Berapakah batas nol? Memecahkan masalah dalam menemukan batasan sampel

Larutan batas fungsi online. Temukan nilai batas suatu fungsi atau barisan fungsional pada suatu titik, hitung terakhir nilai fungsi di tak terhingga. menentukan konvergensi suatu deret bilangan dan masih banyak lagi yang dapat dilakukan berkat layanan online kami -. Kami memungkinkan Anda menemukan batasan fungsi secara online dengan cepat dan akurat. Anda sendiri yang memasukkan variabel fungsi dan batas kecenderungannya, dan layanan kami melakukan semua perhitungan untuk Anda, memberikan jawaban yang akurat dan sederhana. Dan untuk menemukan batasnya secara online Anda dapat memasukkan deret numerik dan fungsi analitik yang berisi konstanta dalam ekspresi literal. Dalam hal ini, limit fungsi yang ditemukan akan berisi konstanta-konstanta ini sebagai argumen konstanta dalam ekspresi. Layanan kami memecahkan masalah pencarian yang rumit batas daring, cukup dengan menunjukkan fungsi dan titik yang perlu dihitung membatasi nilai fungsi. Menghitung batasan daring, Anda dapat menggunakan berbagai metode dan aturan untuk menyelesaikannya, sambil memeriksa hasil yang diperoleh dengan memecahkan batas secara online di www.site, yang akan mengarah pada penyelesaian tugas yang berhasil - Anda akan menghindari kesalahan dan kesalahan administrasi Anda sendiri. Atau Anda dapat sepenuhnya mempercayai kami dan menggunakan hasil kami dalam pekerjaan Anda, tanpa menghabiskan tenaga dan waktu ekstra untuk menghitung batas fungsi secara mandiri. Kami mengizinkan input nilai batas seperti tak terhingga. Penting untuk memasukkan anggota umum dari barisan bilangan dan www.situs akan menghitung nilainya batasi secara daring hingga plus atau minus tak terhingga.

Salah satu konsep dasar analisis matematis adalah batas fungsi Dan batas urutan pada suatu titik dan tak terhingga, penting untuk dapat menyelesaikannya dengan benar batas. Dengan layanan kami ini tidak akan sulit. Sebuah keputusan dibuat batas daring dalam beberapa detik, jawabannya akurat dan lengkap. Kajian analisis matematis dimulai dengan transisi ke batas, batas digunakan di hampir semua bidang matematika tingkat tinggi, jadi akan berguna jika memiliki server solusi batas online, yaitu matematikam.ru.

Saat menghitung batasan, seseorang harus memperhitungkannya aturan dasar berikut ini:

1. Limit jumlah (selisih) fungsi sama dengan jumlah (selisih) limit suku:

2. Limit suatu hasil kali fungsi sama dengan hasil kali limit faktor-faktornya:

3. Limit perbandingan dua fungsi sama dengan perbandingan limit fungsi tersebut:

.

4. Faktor konstanta dapat diambil melampaui tanda limit:

.

5. Limit suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri:

6. Untuk fungsi kontinu, simbol limit dan fungsi dapat ditukar:

.

Menemukan limit suatu fungsi harus dimulai dengan mensubstitusikan nilainya ke dalam ekspresi fungsi tersebut. Apalagi jika diperoleh nilai numerik 0 atau ¥, maka batas yang diinginkan telah ditemukan.

Contoh 2.1. Hitung batasnya.

Larutan.

.

Ekspresi bentuk , , , , , disebut ketidakpastian.

Jika Anda mendapatkan ketidakpastian dalam bentuk , maka untuk mencari limitnya Anda perlu mentransformasikan fungsinya sehingga dapat mengungkapkan ketidakpastian tersebut.

Ketidakpastian bentuk biasanya diperoleh bila diberikan limit perbandingan dua polinomial. Dalam hal ini, untuk menghitung limit, disarankan untuk memfaktorkan polinomial dan menguranginya dengan faktor persekutuan. Pengganda ini nol pada nilai batas X .

Contoh 2.2. Hitung batasnya.

Larutan.

Mengganti , kita mendapatkan ketidakpastian:

.

Mari kita faktorkan pembilang dan penyebutnya:

;

Mari kita kurangi dengan faktor persekutuan dan dapatkan

.

Ketidakpastian bentuk diperoleh jika limit perbandingan dua polinomial diberikan pada . Dalam hal ini, untuk menghitungnya, disarankan untuk membagi kedua polinomial dengan X di tingkat senior.

Contoh 2.3. Hitung batasnya.

Larutan. Saat mensubstitusi ∞, kita memperoleh ketidakpastian bentuk , jadi kita membagi semua suku ekspresi dengan x 3.

.

Di sini diperhitungkan bahwa.

Saat menghitung limit suatu fungsi yang mengandung akar, disarankan untuk mengalikan dan membagi fungsi tersebut dengan konjugasinya.

Contoh 2.4. Hitung batas

Larutan.

Saat menghitung limit untuk mengungkapkan ketidakpastian bentuk atau (1) ∞, limit luar biasa pertama dan kedua sering digunakan:

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan kuantitas tertentu yang terus-menerus mengarah pada batas luar biasa kedua.

Mari kita perhatikan contoh Ya.I. Perelman yang memberikan interpretasi tentang bilangan tersebut e dalam masalah bunga majemuk. Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahunnya. Jika aksesi dilakukan lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena jumlah yang lebih besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan.

Biarkan 100 penyangkal disetorkan ke bank. unit berdasarkan 100% per tahun. Jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada periode ini 100 den. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter.

Sekarang mari kita lihat 100 denize akan berubah menjadi apa. unit, jika uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah enam bulan, 100 sarang. unit akan tumbuh sebesar 100 × 1,5 = 150, dan setelah enam bulan berikutnya - sebesar 150 × 1,5 = 225 (den. unit). Jika aksesi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun 100 den. unit akan berubah menjadi 100 × (1 +1/3) 3" 237 (satuan ruang).

Kami akan menambah ketentuan penambahan uang bunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dan seterusnya. Kemudian dari 100 ruang kerja. unit setelah satu tahun akan menjadi:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (satuan ruang),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (satuan ruang),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (satuan ruang).

Dengan pengurangan yang tidak terbatas dalam syarat penambahan bunga, akumulasi modal tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu yang setara dengan sekitar 271. Modal yang disetorkan sebesar 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali lipat, bahkan jika bunga yang masih harus dibayar ditambahkan ke ibu kota setiap detik karena

Contoh 2.5. Menghitung limit suatu fungsi

Larutan.

Contoh 2.6. Menghitung limit suatu fungsi .

Larutan. Mengganti kita mendapatkan ketidakpastian:

.

Dengan menggunakan rumus trigonometri, kita ubah pembilangnya menjadi hasil kali:

Hasilnya kita dapatkan

Di sini batasan luar biasa kedua diperhitungkan.

Contoh 2.7. Menghitung limit suatu fungsi

Larutan.

.

Untuk mengungkap ketidakpastian bentuk atau dapat menggunakan aturan L'Hopital yang didasarkan pada teorema berikut.

Dalil. Limit perbandingan dua fungsi yang sangat kecil atau sangat besar sama dengan limit perbandingan turunannya

Perhatikan bahwa aturan ini dapat diterapkan beberapa kali berturut-turut.

Contoh 2.8. Menemukan

Larutan. Saat melakukan substitusi, kita mempunyai ketidakpastian bentuk. Menerapkan aturan L'Hopital, kita mendapatkan

Kontinuitas fungsi

Sifat penting suatu fungsi adalah kontinuitas.

Definisi. Fungsinya dipertimbangkan kontinu, jika perubahan kecil pada nilai argumen menyebabkan perubahan kecil pada nilai fungsi.

Secara matematis ditulis sebagai berikut: kapan

Yang dimaksud dengan dan adalah pertambahan variabel, yaitu selisih antara nilai berikutnya dan nilai sebelumnya: , (Gambar 2.3)

Gambar 2.3 – Kenaikan variabel

Dari definisi fungsi kontinu pada titik berikut ini . Kesetaraan ini berarti terpenuhinya tiga syarat:

Larutan. Untuk fungsi intinya mencurigakan adanya diskontinuitas, mari kita periksa dan temukan batasan sepihak

Karena itu, , Cara - titik istirahat

Turunan dari suatu fungsi

Batas fungsi- nomor A akan menjadi limit suatu besaran variabel jika, dalam proses perubahannya, besaran variabel tersebut mendekati tak terhingga A.

Atau dengan kata lain, nomornya A adalah limit fungsinya kamu = f(x) pada intinya x 0, jika untuk sembarang barisan titik dari domain definisi fungsi , tidak sama x 0, dan yang konvergen ke intinya x 0 (lim x n = x0), barisan nilai fungsi yang bersesuaian menyatu dengan bilangan tersebut A.

Grafik suatu fungsi yang limitnya, jika diberi argumen yang cenderung tak terhingga, adalah sama dengan L:

Arti A adalah limit (nilai batas) dari fungsi tersebut f(x) pada intinya x 0 dalam kasus untuk setiap urutan poin , yang menyatu ke x 0, tapi yang tidak mengandung x 0 sebagai salah satu elemennya (yaitu di sekitar yang tertusuk x 0), urutan nilai fungsi menyatu ke A.

Batas fungsi Cauchy.

Arti A akan batas fungsinya f(x) pada intinya x 0 jika untuk bilangan non-negatif yang diambil terlebih dahulu ε nomor non-negatif yang sesuai akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa untuk setiap argumen X, memenuhi kondisi 0 < | x - x0 | < δ , ketimpangan akan terpenuhi | f(x)A |< ε .

Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Berapakah limit fungsinya F (X) pada X berjuang untuk A sama A, ditulis seperti ini:

Apalagi nilai kecenderungan variabel tersebut X, tidak hanya berupa angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang +∞ atau -∞, atau mungkin tidak ada batasan sama sekali.

Untuk memahami caranya mencari limit suatu fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.

Kita perlu mencari limit fungsinya F (x) = 1/X pada:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Mari kita cari solusi untuk limit pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup menggantinya X angka yang cenderung, yaitu. 2, kita mendapatkan:

Mari kita cari limit kedua dari fungsi tersebut. Di sini gantikan 0 murni sebagai gantinya X itu tidak mungkin, karena Anda tidak dapat membaginya dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, serta nilai fungsinya F (X) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100.000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa kapan X→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berjuang menuju ketidakterbatasan. Yang berarti:

Mengenai batasan ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya tidak dapat digantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus peningkatan yang tidak terbatas X. Kami mengganti 1000 satu per satu; 10.000; 100000 dan seterusnya, kita mendapatkan nilai fungsinya F (x) = 1/X akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Itu sebabnya:

Penting untuk menghitung limit fungsi

Mulai menyelesaikan contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan derajat tertinggi dari pembilang dan penyebutnya - ini adalah x 3, kita keluarkan dari tanda kurung pada pembilang dan penyebutnya lalu dikurangi dengan:

Menjawab

Langkah pertama masuk menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai gantinya X, sehingga menimbulkan ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, mari kita faktorkan pembilangnya dan melakukannya menggunakan metode mencari akar-akar persamaan kuadrat x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Jadi pembilangnya adalah:

Menjawab

Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area tertentu di mana fungsi tersebut berada, yang dibatasi oleh limit.

Untuk mengatasi batasan, ikuti aturan:

Setelah memahami hakikat dan pokoknya aturan untuk menyelesaikan limit, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.

Konsep limit barisan dan fungsi. Jika ingin mencari limit suatu barisan, dituliskan sebagai berikut: lim xn=a. Dalam barisan barisan seperti itu, xn cenderung ke a dan n cenderung tak terhingga. Barisan tersebut biasanya direpresentasikan sebagai suatu rangkaian, misalnya:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Urutan dibagi menjadi meningkat dan menurun. Misalnya:
xn=n^2 - urutan meningkat
yn=1/n - urutan
Jadi, misalnya limit barisan xn=1/n^ :
batas 1/n^2=0

x→∞
Batas ini sama dengan nol, karena n→∞, dan barisan 1/n^2 cenderung nol.

Biasanya, besaran variabel x cenderung ke batas berhingga a, dan x selalu mendekati a, dan besaran a konstan. Hal ini ditulis sebagai berikut: limx =a, sedangkan n juga dapat cenderung ke nol atau tak terhingga. Ada fungsi tak terhingga yang limitnya cenderung tak terhingga. Dalam kasus lain, ketika, misalnya, fungsi tersebut memperlambat kereta api, kemungkinan batasnya cenderung nol.
Batas memiliki sejumlah properti. Biasanya, fungsi apa pun hanya memiliki satu batasan. Ini adalah properti utama dari limit. Properti lainnya tercantum di bawah ini:
* Batas jumlah sama dengan jumlah batas:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Hasil kali limit sama dengan hasil kali limit:
lim(xy)=lim x*lim y
* Limit hasil bagi sama dengan hasil bagi limit:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Faktor konstanta diambil di luar tanda limit:
lim(Cx)=C lim x
Diberikan suatu fungsi 1 /x yang x →∞, limitnya adalah nol. Jika x→0, limit fungsi tersebut adalah ∞.
Terdapat pengecualian terhadap aturan fungsi trigonometri ini. Karena fungsi sin x selalu cenderung kesatuan ketika mendekati nol, maka identitasnya berlaku:
lim dosa x/x=1

Dalam sejumlah soal terdapat fungsi, ketika menghitung limit yang menimbulkan ketidakpastian - situasi di mana limit tidak dapat dihitung. Satu-satunya jalan keluar dari situasi ini adalah dengan menerapkan aturan L'Hopital. Ada dua jenis ketidakpastian:
* ketidakpastian bentuk 0/0
* ketidakpastian bentuk ∞/∞
Misalnya, diberikan limit dengan bentuk berikut: lim f(x)/l(x), dan f(x0)=l(x0)=0. Dalam hal ini timbul ketidakpastian dalam bentuk 0/0. Untuk menyelesaikan masalah seperti itu, kedua fungsi tersebut dibedakan, setelah itu dicari limit hasilnya. Untuk ketidakpastian tipe 0/0, limitnya adalah:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pada x→0)
Aturan yang sama juga berlaku untuk ketidakpastian tipe ∞/∞. Namun dalam kasus ini persamaan berikut ini benar: f(x)=l(x)=∞
Dengan menggunakan aturan L'Hopital, Anda dapat menemukan nilai batas apa pun yang memunculkan ketidakpastian. Sebuah prasyarat untuk

volume - tidak ada kesalahan saat mencari turunan. Jadi, misalnya turunan dari fungsi (x^2)" sama dengan 2x. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa:
f"(x)=nx^(n-1)

Bagi yang ingin mempelajari cara mencari batasan, pada artikel kali ini kami akan menceritakannya kepada Anda. Kami tidak akan mendalami teorinya, biasanya guru memberikannya di perkuliahan. Jadi “teori membosankan” harus dicatat di buku catatan Anda. Jika tidak demikian, Anda dapat membaca buku teks yang diambil dari perpustakaan lembaga pendidikan atau dari sumber Internet lainnya.

Jadi, konsep limit cukup penting dalam pembelajaran matematika tingkat tinggi, terutama ketika Anda mengenal kalkulus integral dan memahami hubungan antara limit dan integral. Materi kali ini akan membahas contoh-contoh sederhana, serta cara penyelesaiannya.

Contoh solusi

Contoh 1

Hitung a) $ \lim_(x \ke 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \ke \infty) \frac(1)(x) $

Larutan

a) $$ \lim \limits_(x \ke 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \ke \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Orang sering kali mengirimkan batasan ini kepada kami dengan permintaan untuk membantu menyelesaikannya. Kami memutuskan untuk menyorotinya sebagai contoh terpisah dan menjelaskan bahwa batasan ini hanya perlu diingat, sebagai suatu peraturan. Jika Anda tidak dapat menyelesaikan masalah Anda, kirimkan kepada kami. Kami akan memberikan solusi terperinci. Anda akan dapat melihat kemajuan perhitungan dan mendapatkan informasi. Ini akan membantu Anda mendapatkan nilai dari guru Anda tepat waktu!

Menjawab

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$

Apa yang harus dilakukan dengan ketidakpastian bentuk: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Contoh 3

Selesaikan $ \lim \limits_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Larutan

Seperti biasa, kita mulai dengan mensubstitusi nilai $x$ ke dalam ekspresi di bawah tanda batas. $$ \lim \limits_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Apa selanjutnya sekarang? Apa yang harus terjadi pada akhirnya? Karena ini ketidakpastian, ini belum menjadi jawaban dan kami melanjutkan penghitungan. Karena kita memiliki polinomial pada pembilangnya, kita akan memfaktorkannya menggunakan rumus yang familiar bagi semua orang di sekolah $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Apakah kamu ingat? Besar! Sekarang lanjutkan dan gunakan dengan lagu :) Kami menemukan bahwa pembilang $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Kami terus menyelesaikannya dengan mempertimbangkan transformasi di atas: $$ \lim \limits_(x \ke -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \ke -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \batas_(x \ke -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Menjawab

$$ \lim \batas_(x \ke -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Mari kita dorong limit pada dua contoh terakhir hingga tak terhingga dan pertimbangkan ketidakpastiannya: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Contoh 5

Hitung $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Larutan

$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Apa yang harus dilakukan? Apa yang harus saya lakukan? Jangan panik, karena hal yang tidak mungkin menjadi mungkin. Kita perlu menghilangkan x pada pembilang dan penyebutnya, lalu menguranginya. Setelah ini coba hitung limitnya. Mari mencoba... $$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Menggunakan definisi dari Contoh 2 dan mengganti x dengan tak terhingga, kita mendapatkan: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Menjawab

$$ \lim \limits_(x \ke \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritma untuk menghitung batas

Jadi, mari kita rangkum secara singkat contoh-contoh tersebut dan buatlah algoritma untuk menyelesaikan limitnya:

1. Substitusikan titik x ke dalam ekspresi yang mengikuti tanda limit. Jika diperoleh bilangan tertentu atau tak terhingga, maka limitnya terpecahkan seluruhnya. Jika tidak, kita memiliki ketidakpastian: “nol dibagi nol” atau “tak terhingga dibagi tak terhingga” dan lanjutkan ke langkah instruksi berikutnya.
2. Untuk menghilangkan ketidakpastian “nol dibagi nol”, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebutnya. Kurangi yang serupa. Substitusikan titik x ke dalam persamaan di bawah tanda batas.
3. Jika ketidakpastiannya adalah “tak terhingga dibagi tak terhingga”, maka kita keluarkan pembilang dan penyebutnya x hingga pangkat terbesar. Kami mempersingkat X. Kami mengganti nilai x dari bawah batas ke dalam ekspresi yang tersisa.

Pada artikel ini, Anda mempelajari dasar-dasar penyelesaian limit, yang sering digunakan dalam mata kuliah Kalkulus. Tentu saja, ini tidak semua jenis soal yang ditawarkan oleh penguji, tetapi hanya batasan yang paling sederhana. Kita akan membicarakan jenis tugas lainnya di artikel mendatang, namun pertama-tama Anda perlu mempelajari pelajaran ini agar dapat melanjutkan. Mari kita bahas apa yang harus dilakukan jika ada akar, derajat, pelajari fungsi ekuivalen yang sangat kecil, limit yang luar biasa, aturan L'Hopital.

Jika Anda sendiri tidak dapat mengetahui batasannya, jangan panik. Kami selalu dengan senang hati membantu!