El término (módulo) en traducción literal del latín significa "medida". Este concepto fue introducido en las matemáticas por el científico inglés R. Cotes. Y el matemático alemán K. Weierstrass introdujo el signo del módulo, un símbolo con el que se denota este concepto al escribir.

En contacto con

Por primera vez se estudia este concepto en matemáticas bajo el programa del 6to grado de secundaria. Según una definición, el módulo es el valor absoluto de un número real. En otras palabras, para averiguar el módulo de un número real, debes descartar su signo.

Valor absoluto gráfico a denotado como |un|.

La principal característica distintiva de este concepto es que siempre es un valor no negativo.

Los números que difieren entre sí solo en el signo se llaman números opuestos. Si el valor es positivo, entonces su opuesto es negativo y el cero es su propio opuesto.

valor geométrico

Si consideramos el concepto de módulo desde el punto de vista de la geometría, entonces denotaremos la distancia, que se mide en segmentos unitarios desde el origen hasta Punto dado. Esta definición revela plenamente el significado geométrico del término en estudio.

Gráficamente, esto se puede expresar de la siguiente manera: |a| = O. A.

Propiedades de valor absoluto

A continuación, consideraremos todas las propiedades matemáticas de este concepto y las formas de escribir en forma de expresiones literales:

Características de resolver ecuaciones con un módulo.

Si hablamos de resolver ecuaciones matemáticas y desigualdades que contienen módulo, entonces debe recordar que para resolverlas, deberá abrir este letrero.

Por ejemplo, si el signo del valor absoluto contiene alguna expresión matemática, entonces, antes de abrir el módulo, es necesario tener en cuenta las definiciones matemáticas actuales.

|A + 5| = A + 5 si A es mayor o igual a cero.

5-A si A es menor que cero.

En algunos casos, el signo se puede expandir sin ambigüedades para cualquier valor de la variable.

Consideremos un ejemplo más. Construyamos una línea de coordenadas, en la que marcamos todos los valores numéricos, cuyo valor absoluto será 5.

Primero debe dibujar una línea de coordenadas, designar el origen de las coordenadas y establecer el tamaño de un solo segmento. Además, la línea debe tener una dirección. Ahora, en esta línea recta, es necesario aplicar marcas que serán iguales al valor de un solo segmento.

Así, podemos ver que en esta línea de coordenadas habrá dos puntos de interés para nosotros con valores 5 y -5.

MBOU escuela secundaria №17 Ivanov

« Ecuaciones de módulo»
Desarrollo metódico

compilado

profesor de matemáticas

Lebedeva NV

20010

Nota explicativa

Capítulo 1 Introducción

Sección 2. Características principales Sección 3. Interpretación geométrica del concepto de módulo de un número Sección 4. Gráfica de la función y = |x| Sección 5 Convenciones

Capitulo 2

Sección 1. Ecuaciones de la forma |F(х)| = m (protozoos) Sección 2. Ecuaciones de la forma F(|х|) = m Sección 3. Ecuaciones de la forma |F(х)| = G(x) Sección 4. Ecuaciones de la forma |F(х)| = ± F(x) (hermoso) Sección 5. Ecuaciones de la forma |F(х)| = |G(x)| Sección 6. Ejemplos de resolución de ecuaciones no estándar Sección 7. Ecuaciones de la forma |F(х)| + |G(x)| = 0 Sección 8. Ecuaciones de la forma |а 1 x ± â 1 | ± |a 2 x ± en 2 | ± …|un x ± en n | = metro Sección 9. Ecuaciones que contienen múltiples módulos

Capítulo 3. Ejemplos de resolución de varias ecuaciones con un módulo.

Sección 1. Ecuaciones trigonométricas Sección 2 ecuaciones exponenciales Sección 3. Ecuaciones logarítmicas Sección 4. Ecuaciones irracionales Sección 5. Tareas de complejidad avanzada respuestas a los ejercicios Bibliografía

Nota explicativa.

El concepto de valor absoluto (módulo) de un número real es una de sus características esenciales. Este concepto es muy utilizado en diversas ramas de las ciencias físicas, matemáticas y técnicas. En la práctica de enseñar un curso de matemáticas en escuela secundaria de acuerdo con el Programa del Ministerio de Defensa de la Federación Rusa, el concepto de "valor absoluto de un número" aparece repetidamente: en el sexto grado, se introduce la definición del módulo, su significado geométrico; en el octavo grado, se forma el concepto de error absoluto, se considera la solución de las ecuaciones y desigualdades más simples que contienen el módulo, se estudian las propiedades de la raíz cuadrada aritmética; en el grado 11, el concepto se encuentra en la sección "Raíz nortegrado". La experiencia docente muestra que los estudiantes a menudo encuentran dificultades para resolver tareas que requieren el conocimiento de este material, y suelen saltárselas antes de comenzar a completarlas. En los textos de tareas de examen para el curso de los grados 9 y 11, también se incluyen tareas similares. Además, los requisitos que las universidades imponen a los graduados escolares son diferentes, es decir, de un nivel superior a los requisitos del plan de estudios escolar. Para la vida en la sociedad moderna, la formación de un estilo de pensamiento matemático, que se manifiesta en ciertas habilidades mentales, es muy importante. En el proceso de resolución de problemas con módulos, se requiere la capacidad de aplicar técnicas tales como generalización y concretización, análisis, clasificación y sistematización, analogía. La solución de tales tareas le permite verificar el conocimiento de las secciones principales del curso escolar, el nivel de pensamiento lógico y las habilidades iniciales de investigación. Este trabajo está dedicado a una de las secciones: la solución de ecuaciones que contienen el módulo. Consta de tres capítulos. El primer capítulo introduce los conceptos básicos y los cálculos teóricos más importantes. El segundo capítulo propone nueve tipos básicos de ecuaciones que contiene el módulo, considera métodos para resolverlas y analiza ejemplos de diferentes niveles de complejidad. El tercer capítulo ofrece ecuaciones más complejas y no estándar (trigonométricas, exponenciales, logarítmicas e irracionales). Para cada tipo de ecuaciones hay ejercicios de solución independiente (se adjuntan respuestas e instrucciones). El objetivo principal de este trabajo es proporcionar asistencia metodológica a los profesores en la preparación de lecciones y en la organización de cursos opcionales. El material también se puede utilizar como guía de estudio para estudiantes de secundaria. Las tareas propuestas en el trabajo son interesantes y no siempre fáciles de resolver, lo que permite hacer más consciente la motivación de aprendizaje de los estudiantes, probar sus habilidades y mejorar el nivel de preparación de los egresados ​​de la escuela para ingresar a las universidades. Una selección diferenciada de los ejercicios propuestos implica una transición del nivel reproductivo de asimilación del material al creativo, así como la oportunidad de enseñar cómo aplicar sus conocimientos en la resolución de problemas no estándar.

Capítulo 1 Introducción.

Sección 1. Determinación del valor absoluto .

Definición : El valor absoluto (módulo) de un número real a se llama un número no negativo: a o -a. Designacion: │ a │ La entrada dice lo siguiente: “módulo del número a” o “valor absoluto del número a”

│ a si a > 0

│a│ = │ 0 si a = 0 (1)

│ - un, si un
Ejemplos: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1

Expandir módulo de expresión:

a) │x - 8│ si x > 12 b) │2x + 3│ si x ≤ -2 │x - 8│= x - 8 │ 2x + 3│= - 2x - 3

Sección 2. Propiedades básicas.

Considere las propiedades básicas del valor absoluto. Propiedad #1: Los números opuestos tienen módulos iguales, es decir │ │ = │- │ Demostremos la corrección de la igualdad. Escribamos la definición del número - a : │- un│= (2) Comparemos los conjuntos (1) y (2). Obviamente, las definiciones de los valores absolutos de los números a y - a juego. Como consecuencia, │ │ = │- │
Al considerar las siguientes propiedades, nos limitamos a su formulación, ya que su prueba se da en Propiedad #2: El valor absoluto de la suma de un número finito numeros reales no excede la suma de los valores absolutos de los términos: │a 1 + a 2 +…+ a n Propiedad #3: El valor absoluto de la diferencia entre dos números reales no excede la suma de sus valores absolutos: │а - в│ ≤│а│+│в│ Propiedad #4: El valor absoluto del producto de un número finito de números reales es igual al producto de los valores absolutos de los factores: │а · в│=│а│·│в│ Propiedad #5: El valor absoluto del cociente de los números reales es igual al cociente de sus valores absolutos:

Bloque 3. Interpretación geométrica del concepto de módulo de un número.

Cada número real se puede asociar con un punto en la recta numérica, que será una representación geométrica de este número real. Cada punto en la recta numérica corresponde a su distancia desde el origen, es decir la longitud del segmento desde el origen hasta el punto dado. Esta distancia siempre se considera como un valor no negativo. Por lo tanto, la longitud del segmento correspondiente será la interpretación geométrica del valor absoluto del número real dado

La ilustración geométrica presentada confirma claramente la propiedad No. 1, es decir módulos de números opuestos son iguales. A partir de aquí, se comprende fácilmente la validez de la igualdad: │x - a│= │a - x│. También se vuelve más obvio resolver la ecuación │х│= m, donde m ≥ 0, es decir x 1.2 = ± m. Ejemplos: 1) │х│= 4 x 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x1,2 = 2; cuatro

Sección 4. Gráfico de la función y \u003d │х│

El dominio de esta función son todos los números reales.

Sección 5. Símbolos.

En el futuro, cuando se consideren ejemplos de resolución de ecuaciones, se utilizarán las siguientes convenciones: ( - signo del sistema [ - signo del conjunto Al resolver un sistema de ecuaciones (desigualdades), se encuentra la intersección de las soluciones de las ecuaciones (desigualdades) incluidas en el sistema. Al resolver un conjunto de ecuaciones (desigualdades), se encuentra una unión de soluciones de las ecuaciones (desigualdades) incluidas en el conjunto.

Capitulo 2

En este capítulo, veremos formas algebraicas de resolver ecuaciones que contienen uno o más módulos.

Sección 1. Ecuaciones de la forma │F (х) │= m

Una ecuación de este tipo se llama la más simple. Tiene solución si y solo si m ≥ 0. Por la definición del módulo, la ecuación original es equivalente a la combinación de dos ecuaciones: │ F(x)│=metro
Ejemplos:
№1. Resuelve la ecuación: │7x - 2│= 9


respuesta: x 1 = - 1; X 2 = 1 4 / 7 №2
│x 2 + 3x + 1│= 1

x2 + 3x + 2 = 0 x2 + 3x = 0 x1 = -1; x 2 \u003d -2 x (x + 3) \u003d 0 x 1 \u003d 0; x2 = -3 Respuesta: la suma de las raices es - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 - 5x 2 = 0 x 4 - 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 - 5) = 0 denota x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 m 2 – 5 m + 4 = 0 m = 1; 4 – ambos valores cumplen la condición m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 Respuesta: el número de raíces de la ecuación 7. Ejercicios:
№1. Resuelve la ecuación e indica la suma de las raíces: │x - 5│= 3 №2 . Resuelva la ecuación e indique la raíz más pequeña: │x 2 + x │ \u003d 0 №3 . Resuelva la ecuación e indique la raíz más grande: │x 2 - 5x + 4 │ \u003d 4 №4 .Resuelva la ecuación e indique la raíz entera: │2x 2 - 7x + 6│ \u003d 1 №5 .Resolver la ecuación e indicar el número de raíces: │x 4 - 13x 2 + 50 │ = 14

Sección 2. Ecuaciones de la forma F(│х│) = m

El argumento de la función en el lado izquierdo está bajo el signo de módulo, mientras que el lado derecho es independiente de la variable. Consideremos dos formas de resolver ecuaciones de este tipo. 1 manera: Por definición del valor absoluto, la ecuación original es equivalente a la totalidad de dos sistemas. En cada uno de los cuales se impone una condición a la expresión del submódulo. F(│х│) =metro
Dado que la función F(│х│) es par en todo el dominio de definición, las raíces de las ecuaciones F(х) = m y F(-х) = m son pares de números opuestos. Por lo tanto, basta con resolver uno de los sistemas (al considerar los ejemplos de esta manera, se dará la solución de un sistema). 2 vías: Aplicación del método de introducción de una nueva variable. En este caso se introduce la designación │х│= a, donde a ≥ 0. Este método diseño menos voluminoso.
Ejemplos: №1 . Resuelve la ecuación: 3x 2 - 4│x│ = - 1 Usemos la introducción de una nueva variable. Denotamos │x│= a, donde a ≥ 0. Obtenemos la ecuación 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 - 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1 / 3 Volvemos a la variable original: │x │ = 1 y │х│= 1/3. Cada ecuación tiene dos raíces. respuesta: x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. Resuelva la ecuación: 5x 2 + 3│x│- 1 \u003d 1 / 2 │x│ + 3x 2
Encontremos la solución del primer sistema conjunto: 4x 2 + 5x - 2 \u003d 0 D \u003d 57 x 1 \u003d -5 + √57 / 8 x 2 \u003d -5-√57 / 8 Tenga en cuenta que x 2 no no satisface la condición x ≥ 0. Por la solución el segundo sistema será el número opuesto x 1 . respuesta: x 1 = -5+√57 / 8 ; X 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Resuelve la ecuación: x 4 - │х│= 0 Indica │х│= a, donde a ≥ 0. Obtenemos la ecuación a 4 - a \u003d 0 a (a 3 - 1) \u003d 0 a 1 \u003d 0 a 2 \u003d 1 Volvemos a la variable original: │х│=0 y │х│= 1 x = 0; ± 1 respuesta: x 1 = 0; X 2 = 1; X 3 = - 1.
Ejercicios: №6. Resuelve la ecuación: 2│х│ - 4.5 = 5 - 3/8 │х│ №7 . Resuelve la ecuación, en la respuesta indica el número de raíces: 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique las soluciones completas: x 4 + │х│ - 2 = 0

Sección 3. Ecuaciones de la forma │F(х)│ = G(х)

El lado derecho de una ecuación de este tipo depende de una variable y, por tanto, tiene solución si y solo si el lado derecho es una función G(x) ≥ 0. La ecuación original se puede resolver de dos formas: 1 manera: Estándar, basado en la divulgación del módulo basado en su definición y consiste en una transición equivalente a la combinación de dos sistemas. │ F(x)│ =GRAMO(X)

Es racional usar este método en el caso de una expresión compleja para la función G(x) y una expresión menos compleja para la función F(x), ya que se supone que resuelve desigualdades con la función F(x). 2 vías: Consiste en la transición a un sistema equivalente en el que se impone una condición al lado derecho. │ F(X)│= GRAMO(X)

Este método es más conveniente si la expresión para la función G(x) es menos complicada que para la función F(x), ya que se asume la solución de la desigualdad G(x) ≥ 0. Además, en el caso de varios módulos, este método se recomienda utilizar la segunda opción. Ejemplos: №1. Resuelve la ecuación: │x + 2│= 6 -2x
(1 vía) Respuesta: x = 1 1 / 3 №2.
│x 2 - 2x - 1 │ \u003d 2 (x + 1)
(2 vías) Respuesta: El producto de las raíces es 3.
№3. Resuelve la ecuación, en la respuesta escribe la suma de las raíces:
│x - 6 │ \u003d x 2 - 5x + 9

Respuesta: la suma de las raíces es 4.
Ejercicios: №9. │x + 4│= - 3x №10. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el número de soluciones: │x 2 + x - 1 │ \u003d 2x - 1 №11 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el producto de las raíces: │x + 3 │ \u003d x 2 + x - 6

Sección 4. Ecuaciones de la forma │F(x)│= F(x) y │F(x)│= - F(x)

Las ecuaciones de este tipo a veces se denominan "hermosas". Dado que el lado derecho de las ecuaciones depende de la variable, existen soluciones si y solo si el lado derecho no es negativo. Por lo tanto, las ecuaciones originales son equivalentes a las desigualdades:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 y │F(x)│= - F(x) F(x) Ejemplos: №1 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz entera más pequeña: │5x - 3│ \u003d 5x - 3 5x - 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 Respuesta: x = 1№2. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la longitud del espacio: │x 2 - 9 │ \u003d 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Respuesta: la longitud del espacio es 6.№3 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el número de soluciones enteras: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] Respuesta: 4 soluciones enteras.№4 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz más grande:
│4 - x -
│= 4 – x –
x 2 - 5x + 5 \u003d 0 D \u003d 5 x 1.2 \u003d
≈ 1,4

Respuesta: x = 3.

Ejercicios: №12. Resuelve la ecuación, en la respuesta indica la raíz entera: │x 2 + 6x + 8 │= x 2 + 6x + 8 №13. Resuelve la ecuación, en la respuesta indica el número de soluciones enteras: │13x - x 2 - 36│+ x 2 - 13x + 36 = 0 №14. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique un número entero que no sea la raíz de la ecuación:

Sección 5. Ecuaciones de la forma │F(x)│= │G(x)│

Dado que ambos lados de la ecuación no son negativos, la solución implica considerar dos casos: las expresiones submodulares son de signo igual o opuesto. Por tanto, la ecuación original es equivalente a la combinación de dos ecuaciones: │ F(X)│= │ GRAMO(X)│
Ejemplos: №1. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz entera: │x + 3│ \u003d │2x - 1│
Respuesta: raíz entera x = 4.№2. Resuelve la ecuación: │ x - x 2 - 1│ \u003d │2x - 3 - x 2 │
Respuesta: x = 2.№3 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el producto de las raíces:




Las raíces de la ecuación 4x 2 + 2x - 1 \u003d 0 x 1.2 \u003d - 1±√5 / 4 Respuesta: el producto de las raíces es 0,25. Ejercicios: №15 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la solución completa: │x 2 - 3x + 2│ \u003d │x 2 + 6x - 1│ №16. Resuelve la ecuación, en la respuesta indica la raíz menor: │5x - 3│=│7 - x│ №17 . Resuelve la ecuación, en la respuesta escribe la suma de las raíces:

Sección 6. Ejemplos de resolución de ecuaciones no estándar

En esta sección, consideramos ejemplos de ecuaciones no estándar, en cuya solución se revela por definición el valor absoluto de la expresión. Ejemplos:

№1. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la suma de las raíces: x │x│- 5x - 6 \u003d 0
Respuesta: la suma de las raices es 1 №2. . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz más pequeña: x 2 - 4x
- 5 = 0
Respuesta: raíz más pequeña x = - 5. №3. Resuelve la ecuación:

Respuesta: x = -1. Ejercicios: №18. Resuelve la ecuación y escribe la suma de las raíces: x │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19. Resuelve la ecuación: x 2 - 3x \u003d

№20. Resuelve la ecuación:

Sección 7. Ecuaciones de la forma │F(x)│+│G(x)│=0

Es fácil ver que en el lado izquierdo de una ecuación de este tipo, la suma de cantidades no negativas. Por lo tanto, la ecuación original tiene solución si y solo si ambos términos son simultáneamente iguales a cero. La ecuación es equivalente al sistema de ecuaciones: │ F(X)│+│ GRAMO(X)│=0
Ejemplos: №1 . Resuelve la ecuación:
Respuesta: x = 2. №2. Resuelve la ecuación: Respuesta: x = 1. Ejercicios: №21. Resuelve la ecuación: №22 . Resuelve la ecuación, en la respuesta escribe la suma de las raíces: №23 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el número de soluciones:

Sección 8. Ecuaciones de la forma

Para resolver ecuaciones de este tipo se utiliza el método de los intervalos. Si se resuelve mediante la expansión secuencial de módulos, entonces obtenemos norte conjuntos de sistemas, lo cual es muy engorroso e inconveniente. Considere el algoritmo del método de intervalo: 1). Buscar valores de variables X, para el cual cada módulo es igual a cero (ceros de expresiones de submódulos):
2). Los valores encontrados están marcados en una recta numérica, que se divide en intervalos (el número de intervalos, respectivamente, es igual a norte+1 ) 3). Determine con qué signo se revela cada módulo en cada uno de los intervalos obtenidos (al hacer una solución, puede usar una línea numérica, marcando los signos en ella) 4). La ecuación original es equivalente al conjunto norte+1 sistemas, en cada uno de los cuales se indica la pertenencia de la variable X uno de los intervalos. Ejemplos: №1 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz más grande:
una). Encontremos los ceros de las expresiones de los submódulos: x = 2; x = -3 2). Marcamos los valores encontrados en la recta numérica y determinamos con qué signo se revela cada módulo en los intervalos obtenidos:
x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- sin soluciones La ecuación tiene dos raíces. Respuesta: la raíz más grande es x = 2. №2. Resuelve la ecuación, escribe la raíz entera en la respuesta:
una). Encontremos los ceros de las expresiones de los submódulos: x = 1.5; x = - 1 2). Marcamos los valores encontrados en la recta numérica y determinamos con qué signo se revela cada módulo en los intervalos obtenidos: x + 1 x + 1 x + 1 - + +
-1 1,5 х 2х – 3 2х – 3 2х – 3 - - +
3).
El último sistema no tiene soluciones, por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces. Al resolver la ecuación, debe prestar atención al signo "-" frente al segundo módulo. Respuesta: raíz entera x = 7. №3. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la suma de las raíces: 1). Encontremos los ceros de las expresiones del submódulo: x = 5; x = 1; x = - 2 2). Marcamos los valores encontrados en la recta numérica y determinamos con qué signo se revela cada módulo en los intervalos obtenidos: x - 5 x - 5 x - 5 x - 5 - - - +
-2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 - - + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 - + + +
3).
La ecuación tiene dos raíces x = 0 y 2. Respuesta: la suma de las raíces es 2. №4 . Resuelve la ecuación: 1). Encontremos los ceros de las expresiones de los submódulos: x = 1; x = 2; x = 3. 2). Determinemos el signo con el que se expande cada módulo sobre los intervalos obtenidos. 3).
Combinemos las soluciones de la primera tres sistemas. Responder: ; x = 5.
Ejercicios: №24. Resuelve la ecuación:
№25. Resuelve la ecuación, en la respuesta escribe la suma de las raíces: №26. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la raíz más pequeña: №27. Resuelve la ecuación, da la raíz más grande en tu respuesta:

Sección 9. Ecuaciones que contienen múltiples módulos

Las ecuaciones que contienen múltiples módulos asumen la presencia de valores absolutos en las expresiones de los submódulos. El principio básico para resolver ecuaciones de este tipo es la revelación secuencial de módulos, comenzando con el "externo". En el curso de la solución, se utilizan las técnicas discutidas en las secciones No. 1, No. 3.

Ejemplos: №1. Resuelve la ecuación:
Respuesta: x = 1; - once. №2. Resuelve la ecuación:
Respuesta: x = 0; cuatro; - cuatro. №3. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el producto de las raíces:
Respuesta: El producto de las raíces es 8. №4. Resuelve la ecuación:
Denotar las ecuaciones de población (1) y (2) y considere la solución de cada uno de ellos por separado para la conveniencia del diseño. Dado que ambas ecuaciones contienen más de un módulo, es más conveniente realizar una transición equivalente a conjuntos de sistemas. (1)

(2)


Responder:
Ejercicios: №36. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la suma de las raíces: 5 │3x-5│ \u003d 25 x №37. Resuelve la ecuación, si hay más de una raíz, en la respuesta indica la suma de las raíces: │x + 2│ x - 3x - 10 = 1 №38. Resuelve la ecuación: 3 │2x -4│ \u003d 9 │x│ №39. Resuelve la ecuación, en la respuesta indica el número de raíces para: 2 │ sen x │ = √2 №40 . Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el número de raíces:

Sección 3. Ecuaciones logarítmicas.

Antes de resolver las siguientes ecuaciones, es necesario repasar las propiedades de los logaritmos y la función logarítmica. Ejemplos: №1. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique el producto de las raíces: log 2 (x + 1) 2 + log 2 │x + 1 │ \u003d 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1

Caso 1: si x ≥ - 1, entonces log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – satisface la condición x ≥ - 1 2 caso: si x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – satisface la condición x - 1
Respuesta: El producto de las raíces es 15.
№2. Resuelva la ecuación, en la respuesta indique la suma de las raíces: lg
O.D.Z.

Respuesta: la suma de las raíces es 0,5.
№3. Resuelve la ecuación: log 5
O.D.Z.

Respuesta: x = 9. №4. Resuelve la ecuación: │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 Usemos la fórmula para pasar a otra base. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Busquemos los ceros de las expresiones del submódulo: x = 25; x \u003d Estos números dividen el área de valores permisibles en tres intervalos, por lo que la ecuación es equivalente a la totalidad de tres sistemas.
Responder: )