Rumus ekspansi Cos2x. Rumus dasar trigonometri dan identitas sin, cos, tg, ctg

Rumus dasar trigonometri adalah rumus yang menjalin hubungan antar fungsi dasar trigonometri. Sinus, cosinus, tangen, dan kotangen saling berhubungan melalui banyak hubungan. Di bawah ini adalah yang utama rumus trigonometri, dan untuk kenyamanan kami akan mengelompokkannya berdasarkan tujuan. Dengan menggunakan rumus ini Anda dapat menyelesaikan hampir semua soal dari kursus trigonometri standar. Mari kita segera perhatikan bahwa di bawah ini hanya rumusnya saja, bukan kesimpulannya, yang akan dibahas pada artikel tersendiri.

Identitas dasar trigonometri

Identitas trigonometri memberikan hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut, sehingga satu fungsi dapat dinyatakan dalam fungsi lain.

Identitas trigonometri

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , ct g α = cos α sin α t g α ct g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Identitas-identitas ini secara langsung mengikuti definisi lingkaran satuan, sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tg) dan kotangen (ctg).

Rumus reduksi

Rumus reduksi memungkinkan Anda beralih dari bekerja dengan sudut besar yang sewenang-wenang dan sewenang-wenang ke bekerja dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat.

Rumus reduksi

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , ctg α + 2 π z = ctg α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - ctg α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α tg π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = ctg α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , ct g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , ct g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Rumus reduksi adalah konsekuensi dari periodisitas fungsi trigonometri.

Rumus penjumlahan trigonometri

Rumus penjumlahan dalam trigonometri memungkinkan Anda menyatakan fungsi trigonometri dari jumlah atau selisih sudut dalam fungsi trigonometri sudut-sudut tersebut.

Rumus penjumlahan trigonometri

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Berdasarkan rumus penjumlahan, rumus trigonometri untuk berbagai sudut diturunkan.

Rumus beberapa sudut: rangkap dua, rangkap tiga, dst.

Rumus sudut rangkap dua dan rangkap tiga

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α dengan t g 2 α = dengan t g 2 α - 1 2 · dengan t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α ct g 3 α = ctg 3 α - 3 ctg α 3 ctg 2 α - 1

Rumus setengah sudut

Rumus setengah sudut dalam trigonometri merupakan konsekuensi dari rumus sudut ganda dan menyatakan hubungan antara fungsi dasar setengah sudut dan kosinus seluruh sudut.

Rumus setengah sudut

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α ct g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Rumus pengurangan derajat

Rumus pengurangan derajat

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Seringkali tidak nyaman untuk bekerja dengan kekuatan yang rumit saat membuat perhitungan. Rumus pengurangan derajat memungkinkan Anda untuk mengurangi derajat fungsi trigonometri dari besar sembarang ke yang pertama. Berikut pandangan umum mereka:

Pandangan umum tentang rumus pengurangan derajat

untuk genap n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

untuk ganjil n

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Selisih dan jumlah fungsi trigonometri dapat direpresentasikan sebagai suatu produk. Memfaktorkan perbedaan sinus dan cosinus sangat mudah digunakan saat menyelesaikannya persamaan trigonometri dan menyederhanakan ekspresi.

Jumlah dan selisih fungsi trigonometri

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produk fungsi trigonometri

Jika rumus jumlah dan selisih fungsi memungkinkan seseorang untuk beralih ke produknya, maka rumus produk fungsi trigonometri melakukan transisi terbalik - dari produk ke jumlah. Rumus produk sinus, cosinus, dan sinus dengan kosinus dipertimbangkan.

Rumus hasil kali fungsi trigonometri

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (dosa (α - β) + sin (α + β))

Substitusi trigonometri universal

Semua fungsi trigonometri dasar - sinus, kosinus, tangen, dan kotangen - dapat dinyatakan dalam tangen setengah sudut.

Substitusi trigonometri universal

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 tg α 2

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Rumus dasar trigonometri. Pelajaran No.1

Jumlah rumus yang digunakan dalam trigonometri cukup banyak (yang dimaksud dengan “rumus” bukanlah definisi (misalnya, tgx=sinx/cosx), tetapi persamaan yang identik seperti sin2x=2sinxcosx). Untuk mempermudah menavigasi banyaknya rumus ini dan tidak melelahkan siswa dengan pembelajaran yang tidak berarti, perlu untuk menyoroti yang paling penting di antara rumus tersebut. Jumlahnya sedikit - hanya tiga. Semua rumus lainnya mengikuti ketiga rumus ini. Ini adalah hal utama identitas trigonometri dan rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisihnya:

Dosa 2 x+cos 2 x=1 (1)

Dosa(x±y)=sinxnyaman±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

Dari ketiga rumus ini ikuti secara mutlak semua sifat sinus dan kosinus (periodisitas, nilai periode, nilai sinus 30 0 = π/6=1/2, dll.) Dari sudut pandang ini, dalam kurikulum sekolah Banyak informasi yang secara formal tidak diperlukan dan berlebihan digunakan. Jadi, rumus “1-3” adalah penguasa kerajaan trigonometri. Mari kita beralih ke rumus akibat wajar:

1) Sinus dan kosinus berbagai sudut

Jika kita substitusikan nilai x=y ke dalam (2) dan (3), kita peroleh:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

Kami menyimpulkan bahwa sin0=0; cos0=1, tanpa menggunakan interpretasi geometri sinus dan cosinus. Demikian pula, dengan menerapkan rumus "2-3" dua kali, kita dapat memperoleh persamaan sin3x; cos3x; dosa4x; cos4x, dll.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 X

Tugas untuk siswa: mendapatkan ekspresi serupa untuk cos3x; sin4x; cos4x

2) Rumus pengurangan derajat

Selesaikan soal invers dengan menyatakan pangkat sinus dan kosinus dalam bentuk kosinus dan sinus berbagai sudut.

Contoh: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, maka: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, maka: sin 2 x=1/2-cos2x/2

Rumus ini sangat sering digunakan. Untuk memahaminya lebih baik, saya menyarankan Anda menggambar grafik sisi kiri dan kanannya. Grafik kuadrat cosinus dan sinus “membungkus” grafik garis lurus “y=1/2” (ini adalah nilai rata-rata cos 2 x dan sin 2 x selama beberapa periode). Dalam hal ini, frekuensi osilasi menjadi dua kali lipat dibandingkan aslinya (periode fungsi cos 2 x sin 2 x sama dengan 2π /2=π), dan amplitudo osilasi menjadi setengahnya (koefisien 1/2 sebelum cos2x) .

Tugas: Nyatakan sin 3 x; karena 3x; dosa 4 x ; cos 4 x melalui cosinus dan sinus berbagai sudut.

3) Rumus reduksi

Mereka menggunakan periodisitas fungsi trigonometri, sehingga nilainya dapat dihitung pada seperempat lingkaran trigonometri dari nilai pada kuartal pertama. Rumus reduksi adalah kasus yang sangat khusus dari rumus “utama” (2-3). Misalnya: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

Jadi Cos(x+ π/2) =sinx

Tugas: menurunkan rumus reduksi sin(x+ π/2); cos(x+ 3 π/2)

4) Rumus yang mengubah jumlah atau selisih cosinus dan sinus menjadi suatu hasil kali dan sebaliknya.

Mari kita tuliskan rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut:

Dosa(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Dosa(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

Mari tambahkan ruas kiri dan kanan persamaan ini:

Dosa(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

Persyaratan serupa dibatalkan, jadi:

Dosa(x+y) +dosa(x-y) = 2sinxnyaman (*)

a) bila dibaca (*) dari kanan ke kiri diperoleh:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

Hasil kali sinus dua sudut sama dengan setengah jumlah sinus dari jumlah tersebut dan selisih kedua sudut tersebut.

b) saat membaca (*) dari kiri ke kanan, akan lebih mudah untuk menyatakan:

x-y = c. Dari sini kita akan menemukannya X Dan pada melalui R Dan Dengan, menjumlahkan dan mengurangkan ruas kiri dan kanan kedua persamaan berikut:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, substitusikan ke dalam (*) sebagai pengganti (x+y) dan (x-y) variabel baru yang diturunkan R Dan Dengan, mari kita bayangkan jumlah sinus yang melalui hasil perkaliannya:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

Jadi, akibat langsung dari rumus dasar sinus jumlah dan selisih sudut adalah dua relasi baru (4) dan (5).

c) sekarang, daripada menjumlahkan ruas kiri dan kanan persamaan (1) dan (2), kita akan mengurangkannya satu sama lain:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

Membaca identitas ini dari kanan ke kiri mengarah pada rumus yang mirip dengan (4), yang ternyata tidak menarik, karena kita sudah mengetahui cara menguraikan hasil kali sinus dan kosinus menjadi jumlah sinus (lihat (4)). Membaca (6) dari kiri ke kanan memberikan rumus yang menciutkan selisih sinus menjadi suatu hasil kali:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

Jadi, dari satu identitas fundamental sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, kita mendapatkan tiga identitas baru (4), (5), (7).

Pekerjaan serupa yang dilakukan dengan identitas fundamental lain cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny sudah menghasilkan empat identitas baru:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

Tugas: mengubah jumlah sinus dan kosinus menjadi hasil kali:

Sinx +nyaman = ? Larutan: jika Anda mencoba untuk tidak menurunkan rumusnya, tetapi langsung melihat jawabannya di beberapa tabel rumus trigonometri, maka Anda mungkin tidak menemukan hasil yang sudah jadi. Siswa harus memahami bahwa tidak perlu menghafal dan memasukkan ke dalam tabel rumus lain untuk sinx + cosy = ..., karena sembarang kosinus dapat direpresentasikan sebagai sinus dan sebaliknya menggunakan rumus reduksi, misalnya: sinx = cos ( π/2 – x), nyaman = sin (π/2 – y). Oleh karena itu: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.