Masalah penentuan probabilitas klasik. Jenis kejadian, perhitungan langsung peluang terjadinya suatu kejadian. Probabilitas suatu kejadian dalam persentase

“Kecelakaan bukanlah suatu kebetulan”... Kedengarannya seperti perkataan seorang filsuf, namun kenyataannya, mempelajari keacakan adalah takdir dari ilmu matematika yang hebat. Dalam matematika, peluang ditangani dengan teori probabilitas. Rumus dan contoh tugas, serta definisi utama ilmu ini akan disajikan dalam artikel.

Apa itu teori probabilitas?

Teori probabilitas merupakan salah satu disiplin matematika yang mempelajari kejadian acak.

Agar lebih jelas, mari kita beri contoh kecil: jika Anda melempar koin ke atas, koin tersebut dapat mendarat di kepala atau ekor. Saat koin berada di udara, kedua kemungkinan ini mungkin terjadi. Artinya, kemungkinannya konsekuensi yang mungkin terjadi rasionya adalah 1:1. Jika seseorang diambil dari setumpuk 36 kartu, maka probabilitasnya akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tidak ada yang perlu dieksplorasi dan diprediksi di sini, apalagi dengan bantuan rumus matematika. Namun, jika Anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, Anda dapat mengidentifikasi pola tertentu dan, berdasarkan pola tersebut, memprediksi hasil peristiwa dalam kondisi lain.

Untuk meringkas semua hal di atas, teori probabilitas masuk pemahaman klasik mempelajari kemungkinan salah satu peristiwa yang mungkin terjadi dalam nilai numerik.

Dari halaman sejarah

Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas pertama kali muncul pada Abad Pertengahan, ketika upaya untuk memprediksi hasil permainan kartu pertama kali muncul.

Awalnya, teori probabilitas tidak ada hubungannya dengan matematika. Hal ini dibenarkan oleh fakta empiris atau sifat suatu peristiwa yang dapat direproduksi dalam praktik. Karya pertama di bidang ini sebagai disiplin matematika muncul pada abad ke-17. Pendirinya adalah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Lama mereka belajar berjudi dan melihat pola-pola tertentu, yang mereka putuskan untuk diberitahukan kepada publik.

Teknik yang sama ditemukan oleh Christiaan Huygens, meskipun ia tidak mengetahui hasil penelitian Pascal dan Fermat. Konsep "teori probabilitas", rumus dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin ilmu ini, diperkenalkan olehnya.

Karya-karya Jacob Bernoulli, teorema Laplace dan Poisson juga tidak kalah pentingnya. Mereka menjadikan teori probabilitas lebih seperti disiplin matematika. Teori probabilitas, rumus dan contoh tugas dasar mendapat bentuknya saat ini berkat aksioma Kolmogorov. Akibat semua perubahan tersebut, teori probabilitas menjadi salah satu cabang matematika.

Konsep dasar teori probabilitas. Acara

Konsep utama dari disiplin ini adalah “peristiwa”. Ada tiga jenis acara:

• Dapat diandalkan. Hal-hal itu akan tetap terjadi (koin akan jatuh).
• Mustahil. Peristiwa yang tidak akan terjadi dalam keadaan apapun (koin akan tetap menggantung di udara).
• Acak. Yang akan terjadi atau tidak akan terjadi. Hal tersebut dapat dipengaruhi oleh berbagai faktor yang sangat sulit diprediksi. Jika kita berbicara tentang sebuah koin, maka ada faktor acak yang dapat mempengaruhi hasilnya: ciri fisik koin, bentuknya, posisi aslinya, kekuatan lemparannya, dll.

Semua peristiwa pada contoh ditunjukkan dengan huruf latin kapital, kecuali P yang mempunyai peran berbeda. Misalnya:

• A = “siswa datang untuk kuliah.”
• Ā = “siswa tidak datang ke perkuliahan.”

Dalam tugas praktek, peristiwa biasanya dituliskan dengan kata-kata.

Salah satu karakteristik peristiwa yang paling penting adalah kemungkinan yang sama. Artinya, jika Anda melempar koin, semua varian awal jatuhnya mungkin terjadi hingga koin tersebut jatuh. Namun kejadian-kejadian juga tidak mungkin terjadi. Hal ini terjadi ketika seseorang dengan sengaja mempengaruhi suatu hasil. Misalnya, kartu remi atau dadu yang “ditandai” yang pusat gravitasinya digeser.

Acara juga bisa kompatibel dan tidak kompatibel. Peristiwa yang kompatibel tidak mengecualikan terjadinya satu sama lain. Misalnya:

• A = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”
• B = “mahasiswa datang ke perkuliahan.”

Peristiwa-peristiwa ini tidak bergantung satu sama lain, dan terjadinya salah satu peristiwa tersebut tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa lainnya. Peristiwa-peristiwa yang tidak kompatibel ditentukan oleh fakta bahwa terjadinya suatu peristiwa tidak termasuk terjadinya peristiwa lainnya. Jika kita berbicara tentang koin yang sama, maka hilangnya “ekor” membuat tidak mungkin munculnya “kepala” dalam percobaan yang sama.

Tindakan pada acara

Peristiwa dapat dikalikan dan ditambahkan; oleh karena itu, kata penghubung logis “DAN” dan “ATAU” diperkenalkan dalam disiplin ilmu.

Besarnya ditentukan oleh fakta bahwa peristiwa A atau B, atau dua peristiwa, dapat terjadi secara bersamaan. Jika keduanya tidak kompatibel, opsi terakhir tidak mungkin dilakukan;

Perkalian kejadian terdiri dari kemunculan A dan B secara bersamaan.

Sekarang kita dapat memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingat dasar-dasar, teori probabilitas, dan rumus. Contoh penyelesaian masalah dibawah ini.

Latihan 1: Perusahaan mengikuti kompetisi untuk mendapatkan kontrak untuk tiga jenis pekerjaan. Kemungkinan kejadian yang mungkin terjadi:

• A = “perusahaan akan menerima kontrak pertama.”
• Dan 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak pertama.”
• B = “perusahaan akan menerima kontrak kedua.”
• B 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak kedua”
• C = “perusahaan akan menerima kontrak ketiga.”
• C 1 = “perusahaan tidak akan menerima kontrak ketiga.”

Dengan menggunakan tindakan pada peristiwa, kami akan mencoba mengungkapkan situasi berikut:

• K = “perusahaan akan menerima semua kontrak.”

Dalam bentuk matematika, persamaannya akan berbentuk sebagai berikut: K = ABC.

• M = “perusahaan tidak akan menerima satu kontrak pun.”

M = SEBUAH 1 B 1 C 1.

Mari kita rumitkan tugasnya: H = “perusahaan akan menerima satu kontrak.” Karena tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima perusahaan (pertama, kedua atau ketiga), maka perlu dicatat seluruh rangkaian kejadian yang mungkin terjadi:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah rangkaian peristiwa dimana perusahaan tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, melainkan menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin terjadi dicatat dengan menggunakan metode yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan kata penghubung “ATAU”. Jika kita menerjemahkan contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka perusahaan akan menerima kontrak ketiga, atau kedua, atau pertama. Dengan cara yang sama, Anda dapat menuliskan kondisi lain dalam disiplin “Teori Probabilitas”. Rumus dan contoh pemecahan masalah yang disajikan di atas akan membantu Anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kemungkinannya

Barangkali, dalam disiplin matematika ini, peluang suatu kejadian adalah konsep sentral. Ada 3 definisi probabilitas:

• klasik;
• statistik;
• geometris.

Masing-masing mempunyai tempatnya sendiri dalam studi probabilitas. Teori probabilitas, rumus dan contoh (kelas 9) sebagian besar menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

• Probabilitas situasi A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung terjadinya situasi tersebut dengan jumlah semua hasil yang mungkin.

Rumusnya terlihat seperti ini: P(A)=m/n.

A sebenarnya adalah sebuah peristiwa. Jika muncul kasus yang berlawanan dengan A, dapat ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m adalah jumlah kemungkinan kasus yang menguntungkan.

n - semua kejadian yang bisa terjadi.

Misalnya, A = “gambar kartu bergambar hati”. Ada 36 kartu dalam satu dek standar, 9 di antaranya berbentuk hati. Dengan demikian, rumus penyelesaian masalah tersebut akan terlihat seperti:

P(A)=9/36=0,25.

Akibatnya, peluang terambilnya kartu bergambar hati dari dek adalah 0,25.

Menuju matematika yang lebih tinggi

Sekarang sudah sedikit diketahui apa itu teori probabilitas, rumus dan contoh penyelesaian masalah yang ditemui kurikulum sekolah. Namun, teori probabilitas juga ditemukan dalam matematika tingkat tinggi, yang diajarkan di universitas. Paling sering mereka beroperasi dengan geometris dan definisi statistik teori dan formula yang kompleks.

Teori probabilitas sangat menarik. Lebih baik mulai mempelajari rumus dan contoh (matematika tingkat tinggi) dari yang kecil - dengan definisi probabilitas statistik (atau frekuensi).

Pendekatan statistik tidak bertentangan dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit memperluasnya. Jika dalam kasus pertama perlu untuk menentukan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi, maka dalam metode ini perlu untuk menunjukkan seberapa sering peristiwa itu akan terjadi. Di sini konsep baru “frekuensi relatif” diperkenalkan, yang dapat dilambangkan dengan W n (A). Rumusnya tidak berbeda dengan rumus klasik:

Jika rumus klasik dihitung untuk prediksi, maka rumus statistik dihitung berdasarkan hasil percobaan. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.

Departemen kontrol teknologi memeriksa kualitas produk. Di antara 100 produk, 3 produk ditemukan berkualitas buruk. Bagaimana cara mencari probabilitas frekuensi suatu produk yang berkualitas?

A = “penampilan produk yang berkualitas”.

W n (A)=97/100=0,97

Jadi, frekuensi suatu produk yang berkualitas adalah 0,97. Dari mana Anda mendapatkan 97? Dari 100 produk yang diperiksa, 3 produk ditemukan kualitasnya buruk. Kita kurangi 3 dari 100 dan dapatkan 97, ini adalah jumlah barang berkualitas.

Sedikit tentang kombinatorik

Metode teori probabilitas lainnya disebut kombinatorik. Prinsip dasarnya adalah jika suatu pilihan tertentu A dapat dibuat m cara yang berbeda, dan pemilihan B dalam n cara berbeda, maka pemilihan A dan B dapat dilakukan dengan cara perkalian.

Misalnya ada 5 jalan yang menghubungkan kota A ke kota B. Ada 4 jalur dari kota B ke kota C. Ada berapa cara perjalanan dari kota A ke kota C?

Sederhana saja: 5x4=20, yaitu dengan dua puluh cara berbeda Anda dapat berpindah dari titik A ke titik C.

Mari kita mempersulit tugas ini. Berapa banyak cara menyusun kartu dalam solitaire? Ada 36 kartu di dek - ini adalah titik awalnya. Untuk mengetahui banyaknya cara, Anda perlu “mengurangi” satu kartu sekaligus dari titik awal dan mengalikannya.

Artinya, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak sesuai dengan layar kalkulator, jadi cukup diberi tanda 36!. Tanda "!" di sebelah angka menunjukkan bahwa seluruh rangkaian angka dikalikan.

Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti permutasi, penempatan dan kombinasi. Masing-masing mempunyai formula tersendiri.

Himpunan yang tersusun dari unsur-unsur suatu himpunan disebut susunan. Penempatannya dapat diulang, yaitu satu elemen dapat digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, ketika elemen tidak terulang. n adalah semua elemen, m adalah elemen yang ikut serta dalam penempatan. Rumus penempatan tanpa pengulangan akan terlihat seperti:

A n m =n!/(nm)!

Koneksi n elemen yang hanya berbeda urutan penempatannya disebut permutasi. Dalam matematika bentuknya seperti: P n = n!

Gabungan n unsur m adalah senyawa yang penting unsur-unsurnya dan berapa jumlah seluruhnya. Rumusnya akan terlihat seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

rumus Bernoulli

Dalam teori probabilitas, serta dalam setiap disiplin ilmu, terdapat karya peneliti terkemuka di bidangnya yang membawanya tingkat baru. Salah satu karyanya adalah rumus Bernoulli, yang memungkinkan Anda menentukan probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi dalam kondisi independen. Hal ini menunjukkan bahwa terjadinya A dalam suatu percobaan tidak bergantung pada ada tidaknya kejadian yang sama pada percobaan sebelumnya atau berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Peluang (p) terjadinya kejadian (A) adalah konstan untuk setiap percobaan. Probabilitas bahwa situasi tersebut akan terjadi tepat m kali dalam n jumlah percobaan akan dihitung dengan rumus yang disajikan di atas. Oleh karena itu, timbul pertanyaan bagaimana cara mengetahui bilangan q.

Oleh karena itu, jika peristiwa A terjadi sebanyak p beberapa kali, maka peristiwa tersebut mungkin tidak terjadi. Satuan adalah angka yang digunakan untuk menunjukkan semua hasil dari suatu situasi dalam suatu disiplin ilmu. Oleh karena itu, q adalah bilangan yang menunjukkan kemungkinan tidak terjadinya suatu peristiwa.

Sekarang Anda tahu rumus Bernoulli (teori probabilitas). Contoh pemecahan masalah (tingkat pertama) akan kita bahas di bawah ini.

Tugas 2: Seorang pengunjung toko akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2. 6 pengunjung secara mandiri memasuki toko. Seberapa besar kemungkinan pengunjung akan melakukan pembelian?

Solusi: Karena tidak diketahui berapa banyak pengunjung yang harus melakukan pembelian, satu atau keenamnya, maka perlu menghitung semua kemungkinan yang mungkin menggunakan rumus Bernoulli.

A = “pengunjung akan melakukan pembelian.”

Dalam hal ini: p = 0,2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugas). Oleh karena itu, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (karena ada 6 pelanggan di toko tersebut). Angka m akan bervariasi dari 0 (tidak ada satu pun pelanggan yang melakukan pembelian) hingga 6 (semua pengunjung toko akan membeli sesuatu). Hasilnya, kami mendapatkan solusinya:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Tidak ada pembeli yang akan melakukan pembelian dengan probabilitas 0,2621.

Bagaimana lagi rumus Bernoulli (teori probabilitas) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tingkat kedua) di bawah ini.

Setelah contoh di atas, timbul pertanyaan tentang kemana perginya C dan r. Sehubungan dengan p, bilangan pangkat 0 akan sama dengan satu. Sedangkan untuk C dapat dicari dengan rumus:

C n m = n! /m!(nm)!

Karena pada contoh pertama m = 0, masing-masing C = 1, yang pada prinsipnya tidak mempengaruhi hasil. Dengan menggunakan rumus baru, mari kita coba mencari tahu berapa probabilitas dua pengunjung membeli suatu barang.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teori probabilitas tidaklah rumit. Rumus Bernoulli, contohnya disajikan di atas, adalah bukti langsungnya.

rumus Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk menghitung situasi acak dengan probabilitas rendah.

Rumus dasar:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam hal ini λ = nxp. Berikut adalah rumus Poisson sederhana (teori probabilitas). Kami akan mempertimbangkan contoh pemecahan masalah di bawah ini.

Tugas 3: Pabrik memproduksi 100.000 suku cadang. Terjadinya bagian yang rusak = 0,0001. Berapa peluang terdapat 5 bagian yang rusak dalam satu batch?

Seperti yang Anda lihat, pernikahan adalah peristiwa yang tidak mungkin terjadi, dan oleh karena itu rumus Poisson (teori probabilitas) digunakan untuk perhitungan. Contoh penyelesaian masalah semacam ini tidak berbeda dengan tugas lain dalam disiplin ilmu; kami mengganti data yang diperlukan ke dalam rumus yang diberikan:

A = “bagian yang dipilih secara acak akan rusak.”

p = 0,0001 (sesuai kondisi tugas).

n = 100000 (jumlah bagian).

m = 5 (bagian yang rusak). Kami mengganti data ke dalam rumus dan mendapatkan:

Rp 100.000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Sama seperti rumus Bernoulli (teori probabilitas), contoh penyelesaian yang ditulis di atas, persamaan Poisson memiliki e yang tidak diketahui, sebenarnya dapat dicari dengan rumus:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Namun, ada tabel khusus yang memuat hampir semua nilai e.

Teorema Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli jumlah percobaan cukup besar, dan peluang terjadinya kejadian A pada semua skema adalah sama, maka peluang terjadinya kejadian A beberapa kali dalam serangkaian pengujian dapat dicari dengan: Rumus Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(Xm).

X m = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingat rumus Laplace (teori probabilitas), contoh soal di bawah ini dapat membantu.

Pertama, cari X m, substitusikan datanya (semuanya tercantum di atas) ke dalam rumus dan dapatkan 0,025. Dengan menggunakan tabel, kita menemukan bilangan ϕ(0,025), yang nilainya 0,3988. Sekarang Anda dapat mengganti semua data ke dalam rumus:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Jadi, peluang bahwa penerbang tersebut akan bekerja tepat 267 kali adalah 0,03.

rumus Bayes

Rumus Bayes (teori probabilitas), contoh penyelesaian masalah yang akan diberikan di bawah ini, adalah persamaan yang menggambarkan probabilitas suatu peristiwa berdasarkan keadaan yang mungkin terkait dengannya. Rumus dasarnya adalah sebagai berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B adalah kejadian pasti.

P(A|B) merupakan peluang bersyarat, yaitu kejadian A dapat terjadi asalkan kejadian B benar.

P (B|A) - probabilitas bersyarat dari kejadian B.

Jadi, bagian terakhir dari kursus singkat “Teori Probabilitas” adalah rumus Bayes, contoh penyelesaian masalah ada di bawah ini.

Tugas 5: Telepon dari tiga perusahaan dibawa ke gudang. Pada saat yang sama, pangsa ponsel yang diproduksi di pabrik pertama adalah 25%, di pabrik kedua - 60%, di pabrik ketiga - 15%. Diketahui juga bahwa rata-rata persentase produk cacat di pabrik pertama adalah 2%, di pabrik kedua - 4%, dan di pabrik ketiga - 1%. Anda perlu mencari kemungkinan bahwa telepon yang dipilih secara acak akan rusak.

A = “telepon yang dipilih secara acak.”

B 1 - telepon yang diproduksi pabrik pertama. Dengan demikian, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk pabrik kedua dan ketiga).

Hasilnya kita mendapatkan:

P(B1) = 25%/100% = 0,25; P(B 2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - jadi kami menemukan probabilitas setiap opsi.

Sekarang Anda perlu mencari probabilitas bersyarat dari kejadian yang diinginkan, yaitu probabilitas produk cacat di perusahaan:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Sekarang mari kita substitusikan data tersebut ke dalam rumus Bayes dan dapatkan:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikel ini menyajikan teori probabilitas, rumus dan contoh pemecahan masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung es dari suatu disiplin ilmu yang luas. Dan setelah semua yang telah ditulis, masuk akal untuk mengajukan pertanyaan apakah teori probabilitas diperlukan dalam kehidupan. Untuk orang biasa Sulit untuk menjawabnya, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangkan jackpot lebih dari satu kali.

Tidak mungkin banyak orang memikirkan apakah mungkin untuk menghitung peristiwa yang kurang lebih acak. Untuk membuatnya lebih sederhana dengan kata-kata sederhana, apakah mungkin untuk mengetahui sisi kubus mana yang akan muncul berikutnya? Pertanyaan inilah yang ditanyakan oleh dua ilmuwan besar yang meletakkan dasar bagi ilmu pengetahuan seperti teori probabilitas, di mana probabilitas suatu peristiwa dipelajari secara ekstensif.

Asal

Jika Anda mencoba mendefinisikan konsep seperti teori probabilitas, Anda akan mendapatkan yang berikut: ini adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari keteguhan kejadian acak. Tentu saja konsep ini tidak terlalu mengungkapkan esensinya secara keseluruhan, sehingga perlu dikaji lebih detail.

Saya ingin memulai dengan pencipta teori ini. Seperti disebutkan di atas, ada dua di antaranya, dan mereka adalah salah satu orang pertama yang mencoba menghitung hasil suatu peristiwa tertentu dengan menggunakan rumus dan perhitungan matematis. Secara umum, awal mula ilmu ini muncul pada Abad Pertengahan. Saat itu, berbagai pemikir dan ilmuwan mencoba menganalisis permainan judi, seperti roulette, craps, dan sebagainya, sehingga dapat menetapkan pola dan persentase keluarnya suatu angka tertentu. Fondasinya diletakkan pada abad ketujuh belas oleh para ilmuwan yang disebutkan di atas.

Pada awalnya, karya-karya mereka belum bisa dianggap sebagai prestasi besar di bidang ini, karena yang mereka lakukan hanyalah fakta empiris, dan eksperimen dilakukan secara visual, tanpa menggunakan rumus. Seiring waktu, dimungkinkan untuk mencapai hasil luar biasa yang muncul sebagai hasil pengamatan pelemparan dadu. Alat inilah yang membantu memperoleh rumus pertama yang dapat dipahami.

Orang-orang yang berpikiran sama

Mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christiaan Huygens dalam proses mempelajari topik yang disebut “teori probabilitas” (probabilitas suatu peristiwa justru tercakup dalam ilmu ini). Orang ini sangat menarik. Ia, seperti para ilmuwan yang dikemukakan di atas, mencoba menurunkan pola kejadian acak dalam bentuk rumus matematika. Patut dicatat bahwa dia tidak melakukan ini bersama dengan Pascal dan Fermat, yaitu semua karyanya tidak bersinggungan dengan pemikiran ini. Huygens menyimpulkan

Fakta menariknya, karyanya muncul jauh sebelum hasil karya para penemunya, atau tepatnya dua puluh tahun sebelumnya. Di antara konsep yang teridentifikasi, yang paling terkenal adalah:

• konsep probabilitas sebagai nilai peluang;
• ekspektasi matematis untuk kasus-kasus diskrit;
• teorema perkalian dan penjumlahan probabilitas.

Juga tidak mungkin untuk tidak mengingat siapa yang juga memberikan kontribusi signifikan terhadap kajian masalah ini. Dengan melakukan pengujiannya sendiri, tanpa bergantung pada siapa pun, ia mampu menyajikan bukti hukum bilangan besar. Pada gilirannya, ilmuwan Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, mampu membuktikan teorema aslinya. Sejak saat itulah teori probabilitas mulai digunakan untuk menganalisis kesalahan dalam observasi. Ilmuwan Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, tidak bisa mengabaikan ilmu ini. Mereka, berdasarkan pekerjaan yang dilakukan oleh para genius hebat, mendapatkan keuntungan barang ini sebagai salah satu cabang matematika. Angka-angka ini sudah berhasil pada akhir abad kesembilan belas, dan berkat kontribusinya, fenomena berikut terbukti:

• hukum jumlah besar;
• teori rantai Markov;
• teorema limit pusat.

Jadi, dengan sejarah lahirnya ilmu pengetahuan dan dengan orang-orang utama yang mempengaruhinya, semuanya kurang lebih jelas. Sekarang waktunya telah tiba untuk mengklarifikasi semua fakta.

Konsep dasar

Sebelum membahas hukum dan teorema, ada baiknya mempelajari konsep dasar teori probabilitas. Acara ini memainkan peran utama di dalamnya. Topik ini cukup banyak, tetapi tanpanya Anda tidak akan bisa mengetahui yang lainnya.

Peristiwa dalam teori probabilitas adalah serangkaian hasil eksperimen. Ada beberapa konsep tentang fenomena ini. Jadi, ilmuwan Lotman, yang bekerja di bidang ini, mengatakan hal yang sama dalam kasus ini yang sedang kita bicarakan tentang apa yang “terjadi, meskipun mungkin tidak terjadi”.

Peristiwa acak (teori probabilitas memberikan perhatian khusus pada peristiwa tersebut) adalah konsep yang secara mutlak menyiratkan setiap fenomena yang mempunyai peluang untuk terjadi. Atau sebaliknya, skenario ini mungkin tidak akan terjadi jika banyak syarat terpenuhi. Perlu juga diketahui bahwa peristiwa acaklah yang menangkap seluruh volume fenomena yang telah terjadi. Teori probabilitas menunjukkan bahwa semua kondisi dapat berulang secara konstan. Tingkah laku mereka itulah yang disebut “pengalaman” atau “ujian”.

Peristiwa yang dapat diandalkan adalah fenomena yang kemungkinannya seratus persen terjadi dalam suatu pengujian tertentu. Oleh karena itu, peristiwa yang mustahil adalah peristiwa yang tidak akan terjadi.

Kombinasi dari sepasang tindakan (dengan syarat kasus A dan kasus B) merupakan fenomena yang terjadi secara bersamaan. Mereka ditunjuk sebagai AB.

Jumlah pasangan kejadian A dan B adalah C, dengan kata lain jika terjadi paling sedikit salah satu kejadian (A atau B), maka diperoleh rumus fenomena yang dijelaskan sebagai berikut: C = A + B.

Peristiwa yang tidak selaras dalam teori probabilitas menyiratkan bahwa dua kasus saling eksklusif. Dalam situasi apa pun hal itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Peristiwa gabungan dalam teori probabilitas adalah antipodenya. Yang dimaksud di sini adalah jika A terjadi, maka tidak mencegah B sama sekali.

Peristiwa yang berlawanan (teori probabilitas mempertimbangkannya dengan sangat rinci) mudah dipahami. Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan membandingkannya. Peristiwa tersebut hampir sama dengan peristiwa yang tidak sesuai dalam teori probabilitas. Namun perbedaannya terletak pada kenyataan bahwa salah satu dari banyak fenomena pasti terjadi.

Kejadian yang sama kemungkinannya adalah kejadian yang pengulangannya sama. Untuk membuatnya lebih jelas, Anda dapat membayangkan melempar koin: kehilangan salah satu sisinya kemungkinan besar akan jatuh pada sisi lainnya.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan peristiwa yang menguntungkan dengan sebuah contoh. Katakanlah ada episode B dan episode A. Yang pertama adalah lemparan dadu dengan munculnya angka ganjil, dan yang kedua adalah munculnya angka lima pada dadu. Lalu ternyata A memihak B.

Acara independen dalam teori probabilitas, hal-hal tersebut diproyeksikan hanya pada dua kasus atau lebih dan menyiratkan independensi tindakan apa pun dari tindakan lainnya. Misalnya, A adalah hilangnya kepala saat melempar koin, dan B adalah terambilnya dongkrak dari geladak. Itu adalah peristiwa independen dalam teori probabilitas. Pada titik ini semuanya menjadi lebih jelas.

Peristiwa yang saling bergantung dalam teori probabilitas juga hanya diperbolehkan untuk sekumpulan peristiwa tersebut. Hal ini menyiratkan ketergantungan satu sama lain, yaitu fenomena B hanya dapat terjadi jika A sudah terjadi atau sebaliknya belum terjadi, bila hal ini merupakan syarat utama bagi B.

Hasil percobaan acak yang terdiri dari satu komponen adalah kejadian-kejadian elementer. Teori probabilitas menjelaskan bahwa fenomena ini hanya terjadi satu kali saja.

Rumus dasar

Jadi, konsep “peristiwa” dan “teori probabilitas” telah dibahas di atas; definisi istilah dasar ilmu ini juga diberikan. Sekarang saatnya berkenalan langsung dengannya formula penting. Ekspresi ini secara matematis mengkonfirmasi semua konsep utama dalam subjek yang kompleks seperti teori probabilitas. Kemungkinan suatu peristiwa juga memainkan peran besar di sini.

Lebih baik memulai dengan yang dasar. Dan sebelum Anda memulainya, ada baiknya mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik pada dasarnya adalah cabang matematika; ia berkaitan dengan studi tentang sejumlah besar bilangan bulat, serta berbagai permutasi dari bilangan itu sendiri dan elemennya, berbagai data, dll., yang mengarah pada munculnya sejumlah kombinasi. Selain teori probabilitas, cabang ini penting untuk statistik, ilmu komputer, dan kriptografi.

Nah, sekarang kita lanjut ke pemaparan rumus-rumus itu sendiri beserta definisinya.

Yang pertama adalah ekspresi jumlah permutasi, tampilannya seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan tersebut diterapkan hanya jika unsur-unsurnya hanya berbeda dalam urutan susunannya.

Sekarang rumus penempatannya akan diperhatikan, tampilannya seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini berlaku tidak hanya pada urutan penempatan suatu unsur, tetapi juga pada komposisinya.

Persamaan ketiga dari kombinatorik, dan juga yang terakhir, disebut rumus banyaknya kombinasi:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :M!

Kombinasi mengacu pada pilihan yang tidak diurutkan; oleh karena itu, aturan ini berlaku untuk pilihan tersebut.

Rumus kombinatorik mudah dipahami; sekarang Anda dapat beralih ke definisi klasik tentang probabilitas. Ungkapan ini terlihat seperti ini:

Dalam rumus ini, m adalah banyaknya kondisi yang mendukung kejadian A, dan n adalah banyaknya semua kemungkinan hasil yang sama dan elementer.

Ada banyak ekspresi; artikel ini tidak akan membahas semuanya, tetapi yang paling penting akan disinggung, seperti, misalnya, probabilitas jumlah kejadian:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorema ini hanya untuk menjumlahkan kejadian yang tidak kompatibel;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini hanya untuk menambahkan yang kompatibel.

Kemungkinan terjadinya peristiwa:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorema ini untuk kejadian bebas;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini untuk tanggungan.

Daftar kejadian akan dilengkapi dengan rumusan kejadian. Teori probabilitas memberitahu kita tentang teorema Bayes, yang terlihat seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., N

Dalam rumus ini, H 1, H 2, ..., H n merupakan kelompok hipotesis yang lengkap.

Contoh

Jika Anda mempelajari bagian matematika mana pun dengan cermat, itu tidak lengkap tanpa latihan dan solusi sampel. Begitu pula dengan teori probabilitas: peristiwa dan contoh di sini merupakan komponen integral yang menegaskan perhitungan ilmiah.

Rumus banyaknya permutasi

Katakanlah ada tiga puluh kartu dalam satu setumpuk kartu, dimulai dengan nilai satu. Pertanyaan selanjutnya. Berapa banyak cara menyusun tumpukan kartu agar kartu bernilai satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugas telah ditetapkan, sekarang mari kita lanjutkan menyelesaikannya. Pertama kita perlu menentukan banyaknya permutasi dari tiga puluh elemen, untuk ini kita ambil rumus yang disajikan di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan aturan ini, kita mengetahui berapa banyak opsi yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeda, tetapi kita perlu mengurangi opsi yang kartu pertama dan kedua bersebelahan. Untuk melakukan ini, mari kita mulai dengan opsi ketika opsi pertama berada di atas opsi kedua. Ternyata kartu pertama dapat menempati dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kartu kedua dari yang kedua hingga ketiga puluh, sehingga totalnya ada dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kartu. Pada gilirannya, sisanya dapat menerima dua puluh delapan tempat, dan dalam urutan apa pun. Artinya, untuk menyusun ulang dua puluh delapan kartu, ada dua puluh delapan pilihan P_28 = 28!

Hasilnya, jika kita perhatikan penyelesaiannya ketika kartu pertama berada di atas kartu kedua, maka akan ada 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Dengan menggunakan metode yang sama, Anda perlu menghitung jumlah opsi yang berlebihan jika kartu pertama berada di bawah kartu kedua. Ternyata juga 29 ⋅ 28! = 29!

Oleh karena itu ada 2 ⋅ 29 opsi tambahan!, sementara cara-cara yang diperlukan mengumpulkan dek 30! - 2 ⋅ 29!. Yang tersisa hanyalah menghitung.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang kamu perlu mengalikan semua angka dari satu menjadi dua puluh sembilan, lalu pada akhirnya mengalikan semuanya dengan 28. Jawabannya adalah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh solusi. Rumus nomor penempatan

Dalam soal ini, Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk meletakkan lima belas volume dalam satu rak, tetapi dengan syarat totalnya ada tiga puluh volume.

Solusi untuk masalah ini sedikit lebih sederhana dibandingkan solusi sebelumnya. Dengan menggunakan rumus yang sudah diketahui, perlu untuk menghitung jumlah total susunan tiga puluh volume lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Oleh karena itu, jawabannya adalah 202.843.204.931.727.360.000.

Sekarang mari kita ambil tugas yang sedikit lebih sulit. Anda perlu mencari tahu berapa banyak cara untuk menyusun tiga puluh buku dalam dua rak buku, mengingat satu rak hanya dapat menampung lima belas jilid.

Sebelum memulai penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahwa beberapa masalah dapat diselesaikan dengan beberapa cara, dan yang satu ini memiliki dua metode, tetapi keduanya menggunakan rumus yang sama.

Pada soal kali ini kamu bisa mengambil jawaban dari soal sebelumnya, karena disana kami menghitung berapa kali kamu bisa mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeda-beda. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kita akan menghitung rak kedua dengan menggunakan rumus permutasi, karena dapat memuat lima belas buku di dalamnya, sedangkan yang tersisa hanya lima belas. Kami menggunakan rumus P_15 = 15!.

Ternyata totalnya adalah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi selain itu, hasil kali semua bilangan dari tiga puluh hingga enam belas perlu dikalikan dengan hasil kali bilangan dari satu hingga lima belas, pada akhirnya Anda akan mendapatkan hasil kali semua bilangan dari satu sampai tiga puluh, yaitu jawabannya sama dengan 30!

Namun masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain - lebih mudah. Untuk melakukan ini, Anda dapat membayangkan ada satu rak untuk tiga puluh buku. Semuanya ditempatkan di bidang ini, tetapi karena kondisinya mengharuskan ada dua rak, kami melihat satu rak panjang menjadi dua, jadi kami mendapat dua dari lima belas. Dari sini ternyata ada P_30 = 30 pilihan susunan!.

Contoh solusi. Rumus bilangan kombinasi

Sekarang kita akan mempertimbangkan versi masalah ketiga dari kombinatorik. Penting untuk mengetahui berapa banyak cara untuk menyusun lima belas buku, asalkan Anda harus memilih dari tiga puluh buku yang benar-benar identik.

Untuk menyelesaikannya tentu saja akan diterapkan rumus banyaknya kombinasi. Dari kondisi tersebut menjadi jelas bahwa urutan kelima belas buku yang identik itu tidak penting. Oleh karena itu, pada awalnya Anda perlu mengetahui jumlah total kombinasi dari tiga puluh buku dari lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15 ! = 155 117 520

Itu saja. Dengan menggunakan rumus ini, kami dapat menyelesaikan soal ini dalam waktu sesingkat mungkin; jawabannya adalah 155.117.520.

Contoh solusi. Definisi klasik tentang probabilitas

Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat menemukan jawaban dari soal sederhana. Namun hal ini akan membantu untuk melihat dengan jelas dan melacak kemajuan tindakan.

Soalnya menyatakan bahwa ada sepuluh bola yang benar-benar identik di dalam guci. Dari jumlah tersebut, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Anda perlu mengetahui kemungkinan terkena warna biru.

Untuk menyelesaikan soal tersebut, perlu ditetapkan perolehan bola biru sebagai kejadian A. Percobaan ini dapat mempunyai sepuluh hasil, yang pada gilirannya bersifat dasar dan sama-sama mungkin. Pada saat yang sama, dari sepuluh, enam mendukung peristiwa A. Kita menyelesaikannya menggunakan rumus:

P(A) = 6 : 10 = 0,6

Dengan menerapkan rumus ini, kita mengetahui bahwa peluang terambilnya bola biru adalah 0,6.

Contoh solusi. Probabilitas jumlah kejadian

Sebuah opsi sekarang akan disajikan yang diselesaikan menggunakan rumus probabilitas jumlah kejadian. Jadi, syaratnya ada dua kotak, kotak pertama berisi satu bola abu-abu dan lima bola putih, dan kotak kedua berisi delapan bola abu-abu dan empat bola putih. Alhasil, mereka mengambil salah satunya dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mencari tahu berapa peluang bola yang Anda peroleh berwarna abu-abu dan putih.

Untuk mengatasi masalah ini, perlu dilakukan identifikasi kejadian.

• Jadi, A - mengambil bola abu-abu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
• A' - mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A") = 5/6.
• B - bola abu-abu dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
• B’ - mengambil bola abu-abu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Sesuai dengan kondisi permasalahannya, salah satu fenomena harus terjadi: AB' atau A'B. Dengan menggunakan rumus tersebut, kita mendapatkan: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang rumus mengalikan probabilitas telah digunakan. Selanjutnya, untuk mengetahui jawabannya, Anda perlu menerapkan persamaan penjumlahannya:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 18/11.

Beginilah cara Anda menyelesaikan masalah serupa menggunakan rumus.

Intinya

Artikel tersebut menyajikan informasi dengan topik "Teori Probabilitas", di mana probabilitas suatu peristiwa memainkan peran penting. Tentu saja, tidak semuanya diperhitungkan, tetapi berdasarkan teks yang disajikan, Anda secara teoritis dapat membiasakan diri dengan bagian matematika ini. Ilmu yang dimaksud dapat bermanfaat tidak hanya dalam pekerjaan profesional, tetapi juga dalam Kehidupan sehari-hari. Dengan bantuannya, Anda dapat menghitung kemungkinan terjadinya peristiwa apa pun.

Teks tersebut juga menyinggung tanggal-tanggal penting dalam sejarah terbentuknya teori probabilitas sebagai suatu ilmu, dan nama-nama orang yang karyanya diinvestasikan di dalamnya. Inilah bagaimana keingintahuan manusia mengarah pada fakta bahwa orang belajar menghitung kejadian acak sekalipun. Dahulu kala mereka hanya tertarik dengan hal ini, tetapi hari ini semua orang sudah mengetahuinya. Dan tidak ada yang akan mengatakan apa yang menanti kita di masa depan, penemuan brilian apa lagi yang terkait dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Namun satu hal yang pasti - penelitian tidak berhenti!

Kemungkinannya sangat besar topik yang mudah, jika Anda berkonsentrasi pada arti tugas, dan bukan pada rumus. Tapi bagaimana memecahkan masalah probabilitas. Pertama, apa itu probabilitas? Ini adalah kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi. Jika kita mengatakan probabilitas suatu kejadian adalah 50%, apa maksudnya? Bahwa hal itu akan terjadi atau tidak terjadi adalah salah satu dari dua hal. Jadi, menghitung nilai probabilitas sangat sederhana - Anda perlu mengambil jumlah opsi yang sesuai dengan kita dan membaginya dengan jumlah semua opsi yang memungkinkan. Misalnya, peluang munculnya kepala pada pelemparan sebuah koin adalah ½. Bagaimana kita mendapatkan ½? Secara total, kita memiliki dua opsi yang memungkinkan (kepala dan ekor), yang mana yang cocok untuk kita (ekor), jadi kita mendapatkan probabilitas ½.

Seperti yang telah kita lihat, probabilitas dapat dinyatakan dalam persentase dan angka biasa. Penting: pada Ujian Negara Bersatu Anda harus menuliskan jawaban Anda dalam angka, bukan persentase. Probabilitasnya diasumsikan berkisar antara 0 (tidak akan pernah terjadi) hingga 1 (pasti akan terjadi). Bisa juga dikatakan selalu

Peluang kejadian yang sesuai + peluang kejadian yang tidak sesuai = 1

Sekarang kita memahami dengan tepat bagaimana menghitung probabilitas suatu peristiwa, dan bahkan tugas seperti itu tersedia di Bank FIPI, tetapi jelas bahwa ini tidak berakhir di situ. Untuk membuat hidup lebih menyenangkan, dalam masalah probabilitas, setidaknya dua peristiwa biasanya terjadi, dan Anda perlu menghitung probabilitas dengan mempertimbangkan masing-masing peristiwa.

Kami menghitung probabilitas setiap kejadian secara terpisah, lalu memberi tanda di antara pecahan:

1. Jika Anda membutuhkan kejadian pertama DAN kedua, kalikan.

2. Jika Anda membutuhkan event pertama ATAU kedua, jumlahkan saja.

Masalah probabilitas dan solusinya

Tugas 1. Di antara bilangan asli 23 sampai 37, satu bilangan dipilih secara acak. Tentukan peluang tidak habis dibagi 5.

Larutan:

Probabilitas adalah rasio pilihan yang menguntungkan terhadap jumlah totalnya.

Ada total 15 angka dalam interval ini. Dari jumlah tersebut, hanya 3 yang habis dibagi 5, artinya 12 tidak habis dibagi.

Kemungkinannya maka:

Jawaban: 0,8.

Tugas 2. Dua siswa dari kelas tersebut dipilih secara acak untuk bertugas di kantin. Berapa peluang terambilnya dua anak laki-laki yang bertugas jika ada 7 anak laki-laki dan 8 anak perempuan dalam kelas tersebut?

Larutan: Probabilitas adalah rasio pilihan yang menguntungkan terhadap jumlah totalnya. Ada 7 anak laki-laki di kelas, ini adalah pilihan yang menguntungkan. Dan hanya ada 15 siswa.

Peluang terambilnya anak pertama yang bertugas adalah:

Peluang terambilnya anak kedua yang bertugas adalah:

Karena keduanya pasti laki-laki, kalikan probabilitasnya:

Jawaban: 0,2.

Tugas 3. Terdapat 12 kursi di dalam pesawat di sebelah pintu keluar darurat dan 18 kursi di belakang sekat pemisah kabin. Kursi yang tersisa tidak nyaman untuk penumpang bertubuh tinggi. Penumpang V. tinggi. Tentukan peluang bahwa pada saat check-in, jika suatu tempat duduk dipilih secara acak, penumpang B akan memperoleh tempat duduk yang nyaman jika jumlah total tempat duduk di pesawat tersebut adalah 300.

Larutan: Penumpang B mempunyai 30 kursi nyaman (12 + 18 = 30), dan total ada 300 kursi di pesawat. Jadi peluang penumpang B mendapat tempat duduk yang nyaman adalah 30/300, yaitu 0,1.

Tugas 4. Koleksi tiket matematika hanya ada 25 tiket, 10 diantaranya berisi soal pertidaksamaan.

Tentukan peluang bahwa seorang siswa tidak akan mendapat soal pertidaksamaan pada tiket ujian yang dipilih secara acak.

Larutan: Dari 25 tiket, 15 tiket tidak memuat soal pertidaksamaan, sehingga peluang seorang siswa tidak mendapat soal pertidaksamaan pada tiket ujian yang dipilih secara acak adalah 15/25, yaitu 0,6.

Masalah 5. Koleksi tiket kimia hanya terdapat 35 tiket, 7 diantaranya berisi soal asam.

Tentukan peluang bahwa seorang siswa tidak akan mendapat soal asam pada tiket ujian yang dipilih secara acak.

Larutan: Dari 35 tiket, 28 tiket tidak memuat soal asam, sehingga peluang seorang siswa tidak mendapat soal asam pada tiket ujian yang dipilih secara acak adalah 28/35, yaitu 0,8.

Tugas 6. Rata-rata dari 500 pompa taman yang terjual, ada 2 yang bocor. Temukan probabilitas bahwa satu pompa yang dipilih secara acak untuk pengendalian tidak bocor.

Larutan: Jika 2 dari 500 pompa bocor, maka 498 pompa tidak bocor. Oleh karena itu, peluang terpilihnya pompa yang baik adalah 498/500, yaitu 0,996.

Tugas 7. Peluang bahwa penyedot debu baru akan diperbaiki berdasarkan garansi dalam waktu satu tahun adalah 0,065. Di kota tertentu, dari 1.000 unit penyedot debu yang terjual sepanjang tahun, 70 unit sudah diterima di bengkel garansi.

Seberapa berbedakah frekuensi kejadian “perbaikan garansi” dengan kemungkinannya di kota ini?

Larutan: Frekuensi kejadian “perbaikan garansi” adalah 70/1000, yaitu 0,07. Ini berbeda dari probabilitas yang diprediksi sebesar 0,005 (0,07 – 0,065 = 0,005).

Tugas 8. Kejuaraan senam diikuti oleh 50 atlet: 18 dari Rusia, 14 dari Ukraina, sisanya dari Belarus. Urutan penampilan pesenam ditentukan oleh undian.

Tentukan peluang bahwa atlet yang bertanding pertama kali berasal dari Belarusia.

Larutan: Total peserta kejuaraan ini berjumlah 50 orang, dan atlet asal Belarus berjumlah 18 orang (50 – 18 – 14 = 18).

Peluang seorang atlet asal Belarusia bertanding terlebih dahulu adalah 18 dari 50, yaitu 18/50 atau 0,36.

Tugas 9. Konferensi Ilmiah dilaksanakan dalam 5 hari. Sebanyak 80 laporan direncanakan - tiga hari pertama masing-masing 12 laporan, sisanya didistribusikan secara merata antara hari keempat dan kelima. Urutan laporan ditentukan dengan undian.

Berapa probabilitas laporan Profesor M. akan dijadwalkan pada hari terakhir konferensi?

Larutan: Dalam tiga hari pertama akan dibaca 36 laporan (12 ∙ 3 ​​​​= 36), direncanakan 44 laporan untuk dua hari terakhir. Oleh karena itu, direncanakan 22 laporan untuk hari terakhir (44:2 = 22). Artinya peluang laporan Profesor M. dijadwalkan pada hari terakhir konferensi adalah 22/80, yaitu 0,275.

Masalah 10.

Sebelum dimulainya putaran pertama kejuaraan catur, peserta dibagi secara acak menjadi pasangan-pasangan bermain dengan menggunakan undian. Total ada 26 pecatur yang mengikuti kejuaraan tersebut, termasuk 14 peserta dari Rusia, termasuk Egor Kosov.

Temukan peluang bahwa pada putaran pertama Egor Kosov akan bermain dengan pemain catur mana pun dari Rusia?

Larutan: Pada babak pertama, Egor Kosov mampu bermain dengan 25 pecatur (26 – 1 = 25), 13 di antaranya berasal dari Rusia. Artinya peluang Egor Kosov bermain melawan pecatur asal Rusia pada putaran pertama adalah 13/25 atau 0,52.

Masalah 11.

Ada 16 tim yang berpartisipasi dalam Kejuaraan Dunia. Dengan menggunakan undian, mereka perlu dibagi menjadi empat grup yang masing-masing terdiri dari empat tim. Kotak tersebut berisi kartu campuran dengan nomor kelompok: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Kapten tim masing-masing mengambil satu kartu. Berapa peluang tim Rusia berada di grup kedua?

Larutan: Peluang tim Rusia untuk lolos ke grup kedua sama dengan perbandingan jumlah kartu bernomor 2 dengan jumlah kartu seluruhnya, yaitu 16/4 atau 0,25.

Masalah 12. Ada 5 orang dalam kelompok wisata. Dengan menggunakan lot, mereka memilih dua orang yang harus pergi ke desa untuk membeli makanan. Turis A. ingin pergi ke toko, tetapi dia banyak menurutinya. Berapa peluang A. pergi ke toko?

Larutan: Mereka memilih dua dari lima turis. Jadi peluang terpilihnya adalah 2/5, yaitu 0,4.

Masalah 13. Rombongan wisatawan berjumlah 30 orang. Mereka diturunkan dengan helikopter ke daerah yang sulit dijangkau dalam beberapa tahap, 6 orang per penerbangan. Urutan helikopter mengangkut wisatawan acak. Tentukan peluang turis P. akan melakukan penerbangan helikopter pertama.

Larutan: Terdapat 6 kursi pada penerbangan pertama, totalnya 30 kursi. Maka peluang seorang turis terbang pada penerbangan pertama dengan helikopter adalah 30/6 atau 0,2.

Masalah 14. Berapa peluang suatu bilangan asli yang dipilih secara acak dari 10 sampai 19 habis dibagi tiga?

Larutan: Bilangan asli dari 10 sampai 19 sepuluh, tiga bilangan di antaranya habis dibagi 3: 12, 15, dan 18. Oleh karena itu, peluang yang diinginkan adalah 3/10, yaitu 0,3.

Kemungkinan beberapa kejadian

Tugas 1. Sebelum dimulainya pertandingan bola voli, kapten tim melakukan pengundian untuk menentukan tim mana yang akan memulai permainan dengan bola. Tim “Starter” bergantian bermain dengan tim “Rotor”, “Motor” dan “Strator”. Temukan probabilitas bahwa Starter hanya akan memulai permainan kedua.

Larutan:

Kami puas dengan opsi berikut: “Stator” tidak memulai game pertama, memulai game kedua, dan tidak memulai game ketiga. Probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa tersebut sama dengan produk dari probabilitas masing-masing peristiwa tersebut. Peluang masing-masingnya adalah 0,5, maka: 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.

Tugas 2. Untuk maju ke babak kompetisi berikutnya, tim sepakbola Anda harus mencetak setidaknya 4 poin dalam dua pertandingan. Jika suatu tim menang mendapat 3 poin, jika seri 1 poin, dan jika kalah 0 poin. Temukan peluang bahwa tim tersebut akan maju ke babak kompetisi berikutnya. Anggaplah dalam setiap permainan peluang menang dan kalah adalah sama dan sama dengan 0,4.

Larutan:

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Peluang munculnya salah satu dari 3 pilihan ini sama dengan jumlah peluang setiap pilihan: 0,08 + 0,08 + 0,16 = 0,32.

Tugas 3. Ada 21 orang di kelas. Di antara mereka ada dua orang sahabat: Anya dan Nina. Kelas dibagi secara acak menjadi 7 kelompok, masing-masing kelompok beranggotakan 3 orang. Tentukan peluang Anya dan Nina berada dalam kelompok yang sama.

Larutan:

Jenis pertanyaan: reduksi kelompok.

Peluang Anya masuk ke salah satu grup adalah 1. Peluang Nina masuk ke grup yang sama adalah 2 dari 20 (tersisa 2 tempat di grup, dan tersisa 20 orang). 2/20 = 1/10 = 0,1.

Tugas 4. Petya memiliki 4 koin rubel dan 2 koin dua rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar 3 koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa kedua koin dua rubel berada di kantong yang sama.

Larutan:

Metode No.1

Jenis tugas: reduksi kelompok.

Bayangkan enam koin dibagi menjadi dua kelompok yang terdiri dari tiga koin. Peluang terambilnya koin satu rubel pertama ke dalam salah satu kantong (kelompok) = 1.

Peluang terambilnya dua koin dua rubel ke dalam kantong yang sama = jumlah sisa ruang di kantong ini/jumlah sisa ruang di kedua kantong = 2/5 = 0,4.

Metode nomor 2

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Tugas ini dilakukan dengan beberapa cara:

Jika Petya mentransfer tiga dari empat koin rubel ke kantong lain (tetapi tidak mentransfer koin dua rubel), atau jika ia mentransfer koin dua rubel dan satu koin rubel ke kantong lain dengan salah satu dari tiga cara: 1, 2, 2; 2, 1, 2; 2, 2, 1. Anda dapat menggambarkannya pada diagram (Petya memasukkannya ke dalam kantong 2, jadi kami akan menghitung probabilitas di kolom “kantong 2”):

Masalah 5. Petya memiliki 2 koin 5 rubel dan 4 koin 10 rubel di sakunya. Petya, tanpa melihat, memindahkan sekitar 3 koin ke saku lain. Temukan probabilitas bahwa koin lima rubel sekarang berada di kantong yang berbeda.

Larutan:

Jenis tugas: reduksi kelompok.

Metode No.1

Bayangkan enam koin dibagi menjadi dua kelompok yang terdiri dari tiga koin. Peluang terambilnya koin dua rubel pertama di salah satu kantong (kelompok) = 1. Peluang terambilnya koin kedua di kantong lain = banyaknya sisa tempat di kantong lain / banyaknya sisa tempat di kedua kantong = 3/5 = 0,6.

Metode nomor 2

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Tugas ini dilakukan dengan beberapa cara:

Agar koin lima rubel berada di kantong yang berbeda, Petya harus mengeluarkan satu koin lima rubel dan dua koin sepuluh rubel dari sakunya. Hal ini dapat dilakukan dengan tiga cara: 5, 10, 10; 10, 5, 10 atau 10, 10, 5. Anda dapat menggambarkannya pada diagram (Petya memasukkannya ke dalam kantong 2, jadi kami akan menghitung probabilitas di kolom “kantong 2”):

Peluang munculnya salah satu dari 4 pilihan berikut sama dengan jumlah peluang masing-masing pilihan:

Tugas 6. Pada suatu percobaan acak, sebuah koin simetris dilempar sebanyak tiga kali. Temukan probabilitas mendapatkan gambar tepat dua kali.

Larutan: Jenis pertanyaan: menemukan peristiwa yang diinginkan dan aktual \ menggabungkan Kami puas dengan tiga opsi:

Kepala - ekor - kepala;

Elang - elang - ekor;

Ekor - kepala - kepala;

Peluang setiap kasus adalah 1/2, dan setiap pilihan adalah 1/8 (1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8)

Kami akan puas dengan opsi pertama, kedua, atau ketiga. Oleh karena itu, kita menjumlahkan probabilitasnya dan mendapatkan 3/8 (1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8), yaitu 0,375.

Tugas 7. Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia menang melawan grandmaster B. dengan probabilitas 0,5. Jika A. bermain hitam, maka A. menang melawan B. dengan probabilitas 0,34. Grandmaster A. dan B. memainkan dua permainan, dan pada permainan kedua mereka mengubah warna bidak. Tentukan peluang A. menang kedua kali.

Larutan:

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Bagaimanapun, A. akan bermain putih dan hitam, jadi kami puas dengan pilihan ketika grandmaster A. menang bermain putih (probabilitas - 0,5) dan juga bermain hitam (probabilitas - 0,34). Oleh karena itu, kita perlu mengalikan peluang kedua kejadian ini: 0,5 ∙ 0,34 = 0,17.

Tugas 8. Peluang baterai rusak adalah 0,02. Seorang pembeli di toko memilih paket acak yang berisi dua baterai ini. Temukan probabilitas bahwa kedua baterai dalam keadaan baik.

Larutan:

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Peluang baterai dalam keadaan baik adalah 0,98. Pembeli membutuhkan baterai pertama dan kedua agar berfungsi dengan baik: 0,98 · 0,98 = 0,9604.

Tugas 9. Band tampil di festival rock - satu dari masing-masing negara yang dinyatakan. Urutan kinerja ditentukan oleh undian. Berapa peluang grup dari Amerika akan tampil setelah grup dari Kanada dan setelah grup dari Tiongkok? Bulatkan hasilnya ke ratusan terdekat.

Larutan:

Jenis pertanyaan: kombinasi peristiwa.

Jumlah total grup yang tampil di festival tidak penting untuk menjawab pertanyaan tersebut. Berapa pun jumlahnya, ada 6 cara untuk negara-negara ini posisi relatif di antara penuturnya (KIT - China, CAN = Kanada):

... AS, BISA, KIT ...

... AS, KIT, BISA ...

... KIT, AS, BISA ...

... BISA, AS, KIT ...

... KAN, KIT, AS ...

...KIT, CAN, AS...

AS berada di belakang Tiongkok dan Kanada dalam dua kasus terakhir. Oleh karena itu, peluang terdistribusinya kelompok-kelompok secara acak dengan cara ini adalah:

Probabilitas Komplementer

Tugas 1.

Saluran otomatis menghasilkan baterai. Peluang baterai yang sudah jadi rusak adalah 0,02. Sebelum dikemas, setiap baterai melewati sistem kontrol. Probabilitas sistem akan menolak baterai yang rusak adalah 0,97. Peluang sistem salah menolak baterai yang berfungsi adalah 0,05.

Temukan probabilitas bahwa baterai yang dipilih secara acak akan ditolak.

Larutan:

Ada 2 pilihan yang cocok untuk kita:

Opsi A: baterai ditolak, rusak;

Opsi B: baterai rusak, berfungsi.

Peluang pilihan A: 0,02 ∙ 0,97 = 0,0194;

Peluang pilihan B: 0,05 ∙ 0,98 = 0,049;

Kami akan puas dengan opsi pertama atau kedua: 0,0194 + 0,049 = 0,0684.

Tugas 2. Dua pabrik memproduksi kaca yang sama untuk lampu depan mobil. Pabrik pertama memproduksi 60% kacamata ini, pabrik kedua - 40%. Pabrik pertama memproduksi 3% kaca cacat, dan pabrik kedua memproduksi 5%. Temukan probabilitas bahwa kaca yang dibeli secara tidak sengaja di toko akan rusak.

Larutan:

Peluang kaca tersebut dibeli di pabrik pertama dan rusak: 0,6 · 0,03 = 0,018.

Peluang kaca tersebut dibeli dari pabrik kedua dan rusak: 0,4 · 0,05 = 0,02.

Peluang kaca yang dibeli secara tidak sengaja di toko akan rusak adalah 0,018 + 0,02 = 0,038.

Tugas 3. Di pabrik peralatan makan keramik, 10% piring yang diproduksi rusak. Selama kontrol kualitas produk, 80% pelat cacat teridentifikasi. Piring yang tersisa sedang dijual. Temukan probabilitas bahwa piring yang dipilih secara acak pada saat pembelian tidak memiliki cacat. Bulatkan hasilnya ke ribuan terdekat.

Larutan:

Misalkan kita memiliki x pelat pada awalnya (bagaimanapun juga, kita selalu berurusan dengan persentase, jadi tidak ada yang menghalangi kita untuk beroperasi dengan jumlah tertentu).

Maka 0,1x adalah pelat cacat, dan 0,9x adalah pelat normal, yang akan segera sampai di toko. Dari yang cacat, 80% dihilangkan, yaitu 0,08x, dan tersisa 0,02x, yang juga akan masuk ke toko. Jadi, jumlah piring di rak toko adalah: 0,9x + 0,02x = 0,92x. Dari jumlah tersebut, 0,9x akan menjadi normal. Oleh karena itu, menurut rumus, probabilitasnya adalah 0,9x/0,92x ≈ 0,978.

Tugas 4. Berdasarkan ulasan pelanggan, Igor Igorevich menilai keandalan kedua toko online tersebut. Peluang terkirimnya produk yang diinginkan dari toko A adalah 0,91. Peluang produk ini dikirim dari toko B adalah 0,89. Igor Igorevich memesan barang dari kedua toko sekaligus. Dengan asumsi bahwa toko online beroperasi secara independen satu sama lain, tentukan probabilitas bahwa tidak ada toko yang akan mengirimkan produk tersebut.

Larutan. Peluang toko pertama tidak mengirimkan barang adalah 1 − 0,91 = 0,09. Peluang toko kedua tidak mengirimkan barang adalah 1 − 0,89 = 0,11. Peluang kedua kejadian tersebut terjadi secara bersamaan sama dengan hasil kali peluang masing-masing kejadian: 0,09 · 0,11 = 0,0099.

Tugas 5. Saat membuat bantalan dengan diameter 70 mm, kemungkinan diameter berbeda dari yang ditentukan kurang dari 0,01 mm adalah 0,961. Tentukan peluang bahwa suatu bantalan acak mempunyai diameter kurang dari 69,99 mm atau lebih besar dari 70,01 mm.

Larutan: Kita diberi peluang suatu kejadian yang diameternya antara 69,99 mm dan 70,01 mm, dan sama dengan 0,961. Kita dapat mencari peluang semua pilihan lain menggunakan prinsip peluang komplementer: 1 − 0,961 = 0,039.

Tugas 6. Peluang seorang siswa menyelesaikan lebih dari 9 soal dengan benar pada ulangan sejarah adalah 0,68. Peluang menyelesaikan lebih dari 8 soal dengan benar adalah 0,78. Temukan peluang menyelesaikan tepat 9 soal dengan benar.

Larutan: Peluang T. menyelesaikan lebih dari 8 soal dengan benar mencakup peluang menyelesaikan tepat 9 soal. Pada saat yang sama, peristiwa di mana O. memecahkan lebih dari 9 masalah tidak cocok untuk kita. Oleh karena itu, dengan mengurangkan peluang menyelesaikan lebih dari 9 soal, peluang menyelesaikan lebih dari 8 soal, kita akan menemukan peluang menyelesaikan hanya 9 soal: 0,78 – 0,68 = 0,1.

Tugas 7. Sebuah bus beroperasi setiap hari dari pusat distrik ke desa. Peluang terdapat kurang dari 21 penumpang dalam bus pada hari Senin adalah 0,88. Peluang terdapat kurang dari 12 penumpang adalah 0,66. Tentukan peluang banyaknya penumpang antara 12 sampai 20 orang.

Larutan. Peluang sebuah bus mempunyai kurang dari 21 penumpang termasuk peluang bahwa bus tersebut mempunyai antara 12 dan 20 penumpang. Pada saat yang sama, acara yang jumlah penumpangnya kurang dari 12 orang tidak cocok untuk kami. Oleh karena itu, dengan mengurangkan probabilitas kedua (kurang dari 12) dari probabilitas pertama (kurang dari 21), kita mendapatkan probabilitas terdapat 12 hingga 20 penumpang: 0,88 – 0,66 = 0,22.

Tugas 8. Di Negeri Ajaib ada dua jenis cuaca: baik dan sangat baik, dan cuaca, setelah terbentuk di pagi hari, tidak berubah sepanjang hari. Diketahui dengan probabilitas 0,9 cuaca besok akan sama dengan hari ini. Pada tanggal 10 April, cuaca di Magic Land bagus. Temukan kemungkinan bahwa cuaca akan bagus di Negeri Dongeng pada tanggal 13 April.

Larutan:

Tugas ini dilakukan dalam beberapa opsi ("X" - cuaca bagus, "O" - cuaca bagus):

Peluang munculnya salah satu dari 4 pilihan ini sama dengan jumlah peluang setiap pilihan: 0,081 + 0,081 + 0,081 + 0,001 = 0,244.

Tugas 9. Di Negeri Ajaib ada dua jenis cuaca: baik dan sangat baik, dan cuaca, setelah terbentuk di pagi hari, tetap tidak berubah sepanjang hari. Diketahui dengan probabilitas 0,8 cuaca besok akan sama dengan hari ini. Hari ini tanggal 3 Juli, cuaca di Negeri Ajaib bagus. Temukan kemungkinan bahwa cuaca akan bagus di Negeri Dongeng pada tanggal 6 Juli.

Larutan:

Tugas ini dilakukan dalam beberapa opsi ("X" - cuaca bagus, "O" - cuaca bagus):

Peluang munculnya salah satu dari 4 pilihan ini sama dengan jumlah peluang setiap pilihan: 0,128 + 0,128 + 0,128 + 0,008 = 0,392.

kemungkinan- angka antara 0 dan 1 yang mencerminkan peluang terjadinya suatu peristiwa acak, dengan 0 berarti tidak adanya peluang sama sekali terjadinya peristiwa tersebut, dan 1 berarti peristiwa tersebut pasti akan terjadi.

Peluang kejadian E adalah bilangan dari sampai 1.
Jumlah peluang kejadian saling lepas sama dengan 1.

probabilitas empiris- probabilitas, yang dihitung sebagai frekuensi relatif suatu peristiwa di masa lalu, yang diambil dari analisis data historis.

Kemungkinan terjadinya kejadian yang sangat langka tidak dapat dihitung secara empiris.

kemungkinan subjektif- probabilitas berdasarkan penilaian subjektif pribadi terhadap suatu peristiwa tanpa memperhatikan data historis. Investor yang mengambil keputusan untuk membeli dan menjual saham seringkali bertindak berdasarkan pertimbangan probabilitas subjektif.

probabilitas sebelumnya -

Peluangnya adalah 1 in... (peluang) suatu peristiwa akan terjadi melalui konsep probabilitas. Peluang terjadinya suatu peristiwa dinyatakan melalui probabilitas sebagai berikut: P/(1-P).

Misalnya, jika peluang suatu kejadian adalah 0,5, maka peluang kejadian tersebut adalah 1 dari 2 karena 0,5/(1-0,5).

Peluang tidak terjadinya suatu peristiwa dihitung dengan rumus (1-P)/P

Kemungkinan tidak konsisten- misalnya harga saham perusahaan A memperhitungkan kemungkinan kejadian E sebesar 85%, dan harga saham perusahaan B hanya memperhitungkan 50%. Ini disebut probabilitas tidak konsisten. Menurut Teorema Taruhan Belanda, probabilitas yang tidak konsisten menciptakan peluang keuntungan.

Kemungkinan tanpa syarat adalah jawaban atas pertanyaan “Berapa peluang terjadinya peristiwa tersebut?”

Probabilitas bersyarat- inilah jawaban dari pertanyaan: “Berapa peluang kejadian A jika kejadian B terjadi.” Probabilitas bersyarat dinotasikan sebagai P(A|B).

Probabilitas bersama- peluang kejadian A dan B terjadi secara bersamaan. Dilambangkan sebagai P(AB).

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Aturan untuk menjumlahkan probabilitas:

Peluang terjadinya kejadian A atau kejadian B adalah

P (A atau B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

Jika kejadian A dan B saling lepas, maka

P (A atau B) = P(A) + P(B)

Acara independen- kejadian A dan B saling bebas jika

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Artinya, ini adalah rangkaian hasil yang nilai probabilitasnya konstan dari satu kejadian ke kejadian berikutnya.
Pelemparan koin adalah contoh dari peristiwa semacam itu - hasil dari setiap pelemparan berikutnya tidak bergantung pada hasil pelemparan sebelumnya.

Peristiwa yang Bergantung- ini adalah peristiwa di mana kemungkinan terjadinya suatu peristiwa bergantung pada kemungkinan terjadinya peristiwa lain.

Aturan untuk mengalikan peluang kejadian independen:
Jika kejadian A dan B saling bebas, maka

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Aturan probabilitas total:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P (A|S")P(S") (4)

S dan S" adalah kejadian yang saling lepas

nilai yang diharapkan variabel acak adalah rata-rata hasil yang mungkin variabel acak. Untuk kejadian X, ekspektasinya dilambangkan dengan E(X).

Katakanlah kita memiliki 5 nilai peristiwa yang saling eksklusif dengan probabilitas tertentu (misalnya, pendapatan perusahaan adalah jumlah ini dan itu dengan probabilitas seperti itu). Nilai yang diharapkan adalah jumlah semua hasil dikalikan dengan probabilitasnya:

Dispersi suatu variabel acak adalah ekspektasi deviasi kuadrat suatu variabel acak dari ekspektasinya:

s 2 = E( 2 ) (6)

Nilai ekspektasi bersyarat adalah nilai ekspektasi dari variabel acak X, asalkan kejadian S sudah terjadi.

Setiap orang menemukan konsep probabilitas setiap hari. Orang-orang menghitung peluang untuk naik bus, kemungkinan mereka akan menerima gaji hari ini, dan mereka menghasilkan berbagai kombinasi untuk memenangkan lotre. Teori probabilitas dalam program komputer dan kecerdasan buatan sangat terpengaruh, dan juga terkait erat dengan pertukaran keuangan dan sejenisnya. Ada contoh dasar tentang cara mencari probabilitas.

Kasus klasiknya adalah dengan koin. Ia dilempar ke atas, dan ada dua pilihan berbeda untuk pendaratannya: jatuh di bagian depan dan jatuh di bagian sebaliknya. Kemungkinan jatuh pada suatu tepi dikecualikan terlebih dahulu, yaitu, ada dua kemungkinan hasil. Karena hanya ada dua, dan terjadi dengan frekuensi yang sama, peluang mendapatkan, misalnya, kepala adalah 1/2. Ini adalah hukum dasar bagaimana mencari probabilitas dalam matematika.

Darimana 1/2 ini berasal? Prinsipnya adalah menghitung probabilitas satu (1) kejadian dari dua (2) kejadian yang mungkin terjadi. Rasionya diselesaikan dengan operasi pembagian, yang menghasilkan 1/2. Demikian pula, Anda dapat menghitung probabilitas munculnya angka tertentu pada sebuah dadu. Seperti yang Anda ketahui, permukaan kubus memiliki 6 sisi, oleh karena itu angka apa pun dari 1 hingga 6 dapat muncul - enam pilihan berbeda. Bagaimana cara mencari peluang menggelinding, misalnya empat?

Empat hanya dapat keluar dengan satu-satunya cara (1) dari enam cara yang mungkin, oleh karena itu, peluangnya sama dengan 1: 6 = 1/6. Seperenam dapat dikonversi menjadi desimal dengan membagi pada kalkulator: 1/6 = 0,6(6). Dengan mengalikan nilainya dengan 100 dan menambahkan tanda “%”, Anda bisa mendapatkan perkiraan probabilitas kejadian dalam persentase. Sangat penting untuk mengetahui bahwa probabilitas suatu peristiwa diperkirakan dalam angka 0 hingga 1, yang persentasenya berkisar antara 0% hingga 100%.

Semua nilai probabilitas lainnya tidak masuk akal. Contoh spesifik harus dipertimbangkan: kartu acak diambil dari setumpuk kartu klasik (36 kartu). Berapa peluang terambilnya kartu berwarna merah dan angkanya ganjil? Kartu ganjil merah hanya bisa berupa tujuh atau sembilan berlian atau hati. Totalnya ada 4 kartu. Artinya peluang munculnya kartu tersebut adalah 4/36 = 1/9 = 0,1(1). Probabilitasnya harus dihitung sebagai persentase, yaitu sebesar 1,1%.

Seringkali dalam soal Anda harus menggunakan rumus probabilitas kompleks. Misalnya ada 10 bola dalam sebuah guci, 3 bola hitam dan 7 bola putih. Berapa peluang terambilnya dua bola secara acak berturut-turut berwarna hitam? Masalah ini harus diselesaikan sebagai dua masalah yang terpisah. Pertama, Anda harus menghitung probabilitas terambilnya bola hitam dari semuanya. Ada 3 bola yang seperti itu, dan totalnya ada 10 bola, artinya peluangnya sama dengan 3/10. Selanjutnya, kita perlu beralih ke bagian kedua dari soal ini, di mana teori probabilitas memungkinkan kita untuk menyelaraskan hasil.

Setelah ekstraksi, sudah ada 9 bola tersisa di dalam guci, 2 di antaranya berwarna hitam. Dalam hal ini peluang terambilnya bola hitam adalah 2/9. Selanjutnya, Anda harus mengalikan probabilitas yang diperoleh dengan hasil akhir: 3/10 * 2/9 = 6/90 = 1/15 = 0,6(6), yang kira-kira sama dengan 6,7%. Artinya kemungkinan kejadian ini cukup rendah.