Trouver la valeur de la dérivée de la fonction au point x0. Calculer la dérivée d'une fonction en ligne

Exemple 1

Référence: Les façons suivantes de noter une fonction sont équivalentes : Dans certaines tâches, il est pratique de désigner la fonction comme un "joueur" et dans d'autres comme "ef de x".

On trouve d'abord la dérivée :

Exemple 2

Calculer la dérivée d'une fonction en un point

, , étude complète de la fonction et etc.

Exemple 3

Calculer la dérivée de la fonction au point . Trouvons d'abord la dérivée :

Eh bien, c'est une question complètement différente. Calculer la valeur de la dérivée au point :

Si vous ne comprenez pas comment la dérivée a été trouvée, revenez aux deux premières leçons du sujet. S'il y a des difficultés (incompréhension) avec l'arc tangente et ses significations, nécessairement matériel méthodologique d'étude Graphiques et propriétés des fonctions élémentaires- le tout dernier paragraphe. Parce qu'il y a encore assez d'arctangentes pour l'âge des étudiants.

Exemple 4

Calculer la dérivée de la fonction au point .

L'équation de la tangente au graphe de la fonction

Pour consolider le paragraphe précédent, considérons le problème de trouver la tangente à graphiques de fonctionÀ ce point. On a rencontré cette tâche à l'école, et on la retrouve aussi dans les cours de mathématiques supérieures.

Prenons un exemple élémentaire de "démonstration".

Écrivez une équation pour la tangente au graphique de la fonction au point avec l'abscisse. Je vais immédiatement apporter le fini solution graphique tâches (en pratique, ce n'est pas nécessaire dans la plupart des cas) :

Une définition rigoureuse d'une tangente est donnée par définitions de la dérivée d'une fonction, mais pour l'instant nous maîtriserons la partie technique du problème. Presque tout le monde comprend intuitivement ce qu'est une tangente. Si vous expliquez "sur les doigts", alors la tangente au graphique de la fonction est droit, qui concerne le graphe de la fonction dans le seul indiquer. Dans ce cas, tous les points voisins de la droite sont situés aussi près que possible du graphique de la fonction.

Appliqué à notre cas : en , la tangente (notation standard) touche le graphe de la fonction en un seul point.

Et notre tâche est de trouver l'équation d'une droite.

Dérivée d'une fonction en un point

Comment trouver la dérivée d'une fonction en un point ? Deux points évidents de cette tâche découlent de la formulation :

1) Il faut trouver la dérivée.

2) Il faut calculer la valeur de la dérivée en un point donné.

Exemple 1

Calculer la dérivée d'une fonction en un point

Aide : Les manières suivantes de noter une fonction sont équivalentes :


Dans certaines tâches, il est pratique de désigner la fonction comme un "joueur" et dans d'autres comme "ef de x".

On trouve d'abord la dérivée :

J'espère que beaucoup se sont déjà adaptés pour trouver de tels dérivés par voie orale.

A la deuxième étape, on calcule la valeur de la dérivée au point :

Un petit exemple d'échauffement pour une solution indépendante :

Exemple 2

Calculer la dérivée d'une fonction en un point

Solution complète et réponse à la fin de la leçon.

La nécessité de trouver la dérivée en un point apparaît dans les tâches suivantes : construction d'une tangente au graphe d'une fonction (paragraphe suivant), étude d'une fonction pour un extremum , étude de la fonction de flexion du graphe , étude complète de la fonction et etc.

Mais la tâche envisagée se trouve dans les papiers de contrôle et par elle-même. Et, en règle générale, dans de tels cas, la fonction est assez complexe. À cet égard, considérons deux autres exemples.

Exemple 3

Calculer la dérivée d'une fonction au point .
Trouvons d'abord la dérivée :

La dérivée, en principe, est trouvée et la valeur requise peut être remplacée. Mais je ne veux vraiment rien faire. L'expression est très longue et la valeur de "x" est fractionnaire. Par conséquent, nous essayons de simplifier au maximum notre dérivée. Dans ce cas, essayons de réduire les trois derniers termes à un dénominateur commun : au point .

Ceci est un exemple à faire soi-même.

Comment trouver la valeur de la dérivée de la fonction F(x) au point Ho ? Comment le résoudre en général?

Si la formule est donnée, alors trouvez la dérivée et remplacez X-zéro au lieu de X. compter
Si nous parlons de b-8 USE, graphique, alors vous devez trouver la tangente de l'angle (aigu ou obtus), qui forme une tangente à l'axe X (en utilisant la construction mentale d'un triangle rectangle et en déterminant la tangente de l'angle)

Timour Adilkhodzhaev

Tout d'abord, vous devez décider du signe. Si x0 est en bas avion coordonné, alors le signe dans la réponse sera moins, et s'il est supérieur, alors +.
Deuxièmement, vous devez savoir ce qui est tang dans un rectangle rectangulaire. Et c'est le rapport du côté opposé (jambe) au côté adjacent (également jambe). Il y a généralement quelques marques noires sur la peinture. De ces marques tu fais triangle rectangle et trouver des saveurs.

Comment trouver la valeur de la dérivée de la fonction f x au point x0 ?

il n'y a pas de question spécifique - il y a 3 ans

Dans le cas général, pour trouver la valeur de la dérivée d'une fonction par rapport à une variable en tout point, il est nécessaire de différencier la fonction donnée par rapport à cette variable. Dans votre cas, par la variable X. Dans l'expression résultante, au lieu de X, mettez la valeur de x au point pour lequel vous devez trouver la valeur de la dérivée, c'est-à-dire dans votre cas, remplacez zéro X et calculez l'expression résultante.

Eh bien, votre désir de comprendre cette question, à mon avis, mérite sans aucun doute +, que je mets en toute bonne conscience.

Une telle formulation du problème de recherche de la dérivée est souvent posée pour fixer le matériau sur le sens géométrique de la dérivée. Un graphique d'une certaine fonction est proposé, complètement arbitraire et non donné par l'équation et il est nécessaire de trouver la valeur de la dérivée (pas la dérivée elle-même !) au point spécifié X0. Pour ce faire, une tangente à la fonction donnée est construite et les points de son intersection avec les axes de coordonnées sont trouvés. Alors l'équation de cette tangente est établie sous la forme y=kx+b.

Dans cette équation, le coefficient k et sera la valeur de la dérivée. il ne reste plus qu'à trouver la valeur du coefficient b. Pour ce faire, nous trouvons la valeur de y à x \u003d o, qu'elle soit égale à 3 - c'est la valeur du coefficient b. Nous substituons les valeurs de X0 et Y0 dans l'équation d'origine et trouvons k - notre valeur de la dérivée à ce stade.

Dans le problème B9, un graphique d'une fonction ou d'une dérivée est donné, à partir duquel il est nécessaire de déterminer l'une des quantités suivantes :

1. La valeur de la dérivée à un certain point x 0,
2. Points hauts ou bas (points extrêmes),
3. Intervalles de fonctions croissantes et décroissantes (intervalles de monotonie).

Les fonctions et dérivées présentées dans ce problème sont toujours continues, ce qui simplifie grandement la solution. Bien que la tâche appartienne à la section de l'analyse mathématique, elle est tout à fait à la portée des étudiants, même les plus faibles, car aucune connaissance théorique approfondie n'est requise ici.

Pour trouver la valeur de la dérivée, des points extrêmes et des intervalles de monotonie, il existe des algorithmes simples et universels - tous seront discutés ci-dessous.

Lisez attentivement la condition du problème B9 afin de ne pas commettre d'erreurs stupides : des textes parfois assez volumineux se présentent, mais il y a peu de conditions importantes qui affectent le cours de la solution.

Calcul de la valeur de la dérivée. Méthode à deux points

Si l'on donne au problème un graphe de la fonction f(x), tangente à ce graphe en un point x 0 , et qu'il faut trouver la valeur de la dérivée en ce point, l'algorithme suivant est appliqué :

1. Trouver deux points "adéquats" sur le graphe tangent : leurs coordonnées doivent être entières. Notons ces points A (x 1 ; y 1) et B (x 2 ; y 2). Notez correctement les coordonnées - c'est le point clé de la solution, et toute erreur ici conduit à la mauvaise réponse.
2. Connaissant les coordonnées, il est facile de calculer l'incrément de l'argument Δx = x 2 − x 1 et l'incrément de la fonction Δy = y 2 − y 1 .
3. Enfin, on trouve la valeur de la dérivée D = Δy/Δx. En d'autres termes, vous devez diviser l'incrément de la fonction par l'incrément de l'argument - et ce sera la réponse.

Encore une fois, on note : les points A et B doivent être recherchés précisément sur la tangente, et non sur le graphe de la fonction f(x), comme c'est souvent le cas. La tangente contiendra nécessairement au moins deux de ces points, sinon le problème est mal formulé.

Considérez les points A (−3 ; 2) et B (−1 ; 6) et trouvez les incréments :
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Trouvons la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Une tâche. La figure montre le graphique de la fonction y \u003d f (x) et sa tangente au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 3) et B (3 ; 0), trouvez les incréments :
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

On trouve maintenant la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Une tâche. La figure montre le graphique de la fonction y \u003d f (x) et sa tangente au point d'abscisse x 0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x 0 .

Considérez les points A (0 ; 2) et B (5 ; 2) et trouvez les incréments :
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Il reste à trouver la valeur de la dérivée : D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

A partir du dernier exemple, on peut formuler la règle : si la tangente est parallèle à l'axe OX, la dérivée de la fonction au point de contact est égale à zéro. Dans ce cas, vous n'avez même pas besoin de calculer quoi que ce soit - regardez simplement le graphique.

Calcul des points hauts et bas

Parfois, au lieu d'un graphique d'une fonction dans le problème B9, un graphique dérivé est donné et il est nécessaire de trouver le point maximum ou minimum de la fonction. Dans ce scénario, la méthode à deux points est inutile, mais il existe un autre algorithme encore plus simple. Définissons d'abord la terminologie :

1. Le point x 0 est appelé le point maximum de la fonction f(x) si l'inégalité suivante est vraie dans un certain voisinage de ce point : f(x 0) ≥ f(x).
2. Le point x 0 est appelé le point minimum de la fonction f(x) si l'inégalité suivante est vraie dans un certain voisinage de ce point : f(x 0) ≤ f(x).

Afin de trouver les points maximum et minimum sur le graphique de la dérivée, il suffit d'effectuer les étapes suivantes :

1. Redessinez le graphique de la dérivée en supprimant toutes les informations inutiles. Comme le montre la pratique, les données supplémentaires ne font qu'interférer avec la solution. Par conséquent, nous marquons les zéros de la dérivée sur l'axe des coordonnées - et c'est tout.
2. Découvrez les signes de la dérivée sur les intervalles entre les zéros. Si pour un point x 0 on sait que f'(x 0) ≠ 0, alors seulement deux options sont possibles : f'(x 0) ≥ 0 ou f'(x 0) ≤ 0. Le signe de la dérivée est facile à déterminer à partir du dessin d'origine : si le graphe dérivé se situe au-dessus de l'axe OX, alors f'(x) ≥ 0. Inversement, si le graphe dérivé se situe en dessous de l'axe OX, alors f'(x) ≤ 0.
3. Nous vérifions à nouveau les zéros et les signes de la dérivée. Là où le signe passe du moins au plus, il y a un point minimum. Inversement, si le signe de la dérivée passe de plus à moins, c'est le point maximum. Le comptage se fait toujours de gauche à droite.

Ce schéma ne fonctionne que pour les fonctions continues - il n'y en a pas d'autres dans le problème B9.

Une tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur le segment [−5 ; 5]. Trouver le point minimum de la fonction f(x) sur ce segment.

Débarrassons-nous des informations inutiles - nous ne laisserons que les frontières [−5 ; 5] et les zéros de la dérivée x = −3 et x = 2,5. Notez également les signes :

Évidemment, au point x = −3, le signe de la dérivée passe de moins à plus. C'est le point minimum.

Une tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur le segment [−3 ; sept]. Trouver le point maximum de la fonction f(x) sur ce segment.

Redessinons le graphe en ne laissant que les bornes [−3 ; 7] et les zéros de la dérivée x = −1,7 et x = 5. Notez les signes de la dérivée sur le graphique résultant. Nous avons:

Évidemment, au point x = 5, le signe de la dérivée passe de plus à moins - c'est le point maximum.

Une tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur le segment [−6 ; quatre]. Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) appartenant à l'intervalle [−4 ; 3].

Il résulte des conditions du problème qu'il suffit de ne considérer que la partie du graphe délimitée par le segment [−4 ; 3]. On construit donc un nouveau graphe, sur lequel on ne marque que les bornes [−4 ; 3] et les zéros de la dérivée à l'intérieur. A savoir, les points x = −3.5 et x = 2. On obtient :

Sur ce graphique, il n'y a qu'un seul point maximum x = 2. C'est en lui que le signe de la dérivée passe du plus au moins.

Une petite note sur les points avec des coordonnées non entières. Par exemple, dans le dernier problème, le point x = −3,5 a été considéré, mais avec le même succès on peut prendre x = −3,4. Si le problème est correctement formulé, de tels changements ne devraient pas affecter la réponse, car les points "sans lieu de résidence fixe" ne sont pas directement impliqués dans la résolution du problème. Bien sûr, avec des points entiers, une telle astuce ne fonctionnera pas.

Trouver les intervalles d'augmentation et de diminution d'une fonction

Dans un tel problème, comme les points de maximum et de minimum, il est proposé de trouver des zones dans lesquelles la fonction elle-même augmente ou diminue à partir du graphique de la dérivée. Tout d'abord, définissons ce que sont l'ascendant et le descendant :

1. Une fonction f(x) est dite croissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). En d'autres termes, plus la valeur de l'argument est grande, plus la valeur de la fonction est grande.
2. Une fonction f(x) est dite décroissante sur un segment si pour deux points quelconques x 1 et x 2 de ce segment l'énoncé est vrai : x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Ceux. une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction.

Nous formulons des conditions suffisantes pour augmenter et diminuer :

1. Pour qu'une fonction continue f(x) croît sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit positive, c'est-à-dire f'(x) ≥ 0.
2. Pour qu'une fonction continue f(x) décroisse sur le segment , il suffit que sa dérivée à l'intérieur du segment soit négative, c'est-à-dire f'(x) ≤ 0.

Nous acceptons ces affirmations sans preuve. Ainsi, nous obtenons un schéma pour trouver des intervalles d'augmentation et de diminution, qui est à bien des égards similaire à l'algorithme de calcul des points extrêmes :

1. Supprimez toutes les informations redondantes. Sur le graphique original de la dérivée, nous nous intéressons principalement aux zéros de la fonction, nous ne laissons donc que ceux-ci.
2. Marquez les signes de la dérivée aux intervalles entre les zéros. Où f'(x) ≥ 0, la fonction augmente, et où f'(x) ≤ 0, elle diminue. Si le problème a des restrictions sur la variable x, nous les marquons en plus sur le nouveau graphique.
3. Maintenant que nous connaissons le comportement de la fonction et de la contrainte, il reste à calculer la valeur requise dans le problème.

Une tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur le segment [−3 ; 7.5]. Trouver les intervalles de la fonction décroissante f(x). Dans votre réponse, écrivez la somme des nombres entiers inclus dans ces intervalles.

Comme d'habitude, on redessine le graphe et on marque les bornes [−3 ; 7.5], ainsi que les zéros de la dérivée x = −1.5 et x = 5.3. Ensuite, nous marquons les signes de la dérivée. Nous avons:

Comme la dérivée est négative sur l'intervalle (− 1,5), c'est l'intervalle de fonction décroissante. Il reste à additionner tous les entiers qui sont à l'intérieur de cet intervalle :
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Une tâche. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x) définie sur le segment [−10 ; quatre]. Trouver les intervalles de la fonction croissante f(x). Dans votre réponse, écrivez la longueur du plus grand d'entre eux.

Débarrassons-nous des informations redondantes. On ne laisse que les bornes [−10 ; 4] et les zéros de la dérivée, qui cette fois se sont avérés être quatre : x = −8, x = −6, x = −3 et x = 2. Notez les signes de la dérivée et obtenez l'image suivante :

On s'intéresse aux intervalles de fonction croissante, c'est-à-dire où f'(x) ≥ 0. Il existe deux de ces intervalles sur le graphique : (−8 ; −6) et (−3 ; 2). Calculons leurs longueurs :
l 1 = − 6 − (−8) = 2 ;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Puisqu'il est nécessaire de trouver la longueur du plus grand des intervalles, nous écrivons la valeur l 2 = 5 en réponse.

La calculatrice calcule les dérivées de toutes les fonctions élémentaires, donnant une solution détaillée. La variable de différenciation est déterminée automatiquement.

Fonction dérivée est l'un des concepts les plus importants de l'analyse mathématique. De tels problèmes ont conduit à l'apparition de la dérivée, comme par exemple le calcul de la vitesse instantanée d'un point à un instant donné, si le chemin est connu en fonction du temps, le problème de trouver une tangente à une fonction en un point .

Le plus souvent, la dérivée d'une fonction est définie comme la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument, s'il existe.

Définition. Soit la fonction définie dans un voisinage du point . Alors la dérivée de la fonction au point s'appelle la limite, si elle existe

Comment calculer la dérivée d'une fonction ?

Pour apprendre à différencier les fonctions, il faut apprendre et comprendre règles de différenciation et apprendre à utiliser table dérivée.

Règles de différenciation

Soient et des fonctions différentiables arbitraires d'une variable réelle et une constante réelle. Alors

est la règle de différenciation du produit des fonctions

est la règle de différenciation des fonctions quotient

0" hauteur="33" largeur="370" style="vertical-align : -12px ;"> — différenciation d'une fonction avec un exposant variable

- la règle de différenciation d'une fonction complexe

est la règle de différenciation de la fonction puissance

Dérivée d'une fonction en ligne

Notre calculatrice calculera rapidement et avec précision la dérivée de n'importe quelle fonction en ligne. Le programme ne fera pas d'erreurs lors du calcul de la dérivée et aidera à éviter les calculs longs et fastidieux. Calculatrice en ligne Cela sera également utile dans le cas où il est nécessaire de vérifier l'exactitude de votre solution et, si elle est incorrecte, de trouver rapidement l'erreur.

De nombreuses théories ont été écrites sur la signification géométrique. Je n'entrerai pas dans la dérivation de la fonction incrément, je vous rappellerai l'essentiel pour accomplir des tâches :

La dérivée au point x est égale à la pente de la tangente au graphique de la fonction y = f (x) en ce point, c'est-à-dire qu'il s'agit de la tangente de l'angle d'inclinaison à l'axe X.

Prenons immédiatement la tâche de l'examen et commençons à la comprendre :

Tâche numéro 1. La figure montre graphique de fonction y = f(x) et sa tangente au point d'abscisse x0. Trouver la valeur de la dérivée de la fonction f(x) au point x0.
Qui est pressé et ne veut pas comprendre les explications : construisez un tel triangle (comme indiqué ci-dessous) et divisez le côté debout (vertical) par le couché (horizontal) et vous serez heureux si vous n'oubliez pas le signe (si la ligne droite diminue (→ ↓), alors la réponse devrait être avec un moins, si la ligne droite augmente (→), alors la réponse doit être positive !)

Vous devez trouver l'angle entre la tangente et l'axe X, appelons-le α : tracez une ligne droite parallèle à l'axe X n'importe où passant par la tangente au graphique, nous obtenons le même angle.

Il vaut mieux ne pas prendre le point x0, car vous aurez besoin d'une grande loupe pour déterminer les coordonnées exactes.

En prenant un triangle rectangle quelconque (3 options sont proposées sur la figure), on trouve tgα (les angles sont égaux, car correspondants), c'est-à-dire on obtient la dérivée de la fonction f(x) au point x0. Pourquoi donc?

Si nous dessinons des tangentes en d'autres points x2, x1, etc. les tangentes seront différentes.

Revenons en 7ème pour construire une ligne droite !

L'équation d'une droite est donnée par l'équation y = kx + b , où

k - inclinaison par rapport à l'axe X.

b est la distance entre le point d'intersection avec l'axe Y et l'origine.

La dérivée d'une droite est toujours la même : y" = k.

Quel que soit le point de la ligne où nous prenons la dérivée, elle restera inchangée.

Par conséquent, il ne reste plus qu'à trouver tgα (comme mentionné ci-dessus : nous divisons le côté debout par le côté couché). Nous divisons la jambe opposée par la jambe adjacente, nous obtenons que k \u003d 0,5. Cependant, si le graphique est décroissant, le coefficient est négatif : k = −0,5.

je vous conseille de vérifier deuxième manière :
Deux points peuvent être utilisés pour définir une ligne droite. Trouver les coordonnées de deux points quelconques. Par exemple, (-2 ;-2) et (2 ;-4) :

Remplacez dans l'équation y = kx + b au lieu de y et x les coordonnées des points :

-2 = -2k + b

En résolvant ce système, on obtient b = −3, k = −0.5

Conclusion: La deuxième méthode est plus longue, mais vous n'oublierez pas le signe.

Réponse : - 0,5

Tâche numéro 2. La figure montre graphique dérivé fonctions f(x). Huit points sont marqués sur l'axe des abscisses : x1, x2, x3, ..., x8. Combien de ces points se situent sur les intervalles de la fonction croissante f(x) ?

Si le graphique de la fonction est décroissant - la dérivée est négative (et vice versa).

Si le graphique de la fonction augmente, la dérivée est positive (et vice versa).

Ces deux phrases vous aideront à résoudre la plupart des problèmes.

Regarde attentivement un dessin d'une dérivée ou d'une fonction vous est donné, puis choisissez l'une des deux phrases.

Nous construisons un graphe schématique de la fonction. Car on nous donne un graphique de la dérivée, puis là où il est négatif, le graphique de la fonction diminue, là où il est positif, il augmente !

Il s'avère que 3 points se situent sur les zones d'augmentation : x4 ; x5 ; x6.

Réponse : 3

Tâche numéro 3. La fonction f(x) est définie sur l'intervalle (-6 ; 4). L'image montre graphique de sa dérivée. Trouver l'abscisse du point où la fonction prend la plus grande valeur.

Je vous conseille de toujours construire comment se déroule le graphe de la fonction, avec par exemple des flèches ou schématiquement avec des signes (comme dans les n°4 et n°5) :

Évidemment, si le graphique augmente à -2, alors le point maximum est -2.

Réponse : -2

Tâche numéro 4. La figure montre un graphique de la fonction f(x) et douze points sur l'axe des x : x1, x2, ..., x12. En combien de ces points la dérivée de la fonction est-elle négative ?

La tâche est inverse, étant donné le graphique de la fonction, vous devez construire schématiquement à quoi ressemblera le graphique de la dérivée de la fonction et calculer le nombre de points qui se situeront dans la plage négative.

Positif : x1, x6, x7, x12.

Négatif : x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Réponse : 7

Un autre type de tâche, lorsqu'on l'interroge sur de terribles "extrêmes" ? Il ne vous sera pas difficile de trouver de quoi il s'agit, mais je vais vous expliquer pour les graphiques.

Tâche numéro 5. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f(x), définie sur l'intervalle (-16 ; 6). Trouver le nombre de points extrêmes de la fonction f(x) sur le segment [-11 ; 5].

Notez la plage de -11 à 5 !

Tournons nos yeux brillants vers la plaque : le graphique de la dérivée de la fonction est donné => alors les extrema sont les points d'intersection avec l'axe X.

Réponse : 3

Tâche numéro 6. La figure montre un graphique de la dérivée de la fonction f (x), définie sur l'intervalle (-13 ; 9). Trouver le nombre de points maximum de la fonction f(x) sur le segment [-12 ; 5].

Notez la plage de -12 à 5 !

Vous pouvez regarder la plaque d'un œil, le point maximum est un extremum, tel qu'avant la dérivée est positive (la fonction augmente), et après la dérivée est négative (la fonction diminue). Ces points sont encerclés.

Les flèches indiquent le comportement du graphe de la fonction.

Réponse : 3

Tâche numéro 7. La figure montre un graphique de la fonction f(x) définie sur l'intervalle (-7 ; 5). Trouver le nombre de points où la dérivée de la fonction f(x) est égale à 0.

Vous pouvez consulter le tableau ci-dessus (la dérivée est nulle, ce qui signifie qu'il s'agit de points extrêmes). Et dans ce problème, le graphique de la fonction est donné, ce qui signifie que vous devez trouver nombre de points d'inflexion!

Et vous pouvez, comme d'habitude : nous construisons un graphe schématique de la dérivée.

La dérivée est nulle lorsque le graphe des fonctions change de sens (de croissant à décroissant et vice versa)

Réponse : 8

Tâche numéro 8. L'image montre graphique dérivé fonction f(x) définie sur l'intervalle (-2; 10). Trouver les intervalles de la fonction croissante f(x). Dans votre réponse, indiquez la somme des points entiers compris dans ces intervalles.

Construisons un graphe schématique de la fonction :

Là où il augmente, on obtient 4 points entiers : 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Réponse : 22

Tâche numéro 9. L'image montre graphique dérivé fonction f(x) définie sur l'intervalle (-6; 6). Trouver le nombre de points f(x) où la tangente au graphique de la fonction est parallèle ou coïncide avec la ligne y = 2x + 13.

On nous donne un graphique de la dérivée ! Cela signifie que notre tangente doit également être « traduite » en une dérivée.

Dérivée tangente : y" = 2.

Construisons maintenant les deux dérivées :

Les tangentes se coupent en trois points, donc notre réponse est 3.

Réponse : 3

Tâche numéro 10. La figure montre le graphique de la fonction f (x) et les points -2, 1, 2, 3 sont marqués. Auquel de ces points la valeur de la dérivée est-elle la plus petite ? Veuillez indiquer ce point dans votre réponse.

La tâche est un peu similaire à la première : pour trouver la valeur de la dérivée, il faut construire une tangente à ce graphe en un point et trouver le coefficient k.

Si la droite est décroissante, k< 0.

Si la droite est croissante, k > 0.

Réfléchissons à la manière dont la valeur du coefficient affectera la pente de la droite :

Avec k = 1 ou k = − 1, le graphique sera au milieu entre les axes x et y.

Plus la droite est proche de l'axe X, plus le coefficient k est proche de zéro.

Plus la ligne est proche de l'axe Y, plus le coefficient k est proche de l'infini.

Au point -2 et 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>c'est là que la plus petite valeur de la dérivée sera

Réponse 1

Tâche numéro 11. La droite est tangente y = 3x + 9 au graphe de la fonction y = x³ + x² + 2x + 8 . Trouver l'abscisse du point de contact.

La droite sera tangente au graphe lorsque les graphes ont un point commun, comme leurs dérivées. Mettez en équation les équations des graphiques et leurs dérivées :

En résolvant la deuxième équation, on obtient 2 points. Pour vérifier lequel convient, nous substituons chacun des x dans la première équation. Un seul fera l'affaire.

Je ne veux pas du tout résoudre une équation cubique, mais une équation carrée pour une âme douce.

C'est exactement ce qu'il faut écrire en réponse, si vous obtenez deux réponses "normales" ?

En remplaçant x (x) dans les graphiques originaux y \u003d 3x + 9 et y \u003d x³ + x² + 2x + 8, vous devriez obtenir le même Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Droit! Donc x=1 sera la réponse

Réponse 1

Tâche numéro 12. La droite y = − 5x − 6 est tangente au graphe de la fonction ax² + 5x − 5 . Trouver un .

De même, nous assimilons les fonctions et leurs dérivées :

Résolvons ce système par rapport aux variables a et x :

Réponse : 25

La tâche avec les dérivés est considérée comme l'une des plus difficiles de la première partie de l'examen, cependant, avec un peu d'attention et de compréhension du problème, vous réussirez et vous augmenterez le pourcentage d'achèvement de cette tâche !