Garis bersilangan mudah dikenali dari fitur-fitur ini. Tanda 1. Jika ada empat titik pada dua garis yang tidak terletak pada bidang yang sama, maka garis-garis tersebut berpotongan (Gbr. 1.21).

Memang benar, jika garis-garis ini berpotongan atau sejajar, maka garis-garis tersebut akan terletak pada bidang yang sama, dan titik-titik yang diberikan akan terletak pada bidang yang sama, yang bertentangan dengan kondisi tersebut.

Tanda 2. Jika garis lurus O terletak pada bidang dan garis lurus b memotong bidang a di suatu titik

M tidak terletak pada garis a, maka garis a dan b berpotongan (Gbr. 1.22).

Memang benar, dengan mengambil dua titik pada garis a dan dua titik pada garis b, kita sampai pada kriteria 1, yaitu. a dan b disilangkan.

Contoh nyata perlintasan garis disediakan oleh simpang susun transportasi (Gbr. 1.23).

Di ruang angkasa, dalam arti tertentu, terdapat lebih banyak pasangan garis yang berpotongan daripada pasangan garis sejajar atau berpotongan. Hal ini dapat dijelaskan seperti ini.

Mari kita ambil suatu titik A dan beberapa garis a yang tidak melalui titik A. Untuk menggambar garis yang sejajar dengan garis a melalui titik A, kita harus menggambar bidang a melalui titik A dan garis a (Proposisi 2 ayat 1.1 ), lalu pada bidang dan tarik garis b sejajar dengan garis a (Gbr. 1.24).

Hanya ada satu baris seperti itu b. Semua garis yang melalui titik A dan memotong garis O juga terletak pada bidang a dan mengisi semuanya kecuali garis b. Semua garis lain yang melalui A dan memenuhi seluruh ruang kecuali bidang a akan berpotongan dengan garis a. Dapat dikatakan bahwa perpotongan garis dalam ruang merupakan kasus umum, sedangkan garis berpotongan dan sejajar merupakan kasus khusus. “Gerakan kecil” dari garis yang bersilangan membuat garis tersebut bersilangan. Namun sifat paralel atau berpotongan dengan “gerakan kecil” di ruang tidak dipertahankan.

Belum genap satu menit berlalu sebelum saya membuat file Verdov baru dan melanjutkan topik yang menarik. Anda perlu mengabadikan momen suasana kerja, sehingga tidak akan ada pengenalan liris. Akan ada pukulan yang biasa-biasa saja =)

Dua spasi lurus dapat:

1) kawin silang;

2) berpotongan di suatu titik ;

3) sejajar;

4) pertandingan.

Kasus No. 1 pada dasarnya berbeda dari kasus lainnya. Dua garis lurus berpotongan jika tidak terletak pada bidang yang sama. Angkat satu tangan ke atas dan rentangkan lengan lainnya ke depan - berikut adalah contoh garis bersilang. Pada poin no 2-4 garis lurus harus terletak dalam satu pesawat.

Bagaimana cara mengetahui posisi relatif garis dalam ruang?

Pertimbangkan dua spasi langsung:

- garis lurus, diberikan per poin dan vektor arah;
– garis lurus yang dibatasi oleh suatu titik dan vektor arah.

Untuk lebih memahaminya, mari kita buat gambar skemanya:

Gambar tersebut menunjukkan garis lurus yang berpotongan sebagai contoh.

Bagaimana cara mengatasi garis lurus tersebut?

Karena titik-titiknya diketahui, vektornya mudah dicari.

Jika lurus membastar, lalu vektornya tidak sebidang(lihat pelajaran Ketergantungan vektor yang linier (bukan). Dasar vektor), dan oleh karena itu, determinan yang tersusun dari koordinat-koordinatnya bukan nol. Atau, yang sebenarnya sama, nilainya bukan nol: .

Dalam kasus No. 2-4, struktur kita “jatuh” ke dalam satu bidang, dan vektor sebidang, A pekerjaan campuran vektor bergantung linier sama dengan nol: .

Mari kita perluas algoritmanya lebih jauh. Mari kita berpura-pura seperti itu Oleh karena itu, garis-garis tersebut berpotongan, sejajar, atau berimpit.

Jika vektor arahnya segaris, maka garis-garisnya sejajar atau berhimpitan. Untuk paku terakhir, saya mengusulkan teknik berikut: ambil titik mana saja pada satu garis dan substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan garis kedua; jika koordinatnya “cocok”, maka garis-garisnya berhimpitan; jika “tidak cocok”, maka garis-garisnya sejajar.

Algoritmenya sederhana, tetapi contoh praktis akan tetap membantu:

Contoh 11

Cari tahu posisi relatif dua garis

Larutan: seperti dalam banyak soal geometri, akan lebih mudah untuk merumuskan solusi poin demi poin:

1) Kami mengambil titik dan vektor arah dari persamaan:

2) Temukan vektornya:

Jadi, vektor-vektornya bersifat koplanar, artinya garis-garisnya terletak pada bidang yang sama dan dapat berpotongan, sejajar, atau berimpit.

4) Mari kita periksa kolinearitas vektor arah.

Mari kita buat sistem dari koordinat vektor-vektor berikut:

Dari setiap orang persamaan maka, oleh karena itu, sistem tersebut konsisten, koordinat vektor-vektor yang bersesuaian adalah proporsional, dan vektor-vektor tersebut segaris.

Kesimpulan: garis-garisnya sejajar atau berimpit.

5) Cari tahu apakah garis-garis tersebut mempunyai titik persekutuan. Mari kita ambil sebuah titik yang termasuk dalam garis pertama dan substitusikan koordinatnya ke dalam persamaan garis:

Jadi, garis-garis tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, dan tidak ada pilihan selain sejajar.

Menjawab:

Contoh menarik untuk keputusan independen:

Contoh 12

Cari tahu posisi relatif garis-garis tersebut

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Harap dicatat bahwa baris kedua memiliki huruf sebagai parameter. Logis. Secara umum, ini adalah dua baris yang berbeda, sehingga setiap baris memiliki parameternya sendiri.

Dan sekali lagi saya mendorong Anda untuk tidak melewatkan contoh, tugas yang saya usulkan jauh dari acak ;-)

Masalah dengan garis dalam ruang

Di bagian akhir pelajaran saya akan mencoba mempertimbangkan jumlah maksimal berbagai tugas dengan garis spasial. Dalam hal ini, urutan awal cerita akan diamati: pertama kita akan membahas masalah dengan garis yang berpotongan, kemudian dengan garis yang berpotongan, dan pada akhirnya kita akan berbicara tentang garis sejajar dalam ruang. Namun, saya harus mengatakan bahwa beberapa tugas pelajaran ini dapat dirumuskan untuk beberapa kasus susunan garis sekaligus, dan dalam hal ini, pembagian bagian menjadi paragraf agak bersyarat. ada lagi contoh sederhana, ada lagi contoh yang kompleks, dan saya harap semua orang akan menemukan apa yang mereka butuhkan.

Garis bersilang

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa garis lurus berpotongan jika tidak ada bidang di mana keduanya terletak. Ketika saya sedang memikirkan latihan, masalah monster muncul di benak saya, dan sekarang saya dengan senang hati mempersembahkan kepada Anda seekor naga berkepala empat:

Contoh 13

Diberikan garis lurus. Diperlukan:

a) buktikan bahwa garis-garis tersebut berpotongan;

b) mencari persamaan garis yang melalui suatu titik yang tegak lurus terhadap garis tersebut;

c) menyusun persamaan garis lurus yang memuat tegak lurus umum melintasi garis;

d) tentukan jarak antar garis.

Larutan: Siapa yang berjalan akan menguasai jalan:

a) Mari kita buktikan bahwa garis-garis tersebut berpotongan. Mari kita cari titik dan vektor arah garis-garis ini:

Mari kita cari vektornya:

Mari kita hitung produk campuran vektor:

Jadi, vektornya tidak sebidang, artinya garis-garisnya berpotongan, itu yang perlu dibuktikan.

Mungkin semua orang sudah lama memperhatikan bahwa untuk melintasi garis, algoritma verifikasi adalah yang terpendek.

b) Tentukan persamaan garis yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap garis tersebut. Mari kita membuat gambar skema:

Untuk perubahan saya memposting langsung DI BELAKANG lurus, lihat bagaimana itu sedikit terhapus di titik persimpangan. Pembastaran? Ya, pada umumnya garis lurus “de” akan berpotongan dengan garis lurus aslinya. Meskipun kita tidak tertarik dengan momen ini, kita hanya perlu membuat garis tegak lurus dan selesai.

Apa yang diketahui tentang “de” langsung? Intinya diketahui. Vektor panduan tidak cukup.

Sesuai syaratnya, garis lurus harus tegak lurus terhadap garis lurus tersebut, artinya vektor arahnya akan ortogonal terhadap vektor arah. Sudah familiar dari Contoh No. 9, mari kita cari hasil perkalian vektornya:

Mari kita buat persamaan garis lurus “de” menggunakan titik dan vektor arah:

Siap. Pada prinsipnya, Anda dapat mengubah tanda penyebutnya dan menuliskan jawabannya di formulir , tapi ini tidak perlu.

Untuk memeriksanya, Anda perlu mengganti koordinat titik ke dalam persamaan garis lurus yang dihasilkan, lalu gunakan produk skalar vektor pastikan vektor tersebut benar-benar ortogonal terhadap vektor arah “pe satu” dan “pe dua”.

Bagaimana cara mencari persamaan garis yang mempunyai garis tegak lurus persekutuan?

c) Masalah ini akan lebih sulit. Saya menyarankan agar para bodoh melewatkan poin ini, saya tidak ingin mendinginkan simpati tulus Anda terhadap geometri analitik =) Ngomong-ngomong, mungkin lebih baik bagi pembaca yang lebih siap untuk menundanya juga, faktanya adalah dalam hal kompleksitas contoh harus ditempatkan terakhir dalam artikel, tetapi menurut logika penyajiannya harus ditempatkan di sini.

Jadi, Anda perlu mencari persamaan garis yang memuat garis tegak lurus garis miring.

– ini adalah ruas yang menghubungkan garis-garis ini dan tegak lurus terhadap garis-garis ini:

Inilah pria tampan kita: - garis tegak lurus yang berpotongan. Dia satu-satunya. Tidak ada yang seperti itu. Kita perlu membuat persamaan untuk garis yang memuat segmen ini.

Apa yang diketahui tentang “um” langsung? Vektor arahnya diketahui, terdapat pada paragraf sebelumnya. Namun sayangnya, kita tidak mengetahui satu titik pun yang termasuk dalam garis lurus “em”, dan kita juga tidak mengetahui ujung-ujung garis tegak lurus – titik-titik tersebut. Di manakah garis tegak lurus tersebut memotong kedua garis asal? Di Afrika, di Antartika? Dari tinjauan awal dan analisa kondisi, sama sekali belum jelas bagaimana cara mengatasi masalah tersebut... Namun ada trik rumit terkait penggunaan persamaan parametrik garis lurus.

Kami akan merumuskan keputusannya poin demi poin:

1) Mari kita tulis ulang persamaan baris pertama dalam bentuk parametrik:

Mari kita pertimbangkan intinya. Kami tidak tahu koordinatnya. TETAPI. Jika suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, maka koordinatnya bersesuaian dengan , mari kita nyatakan dengan . Maka koordinat titik tersebut akan dituliskan dalam bentuk:

Hidup menjadi lebih baik, satu hal yang tidak diketahui tetap bukan tiga hal yang tidak diketahui.

2) Kemarahan yang sama harus dilakukan pada poin kedua. Mari kita tulis ulang persamaan baris kedua dalam bentuk parametrik:

Jika suatu titik termasuk dalam suatu garis tertentu, maka dengan arti yang sangat spesifik koordinatnya harus memenuhi persamaan parametrik:

Atau:

3) Vektor, seperti vektor yang ditemukan sebelumnya, akan menjadi vektor pengarah garis lurus. Cara membuat vektor dari dua titik telah dibahas sejak dahulu kala di kelas Vektor untuk boneka. Sekarang bedanya koordinat vektor ditulis dengan nilai parameter yang tidak diketahui. Terus? Tidak ada yang melarang pengurangan koordinat awal vektor dari koordinat akhir vektor.

Ada dua poin: .

Menemukan vektor:

4) Karena vektor-vektor arahnya kolinear, satu vektor dinyatakan secara linier melalui vektor lainnya dengan koefisien proporsionalitas tertentu “lambda”:

Atau koordinat demi koordinat:

Ternyata itu yang paling biasa sistem persamaan linear dengan tiga hal yang tidak diketahui, yang dapat dipecahkan secara standar, misalnya, metode Cramer. Tapi di sini kita bisa keluar dengan sedikit kerugian; dari persamaan ketiga kita akan menyatakan “lambda” dan menggantinya ke persamaan pertama dan kedua:

Dengan demikian: , dan kita tidak membutuhkan "lambda". Fakta bahwa nilai parameternya ternyata sama adalah murni kebetulan.

5) Langit sudah benar-benar cerah, mari kita gantikan nilai yang ditemukan untuk poin kami:

Vektor arah tidak terlalu diperlukan, karena padanannya telah ditemukan.

Selalu menarik untuk dicek setelah perjalanan jauh.

:

Persamaan yang benar diperoleh.

Mari kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan :

Persamaan yang benar diperoleh.

6) Akord terakhir: mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik (bisa diambil) dan vektor arah:

Pada prinsipnya, Anda dapat memilih titik yang "baik" dengan koordinat yang utuh, tetapi ini hanya tampilan kosmetik.

Bagaimana cara mencari jarak antar garis yang berpotongan?

d) Kami memotong kepala naga yang keempat.

Metode satu. Bahkan bukan sebuah metode, tapi kasus khusus kecil. Jarak antara garis-garis yang berpotongan sama dengan panjang garis tegak lurus persekutuannya: .

Poin ekstrim tegak lurus umum ditemukan di paragraf sebelumnya, dan tugasnya sederhana:

Metode dua. Dalam praktiknya, seringkali ujung-ujung garis tegak lurus yang sama tidak diketahui, sehingga pendekatan yang berbeda digunakan. Bidang-bidang sejajar dapat ditarik melalui dua garis lurus yang berpotongan, dan jarak antara bidang-bidang tersebut sama dengan jarak antara garis lurus tersebut. Secara khusus, garis tegak lurus yang umum menonjol di antara bidang-bidang ini.

Dalam pembelajaran geometri analitik, dari pertimbangan di atas diturunkan rumus untuk mencari jarak antara garis lurus yang berpotongan:
(alih-alih poin kami "um satu, dua" Anda dapat mengambil titik garis yang sewenang-wenang).

Produk campuran vektor sudah ditemukan pada poin “a”: .

Produk vektor dari vektor ditemukan pada paragraf "menjadi": , mari kita hitung panjangnya:

Dengan demikian:

Mari kita dengan bangga menampilkan piala-piala tersebut dalam satu baris:

Menjawab:
A) , artinya garis lurus berpotongan, hal itu perlu dibuktikan;
B) ;
V) ;
G)

Apa lagi yang bisa Anda ketahui tentang melintasi garis? Ada sudut tertentu di antara mereka. Namun rumus sudut universal akan kita bahas pada paragraf berikutnya:

Ruang lurus yang berpotongan harus terletak pada bidang yang sama:

Pikiran pertama adalah mendorong sekuat tenaga ke titik persimpangan. Dan saya langsung berpikir, mengapa menyangkal keinginan yang benar?! Ayo kita atasi dia sekarang juga!

Bagaimana cara mencari titik potong garis spasial?

Contoh 14

Temukan titik potong garis

Larutan: Mari kita tulis ulang persamaan garis dalam bentuk parametrik:

Tugas ini telah dibahas secara rinci dalam Contoh No. 7 pelajaran ini (lihat. Persamaan garis dalam ruang). Dan ngomong-ngomong, garis lurusnya sendiri saya ambil dari Contoh No. 12. Saya tidak bohong, saya terlalu malas untuk membuat yang baru.

Penyelesaiannya standar dan telah ditemukan ketika kita mencoba mencari persamaan garis tegak lurus persekutuan garis-garis yang berpotongan.

Titik perpotongan garis termasuk dalam garis, oleh karena itu koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis tersebut, dan bersesuaian dengannya nilai parameter yang sangat spesifik:

Tetapi poin yang sama ini juga termasuk dalam baris kedua, oleh karena itu:

Kami menyamakan persamaan yang sesuai dan melakukan penyederhanaan:

Sebuah sistem tiga persamaan linear dengan dua hal yang tidak diketahui diperoleh. Jika garis-garis tersebut berpotongan (dibuktikan pada Contoh No. 12), maka sistem tersebut tentu konsisten dan mempunyai solusi unik. Itu bisa diselesaikan metode Gaussian, tapi kami tidak akan berdosa dengan fetisisme taman kanak-kanak seperti itu, kami akan melakukannya dengan lebih sederhana: dari persamaan pertama kami menyatakan "te nol" dan menggantinya ke persamaan kedua dan ketiga:

Dua persamaan terakhir ternyata pada dasarnya sama, dan dari keduanya dapat disimpulkan bahwa . Kemudian:

Mari kita substitusikan nilai parameter yang ditemukan ke dalam persamaan:

Menjawab:

Untuk memeriksanya, kami mengganti nilai parameter yang ditemukan ke dalam persamaan:
Koordinat yang sama diperoleh sehingga perlu diperiksa. Pembaca yang teliti dapat mengganti koordinat titik tersebut dengan aslinya persamaan kanonik lurus

Ngomong-ngomong, kita bisa melakukan yang sebaliknya: temukan titik melalui “es zero”, dan periksa melalui “te zero”.

Takhayul matematika yang terkenal mengatakan: di mana perpotongan garis dibahas, selalu ada bau garis tegak lurus.

Bagaimana cara membuat garis dalam ruang yang tegak lurus terhadap garis tertentu?

(garis berpotongan)

Contoh 15

a) Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik yang tegak lurus garis tersebut (garis berpotongan).

b) Tentukan jarak titik ke garis.

Catatan : klausa “garis berpotongan” – penting. Melalui intinya
Anda dapat menggambar garis tegak lurus dalam jumlah tak terhingga yang akan berpotongan dengan garis lurus “el”. Satu-satunya keputusan terjadi dalam kasus ketika, melalui titik ini sebuah garis lurus ditarik tegak lurus dua diberikan oleh garis lurus (lihat Contoh No. 13, titik “b”).

A) Larutan: Kami menyatakan garis yang tidak diketahui dengan . Mari kita membuat gambar skema:

Apa yang diketahui tentang garis lurus? Sesuai dengan ketentuan, diberikan poin. Untuk menyusun persamaan garis lurus, perlu dicari vektor arah. Vektor ini cukup cocok sebagai vektor, jadi kita akan menanganinya. Lebih tepatnya, mari kita ambil ujung vektor yang tidak diketahui di bagian tengkuknya.

1) Mari kita ambil vektor arahnya dari persamaan garis lurus “el”, dan tulis ulang persamaan itu sendiri dalam bentuk parametrik:

Banyak yang menduga kini untuk ketiga kalinya selama pelajaran pesulap akan mengeluarkan angsa putih dari topinya. Pertimbangkan sebuah titik dengan koordinat yang tidak diketahui. Karena titiknya adalah , koordinatnya memenuhi persamaan parametrik garis lurus “el” dan sesuai dengan nilai parameter tertentu:

Atau dalam satu baris:

2) Sesuai syarat, garis harus tegak lurus sehingga vektor arahnya ortogonal. Dan jika vektor-vektornya ortogonal, maka vektor-vektor tersebut produk skalar sama dengan nol:

Apa yang telah terjadi? Yang paling sederhana persamaan linier dengan satu yang tidak diketahui:

3) Nilai parameternya diketahui, mari kita cari intinya:

Dan vektor arahnya:
.

4) Mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Penyebut proporsinya ternyata pecahan, dan inilah kasus yang tepat untuk menghilangkan pecahan. Saya hanya akan mengalikannya dengan -2:

Menjawab:

Catatan : penyelesaian yang lebih teliti diformalkan sebagai berikut: mari kita buat persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah. Memang, jika suatu vektor adalah vektor pemandu suatu garis lurus, maka vektor kolinear tentu saja juga akan menjadi vektor pemandu garis lurus tersebut.

Verifikasi terdiri dari dua tahap:

1) periksa ortogonalitas vektor arah garis;

2) kita substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan setiap garis, mereka harus “cocok” di sana dan di sana.

Ada banyak pembicaraan tentang tindakan tipikal, jadi saya memeriksa drafnya.

Ngomong-ngomong, saya lupa satu hal lagi - untuk membuat titik "zyu" yang simetris dengan titik "en" relatif terhadap garis lurus "el". Namun, ada “analog datar” yang bagus, yang dapat ditemukan di artikel Soal paling sederhana dengan garis lurus pada bidang. Di sini satu-satunya perbedaan adalah pada koordinat “Z” tambahan.

Bagaimana cara mencari jarak suatu titik ke garis dalam ruang?

B) Larutan: Mari kita cari jarak dari suatu titik ke garis.

Metode satu. Jarak ini persis sama dengan panjang tegak lurus: . Solusinya jelas: jika poin-poinnya diketahui , Itu:

Metode dua. Dalam soal-soal praktis, alas tegak lurus sering kali merupakan rahasia yang tertutup rapat, sehingga lebih rasional menggunakan rumus yang sudah jadi.

Jarak titik ke garis dinyatakan dengan rumus:
, dimana adalah vektor pengarah garis lurus “el”, dan – bebas suatu titik yang termasuk dalam suatu garis tertentu.

1) Dari persamaan garis kita ambil vektor arah dan titik yang paling mudah dijangkau.

2) Intinya diketahui dari kondisi, pertajam vektornya:

3) Ayo temukan produk vektor dan hitung panjangnya:

4) Hitung panjang vektor pemandu:

5) Jadi, jarak suatu titik ke garis:

Pengaturan bersama dua garis dalam ruang.

Letak relatif dua garis dalam ruang dicirikan oleh tiga kemungkinan berikut.

Garis terletak pada bidang yang sama dan tidak mempunyai titik persekutuan - garis sejajar.

Garis-garis tersebut terletak pada bidang yang sama dan mempunyai satu titik yang sama - garis-garis tersebut berpotongan.

Di ruang angkasa, dua garis lurus juga dapat ditempatkan sedemikian rupa sehingga tidak terletak pada bidang apa pun. Garis seperti itu disebut miring (tidak berpotongan atau sejajar).

CONTOH:

SOAL 434 Segitiga ABC terletak pada sebuah bidang, a

Segitiga ABC terletak pada bidang tersebut, tetapi titik D tidak terletak pada bidang tersebut. Poin M, N dan K masing-masing titik tengah segmen DA, DB dan DC

Dalil. Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Pada Gambar. 26 garis lurus a terletak pada bidang, dan garis lurus c berpotongan di titik N. Garis a dan c berpotongan.

Dalil. Melalui masing-masing dua garis yang berpotongan hanya ada satu bidang yang sejajar dengan garis lainnya.

Pada Gambar. 26 garis a dan b berpotongan. Digambar garis lurus dan digambar bidang (alfa) || b (pada bidang B (beta) ditunjukkan garis lurus a1 || b).

Teorema 3.2.

Dua garis yang sejajar dengan garis ketiga adalah sejajar.

Properti ini disebut transitivitas paralelisme garis.

Bukti

Misalkan garis a dan b sejajar secara bersamaan dengan garis c. Misalkan a tidak sejajar dengan b, maka garis a memotong garis b di suatu titik A, yang tidak terletak pada garis c dengan syarat. Akibatnya, kita mempunyai dua garis a dan b, melalui titik A, tidak terletak pada garis c tertentu, dan sekaligus sejajar dengannya. Hal ini bertentangan dengan aksioma 3.1. Teorema tersebut telah terbukti.

Teorema 3.3.

Melalui suatu titik yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, hanya satu dan hanya satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis tersebut.

Bukti

Misalkan (AB) adalah suatu garis, dan C adalah suatu titik yang tidak terletak pada garis tersebut. Garis AC membagi bidang menjadi dua setengah bidang. Poin B terletak pada salah satunya. Sesuai dengan aksioma 3.2, sudut (ACD) dapat dikurangkan dari sinar C A sama dengan sudut(CAB), ke setengah bidang lainnya. ACD dan CAB sejajar dalam melintang dengan garis AB dan CD serta garis potong (AC) Maka berdasarkan Teorema 3.1 (AB) || (CD). Memperhatikan aksioma 3.1. Teorema tersebut telah terbukti.

Sifat-sifat garis sejajar diberikan oleh teorema berikut, kebalikan dari Teorema 3.1.

Teorema 3.4.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut dalam yang berpotongan adalah sama besar.

Bukti

Misalkan (AB) || (CD). Misalkan ACD ≠ BAC. Melalui titik A kita tarik garis lurus AE sehingga EAC = ACD. Namun kemudian, berdasarkan Teorema 3.1 (AE ) || (CD ), dan dengan syarat – (AB ) || (CD). Sesuai dengan Teorema 3.2 (AE ) || (AB). Hal ini bertentangan dengan Teorema 3.3, yang menyatakan bahwa melalui titik A yang tidak terletak pada garis CD, dapat ditarik suatu garis unik yang sejajar dengannya. Teorema tersebut telah terbukti.

Gambar 3.3.1.

Berdasarkan teorema ini, sifat-sifat berikut dapat dibenarkan dengan mudah.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka jumlah sudut dalam satu sisi adalah 180°.

Akibat wajar 3.2.

Jika suatu garis tegak lurus terhadap salah satu garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap garis lainnya.

Konsep paralelisme memungkinkan kita untuk memperkenalkan konsep baru berikut, yang akan diperlukan nanti di Bab 11.

Kedua sinar tersebut disebut sama-sama diarahkan, jika ada garis yang, pertama, tegak lurus terhadap garis tersebut, dan kedua, sinar-sinarnya terletak pada setengah bidang yang sama terhadap garis tersebut.

Kedua sinar tersebut disebut diarahkan secara berlawanan, jika masing-masingnya berarah sama dengan sinar yang saling melengkapi satu sama lain.

Kami akan menunjukkan sinar AB dan CD yang arahnya sama: dan sinar AB dan CD yang arahnya berlawanan -

Gambar 3.3.2.

Tanda persilangan garis.

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Kasus saling susunan garis dalam ruang.

1. Ada empat kasus susunan dua garis dalam ruang yang berbeda:

   
   

   – yang bersilangan lurus, mis. jangan berbaring di bidang yang sama;

   – garis lurus berpotongan, mis. terletak pada bidang yang sama dan memiliki satu titik yang sama;

   – garis sejajar, mis. berbaring pada bidang yang sama dan tidak berpotongan;

   - garisnya bertepatan.

   
   

   Mari kita peroleh karakteristik dari kasus-kasus posisi relatif garis yang diberikan oleh persamaan kanonik

   
   
   Di mana — titik milik garis Dan oleh karena itu, a— vektor arah (Gbr. 4.34). Mari kita nyatakan denganvektor yang menghubungkan titik-titik tertentu.
   
   

   Karakteristik berikut sesuai dengan kasus posisi relatif garis yang tercantum di atas:

   
   

   – vektor lurus dan bersilangan tidak sebidang;

   
   

   – garis lurus dan vektor-vektor yang berpotongan adalah sebidang, tetapi vektor-vektor tersebut tidak segaris;

   
   

   – vektor-vektor lurus dan sejajar adalah segaris, tetapi vektor-vektor tersebut tidak segaris;

   
   

   – garis lurus dan vektor-vektor yang berhimpitan adalah segaris.

   
   

   Kondisi ini dapat ditulis dengan menggunakan sifat campuran dan produk vektor. Ingatlah bahwa hasil kali campuran vektor-vektor dalam sistem koordinat persegi panjang ditemukan dengan rumus:

   
   
   dan determinan perpotongannya adalah nol, dan baris kedua dan ketiganya tidak proporsional, yaitu.
   

   – garis lurus dan sejajar determinan kedua dan ketiga adalah proporsional, yaitu dan dua garis pertama tidak proporsional, mis.

   
   

   – garis lurus dan semua garis determinannya berhimpitan dan sebanding, yaitu

Bukti uji garis miring.

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang bukan pada garis pertama, maka kedua garis tersebut berpotongan.

Bukti

Misalkan a milik α, b berpotongan α = A, A bukan milik a (Gambar 2.1.2). Misalkan garis a dan b tidak bersilangan, yaitu berpotongan. Lalu terdapat sebuah bidang β dimana garis a dan b berada. Pada bidang β ini terletak sebuah garis a dan sebuah titik A. Karena garis a dan titik A di luarnya mendefinisikan sebuah bidang tunggal, maka β = α. Tetapi b menggerakkan β dan b bukan milik α, oleh karena itu persamaan β = α tidak mungkin.

Jika dua garis dalam ruang mempunyai titik persekutuan, maka kedua garis tersebut dikatakan berpotongan. Pada gambar berikut, garis a dan b berpotongan di titik A. Garis a dan c tidak berpotongan.

Dua garis lurus mana pun hanya mempunyai satu titik persekutuan atau tidak mempunyai titik persekutuan.

Garis sejajar

Dua garis dalam ruang disebut sejajar jika terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan. Untuk menunjukkan garis sejajar, gunakan ikon khusus - ||.

Notasi a||b berarti garis a sejajar dengan garis b. Pada gambar di atas, garis a dan c sejajar.

Teorema Garis Sejajar

Melalui titik mana pun dalam ruang yang tidak terletak pada suatu garis tertentu, terdapat sebuah garis yang sejajar dengan garis tertentu dan, terlebih lagi, hanya satu garis.

Garis bersilang

Dua garis yang terletak pada bidang yang sama dapat berpotongan atau sejajar. Namun di luar angkasa, dua garis lurus belum tentu termasuk dalam bidang ini. Mereka dapat ditempatkan di dua bidang berbeda.

Jelaslah bahwa garis-garis yang terletak pada bidang yang berbeda tidak berpotongan dan bukan merupakan garis sejajar. Dua garis yang tidak terletak pada bidang yang sama disebut melintasi garis lurus.

Gambar berikut menunjukkan dua garis lurus a dan b yang berpotongan dan terletak pada bidang berbeda.

Uji dan teorema garis miring

Jika salah satu dari dua garis terletak pada suatu bidang tertentu, dan garis lainnya memotong bidang tersebut di suatu titik yang tidak terletak pada garis pertama, maka garis-garis tersebut berpotongan.

Teorema garis miring: melalui masing-masing dua garis yang berpotongan terdapat sebuah bidang yang sejajar dengan garis lainnya, dan terlebih lagi hanya satu bidang.

Jadi kami sudah membahas semuanya kasus yang mungkin terjadi posisi relatif garis dalam ruang. Hanya ada tiga dari mereka.

1. Garis berpotongan. (Artinya, mereka hanya mempunyai satu kesamaan.)

2. Garis sejajar. (Artinya, mereka tidak memiliki titik yang sama dan terletak pada bidang yang sama.)

3. Garis lurus bersilangan. (Artinya, mereka berada di bidang yang berbeda.)