Nilai cos sin dalam seperempat. Bagaimana cara mengingat nilai cosinus dan sinus dari titik-titik utama lingkaran numerik

11.02.2022 | Dunia

Pelajaran 1

Fungsi trigonometri argumen apa pun.

Pengertian dan sifat-sifat sinus, cosinus, tangen, dan kotangen.

Ukuran radian suatu sudut.

Kami menandai titik A pada sumbu Ox dari titik asal koordinat dan menggambar lingkaran melaluinya dengan pusat di titik O. Jari-jari OA akan disebut radius awal.

Sudut P (OM; OE) dapat digambarkan sebagai hasil putaran di sekitar titik asal balok dengan titik asal di titik O dari posisi OM - awal ke posisi OE - akhir. Rotasi ini dapat berupa berlawanan arah jarum jam atau searah jarum jam, dengan

a) baik untuk belokan parsial,

b) baik dengan jumlah putaran penuh bilangan bulat;

c) bilangan bulat dari putaran penuh dan putaran parsial.

Ukuran sudut yang berorientasi berlawanan arah jarum jam dianggap positif, dan searah jarum jam _negatif

Kami akan mempertimbangkan sudut yang sama sudut yang, ketika sinar awal mereka digabungkan dalam beberapa cara, sinar akhir juga digabungkan, dan pergerakan dari sinar awal ke yang terakhir dilakukan dalam arah yang sama untuk jumlah yang sama. revolusi lengkap dan tidak lengkap di sekitar titik O.

Sudut nol dianggap sama.

Sifat ukuran sudut:

Ada sudut yang ukurannya 1 - satuan ukuran sudut. Sudut yang Sama memiliki ukuran yang setara. Besarnya jumlah dua sudut sama dengan jumlah besar sudut. Ukuran sudut nol adalah nol.

Ukuran sudut yang paling umum adalah derajat dan radian.

Satuan ukuran untuk sudut dalam derajat adalah sudut besarnya satu derajat - 1/180 dari sudut yang diperluas. Dari mata kuliah geometri diketahui bahwa besaran sudut dalam derajat dinyatakan dengan angka dari 01.01.01. untuk sudut rotasi, dapat dinyatakan dalam derajat dengan cara apa pun bilangan asli dari -∞ ke +∞.

Sebagai lingkaran yang berpusat di titik asal, kita akan mengambil lingkaran dengan jari-jari satuan, yang menunjukkan titik-titik perpotongannya dengan sumbu koordinat A (1;0), B (0;1), C (-1;0), D (0;-1). Sinar OA akan diambil sebagai sudut awal untuk sudut yang dipertimbangkan.

Sumbu koordinat absis dan ordinat saling tegak lurus dan membagi bidang menjadi empat bagian koordinat: I, II, III, IV (lihat gambar).

Bergantung pada kuartal koordinat mana jari-jari OM akan berada, sudutα akan menjadi sudut yang sama dari kuartal ini.

Jadi jika 00< α <900 , то угол α - sudut kuartal pertama;

Jika 900< α <1800 , то угол α - sudut kuarter kedua;

Jika 1800< α <2700 , то угол α - sudut kuartal ketiga;

Jika 2700< α <3600 , то угол α - sudut kuarter keempat.

Jelas bahwa ketika jumlah putaran bilangan bulat ditambahkan ke sudut, sudut seperempat yang sama diperoleh.

Misalnya, sudut 4300 adalah sudut Saya - oh seperempat, sejak 4300 \u003d 3600 + 700 \u003d 700;

Sudut 9200 adalah sudut AKU AKU AKU kuartal -th, karena 9200 = 3600 2 + 2000 = 2000

(yaitu jumlah seluruh putaran dapat diabaikan!)

Sudut 00, ± 900 , ± 1800, ± 2700, ± 3600 - tidak mengacu pada kuartal mana pun .

Mari kita tentukan sudut mana yang merupakan sudut jika:

\u003d 2830 (IV) \u003d 1900 (III) \u003d 1000 (II) \u003d -200 (IV h - arah negatif)

Dan sekarang sendiri:

= 1790 = 3250 = 8000 = -1200

Dalam perjalanan geometri, sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut ditentukan pada

00 1800 . Kami sekarang mempertimbangkan definisi ini untuk sudut sewenang-wenang .

font-size:12.0pt;line-height:115%">Biarkan sudutnyaα radius awal OA masuk ke radius OM.

sinus suatu sudutα adalah rasio ordinat titik M dengan panjang jari-jarinya, mis.

Cosinus suatu sudutα adalah rasio absis titik M dengan panjang jari-jarinya, mis.

Tangen suatu sudutα adalah rasio ordinat titik M dengan absisnya, mis.

kotangen suatu sudut α adalah rasio absis titik M dengan ordinatnya, mis.

Pertimbangkan contoh penghitungan fungsi trigonometri menggunakan tabel nilai beberapa sudut. Tanda hubung dibuat ketika ekspresi tidak masuk akal.

α (derajat)	00	300	450	600	900	1800	2700	3600
(senang)	0					π		2π
dosa
karena
tgα
ctgα

Contoh №1. Temukan sin300; biaya450; tg600.

Solusi: a) temukan di kolom tabel dosa dan pada garis 300, di persimpangan kolom dan garis, kami menemukan nilai dosa 300 adalah angka. Mereka menulis seperti ini: dosa 300 =

b) temukan di kolom tabel karena dan pada garis 450, pada perpotongan kolom dan garis, kita temukan nilai karena 450 adalah angka. Mereka menulis seperti ini: cos 450 =

c) temukan di kolom tabel tga dan pada garis 600, pada perpotongan kolom dan garis, kita temukan nilai tg 600 adalah angka EN-US style="font-size:12.0pt;line-height:115%"">tg600 =font-size:12.0pt;line-height:115%">Contoh #2

Menghitung a) 2 detik 600 + EN-US" style="font-size: 12.0pt;line-height:115%">karena300 = 2 font-size:12.0pt;line-height:115%"> b)3 tg 450 tg 600 = 3 1 https://pandia.ru/text/79/454/images/image017_6.gif" width="24" height="24 src=">

Hitung sendiri : a) 5 sin 300 - ctg 450 b) 2 sin 300 + 6 cos 600 - 4 tg 450

c ) 4tg 600 sin 600 c ) 2cossin 900 + 5tg 1800

Pertimbangkan beberapa sifat fungsi trigonometri.

Mari kita cari tahu apa tanda-tanda sinus, cosinus, tangen dan kotangen di masing-masing kuartal koordinat.

Biarkan, ketika memutar jari-jari OA, sama dengan R , dengan sudut , titik A telah pindah ke titik M dengan koordinat x dan y. Karena(R = 1), maka tanda tergantung pada tanda y.

Di I dan II perempat y>0, dan in II dan IV perempat - at<0.

Tanda tergantung pada x karena, maka untuk sudut I dan IV perempat - x > 0, dan in

Kuartal II dan III x<0.

Karena ; , kemudian pada triwulan I dan III dan memiliki tanda "+", dan II dan IV perempat mereka memiliki tanda minus.

Dalam pelajaran terakhir, kami berhasil menguasai (atau mengulangi - sesuka orang) konsep-konsep kunci dari semua trigonometri. dia lingkaran trigonometri , sudut pada lingkaran , sinus dan cosinus dari sudut ini dan juga menguasai tanda-tanda fungsi trigonometri di perempat . Dipelajari secara detail. Di jari, bisa dikatakan.

Tapi ini masih belum cukup. Agar berhasil menerapkan semua konsep sederhana ini dalam praktik, kita memerlukan keterampilan lain yang berguna. Yaitu, yang benar bekerja dengan sudut dalam trigonometri. Tanpa keterampilan ini dalam trigonometri - tidak ada. Bahkan dalam contoh yang paling primitif. Mengapa? Ya, karena sudut adalah figur utama dalam semua trigonometri! Tidak tidak fungsi trigonometri, bukan sinus dengan kosinus, bukan garis singgung dengan kotangen, yaitu sudut itu sendiri. Tidak ada sudut - tidak ada fungsi trigonometri, ya ...

Bagaimana cara bekerja dengan sudut pada lingkaran? Untuk melakukan ini, ironisnya kita perlu mempelajari dua poin.

1) Bagaimana Apakah sudut pada lingkaran dihitung?

2) Apa apakah mereka dihitung (diukur)?

Jawaban atas pertanyaan pertama adalah topik pelajaran hari ini. Kami akan menangani pertanyaan pertama secara rinci di sini dan sekarang. Jawaban untuk pertanyaan kedua tidak akan diberikan di sini. Karena sudah cukup berkembang. Seperti pertanyaan kedua itu sendiri, sangat licin, ya.) Saya tidak akan membahas detailnya untuk saat ini. Ini adalah topik pelajaran terpisah berikutnya.

Haruskah kita mulai?

Bagaimana cara menghitung sudut pada lingkaran? Sudut positif dan negatif.

Mereka yang membaca judul paragraf mungkin sudah merinding. Bagaimana?! Sudut negatif? Apakah ini mungkin?

ke negatif angka kita sudah terbiasa. Kita dapat merepresentasikannya pada sumbu numerik: positif di sebelah kanan nol, negatif di sebelah kiri nol. Ya, dan kami melihat termometer di luar jendela secara berkala. Terutama di musim dingin, di es.) Dan uang di telepon ada di "minus" (mis. kewajiban) kadang hilang. Itu semua akrab.

Tapi bagaimana dengan sudut-sudutnya? Ternyata sudut negatif dalam matematika juga terjadi! Itu semua tergantung pada bagaimana menghitung sudut ini ... tidak, bukan pada garis bilangan, tetapi pada lingkaran bilangan! Maksudku, dalam lingkaran. Lingkaran - ini dia, analog dari garis bilangan dalam trigonometri!

Jadi, Bagaimana cara menghitung sudut pada lingkaran? Tidak ada yang harus dilakukan, kita harus menggambar lingkaran ini terlebih dahulu.

Saya akan menggambar gambar yang indah ini:

Hal ini sangat mirip dengan gambar dari pelajaran sebelumnya. Ada sumbu, ada lingkaran, ada sudut. Tapi ada juga informasi baru.

Saya juga menambahkan angka untuk 0 °, 90 °, 180 °, 270 ° dan 360 ° pada sumbu. Sekarang ini lebih menarik.) Berapa angka-angka ini? Benar! Ini adalah nilai sudut yang diukur dari sisi tetap kami, yang jatuh pada sumbu koordinat. Kita ingat bahwa sisi tetap dari sudut selalu melekat erat pada semisumbu positif OX. Dan setiap sudut dalam trigonometri diukur dari semiaxis ini. Asal-usul dasar sudut ini harus diingat secara ironis. Dan sumbu - mereka berpotongan di sudut kanan, bukan? Jadi kami menambahkan 90 ° di setiap kuartal.

Dan lebih banyak lagi ditambahkan panah merah. Dengan nilai tambah. Yang merah sengaja untuk menarik perhatian. Dan itu melekat dalam ingatanku dengan baik. Untuk ini harus diingat dengan andal.) Apa arti panah ini?

Jadi ternyata, jika kita berbelok di tikungan ditambah panah(berlawanan arah jarum jam, selama penomoran perempat), maka sudut akan dianggap positif! Gambar menunjukkan sudut +45° sebagai contoh. Omong-omong, harap perhatikan bahwa sudut aksial 0°, 90°, 180°, 270°, dan 360° juga diputar ulang dengan tepat di plus! Oleh panah merah.

Sekarang mari kita lihat gambar lainnya:

Hampir semuanya sama di sini. Hanya sudut pada sumbu yang diberi nomor terbalik. Searah jarum jam. Dan mereka memiliki tanda minus.) panah biru. Juga dengan minus. Panah ini adalah arah pembacaan negatif sudut pada lingkaran. Dia menunjukkan kepada kita bahwa jika kita menunda sudut kita searah jarum jam, kemudian sudut akan dianggap negatif. Misalnya, saya menunjukkan sudut -45 °.

Omong-omong, harap dicatat bahwa penomoran perempat tidak pernah berubah! Tidak masalah jika kita memutar sudut plus atau minus. Selalu berlawanan arah jarum jam.)

Ingat:

1. Awal penghitungan sudut adalah dari semisumbu positif . Per jam - "minus", melawan waktu - "plus".

2. Penomoran seperempat selalu berlawanan arah jarum jam, terlepas dari arah perhitungan sudut.

Omong-omong, menandatangani sudut pada sumbu 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °, setiap kali menggambar lingkaran, bukanlah persyaratan sama sekali. Ini murni untuk memahami esensi. Tetapi angka-angka ini harus ada di kepalamu ketika memecahkan masalah dalam trigonometri. Mengapa? Ya, karena pengetahuan dasar ini memberikan jawaban atas banyak pertanyaan lain di semua trigonometri! Pertanyaan yang paling penting adalah di kuartal berapa sudut yang kita minati jatuh? Percaya atau tidak, jawaban yang benar untuk pertanyaan ini memecahkan bagian terbesar dari semua masalah lain dengan trigonometri. Kita akan membahas pelajaran penting ini (distribusi sudut dalam seperempat) dalam pelajaran yang sama, tetapi sedikit kemudian.

Nilai-nilai sudut yang terletak pada sumbu koordinat (0 °, 90 °, 180 °, 270 ° dan 360 °) harus diingat! Ingat tegas, untuk otomatisme. Dan baik dalam plus dan minus.

Tapi mulai saat ini kejutan pertama dimulai. Dan bersama mereka pertanyaan rumit ditujukan kepada saya, ya ...) Dan apa yang akan terjadi jika sudut negatif pada lingkaran cocok dengan positif? Ternyata itu titik yang sama pada lingkaran dapat dilambangkan sebagai sudut positif, dan yang negatif ???

Benar sekali! Begitulah.) Misalnya, sudut positif +270° menempati lingkaran posisi yang sama , yang merupakan sudut negatif -90 °. Atau, misalnya, sudut positif +45° pada lingkaran akan mengambil posisi yang sama , yang merupakan sudut negatif -315 °.

Kami melihat gambar berikutnya dan melihat semuanya:

Demikian pula, sudut positif +150 ° akan menuju ke tempat sudut negatif -210 °, sudut positif +230 ° akan menuju tempat yang sama dengan sudut negatif -130 °. Dan seterusnya…

Dan sekarang apa yang bisa saya lakukan? Bagaimana tepatnya menghitung sudut, jika mungkin dengan cara ini dan itu? Bagaimana benar?

Menjawab: pokoknya benar! Matematika tidak melarang salah satu dari dua arah untuk menghitung sudut. Dan pilihan arah tertentu hanya bergantung pada tugas. Jika tugas tidak mengatakan apa pun dalam teks biasa tentang tanda sudut (seperti "tentukan yang terbesar" negatif sudut" dll.), maka kami bekerja dengan sudut yang paling nyaman bagi kami.

Tentu saja, misalnya, dalam topik keren seperti persamaan dan pertidaksamaan trigonometri, arah perhitungan sudut dapat berdampak besar pada jawabannya. Dan dalam topik yang relevan, kami akan mempertimbangkan perangkap ini.

Ingat:

Setiap titik pada lingkaran dapat dilambangkan dengan sudut positif dan negatif. Siapa pun! Apa yang kita mau.

Sekarang mari kita pikirkan ini. Kami menemukan bahwa sudut 45° persis sama dengan sudut -315°? Bagaimana saya mengetahui tentang hal yang sama 315° ? Tidak bisakah kamu menebak? Ya! Melalui putaran penuh.) Dalam 360 °. Kami memiliki sudut 45°. Berapa banyak yang hilang sebelum putaran penuh? Kurangi 45° dari 360° - di sini kita mendapatkan 315° . Kami berliku ke arah negatif - dan kami mendapatkan sudut -315 °. Masih belum jelas? Kemudian perhatikan lagi gambar di atas.

Dan ini harus selalu dilakukan ketika menerjemahkan sudut positif menjadi negatif (dan sebaliknya) - menggambar lingkaran, perhatikan tentang sudut tertentu, kami mempertimbangkan berapa derajat yang hilang sebelum putaran penuh, dan kami memutar perbedaan yang dihasilkan ke arah yang berlawanan. Dan itu saja.)

Apa lagi yang menarik dari sudut-sudut yang menempati posisi yang sama pada lingkaran, bagaimana menurut Anda? Dan fakta bahwa sudut seperti itu persis sama sinus, cosinus, tangen, dan kotangen! Selalu!

Sebagai contoh:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

Dan sekarang ini sangat penting! Untuk apa? Ya, semuanya sama!) Untuk menyederhanakan ekspresi. Untuk penyederhanaan ekspresi adalah prosedur kunci untuk solusi yang sukses setiap tugas dalam matematika. Dan trigonometri juga.

Jadi, kami menemukan aturan umum untuk menghitung sudut pada lingkaran. Nah, jika kita di sini mengisyaratkan belokan penuh, sekitar perempat, maka sudah waktunya untuk memutar dan menggambar sudut-sudut ini. Haruskah kita menggambar?)

Mari kita mulai dengan positif sudut. Mereka akan lebih mudah untuk menggambar.

Gambarlah sudut dalam satu putaran (antara 0 ° dan 360 °).

Mari kita menggambar, misalnya, sudut 60°. Semuanya sederhana di sini, tanpa embel-embel. Kami menggambar sumbu koordinat, lingkaran. Anda bisa langsung dengan tangan, tanpa kompas dan penggaris. Kami menggambar secara skematis A: Kami tidak memiliki drafting dengan Anda. Tidak perlu mematuhi GOST, mereka tidak akan dihukum.)

Anda dapat (untuk diri Anda sendiri) menandai nilai sudut pada sumbu dan menunjukkan panah ke arah melawan waktu. Lagi pula, kita akan menghemat uang sebagai nilai tambah?) Anda tidak dapat melakukan ini, tetapi Anda harus menyimpan semuanya di kepala Anda.

Dan sekarang kita menggambar sisi sudut kedua (bergerak). kuartal berapa? Yang pertama, tentu saja! Untuk 60 derajat secara ketat antara 0 ° dan 90 °. Jadi kita imbang di kuarter pertama. pada suatu sudut tentang 60 derajat ke sisi tetap. Bagaimana cara menghitungnya? tentang 60 derajat tanpa busur derajat? Mudah! 60 ° adalah dua pertiga dari sudut siku-siku! Kami secara mental membagi seperempat lingkaran pertama menjadi tiga bagian, kami mengambil dua pertiga untuk diri kami sendiri. Dan kami menggambar ... Berapa banyak yang kami dapatkan di sana (jika kami memasang busur derajat dan mengukurnya) - 55 derajat atau 64 - tidak masalah! Yang penting masih di suatu tempat sekitar 60 °.

Kami mendapatkan gambar:

Itu saja. Dan tidak ada alat yang dibutuhkan. Kami mengembangkan mata! Ini akan berguna dalam masalah geometri.) Gambar yang tidak sedap dipandang ini sangat diperlukan ketika Anda perlu menggores lingkaran dan sudut dengan tergesa-gesa, tanpa benar-benar memikirkan keindahan. Tapi pada saat yang sama mencoret-coret Baik, tanpa kesalahan, dengan semua informasi yang diperlukan. Misalnya, sebagai bantuan dalam menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan trigonometri.

Sekarang mari kita menggambar sudut, misalnya, 265 °. Tebak di mana itu mungkin? Jelas bahwa tidak di kuartal pertama dan bahkan di kuartal kedua: mereka berakhir pada 90 dan 180 derajat. Anda dapat berpikir bahwa 265 ° adalah 180 ° ditambah 85 ° lainnya. Artinya, ke OX semisumbu negatif (di mana 180 °) harus ditambahkan tentang 85 °. Atau, bahkan lebih mudah, untuk menebak bahwa 265 ° tidak mencapai semi-sumbu negatif OY (di mana 270 °) dari beberapa 5 ° yang tidak menguntungkan. Singkatnya, di kuartal ketiga akan ada sudut ini. Sangat dekat dengan sumbu negatif OY, hingga 270 derajat, tetapi masih di posisi ketiga!

Seri:

Sekali lagi, presisi mutlak tidak diperlukan di sini. Biarkan pada kenyataannya sudut ini ternyata, katakanlah, 263 derajat. Tapi pertanyaan yang paling penting (kuartal berapa?) kami menjawab dengan benar. Mengapa ini pertanyaan yang paling penting? Ya, karena setiap pekerjaan dengan sudut dalam trigonometri (apakah kita menggambar sudut ini atau tidak) dimulai dengan jawaban untuk pertanyaan ini! Selalu. Jika Anda mengabaikan pertanyaan ini atau mencoba menjawabnya secara mental, maka kesalahan hampir tidak dapat dihindari, ya ... Apakah Anda membutuhkannya?

Ingat:

Pekerjaan apa pun dengan sudut (termasuk menggambar sudut ini pada lingkaran) selalu dimulai dengan menentukan kuartal di mana sudut ini jatuh.

Sekarang, saya harap Anda akan menggambar sudut dengan benar, misalnya, 182°, 88°, 280°. PADA benar perempat. Di ketiga, pertama dan keempat, jika ada ...)

Kuartal keempat berakhir pada sudut 360°. Ini adalah satu putaran penuh. Pepper jelas bahwa sudut ini menempati posisi yang sama pada lingkaran sebagai 0 ° (yaitu, titik referensi). Tapi sudutnya tidak berakhir di situ, ya...

Apa yang harus dilakukan dengan sudut yang lebih besar dari 360°?

"Apakah hal-hal seperti itu ada?"- Anda bertanya. Ada, bagaimana! Itu terjadi, misalnya, sudut 444 °. Dan terkadang, katakanlah, sudut 1000 °. Ada berbagai macam sudut.) Secara visual, sudut-sudut eksotis seperti itu dianggap sedikit lebih rumit daripada sudut-sudut biasa dalam satu belokan. Tapi kamu juga harus bisa menggambar dan menghitung sudut seperti itu, ya.

Untuk menggambar sudut seperti itu dengan benar pada lingkaran, Anda perlu melakukan hal yang sama - cari tahu di kuartal mana sudut bunga jatuh. Di sini kemampuan untuk secara akurat menentukan seperempat jauh lebih penting daripada untuk sudut dari 0 ° hingga 360 °! Prosedur untuk menentukan seperempat sangat rumit hanya dengan satu langkah. Yang mana, Anda akan segera melihatnya.

Jadi, misalnya, kita perlu mencari tahu di perempat mana sudut 444° jatuh. Kami mulai berputar. Di mana? Sebagai nilai tambah, tentu saja! Mereka memberi kami sudut positif! +444°. Kami memutar, kami memutar ... Kami memutar satu putaran - kami mencapai 360 °.

Berapa banyak yang tersisa untuk 444°?Kami menghitung ekor yang tersisa:

444°-360° = 84°.

Jadi 444° adalah satu putaran penuh (360°) ditambah 84° lainnya. Jelas, ini adalah kuartal pertama. Jadi, sudut 444° jatuh pada kuartal pertama. Setengah selesai.

Sekarang tinggal menggambarkan sudut ini. Bagaimana? Sangat sederhana! Kami membuat satu putaran penuh di sepanjang panah merah (plus) dan menambahkan 84 ° lainnya.

Seperti ini:

Di sini saya tidak mengacaukan gambar - tanda perempat, menggambar sudut pada sumbu. Semua kebaikan ini seharusnya sudah lama ada di kepalaku.)

Tapi saya tunjukkan dengan "siput" atau spiral bagaimana tepatnya sudut 444 ° terbentuk dari sudut 360 ° dan 84 °. Garis merah putus-putus adalah satu putaran penuh. Di mana 84° juga disekrup (garis padat). Ngomong-ngomong, harap dicatat bahwa jika belokan penuh ini dibuang, maka ini tidak akan mempengaruhi posisi sudut kita dengan cara apa pun!

Tapi ini penting! Posisi sudut 444° benar-benar bertepatan dengan posisi sudut 84°. Tidak ada keajaiban, itu terjadi begitu saja.)

Apakah mungkin untuk membuang bukan satu putaran penuh, tetapi dua atau lebih?

Kenapa tidak? Jika sudutnya besar dan kuat, maka itu tidak hanya mungkin, tetapi bahkan perlu! Sudutnya tidak akan berubah! Lebih tepatnya, sudut itu sendiri tentu saja akan berubah besarnya. Tapi posisinya di lingkaran - tidak mungkin!) Itu sebabnya mereka penuh momentum, bahwa tidak peduli berapa banyak salinan yang Anda tambahkan, tidak peduli berapa banyak Anda mengurangi, Anda akan tetap mencapai titik yang sama. Bagus, kan?

Ingat:

Jika kita menambahkan (mengurangi) ke sudut apapun utuh jumlah putaran lengkap, posisi sudut asli pada lingkaran TIDAK akan berubah!

Sebagai contoh:

Di perempat manakah sudut 1000 ° jatuh?

Tidak masalah! Kami mempertimbangkan berapa banyak putaran penuh dalam seribu derajat. Satu revolusi adalah 360°, yang lain sudah 720°, yang ketiga adalah 1080°… Berhenti! Menyergap! Jadi, dalam sudut 1000 ° duduk dua perputaran penuh. Buang mereka dari 1000 ° dan hitung sisanya:

1000 ° - 2 360° = 280 °

Jadi posisi sudut 1000 ° pada lingkaran sama, yang sama dengan sudut 280 °. Dengan siapa itu sudah jauh lebih menyenangkan untuk bekerja.) Dan di mana sudut ini jatuh? Itu jatuh ke dalam kuartal keempat: 270 ° (sumbu semi negatif OY) ditambah sepuluh lainnya.

Seri:

Di sini saya tidak lagi menggambar dua putaran penuh dengan spiral putus-putus: ternyata sangat panjang. Hanya menggambar sisa kuncir kuda dari nol, membuang semua belokan ekstra. Sepertinya mereka bahkan tidak ada.)

Sekali lagi. Dalam cara yang baik, sudut 444° dan 84°, serta 10000° dan 280° berbeda. Tetapi untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen, sudut-sudut ini adalah sama!

Seperti yang Anda lihat, untuk bekerja dengan sudut yang lebih besar dari 360°, Anda perlu mendefinisikan berapa banyak putaran penuh duduk di sudut besar tertentu. Ini adalah langkah tambahan yang harus dilakukan sebelumnya ketika bekerja dengan sudut seperti itu. Tidak ada yang rumit, kan?

Menjatuhkan putaran penuh, tentu saja, adalah pengalaman yang menyenangkan.) Tetapi dalam praktiknya, ketika bekerja dengan sudut yang benar-benar mengerikan, kesulitan juga terjadi.

Sebagai contoh:

Di kuartal mana sudut 31240 ° jatuh?

Dan apa, kita akan menambahkan 360 derajat berkali-kali? Itu mungkin, jika tidak terbakar terutama. Tapi kita tidak bisa hanya menambahkan.) Kita juga bisa membagi!

Jadi mari kita bagi sudut besar kita menjadi 360 derajat!

Dengan tindakan ini, kami hanya mengetahui berapa banyak putaran penuh yang tersembunyi di 31240 derajat kami. Anda dapat berbagi sudut, Anda dapat (berbisik di telinga Anda :)) di kalkulator.)

Kami mendapatkan 31240:360 = 86.777777….

Fakta bahwa angka tersebut ternyata pecahan tidaklah menakutkan. Kami hanya utuh Saya tertarik dengan turnover! Oleh karena itu, tidak perlu membagi sampai akhir.)

Jadi, di sudut shaggy kami duduk sebanyak 86 putaran penuh. Kengerian…

Dalam derajat itu akan menjadi86 360° = 30960°

Seperti ini. Itulah berapa derajat yang dapat dilempar tanpa rasa sakit dari sudut tertentu 31240 °. Tetap:

31240 ° - 30960 ° = 280 °

Semuanya! Posisi sudut 31240 ° diidentifikasi sepenuhnya! Di tempat yang sama dengan 280°. Itu. kuarter keempat.) Sepertinya kita sudah menggambarkan sudut ini sebelumnya? Kapan sudut 1000 ° ditarik?) Di sana kami juga pergi 280 derajat. Kebetulan.)

Jadi moral dari cerita ini adalah:

Jika kita diberi sudut besar dan kuat yang mengerikan, maka:

1. Tentukan berapa banyak putaran penuh yang ada di sudut ini. Untuk melakukan ini, bagi sudut asli dengan 360 dan buang bagian pecahannya.

2. Kami mempertimbangkan berapa derajat dalam jumlah putaran yang diterima. Untuk melakukan ini, kalikan jumlah putaran dengan 360.

3. Kurangi putaran ini dari sudut aslinya dan kerjakan dengan sudut biasa dalam kisaran dari 0° hingga 360°.

Bagaimana cara bekerja dengan sudut negatif?

Tidak masalah! Dengan cara yang sama seperti dengan yang positif, dengan hanya satu perbedaan tunggal. Apa? Ya! Anda harus berbelok di tikungan sisi sebaliknya, dikurangi! searah jarum jam.)

Mari kita menggambar, misalnya, sudut -200°. Pada awalnya, semuanya seperti biasa untuk sudut positif - sumbu, lingkaran. Mari kita menggambar panah biru dengan tanda minus dan menandatangani sudut pada sumbu dengan cara yang berbeda. Mereka, tentu saja, juga harus diperhitungkan dalam arah negatif. Ini semua akan menjadi sudut yang sama, melangkah melalui 90 °, tetapi dihitung dalam arah yang berlawanan, minus: 0°, -90 °, -180 °, -270 °, -360 °.

Gambarnya akan terlihat seperti ini:

Saat bekerja dengan sudut negatif, sering kali ada perasaan bingung. Bagaimana?! Ternyata sumbu yang sama adalah keduanya, katakanlah, +90° dan -270°? Tidak, ada yang salah di sini ...

Ya, semuanya bersih dan transparan! Lagi pula, kita sudah tahu bahwa titik mana pun pada lingkaran dapat disebut sudut positif dan negatif! Benar-benar ada. Termasuk pada beberapa sumbu koordinat. Dalam kasus kami, kami membutuhkan negatif perhitungan sudut. Jadi kami memotong semua sudut menjadi minus.)

Sekarang menggambar sudut kanan -200 ° tidak masalah. Ini adalah -180 ° dan dikurangi 20 derajat lagi. Kami mulai berliku dari nol ke minus: kami terbang melalui kuartal keempat, yang ketiga juga lewat, kami mencapai -180 °. Ke mana harus memutar dua puluh sisanya? Ya, tidak apa-apa di sana! Dengan jam.) Sudut total -200 ° jatuh ke dalam kedua seperempat.

Sekarang Anda mengerti betapa pentingnya mengingat sudut pada sumbu koordinat?

Sudut pada sumbu koordinat (0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °) harus diingat dengan tepat untuk menentukan secara akurat seperempat di mana sudut jatuh!

Dan jika sudutnya besar, dengan beberapa putaran penuh? Tidak apa-apa! Apa bedanya di mana kecepatan penuh ini diputar - plus atau minus? Sebuah titik pada lingkaran tidak akan berubah posisinya!

Sebagai contoh:

Di kuadran manakah sudut -2000o jatuh?

Semua sama! Untuk memulainya, kami mempertimbangkan berapa banyak revolusi penuh yang duduk di sudut jahat ini. Agar tidak mengacaukan tanda, mari kita tinggalkan minusnya untuk saat ini dan bagi 2000 dengan 360. Kita mendapatkan 5 dengan satu ekor. Ekornya belum mengganggu kita, kita akan menghitungnya nanti saat kita menggambar sudut. Kami percaya lima putaran penuh dalam derajat:

5 360° = 1800 °

Pilih. Itulah berapa banyak derajat ekstra yang dapat Anda buang dengan aman dari sudut kami tanpa membahayakan kesehatan.

Kami menghitung ekor yang tersisa:

2000 ° – 1800 ° = 200 °

Dan sekarang Anda juga dapat mengingat tentang minusnya.) Di mana kita akan memutar ekor 200 °? Kelemahannya, tentu saja! Kami diberi sudut negatif.)

2000 ° = -1800 ° - 200 °

Jadi kami menggambar sudut -200 °, hanya tanpa putaran tambahan. Saya baru saja menggambarnya, tapi biarlah, saya akan melukisnya sekali lagi. Dengan tangan.

Lada jelas bahwa sudut yang diberikan -2000 °, serta -200 °, jatuh ke kuartal kedua.

Jadi, kami melilitkan diri pada lingkaran ... maaf ... pada kumis:

Jika sudut negatif yang sangat besar diberikan, maka bagian pertama dari bekerja dengannya (menemukan jumlah putaran penuh dan membuangnya) sama dengan ketika bekerja dengan sudut positif. Tanda minus tidak memainkan peran apa pun pada tahap solusi ini. Tanda diperhitungkan hanya di bagian paling akhir, ketika bekerja dengan sudut yang tersisa setelah penghapusan belokan penuh.

Seperti yang Anda lihat, menggambar sudut negatif pada lingkaran tidak lebih sulit daripada menggambar sudut positif.

Semuanya sama, hanya di arah lain! Per jam!

Dan sekarang - yang paling menarik! Kami telah membahas sudut positif, sudut negatif, sudut besar, sudut kecil - jangkauan penuh. Kami juga menemukan bahwa setiap titik pada lingkaran dapat disebut sudut positif dan negatif, kami membuang putaran penuh ... Tidak ada pikiran? Harus ditunda...

Ya! Titik apa pun pada lingkaran yang Anda ambil, itu akan sesuai dengan sudut tak berujung! Besar dan tidak begitu, positif dan negatif - semuanya! Dan perbedaan antara sudut-sudut ini adalah utuh jumlah putaran penuh. Selalu! Jadi lingkaran trigonometri diatur, ya ...) Itu sebabnya membalik tugasnya adalah menemukan sudut dengan sinus / kosinus / tangen / kotangen yang diketahui - terpecahkan ambigu. Dan jauh lebih sulit. Berbeda dengan masalah langsung - untuk menemukan seluruh rangkaian fungsi trigonometri untuk sudut tertentu. Dan dalam topik trigonometri yang lebih serius ( lengkungan, trigonometri persamaan dan ketidaksetaraan ) kita akan menemukan chip ini terus-menerus. Membiasakan.)

1. Pada kuartal berapa sudut -345 ° jatuh?

2. Di bagian manakah sudut 666° jatuh?

3. Sudut 5555 ° jatuh ke dalam kuartal apa?

4. Sudut -3700 ° jatuh ke dalam kuartal apa?

5. Apa tandanya?karena999°?

6. Apa tandanya?ctg999°?

Dan apakah itu berhasil? Luar biasa! Ada masalah? Terus Anda.

Jawaban:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

Kali ini, jawaban diberikan secara berurutan, melanggar tradisi. Karena hanya ada empat perempat, dan hanya ada dua tanda. Anda tidak akan lari ...)

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan berbicara tentang radian, tentang angka misterius "pi", kita akan belajar cara mengubah radian ke derajat dengan mudah dan sederhana dan sebaliknya. Dan kami akan terkejut menemukan bahwa bahkan pengetahuan dan keterampilan sederhana ini sudah cukup bagi kami untuk berhasil menyelesaikan banyak masalah non-sepele dalam trigonometri!

Contoh 1

Tentukan ukuran radian dari suatu sudut yang sama dengan a) 40°, b) 120°, c) 105°

a) 40° = 40 / 180 = 2π/9

b) 120° = 120 /180 = 2π/3

c) 105° = 105 /180 = 7π/12

Contoh 2

Tentukan besar sudut yang dinyatakan dalam radian a) /6, b) /9, c) 2 /3

a) /6 = 180°/6 = 30°

b) /9 = 180°/9 = 20°

c) 2π/3 = 2 180°/6 = 120°

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Sinus sudut lancip t dari segitiga siku-siku sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring (Gbr. 1):

Kosinus sudut lancip t dari segitiga siku-siku sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring (Gbr. 1):

Definisi ini mengacu pada segitiga siku-siku dan merupakan kasus khusus dari definisi yang disajikan dalam bagian ini.

Mari kita tempatkan segitiga siku-siku yang sama dalam lingkaran angka (Gbr. 2).

Kita melihat bahwa kaki b sama dengan nilai tertentu kamu pada sumbu Y (sumbu y), kaki sebuah sama dengan nilai tertentu x pada sumbu x (absis). Sebuah hipotenusa Dengan sama dengan jari-jari lingkaran (R).

Dengan demikian, formula kami mengambil bentuk yang berbeda.

Karena b = kamu, a = x, c = R, maka:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Omong-omong, maka, tentu saja, rumus tangen dan kotangen juga mengambil bentuk yang berbeda.

Karena tg t \u003d b / a, ctg t \u003d a / b, maka persamaan lain juga benar:

tg t = kamu/x,

ctg= x/kamu.

Tapi kembali ke sinus dan cosinus. Kita berhadapan dengan lingkaran numerik di mana jari-jarinya 1. Jadi, ternyata:

kamu
sin t = -- = kamu,
1

x
cos t = -- = x.
1

Jadi kita sampai pada bentuk rumus trigonometri ketiga yang lebih sederhana.

Rumus ini berlaku tidak hanya untuk sudut lancip, tetapi juga untuk sudut lainnya (tumpul atau berkembang).

Definisi dan rumus cos t, sin t, tg t, ctg t.

Rumus lain berikut dari rumus tangen dan kotangen:

Persamaan lingkaran bilangan.

Tanda-tanda sinus, cosinus, tangen dan kotangen dalam seperempat lingkaran:

	kuarter pertama	kuarter ke-2	kuarter ketiga	kuarter ke-4
biaya	+	–	–	+
dosa untuk	+	+	–	–
tg t, ctg t	+	–	+	–

Cosinus dan sinus dari titik-titik utama lingkaran numerik:

Cara mengingat nilai cosinus dan sinus dari titik-titik utama lingkaran numerik.

Pertama-tama, Anda perlu tahu bahwa di setiap pasangan angka, nilai cosinus adalah yang pertama, nilai sinus вЂ“ yang kedua.

1) Perhatikan: untuk seluruh rangkaian titik lingkaran numerik, kita hanya berurusan dengan lima angka (dalam modul):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Buat "penemuan" ini untuk diri Anda sendiri - dan Anda akan menghilangkan ketakutan psikologis akan banyaknya angka: sebenarnya hanya ada lima di antaranya.

2) Mari kita mulai dengan bilangan bulat 0 dan 1. Mereka hanya berada pada sumbu koordinat.

Tidak perlu hafal di mana, misalnya kosinus dalam modul memiliki satuan, dan di mana 0.

Di ujung poros cosinus(sumbu X), tentu saja, cosinus adalah modulo 1, dan sinusnya adalah 0.

Di ujung poros sinus(sumbu pada) sinus adalah modulo 1, dan cosinusnya adalah 0.

Sekarang tentang tanda-tanda. Nol tidak memiliki tanda. Adapun 1 - di sini Anda hanya perlu mengingat hal yang paling sederhana: dari kelas 7, Anda tahu itu pada sumbu X di sebelah kanan tengah bidang koordinat - angka positif, ke kiri - negatif; pada poros pada angka positif naik dari pusat, yang negatif turun. Dan kemudian Anda tidak bisa salah dengan tanda 1.

3) Sekarang mari kita beralih ke nilai pecahan.

Di semua penyebut pecahan - angka yang sama 2. Kami tidak akan salah tulis dalam penyebut.

Di tengah perempat, cosinus dan sinus memiliki nilai modulo yang sama persis: 2/2. Dalam hal ini mereka dengan tanda plus atau minus - lihat tabel di atas. Tetapi Anda hampir tidak membutuhkan tabel seperti itu: Anda tahu ini dari kursus kelas 7 yang sama.

Semua yang paling dekat dengan sumbu X titik memiliki nilai modulo cosinus dan sinus yang sama persis: (√3/2; 1/2).

Nilai semua yang paling dekat dengan sumbu pada poin juga benar-benar identik dalam nilai absolut - dan mereka memiliki angka yang sama, hanya saja mereka "bertukar" tempat: (1/2; 3/2).

Sekarang tentang tanda-tanda - ada pergantian yang menarik di sini (meskipun, kami percaya, Anda harus dengan mudah memahami tanda-tandanya).

Jika pada kuartal pertama nilai cosinus dan sinus dengan tanda plus, maka pada kebalikannya (ketiga) dengan tanda minus.

Jika pada kuartal kedua dengan tanda minus hanya ada cosinus, maka pada kebalikannya (keempat) - hanya sinus.

Tetap hanya untuk mengingat bahwa dalam setiap kombinasi nilai kosinus dan sinus, angka pertama adalah nilai kosinus, angka kedua adalah nilai sinus.

Perhatikan satu keteraturan lagi: sinus dan kosinus dari semua titik lingkaran yang berlawanan secara diametris benar-benar sama dalam nilai absolut. Ambil, misalnya, titik berlawanan /3 dan 4π/3:

cos /3 = 1/2, sin /3 = 3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Nilai cosinus dan sinus dari dua titik yang berlawanan hanya berbeda dalam tanda. Tetapi bahkan di sini ada sebuah pola: sinus dan kosinus dari titik-titik yang berlawanan secara diametris selalu memiliki tanda yang berlawanan.

Penting untuk diketahui:

Nilai-nilai cosinus dan sinus dari titik-titik lingkaran numerik bertambah atau berkurang secara berurutan dalam urutan yang ditentukan secara ketat: dari nilai terkecil ke terbesar dan sebaliknya (lihat bagian “Menambah dan menurunkan fungsi trigonometri” - namun , ini mudah untuk memverifikasi hanya dengan melihat lingkaran angka di atas).

Dalam urutan menurun, pergantian nilai berikut diperoleh:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Mereka tumbuh dalam urutan yang berlawanan.

Setelah memahami pola sederhana ini, Anda akan belajar cara menentukan nilai sinus dan kosinus dengan cukup mudah.

Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai dengan resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhir - borscht. Secara geometris, ini dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang di mana satu sisi menunjukkan selada, sisi lain menunjukkan air. Jumlah kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang "borscht" semacam itu adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.

Bagaimana selada dan air berubah menjadi borscht dalam hal matematika? Bagaimana jumlah dua segmen berubah menjadi trigonometri? Untuk memahami ini, kita membutuhkan fungsi sudut linier.

Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier dalam buku teks matematika. Tetapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja apakah kita tahu mereka ada atau tidak.

Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.

Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Anda bisa, karena matematikawan masih mengelola tanpa mereka. Trik matematikawan terletak pada kenyataan bahwa mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah yang dapat mereka selesaikan sendiri, dan tidak pernah memberi tahu kita tentang masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Melihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semuanya. Kami tidak tahu masalah lain dan kami tidak dapat menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua suku tersebut? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih apa yang bisa menjadi satu istilah, dan fungsi sudut linier menunjukkan apa yang seharusnya menjadi suku kedua agar hasil penjumlahan tepat seperti yang kita butuhkan. Mungkin ada jumlah tak terbatas dari pasangan istilah seperti itu. Dalam kehidupan sehari-hari, kita melakukannya dengan sangat baik tanpa menguraikan jumlahnya; pengurangan sudah cukup bagi kita. Tetapi dalam studi ilmiah tentang hukum alam, perluasan jumlah menjadi istilah bisa sangat berguna.

Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh para matematikawan (trik lain mereka) mengharuskan suku-suku memiliki satuan ukuran yang sama. Untuk selada, air, dan borscht, ini mungkin satuan berat, volume, biaya, atau satuan ukuran.

Angka tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan untuk matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan bidang angka, yang ditunjukkan sebuah, b, c. Inilah yang dilakukan para ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan luas unit pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditunjukkan oleh huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan dalam ruang lingkup objek yang dijelaskan. Benda yang berbeda dapat memiliki jumlah satuan ukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini, dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke notasi yang sama untuk satuan pengukuran objek yang berbeda, kita dapat mengatakan dengan tepat kuantitas matematika apa yang menggambarkan objek tertentu dan bagaimana perubahannya dari waktu ke waktu atau sehubungan dengan tindakan kita. surat W Saya akan menandai air dengan huruf S Saya akan menandai salad dengan surat itu B- borsch. Inilah yang akan terlihat seperti fungsi sudut linier untuk borscht.

Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, bersama-sama menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari menyatukan kelinci dan bebek? Itu perlu untuk menemukan berapa banyak hewan yang akan muncul. Lalu apa yang diajarkan kepada kita? Kami diajari untuk memisahkan unit dari angka dan menambahkan angka. Ya, nomor apa pun dapat ditambahkan ke nomor lain. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kami tidak mengerti apa, tidak jelas mengapa, dan kami sangat memahami bagaimana ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, matematikawan hanya beroperasi pada satu. Akan lebih tepat untuk mempelajari cara berpindah dari satu unit pengukuran ke unit pengukuran lainnya.

Dan kelinci, dan bebek, dan binatang kecil dapat dihitung berkeping-keping. Satu unit pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat masalah serupa untuk orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan ketika Anda menambahkan kelinci dan uang? Ada dua kemungkinan solusi di sini.

Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke uang tunai yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk uang.

Opsi kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kami miliki. Kami akan mendapatkan jumlah barang bergerak dalam potongan.

Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa yang sebenarnya ingin kita ketahui.

Tapi kembali ke borscht kami. Sekarang kita dapat melihat apa yang akan terjadi untuk nilai sudut yang berbeda dari fungsi sudut linier.

Sudutnya nol. Kami punya salad tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti sama sekali bahwa nol borscht sama dengan nol air. Nol borsch juga bisa di salad nol (sudut kanan).

Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka saat ditambahkan. Ini karena penambahan itu sendiri tidak mungkin jika hanya ada satu suku dan suku kedua hilang. Anda dapat menghubungkan ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh ahli matematika sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh ahli matematika: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "angka berapa pun dikalikan nol sama dengan nol" , "di belakang titik nol" dan omong kosong lainnya. Cukup untuk diingat sekali bahwa nol bukanlah angka, dan Anda tidak akan pernah memiliki pertanyaan apakah nol adalah bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu umumnya kehilangan semua makna: bagaimana seseorang dapat menganggap angka yang bukan angka . Ini seperti menanyakan warna apa yang harus dikaitkan dengan warna yang tidak terlihat. Menambahkan nol ke angka seperti melukis dengan cat yang tidak ada. Mereka melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa "kami telah melukis". Tapi saya sedikit menyimpang.

Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami memiliki banyak selada, tetapi sedikit air. Hasilnya, kami mendapatkan borscht yang tebal.

Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan selada yang sama. Ini adalah borscht yang sempurna (semoga para juru masak memaafkan saya, ini hanya matematika).

Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami memiliki banyak air dan sedikit selada. Dapatkan borscht cair.

Sudut kanan. Kami memiliki air. Hanya kenangan yang tersisa dari selada, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai selada. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht adalah nol. Dalam hal ini, tunggu dan minum air selagi tersedia)))

Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang lebih dari pantas di sini.

Kedua sahabat itu memiliki saham mereka dalam bisnis yang sama. Setelah pembunuhan salah satu dari mereka, semuanya beralih ke yang lain.

Munculnya matematika di planet kita.

Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda tempat sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksi.

Sabtu, 26 Oktober 2019

Saya menonton video yang menarik tentang Barisan Grandi Satu minus satu tambah satu minus satu - Numberphile. Matematikawan berbohong. Mereka tidak melakukan tes kesetaraan dalam penalaran mereka.

Ini beresonansi dengan alasan saya tentang .

Mari kita lihat lebih dekat tanda-tanda bahwa matematikawan menipu kita. Di awal penalaran, matematikawan mengatakan bahwa jumlah barisan TERGANTUNG pada apakah jumlah elemen di dalamnya genap atau tidak. Ini adalah FAKTA OBJEKTIF ESTABLISHED. Apa yang terjadi selanjutnya?

Selanjutnya, matematikawan mengurangi urutan dari kesatuan. Apa yang menyebabkan ini? Ini mengarah pada perubahan jumlah elemen dalam urutan - bilangan genap berubah menjadi bilangan ganjil, bilangan ganjil berubah menjadi bilangan genap. Bagaimanapun, kami telah menambahkan satu elemen yang sama dengan satu ke urutan. Terlepas dari semua kesamaan eksternal, urutan sebelum transformasi tidak sama dengan urutan setelah transformasi. Bahkan jika kita berbicara tentang barisan tak hingga, kita harus ingat bahwa barisan tak hingga dengan jumlah elemen ganjil tidak sama dengan barisan tak hingga dengan jumlah elemen genap.

Menempatkan tanda sama dengan antara dua barisan yang berbeda dalam jumlah elemen, matematikawan mengklaim bahwa jumlah barisan TIDAK TERGANTUNG pada jumlah elemen dalam barisan, yang bertentangan dengan FAKTA OBJEKTIF ESTABLISHED. Alasan lebih lanjut tentang jumlah barisan tak hingga adalah salah, karena didasarkan pada persamaan yang salah.

Jika Anda melihat bahwa matematikawan menempatkan tanda kurung selama pembuktian, mengatur ulang elemen ekspresi matematika, menambah atau menghapus sesuatu, berhati-hatilah, kemungkinan besar mereka mencoba menipu Anda. Seperti tukang sulap kartu, ahli matematika mengalihkan perhatian Anda dengan berbagai manipulasi ekspresi untuk akhirnya memberi Anda hasil yang salah. Jika Anda tidak dapat mengulangi trik kartu tanpa mengetahui rahasia menyontek, maka dalam matematika semuanya jauh lebih sederhana: Anda bahkan tidak mencurigai apa pun tentang kecurangan, tetapi mengulangi semua manipulasi dengan ekspresi matematika memungkinkan Anda meyakinkan orang lain tentang kebenaran hasil, seperti ketika telah meyakinkan Anda.

Pertanyaan dari penonton: Dan tak terhingga (sebagai jumlah elemen dalam barisan S), apakah genap atau ganjil? Bagaimana Anda bisa mengubah paritas sesuatu yang tidak memiliki paritas?

Tak terbatas bagi ahli matematika seperti Kerajaan Surga bagi para imam - tidak ada yang pernah ke sana, tetapi semua orang tahu persis bagaimana semuanya bekerja di sana))) Saya setuju, setelah kematian Anda akan benar-benar acuh tak acuh apakah Anda hidup dalam jumlah hari yang genap atau ganjil , tapi ... Menambahkan hanya satu hari di awal hidup Anda, kita akan mendapatkan orang yang sama sekali berbeda: nama belakangnya, nama depan, dan patronimiknya persis sama, hanya tanggal lahir yang benar-benar berbeda - ia dilahirkan satu hari sebelum Anda.

Dan sekarang to the point))) Misalkan barisan berhingga yang memiliki paritas kehilangan paritas ini ketika menuju tak terhingga. Kemudian setiap segmen berhingga dari barisan tak hingga juga harus kehilangan paritas. Kami tidak mengamati ini. Fakta bahwa kita tidak dapat mengatakan dengan pasti apakah jumlah elemen dalam barisan tak hingga itu genap atau ganjil sama sekali tidak berarti bahwa paritas telah hilang. Paritas, jika ada, tidak dapat menghilang tanpa batas tanpa jejak, seperti pada selongsong kartu yang lebih tajam. Ada analogi yang sangat bagus untuk kasus ini.

Pernahkah Anda bertanya kepada seekor kukuk yang duduk di jam ke arah mana jarum jam berputar? Baginya, panah berputar ke arah yang berlawanan dengan apa yang kita sebut "searah jarum jam". Ini mungkin terdengar paradoks, tetapi arah rotasi hanya bergantung pada sisi mana kita mengamati rotasi. Jadi, kami memiliki satu roda yang berputar. Kita tidak dapat mengatakan ke arah mana rotasi itu terjadi, karena kita dapat mengamatinya baik dari satu sisi bidang rotasi maupun dari sisi lainnya. Kami hanya bisa bersaksi tentang fakta bahwa ada rotasi. Analogi lengkap dengan paritas urutan tak terbatas S.

Sekarang mari kita tambahkan roda berputar kedua, bidang rotasi yang sejajar dengan bidang rotasi roda berputar pertama. Kita masih tidak dapat mengetahui dengan tepat ke arah mana roda-roda ini berputar, tetapi kita dapat mengetahui dengan pasti apakah kedua roda berputar ke arah yang sama atau berlawanan arah. Membandingkan dua barisan tak terhingga S dan 1-S, saya menunjukkan dengan bantuan matematika bahwa urutan ini memiliki paritas yang berbeda dan menempatkan tanda yang sama di antara mereka adalah sebuah kesalahan. Secara pribadi, saya percaya pada matematika, saya tidak mempercayai ahli matematika))) Ngomong-ngomong, untuk memahami sepenuhnya geometri transformasi barisan tak terbatas, perlu untuk memperkenalkan konsep "keserentakan". Ini perlu ditarik.

Rabu, 7 Agustus 2019

Mengakhiri percakapan tentang , kita perlu mempertimbangkan himpunan tak terbatas. Mengingat bahwa konsep "tak terhingga" bekerja pada matematikawan, seperti ular boa pada kelinci. Kengerian tak terhingga yang bergetar membuat para matematikawan kehilangan akal sehat. Berikut ini contohnya:

Sumber aslinya berada. Alfa menunjukkan bilangan real. Tanda sama dengan dalam ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga hingga tak terhingga, tidak ada yang akan berubah, hasilnya akan menjadi tak terhingga yang sama. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak terbatas sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Untuk membuktikan kasus mereka secara visual, matematikawan telah menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai tarian dukun dengan rebana. Intinya, mereka semua sampai pada kenyataan bahwa beberapa kamar tidak ditempati dan tamu baru menetap di dalamnya, atau bahwa beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi para tamu (sangat manusiawi). Saya mempresentasikan pandangan saya tentang keputusan seperti itu dalam bentuk cerita fantastis tentang si Pirang. Apa alasan saya berdasarkan? Memindahkan jumlah pengunjung yang tidak terbatas membutuhkan waktu yang tidak terbatas. Setelah kami mengosongkan kamar tamu pertama, salah satu pengunjung akan selalu berjalan di sepanjang koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu dapat diabaikan dengan bodoh, tetapi ini sudah termasuk dalam kategori "hukum tidak ditulis untuk orang bodoh." Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.

Apa itu "hotel tak terbatas"? Infinity inn adalah penginapan yang selalu kosong berapapun jumlahnya, tidak peduli berapa banyak kamar yang ditempati. Jika semua kamar di lorong tak berujung "untuk pengunjung" ditempati, ada lorong tak berujung lain dengan kamar untuk "tamu". Akan ada koridor seperti itu dalam jumlah tak terbatas. Pada saat yang sama, "hotel tak terbatas" memiliki jumlah lantai tak terbatas dalam jumlah bangunan tak terbatas di planet dengan jumlah tak terbatas dalam jumlah alam semesta tak terbatas yang diciptakan oleh jumlah Dewa tak terbatas. Para matematikawan, di sisi lain, tidak dapat beranjak dari masalah sehari-hari yang dangkal: Tuhan-Allah-Buddha selalu hanya satu, hotelnya satu, koridornya hanya satu. Jadi matematikawan mencoba untuk menyulap nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa adalah mungkin untuk "mendorong yang tidak didorong".

Saya akan mendemonstrasikan logika penalaran saya kepada Anda menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kami sendiri yang menemukan angka, tidak ada angka di Alam. Ya, Alam tahu cara menghitung dengan sempurna, tetapi untuk ini dia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Seperti yang dipikirkan Alam, saya akan memberi tahu Anda lain kali. Karena kami menemukan angka, kami sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Pertimbangkan kedua opsi, sebagaimana layaknya seorang ilmuwan sejati.

Opsi satu. "Mari kita diberi" satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk mengambilnya. Kami tidak dapat menambahkan satu ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar ingin? Tidak masalah. Kita bisa mengambil satu unit dari set yang sudah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu unit dari rak dan menambahkannya ke sisa yang kita miliki. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menulis semua manipulasi kami seperti ini:

Saya telah menuliskan operasi dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, daftar elemen himpunan secara rinci. Subskrip menunjukkan bahwa kita memiliki satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli akan tetap tidak berubah hanya jika satu dikurangi dan yang sama ditambahkan.

Opsi dua. Kami memiliki banyak set bilangan asli tak terbatas yang berbeda di rak. Saya tekankan - BERBEDA, terlepas dari kenyataan bahwa mereka praktis tidak dapat dibedakan. Kami mengambil salah satu dari set ini. Kemudian kita mengambil satu dari himpunan bilangan asli lainnya dan menambahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa elemen-elemen ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, jika Anda menambahkan satu ke himpunan tak terbatas, hasilnya juga akan menjadi himpunan tak terbatas, tetapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika himpunan tak hingga lainnya ditambahkan ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.

Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk pengukuran. Sekarang bayangkan Anda telah menambahkan satu sentimeter ke penggaris. Ini sudah akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan aslinya.

Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - ini adalah urusan Anda sendiri. Tetapi jika Anda pernah mengalami masalah matematika, pertimbangkan apakah Anda berada di jalan penalaran yang salah, diinjak oleh generasi matematikawan. Lagi pula, kelas matematika, pertama-tama, membentuk stereotip pemikiran yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian mereka menambahkan kemampuan mental kepada kita (atau sebaliknya, mereka merampas kebebasan berpikir kita).

pozg.ru

Minggu, 4 Agustus 2019

Saya sedang menulis sebuah postscript untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks yang indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: "... dasar teori matematika Babilonia yang kaya tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti."

Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah lemah bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, secara pribadi saya mendapatkan yang berikut:

Dasar teori matematika modern yang kaya tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi satu set bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Saya tidak akan pergi jauh untuk mengkonfirmasi kata-kata saya - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama dalam cabang matematika yang berbeda dapat memiliki arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh siklus publikasi untuk kesalahan yang paling jelas dari matematika modern. Sampai berjumpa lagi.

Sabtu, 3 Agustus 2019

Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda harus memasukkan satuan ukuran baru, yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Pertimbangkan sebuah contoh.

Semoga kita memiliki banyak TETAPI terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar "orang" Mari kita tentukan unsur-unsur himpunan ini melalui huruf sebuah, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor urut setiap orang dalam himpunan ini. Mari perkenalkan unit pengukuran baru "karakteristik seksual" dan tunjukkan dengan huruf b. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen himpunan TETAPI pada jenis kelamin b. Perhatikan bahwa kumpulan "orang" kita sekarang telah menjadi kumpulan "orang dengan jenis kelamin". Setelah itu, kita dapat membagi karakteristik seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik jenis kelamin. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana laki-laki atau perempuan. Jika ada pada seseorang, maka kami mengalikannya dengan satu, jika tidak ada tanda seperti itu, kami mengalikannya dengan nol. Dan kemudian kami menerapkan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.

Setelah perkalian, pengurangan, dan penataan ulang, kami mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki bm dan sebagian dari wanita bw. Kira-kira dengan cara yang sama para matematikawan bernalar ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Tetapi mereka tidak memberi tahu kami detailnya, tetapi memberi kami hasil akhir - "banyak orang terdiri dari subset pria dan subset wanita." Tentu, Anda mungkin memiliki pertanyaan, seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa sebenarnya transformasi dilakukan dengan benar, cukup untuk mengetahui pembenaran matematis aritmatika, aljabar Boolean, dan bagian matematika lainnya. Apa itu? Lain waktu akan saya ceritakan.

Sedangkan untuk superset, dimungkinkan untuk menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang terdapat dalam elemen-elemen dari kedua himpunan tersebut.

Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika umum membuat teori himpunan ketinggalan zaman. Tanda bahwa semuanya tidak beres dengan teori himpunan adalah bahwa matematikawan telah menemukan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Para matematikawan melakukan apa yang pernah dilakukan para dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana "dengan benar" menerapkan "pengetahuan" mereka. "Pengetahuan" ini mereka ajarkan kepada kita.

Sebagai kesimpulan, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana ahli matematika memanipulasi
Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan variabel pengukuran belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya jatuh pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang terletak pada titik yang berbeda di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa hal-hal ini dengan busur, dan ada tanpa busur. Setelah itu, kami memilih bagian dari "keseluruhan" dan membentuk satu set "dengan busur". Beginilah cara dukun memberi makan diri mereka sendiri dengan mengikat teori himpunan mereka dengan kenyataan.

Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dalam jerawat dengan busur" dan satukan "keseluruhan" ini dengan warna, memilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan rumit: apakah set yang diterima "dengan busur" dan "merah" adalah set yang sama atau dua set yang berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, biarlah.

Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna dalam kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "jerawat padat merah dengan busur". Pembentukan terjadi menurut empat unit pengukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (dalam tonjolan), dekorasi (dengan busur). Hanya satu set unit pengukuran yang memungkinkan untuk menggambarkan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Berikut tampilannya.

Huruf "a" dengan indeks yang berbeda menunjukkan unit pengukuran yang berbeda. Dalam tanda kurung, unit pengukuran disorot, yang menurutnya "keseluruhan" dialokasikan pada tahap awal. Unit pengukuran, yang dengannya himpunan dibentuk, dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - sebuah elemen dari himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan unit untuk membentuk himpunan, maka hasilnya tidak tergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini adalah matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat "secara intuitif" sampai pada hasil yang sama, berdebat dengan "kejelasan", karena unit pengukuran tidak termasuk dalam gudang "ilmiah" mereka.

Dengan bantuan unit pengukuran, sangat mudah untuk memecahkan satu atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.

Tanda fungsi trigonometri hanya bergantung pada kuartal koordinat di mana argumen numerik berada. Terakhir kali kita belajar bagaimana menerjemahkan argumen dari ukuran radian menjadi ukuran derajat (lihat pelajaran “ Radian dan ukuran derajat suatu sudut”), dan kemudian menentukan kuartal koordinat yang sama ini. Sekarang mari kita berurusan, sebenarnya, dengan definisi tanda sinus, cosinus dan tangen.

Sinus sudut adalah ordinat (koordinat y) suatu titik pada lingkaran trigonometri, yang terjadi ketika jari-jari diputar melalui sudut .

Kosinus sudut adalah absis (koordinat x) suatu titik pada lingkaran trigonometri, yang terjadi ketika jari-jari berputar melalui sudut .

Garis singgung sudut adalah perbandingan sinus dengan cosinus. Atau, secara ekuivalen, rasio koordinat y terhadap koordinat x.

Notasi: sin = y ; cosα = x; tgα = y : x .

Semua definisi ini akrab bagi Anda dari kursus aljabar sekolah menengah. Namun, kami tidak tertarik pada definisi itu sendiri, tetapi pada konsekuensi yang muncul pada lingkaran trigonometri. Lihatlah:

Warna biru menunjukkan arah positif sumbu OY (sumbu ordinat), warna merah menunjukkan arah positif sumbu OX (sumbu absis). Pada "radar" ini, tanda-tanda fungsi trigonometri menjadi jelas. Khususnya:

sin > 0 jika sudut terletak pada kuarter koordinat I atau II. Ini karena, menurut definisi, sinus adalah ordinat (koordinat y). Dan koordinat y akan positif tepatnya di kuarter koordinat I dan II;
cos > 0 jika sudut terletak pada kuarter koordinat I atau IV. Karena hanya di sana koordinat x (juga absis) akan lebih besar dari nol;
tg > 0 jika sudut terletak pada kuadran koordinat I atau III. Ini mengikuti dari definisi: setelah semua, tg = y : x , jadi positif hanya di mana tanda-tanda x dan y bertepatan. Ini terjadi pada kuartal koordinat 1 (di sini x > 0, y > 0) dan kuartal koordinat 3 (x< 0, y < 0).

Untuk kejelasan, kami mencatat tanda-tanda dari setiap fungsi trigonometri - sinus, kosinus, dan tangen - pada "radar" yang terpisah. Kami mendapatkan gambar berikut:

Catatan: dalam penalaran saya, saya tidak pernah berbicara tentang fungsi trigonometri keempat - kotangen. Faktanya adalah bahwa tanda-tanda kotangen bertepatan dengan tanda-tanda garis singgung - tidak ada aturan khusus di sana.

Sekarang saya mengusulkan untuk mempertimbangkan contoh yang mirip dengan masalah B11 dari ujian percobaan dalam matematika, yang berlangsung pada 27 September 2011. Bagaimanapun juga Jalan terbaik memahami teori adalah praktik. Sebaiknya banyak berlatih. Tentu saja, kondisi tugas sedikit berubah.

Sebuah tugas. Tentukan tanda-tanda fungsi dan ekspresi trigonometri (nilai fungsi itu sendiri tidak perlu dipertimbangkan):

dosa(3π/4);

cos(7π/6);

cokelat (5π/3);

sin(3π/4) cos(5π/6);

cos (2π/3) tg (π/4);

sin(5π/6) cos(7π/4);

tan (3π/4) cos (5π/3);

ctg (4π/3) tg (π/6).

Rencana tindakan adalah sebagai berikut: pertama, kita mengubah semua sudut dari ukuran radian ke ukuran derajat (π → 180 °), dan kemudian melihat di kuartal koordinat mana angka yang dihasilkan berada. Mengetahui perempat, kita dapat dengan mudah menemukan tanda-tanda - sesuai dengan aturan yang baru saja dijelaskan. Kita punya:

sin (3π/4) = sin (3 180°/4) = sin 135°. Sejak 135° , ini adalah sudut dari kuadran koordinat II. Tetapi sinus pada kuartal kedua adalah positif, jadi sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 180°/6) = cos 210°. Karena 210 ° , ini adalah sudut dari kuadran koordinat III di mana semua cosinus negatif. Oleh karena itu, cos (7π/6)< 0;
tg (5π/3) = tg (5 180 °/3) = tg 300 °. Sejak 300 ° , kita berada di kuadran IV, di mana garis singgung mengambil nilai negatif. Oleh karena itu tg (5π/3)< 0;
sin (3π/4) cos (5π/6) = sin (3 180°/4) cos (5 180°/6) = sin 135° cos 150°. Mari kita berurusan dengan sinus: karena 135 ° , ini adalah kuartal kedua, di mana sinus positif, mis. sin (3π/4) > 0. Sekarang kita bekerja dengan kosinus: 150 ° - lagi kuartal kedua, kosinus ada negatif. Oleh karena itu cos (5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Kami melihat kosinus: 120 ° adalah kuartal koordinat II, jadi cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) >0. Sekali lagi kami mendapat produk di mana faktor tanda yang berbeda. Karena "minus dikalikan plus menghasilkan minus", kita mendapatkan: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Kami bekerja dengan sinus: sejak 150° , kita berbicara tentang kuartal koordinat II, di mana sinus positif. Oleh karena itu, sin (5π/6) > 0. Demikian pula, 315 ° adalah kuartal koordinat IV, cosinus di sana adalah positif. Oleh karena itu, cos (7π/4) > 0. Kami mendapatkan hasil kali dua bilangan positif Ungkapan ini selalu positif. Kita simpulkan: sin (5π/6) cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Tetapi sudut 135 ° adalah kuartal kedua, yaitu. cokelat (3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Karena “minus plus memberikan tanda minus”, kita mendapatkan: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Kami melihat argumen kotangen: 240 ° adalah kuartal koordinat III, oleh karena itu ctg (4π/3) > 0. Demikian pula, untuk garis singgung yang kami miliki: 30° adalah kuartal koordinat I, yaitu. sudut termudah. Oleh karena itu, tg (π/6) > 0. Sekali lagi, kita mendapatkan dua ekspresi positif - produknya juga akan positif. Oleh karena itu ctg (4π/3) tg (π/6) > 0.

Akhirnya, mari kita lihat beberapa masalah yang lebih kompleks. Selain mengetahui tanda fungsi trigonometri, di sini Anda harus melakukan sedikit perhitungan - seperti yang dilakukan pada masalah nyata B11. Pada prinsipnya, ini adalah tugas yang hampir nyata yang benar-benar ditemukan dalam ujian matematika.

Sebuah tugas. Cari sin jika sin 2 = 0,64 dan [π/2; ].

Karena sin 2 = 0,64, kita mendapatkan: sin = ±0,8. Tetap memutuskan: plus atau minus? Dengan asumsi, sudut [π/2; ] adalah kuartal koordinat II, di mana semua sinus positif. Oleh karena itu, sin = 0,8 - ketidakpastian dengan tanda dihilangkan.

Sebuah tugas. Cari cos jika cos 2 = 0,04 dan [π; 3π/2].

Kami bertindak serupa, yaitu. kita ambil akar kuadratnya: cos 2 = 0,04 cos = ±0.2. Dengan asumsi, sudut [π; 3π/2], yaitu. kita berbicara tentang kuartal koordinat III. Di sana, semua cosinus negatif, jadi cos = 0.2.

Sebuah tugas. Cari sin jika sin 2 = 0,25 dan .

Kami memiliki: sin 2 = 0,25 sin = ±0,5. Sekali lagi kita melihat sudut: adalah kuartal koordinat IV, di mana, seperti yang Anda tahu, sinus akan negatif. Jadi, kita simpulkan: sin = 0,5.

Sebuah tugas. Cari tg jika tg 2 = 9 dan .

Semuanya sama, hanya untuk tangen. Kami mengambil akar kuadrat: tg 2 = 9 tg = ±3. Namun dengan syarat, sudut adalah kuadran koordinat I. Semua fungsi trigonometri, termasuk. tangen, ada positif, jadi tg = 3. Itu dia!