Funciones trigonométricas de un argumento numérico. Propiedades y gráficas de funciones trigonométricas
La lección en video "Funciones trigonométricas de un argumento numérico" es un material visual para garantizar la claridad al explicar el tema de la lección. Durante la demostración, se considera el principio de formar el valor de las funciones trigonométricas a partir de un número, se describen una serie de ejemplos que enseñan cómo calcular los valores de las funciones trigonométricas a partir de un número. Con la ayuda de este manual, es más fácil formar habilidades para resolver problemas relevantes, para lograr la memorización del material. El uso del manual aumenta la eficacia de la lección, contribuye al rápido logro de los objetivos de aprendizaje.
El título del tema se muestra al principio de la lección. Entonces la tarea es encontrar el coseno correspondiente a algún argumento numérico. Se observa que este problema se resuelve de forma sencilla y esto se puede demostrar claramente. La pantalla muestra un círculo unitario centrado en el origen. Al mismo tiempo, se notó que el punto de intersección del círculo con el semieje positivo del eje de abscisas se encuentra en el punto A (1; 0). Se da un ejemplo de un punto M, que representa el argumento t=π/3. Este punto celebrado el circulo unitario, y de ella desciende una perpendicular al eje de abscisas. La abscisa encontrada del punto es el coseno cos t. En este caso, la abscisa del punto será x=1/2. Por lo tanto cos t=1/2.
Resumiendo los hechos considerados, se observa que tiene sentido hablar de la función s=cos t. Se observa que los estudiantes ya tienen algunos conocimientos sobre esta función. Se calculan algunos valores de coseno cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. También relacionadas con esta función están las funciones s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Se observa que tienen un nombre común para todos: funciones trigonométricas.
Se demuestran relaciones importantes que se utilizan para resolver problemas con funciones trigonométricas: identidad básica sin 2 t+ cos 2 t=1, expresión de tangente y cotangente en términos de seno y coseno tg t=sin t/cos t, donde t≠π/2+πk para kϵZ, ctg t= cos t/sin t, donde t≠πk para kϵZ, así como la razón de tangente a cotangente tg t·ctg t=1 donde t≠πk/2 para kϵZ.
Además, se propone considerar la prueba de la relación 1+ tan 2 t=1/ cos 2 t, con t≠π/2+πk para kϵZ. Para probar la identidad, es necesario representar tg 2 t como una razón de seno y coseno, y luego llevar los términos del lado izquierdo a un denominador común 1+ tg 2 t=1+sen 2 t/cos 2 t = (sen 2 t+cos 2 t )/ cos 2 t. Usando la identidad trigonométrica básica, obtenemos 1 en el numerador, es decir, la expresión final 1/ cos 2 t. QED
La identidad 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t se demuestra de manera similar, con t≠πk para kϵZ. Al igual que en la demostración anterior, se reemplaza la cotangente por la correspondiente razón de coseno y seno, y ambos términos del lado izquierdo se reducen a un común denominador 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sen 2 t= ( sen 2 t+cos 2 t)/sen2t. Después de aplicar la principal identidad trigonométrica al numerador obtenemos 1/ sen 2 t. Esta es la expresión deseada.
Se considera la solución de ejemplos, en los que se aplican los conocimientos adquiridos. En la primera tarea, debe encontrar los valores de costo, tgt, ctgt, si se conoce el seno del número sint=4/5, y t pertenece al intervalo π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.
A continuación, consideramos la solución de un problema similar en el que se conoce la tangente tgt=-8/15, y el argumento se limita a los valores 3π/2 Para encontrar el valor del seno, usamos la definición de la tangente tgt = sint / cost. De ahí encontramos sint= tgt cost=(-8/15)(15/17)=-8/17. Sabiendo que la cotangente es la función inversa de la tangente, encontramos ctgt=1/(-8/15)=-15/8. La lección en video "Funciones trigonométricas de un argumento numérico" se usa para aumentar la efectividad de una lección de matemáticas en la escuela. En el curso de aprendizaje a distancia, este material se puede utilizar como una ayuda visual para la formación de habilidades de resolución de problemas, donde hay funciones trigonométricas de un número. Para adquirir estas habilidades, se puede recomendar al alumno que considere material visual de forma independiente. INTERPRETACIÓN DEL TEXTO: El tema de la lección es "Funciones trigonométricas de un argumento numérico". Cualquier número real t se puede asociar con un número definido de forma única cos t. Para ello, debe realizar los siguientes pasos: 1) en el plano de coordenadas, coloque el círculo numérico de modo que el centro del círculo coincida con el origen, y el punto inicial A del círculo toque el punto (1; 0); 2) encontrar un punto en el círculo que corresponda al número t; 3) encontrar la abscisa de este punto. Esto es costo t. Por lo tanto, hablaremos sobre la función s \u003d costo t (es es igual al coseno de te), donde t es cualquier número real. Ya tenemos una idea sobre esta función: Todas estas funciones se denominan funciones trigonométricas del argumento numérico t. De las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente, se siguen algunas relaciones: 1) sen 2 t + cos 2 t = 1 (seno al cuadrado te más coseno al cuadrado te es igual a uno) 2) tgt = en t ≠ + πk, kϵZ 3) ctgt = en t ≠ πk, kϵZ (la cotangente de te es igual a la razón del coseno de te al seno de te cuando te no es igual al pico de ka, que pertenece a z). 4)tgt ∙ ctgt = 1 para t ≠ , kϵZ Probamos dos fórmulas más importantes: Uno más el cuadrado tangente de te es igual a la razón de uno al coseno cuadrado de te cuando te no es igual a pi por dos más pi. Prueba. La expresión unidad más tangente al cuadrado te, la reduciremos a un denominador común coseno al cuadrado te. Obtenemos en el numerador la suma de los cuadrados del coseno de te y el seno de te, que es igual a uno. Y el denominador sigue siendo el cuadrado del coseno te. La suma de la unidad y el cuadrado de la cotangente te es igual a la razón de la unidad al cuadrado del seno de te cuando te no es igual al pico. Prueba. La expresión unidad más la cotangente al cuadrado te, igualmente, la reducimos a un común denominador y aplicamos la primera relación. Considere ejemplos. EJEMPLO 1. Encuentre costo, tgt, ctgt si sint = y< t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи) Decisión. De la primera relación, encontramos el coseno cuadrado te igual a uno menos el seno cuadrado te: cos 2 t \u003d 1 - sin 2 t. Entonces, cos 2 t = 1 -() 2 = (el coseno del cuadrado de te es igual a nueve veinticinco), es decir, costo = (el coseno de te es igual a tres quintos) o costo = - ( el coseno de te es igual a menos tres quintos). Por condición, el argumento t pertenece al segundo trimestre, y en él cuesta t< 0 (косинус тэ отрицательный). Entonces el coseno te es igual a menos tres quintos, costo = - . Calcular la tangente te: tgt = = ׃ (-)= - ;(la tangente de te es igual a la razón del seno de te al coseno de te, lo que significa cuatro quintos a menos tres quintos y es igual a menos cuatro tercios) En consecuencia, calculamos (la cotangente del número te, ya que la cotangente de te es igual a la razón del coseno de te al seno de te,) ctgt = = - . (la cotangente de te es menos tres cuartos). Respuesta: costo = - , tgt= - ; ctgt = - . (La respuesta se completará como usted decida) EJEMPLO 2. Se sabe que tgt = - y< t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt. Decisión. Usamos esta relación, sustituyendo el valor en esta fórmula, obtenemos: 1 + (-) 2 \u003d (uno por coseno cuadrado de te es igual a la suma de uno y el cuadrado menos ocho quinceavos). A partir de aquí encontramos cos 2 t = (el coseno cuadrado de te es doscientos veinticinco doscientos ochenta y nueve). Entonces costo = (coseno te es igual a quince diecisiete) o costo = . Por condición, el argumento t pertenece al cuarto trimestre, donde costo>0. Por lo tanto, costo = .(coseno te es quince diecisiete) Encuentre el valor del argumento seno te. Dado que a partir de la razón (muestra la razón tgt = en t ≠ + πk, kϵZ) el seno de te es igual al producto de la tangente de te por el coseno de te, entonces reemplazando el valor del argumento te...la tangente de te es igual a menos ocho quinceavos .. por condición, y el coseno de te es igual a resuelto antes, obtenemos sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (el seno de te es igual a menos ocho diecisiete) ctgt == - . (dado que la cotangente de te es el recíproco de la tangente, significa que la cotangente de te es menos quince dieciocho) Funciones trigonométricas de un argumento numérico.
Funciones trigonométricas de un argumento numéricot son funciones de la forma y= costo t, Usando estas fórmulas, a través del valor conocido de una función trigonométrica, puedes encontrar los valores desconocidos de otras funciones trigonométricas. Explicaciones. 1) Toma la fórmula cos 2 t + sen 2 t = 1 y utilízala para derivar una nueva fórmula. Para ello, dividimos ambas partes de la fórmula por cos 2 t (para t ≠ 0, es decir, t ≠ π/2 + π k). Asi que: cos 2 t sen 2 t 1 El primer término es igual a 1. Sabemos que la razón del seno al coniso es la tangente, lo que significa que el segundo término es igual a tg 2 t. Como resultado, obtenemos una fórmula nueva (y ya conocida): 2) Ahora dividimos cos 2 t + sen 2 t = 1 entre sen 2 t (para t ≠ π k): cos 2 t sen 2 t 1 La razón de coseno a seno es la cotangente. Significa: sen 2 t 1 sen 2 t cos 2 t + sen 2 t 1 Es igual de fácil encontrar la suma de la unidad y el cuadrado de la cotangente, así como muchas otras identidades. Funciones trigonométricas de argumento angular.
en funcionesen =
porquet,
en =
pecadot,
en =
tgt,
en =
ctgt variablePuede ser más que un simple argumento numérico. También se puede considerar una medida de un ángulo, es decir, un argumento angular. Con la ayuda de un círculo numérico y un sistema de coordenadas, puede encontrar fácilmente el seno, el coseno, la tangente y la cotangente de cualquier ángulo. Para ello, se deben cumplir dos condiciones importantes: 2) uno de los lados del ángulo debe ser un haz de eje positivo X. En este caso, la ordenada del punto en el que se cortan el círculo y el segundo lado del ángulo es el seno de este ángulo, y la abscisa de este punto es el coseno del ángulo dado. Explicación. Dibujemos un ángulo, un lado del cual es un rayo positivo del eje X, y el segundo lado sale del origen del eje de coordenadas (y del centro del círculo) en un ángulo de 30º (ver figura). Entonces el punto de intersección del segundo lado con el círculo corresponde a π/6. Conocemos la ordenada y la abscisa de este punto. Son el coseno y el seno de nuestro ángulo: √3 1 Y conociendo el seno y el coseno de un ángulo, puedes encontrar fácilmente su tangente y cotangente. Por lo tanto, un círculo numérico ubicado en un sistema de coordenadas es una forma conveniente de encontrar el seno, el coseno, la tangente o la cotangente de un ángulo. Pero hay una manera más fácil. Es posible no dibujar un círculo y un sistema de coordenadas. Puede usar fórmulas simples y convenientes: Ejemplo: encontrar el seno y el coseno de un ángulo igual a 60º. Decisión : π 60 π √3 1 Explicación: averiguamos que el seno y el coseno del ángulo 60º corresponden a los valores del punto del círculo π/3. Además, simplemente encontramos los valores de este punto en la tabla, y así resolvemos nuestro ejemplo. La tabla de senos y cosenos de los puntos principales del círculo numérico se encuentra en el apartado anterior y en la página "Tablas". Objetivos de la lección: Educativo: Desarrollando: Educativo: Tipo de lección: lección de generalización y sistematización del conocimiento. Métodos de enseñanza: búsqueda parcial, (heurística). Test de verificación del nivel de conocimientos, resolución de problemas cognitivos generalizantes, autoexamen, generalizaciones de sistemas. Plan de estudios. durante las clases 1. Momento organizativo. Tarea: Párrafo 1, párrafo 1.4 El escritor francés Anatole France comentó una vez: “Aprender solo puede ser divertido. Para digerir el conocimiento, uno debe absorberlo con entusiasmo”. Sigamos este consejo del escritor hoy en la lección, seamos activos, atentos, absorbamos conocimiento con gran deseo. Después de todo, le serán útiles en el futuro. Hoy tenemos la lección final sobre el tema: “Funciones trigonométricas de un argumento numérico”. Repetimos, generalizamos el material estudiado, métodos y técnicas para resolver expresiones trigonométricas. 2. Prueba de autocomprobación. La obra se realiza en dos versiones. preguntas en la pantalla. Los estudiantes marcan los pasos equivocados. El número de respuestas correctas se registra en la hoja de conocimientos. 3. Mensaje. Informe sobre la historia del desarrollo de la trigonometría (habla un estudiante capacitado). 4. Sistematización del material teórico. trabajos orales. 1) ¿De qué estamos hablando? ¿Qué es especial? Determinar el signo de la expresión: a) cos (700°) tg 380°, 2) ¿Qué dice este bloque de fórmulas? ¿Dónde está el error? 3) Considere la tabla: Transformaciones trigonométricas 4) Resolución de problemas de cada tipo de transformaciones trigonométricas. Hallar los valores de expresiones trigonométricas. Encontrar el valor de una función trigonométrica a partir del valor conocido de una función trigonométrica dada. Dado: sin = ;< < Encuentre cos2, ctg2. Responder: .< < 2 Encontrar: cos2, tg2 Tercer nivel de dificultad: Dado: sin = ;< < Hallar: sen2 ; sen(60° - ); tg (45° + ) Tarea adicional. Demostrar la identidad: 4 sen 4 - 4 sen 2 = cos 2 2 - 1 6. El resultado del trabajo independiente. Los estudiantes revisan su trabajo y registran los resultados en una hoja de trabajo. 7. Se resume la lección. Materiales adicionales Medios didácticos y simuladores en la tienda online "Integral" para grado 10
Que estudiaremos: Recordemos las fórmulas básicas: $tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, para $t≠\frac(π)(2)+πk$. Vamos a derivar nuevas fórmulas. Ahora dividimos ambos lados de la identidad por $sin^2(t)$. Logramos obtener dos fórmulas nuevas. Recuerdalos. $cos(t) =\frac(5)(7)$, encuentra $sen(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ para todo t. Decisión: $sen^2(t)+cos^2(t)=1$. Ejemplo 2 $tg(t) = \frac(5)(12)$, encuentra $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, para todo $0 Decisión: Cualquiera que sea el número real t que se tome, se le puede asignar un número definido de manera única sen t. Es cierto que la regla de la correspondencia es bastante complicada, como vimos anteriormente, consiste en lo siguiente. Para encontrar el valor de sen t por el número t, necesitas: 1) coloque el círculo numérico en el plano de coordenadas de modo que el centro del círculo coincida con el origen de coordenadas, y el punto inicial A del círculo toque el punto (1; 0); 2) encontrar un punto en el círculo correspondiente al número t; 3) encontrar la ordenada de este punto. Esta ordenada es sen t. De hecho, estamos hablando de la función u = sen t, donde t es cualquier número real. Todas estas funciones se llaman funciones trigonométricas del argumento numérico t. Hay una serie de relaciones que conectan los valores de varias funciones trigonométricas, ya hemos recibido algunas de estas relaciones: sen 2 t + cos 2 t = 1 A partir de las dos últimas fórmulas, es fácil obtener una relación que conecta tg t y ctg t: Todas estas fórmulas se utilizan en aquellos casos en los que, conociendo el valor de alguna función trigonométrica, se requiere calcular los valores de las restantes funciones trigonométricas. Los términos "seno", "coseno", "tangente" y "cotangente" en realidad eran familiares, sin embargo, todavía se usaban en una interpretación ligeramente diferente: en geometría y física, consideraban seno, coseno, tangente y cotangente. g la(pero no números, como en los párrafos anteriores). Se sabe por geometría que el seno (coseno) de un ángulo agudo es la razón entre el cateto de un triángulo rectángulo y su hipotenusa, y la tangente (cotangente) de un ángulo es la razón de los catetos de un triángulo rectángulo. En los párrafos anteriores se desarrolló un enfoque diferente a los conceptos de seno, coseno, tangente y cotangente. De hecho, estos enfoques están interrelacionados. Tomemos un ángulo con una medida en grados bo y colóquelo en el modelo "círculo numérico en un sistema de coordenadas rectangulares" como se muestra en la Fig. catorce parte superior de la esquina compatible con el centro círculos (con el origen del sistema de coordenadas), y un lado de la esquina es compatible con rayo positivo del eje x. punto intersección del otro lado del ángulo con el círculo se denotará con la letra M. Ordina- Figura 14 bo, y la abscisa de este punto es el coseno del ángulo bo. Para encontrar el seno o el coseno del ángulo b o no es necesario hacer estas construcciones tan complejas cada vez. Basta señalar que el arco AM es la misma parte de la longitud del círculo numérico que el ángulo bo desde el ángulo de 360°. Si la longitud del arco AM se denota con la letra t, entonces obtenemos: Por lo tanto, Por ejemplo, Se cree que 30° es una medida en grados de un ángulo, y es una medida en radianes del mismo ángulo: 30° = rad. Generalmente: En particular, me alegro de donde, a su vez, lo conseguimos. Entonces, ¿qué es 1 radián? Hay varias medidas de longitudes de segmentos: centímetros, metros, yardas, etc. También hay varias medidas para indicar la magnitud de los ángulos. Consideramos los ángulos centrales del círculo unitario. Un ángulo de 1° es un ángulo central basado en un arco que es parte de un círculo. Un ángulo de 1 radián es un ángulo central basado en un arco de longitud 1, es decir en un arco cuya longitud es igual al radio del círculo. De la fórmula obtenemos que 1 rad \u003d 57.3 °. Considerando la función u = sen t (o cualquier otra función trigonométrica), podemos considerar la variable independiente t como un argumento numérico, como fue el caso en los párrafos anteriores, pero también podemos considerar esta variable como una medida del ángulo, es decir. argumento angular. Por tanto, hablando de una función trigonométrica, en cierto sentido es indiferente considerarla una función de un argumento numérico o angular.
y= pecado, y= tg t, y=ctgt.
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t
--- + --- = ---, donde t ≠ π k + π k, k- entero
pecado 2 t pecado 2 t pecado 2 t
Al conocer los fundamentos elementales de las matemáticas y haber aprendido las fórmulas básicas de la trigonometría, puede derivar fácilmente la mayoría de las otras identidades trigonométricas por su cuenta. Y esto es incluso mejor que simplemente memorizarlos: lo que se aprende de memoria se olvida rápidamente, y lo que se entiende se recuerda durante mucho tiempo, si no para siempre. Por ejemplo, no es necesario memorizar cuál es la suma de uno y el cuadrado de la tangente. Olvidado: puede recordarlo fácilmente si sabe lo más simple: la tangente es la relación entre el seno y el coseno. Además, aplique una regla simple para sumar fracciones con diferentes denominadores y obtenga el resultado:
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t
1) el vértice de la esquina debe ser el centro del círculo, que también es el centro del eje de coordenadas;
--; --
2 2
pecado 60º = pecado --- = pecado -- = --
180 3 2
cos 60º = cos -- = -
3 2
- Trabajo de prueba (las tareas se publicaron en el stand).№
1 opción
opcion 2
1
Definir el seno y el coseno de un ángulo agudo.
Definir la tangente y la cotangente de un ángulo agudo
2
¿Qué funciones numéricas se llaman tangente y cotangente? Dé una definición.
¿Qué funciones numéricas se llaman seno y coseno? Dé una definición.
3
Un punto en el círculo unitario tiene coordenadas . Encuentra los valores de sen, cos.
El punto del círculo unitario tiene coordenadas (-0,8; -0,6). Encuentre el valor tg, ctg.
4
¿Cuáles de las funciones trigonométricas básicas son impares? Escribe las igualdades correspondientes.
¿Cuáles de las funciones trigonométricas básicas son pares? Escribe las igualdades correspondientes.
5
¿Cómo cambian los valores del seno y el coseno cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones? Escribe las igualdades correspondientes.
¿Cómo cambian los valores de tangente y cotangente cuando el ángulo cambia en un número entero de revoluciones? ¿Cuál es la característica? Escribe las igualdades correspondientes.
6
Encuentre los valores sen cos, sen (- 630 °), cos (- 630 °).
Encuentra los valores tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°).
7
¿Qué figura muestra el gráfico de la función y \u003d sen x?
¿Qué figura muestra el gráfico de la función y \u003d tg x?
8
Escribe las fórmulas de reducción de los ángulos (-), (-).
Escribe las fórmulas de reducción de los ángulos (+ ), (+ ).
9
Escribe fórmulas de suma.
Escribir identidades trigonométricas básicas.
10
Escribe fórmulas para bajar el grado.
Escribe fórmulas de doble argumento.
b) cos (- 1) sen (- 2)
Hallar los valores de expresiones trigonométricas
Encontrar el valor de una función trigonométrica a partir de un valor conocido de una función trigonométrica dada
Simplificar expresiones trigonométricas
identidades
Lección y presentación sobre el tema: "Función trigonométrica de un argumento numérico, definición, identidades"
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1. Definición de un argumento numérico.
2. Fórmulas básicas.
3. Identidades trigonométricas.
4. Ejemplos y tareas para solución independiente.Definición de la función trigonométrica de un argumento numérico
Chicos, sabemos lo que son seno, coseno, tangente y cotangente.
Veamos si es posible encontrar los valores de otras funciones trigonométricas a través de los valores de algunas funciones trigonométricas?
Definamos la función trigonométrica de un elemento numérico como: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
$sen^2(t)+cos^2(t)=1$. Por cierto, ¿cómo se llama esta fórmula?
$ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$, para $t≠πk$.Identidades trigonométricas
Conocemos la identidad trigonométrica básica: $sen^2(t)+cos^2(t)=1$.
Chicos, dividamos ambos lados de la identidad entre $cos^2(t)$.
Obtenemos: $\frac(sen^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2 (t))$.
Transformemos: $(\frac(sin(t))(cos(t)))^2+1=\frac(1)(cos^2(t)).$
Obtenemos la identidad: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, con $t≠\frac(π)(2)+πk$.
Obtenemos: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2 (t))$.
Transformemos: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sen^2(t)).$
Obtenemos una nueva identidad que vale la pena recordar:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, para $t≠πk$.
Estas fórmulas se utilizan si, por algún valor conocido de una función trigonométrica, se requiere calcular el valor de otra función.Ejemplos de resolución de funciones trigonométricas de un argumento numérico
Ejemplo 1
Entonces $sen^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sen^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sen(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sen^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Entonces $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Obtenemos que $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
Entonces $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, pero $0
Obtenemos: $sen(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Tareas para solución independiente
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, encuentra $sin(t)$; $cos(t)$; $ctg(t)$, para todo $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, encuentra $sen(t)$; $tg(t)$; $ctg(t)$ para todos los $t$. 
