Nejjednodušší goniometrická rovnice cosx 1.5. Goniometrické rovnice - vzorce, řešení, příklady
Můžete si objednat detailní řešení váš úkol!!!
Rovnost obsahující neznámé pod znakem goniometrická funkce(`sin x, cos x, tan x` nebo `ctg x`) se nazývá goniometrická rovnice a právě jejich vzorcem se budeme dále zabývat.
Nejjednodušší rovnice jsou `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je úhel, který má být nalezen, `a` je libovolné číslo. Zapišme si kořenové vzorce pro každý z nich.
1. Rovnice `sin x=a`.
Pro `|a|>1` nemá žádná řešení.
Když `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.
Kořenový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Rovnice `cos x=a`
Pro `|a|>1` - jako v případě sinus, řešení mezi reálná čísla nemá.
Když `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.
Kořenový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Speciální případy pro sinus a kosinus v grafech. 
3. Rovnice `tg x=a`
Má nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.
Kořenový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Rovnice `ctg x=a`
Má také nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.
Kořenový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Vzorce pro kořeny goniometrických rovnic v tabulce
Pro sinus: 
Pro kosinus: 
Pro tečnu a kotangensu: 
Vzorce pro řešení rovnic obsahujících inverzní goniometrické funkce:
Metody řešení goniometrických rovnic
Řešení jakékoli goniometrické rovnice se skládá ze dvou fází:
- s pomocí přeměny na nejjednodušší;
- vyřešit nejjednodušší rovnici získanou pomocí kořenových vzorců a tabulek napsaných výše.
Podívejme se na hlavní způsoby řešení pomocí příkladů.
Algebraická metoda.
Tato metoda zahrnuje nahrazení proměnné a její nahrazení rovností.
Příklad. Vyřešte rovnici: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
proveďte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, poté `2y^2-3y+1=0`,
najdeme kořeny: `y_1=1, y_2=1/2`, z nichž vyplývají dva případy:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Odpověď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizace.
Příklad. Vyřešte rovnici: `sin x+cos x=1`.
Řešení. Posuňme všechny členy rovnosti doleva: `sin x+cos x-1=0`. Pomocí , transformujeme a faktorizujeme levou stranu:
`sin x – 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Odpověď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Redukce na homogenní rovnici
Nejprve musíte tuto trigonometrickou rovnici zredukovat na jednu ze dvou forem:
`a sin x+b cos x=0` (homogenní rovnice prvního stupně) nebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogenní rovnice druhého stupně).
Poté obě části vydělte `cos x \ne 0` - pro první případ a `cos^2 x \ne 0` - pro druhý. Získáme rovnice pro `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, které je potřeba vyřešit známými metodami.
Příklad. Vyřešte rovnici: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Řešení. Zapišme pravou stranu jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Jedná se o homogenní goniometrickou rovnici druhého stupně, její levou a pravou stranu vydělíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedeme náhradu `tg x=t`, výsledkem je `t^2 + t - 2=0`. Kořeny této rovnice jsou `t_1=-2` a `t_2=1`. Pak:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Odpovědět. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Přesun do polovičního úhlu
Příklad. Vyřešte rovnici: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Řešení. Aplikujme vzorce pro dvojitý úhel, výsledkem je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Použití výše uvedeného algebraická metoda, dostaneme:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Odpovědět. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Zavedení pomocného úhlu
V trigonometrické rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c jsou koeficienty a x je proměnná, vydělte obě strany `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.
Koeficienty na levé straně mají vlastnosti sinus a kosinus, konkrétně součet jejich druhých mocnin je roven 1 a jejich moduly nejsou větší než 1. Označme je takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C', pak:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Podívejme se blíže na následující příklad:
Příklad. Vyřešte rovnici: `3 sin x+4 cos x=2`.
Řešení. Vydělte obě strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).
`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.
Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Protože `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, bereme `\varphi=arcsin 4/5` jako pomocný úhel. Potom zapíšeme naši rovnost ve tvaru:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Použitím vzorce pro součet úhlů pro sinus zapíšeme naši rovnost v následujícím tvaru:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Odpovědět. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Zlomkové racionální goniometrické rovnice
Jedná se o rovnosti se zlomky, jejichž čitatel a jmenovatel obsahuje goniometrické funkce.
Příklad. Vyřešte rovnici. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Řešení. Vynásobte a vydělte pravou stranu rovnosti `(1+cos x)`. V důsledku toho dostaneme:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Vzhledem k tomu, že jmenovatel nemůže být roven nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Srovnejme čitatele zlomku s nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom `sin x=0` nebo `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Vzhledem k tomu, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, řešení jsou `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Odpovědět. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrie, a zejména goniometrické rovnice, se používají téměř ve všech oblastech geometrie, fyziky a inženýrství. Studium začíná v 10. třídě, vždy jsou úkoly na Jednotnou státní zkoušku, takže si zkuste zapamatovat všechny vzorce goniometrické rovnice- určitě se vám budou hodit!
Nemusíte se je však ani učit nazpaměť, hlavní je pochopit podstatu a umět ji odvodit. Není to tak těžké, jak se zdá. Přesvědčte se sami sledováním videa.
Videokurz „Získejte A“ obsahuje všechna témata nezbytná k úspěchu složení jednotné státní zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny problémy 1-13 Jednotná státní zkouška profilu matematika. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!
Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a neobejde se bez nich ani stobodový student, ani student humanitních oborů.
Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně vyhovuje požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.
Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.
Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Vizuální vysvětlení komplexní koncepty. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ řešení složité úkoly 2 části jednotné státní zkoušky.
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní informace nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby - v souladu se zákonem, soudním řízením, soudním řízením a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.
Nejjednodušší goniometrické rovnice se řeší zpravidla pomocí vzorců. Dovolte mi připomenout, že nejjednodušší goniometrické rovnice jsou:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x je úhel, který se má najít,
a je libovolné číslo.
A zde jsou vzorce, pomocí kterých si můžete řešení těchto nejjednodušších rovnic okamžitě zapsat.
Pro sinus:
Pro kosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pro tečnu:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Pro kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Ve skutečnosti se jedná o teoretickou část řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Navíc všechno!) Vůbec nic. Počet chyb na toto téma je však prostě mimo tabulky. Zvláště pokud se příklad mírně odchyluje od šablony. Proč?
Ano, protože mnoho lidí zapisuje tyto dopisy, aniž by chápal jejich význam! Píše opatrně, ať se něco nestane...) To je potřeba vyřešit. Trigonometrie pro lidi, nebo lidé pro trigonometrii, přeci!?)
Pojďme na to přijít?
Jeden úhel bude roven arccos, druhý: - arccos a.
A vždycky to takhle dopadne. Pro jakékoli A.
Pokud mi nevěříte, najeďte myší na obrázek nebo se dotkněte obrázku na tabletu.) Změnil jsem číslo A k něčemu negativnímu. Každopádně máme jeden roh arccos, druhý: - arccos a.
Proto lze odpověď vždy zapsat jako dvě řady kořenů:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pojďme spojit tyto dvě série do jedné:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
A to je vše. Získali jsme obecný vzorec pro řešení nejjednodušší goniometrické rovnice s kosinusem.
Pokud pochopíte, že to není nějaká nadvědecká moudrost, ale jen zkrácená verze dvou sérií odpovědí, Budete také schopni zvládnout úkoly „C“. S nerovnostmi, s výběrem kořenů z daného intervalu... Tam odpověď s plus/mínus nefunguje. Ale pokud s odpovědí zacházíte věcně a rozdělíte ji na dvě samostatné odpovědi, vše se vyřeší.) Vlastně proto se tím zabýváme. Co, jak a kde.
V nejjednodušší goniometrické rovnici
sinx = a
dostaneme také dvě řady kořenů. Vždy. A tyto dvě série lze také nahrávat v jednom řádku. Jen tento řádek bude složitější:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Ale podstata zůstává stejná. Matematici jednoduše navrhli vzorec tak, aby pro řadu kořenů vytvořil jeden místo dvou záznamů. To je vše!
Prověříme matematiky? A nikdy nevíš...)
V předchozí lekci bylo podrobně probráno řešení (bez jakýchkoliv vzorců) goniometrické rovnice se sinem:
Odpověď vyústila ve dvě řady kořenů:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Pokud vyřešíme stejnou rovnici pomocí vzorce, dostaneme odpověď:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Vlastně je to nedokončená odpověď.) To musí student vědět arcsin 0,5 = π /6.Úplná odpověď by byla:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
To vyvolává zajímavou otázku. Odpovědět přes x 1; x 2 (toto je správná odpověď!) a přes osamělý X (a toto je správná odpověď!) - jsou to samé nebo ne? Teď to zjistíme.)
V odpovědi dosadíme za x 1 hodnoty n =0; 1; 2; atd., počítáme, dostaneme řadu kořenů:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 a tak dále.
Se stejnou substitucí v reakci s x 2 , dostaneme:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 a tak dále.
Nyní dosadíme hodnoty n (0; 1; 2; 3; 4...) do obecného vzorce pro single X . To znamená, že zvýšíme mínus jedna na nulovou mocninu, pak na první, druhou atd. No, samozřejmě, dosadíme 0 do druhého členu; 1; 2 3; 4 atd. A počítáme. Dostáváme sérii:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 a tak dále.
To je vše, co můžete vidět.) Obecný vzorec nám dává úplně stejné výsledky stejně jako obě odpovědi samostatně. Prostě všechno najednou, v pořádku. Matematici se nenechali zmást.)
Kontrolovat lze i vzorce pro řešení goniometrických rovnic s tečnou a kotangens. Ale nebudeme.) Už jsou jednoduché.
Všechny tyto náhrady a ověřování jsem napsal konkrétně. Zde je důležité pochopit jednu jednoduchou věc: existují vzorce pro řešení elementárních goniometrických rovnic, jen krátké shrnutí odpovědí. Pro tuto stručnost jsme museli vložit plus/minus do řešení kosinus a (-1) n do řešení sinus.
Tyto vložky nijak nezasahují do úloh, kde stačí zapsat odpověď na elementární rovnici. Pokud ale potřebujete vyřešit nerovnost, nebo pak potřebujete něco udělat s odpovědí: vybrat kořeny na intervalu, zkontrolovat ODZ atd., mohou tyto vložení člověka snadno zneklidnit.
Tak co bych měl dělat? Ano, buď napište odpověď ve dvou sériích, nebo rovnici/nerovnici vyřešte na trigonometrickém kruhu. Pak tyto vložky zmizí a život se stane jednodušším.)
Můžeme to shrnout.
Pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic existují hotové vzorce odpovědí. Čtyři kusy. Jsou dobré pro okamžité zapsání řešení rovnice. Například musíte vyřešit rovnice:
sinx = 0,3
Snadno: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Žádný problém: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Snadno: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Jeden zbývá: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Pokud záříte znalostmi, okamžitě napište odpověď:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
pak už svítíš, to je... to... z louže.) Správná odpověď: neexistují žádná řešení. Nechápu proč? Číst, Co je arckosin? Kromě toho, pokud na pravé straně původní rovnice existují tabulkové hodnoty sinus, kosinus, tangens, kotangens, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 a tak dále. - odpověď přes oblouky bude nedokončená. Oblouky je nutné převést na radiány.
A pokud narazíte na nerovnost, jako
pak odpověď zní:
x πn, n ∈ Z
existuje vzácný nesmysl, ano...) Zde je třeba vyřešit pomocí trigonometrické kružnice. Co budeme dělat v odpovídajícím tématu.
Pro ty, kteří hrdinně čtou tyto řádky. Nemohu si pomoci, ale ocenit vaše titánské úsilí. Bonus pro vás.)
bonus:
Při zapisování vzorců v alarmující bojové situaci se i ostřílení nerdi často zamotají, kde πn, A kde 2π n. Zde je pro vás jednoduchý trik. v každý vzorce v hodnotě πn. Kromě jediného vzorce s arkuskosinusem. Stojí tam 2πn. Dva peen. Klíčové slovo - dva. V tomto stejném vzorci jsou dva podepsat na začátku. Plus a mínus. Tu a tam - dva.
Pokud jsi tedy napsal dva znaménko před arc cosinus, je snazší si zapamatovat, co se stane na konci dva peen. A děje se to i naopak. Osoba přehlédne znamení ± , dostane se na konec, píše správně dva Pien a přijde k rozumu. Něco je před námi dva podepsat! Člověk se vrátí na začátek a chybu opraví! Takhle.)
Pokud se vám tato stránka líbí...
Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)
Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)
Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.
