Le barbier se rase. Le paradoxe de Bertrand Russell

Le plus célèbre des paradoxes découverts déjà au siècle dernier est l'antinomie découverte par Bertrand Russell et communiquée par lui dans une lettre à G. Ferge. Russell a découvert son paradoxe lié au domaine de la logique et des mathématiques en 1902. La même antinomie a été discutée simultanément à Göttingen par les mathématiciens allemands Z. Zermelo (1871-1953) et D. Hilbert. L'idée était dans l'air et sa publication donnait l'impression d'une bombe qui explosait Miroshnichenko P.N. Qu'est-ce qui a détruit le paradoxe de Russell dans le système de Frege ? // Logique moderne : problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - SPb., 2000. - S. 512-514. . Ce paradoxe a causé en mathématiques, selon Hilbert, l'effet d'une catastrophe complète. Les méthodes logiques les plus simples et les plus importantes, les concepts les plus courants et les plus utiles sont menacés. Il s'est avéré que dans la théorie des ensembles de Cantor, qui a été acceptée avec enthousiasme par la plupart des mathématiciens, il existe d'étranges contradictions dont il est impossible, ou du moins très difficile, de se débarrasser. Le paradoxe de Russell a mis en lumière ces contradictions avec une clarté particulière. Les mathématiciens les plus remarquables de ces années ont travaillé sur sa résolution, ainsi que sur la résolution d'autres paradoxes trouvés de la théorie des ensembles de Cantor. Il est immédiatement devenu évident que ni en logique ni en mathématiques, dans toute la longue histoire de leur existence, il n'y avait rien de décidément élaboré qui puisse servir de base à l'élimination de l'antinomie. De toute évidence, il était nécessaire de s'écarter des modes de pensée habituels. Mais d'où et dans quelle direction ? Courant R., Robbins G. Qu'est-ce que les mathématiques ? - Ch. II, § 4.5.

À quel point le rejet des modes de théorisation établis était-il censé être radical ? Avec une étude plus approfondie de l'antinomie, la conviction de la nécessité d'une approche fondamentalement nouvelle n'a cessé de croître. Un demi-siècle après sa découverte, les spécialistes des fondements de la logique et des mathématiques L. Frenkel et I. Bar-Hillel déclaraient déjà sans aucune réserve : , jusqu'ici invariablement échouées, sont manifestement insuffisantes à cette fin. Le logicien américain moderne H. Curry écrivit un peu plus tard à propos de ce paradoxe : « En termes de logique connue au 19ème siècle, la situation défiait simplement toute explication, bien que, bien sûr, à notre époque éduquée, il puisse y avoir des gens qui voient (ou pense qu'ils voient ), quelle est l'erreur » Miroshnichenko P.N. Qu'est-ce qui a détruit le paradoxe de Russell dans le système de Frege ? // Logique moderne : problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

Le paradoxe de Russell dans sa forme originale est lié au concept d'ensemble ou de classe. On peut parler d'ensembles d'objets différents, par exemple, de l'ensemble de toutes les personnes ou de l'ensemble des nombres naturels. Tout élément du premier ensemble sera personne individuelle, l'élément de la seconde est tout entier naturel. Il est également possible de considérer les ensembles eux-mêmes comme des objets et de parler d'ensembles d'ensembles. On peut même introduire des concepts tels que l'ensemble de tous les ensembles ou l'ensemble de tous les concepts. En ce qui concerne tout ensemble pris arbitrairement, il semble raisonnable de se demander s'il est son propre élément ou non. Les ensembles qui ne se contiennent pas en tant qu'élément seront appelés ordinaires. Par exemple, l'ensemble de toutes les personnes n'est pas une personne, tout comme l'ensemble des atomes n'est pas un atome. Les ensembles qui sont des éléments appropriés seront inhabituels. Par exemple, un ensemble qui réunit tous les ensembles est un ensemble et se contient donc lui-même en tant qu'élément.

Puisqu'il s'agit d'un ensemble, on peut aussi se demander s'il est ordinaire ou insolite. La réponse est cependant décourageante. S'il est ordinaire, alors par définition il doit se contenir en tant qu'élément, puisqu'il contient tous les ensembles ordinaires. Mais cela signifie qu'il s'agit d'un ensemble inhabituel. L'hypothèse que notre ensemble est un ensemble ordinaire conduit donc à une contradiction. Donc ça ne peut pas être normal. D'autre part, il ne peut pas non plus être inhabituel : un ensemble inhabituel se contient lui-même comme élément, et les éléments de notre ensemble ne sont que des ensembles ordinaires. En conséquence, nous arrivons à la conclusion que l'ensemble de tous les ensembles ordinaires ne peut être ni ordinaire ni extraordinaire.

Ainsi, l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas des éléments propres est un élément propre si et seulement si ce n'est pas un tel élément. C'est une contradiction évidente. Et il a été obtenu sur la base des hypothèses les plus plausibles et à l'aide d'étapes apparemment indiscutables. La contradiction dit qu'un tel ensemble n'existe tout simplement pas. Mais pourquoi ça ne peut pas exister ? Après tout, il se compose d'objets qui satisfont à une condition bien définie, et la condition elle-même ne semble pas en quelque sorte exceptionnelle ou obscure. Si un ensemble aussi simplement et clairement défini ne peut exister, alors quelle est, en fait, la différence entre les ensembles possibles et impossibles ? La conclusion que l'ensemble considéré n'existe pas semble inattendue et inquiétante. Elle rend notre notion générale d'ensemble amorphe et chaotique, et rien ne garantit qu'elle ne puisse donner lieu à de nouveaux paradoxes.

Le paradoxe de Russell est remarquable par son extrême généralité Courant R., Robbins G. Qu'est-ce que les mathématiques ? - Ch. II, § 4.5. . Pour sa construction, aucun concept technique complexe n'est nécessaire, comme dans le cas de certains autres paradoxes, les concepts d '«ensemble» et «d'élément de l'ensemble» sont suffisants. Mais cette simplicité ne fait que parler de sa nature fondamentale : elle touche aux fondements les plus profonds de notre raisonnement sur les ensembles, puisqu'elle ne parle pas de certains cas particuliers, mais des ensembles en général.

D'autres variantes du paradoxe Le paradoxe de Russell n'est pas spécifiquement mathématique. Il utilise le concept d'ensemble, mais n'aborde aucune propriété particulière associée spécifiquement aux mathématiques.

Cela devient évident lorsque le paradoxe est reformulé en termes purement logiques. De toute propriété on peut, selon toute vraisemblance, se demander si elle s'applique ou non à elle-même. La propriété d'être chaud, par exemple, ne s'applique pas à lui-même, puisqu'il n'est pas lui-même chaud ; la propriété d'être concret ne se réfère pas non plus à elle-même, car c'est une propriété abstraite. Mais la propriété d'être abstrait, d'être abstrait, s'applique à soi-même.

Appelons ces propriétés inapplicables à elles-mêmes inapplicables. La propriété d'être inapplicable à soi s'applique-t-elle ? Il s'avère que l'inapplicabilité n'est inapplicable que si elle ne l'est pas. C'est bien sûr paradoxal. La variété logique, liée aux propriétés, de l'antinomie de Russell est tout aussi paradoxale que la variété mathématique, liée aux ensembles.

Russell a également proposé la version populaire suivante du paradoxe découvert par lui Katrechko S.L. Le paradoxe de Russell's Barber et la dialectique de Platon-Aristote // Logique moderne: problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - SPb., 2002. - S. 239-242 .. Imaginons que le conseil d'un village définisse ainsi les devoirs du barbier : raser tous les hommes du village qui ne se rasent pas, et seulement ces hommes. Doit-il se raser ? Si c'est le cas, il désignera ceux qui se rasent, et ceux qui se rasent, il ne faut pas qu'ils se rasent. Sinon, il appartiendra à ceux qui ne se rasent pas, et donc il devra se raser. On en vient donc à la conclusion que ce barbier se rase si et seulement s'il ne se rase pas. Ceci, bien sûr, est impossible.

L'argument du barbier est basé sur l'hypothèse qu'un tel barbier existe. La contradiction qui en résulte signifie que cette hypothèse est fausse, et il n'y a pas un tel villageois qui raserait tous ceux et seulement ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes. Les devoirs d'un barbier ne semblent pas contradictoires à première vue, donc la conclusion qu'il ne peut y en avoir un semble quelque peu inattendue. Cependant, cette conclusion n'est pas paradoxale. La condition que doit remplir le barbier de village est, en fait, contradictoire et donc impossible. Il ne peut y avoir un tel coiffeur dans le village pour la même raison qu'il n'y a personne qui serait plus âgé que lui ou qui serait né avant sa naissance Miroshnichenko P.N. Qu'est-ce qui a détruit le paradoxe de Russell dans le système de Frege ? // Logique moderne : problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - SPb., 2000. - S. 512-514 ..

L'argument du barbier peut être qualifié de pseudo-paradoxe. Dans son parcours, il est strictement analogue au paradoxe de Russell, et c'est ce qui le rend intéressant. Mais ce n'est pas encore un vrai paradoxe.

Un autre exemple du même pseudo-paradoxe est l'argument bien connu du catalogue. Une certaine bibliothèque a décidé de compiler un catalogue bibliographique qui inclurait tous ceux et seulement ceux des catalogues bibliographiques qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes. Un tel répertoire devrait-il inclure un lien vers lui-même ? Il est facile de montrer que l'idée de créer un tel catalogue n'est pas réalisable ; il ne peut tout simplement pas exister, car il doit simultanément inclure une référence à lui-même et ne pas inclure.

Il est intéressant de noter que le catalogage de tous les répertoires qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes peut être considéré comme un processus sans fin et sans fin. Disons qu'à un moment donné, un répertoire, disons K1, a été compilé, y compris tous les autres répertoires qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes. Avec la création de K1, un autre répertoire est apparu qui ne contient pas de lien vers lui-même. Puisque le but est de faire un catalogue complet de tous les annuaires qui ne se mentionnent pas, il est évident que K1 n'est pas la solution. Il ne mentionne aucun de ces répertoires -- lui-même. En incluant cette mention de lui-même dans K1, nous obtenons le catalogue K2. Il mentionne K1, mais pas K2 lui-même. En ajoutant une telle mention à K2, nous obtenons KZ, qui encore une fois n'est pas complet du fait qu'il ne se mentionne pas lui-même. Et sans fin.

Un autre paradoxe logique peut être mentionné - le paradoxe des maires hollandais, semblable au paradoxe du barbier. Chaque commune aux Pays-Bas doit avoir un maire et deux communes différentes ne peuvent pas avoir le même maire. Parfois, il s'avère que le maire n'habite pas dans sa commune. Supposons qu'une loi soit votée par laquelle un territoire S est attribué exclusivement à de tels maires qui ne résident pas dans leurs communes, et enjoignant à tous ces maires de s'établir sur ce territoire. Supposons en outre que ces maires soient si nombreux que le territoire S lui-même forme une municipalité distincte. Où doit résider le maire de cette Commune Spéciale ? Un raisonnement simple montre que si le maire d'une Commune Spéciale habite le territoire S, alors il ne doit pas y habiter, et inversement, s'il n'habite pas le territoire, alors il doit habiter ce territoire. Que ce paradoxe soit analogue au paradoxe du barbier est assez évident.

Russell a été l'un des premiers à proposer une solution à « son » paradoxe. La solution qu'il proposait était appelée « théorie des types » : un ensemble (classe) et ses éléments appartiennent à des types logiques différents, le type d'un ensemble est supérieur au type de ses éléments, ce qui élimine le paradoxe de Russell (la théorie des types était également utilisée par Russell pour résoudre le fameux paradoxe du "menteur"). De nombreux mathématiciens, cependant, n'ont pas accepté la solution de Russell, estimant qu'elle impose des restrictions trop sévères aux énoncés mathématiques de Katrechko S.L. Le paradoxe de Russell's Barber et la dialectique de Platon-Aristote // Logique moderne: problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - Saint-Pétersbourg, 2002. - S. 239-242 ..

La situation est similaire avec d'autres paradoxes logiques. « Les antinomies de la logique », écrit von Wright, « nous ont intrigués depuis leur découverte et nous intrigueront probablement toujours. Nous devons, je pense, les considérer non pas tant comme des problèmes à résoudre, mais comme une matière première inépuisable pour la réflexion. Ils sont importants car y penser touche aux questions les plus fondamentales de toute logique, et donc de toute pensée » Wrigt G.Kh. Contexte. Logique et philosophie au XXe siècle // Vopr. philosophie. 1992. N° 8..

Tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes comme élément. Se contient-il en tant qu'élément ? Si tel est le cas, alors, par définition, cela ne devrait pas être un élément - une contradiction. Sinon - alors, par définition, ce doit être un élément - encore une fois une contradiction.

La contradiction dans le paradoxe de Russell provient de l'utilisation dans le raisonnement du concept de contradiction interne ensembles de tous les ensembles et des idées sur la possibilité d'une application illimitée des lois de la logique classique lorsque l'on travaille avec des ensembles. Plusieurs voies ont été proposées pour surmonter ce paradoxe. La plus célèbre est la présentation d'une formalisation cohérente de la théorie des ensembles, par rapport à laquelle toutes les manières « vraiment nécessaires » (en quelque sorte) de fonctionner avec les ensembles seraient acceptables. Dans le cadre d'une telle formalisation, l'énoncé de l'existence ensembles de tous les ensembles serait irréductible.

En effet, supposons que l'ensemble de tous les ensembles existe. Alors, selon l'axiome de sélection, il doit aussi exister un ensemble dont les éléments sont ceux et seulement ces ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes en tant qu'élément. Cependant, l'hypothèse de l'existence d'un ensemble conduit au paradoxe de Russell. Par conséquent, compte tenu de la cohérence de la théorie, l'énoncé sur l'existence d'un ensemble n'est pas déductible dans cette théorie, qui devait être prouvée.

Au cours de la mise en œuvre du programme décrit de "sauvegarde" de la théorie des ensembles, plusieurs axiomatisations possibles de celle-ci ont été proposées (la théorie de Zermelo-Fraenkel ZF, la théorie de Neumann-Bernays-Gödel NBG, etc.), mais aucune preuve a été trouvé pour l'une de ces théories jusqu'à présent la cohérence. De plus, comme Gödel l'a montré en développant un certain nombre de théorèmes d'incomplétude, une telle preuve ne peut pas exister (en un sens).

Une autre réaction à la découverte Le paradoxe de Russel l'intuitionnisme de L. E. Ya. Brouwer est apparu.

Options de formulation

Il existe de nombreuses formulations populaires de ce paradoxe. L'un d'eux est traditionnellement appelé le paradoxe du barbier et se présente comme suit :

Un barbier du village a été commandé "rasez celui qui ne se rase pas, et ne rasez pas celui qui se rase". Comment doit-il se comporter ?

Une autre option:

Un pays a publié un décret : "Les maires de toutes les villes ne doivent pas vivre dans leur propre ville, mais dans une ville spéciale de maires". Où doit résider le Maire de la Ville des Maires ?

Et un de plus :

Une certaine bibliothèque a décidé de compiler un catalogue bibliographique qui inclurait tous ceux et seulement ceux des catalogues bibliographiques qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes. Un tel répertoire devrait-il inclure un lien vers lui-même ?

voir également

Littérature

• Courant R, Robbins G. Qu'est-ce que les mathématiques ? - Ch. II, § 4.5
• Miroshnichenko P.N. Qu'est-ce qui a détruit le paradoxe de Russell dans le système de Frege ? // Logique moderne : problèmes de théorie, d'histoire et d'application en science. - SPb., 2000. - S. 512-514.
• Katrechko S. L. Le paradoxe du barbier de Russell et la dialectique de Platon - Aristote // Logique moderne : problèmes de théorie, d'histoire et d'applications en science. - Saint-Pétersbourg, 2002. - S. 239-242.
• Martin Gardner Bien devinez quoi! =Ah ! je t'ai eu. Des paradoxes pour déconcerter et ravir. - M. : Mir, 1984. - S. 22-23. - 213 p.

Remarques

Fondation Wikimédia. 2010 .

Voyez ce qu'est le "paradoxe de Russell" dans d'autres dictionnaires :

- (grec paradoxos inattendu, étrange) au sens large : une affirmation en nette contradiction avec l'opinion généralement admise et établie, le déni de ce qui semble être « indubitablement correct » ; dans un sens plus étroit, deux déclarations opposées, pour ... ... Encyclopédie philosophique

Le paradoxe de Russell , une antinomie de la théorie des ensembles découverte en 1903 par Bertrand Russell et redécouverte plus tard indépendamment par E. Zermelo , démontrant l'imperfection du langage de la théorie naïve des ensembles de G. Cantor, et non son incohérence. Antinomie ... ... Wikipédia

paradoxe- PARADOXE (du grec para extérieur et doxa opinion). 1) Dans un sens large (non logique), tout ce qui d'une manière ou d'une autre entre en conflit (diverge) avec l'opinion généralement acceptée, confirmée par la tradition, la loi, la règle, la norme ou le bon sens. ... ... Encyclopédie d'épistémologie et de philosophie des sciences

La position, qui au premier abord n'est pas encore évidente, mais contrairement aux attentes, exprime la vérité. Dans la logique ancienne, un paradoxe était une déclaration dont l'ambiguïté se réfère principalement à son exactitude ou son inexactitude. À… … Encyclopédie philosophique

- (le paradoxe de la classe de toutes les classes bien fondées) un paradoxe en théorie des ensembles, qui est une généralisation du paradoxe de Burali Forti. Nommé d'après le mathématicien russe D. Mirimanov. Table des matières 1 Libellé ... Wikipedia

Démontre que l'hypothèse de l'existence d'un ensemble de tous les nombres ordinaux conduit à des contradictions et, par conséquent, la théorie des ensembles, dans laquelle la construction d'un tel ensemble est possible, est contradictoire. Table des matières 1 Libellé 2 Histoire ... Wikipedia

- (du grec paradoxes inattendu, étrange) jugement (énoncé, phrase) inattendu, inhabituel (du moins dans la forme), en nette contradiction avec l'opinion traditionnelle généralement acceptée sur cette question. En ce sens, l'épithète "paradoxale"... Grande Encyclopédie soviétique

Le paradoxe de Cantor est un paradoxe de la théorie des ensembles, qui démontre que l'hypothèse de l'existence d'un ensemble de tous les ensembles conduit à des contradictions et, par conséquent, une théorie est incohérente dans laquelle la construction d'un tel ensemble ... ... Wikipedia

Ce terme a d'autres significations, voir Paradoxe (significations). Robert Boyle. Schéma de preuve qu'une machine à mouvement perpétuel n'existe pas Paradox ... Wikipedia

Livres

• L'effondrement du concept métaphysique de l'universalité du domaine en logique. Controverse Frege-Schroeder, BV Biryukov. Ce livre traite de l'histoire dramatique de la logique mathématique associée au concept d '«univers de raisonnement» - le domaine de la logique. Conflit de vues entre deux...

Le paradoxe de Russel (L'antinomie de Russell, aussi Paradoxe Russell-Zermelo) est un paradoxe de la théorie des ensembles (antinomie) découvert en 1901 par Bertrand Russell, démontrant l'incohérence du système logique de Frege, qui était une des premières tentatives de formalisation de la théorie naïve des ensembles de Georg Cantor. Déjà découvert mais non publié par Ernst Zermelo.

En langage informel, le paradoxe peut être décrit comme suit. Convenons d'appeler un ensemble « ordinaire » s'il n'est pas son propre élément. Par exemple, l'ensemble de toutes les personnes est "ordinaire", puisque l'ensemble lui-même n'est pas une personne. Un exemple d'ensemble "inhabituel" est l'ensemble de tous ensembles, puisqu'il est lui-même un ensemble, et donc lui-même un élément propre.

On peut considérer un ensemble composé uniquement de tous les ensembles "ordinaires", un tel ensemble est appelé Ensemble Russel . Un paradoxe apparaît lorsqu'on cherche à déterminer si cet ensemble est « ordinaire » ou non, c'est-à-dire s'il se contient comme élément. Il y a deux possibilités.

• D'une part, s'il est "ordinaire", alors il doit s'inclure comme élément, puisque par définition il est constitué de tous les ensembles "ordinaires". Mais alors il ne peut pas être « ordinaire », puisque les ensembles « ordinaires » sont ceux qui ne s'incluent pas eux-mêmes.
• Il reste à supposer que cet ensemble est "inhabituel". Cependant, il ne peut pas s'inclure comme élément, puisque par définition il ne doit être constitué que d'ensembles "ordinaires". Mais s'il ne s'inclut pas comme élément, alors c'est un ensemble "ordinaire".

Dans tous les cas, une contradiction en résulte.

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✪ Cours 1. Définition d'un ensemble. Les lois de De Morgan. Paradoxe de Russel. Théorème de Weierstrass

✪ 3 Le paradoxe de Russell

✪ Bertrand Russell Conseils aux générations futures

✪ Conférence 21 : Théorie naïve des ensembles et logique floue

✪ Paradoxe de Monty Hall - Numberphile

Les sous-titres

Formulation du paradoxe

Le paradoxe de Russell peut être formulé dans la théorie naïve des ensembles. Par conséquent, la théorie naïve des ensembles est incohérente. Un fragment contradictoire de la théorie naïve des ensembles, qui peut être définie comme une théorie du premier ordre avec une relation d'appartenance binaire ∈ (\displaystyle \in ) et schéma de sélection: pour chaque formule logique avec une variable libre dans la théorie naïve des ensembles, il existe un axiome

∃ y ∀ X (x ∈ y ⟺ P (x)) (\displaystyle \exists y\forall x(x\in y\iff P(x))).

Ce schéma d'axiome dit que pour toute condition P (x) (\displaystyle P(x)) il y a beaucoup de y , (\displaystyle y,) composé de ceux x , (\displaystyle x,) qui satisfont à la condition P (x) (\displaystyle P(x)) .

Cela suffit pour formuler le paradoxe de Russell comme suit. Laisser P (x) (\displaystyle P(x)) il y a une formule x ∉ x . (\displaystyle x\pas dans x.)(C'est-à-dire P (x) (\displaystyle P(x)) signifie que beaucoup x (\displaystyle x) ne se contient pas en tant qu'élément, ou, dans notre terminologie, est un ensemble "ordinaire".) Alors, par l'axiome de sélection, il existe un ensemble y (\displaystyle y)(ensemble de Russell) tel que

∀ x (x ∈ y ⟺ x ∉ x) (\displaystyle \forall x(x\in y\iff x\notin x)).

Comme cela est vrai pour n'importe quel x , (\displaystyle x,) c'est aussi vrai pour x = y. (\displaystyle x=y.) C'est-à-dire

y ∈ y ⟺ y ∉ y . (\displaystyle y\in y\iff y\notin y.)

Il s'ensuit qu'une contradiction est déduite dans la théorie naïve des ensembles.

Le paradoxe ne surviendrait pas si nous supposions que l'ensemble de Russell n'existe pas. Cependant, cette hypothèse elle-même est paradoxale : dans la théorie des ensembles de Cantor, on pense que toute propriété détermine l'ensemble des éléments qui satisfont cette propriété. Puisque la propriété d'un ensemble d'être "ordinaire" semble bien définie, il doit y avoir un ensemble de tous les ensembles "ordinaires". Cette théorie s'appelle maintenant théorie des ensembles naïve .

Versions populaires du paradoxe

Il existe plusieurs versions du paradoxe de Russell. Contrairement au paradoxe lui-même, ils ne peuvent généralement pas être exprimés dans un langage formel.

Paradoxe du menteur

Le paradoxe de Russell est lié au paradoxe du menteur connu depuis l'Antiquité, qui est la question suivante. Étant donné une déclaration :

Cette affirmation est fausse.

Cette affirmation est-elle vraie ou non ? Il est facile de montrer que cette affirmation ne peut être ni vraie ni fausse.

Russell a écrit à propos de ce paradoxe :

Russell lui-même a expliqué le paradoxe du menteur de cette manière. Pour dire quelque chose sur les énoncés, il faut d'abord définir le concept même d'« énoncé », en n'utilisant pas des concepts qui n'ont pas encore été définis. Ainsi, des énoncés du premier type peuvent être définis qui ne disent rien sur les énoncés. On peut alors définir des énoncés du deuxième type qui parlent d'énoncés du premier type, et ainsi de suite. L'affirmation "cette affirmation est fausse" ne relève d'aucune de ces définitions et n'a donc aucun sens.

Le paradoxe du barbier

Russell mentionne la version suivante du paradoxe, formulée comme une énigme que quelqu'un lui a suggérée.

Qu'un barbier vive dans un certain village, qui rase tous les habitants du village qui ne se rasent pas, et seulement eux. Le barbier se rase-t-il ?

Toute réponse conduit à une contradiction. Russell note que ce paradoxe n'est pas équivalent à son paradoxe et est facilement résolu. En effet, tout comme le paradoxe de Russell montre qu'il n'y a pas d'ensemble de Russell, le paradoxe du barbier montre qu'un tel barbier n'existe pas. La différence est qu'il n'y a rien d'étonnant à l'inexistence d'un tel barbier : pour aucune propriété il n'y a un barbier qui rase les gens avec cette propriété. Cependant, le fait qu'il n'y ait pas d'ensemble d'éléments donnés par une propriété bien définie contredit l'idée naïve des ensembles et nécessite une explication.

Option sur les répertoires

La formulation la plus proche du paradoxe de Russell est la version suivante de sa présentation :

Les catalogues bibliographiques sont des livres qui décrivent d'autres livres. Certains répertoires peuvent décrire d'autres répertoires. Certains répertoires peuvent même se décrire. Est-il possible de cataloguer tous les catalogues qui ne se décrivent pas ?

Un paradoxe surgit lorsqu'on essaie de décider si ce répertoire doit se décrire lui-même. Malgré l'apparente proximité des formulations (il s'agit en fait du paradoxe de Russell, dans lequel les catalogues sont utilisés à la place des ensembles), ce paradoxe, comme le paradoxe du barbier, se résout simplement : un tel catalogue ne peut pas être compilé.

Paradoxe de Grelling-Nelson

Ce paradoxe a été formulé par des mathématiciens allemands Kurt Grelling et Leonard Nelson en 1908. Il s'agit en fait d'une traduction de la version originale du paradoxe de Russell, énoncée par lui en termes de logique des prédicats (voir lettre à Frege), dans un langage non mathématique.

Appelons l'adjectif réfléchissant si cet adjectif a la propriété définie par cet adjectif. Par exemple, les adjectifs "russe", "polysyllabique" - ont les propriétés qu'ils définissent (l'adjectif "russe" est russe, et l'adjectif "polysyllabique" est polysyllabique), ils sont donc réflexifs, et les adjectifs "allemand", "monosyllabique" - sont non réflexif. L'adjectif « non-réflexif » sera-t-il réflexif ou non ?

Toute réponse conduit à une contradiction. Contrairement au paradoxe du barbier, la solution à ce paradoxe n'est pas si simple. On ne peut pas simplement dire qu'un tel adjectif (« non-réflexif ») n'existe pas, puisque nous venons de le définir. Le paradoxe vient du fait que la définition du terme « non-réflexif » est erronée en soi. La définition de ce terme dépend valeurs l'adjectif auquel il s'applique. Et puisque le mot "non-réflexif" est lui-même un adjectif dans la définition, un cercle vicieux s'ensuit.

Histoire

Russell a probablement découvert son paradoxe en mai ou juin 1901. Selon Russell lui-même, il essayait de trouver une erreur dans la preuve de Cantor du fait paradoxal (connu sous le nom de paradoxe de Cantor) qu'il n'y a pas de nombre cardinal maximum (ou ensemble de tous les ensembles). En conséquence, Russell a obtenu un paradoxe plus simple. Russell a communiqué son paradoxe à d'autres logiciens, notamment Whitehead et Peano. Dans sa lettre à Frege du 16 juin 1902, il écrit qu'il a trouvé une contradiction dans " Calcul conceptuel" - un livre de Frege, publié en 1879. Il a exposé son paradoxe en termes de logique puis en termes de théorie des ensembles, en utilisant la définition de Frege d'une fonction :

J'ai rencontré des difficultés à un seul endroit. Vous prétendez (p. 17) qu'une fonction peut elle-même agir comme une inconnue. J'avais l'habitude de le penser aussi. Mais maintenant cette opinion me semble douteuse à cause de la contradiction suivante. Laisser w prédicat : "être un prédicat qui ne peut pas s'appliquer à lui-même." Boîte w s'appliquer à lui-même ? Toute réponse implique le contraire. Par conséquent, nous devons conclure que w n'est pas un prédicat. De même, il n'y a pas de classe (dans son ensemble) de ces classes qui, prises dans leur ensemble, ne s'appartiennent pas à elles-mêmes. J'en conclus que parfois un certain ensemble ne forme pas une formation holistique.

Texte original (allemand)

Nur in einem Punkte ist mir eine Schwierigkeit begegnet. Sie behaupten (S. 17) es könne auch die Funktion das unbestimmte Element bilden. Dies habe ich früher geglaubt, jedoch jetzt scheint mir diese Ansicht zweifelhaft, wegen des folgenden Widerspruchs : Sei w das Prädicat, ein Prädicat zu sein welches von sich selbst nicht prädicirt werden kann. Kann man w von sich selbst prädiciren ? Aus jeder Antwort folgt das Gegentheil. Deshalb muss man schließen dass w kein Prädicat ist. Ebenso giebt es keine Klasse (als Ganzes) derjenigen Klassen die als Ganze sich selber nicht angehören. Daraus schliesse ich dass unter gewissen Umständen eine definierbare Menge kein Ganzes bildet .

Frege a reçu la lettre juste au moment où il terminait le travail sur le deuxième volume des lois fondamentales de l'arithmétique ( allemand : Grundgesetze der Arithmetik ). Frege n'a pas eu le temps de corriger sa théorie des ensembles. Il ajouta seulement un appendice au second volume avec un exposé et son analyse du paradoxe, qui commençait par la fameuse remarque :

Il est peu probable que quelque chose de pire puisse arriver à un scientifique que si le sol lui est arraché au moment même où il termine son travail. C'est dans cette position que je me suis retrouvé lorsque j'ai reçu une lettre de Bertrand Russell, alors que mon travail était déjà terminé.

Texte original (allemand)

Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird. In diese Lage wurde ich durch einen Brief des Herrn Bertrand Russell verset, als der Druck dieses Bandes sich seinem Ende näherte .

z ∈ ( x : P (x) ) ⟺ P (z) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)),

qui dit qu'il est possible de construire un ensemble d'éléments qui satisfont la propriété P (x) , (\displaystyle P(x),) il propose d'utiliser l'axiome suivant :

z ∈ ( x : P (x) ) ⟺ P (z) & z ≠ ( x : P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)\iff P(z)\ \&\ z\neq \(x\deux-points P(x)\)),

éliminant ainsi la possibilité pour un ensemble d'être membre de lui-même. Cependant, un petit [ qui?] modification du paradoxe de Russell prouve que cet axiome conduit aussi à une contradiction.

Russell a publié son paradoxe dans son livre " Principes de mathématiques" en 1903 .

Voici quelques-unes des approches possibles pour construire un système d'axiomes exempt des paradoxes de Russell.

La théorie des types de Russell

Russell lui-même a été le premier à proposer une théorie exempte du paradoxe de Russell. Il a développé une théorie des types, dont la première version est apparue dans le livre de Russell et Whitehead Principes de mathématiques" en 1903 . Cette théorie est basée sur l'idée suivante : les objets simples dans cette théorie ont le type 0, les ensembles d'objets simples ont le type 1, les ensembles d'ensembles d'objets simples ont le type 2, et ainsi de suite. Ainsi, aucun ensemble ne peut avoir lui-même comme élément. Ni l'ensemble de tous les ensembles ni l'ensemble de Russell ne peuvent être définis dans cette théorie. Une hiérarchie similaire est introduite pour les instructions et les propriétés. Les propositions sur des objets simples appartiennent au type 1, les propositions sur les propriétés des propositions de type 1 appartiennent au type 2, et ainsi de suite. En général, une fonction, par définition, est d'un type supérieur aux variables dont elle dépend. Cette approche vous permet de vous débarrasser non seulement du paradoxe de Russell, mais également de nombreux autres paradoxes, dont le paradoxe du menteur (), le paradoxe de Grelling-Nelson, le paradoxe de Burali-Forti. Russell et Whitehead ont montré comment réduire toutes les mathématiques aux axiomes de la théorie des types dans leurs Principia Mathematica en trois volumes, publiés en 1910-1913.

Cependant, cette approche s'est heurtée à des difficultés. En particulier, des problèmes surviennent lors de la définition de concepts tels que la meilleure borne supérieure pour les ensembles de nombres réels. Par définition, une borne supérieure est la plus petite de toutes les bornes supérieures. Par conséquent, lors de la détermination de la plus petite borne supérieure, l'ensemble des nombres réels est utilisé. Ainsi, la moindre borne supérieure est un objet d'un type supérieur aux nombres réels. Cela signifie qu'il n'est pas lui-même un nombre réel. Pour éviter cela, il a fallu introduire le soi-disant axiome de réductibilité. En raison de son caractère arbitraire, de nombreux mathématiciens ont refusé d'accepter l'axiome de réductibilité, et Russell lui-même l'a qualifié de défaut de sa théorie. De plus, la théorie s'est avérée très complexe. En conséquence, il n'a pas été largement appliqué.

Théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel

L'approche la plus connue de l'axiomatisation des mathématiques est la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF), qui est à l'origine une extension de Les théories de Zermelo(1908). Contrairement à Russell, Zermelo a conservé les principes logiques et n'a changé que les axiomes de la théorie des ensembles. L'idée de cette approche est qu'il est permis d'utiliser uniquement des ensembles construits à partir d'ensembles déjà construits en utilisant un certain ensemble d'axiomes. Par exemple, un des axiomes de Zermelo dit qu'il est possible de construire un ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné (l'axiome booléen). Un autre axiome ( schéma de sélection) dit qu'à partir de chaque ensemble, il est possible de sélectionner un sous-ensemble d'éléments qui ont une propriété donnée. C'est la principale différence entre la théorie des ensembles de Zermelo et la théorie naïve des ensembles : dans la théorie naïve des ensembles, vous pouvez considérer l'ensemble de tous les éléments qui ont une propriété donnée, et dans la théorie des ensembles de Zermelo, vous ne pouvez sélectionner qu'un sous-ensemble à partir d'un ensemble déjà construit. . Dans la théorie des ensembles de Zermelo, il est impossible de construire un ensemble de tous les ensembles. Ainsi, l'ensemble de Russell ne peut pas non plus y être construit.

Des classes

Parfois, en mathématiques, il est utile de considérer tous les ensembles comme un tout, par exemple, de considérer la totalité de tous les groupes. Pour ce faire, la théorie des ensembles peut être étendue par la notion de classe , comme par exemple dans le système Neumann- Bernays- Gödel (NBG). Dans cette théorie, la collection de tous les ensembles est classer. Cependant, cette classe n'est pas un ensemble et n'est membre d'aucune classe, évitant ainsi le paradoxe de Russell.

Un système plus fort qui permet de prendre des quantificateurs sur des classes, et pas seulement sur des ensembles, est, par exemple, Théorie des ensembles de Morse - Kelly(MK). Dans cette théorie, le concept principal est le concept classer, mais non ensembles. Dans cette théorie, les ensembles sont considérés comme de telles classes qui sont elles-mêmes des éléments de certaines classes. Dans cette théorie, la formule z ∈ ( X : P (x) ) (\displaystyle z\in \(x\colon P(x)\)) est considérée comme équivalente à la formule

P (z) & ∃ y . z ∈ y (\displaystyle P(z)\ \&\ \exists y.z\in y).

Car ∃ y . z ∈ y (\displaystyle \exists y.z\in y) dans cette théorie signifie que la classe z (\ displaystyle z) est de nombreux, cette formule doit être comprise comme ( x : P (x) ) (\displaystyle \(x\colon P(x)\)) est la classe de tous ensembles(pas de cours) z (\ displaystyle z), tel que P (z) (\displaystyle P(z)). Le paradoxe de Russell dans cette théorie est résolu par le fait que toutes les classes ne sont pas un ensemble.

On peut aller plus loin et considérer des collections de classes - conglomérats, des ensembles de conglomérats, etc.

Impact sur les mathématiques

Axiomatisation des mathématiques

Le paradoxe de Russell, ainsi que d'autres antinomies mathématiques découvertes au début du XXe siècle, ont stimulé une révision des fondements des mathématiques, qui a abouti à la construction de théories axiomatiques pour justifier les mathématiques, dont certaines sont mentionnées ci-dessus.

Dans toutes les nouvelles théories axiomatiques construites, les paradoxes connus au milieu du XXe siècle (y compris le paradoxe de Russell) ont été éliminés. Cependant, prouver que de nouveaux paradoxes similaires ne peuvent pas être découverts à l'avenir (c'est le problème de la cohérence des théories axiomatiques construites), il s'est avéré, dans la compréhension moderne de ce problème, impossible (voir les théorèmes de Gödel sur l'incomplétude) .

intuitionnisme

Parallèlement, une nouvelle tendance en mathématiques est apparue, appelée intuitionnisme, dont le fondateur est L. E. Ya. Brouwer. L'intuitionnisme est né indépendamment du paradoxe de Russell et d'autres antinomies. Cependant, la découverte d'antinomies dans la théorie des ensembles a accru la méfiance des intuitionnistes à l'égard des principes logiques et a accéléré la formation de l'intuitionnisme. La thèse principale de l'intuitionnisme dit que pour prouver l'existence d'un objet, il est nécessaire de présenter une méthode pour sa construction. Les intuitionnistes rejettent ces concepts abstraits comme l'ensemble de tous les ensembles. L'intuitionnisme nie la loi du tiers exclu, cependant, il convient de noter que la loi du tiers exclu n'est pas nécessaire pour dériver une contradiction de l'antinomie de Russell ou de toute autre (dans toute antinomie, il est prouvé que A (\displaystyle A) implique la négation A (\displaystyle A) et le déni A (\displaystyle A) implique A , (\displaystyle A,) cependant, de (A ⇒ ¬ A) & (¬ A ⇒ A) (\displaystyle (A\Rightarrow \neg A)\&(\neg A\Rightarrow A)) même dans la logique intuitionniste, une contradiction s'ensuit). Il convient également de noter que dans les axiomatisations ultérieures des mathématiques intuitionnistes, des paradoxes similaires à ceux de Russell ont été trouvés, tels que, par exemple, Le paradoxe de Girard dans le libellé d'origine Martin Löf.

Argument diagonal (auto-applicabilité)

Malgré le fait que le raisonnement de Russell mène à un paradoxe, l'idée principale de ce raisonnement est souvent utilisée dans la preuve de théorèmes mathématiques. Comme mentionné ci-dessus, Russell a obtenu son paradoxe en analysant la preuve de Cantor de la non-existence du plus grand nombre cardinal. Ce fait contredit l'existence d'un ensemble de tous les ensembles, puisque sa cardinalité doit être maximale. Cependant, selon le théorème de Cantor, l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble donné a une plus grande cardinalité que l'ensemble lui-même. La preuve de ce fait est basée sur ce qui suit argument diagonal ? !:

Soit une correspondance bijective, qui à chaque élément x (\displaystyle x) ensembles X (\displaystyle X) correspond à un sous-ensemble sx (\displaystyle s_(x)) ensembles X. (\displaystyle X.) Laisser ré (\displaystyle d) sera un ensemble d'éléments x (\displaystyle x) tel que X ∈ s X (\displaystyle x\in s_(x)) (ensemble diagonal). Alors le complément de cet ensemble s = ré ¯ (\displaystyle s=(\overline (d))) ne peut pas être l'un des sx. (\displaystyle s_(x).) Par conséquent, la correspondance n'était pas univoque.

Cantor a utilisé l'argument diagonal pour prouver l'indénombrabilité nombres réels en 1891. (Ce n'est pas sa première preuve de l'indénombrabilité des nombres réels, mais la plus simple).

Paradoxes associés

L'auto-applicabilité est utilisée dans de nombreux paradoxes autres que ceux discutés ci-dessus:

• Le paradoxe de la toute-puissance est une question médiévale : « Un dieu tout-puissant peut-il créer une pierre qu'il ne peut soulever lui-même ?
• Le paradoxe Burali-Forti (1897) est un analogue du paradoxe Cantor pour les nombres ordinaux.
• Le paradoxe de Mirimanov (1917) est une généralisation du paradoxe Burali-Forti pour la classe de toutes les classes bien fondées.
• Le paradoxe de Richard (1905) est un paradoxe sémantique montrant l'importance de séparer le langage des mathématiques et des métamathématiques.
• Le paradoxe de Berry (1906) est une version simplifiée du paradoxe de Richard publié par Russell.
• Paradoxe de Kleene-Rosser(1935) - formulation du paradoxe de Richard en termes de λ-calcul.
• Le paradoxe de Curry (1941) est une simplification du paradoxe de Kleene-Rosser.
• Le paradoxe de Girard(1972) - formulation du paradoxe de Burali-Forti en termes de théorie des types intuitionniste .
• est un paradoxe semi-plaisant qui rappelle le paradoxe de Berry.

Remarques

1. Lien Godhard (2004) Un cent ans du paradoxe de Russell, Avec. 350, ISBN 9783110174380 , .
2. Antinomie de Russell // Dictionary of Logic. Ivin A.A., Nikiforov A.L.- M. : Tumanit, VLADOS, 1997. - 384 p. - ISBN 5-691-00099-3.
3. Andrew David Irvine, Harry Deutsch. Russell "s Paradox // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. - 2014-01-01.
4. Antinomie- article de l'Encyclopédie mathématique. A. G. Dragalin
5. A. S. Gerasimov. Cours logique mathématique et théorie calculabilité. - Troisième édition, revue et augmentée. - Saint-Pétersbourg : LEMA, 2011. - S. 124-126. - 284 p.

Le plus célèbre des paradoxes découverts déjà dans notre siècle est l'antinomie découverte par B. Russell. L'idée était dans l'air et sa publication donna l'impression d'une bombe qui explose. Ce paradoxe a provoqué en mathématiques, selon D. Hilbert, "l'effet d'une catastrophe complète". Les méthodes logiques les plus simples et les plus importantes, les concepts les plus courants et les plus utiles sont menacés. Il est immédiatement devenu évident que ni en logique ni en mathématiques, dans toute la longue histoire de leur existence, il n'y avait rien de décidément élaboré qui puisse servir de base à l'élimination de l'antinomie. De toute évidence, il était nécessaire de s'écarter des modes de pensée habituels.

Le paradoxe de Russell dans sa forme originale est lié au concept d'ensemble ou de classe. On peut parler d'ensembles d'objets différents, par exemple, de l'ensemble de toutes les personnes ou de l'ensemble des nombres naturels. Un élément du premier ensemble sera toute personne individuelle, un élément du second - chaque nombre naturel. Il est également possible de considérer les ensembles eux-mêmes comme des objets et de parler d'ensembles d'ensembles. On peut même introduire des concepts tels que l'ensemble de tous les ensembles ou l'ensemble de tous les concepts. En ce qui concerne tout ensemble pris arbitrairement, il semble raisonnable de se demander s'il est son propre élément ou non. Les ensembles qui ne se contiennent pas en tant qu'élément seront appelés ordinaires. Par exemple, l'ensemble de toutes les personnes n'est pas une personne, tout comme l'ensemble des atomes n'est pas un atome. Les ensembles qui sont des éléments appropriés seront inhabituels. Par exemple, un ensemble qui réunit tous les ensembles est un ensemble et se contient donc lui-même en tant qu'élément. De toute évidence, chaque ensemble est soit ordinaire, soit inhabituel.

Considérons maintenant l'ensemble de tous les ensembles ordinaires. Puisqu'il s'agit d'un ensemble, on peut aussi se demander s'il est ordinaire ou insolite. La réponse est cependant décourageante. S'il est ordinaire, alors par définition il doit se contenir en tant qu'élément, puisqu'il contient tous les ensembles ordinaires. Mais cela signifie qu'il s'agit d'un ensemble inhabituel. L'hypothèse que notre ensemble est un ensemble ordinaire conduit donc à une contradiction. Donc ça ne peut pas être normal. D'autre part, il ne peut pas non plus être inhabituel : un ensemble inhabituel se contient lui-même comme élément, et les éléments de notre ensemble ne sont que des ensembles ordinaires. En conséquence, nous arrivons à la conclusion que l'ensemble de tous les ensembles ordinaires ne peut être ni ordinaire ni extraordinaire.

Ainsi, l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas des éléments propres est un élément propre si et seulement si ce n'est pas un tel élément. C'est une contradiction évidente.

La contradiction dit qu'un tel ensemble n'existe tout simplement pas. Mais pourquoi ça ne peut pas exister ? Après tout, il se compose d'objets qui satisfont à une condition bien définie, et la condition elle-même ne semble pas en quelque sorte exceptionnelle ou obscure. Si un ensemble aussi simplement et clairement défini ne peut exister, alors quelle est, en fait, la différence entre les ensembles possibles et impossibles ? La conclusion sur l'inexistence de l'ensemble considéré semble inattendue et inspire l'anxiété. Elle rend notre notion générale d'ensemble amorphe et chaotique, et rien ne garantit qu'elle ne puisse donner lieu à de nouveaux paradoxes.

Le paradoxe de Russell est remarquable par son extrême généralité. Pour sa construction, aucun concept technique complexe n'est nécessaire, comme dans le cas de certains autres paradoxes, les concepts d '«ensemble» et «d'élément de l'ensemble» sont suffisants. Mais cette simplicité ne fait que parler de sa nature fondamentale : elle touche aux fondements les plus profonds de notre raisonnement sur les ensembles, puisqu'elle ne parle pas de certains cas particuliers, mais des ensembles en général.

Le paradoxe de Russell n'est pas spécifiquement mathématique. Il utilise le concept d'ensemble, mais n'aborde aucune propriété particulière associée spécifiquement aux mathématiques. Cela devient évident lorsque le paradoxe est reformulé en termes purement logiques.

De toute propriété on peut, selon toute vraisemblance, se demander si elle s'applique ou non à elle-même. La propriété d'être chaud, par exemple, ne s'applique pas à lui-même, puisqu'il n'est pas lui-même chaud ; la propriété d'être concret ne se réfère pas non plus à elle-même, car c'est une propriété abstraite. Mais la propriété d'être abstrait, d'être abstrait, s'applique à soi-même. Appelons ces propriétés inapplicables à elles-mêmes inapplicables. La propriété d'être inapplicable à soi s'applique-t-elle ? Il s'avère qu'une inapplicabilité n'est inapplicable que si elle ne l'est pas. C'est bien sûr paradoxal : la version logique, liée aux propriétés, de l'antinomie de Russell est tout aussi paradoxale que la version mathématique, liée aux ensembles.

B. Russell a également proposé la version populaire suivante du paradoxe qu'il a découvert. « Le barbier rase tous ceux et seulement ceux des habitants de la ville qui ne se rasent pas. Qui rase le coiffeur ?" Le paradoxe du barbier réside dans le fait que, prétendument, il est impossible de répondre à cette question.

Pour comprendre la situation, nous allons diviser les habitants de la ville en trois groupes. Cette répartition est représentée sur la figure de gauche : ceux qui se rasent sont en tête ; ceux qui sont rasés - d'en bas; ceux qui ne se rasent pas du tout (moines, enfants, femmes...) sont en dehors de l'ellipse.

Considérons d'abord l'action de la condition (1). Que le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas, c'est-à-dire toute la moitié inférieure de l'ellipse (les hachures marquent les clients du barbier). Mais la condition (1) lui permet de se raser et celui qui se rase, c'est-à-dire lui-même. La condition (1) lui permet de se positionner dans la moitié supérieure de l'ellipse, là où les habitants eux-mêmes se rasent, et s'y rasent. Ceci est montré dans l'image du milieu.

Si la condition (2) s'applique, et que le barbier ne rase que ceux qui ne se rasent pas, cela signifie qu'il rase une partie de la moitié inférieure de l'ellipse et ne se rase pas, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans la moitié supérieure de l'ellipse. ellipse. Mais les habitants de la moitié inférieure ne peuvent pas être rasés par un barbier, mais par quelqu'un d'autre. Et un barbier peut être parmi ces personnes (figure de droite). Ainsi, le barbier peut raser son ami, et le barbier rasera la partie ombrée de la moitié inférieure de l'ellipse.

Mais si les deux conditions (1) et (2) s'appliquent, alors le barbier n'a pas sa place dans l'ellipse. Il ne se rase pas du tout. Et il n'y a pas de paradoxe ici. Il est donc soit un moine, soit un robot, soit un enfant, soit une femme, soit un non-résident de la ville ... Et s'il n'y a personne dans la ville à part raser les hommes, et, par conséquent, le l'apparence de l'ellipse est vide, alors un barbier qui satisfait les conditions (1) et (2) n'existe tout simplement pas. Il est absurde de demander dans ce cas qui le rase. Beaucoup de ces barbiers sont vides.

Et ici on remarquera que la question posée, "Qui rase le coiffeur ?", était incorrecte dès le début, tout comme la question classique : "Pourquoi tu bats ton père ?" Avant de demander qui rase le barbier, il faut obtenir l'accord que quelqu'un le rase.

L'argument du coiffeur peut être qualifié de pseudo-paradoxe. Dans son parcours, il est strictement analogue au paradoxe de Russell, et c'est ce qui le rend intéressant. Mais ce n'est pas encore un vrai paradoxe.

Un autre exemple du même pseudo-paradoxe est l'argument bien connu du catalogue.

Une certaine bibliothèque a décidé de compiler un catalogue bibliographique qui inclurait tous ceux et seulement ceux des catalogues bibliographiques qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes. Un tel répertoire devrait-il inclure un lien vers lui-même ? Il est facile de montrer que l'idée de créer un tel catalogue n'est pas réalisable ; il ne peut tout simplement pas exister, car il doit simultanément inclure une référence à lui-même et ne pas inclure. Il est intéressant de noter que le catalogage de tous les répertoires qui ne contiennent pas de références à eux-mêmes peut être considéré comme un processus sans fin et sans fin.

Disons qu'à un moment donné, un répertoire a été compilé, disons K1, qui incluait tous les autres répertoires qui ne contenaient pas de références à eux-mêmes. Avec la création de K1, un autre répertoire est apparu qui ne contient pas de référence à lui-même. Puisque le but est de faire un catalogue complet de tous les annuaires qui ne se mentionnent pas, il est évident que K1 n'est pas la solution. Il ne mentionne aucun de ces répertoires - lui-même. En incluant cette mention de lui-même dans K1, nous obtenons le catalogue K2. Il mentionne K1 mais pas K2 lui-même. En ajoutant une telle mention à K2, on obtient K3, qui est à nouveau incomplet du fait qu'il ne se mentionne pas lui-même. Et ainsi de suite sans fin.

Le propriétaire d'un salon de coiffure dans un village a affiché l'avis suivant : « Je rase ceux et seulement ceux des habitants du village qui ne se rasent pas eux-mêmes. La question est, qui rase le coiffeur ?

Développement logique mathématique particulièrement intensifié au 20ème siècle en lien avec le développement de l'informatique et de la programmation.

Ø Définition Logique mathématique est une forme moderne de logique qui repose entièrement sur des méthodes mathématiques formelles. Elle n'étudie que les inférences avec des objets strictement définis et des jugements pour lesquels il est possible de décider sans ambiguïté s'ils sont vrais ou faux.

Le concept de base (non défini) de la logique mathématique est le concept de " déclaration simple". Une déclaration, qui est une déclaration unique, est généralement appelée simple ou élémentaire.

Ø Déclaration de définition est une phrase déclarative qui peut être dite vraie ou fausse.

Les déclarations peuvent être vrai I ou faux L.

Exemple: Planète Terre système solaire. (Vrai); Tout parallélogramme est un carré (Faux)

Il y a des affirmations dont il est impossible de dire avec certitude si elles sont vraies ou fausses. "Aujourd'hui, il fait beau" (quelqu'un l'aime)

Exemple déclaration "Il pleut"- simple, et vrai ou faux dépend du temps qu'il fait maintenant à l'extérieur de la fenêtre. S'il pleut vraiment, alors l'énoncé est vrai, et s'il fait beau et qu'il est inutile d'attendre la pluie, alors l'énoncé est "Il pleut" sera faux.

Exemple" " n'est pas une déclaration (on ne sait pas quelles valeurs il prend).

"Étudiant en deuxième année" n'est pas un dicton

Ø DéfinitionÉlémentaire les énoncés ne peuvent pas être exprimés en termes d'autres énoncés.

Ø DéfinitionComposite les propositions sont des propositions qui peuvent être exprimées à l'aide de propositions élémentaires.

Exemple« Le nombre 22 est pair » est une affirmation élémentaire.

Il existe deux approches principales pour établir la vérité des déclarations : empirique (expérimentale) et logique.

À Approche empirique la vérité de l'énoncé est établie à l'aide d'observations, de mesures, d'expériences.

approche logique réside dans le fait que la vérité d'un énoncé est établie sur la base de la vérité des autres énoncés, c'est-à-dire sans référence aux faits, à leur contenu, c'est-à-dire formellement. Cette approche est basée sur l'identification et l'utilisation de connexions logiques entre les déclarations incluses dans l'argument.

2.2 Logique propositionnelle

Tout d'abord, vous devez définir les concepts, car la même section est souvent appelée différemment : logique mathématique, logique propositionnelle (phrase), logique symbolique, logique à deux valeurs, logique propositionnelle, algèbre booléenne...

Ø Définitionlogique propositionnelle- une section de logique dans laquelle la question de la vérité ou de la fausseté des déclarations est considérée et décidée sur la base de l'étude de la méthode de construction des déclarations à partir d'e élémentaire(plus décomposés et non analysés) énoncés à l'aide d'opérations logiques de conjonction ("et"), de disjonction ("ou"), de négation ("non"), d'implication ("si...alors...") , etc.

Ø Définition Calcul propositionnel est un système logique axiomatique dont l'interprétation est l'algèbre des propositions.

Le plus intéressant est la construction d'un système formel qui, parmi tous les énoncés possibles, distingue ceux qui sont des lois logiques (raisonnement correctement construit, conclusions logiques, tautologies, énoncés généralement valables).

Les théories formelles, n'utilisant pas le langage naturel (familier), ont besoin de leur propre langage formel dans lequel les expressions qui y sont rencontrées sont écrites.

Ø Définition Le système formel qui génère des énoncés qui sont des tautologies et seulement eux s'appelle calcul propositionnel(IV).

Le système IoT formel est défini par :

Quels symboles sont les mieux utilisés pour désigner les connecteurs logiques ?

Arrêtons-nous sur les notations suivantes : négation, conjonction, disjonction, implication et équivalence. Habituellement, les valeurs logiques des résultats de l'application de connecteurs sont écrites sous forme de tables (appelées tables de vérité).

2.3 Connecteurs logiques.................................................................. ................ ...

En langage naturel, les moyens grammaticaux suivants jouent le rôle de connecteurs lors de la compilation de phrases complexes à partir de phrases simples :

unions "et", "ou", "non" ;

les mots "si ..., alors", "soit ... soit",

« si et seulement si », etc.

En logique propositionnelle, les connecteurs logiques utilisés pour composer des propositions complexes doivent être définis avec précision.

Considérons les connecteurs logiques (opérations) sur les énoncés, dans lesquels les valeurs de vérité des énoncés composés ne sont déterminées que par les valeurs de vérité des énoncés constitutifs, et non par leur signification.

Il existe cinq connecteurs logiques largement utilisés.

négation (représentée par un signe),

conjonction (signe),

disjonction (signe v),

implication (signe)

équivalence (signe).

Ø DéfinitionNégation déclarations P est une déclaration qui est vraie si et seulement si la déclaration P est fausse.

Ø DéfinitionConjonction deux propositions P et Q - une proposition qui est vraie si et seulement si les deux propositions sont vraies.

Ø DéfinitionDisjonction deux propositions P et Q - une proposition qui est fausse si et seulement si les deux propositions sont fausses.

Ø Définitionimplication deux déclarations P et Q - une déclaration qui est fausse si et seulement si P est vrai et Q est faux. L'énoncé P est appelé parcelle implications, et l'énoncé Q - conclusion répercussions.

Ø DéfinitionÉquivalence deux propositions P et Q - une proposition qui est vraie si et seulement si les valeurs de vérité de P et Q sont les mêmes.

L'utilisation des mots "si ..." "alors ..." dans l'algèbre de la logique diffère de leur utilisation dans le langage courant, où, en règle générale, nous pensons que si l'énoncé X est faux, alors l'énoncé "Si X, alors à' n'a aucun sens du tout. De plus, construire une phrase de la forme "si X, alors à» dans le langage courant, on veut toujours dire que la phrase à découle de la proposition X. L'utilisation des mots "si, alors" dans la logique mathématique ne l'exige pas, puisque le sens des propositions n'y est pas considéré.

2.4Opérations logiques

La base de la technologie numérique repose sur trois opérations logiques qui sous-tendent toutes les sorties informatiques. Ce sont trois opérations logiques : ET, OU, NON, qui sont appelées « trois piliers de la logique machine ».

Les connecteurs logiques ou les opérations logiques connues du cours des mathématiques discrètes peuvent être appliquées aux énoncés. Cela se traduit par formules. Les formules deviennent des propositions en substituant toutes les significations des lettres.

Tables de vérité des opérations logiques de base.

Plusieurs variables liées entre elles par des opérations logiques sont appelées une fonction logique.

La description de tout calcul comprend une description des symboles de ce calcul (alphabet), des formules, qui sont les configurations finales des symboles, et la définition des formules dérivables.

2.5 Alphabet de calcul propositionnel

L'alphabet du calcul de l'énoncé se compose de symboles de trois catégories :

Le premier d'entre eux est le signe de la disjonction ou de l'addition logique, le second est le signe de la conjonction ou de la multiplication logique, le troisième est le signe de l'implication ou de la conséquence logique, et le quatrième est le signe de la négation.

Le calcul propositionnel n'a pas d'autres symboles.

2.6 Formules Tautologie

Les formules de calcul propositionnel sont des séquences de symboles de l'alphabet du calcul propositionnel.

Les majuscules de l'alphabet latin sont utilisées pour désigner les formules. Ces lettres ne sont pas des symboles de calcul. Ce ne sont que des symboles de formules.

Ø Formule de définition–énoncé composé bien formé :

1) Chaque lettre est formule.

2) Si , sont des formules, alors , , , , sont aussi des formules.

Évidemment, les mots ne sont pas des formules : ) (le troisième de ces mots ne contient pas de crochet fermé, et le quatrième ne contient pas de crochets).

Notez que le concept de connecteurs logiques n'est pas concrétisé ici. Habituellement, certaines simplifications sont introduites dans les formules. Par exemple, les parenthèses sont omises dans la notation des formules selon les mêmes règles qu'en algèbre propositionnelle.

Ø Définition. La formule s'appelle tautologie, s'il ne prend que des valeurs vraies pour toutes les valeurs de lettres.

Ø Définition Une formule qui est fausse pour n'importe quelle valeur des lettres s'appelle contradiction

Ø Définition La formule s'appelle faisable, si sur un ensemble de distribution de valeurs de vérité de variables, il prend la valeur AND.

Ø Définition La formule s'appelle réfutable, si pour une certaine distribution des valeurs de vérité des variables il prend la valeur L.

Exemple sont des formules selon l'article 2 de la définition.

Pour la même raison, les mots seront des formules :

Parallèlement au concept de formule, le concept sous-formules ou une partie d'une formule.

1. sous-formule la formule élémentaire est elle-même.

2. Si la formule a la forme , alors ses sous-formules sont : elle-même, la formule A et toutes les sous-formules de la formule A.

3. Si la formule a la forme (A * B) (ci-après, sous le symbole * nous comprendrons l'un des trois symboles), alors ses sous-formules sont : elle-même, les formules A et B et toutes les sous-formules des formules A et B.

Exemple Pour la formule ses sous-formules seront :

- sous-formule de profondeur nulle,

Sous-formules de la première profondeur,

Sous-formules de deuxième profondeur,

Sous-formules de troisième profondeur,

Sous-formule de la quatrième profondeur.

Ainsi, au fur et à mesure que nous « plongeons profondément dans la structure de la formule », nous distinguons des sous-formules de profondeur croissante

Du cours de mathématiques discrètes, les principales équivalences logiques (équivalences) sont connues, qui sont des exemples de tautologies. Toutes les lois logiques doivent être des tautologies.

Parfois, les lois sont appelées règles de retrait, qui déterminent la conclusion correcte à partir des prémisses.

2.7 Lois de la logique propositionnelle

L'algèbre de la logique a des lois commutatives et associatives en ce qui concerne les opérations de conjonction et de disjonction et une loi distributive de conjonction en ce qui concerne la disjonction, les mêmes lois ont lieu dans l'algèbre des nombres.

Par conséquent, sur les formules de l'algèbre de la logique, il est possible d'effectuer les mêmes transformations que celles effectuées dans l'algèbre des nombres (parenthèses ouvrantes, encadrement, encadrement du facteur commun).

Considérez les lois fondamentales de la logique propositionnelle.

1. Commutativité :

, .

2. Associativité :

3. Distributivité :

4. Idempotence : , .

5. Loi de la double négation : .

6. La loi de l'exclusion du tiers :.

7. Loi de contradiction : .

8. Lois de Morgan :

9. Lois de l'idempotence(propriétés des opérations avec des constantes logiques)

Il n'y a pas d'exposants et de coefficients dans l'algèbre de la logique. La conjonction de "facteurs" identiques équivaut à l'un d'entre eux

Ici , et sont des lettres.

Exemples. formule de tautologie.