Křižující se čáry lze podle těchto prvků snadno rozpoznat. Znaménko 1. Jsou-li na dvou přímkách čtyři body, které neleží ve stejné rovině, pak se tyto přímky protínají (obr. 1.21).

Pokud by se totiž dané přímky protínaly nebo byly rovnoběžné, pak by ležely ve stejné rovině a dané body by pak ležely ve stejné rovině, což je v rozporu s podmínkou.

Znaménko 2. Leží-li přímka O v rovině a přímka b rovinu a v nějakém bodě protíná

M neležící na přímce a, pak se přímky a a b protínají (obr. 1.22).

Vezmeme-li libovolné dva body na přímce a a libovolné dva body na přímce b, dostaneme se ke kritériu 1, tj. a a b se protínají.

Reálné příklady křižujících se linií poskytují silniční křižovatky (obr. 1.23).

V prostoru existuje v určitém smyslu více párů protínajících se čar než párů rovnoběžných nebo protínajících se čar. To lze vysvětlit následovně.

Vezměme v prostoru nějaký bod A a nějakou přímku a neprocházející bodem A. K nakreslení přímky rovnoběžné s přímkou ​​a bodem A je nutné nakreslit rovinu a bodem A a přímkou ​​a (Tvrzení 2, str. 1.1), a pak v rovině a nakreslete přímku b rovnoběžnou s přímkou ​​a (obr. 1.24).

Existuje pouze jeden takový řádek b. Všechny přímky procházející bodem A a protínající přímku O také leží v rovině a a celou ji vyplňují, s výjimkou přímky b. Všechny ostatní přímky procházející skrz A a vyplňující celý prostor kromě roviny a se budou protínat s přímkou ​​a. Dá se říci, že protínající se čáry v prostoru jsou obecným případem a protínající se a rovnoběžné čáry jsou speciální případy. "Malé odchylky" šikmých čar je nechávají šikmé. Ale vlastnosti být paralelní nebo protínající se s "malými perturbacemi" v prostoru nejsou zachovány.

Za méně než minutu jsem vytvořil nový soubor Verdov a pokračoval v tak vzrušujícím tématu. Je potřeba vystihnout momenty pracovní nálady, takže nebude chybět lyrický úvod. Bude prozaický výprask =)

Dva rovné prostory mohou:

1) křížit se;

2) protínají se v bodě ;

3) být paralelní;

4) zápas.

Případ č. 1 se zásadně liší od ostatních případů. Dvě přímky se protínají, pokud neleží ve stejné rovině.. Zvedněte jednu paži a druhou natáhněte dopředu – zde je příklad protínajících se čar. V bodech 2-4 čáry nutně leží v jedné rovině.

Jak zjistit vzájemnou polohu čar v prostoru?

Uvažujme dva rovné prostory:

- rovný, směřovat a směrový vektor;
je přímka definovaná bodem a směrovým vektorem .

Pro lepší pochopení si udělejme schematický nákres:

Výkres ukazuje jako příklad šikmé čáry.

Jak se s těmito řádky vypořádat?

Protože body jsou známé, je snadné najít vektor.

Pokud rovnou křížit se, pak vektory ne koplanární(viz lekce Lineární (ne)závislost vektorů. Vektorový základ), což znamená, že determinant složený z jejich souřadnic je nenulový. Nebo, což je vlastně totéž, se bude lišit od nuly: .

V případech č. 2-4 naše konstrukce „padá“ do jedné roviny, zatímco vektory koplanární, a smíšený produkt lineárně závislé vektory se rovná nule: .

Algoritmus dále rozšiřujeme. Pojďme to předstírat přímky se tedy buď protínají, nebo jsou rovnoběžné, nebo se shodují.

Pokud směrové vektory kolineární, pak jsou čáry buď rovnoběžné, nebo se shodují. Jako poslední hřebík navrhuji následující techniku: vezmeme libovolný bod jedné přímky a dosadíme jeho souřadnice do rovnice druhé přímky; pokud se souřadnice „přiblížily“, pak se čáry shodují, pokud se „nepřiblížily“, pak jsou čáry rovnoběžné.

Průběh algoritmu je nenáročný, ale praktické příklady stále nezasahují:

Příklad 11

Zjistěte vzájemnou polohu dvou čar

Řešení: jako v mnoha úlohách geometrie je vhodné uspořádat řešení bod po bodu:

1) Z rovnic extrahujeme body a směrové vektory:

2) Najděte vektor:

Vektory jsou tedy koplanární, což znamená, že přímky leží ve stejné rovině a mohou se protínat, být rovnoběžné nebo splývat.

4) Zkontrolujte kolinearitu směrových vektorů.

Sestavme systém z odpovídajících souřadnic těchto vektorů:

Z každý Z rovnice vyplývá, že systém je tedy konzistentní, odpovídající souřadnice vektorů jsou proporcionální a vektory jsou kolineární.

Závěr: čáry jsou rovnoběžné nebo se shodují.

5) Zjistěte, zda mají přímky společné body. Vezměme bod patřící první přímce a dosadíme jeho souřadnice do rovnic přímky:

Přímky tedy nemají žádné společné body a nezbývá jim nic jiného, ​​než být rovnoběžné.

Odpovědět:

Zajímavý příklad pro nezávislé řešení:

Příklad 12

Zjistěte vzájemnou polohu čar

Toto je příklad typu „udělej si sám“. Všimněte si, že druhý řádek obsahuje písmeno jako parametr. Logicky. V obecném případě se jedná o dva různé řádky, takže každý řádek má svůj vlastní parametr.

A znovu vás žádám, abyste nepřeskakovali příklady, plácnu, že úkoly, které navrhuji, nejsou ani zdaleka náhodné ;-)

Problémy s přímkou ​​v prostoru

V závěrečné části lekce se pokusím zvážit maximální počet různých problémů s prostorovými čarami. V tomto případě bude dodrženo započaté pořadí vyprávění: nejprve budeme zvažovat problémy s protínajícími se čarami, pak s protínajícími se čarami a nakonec budeme hovořit o rovnoběžných liniích v prostoru. Musím však říci, že některé úkoly této lekce lze formulovat pro více případů rovných čar najednou a v tomto ohledu je rozdělení oddílu na odstavce poněkud libovolné. Jsou jednodušší příklady, je jich víc složité příklady a snad každý najde to, co potřebuje.

Překřížené čáry

Připomínám, že přímky se protínají, pokud neexistuje rovina, ve které obě leží. Když jsem přemýšlel o cvičení, napadl mě úkol monstra a nyní vám s radostí představuji draka se čtyřmi hlavami:

Příklad 13

Dané jsou rovné čáry. Požadované:

a) dokažte, že se přímky protínají;

b) najděte rovnice přímky procházející bodem kolmým k daným přímkám;

c) sestavte rovnice přímky, která obsahuje společná kolmice protínající se čáry;

d) najděte vzdálenost mezi čarami.

Řešení: Cestu zvládne ten pěší:

a) Dokažme, že se přímky protínají. Pojďme najít body a směrové vektory těchto přímek:

Pojďme najít vektor:

Vypočítat smíšený součin vektorů:

Takže vektory ne koplanární, což znamená, že se přímky protínají, což se mělo dokázat.

Pravděpodobně si každý již dlouho všiml, že pro šikmé čáry se ověřovací algoritmus ukazuje jako nejkratší.

b) Najděte rovnice přímky, která bodem prochází a je k přímkám kolmá. Udělejme schematický nákres:

Pro zpestření jsem zveřejnil direct ZA rovné čáry, podívejte se, jak je v místech křížení mírně vymazána. Kříženci? Ano, v obecném případě se čára "de" bude protínat s původními čarami. Sice nás tento okamžik nezajímá, ale stačí postavit kolmou čáru a je to.

Co je známo o přímém „de“? Bod k tomu patřící je znám. Chybí směrový vektor.

Podle podmínky musí být úsečka kolmá k přímkám, což znamená, že její směrový vektor bude ortogonální ke směrovým vektorům. Motiv již známý z příkladu č. 9, najdeme vektorový součin:

Sestavme rovnice přímky "de" podle bodu a směrovacího vektoru:

Připraveno. V zásadě lze změnit znaménka ve jmenovatelích a napsat odpověď do formuláře , ale není to potřeba.

Pro kontrolu je nutné dosadit souřadnice bodu do získaných rovnic přímky, poté pomocí bodový součin vektorů ujistěte se, že vektor je skutečně ortogonální ke směrovým vektorům "pe jedna" a "pe dvě".

Jak najít rovnice přímky obsahující společnou kolmici?

c) Tento problém je složitější. Dummy doporučuji tento odstavec přeskočit, nechci zchladit vaše upřímné sympatie k analytické geometrii =) Mimochodem, pro připravenější čtenáře by možná bylo lepší počkat, fakt je, že složitost příkladu by měla být dát na poslední místo v článku, ale podle logiky prezentace by měl být umístěn zde.

Je tedy nutné najít rovnice přímky, která obsahuje společnou kolmici šikmých čar.

je úsečka, která spojuje dané úsečky a je na ně kolmá:

Zde je náš krasavec: - společná kolmice protínajících se čar. On je jediný. Žádný jiný takový neexistuje. Musíme také sestavit rovnice přímky, která obsahuje daný segment.

Co je známo o přímém „uh“? Jeho směrový vektor je známý, najdete jej v předchozím odstavci. Ale bohužel neznáme jediný bod patřící přímce "em", neznáme konce kolmice - body. Kde tato kolmá přímka protíná dvě původní přímky? Afrika, Antarktida? Z prvotního přezkoumání a rozboru stavu není vůbec jasné, jak problém vyřešit .... S použitím parametrických rovnic přímky je však spojen záludný pohyb.

Pojďme se rozhodnout bod po bodu:

1) Přepišme rovnice první přímky do parametrického tvaru:

Uvažujme o bodu. Neznáme souřadnice. ALE. Pokud bod patří k dané přímce, pak jeho souřadnice odpovídají , označte ho . Potom budou souřadnice bodu zapsány jako:

Život se zlepšuje, jedna neznámá – koneckonců ne tři neznámé.

2) Stejné pohoršení je třeba provést u druhého bodu. Přepišme rovnice druhé přímky do parametrického tvaru:

Pokud bod patří k dané přímce, pak s velmi konkrétním významem jeho souřadnice musí splňovat parametrické rovnice:

Nebo:

3) Vector , stejně jako dříve nalezený vector , bude řídícím vektorem čáry . O tom, jak složit vektor ze dvou bodů, se v lekci uvažovalo odnepaměti Vektory pro figuríny. Nyní je rozdíl v tom, že souřadnice vektorů jsou zapsány s neznámými hodnotami parametrů. No a co? Nikdo nezakazuje odečíst odpovídající souřadnice začátku vektoru od souřadnic konce vektoru.

Existují dva body: .

Hledání vektoru:

4) Protože směrové vektory jsou kolineární, pak je jeden vektor lineárně vyjádřen druhým s určitým koeficientem proporcionality "lambda":

Nebo souřadnicově:

Ukázalo se, že je to nejobyčejnější soustava lineárních rovnic se třemi neznámými , což je standardně řešitelné, např. Cramerova metoda. Tady je ale možnost vyváznout s trochou krve, ze třetí rovnice vyjádříme "lambdu" a dosadíme ji do první a druhé rovnice:

Takto: , a "lambda" nepotřebujeme. Skutečnost, že se hodnoty parametrů ukázaly být stejné, je čirá náhoda.

5) Obloha se úplně vyjasní, dosaďte nalezené hodnoty na naše místa:

Směrový vektor není zvláště potřeba, protože jeho protějšek již byl nalezen.

Po dlouhé cestě je vždy zajímavé provést kontrolu.

:

Jsou získány správné rovnosti.

Dosaďte do rovnic souřadnice bodu :

Jsou získány správné rovnosti.

6) Závěrečná tětiva: složíme rovnice přímky pro bod (můžete vzít) a směrový vektor:

V zásadě můžete vybrat „dobrý“ bod s celočíselnými souřadnicemi, ale to je kosmetické.

Jak zjistit vzdálenost mezi protínajícími se čarami?

d) Uřízli jsme čtvrtou hlavu draka.

Metoda jedna. Ani ne způsob, ale malý speciální případ. Vzdálenost mezi protínajícími se čarami je rovna délce jejich společné kolmice: .

Krajní body společné kolmice naleznete v předchozím odstavci a úkol je základní:

Metoda dva. V praxi jsou nejčastěji konce společné kolmice neznámé, proto se používá jiný přístup. Dvěma protínajícími se čarami je možné kreslit rovnoběžné roviny a vzdálenost mezi danými rovinami je rovna vzdálenosti mezi danými přímkami. Mezi těmito rovinami trčí zejména společná kolmice.

V průběhu analytické geometrie byl z výše uvedených úvah odvozen vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi šikmými čarami:
(místo našich bodů "em jedna, dvě" můžeme vzít libovolné body úseček).

Smíšený součin vektorů již najdete v odstavci "a": .

Křížový součin vektorů najdete v odstavci "být": , vypočítejte jeho délku:

Takto:

Hrdě rozložte trofeje do jedné řady:

Odpovědět:
A) , tedy čáry se protínají, což bylo nutné dokázat;
b) ;
v) ;
G)

Co jiného lze říci o protínajících se čarách? Mezi nimi je definován úhel. Ale zvažte vzorec univerzálního úhlu v dalším odstavci:

Protínající se přímky nutně leží ve stejné rovině:

První myšlenka je opřít se o průsečík vší silou. A hned mě napadlo, proč si odpírat ty správné touhy?! Pojďme na to hned skočit!

Jak najít průsečík prostorových čar?

Příklad 14

Najděte průsečík čar

Řešení: Přepišme rovnice přímek do parametrického tvaru:

Tento úkol byl podrobně probrán v příkladu č. 7 této lekce (viz. Rovnice přímky v prostoru). A samotné přímky, mimochodem, jsem převzal z příkladu č. 12. Nebudu lhát, jsem líný vymýšlet nové.

Řešení je standardní a již jsme se s ním setkali, když jsme vypracovávali rovnice společné kolmice šikmých čar.

Průsečík přímek patří k přímce, proto její souřadnice splňují parametrické rovnice této přímky a odpovídají velmi specifickou hodnotu parametru:

Ale stejný bod patří do druhého řádku, proto:

Srovnáme odpovídající rovnice a provedeme zjednodušení:

Získá se soustava tří lineárních rovnic se dvěma neznámými. Pokud se čáry protínají (jak je prokázáno v příkladu 12), pak je systém nutně konzistentní a má jedinečné řešení. Dá se to vyřešit Gaussova metoda, ale nebudeme hřešit takovým školkovým fetišismem, uděláme to jednodušeji: z první rovnice vyjádříme „te nula“ a dosadíme do druhé a třetí rovnice:

Poslední dvě rovnice se ukázaly být v podstatě stejné a vyplývá z nich, že . Pak:

Nalezenou hodnotu parametru dosadíme do rovnic:

Odpovědět:

Pro kontrolu dosadíme nalezenou hodnotu parametru do rovnic:
Byly získány stejné souřadnice, jaké bylo třeba zkontrolovat. Pečliví čtenáři mohou dosadit souřadnice bodu v originále kanonické rovnice Přímo.

Mimochodem, bylo možné udělat opak: najít bod přes „es zero“ a zkontrolovat ho přes „te zero“.

Známý matematický znak říká: kde se probírá průsečík přímek, tam je vždy cítit kolmice.

Jak sestrojit prostorovou přímku kolmou na danou?

(čáry se protínají)

Příklad 15

a) Sestavte rovnice přímky procházející bodem kolmým k přímce (čáry se protínají).

b) Najděte vzdálenost od bodu k přímce.

Poznámka : klauzule "čáry se protínají" - nezbytný. Skrz tečku
je možné nakreslit nekonečné množství kolmých čar, které se budou protínat s úsečkou „el“. Jediné řešení je v případě kdy daný bod tažené rovně, kolmo dva dané přímky (viz příklad č. 13, odstavec "b").

A) Řešení: Označte neznámý řádek pomocí . Udělejme schematický nákres:

Co je známo o lince? Podle podmínky je dán bod. Abychom mohli sestavit rovnice přímky, je nutné najít směrový vektor. Jako takový vektor je vektor docela vhodný a budeme se jím zabývat. Přesněji, vezměme neznámý konec vektoru za pačesy.

1) Z rovnic přímky "el" vytáhneme její směrový vektor a samotné rovnice přepíšeme do parametrického tvaru:

Mnozí hádali, že teď už potřetí v lekci dostane kouzelník z klobouku bílou labuť. Uvažujme bod s neznámými souřadnicemi. Od bodu pak jeho souřadnice splňují parametrické rovnice přímky "el" a odpovídají konkrétní hodnotě parametru:

Nebo v jednom řádku:

2) Podle podmínky musí být přímky kolmé, proto jsou jejich směrové vektory ortogonální. A pokud jsou vektory ortogonální, pak jejich skalární součin rovná se nule:

Co se stalo? Prvoci lineární rovnice s jednou neznámou:

3) Hodnota parametru je známá, najdeme bod:

A směrový vektor:
.

4) Sestavíme rovnice přímky bodovým a směrovým vektorem:

Jmenovatelé podílu se ukázali jako zlomkové a to je přesně ten případ, kdy je vhodné se zlomků zbavit. Jen je vynásobím -2:

Odpovědět:

Poznámka : rigorózní zakončení řešení se nakreslí takto: rovnice přímky skládáme bodem a směrovacím vektorem . Pokud je vektor směrovacím vektorem přímky, pak vektor kolineární k němu bude samozřejmě také směrovacím vektorem této přímky.

Ověření se skládá ze dvou fází:

1) zkontrolujte ortogonalitu směrových vektorů čar;

2) do rovnic každé přímky dosadíme souřadnice bodu, měly by „sedět“ sem i tam.

Hodně se mluvilo o typických akcích, tak jsem udělal kontrolu draftu.

Mimochodem, zapomněl jsem na další výstřelek - postavit bod "sue" symetrický k bodu "en" vzhledem k přímce "el". Existuje však dobrý „plochý analog“, který najdete v článku Nejjednodušší úlohy s přímkou ​​na rovině. Zde bude veškerý rozdíl v dodatečné souřadnici "Z".

Jak zjistit vzdálenost od bodu k přímce v prostoru?

b) Řešení: Najděte vzdálenost od bodu k přímce.

Metoda jedna. Tato vzdálenost je přesně rovna délce kolmice: . Řešení je nasnadě: pokud jsou známy body , pak:

Metoda dva. V praktických úlohách je základna kolmice často záhadou, proto je racionálnější použít hotový vzorec.

Vzdálenost od bodu k přímce je vyjádřena vzorcem:
, kde je směrový vektor přímky "el" a - libovolný bod na dané čáře.

1) Z rovnic přímky dostaneme směrový vektor a nejdostupnější bod .

2) Bod je znám z podmínky, zaostřete vektor:

3) Pojďme najít vektorový produkt a vypočítejte jeho délku:

4) Vypočítejte délku směrového vektoru:

5) Vzdálenost od bodu k přímce:

Vzájemné uspořádání dvě čáry v prostoru.

Vzájemné uspořádání dvou linií a prostoru charakterizují následující tři možnosti.

Přímky leží ve stejné rovině a nemají společné body – rovnoběžky.

Přímky leží ve stejné rovině a mají jeden společný bod – přímky se protínají.

V prostoru mohou být dvě přímky stále umístěny tak, že neleží ve stejné rovině. Takové čáry se nazývají protínající se (neprotínají se a nejsou rovnoběžné).

PŘÍKLAD:

ÚLOHA 434 Trojúhelník ABC leží v rovině, a

Trojúhelník ABC leží v rovině a bod D v této rovině není. Body M, N a K, respektive středy segmentů DA, DB a DC

Teorém. Pokud jedna ze dvou přímek leží v určité rovině a druhá protíná tuto rovinu a bod, který neleží na první přímce, pak se tyto přímky protnou.

Na Obr. 26 přímka a leží v rovině a přímka c se protíná v bodě N. Přímky a a c se protínají.

Teorém. Každou ze dvou protínajících se čar prochází pouze jedna rovina rovnoběžná s druhou přímkou.

Na Obr. 26 přímek aab se protíná. Cherenova přímka a nakreslená rovina a (alfa) || b (přímka a1 || b je vyznačena v rovině B (beta).

Věta 3.2.

Dvě čáry rovnoběžné se třetí jsou rovnoběžné.

Tato vlastnost se nazývá průchodnost rovnoběžky.

Důkaz

Nechť jsou přímky a a b současně rovnoběžné s přímkou ​​c. Předpokládejme, že a není rovnoběžné s b, pak přímka a protíná přímku b v nějakém bodě A, který podle předpokladu neleží na přímce c. Máme tedy dvě přímky a a b procházející bodem A neležícím na dané přímce c a současně s ní rovnoběžné. To je v rozporu s Axiomem 3.1. Věta byla prokázána.

Věta 3.3.

Prostřednictvím bodu, který není na dané přímce, lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s danou přímkou.

Důkaz

Nechť (AB ) je daná přímka a C je bod, který na ní neleží. Přímka AC rozděluje rovinu na dvě poloroviny. Bod B leží v jednom z nich. V souladu s axiomem 3.2 je možné posunout úhel od paprsku С A (ACD ), rovný úhlu(CAB), do jiné poloroviny. ACD a CAB jsou stejné vnitřní příčně ležící na přímkách AB a CD a sečně (AC ) Potom na základě věty 3.1 (AB ) || (CD). S přihlédnutím k axiomu 3.1. Věta byla prokázána.

Vlastnost rovnoběžných přímek je dána následující větou, inverzní k větě 3.1.

Věta 3.4.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protíná třetí přímka, pak jsou vnitřní úhly protínající se stejné.

Důkaz

Nechť (AB ) || (CD). Předpokládejme, že ACD ≠ BAC . Nakreslete čáru AE bodem A tak, aby EAC = ACD. Ale pak podle věty 3.1 (AE ) || (CD ), a podle podmínky - (AB ) || (CD). Podle věty 3.2 (AE ) || (AB). To je v rozporu s větou 3.3, podle níž lze bodem A, který neleží na přímce CD , nakreslit jednu přímku rovnoběžnou s ním. Věta byla prokázána.

Obrázek 3.3.1.

Na základě této věty lze snadno doložit následující vlastnosti.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protíná třetí přímka, pak jsou odpovídající úhly stejné.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protne třetí přímka, pak součet vnitřních jednostranných úhlů je 180°.

Důsledek 3.2.

Je-li přímka kolmá k jedné z rovnoběžných přímek, je kolmá i k druhé.

Koncept paralelismu nám umožňuje představit následující nový koncept, který bude potřeba později v kapitole 11.

Dva paprsky se nazývají stejně směrované, existuje-li taková přímka, že za prvé jsou k této přímce kolmé a za druhé paprsky vzhledem k této přímce leží v jedné polorovině.

Dva paprsky se nazývají opačnými směry, pokud je každý z nich stejně směrován s paprskem komplementárním k druhému.

Budeme označovat stejně směrované paprsky AB a CD: a opačně směrované paprsky AB a CD -

Obrázek 3.3.2.

Znamení protínajících se čar.

Pokud jedna ze dvou přímek leží v určité rovině a druhá přímka tuto rovinu protíná v bodě, který neleží na první přímce, pak jsou tyto přímky zešikmené.

Případy vzájemného uspořádání čar v prostoru.

1. Existují čtyři různé případy umístění dvou čar v prostoru:

   
   

   - přímé protínání, tzn. neležte ve stejné rovině;

   – čáry se protínají, tzn. leží ve stejné rovině a mají jeden společný bod;

   - rovná rovnoběžná, tzn. leží ve stejné rovině a neprotínají se;

   - čáry se shodují.

   
   

   Získejte znaménka těchto případů vzájemného uspořádání přímek dané kanonickými rovnicemi

   
   
   kde jsou body patřící k čarám a respektive, a- směrové vektory (obr. 4.34). Označit podlevektor spojující dané body.
   
   

   Výše uvedené případy vzájemného uspořádání linek odpovídají následujícím vlastnostem:

   
   

   – přímé a křížící se vektory nejsou koplanární;

   
   

   – čáry a protínající vektory jsou koplanární, ale vektory nejsou kolineární;

   
   

   – přímé a paralelní vektory jsou kolineární, ale vektory kolineární nejsou;

   
   

   jsou rovné čáry a shodné vektory jsou kolineární.

   
   

   Tyto podmínky lze zapsat pomocí vlastností smíšených a vektorových produktů. Připomeňme, že smíšený součin vektorů v pravém pravoúhlém souřadnicovém systému se nalézá podle vzorce:

   
   
   a protínají determinant je roven nule a jeho druhý a třetí řádek nejsou proporcionální, tzn.
   

   - přímky a rovnoběžná druhá a třetí řada determinantu jsou úměrné, tzn. a první dva řádky nejsou proporcionální, tzn.

   
   

   jsou přímky a shodují se, všechny řady determinantu jsou proporcionální, tzn.

Důkaz kritéria pro šikmé čáry.

Pokud jedna ze dvou přímek leží v rovině a druhá tuto rovinu protíná v bodě, který nepatří do první přímky, pak se tyto dvě přímky protnou.

Důkaz

Nechť a patří do α, b protíná α = A, A nepatří do a (výkres 2.1.2). Předpokládejme, že přímky aab se neprotínají, to znamená, že se protínají. Pak existuje rovina β, do které patří přímky aab. V této rovině β leží přímka a a bod A. Protože přímka a a bod A mimo ni definují jednoznačnou rovinu, pak β = α. Ale b vede β a b nepatří k α, takže rovnost β = α je nemožná.

Pokud mají dvě přímky v prostoru společný bod, pak se říká, že se tyto dvě přímky protínají. Na následujícím obrázku se přímky a a b protínají v bodě A. Přímky a a c se neprotínají.

Jakékoli dvě přímky mají buď pouze jeden společný bod, nebo nemají společné body.

Rovnoběžky

Dvě přímky v prostoru se nazývají rovnoběžné, pokud leží ve stejné rovině a neprotínají se. Pro označení rovnoběžných čar použijte speciální ikonu - ||.

Zápis a||b znamená, že přímka a je rovnoběžná s přímkou ​​b. Na obrázku výše jsou přímky a a c rovnoběžné.

Věta o paralelní přímce

Jakýmkoli bodem v prostoru, který neleží na dané přímce, prochází přímka rovnoběžná s danou přímkou ​​a navíc pouze jedna.

Překřížené čáry

Dvě přímky, které leží ve stejné rovině, se mohou protínat nebo být rovnoběžné. Ale ve vesmíru dvě přímky nemusí patřit do stejné roviny. Mohou být umístěny ve dvou různých rovinách.

Je zřejmé, že čáry umístěné v různých rovinách se neprotínají a nejsou rovnoběžné. Nazývají se dvě přímky, které neleží ve stejné rovině překračování čar.

Následující obrázek ukazuje dvě protínající se přímky aab, které leží v různých rovinách.

Znaménko a věta o šikmé přímce

Pokud jedna ze dvou přímek leží v určité rovině a druhá přímka tuto rovinu protíná v bodě, který neleží na první přímce, pak jsou tyto přímky zešikmené.

Věta o křížení čar: každou ze dvou protínajících se čar prochází rovina rovnoběžná s druhou přímkou ​​a navíc pouze jedna.

Zvažovali jsme tedy všechny možné případy vzájemného uspořádání čar v prostoru. Jsou jen tři.

1. Čáry se protínají. (To znamená, že mají pouze jeden společný bod.)

2. Čáry jsou rovnoběžné. (To znamená, že nemají společné body a leží ve stejné rovině.)

3. Přímky se protínají. (To znamená, že jsou umístěny v různých rovinách.)