Tentukan nilai turunan fungsi di titik x0. Menghitung turunan dari suatu fungsi secara online

Contoh 1

Referensi: Cara notasi fungsi berikut adalah ekivalen: Dalam beberapa tugas, akan lebih mudah untuk menetapkan fungsi sebagai "pemain", dan dalam beberapa tugas sebagai "ef dari x".

Pertama kita cari turunannya:

Contoh 2

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

, , studi fungsi penuh dan sebagainya.

Contoh 3

Hitung turunan fungsi di titik . Kita cari turunannya dulu:

Nah, itu masalah yang sama sekali berbeda. Hitung nilai turunan di titik :

Jika Anda tidak mengerti bagaimana turunannya ditemukan, kembalilah ke dua pelajaran pertama dari topik tersebut. Jika ada kesulitan (kesalahpahaman) dengan busur tangen dan artinya, perlu mempelajari materi metodologi Grafik dan sifat-sifat fungsi dasar- paragraf terakhir. Karena masih ada cukup arctangents untuk usia siswa.

Contoh 4

Hitung turunan fungsi di titik .

Persamaan garis singgung grafik fungsi

Untuk mengkonsolidasikan paragraf sebelumnya, pertimbangkan masalah menemukan garis singgung untuk grafik fungsi pada saat ini. Kami memenuhi tugas ini di sekolah, dan itu juga ditemukan dalam pelajaran matematika yang lebih tinggi.

Pertimbangkan contoh dasar "demonstrasi".

Tulis persamaan untuk garis singgung grafik fungsi di titik dengan absis. Saya akan segera membawa yang sudah jadi solusi grafis tugas (dalam praktiknya, ini tidak diperlukan dalam banyak kasus):

Definisi ketat dari garis singgung diberikan oleh definisi turunan fungsi, tetapi untuk saat ini kami akan menguasai bagian teknis dari masalah ini. Tentunya hampir semua orang secara intuitif memahami apa itu tangen. Jika Anda menjelaskan "pada jari", maka garis singgung grafik fungsi tersebut adalah lurus, yang menyangkut grafik fungsi dalam satu-satunya titik. Dalam hal ini, semua titik terdekat dari garis lurus terletak sedekat mungkin dengan grafik fungsi.

Seperti yang diterapkan pada kasus kami: di , garis singgung (notasi standar) menyentuh grafik fungsi pada satu titik.

Dan tugas kita adalah menemukan persamaan garis lurus.

Turunan suatu fungsi di suatu titik

Bagaimana cara mencari turunan suatu fungsi di suatu titik? Dua poin yang jelas dari tugas ini mengikuti dari kata-katanya:

1) Hal ini diperlukan untuk menemukan turunannya.

2) Penting untuk menghitung nilai turunan pada titik tertentu.

Contoh 1

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

Bantuan: Cara notasi fungsi berikut ini setara:


Dalam beberapa tugas, akan lebih mudah untuk menetapkan fungsi sebagai "pemain", dan dalam beberapa tugas sebagai "ef dari x".

Pertama kita cari turunannya:

Saya berharap banyak yang sudah beradaptasi untuk menemukan turunan seperti itu secara lisan.

Pada langkah kedua, kami menghitung nilai turunan pada titik :

Contoh pemanasan kecil untuk solusi independen:

Contoh 2

Hitung turunan suatu fungsi di suatu titik

Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Kebutuhan untuk menemukan turunan pada suatu titik muncul dalam tugas-tugas berikut: membangun garis singgung pada grafik suatu fungsi (paragraf berikutnya), mempelajari fungsi untuk ekstrem , mempelajari fungsi infleksi grafik , studi fungsi penuh dan sebagainya.

Tapi tugas yang sedang dipertimbangkan ditemukan di kertas kontrol dan dengan sendirinya. Dan, sebagai aturan, dalam kasus seperti itu, fungsi yang diberikan cukup rumit. Dalam hal ini, pertimbangkan dua contoh lagi.

Contoh 3

Hitung turunan dari suatu fungsi pada titik .
Kita cari turunannya dulu:

Derivatif, pada prinsipnya, ditemukan, dan nilai yang diperlukan dapat diganti. Tapi aku tidak benar-benar ingin melakukan apapun. Ekspresinya sangat panjang, dan nilai "x" adalah pecahan. Oleh karena itu, kami mencoba untuk menyederhanakan turunan kami sebanyak mungkin. Dalam hal ini, mari kita coba mengurangi tiga suku terakhir menjadi penyebut yang sama: pada titik .

Ini adalah contoh do-it-yourself.

Bagaimana mencari nilai turunan dari fungsi F(x) di titik Ho? Bagaimana cara mengatasinya secara umum?

Jika rumus diberikan, cari turunan dan substitusi X-nol, bukan X. menghitung
Jika kita berbicara tentang PENGGUNAAN b-8, grafik, maka Anda perlu menemukan garis singgung sudut (lancip atau tumpul), yang membentuk garis singgung terhadap sumbu X (menggunakan konstruksi mental segitiga siku-siku dan menentukan garis singgung dari sudut)

Timur adilkhodzhaev

Pertama, Anda perlu memutuskan tandanya. Jika x0 berada di bawah bidang koordinat, maka tanda dalam jawabannya adalah minus, dan jika lebih tinggi, maka +.
Kedua, Anda perlu tahu apa yang tange dalam persegi panjang persegi panjang. Dan ini adalah rasio sisi yang berlawanan (kaki) dengan sisi yang berdekatan (juga kaki). Biasanya ada beberapa tanda hitam pada lukisan itu. Dari tanda ini Anda membuat segitiga siku-siku dan temukan tange.

Bagaimana cara mencari nilai turunan fungsi f x di titik x0?

tidak ada pertanyaan khusus - 3 tahun lalu

Dalam kasus umum, untuk menemukan nilai turunan suatu fungsi terhadap beberapa variabel di sembarang titik, perlu untuk membedakan fungsi yang diberikan sehubungan dengan variabel ini. Dalam kasus Anda, dengan variabel X. Dalam ekspresi yang dihasilkan, alih-alih X, letakkan nilai x pada titik di mana Anda perlu menemukan nilai turunannya, mis. dalam kasus Anda, gantikan nol X dan hitung ekspresi yang dihasilkan.

Nah, keinginan Anda untuk memahami masalah ini, menurut pendapat saya, tidak diragukan lagi layak +, yang saya tempatkan dengan hati nurani yang bersih.

Rumusan masalah pencarian turunan seperti itu sering diajukan untuk memperbaiki materi tentang makna geometris turunan. Sebuah grafik fungsi tertentu diusulkan, benar-benar arbitrer dan tidak diberikan oleh persamaan dan diperlukan untuk mencari nilai turunan (bukan turunan itu sendiri!) pada titik X0 yang ditentukan. Untuk melakukan ini, garis singgung dari fungsi yang diberikan dibangun dan titik-titik perpotongannya dengan sumbu koordinat ditemukan. Kemudian persamaan garis singgung ini dibuat dalam bentuk y=kx+b.

Dalam persamaan ini, koefisien k dan akan menjadi nilai turunannya. tinggal mencari nilai koefisien b. Untuk melakukan ini, kami menemukan nilai y di x \u003d o, biarkan sama dengan 3 - ini adalah nilai koefisien b. Kami mengganti nilai X0 dan Y0 ke dalam persamaan asli dan menemukan k - nilai turunan kami pada saat ini.

Dalam masalah B9, diberikan grafik fungsi atau turunan, yang darinya diperlukan untuk menentukan salah satu besaran berikut:

1. Nilai turunan di beberapa titik x 0,
2. Titik tinggi atau rendah (titik ekstrem),
3. Interval fungsi naik dan turun (interval monotonisitas).

Fungsi dan turunan yang disajikan dalam masalah ini selalu kontinu, yang sangat menyederhanakan solusinya. Terlepas dari kenyataan bahwa tugas itu termasuk dalam bagian analisis matematis, itu cukup dalam kekuatan bahkan siswa yang paling lemah, karena tidak diperlukan pengetahuan teoretis yang mendalam di sini.

Untuk mencari nilai turunan, titik ekstrem, dan interval monoton, ada algoritma sederhana dan universal - semuanya akan dibahas di bawah ini.

Baca kondisi masalah B9 dengan cermat agar tidak membuat kesalahan bodoh: terkadang teks yang cukup banyak muncul, tetapi ada beberapa kondisi penting yang mempengaruhi jalannya solusi.

Perhitungan nilai turunan. Metode dua titik

Jika masalah diberikan grafik fungsi f(x), bersinggungan dengan grafik ini di beberapa titik x 0 , dan diperlukan untuk menemukan nilai turunan pada titik ini, algoritma berikut diterapkan:

1. Temukan dua titik "memadai" pada grafik singgung: koordinatnya harus bilangan bulat. Mari kita nyatakan titik-titik ini sebagai A (x 1 ; y 1) dan B (x 2 ; y 2). Tuliskan koordinat dengan benar - ini adalah poin kunci dari solusi, dan kesalahan apa pun di sini mengarah pada jawaban yang salah.
2. Mengetahui koordinat, mudah untuk menghitung kenaikan argumen x = x 2 x 1 dan kenaikan fungsi y = y 2 y 1 .
3. Akhirnya, kami menemukan nilai turunan D = y/Δx. Dengan kata lain, Anda perlu membagi kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen - dan ini akan menjadi jawabannya.

Sekali lagi, kita perhatikan: titik A dan B harus dicari tepat pada garis singgung, dan bukan pada grafik fungsi f(x), seperti yang sering terjadi. Garis singgung harus mengandung setidaknya dua titik seperti itu, jika tidak, masalahnya dirumuskan secara tidak benar.

Pertimbangkan titik A (−3; 2) dan B (−1; 6) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Mari kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan titik A (0; 3) dan B (3; 0), temukan kenaikan:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Sekarang kita cari nilai turunannya: D = y/Δx = 3/3 = 1.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y \u003d f (x) dan garis singgungnya pada titik dengan absis x 0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x 0 .

Pertimbangkan poin A (0; 2) dan B (5; 2) dan temukan kenaikannya:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Tetap mencari nilai turunannya: D = y/Δx = 0/5 = 0.

Dari contoh terakhir, kita dapat merumuskan aturan: jika garis singgung sejajar dengan sumbu OX, turunan dari fungsi pada titik kontak sama dengan nol. Dalam hal ini, Anda bahkan tidak perlu menghitung apa pun - lihat saja grafiknya.

Menghitung Poin Tinggi dan Rendah

Kadang-kadang alih-alih grafik fungsi dalam masalah B9, grafik turunan diberikan dan diperlukan untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari fungsi tersebut. Dalam skenario ini, metode dua titik tidak berguna, tetapi ada algoritma lain yang lebih sederhana. Pertama, mari kita definisikan terminologinya:

1. Titik x 0 disebut titik maksimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).
2. Titik x 0 disebut titik minimum dari fungsi f(x) jika pertidaksamaan berikut berlaku di beberapa lingkungan dari titik ini: f(x 0) f(x).

Untuk mencari titik maksimum dan minimum pada grafik turunan, cukup melakukan langkah-langkah berikut:

1. Gambar ulang grafik turunan, hapus semua informasi yang tidak perlu. Seperti yang ditunjukkan oleh praktik, data tambahan hanya mengganggu solusi. Oleh karena itu, kami menandai nol dari turunan pada sumbu koordinat - dan hanya itu.
2. Cari tahu tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Jika untuk suatu titik x 0 diketahui bahwa f'(x 0) 0, maka hanya dua pilihan yang mungkin: f'(x 0) 0 atau f'(x 0) 0. Tanda turunannya adalah mudah ditentukan dari gambar aslinya: jika graf turunan terletak di atas sumbu OX, maka f'(x) 0. Sebaliknya, jika graf turunan terletak di bawah sumbu OX, maka f'(x) 0.
3. Kami kembali memeriksa nol dan tanda-tanda turunannya. Di mana tanda berubah dari minus ke plus, ada titik minimum. Sebaliknya, jika tanda turunannya berubah dari plus ke minus, ini adalah titik maksimumnya. Penghitungan selalu dilakukan dari kiri ke kanan.

Skema ini hanya berfungsi untuk fungsi kontinu - tidak ada yang lain dalam masalah B9.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−5; 5]. Temukan titik minimum dari fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita singkirkan informasi yang tidak perlu - kita hanya akan meninggalkan perbatasan [−5; 5] dan nol dari turunan x = 3 dan x = 2.5. Perhatikan juga tanda-tandanya:

Jelasnya, pada titik x = 3, tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus. Ini adalah titik minimum.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−3; 7]. Temukan titik maksimum fungsi f(x) pada segmen ini.

Mari kita menggambar ulang grafik, hanya menyisakan batas [−3; 7] dan nol dari turunan x = 1.7 dan x = 5. Perhatikan tanda-tanda turunan pada grafik yang dihasilkan. Kita punya:

Jelas, pada titik x = 5, tanda turunan berubah dari plus ke minus - ini adalah titik maksimum.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval [−6; empat]. Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) yang termasuk dalam interval [−4; 3].

Dari kondisi masalah, maka cukup untuk mempertimbangkan hanya bagian dari grafik yang dibatasi oleh segmen [−4; 3]. Oleh karena itu, kami membangun grafik baru, di mana kami hanya menandai batas [−4; 3] dan nol dari turunan di dalamnya. Yaitu, titik x = 3.5 dan x = 2. Kita peroleh:

Pada grafik ini, hanya ada satu titik maksimum x = 2. Di dalamnya tanda turunan berubah dari plus ke minus.

Catatan kecil tentang titik dengan koordinat non-integer. Misalnya, pada soal terakhir, titik x = 3.5 dipertimbangkan, tetapi dengan keberhasilan yang sama kita dapat mengambil x = 3.4. Jika masalah dirumuskan dengan benar, perubahan seperti itu seharusnya tidak mempengaruhi jawaban, karena poin "tanpa tempat tinggal tetap" tidak terlibat langsung dalam menyelesaikan masalah. Tentu saja, dengan poin integer, trik seperti itu tidak akan berhasil.

Menemukan interval kenaikan dan penurunan fungsi

Dalam masalah seperti itu, seperti titik maksimum dan minimum, diusulkan untuk menemukan area di mana fungsi itu sendiri meningkat atau menurun dari grafik turunan. Pertama, mari kita definisikan apa itu ascending dan descending:

1. Suatu fungsi f(x) disebut meningkat pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Dengan kata lain, semakin besar nilai argumen, semakin besar nilai fungsinya.
2. Suatu fungsi f(x) disebut menurun pada suatu ruas jika untuk sembarang dua titik x 1 dan x 2 dari ruas ini pernyataannya benar: x 1 x 2 f(x 1) f(x 2). Itu. nilai argumen yang lebih besar sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Kami merumuskan kondisi yang cukup untuk naik dan turun:

1. Agar fungsi kontinu f(x) meningkat pada segmen , turunannya di dalam segmen cukup positif, yaitu. f'(x) 0.
2. Agar fungsi kontinu f(x) berkurang pada segmen , turunannya di dalam segmen cukup negatif, yaitu. f'(x) 0.

Kami menerima pernyataan ini tanpa bukti. Dengan demikian, kami mendapatkan skema untuk menemukan interval kenaikan dan penurunan, yang dalam banyak hal mirip dengan algoritma untuk menghitung titik ekstrem:

1. Hapus semua informasi yang berlebihan. Pada grafik asli turunan, kami terutama tertarik pada nol dari fungsi, jadi kami hanya meninggalkannya.
2. Tandai tanda-tanda turunan pada interval antara nol. Dimana f'(x) 0, fungsi meningkat, dan dimana f'(x) 0, fungsi menurun. Jika masalah memiliki batasan pada variabel x, kami juga menandainya pada bagan baru.
3. Sekarang kita mengetahui perilaku fungsi dan kendala, tinggal menghitung nilai yang diperlukan dalam masalah.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−3; 7.5]. Tentukan interval fungsi menurun f(x). Dalam jawaban Anda, tulis jumlah bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Seperti biasa, kita menggambar ulang grafik dan menandai batas [−3; 7.5], serta nol dari turunan x = 1.5 dan x = 5.3. Kemudian kami menandai tanda-tanda turunannya. Kita punya:

Karena turunannya negatif pada interval (− 1,5), ini adalah interval fungsi menurun. Tetap menjumlahkan semua bilangan bulat yang ada di dalam interval ini:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sebuah tugas. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x) yang didefinisikan pada segmen [−10; empat]. Tentukan interval peningkatan fungsi f(x). Dalam jawaban Anda, tuliskan panjang yang terbesar dari mereka.

Mari kita singkirkan informasi yang berlebihan. Kami hanya meninggalkan batas [−10; 4] dan nol dari turunannya, yang kali ini menjadi empat: x = 8, x = 6, x = 3 dan x = 2. Perhatikan tanda-tanda turunan dan dapatkan gambar berikut:

Kami tertarik pada interval fungsi yang meningkat, yaitu di mana f'(x) 0. Ada dua interval seperti itu pada grafik: (−8; 6) dan (−3; 2). Mari kita hitung panjangnya:
l 1 = 6 (−8) = 2;
l 2 = 2 (−3) = 5.

Karena diperlukan untuk menemukan panjang interval terbesar, kami menulis nilai l 2 = 5 sebagai tanggapan.

Kalkulator menghitung turunan dari semua fungsi dasar, memberikan solusi terperinci. Variabel diferensiasi ditentukan secara otomatis.

Turunan fungsi merupakan salah satu konsep terpenting dalam analisis matematika. Masalah seperti itu menyebabkan munculnya turunan, seperti, misalnya, menghitung kecepatan sesaat dari suatu titik pada waktu tertentu, jika lintasan diketahui bergantung pada waktu, masalah menemukan garis singgung suatu fungsi pada suatu titik. .

Paling sering, turunan dari suatu fungsi didefinisikan sebagai batas rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen, jika ada.

Definisi. Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan titik . Maka turunan fungsi di titik tersebut disebut limit, jika ada

Bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi?

Untuk belajar membedakan fungsi, seseorang harus belajar dan memahami aturan diferensiasi dan pelajari cara menggunakan tabel turunan.

Aturan diferensiasi

Membiarkan dan menjadi fungsi terdiferensiasi arbitrer dari variabel nyata dan menjadi beberapa konstanta nyata. Kemudian

adalah aturan untuk membedakan produk fungsi

adalah aturan untuk membedakan fungsi hasil bagi

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferensiasi fungsi dengan eksponen variabel

- aturan diferensiasi fungsi kompleks

adalah aturan diferensiasi fungsi daya

Turunan dari fungsi online

Kalkulator kami akan dengan cepat dan akurat menghitung turunan dari fungsi apa pun secara online. Program tidak akan membuat kesalahan saat menghitung turunan dan akan membantu menghindari perhitungan yang panjang dan membosankan. Kalkulator online Ini juga akan berguna jika ada kebutuhan untuk memeriksa kebenaran solusi Anda, dan jika salah, cepat temukan kesalahannya.

Banyak teori telah ditulis tentang makna geometris. Saya tidak akan membahas turunan dari peningkatan fungsi, saya akan mengingatkan Anda tentang hal utama untuk menyelesaikan tugas:

Turunan di titik x sama dengan kemiringan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik ini, yaitu garis singgung sudut kemiringan terhadap sumbu X.

Mari segera ambil tugas dari ujian dan mulai memahaminya:

Tugas nomor 1. Angka tersebut menunjukkan grafik fungsi y = f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x0.
Siapa yang terburu-buru dan tidak ingin memahami penjelasannya: bangun segitiga seperti itu (seperti yang ditunjukkan di bawah) dan bagi sisi berdiri (vertikal) dengan sisi berbaring (horizontal) dan Anda akan senang jika Anda tidak melupakan tandanya (jika garis lurus berkurang (→↓) , maka jawabannya harus dengan minus, jika garis lurus bertambah (→), maka jawabannya pasti positif!)

Anda perlu menemukan sudut antara garis singgung dan sumbu X, sebut saja : kita menggambar garis lurus sejajar dengan sumbu X di mana saja melalui garis singgung grafik, kita mendapatkan sudut yang sama.

Lebih baik tidak mengambil titik x0, karena Anda akan membutuhkan kaca pembesar besar untuk menentukan koordinat yang tepat.

Mengambil segitiga siku-siku (3 opsi disarankan pada gambar), kami menemukan tgα (sudutnya sama, sesuai), yaitu. kita peroleh turunan dari fungsi f(x) di titik x0. Kenapa begitu?

Jika kita menggambar garis singgung di titik lain x2, x1, dll. tangen akan berbeda.

Mari kita kembali ke kelas 7 untuk membangun garis lurus!

Persamaan garis lurus diberikan oleh persamaan y = kx + b , di mana

k - kemiringan relatif terhadap sumbu X.

b adalah jarak antara titik potong dengan sumbu Y dan titik asal.

Turunan garis lurus selalu sama: y" = k.

Pada titik mana pun pada garis yang kita ambil turunannya, itu tidak akan berubah.

Oleh karena itu, tinggal mencari tgα (seperti yang disebutkan di atas: kita membagi sisi berdiri dengan sisi berbaring). Kami membagi kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan, kami mendapatkan k \u003d 0,5. Namun, jika grafiknya menurun, koefisiennya negatif: k = 0,5.

Saya menyarankan Anda untuk memeriksa cara kedua:
Dua titik dapat digunakan untuk menentukan garis lurus. Temukan koordinat dua titik mana pun. Misalnya, (-2;-2) dan (2;-4):

Substitusikan dalam persamaan y = kx + b sebagai ganti y dan x koordinat titik-titik:

-2 = -2k + b

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan b = 3, k = 0.5

Kesimpulan: Metode kedua lebih panjang, tetapi di dalamnya Anda tidak akan melupakan tandanya.

Jawaban: - 0,5

Tugas nomor 2. Angka tersebut menunjukkan grafik turunan fungsi f(x). Delapan titik ditandai pada sumbu x: x1, x2, x3, ..., x8. Berapa banyak dari titik-titik ini terletak pada interval peningkatan fungsi f(x) ?

Jika grafik fungsi menurun - turunannya negatif (dan sebaliknya).

Jika grafik fungsi meningkat, turunannya positif (dan sebaliknya).

Kedua frasa ini akan membantu Anda memecahkan sebagian besar masalah.

Perhatikan baik-baik gambar turunan atau fungsi diberikan kepada Anda, lalu pilih salah satu dari dua frasa.

Kami membuat grafik skematis dari fungsi tersebut. Karena kita diberikan grafik turunan, maka di mana negatif, grafik fungsi menurun, di mana positif, meningkat!

Ternyata 3 poin terletak pada area kenaikan: x4; x5; x6.

Jawaban: 3

Tugas nomor 3. Fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-6; 4). Gambar menunjukkan grafik turunannya. Temukan absis titik di mana fungsi tersebut memiliki nilai terbesar.

Saya menyarankan Anda untuk selalu membangun bagaimana grafik fungsi berjalan, dengan panah seperti itu atau secara skematis dengan tanda (seperti pada No. 4 dan No. 5):

Jelas, jika grafik meningkat menjadi -2, maka titik maksimumnya adalah -2.

Jawaban: -2

Tugas nomor 4. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f(x) dan dua belas titik pada sumbu x: x1, x2, ..., x12. Berapa banyak dari titik-titik ini yang merupakan turunan dari fungsi negatif?

Tugasnya terbalik, mengingat grafik fungsinya, Anda perlu membangun secara skematis seperti apa grafik turunan fungsi itu, dan menghitung berapa banyak titik yang akan berada dalam kisaran negatif.

Positif: x1, x6, x7, x12.

Negatif: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Jawaban: 7

Jenis tugas lain, ketika ditanya tentang beberapa "ekstrim" yang mengerikan? Tidak akan sulit bagi Anda untuk menemukan apa itu, tetapi saya akan menjelaskan grafiknya.

Tugas nomor 5. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f(x), yang didefinisikan pada interval (-16; 6). Temukan jumlah titik ekstrem dari fungsi f(x) pada segmen [-11; 5].

Perhatikan rentang dari -11 hingga 5!

Mari kita beralih mata cerah kita ke piring: grafik turunan dari fungsi diberikan => maka ekstrem adalah titik persimpangan dengan sumbu X.

Jawaban: 3

Tugas nomor 6. Gambar tersebut menunjukkan grafik turunan dari fungsi f (x), yang didefinisikan pada interval (-13; 9). Tentukan jumlah titik maksimum dari fungsi f(x) pada ruas [-12; 5].

Perhatikan rentang dari -12 hingga 5!

Anda dapat melihat pelat dengan satu mata, titik maksimum adalah ekstrem, sehingga sebelum turunannya positif (fungsinya meningkat), dan setelahnya turunannya negatif (fungsinya menurun). Titik-titik ini dilingkari.

Panah menunjukkan bagaimana grafik fungsi berperilaku.

Jawaban: 3

Tugas nomor 7. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval (-7; 5). Tentukan banyaknya titik dimana turunan dari fungsi f(x) sama dengan 0.

Anda dapat melihat tabel di atas (turunannya adalah nol, yang berarti ini adalah titik ekstrem). Dan dalam masalah ini, grafik fungsi diberikan, yang berarti Anda perlu mencari jumlah titik belok!

Dan Anda dapat, seperti biasa: kami membuat grafik skematis turunan.

Turunan adalah nol ketika grafik fungsi berubah arahnya (dari naik ke turun dan sebaliknya)

Jawaban: 8

Tugas nomor 8. Gambar menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-2; 10). Temukan interval fungsi yang meningkat f(x). Dalam jawaban Anda, tunjukkan jumlah poin bilangan bulat yang termasuk dalam interval ini.

Mari kita buat grafik skematis dari fungsi:

Dimana meningkat, kita mendapatkan 4 poin integer: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Jawaban: 22

Tugas nomor 9. Gambar menunjukkan grafik turunan fungsi f(x) didefinisikan pada interval (-6; 6). Tentukan banyaknya titik f(x) yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar atau berimpit dengan garis y = 2x + 13.

Kami diberikan grafik turunan! Artinya tangen kita juga harus “diterjemahkan” menjadi turunan.

Turunan tangen: y" = 2.

Sekarang mari kita bangun kedua turunannya:

Garis singgung berpotongan di tiga titik, jadi jawaban kita adalah 3.

Jawaban: 3

Tugas nomor 10. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi f (x), dan titik-titik -2, 1, 2, 3. Di mana dari titik-titik ini nilai turunannya paling kecil? Tolong tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.

Tugasnya agak mirip dengan yang pertama: untuk menemukan nilai turunan, Anda perlu membangun garis singgung grafik ini pada suatu titik dan menemukan koefisien k.

Jika garis menurun, k< 0.

Jika garis bertambah, k > 0.

Mari kita pikirkan bagaimana nilai koefisien akan mempengaruhi kemiringan garis lurus:

Dengan k = 1 atau k = 1, grafik akan berada di tengah-tengah antara sumbu x dan y.

Semakin dekat garis lurus ke sumbu X, semakin dekat koefisien k ke nol.

Semakin dekat garis ke sumbu Y, semakin dekat koefisien k hingga tak terhingga.

Pada titik -2 dan 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>di situlah nilai terkecil dari turunannya adalah

Jawaban 1

Tugas nomor 11. Garis singgung y = 3x + 9 ke grafik fungsi y = x³ + x² + 2x + 8 . Temukan absis titik kontak.

Garis akan bersinggungan dengan grafik ketika grafik memiliki titik yang sama, seperti turunannya. Samakan persamaan grafik dan turunannya:

Memecahkan persamaan kedua, kita mendapatkan 2 poin. Untuk memeriksa mana yang cocok, kita substitusikan masing-masing x ke persamaan pertama. Hanya satu yang akan melakukannya.

Saya tidak ingin menyelesaikan persamaan kubik sama sekali, tetapi persamaan kuadrat untuk jiwa yang manis.

Itu saja yang harus ditulis sebagai tanggapan, jika Anda mendapatkan dua jawaban "normal"?

Saat mensubstitusi x (x) ke dalam grafik asli y \u003d 3x + 9 dan y \u003d x³ + x² + 2x + 8, Anda harus mendapatkan Y yang sama

y= 1³+1²+2×1+8=12

Benar! Jadi x=1 akan menjadi jawabannya

Jawaban 1

Tugas nomor 12. Garis y = 5x 6 menyinggung grafik fungsi ax² + 5x 5 . Menemukan sebuah .

Demikian pula, kami menyamakan fungsi dan turunannya:

Mari kita selesaikan sistem ini sehubungan dengan variabel a dan x :

Jawaban: 25

Tugas dengan turunan dianggap salah satu yang paling sulit di bagian pertama ujian, namun, dengan sedikit perhatian dan pemahaman tentang masalah ini, Anda akan berhasil, dan Anda akan meningkatkan persentase penyelesaian tugas ini!