyste toto číslo získali. Například, abyste získali 16, musíte zvýšit dvě na čtvrtou mocninu. A abyste získali 64, musíte zvýšit dvě na šestou mocninu. To je vidět z tabulky.

A teď vlastně definice logaritmu:

základ a argumentu x je mocnina, na kterou musí být číslo a zvýšeno, aby bylo získáno číslo x.

Označení: log a x = b, kde a je základ, x je argument, b je to, čemu se ve skutečnosti rovná logaritmus.

Například 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (základ 2 logaritmu 8 je tři, protože 2 3 = 8). Se stejným úspěchem log 2 64 = 6, protože 2 6 = 64.

Zavolá se operace nalezení logaritmu čísla k danému základu. Přidejme tedy do naší tabulky nový řádek:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Bohužel ne všechny logaritmy lze vypočítat tak snadno. Zkuste například najít log 2 5. Číslo 5 není v tabulce, ale logika velí, že logaritmus bude ležet někde na intervalu. Protože 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Taková čísla se nazývají iracionální: čísla za desetinnou čárkou lze psát do nekonečna a nikdy se neopakují. Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, je lepší jej nechat tak: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Je důležité pochopit, že logaritmus je výraz se dvěma proměnnými (základ a argument). Spousta lidí si zpočátku plete, kde je základ a kde argument. Abyste předešli nepříjemným nedorozuměním, podívejte se na obrázek:

Před námi není nic jiného než definice logaritmu. Pamatovat si: logaritmus je síla, do kterého je nutné zabudovat základnu pro získání argumentu. Je to základna, která je zvednutá na mocninu - na obrázku je zvýrazněna červeně. Ukazuje se, že základna je vždy na dně! Hned na první hodině říkám svým studentům toto úžasné pravidlo – a nevznikají žádné zmatky.

Jak počítat logaritmy

Definici jsme vymysleli – zbývá jen naučit se počítat logaritmy, tzn. zbavit se znaku "log". Pro začátek si všimneme, že z definice plynou dvě důležité skutečnosti:

1. Argument a základ musí být vždy větší než nula. Vyplývá to z definice stupně racionálním exponentem, na který je redukována definice logaritmu.
2. Základ musí být odlišný od jednoho, protože jeden do jakéhokoli stupně stále zůstává jedním. Z tohoto důvodu je otázka „k jaké síle musí být člověk povýšen, aby získal dva“ smysl. Takový stupeň neexistuje!

Taková omezení se nazývají rozsah přijatelných hodnot(ODZ). Ukazuje se, že ODZ logaritmu vypadá takto: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Všimněte si, že pro číslo b (hodnota logaritmu) neexistují žádná omezení. Logaritmus může být například záporný: log 2 0,5 = −1, protože 0,5 = 2 −1.

Nyní však uvažujeme pouze o číselných výrazech, kde není vyžadováno znát VA logaritmu. Všechna omezení již autoři problémů zohlednili. Ale když do hry vstoupí logaritmické rovnice a nerovnosti, stanou se požadavky DL povinnými. Ostatně základ a argument může obsahovat velmi silné konstrukce, které nemusí nutně odpovídat výše uvedeným omezením.

Nyní se podívejme na obecné schéma pro výpočet logaritmů. Skládá se ze tří kroků:

1. Vyjádřete základ a a argument x jako mocninu s minimálním možným základem větším než jedna. Po cestě je lepší se zbavit desetinných míst;
2. Řešte rovnici pro proměnnou b: x = a b ;
3. Výsledné číslo b bude odpovědí.

To je vše! Pokud se logaritmus ukáže jako iracionální, bude to vidět již v prvním kroku. Požadavek, aby byl základ větší než jedna, je velmi důležitý: snižuje se tím pravděpodobnost chyby a výrazně se zjednodušují výpočty. Stejné s desetinná místa: pokud je okamžitě převedete na běžné, bude mnohem méně chyb.

Podívejme se, jak toto schéma funguje na konkrétních příkladech:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 5 25

1. Představme si základ a argument jako mocninu pěti: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vytvořme a vyřešme rovnici:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Dostali jsme odpověď: 2.

Úkol. Vypočítejte logaritmus:

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 4 64

1. Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vytvořme a vyřešme rovnici:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Dostali jsme odpověď: 3.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 16 1

1. Představme si základ a argument jako mocninu dvou: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vytvořme a vyřešme rovnici:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Dostali jsme odpověď: 0.

Úkol. Vypočítejte logaritmus: log 7 14

1. Představme si základ a argument jako mocninu sedmi: 7 = 7 1 ; 14 nelze reprezentovat jako mocninu sedmi, protože 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Z předchozího odstavce vyplývá, že logaritmus se nepočítá;
3. Odpověď je žádná změna: log 7 14.

Malá poznámka k poslednímu příkladu. Jak si můžete být jisti, že číslo není přesnou mocninou jiného čísla? Je to velmi jednoduché – stačí to započítat do hlavních faktorů. Pokud má expanze alespoň dva různé faktory, číslo není přesnou mocninou.

Úkol. Zjistěte, zda jsou čísla přesné mocniny: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - přesný stupeň, protože existuje pouze jeden násobitel;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - není přesná mocnina, protože existují dva faktory: 3 a 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - přesný stupeň;
35 = 7 · 5 - opět není přesná mocnina;
14 = 7 · 2 - opět není přesný stupeň;

Všimněte si také, že prvočísla sama o sobě jsou vždy přesné mocniny samých sebe.

Desetinný logaritmus

Některé logaritmy jsou tak běžné, že mají speciální název a symbol.

argumentu x je logaritmus se základem 10, tj. Mocnina, na kterou musí být umocněno číslo 10, aby získalo číslo x. Označení: lg x.

Například log 10 = 1; Ig100 = 2; lg 1000 = 3 - atd.

Až se od této chvíle v učebnici objeví fráze jako „Najít lg 0,01“, vězte, že se nejedná o překlep. Toto je dekadický logaritmus. Pokud však tento zápis neznáte, můžete jej vždy přepsat:
log x = log 10 x

Vše, co platí pro běžné logaritmy, platí také pro dekadické logaritmy.

Přirozený logaritmus

Existuje další logaritmus, který má své vlastní označení. V některých ohledech je dokonce důležitější než desítkové. Je to o o přirozeném logaritmu.

argumentu x je logaritmus se základem e, tj. mocnina, na kterou musí být číslo e zvýšeno, abychom získali číslo x. Označení: ln x.

Mnoho lidí se bude ptát: jaké je číslo e? Toto je iracionální číslo, jeho přesnou hodnotu nelze najít a zapsat. Uvedu pouze první čísla:
e = 2,718281828459…

Nebudeme se podrobně zabývat tím, co toto číslo je a proč je potřeba. Pamatujte, že e je základem přirozeného logaritmu:
ln x = log e x

Tedy ln e = 1; lne2 = 2; ln e 16 = 16 - atd. Na druhou stranu, ln 2 je iracionální číslo. Obecně platí, že přirozený logaritmus jakéhokoli racionálního čísla je iracionální. Samozřejmě kromě jednoho: ln 1 = 0.

Pro přirozené logaritmy platí všechna pravidla, která platí pro běžné logaritmy.

Viz také:

Logaritmus. Vlastnosti logaritmu (mocnost logaritmu).

Jak znázornit číslo jako logaritmus?

Používáme definici logaritmu.

Logaritmus je exponent, na který musí být základ zvýšen, aby se získalo číslo pod logaritmickým znaménkem.

Chcete-li tedy reprezentovat určité číslo c jako logaritmus k základu a, musíte pod znaménko logaritmu umístit mocninu se stejným základem, jako je základ logaritmu, a zapsat toto číslo c jako exponent:

Absolutně jakékoli číslo může být reprezentováno jako logaritmus - kladné, záporné, celé číslo, zlomkové, racionální, iracionální:

Aby nedošlo k záměně písmen a a c ve stresových podmínkách testu nebo zkoušky, můžete použít následující pravidlo zapamatování:

co je dole, jde dolů, co je nahoře, jde nahoru.

Například potřebujete reprezentovat číslo 2 jako logaritmus se základem 3.

Máme dvě čísla - 2 a 3. Tato čísla jsou základ a exponent, které zapíšeme pod znaménko logaritmu. Zbývá určit, které z těchto čísel se má zapsat k základu stupně a které nahoru k exponentu.

Základ 3 v zápisu logaritmu je dole, což znamená, že když reprezentujeme dvojku jako logaritmus k základu 3, zapíšeme i 3 k základu.

2 je vyšší než tři. A v zápisu stupně dva píšeme nad tři, tedy jako exponent:

Logaritmy. První úroveň.

Logaritmy

Logaritmus kladné číslo b na základě A, Kde a > 0, a ≠ 1, se nazývá exponent, na který musí být číslo zvýšeno A, Získat b.

Definice logaritmu lze stručně napsat takto:

Tato rovnost platí pro b > 0, a > 0, a ≠ 1. Obvykle se to nazývá logaritmická identita.
Zavolá se akce nalezení logaritmu čísla logaritmicky.

Vlastnosti logaritmů:

Logaritmus produktu:

Logaritmus podílu:

Výměna logaritmického základu:

Logaritmus stupně:

Logaritmus kořene:

Logaritmus s výkonovou základnou:

Desetinné a přirozené logaritmy.

Desetinný logaritmusčísla volají logaritmus tohoto čísla na základ 10 a zapisují   lg b
Přirozený logaritmusčísla se nazývají logaritmus tohoto čísla k základu E, Kde E- iracionální číslo přibližně rovné 2,7. Zároveň píší ln b.

Další poznámky k algebře a geometrii

Základní vlastnosti logaritmů

Základní vlastnosti logaritmů

Logaritmy, stejně jako všechna čísla, lze sčítat, odečítat a transformovat všemi způsoby. Protože ale logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, existují zde pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Tato pravidla rozhodně musíte znát – bez nich nelze vyřešit jediný vážný logaritmický problém. Navíc je jich velmi málo – vše se dá naučit za jeden den. Pojďme tedy začít.

Sčítání a odčítání logaritmů

Uvažujme dva logaritmy se stejnými základy: log a x a log a y. Poté je lze sčítat a odečítat a:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Součet logaritmů se tedy rovná logaritmu součinu a rozdíl se rovná logaritmu kvocientu. Poznámka: zde je klíčový bod identické důvody. Pokud jsou důvody jiné, tato pravidla nefungují!

Tyto vzorce vám pomohou vypočítat logaritmický výraz, i když nejsou uvažovány jeho jednotlivé části (viz lekce „Co je to logaritmus“). Podívejte se na příklady a uvidíte:

Log 6 4 + log 6 9.

Protože logaritmy mají stejné základy, použijeme součtový vzorec:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 2 48 − log 2 3.

Základy jsou stejné, použijeme rozdílový vzorec:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 3 135 − log 3 5.

Základy jsou opět stejné, takže máme:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak vidíte, původní výrazy jsou tvořeny „špatnými“ logaritmy, které nejsou počítány samostatně. Ale po transformacích se získají zcela normální čísla. Mnoho testů je založeno na této skutečnosti. Ano, na Jednotné státní zkoušce jsou se vší vážností (někdy prakticky beze změn) nabízeny výrazy podobné testu.

Extrahování exponentu z logaritmu

Nyní si úkol trochu zkomplikujeme. Co když základem nebo argumentem logaritmu je mocnina? Potom lze exponent tohoto stupně vyjmout ze znaménka logaritmu podle následujících pravidel:

Je snadné vidět, že poslední pravidlo následuje první dvě. Ale stejně je lepší si to pamatovat - v některých případech to výrazně sníží množství výpočtů.

Všechna tato pravidla mají samozřejmě smysl, pokud je dodržena ODZ logaritmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. A ještě něco: naučte se aplikovat všechny vzorce nejen zleva doprava, ale i naopak , tj. Čísla před znaménkem logaritmu můžete zadat do samotného logaritmu.

Jak řešit logaritmy

To je nejčastěji vyžadováno.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 7 49 6 .

Zbavme se stupně v argumentu pomocí prvního vzorce:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že jmenovatel obsahuje logaritmus, jehož základem a argumentem jsou přesné mocniny: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. My máme:

Myslím, že poslední příklad vyžaduje určité objasnění. Kam zmizely logaritmy? Do poslední chvíle pracujeme pouze se jmenovatelem. Předložili jsme základ a argument tam stojícího logaritmu ve formě mocnin a vyjmuli exponenty - dostali jsme „třípatrový“ zlomek.

Nyní se podívejme na hlavní zlomek. Čitatel i jmenovatel obsahují stejné číslo: log 2 7. Protože log 2 7 ≠ 0, můžeme zlomek zmenšit - 2/4 zůstanou ve jmenovateli. Podle pravidel aritmetiky lze čtyři převést do čitatele, což se také stalo. Výsledkem byla odpověď: 2.

Přechod na nový základ

Když mluvíme o pravidlech pro sčítání a odečítání logaritmů, konkrétně jsem zdůraznil, že pracují pouze se stejnými základy. Co když jsou důvody jiné? Co když to nejsou přesné mocniny stejného čísla?

Na pomoc přicházejí vzorce pro přechod na nový základ. Formulujme je ve formě věty:

Nechť je dán logaritmus log a x. Pak pro libovolné číslo c takové, že c > 0 a c ≠ 1 platí rovnost:

Konkrétně, pokud nastavíme c = x, dostaneme:

Z druhého vzorce vyplývá, že základ a argument logaritmu lze prohodit, ale v tomto případě je celý výraz „převrácen“, tzn. logaritmus se objeví ve jmenovateli.

Tyto vzorce se zřídka vyskytují v běžných číselných výrazech. Jejich výhodnost lze vyhodnotit pouze při řešení logaritmických rovnic a nerovnic.

Existují však problémy, které se nedají vyřešit vůbec jinak než přestěhováním do nové základny. Podívejme se na několik z nich:

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 5 16 log 2 25.

Všimněte si, že argumenty obou logaritmů obsahují přesné mocniny. Vyjmeme ukazatele: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Nyní „obrátíme“ druhý logaritmus:

Vzhledem k tomu, že se součin při přeskupování faktorů nemění, v klidu jsme vynásobili čtyři a dvě a pak jsme se zabývali logaritmy.

Úkol. Najděte hodnotu výrazu: log 9 100 lg 3.

Základem a argumentem prvního logaritmu jsou přesné mocniny. Pojďme si to zapsat a zbavit se indikátorů:

Nyní se zbavme desetinného logaritmu přechodem na nový základ:

Základní logaritmická identita

Často je v procesu řešení nutné reprezentovat číslo jako logaritmus k danému základu.

V tomto případě nám pomohou následující vzorce:

V prvním případě se číslo n stane exponentem v argumentu. Číslo n může být naprosto cokoliv, protože je to pouze logaritmická hodnota.

Druhý vzorec je vlastně parafrázovaná definice. Tak se tomu říká: .

Co se vlastně stane, když číslo b umocníme takovou mocninu, že číslo b této mocnině dá číslo a? Správně: výsledkem je stejné číslo a. Přečtěte si tento odstavec ještě jednou pozorně – mnoho lidí se na něm zasekne.

Stejně jako vzorce pro přesun na novou základnu je základní logaritmická identita někdy jediným možným řešením.

Úkol. Najděte význam výrazu:

Všimněte si, že log 25 64 = log 5 8 - jednoduše vzal druhou mocninu ze základu a argumentu logaritmu. Vezmeme-li v úvahu pravidla pro násobení mocnin se stejným základem, dostaneme:

Pokud někdo neví, tohle byl skutečný úkol z jednotné státní zkoušky :)

Logaritmická jednotka a logaritmická nula

Na závěr uvedu dvě identity, které lze jen stěží nazvat vlastnostmi – spíše jsou to důsledky definice logaritmu. Neustále se objevují v problémech a kupodivu dělají problémy i „pokročilým“ studentům.

1. log a a = 1 je. Pamatujte si jednou provždy: logaritmus k libovolnému základu a této základny samotné je roven jedné.
2. log a 1 = 0 je. Báze a může být cokoliv, ale pokud argument obsahuje jedničku, logaritmus je roven nule! Protože a 0 = 1 je přímým důsledkem definice.

To jsou všechny vlastnosti. Nezapomeňte si je procvičit v praxi! Stáhněte si cheat sheet na začátku lekce, vytiskněte si ho a vyřešte problémy.

Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b *a c = a b+c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných exponentů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde si potřebujete zjednodušit těžkopádné násobení jednoduchým sčítáním. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchým a přístupným jazykem.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádření následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tj. jakéhokoli kladného) „b“ k jeho základu „a“ se považuje za mocninu „c“. ” na který musí být zvýšen základ “a”, aby se nakonec získala hodnota “b”. Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takovou mocninu, abyste od 2 do požadovaného výkonu dostali 8. Po provedení pár výpočtů ve vaší hlavě dostaneme číslo 3! A to je pravda, protože 2 na 3 dává odpověď jako 8.

Typy logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Existují tři samostatné typy logaritmických výrazů:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a posloupnost akcí při jejich řešení.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Například je nemožné dělit čísla nulou a je také nemožné extrahovat sudou odmocninu záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• Základ „a“ musí být vždy větší než nula a ne roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože „1“ a „0“ jsou v jakémkoli stupni vždy rovny svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že „c“ musí být také větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například je zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x = 100. To je velmi snadné, je třeba zvolit mocninu zvýšením čísla deset, na které se dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 = 100.

Nyní si tento výraz znázorníme v logaritmické formě. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů se všechny akce prakticky sbíhají, aby našly mocninu, do které je nutné zadat základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalosti násobilky. Pro větší hodnoty však budete potřebovat tabulku výkonu. Mohou ji používat i ti, kteří o složitých matematických tématech nevědí vůbec nic. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku buňky obsahují číselné hodnoty, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten největší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnost. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 3 se základem 81 rovný čtyřem (log 3 81 = 4). Pro negativní síly pravidla jsou stejná: 2 -5 = 1/32 zapíšeme to jako logaritmus, dostaneme log 2 (1/32) = -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Na příklady a řešení rovnic se podíváme níže, ihned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - je logaritmická nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla k základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelných hodnoty a body jsou určeny porušením této funkce. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi na rovnici, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. Na příklady rovnic se podíváme později, nejprve se na každou vlastnost podíváme podrobněji.

1. Hlavní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze tehdy, když a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je povinná podmínka: d, s 1 a s 2 > 0; a≠1. Tento logaritmický vzorec můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupně ), a pak podle definice: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což je potřeba dokázat.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá „vlastnost stupně logaritmu“. Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika je založena na přirozených postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechť log a b = t, vyjde a t =b. Zvedneme-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n, proto log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy problémů na logaritmech jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také povinnou součástí zkoušek z matematiky. Pro přijetí na vysokou školu nebo absolvování přijímací zkoušky v matematice je třeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel neexistuje jediný plán nebo schéma pro řešení a určení neznámé hodnoty logaritmu, ale na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat na obecnou formu. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi rychle seznámit.

Při řešení logaritmických rovnic musíme určit, jaký typ logaritmu máme: příklad výrazu může obsahovat přirozený nebo dekadický logaritmus.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že potřebují určit výkon, kterému bude základna 10 rovna 100, respektive 1026. Chcete-li vyřešit přirozené logaritmy, musíte použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití základních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti logaritmické mocniny se nám podařilo vyřešit zdánlivě složitý a neřešitelný výraz. Musíte pouze faktorizovat základ a poté odebrat hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly z jednotné státní zkoušky

Logaritmy se často vyskytují u přijímacích zkoušek, zejména u mnoha logaritmických problémů u jednotné státní zkoušky ( Státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle se tyto úlohy vyskytují nejen v části A (nejjednodušší testová část zkoušky), ale také v části C (nejsložitější a nejobsáhlejší úlohy). Zkouška vyžaduje přesnou a dokonalou znalost tématu „Přirozené logaritmy“.

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních Možnosti jednotné státní zkoušky. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2, definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4, tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Nejlepší je zredukovat všechny logaritmy na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod logaritmickým znaménkem jsou označeny jako kladné, takže když je exponent výrazu, který je pod logaritmickým znaménkem a jeho základna je vyjmut jako násobitel, výraz zbývající pod logaritmem musí být kladný.

Vyplývá z jeho definice. A tak logaritmus čísla b na základě A je definován jako exponent, na který musí být číslo zvýšeno A získat číslo b(logaritmus existuje pouze pro kladná čísla).

Z této formulace vyplývá, že výpočet x=log a b, je ekvivalentní řešení rovnice a x = b. Například, log 2 8 = 3 protože 8 = 2 3 . Formulace logaritmu umožňuje zdůvodnit, že pokud b=a c, pak logaritmus čísla b na základě A rovná se S. Je také zřejmé, že téma logaritmů úzce souvisí s tématem mocnin čísla.

S logaritmy, stejně jako s jinými čísly, můžete operace sčítání, odčítání a transformovat všemi možnými způsoby. Ale vzhledem k tomu, že logaritmy nejsou úplně obyčejná čísla, platí zde jejich vlastní speciální pravidla, která se nazývají hlavní vlastnosti.

Sčítání a odčítání logaritmů.

Vezměme dva logaritmy se stejnými základy: přihlásit x A přihlásit se y. Poté je možné provádět operace sčítání a odčítání:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = přihlásit x 1 + přihlásit x 2 + přihlásit x 3 + ... + log a x k.

Z logaritmická věta o kvocientu Lze získat ještě jednu vlastnost logaritmu. Je všeobecně známo, že log A 1=0 tedy

log A 1 /b= log A 1 - log a b= - log a b.

To znamená, že existuje rovnost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvou reciprokých čísel ze stejného důvodu se od sebe budou lišit pouze znaménkem. Tak:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Rozsah přijatelných hodnot (APV) logaritmu

Nyní pojďme mluvit o omezeních (ODZ - rozsah přípustných hodnot proměnných).

Pamatujeme si, že např. Odmocnina nelze extrahovat ze záporných čísel; nebo pokud máme zlomek, pak se jmenovatel nemůže rovnat nule. Logaritmy mají podobná omezení:

To znamená, že argument i základ musí být větší než nula, ale základ se ještě nemůže rovnat.

proč tomu tak je?

Začněme jednoduchou věcí: řekněme to. Pak například číslo neexistuje, protože bez ohledu na to, jakou sílu zvýšíme, vždy to dopadne. Navíc pro nikoho neexistuje. Ale zároveň se může rovnat čemukoli (ze stejného důvodu – rovnat se jakémukoli stupni). Objekt proto není zajímavý a byl jednoduše vyhozen z matematiky.

Máme podobný problém v tomto případě: na jakoukoli kladnou mocninu to je, ale nelze to vůbec zvýšit na zápornou mocninu, protože to bude mít za následek dělení nulou (připomenu to).

Když jsme postaveni před problém zvýšení na zlomkovou mocninu (která je reprezentována jako kořen: . Například (to je), ale neexistuje.

Proto je snazší negativní důvody zahodit, než se s nimi šťourat.

Protože naše základna a může být pouze kladná, pak bez ohledu na to, na jakou moc ji zvýšíme, vždy dostaneme striktně kladné číslo. Takže argument musí být kladný. Například neexistuje, protože v žádném případě nebude záporné číslo (nebo dokonce nula, proto také neexistuje).

Při problémech s logaritmy je první věcí, kterou musíte udělat, je zapsat si ODZ. Uvedu příklad:

Pojďme řešit rovnici.

Připomeňme si definici: logaritmus je mocnina, na kterou musí být základna zvýšena, aby se získal argument. A podle podmínky se tento stupeň rovná: .

Dostáváme obvyklé kvadratická rovnice: . Vyřešme to pomocí Vietovy věty: součet kořenů se rovná a součin. Snadné vyzvednutí, to jsou čísla a.

Pokud ale hned vezmete a zapíšete obě tato čísla do odpovědi, můžete za problém získat 0 bodů. Proč? Zamysleme se nad tím, co se stane, když tyto kořeny dosadíme do počáteční rovnice?

To je zjevně nesprávné, protože základ nemůže být záporný, to znamená, že kořen je „třetí strana“.

Abyste se vyhnuli takovým nepříjemným nástrahám, musíte si ODZ zapsat ještě před zahájením řešení rovnice:

Poté, co jsme obdrželi kořeny a, kořen okamžitě zahodíme a napíšeme správnou odpověď.

Příklad 1(zkuste to vyřešit sami) :

Najděte kořen rovnice. Pokud existuje několik kořenů, uveďte v odpovědi nejmenší z nich.

Řešení:

Nejprve napíšeme ODZ:

Nyní si připomeňme, co je logaritmus: na jakou moc potřebujete zvýšit základnu, abyste získali argument? Do druhého. to je:

Zdálo by se, že menší kořen se rovná. Ale není tomu tak: podle ODZ je kořen třetí strany, to znamená, že to vůbec není kořen daná rovnice. Rovnice má tedy pouze jeden kořen: .

Odpovědět: .

Základní logaritmická identita

Připomeňme si definici logaritmu v obecné podobě:

Dosadíme logaritmus do druhé rovnosti:

Tato rovnost se nazývá základní logaritmickou identitu. I když v podstatě jde o rovnost - jen jinak napsané definice logaritmu:

Toto je síla, ke které se musíte pozvednout, abyste se dostali.

Například:

Vyřešte následující příklady:

Příklad 2

Najděte význam výrazu.

Řešení:

Připomeňme si pravidlo z oddílu:, tedy při umocnění mocniny se exponenty násobí. Pojďme to aplikovat:

Příklad 3

Dokázat to.

Řešení:

Vlastnosti logaritmů

Úkoly bohužel nejsou vždy tak jednoduché – často je potřeba výraz nejprve zjednodušit, uvést do obvyklé podoby a teprve poté bude možné vypočítat hodnotu. To je nejjednodušší, pokud víte vlastnosti logaritmů. Pojďme se tedy naučit základní vlastnosti logaritmů. Dokážu každé z nich, protože jakékoli pravidlo se snáze zapamatuje, pokud víte, odkud pochází.

Všechny tyto vlastnosti je třeba mít na paměti, bez nich nelze většinu problémů s logaritmy vyřešit.

A nyní o všech vlastnostech logaritmů podrobněji.

Vlastnost 1:

Důkaz:

Nechte to být.

Máme: atd.

Vlastnost 2: Součet logaritmů

Součet logaritmů se stejnými základy se rovná logaritmu součinu: .

Důkaz:

Nechte to být. Nechte to být.

Příklad: Najděte význam výrazu: .

Řešení: .

Vzorec, který jste se právě naučili, pomáhá zjednodušit součet logaritmů, nikoli rozdíl, takže tyto logaritmy nelze hned kombinovat. Můžete ale udělat opak – „rozdělit“ první logaritmus na dva: A zde je slibované zjednodušení:
.
Proč je to nutné? No, například: čemu se to rovná?

Teď je to jasné.

Nyní zjednodušte si to sami:

úkoly:

Odpovědi:

Vlastnost 3: Rozdíl logaritmů:

Důkaz:

Vše je naprosto stejné jako v bodě 2:

Nechte to být.

Nechte to být. My máme:

Příklad z předchozího odstavce je nyní ještě jednodušší:

Složitější příklad: . Dokážete sami přijít na to, jak to vyřešit?

Zde je třeba poznamenat, že nemáme jediný vzorec o logaritmech na druhou. To je něco podobného výrazu – nejde to hned zjednodušit.

Pojďme si proto odpočinout od vzorců o logaritmech a zamyslete se nad tím, jaké vzorce používáme v matematice nejčastěji? Od 7 třídy!

Tento - . Musíte si zvyknout na to, že jsou všude! A to exponenciální, trigonometrické a in iracionální problémy setkají se. Proto je třeba na ně pamatovat.

Když se podíváte pozorně na první dva termíny, je jasné, že toto rozdíl čtverců:

Odpověď ke kontrole:

Zjednodušte si to sami.

Příklady

Odpovědi.

Vlastnost 4: Vyjmutí exponentu z argumentu logaritmu:

Důkaz: A zde také používáme definici logaritmu: nechť tedy. Máme: atd.

Toto pravidlo lze chápat takto:

To znamená, že stupeň argumentu je posunut před logaritmus jako koeficient.

Příklad: Najděte význam výrazu.

Řešení: .

Rozhodněte se sami:

Příklady:

Odpovědi:

Vlastnost 5: Vezmeme-li exponent ze základny logaritmu:

Důkaz: Nechte to být.

Máme: atd.
Pamatujte: od důvody stupeň je vyjádřen jako opakčíslo, na rozdíl od předchozího případu!

Vlastnost 6: Odstranění exponentu ze základu a argumentu logaritmu:

Nebo pokud jsou stupně stejné: .

Vlastnost 7: Přechod na novou základnu:

Důkaz: Nechte to být.

Máme: atd.

Vlastnost 8: Zaměňte základ a argument logaritmu:

Důkaz: Toto je speciální případ vzorce 7: pokud dosadíme, dostaneme: atd.

Podívejme se na několik dalších příkladů.

Příklad 4.

Najděte význam výrazu.

Použijeme vlastnost logaritmů č. 2 - součet logaritmů se stejným základem je roven logaritmu součinu:

Příklad 5.

Najděte význam výrazu.

Řešení:

Využíváme vlastnosti logaritmů č. 3 a č. 4:

Příklad 6.

Najděte význam výrazu.

Řešení:

Použijeme vlastnost č. 7 - přejdeme na základ 2:

Příklad 7.

Najděte význam výrazu.

Řešení:

Jak se vám článek líbí?

Pokud čtete tyto řádky, pak jste si přečetli celý článek.

A to je skvělé!

Teď nám řekněte, jak se vám článek líbí?

Naučili jste se řešit logaritmy? Pokud ne, v čem je problém?

Napište nám do komentářů níže.

A ano, hodně štěstí u zkoušek.

Na Jednotnou státní zkoušku a Jednotnou státní zkoušku a v životě obecně