Derivato. Lezione “Applicazione della derivata nella risoluzione dei problemi dell'Esame di Stato Unificato Regole di base di differenziazione

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Tipo di lezione: ripetizione e generalizzazione.

Formato della lezione: consultazione-lezione.

Obiettivi della lezione:

• educativo: ripetere e generalizzare le conoscenze teoriche sugli argomenti: “Significato geometrico della derivata” e “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”; considerare tutti i tipi di problemi B8 incontrati nell'Esame di Stato Unificato di matematica; fornire agli studenti l'opportunità di mettere alla prova le proprie conoscenze risolvendo problemi in modo autonomo; insegnare come compilare il modulo di risposta all'esame;
• sviluppando: promuovere lo sviluppo della comunicazione come metodo di conoscenza scientifica, memoria semantica e attenzione volontaria; la formazione di competenze chiave come confronto, giustapposizione, classificazione di oggetti, determinazione di modi adeguati per risolvere un compito educativo basato su determinati algoritmi, capacità di agire in modo indipendente in situazioni di incertezza, monitorare e valutare le proprie attività, trovare ed eliminare le cause di difficoltà;
• educativo: sviluppare le competenze comunicative degli studenti ( cultura della comunicazione, capacità di lavorare in gruppo); promuovere lo sviluppo del bisogno di autoeducazione.

Tecnologie: educazione allo sviluppo, ICT.

Metodi di insegnamento: verbale, visivo, pratico, problematico.

Forme di lavoro: individuale, frontale, di gruppo.

Supporto didattico e metodologico:

1. Algebra e inizi dell'analisi matematica 11a elementare: libro di testo. Per l'istruzione generale Istituzioni: nozioni di base e profilo. livelli / (Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin); a cura di AB Zhizhchenko. – 4a ed. – M.: Educazione, 2011.

2. Esame di Stato Unificato: 3000 problemi con risposte in matematica. Tutti i compiti del gruppo B/A.L. Semenov, I.V. Yashchenko e altri; a cura di A.L. Semyonova, I.V. Yashchenko. – M.: Casa editrice “Esame”, 2011.

3. Aprire la banca delle attività.

Attrezzature e materiali per la lezione: proiettore, schermo, PC per ogni studente con installata una presentazione, stampa di un promemoria per tutti gli studenti (Allegato 1) e foglio di valutazione ( Appendice 2) .

Preparazione preliminare alla lezione: Come compito a casa, agli studenti viene chiesto di ripetere materiale teorico dal libro di testo sui seguenti argomenti: “ Significato geometrico derivata”, “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”; La classe è divisa in gruppi (4 persone ciascuno), in ognuno dei quali sono presenti studenti di diversi livelli.

Spiegazione della lezione: Questa lezione viene insegnata in 11a elementare nella fase di ripetizione e preparazione per l'Esame di Stato Unificato. La lezione è finalizzata alla ripetizione e alla generalizzazione del materiale teorico, all'applicazione per risolvere i problemi d'esame. Durata della lezione - 1,5 ore .

Questa lezione non è allegata al libro di testo, quindi può essere insegnata mentre si lavora su qualsiasi materiale didattico. Questa lezione può anche essere divisa in due lezioni separate e insegnata come lezioni finali sugli argomenti trattati.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

II. Lezione sulla definizione degli obiettivi.

III. Ripetizione sul tema “Significato geometrico delle derivate”.

Lavoro frontale orale con utilizzo di proiettore (diapositive n. 3-7)

Lavoro in gruppo: risoluzione dei problemi con suggerimenti, risposte, con la consultazione dell'insegnante (diapositive n. 8-17)

IV. Lavoro indipendente 1.

Gli studenti lavorano individualmente al PC (diapositive n. 18-26), e inseriscono le risposte nella scheda di valutazione. Se necessario è possibile consultare un insegnante, ma in questo caso lo studente perderà 0,5 punti. Se lo studente completa il lavoro prima, può scegliere di risolvere compiti aggiuntivi dalla raccolta, pp. 242, 306-324 (i compiti aggiuntivi vengono valutati separatamente).

V. Verifica reciproca.

Gli studenti si scambiano le schede di valutazione, controllano il lavoro di un amico e assegnano punti (diapositiva n. 27)

VI. Correzione della conoscenza.

VII. Ripetizione sul tema “Applicazione della derivata allo studio delle funzioni”

Lavoro frontale orale con l'utilizzo di proiettore (diapositive n. 28-30)

Lavoro in gruppo: risoluzione dei problemi con suggerimenti, risposte, con la consultazione dell'insegnante (diapositive n. 31-33)

VIII. Lavoro indipendente 2.

Gli studenti lavorano individualmente al PC (diapositive n. 34-46) e inseriscono le risposte nel modulo di risposta. Se necessario è possibile consultare un insegnante, ma in questo caso lo studente perderà 0,5 punti. Se lo studente completa il lavoro prima, può scegliere di risolvere compiti aggiuntivi dalla raccolta, pp. 243-305 (i compiti aggiuntivi vengono valutati separatamente).

IX. Revisione tra pari.

Gli studenti si scambiano le schede di valutazione, controllano il lavoro dei loro amici e assegnano i punti (diapositiva n. 47).

X. Correzione della conoscenza.

Gli studenti lavorano di nuovo nei loro gruppi, discutono la soluzione e correggono gli errori.

XI. Riassumendo.

Ogni studente calcola i propri punti e inserisce un voto sul foglio dei punteggi.

Gli studenti sottopongono al docente una scheda di valutazione e le soluzioni ad ulteriori problemi.

Ogni studente riceve un promemoria (diapositiva n. 53-54).

XII. Riflessione.

Agli studenti viene chiesto di valutare le proprie conoscenze scegliendo una delle frasi:

• Riuscii!!!
• Dobbiamo risolvere un altro paio di esempi.
• Bene, chi ha inventato questi calcoli!

XIII. Compiti a casa.

Per i compiti a casa, gli studenti sono invitati a scegliere compiti dalla raccolta, pp. 242-334, nonché da banca aperta compiti.

LAVORO PRATICO EXTRACURRICULARE 2

Trasformazione di grafici di funzioni.

Bersaglio

Costruisci grafici di funzioni utilizzando varie trasformazioni e rispondi alla domanda del problema.

Completamento del lavoro

Linee guida

Il lavoro è previsto per 10 opzioni, il numero dell'opzione coincide con l'ultima cifra del numero di serie nell'elenco. Ad esempio, 1, 11, 21, 31...eseguire l'opzione 1, 2,12, 22... - opzione 2, ecc.

Il lavoro è composto da due parti: la prima parte delle attività 1 - 5, si tratta di attività che devono essere completate per ricevere credito; se queste attività vengono completate con un errore, è necessario correggerle e inviare nuovamente il lavoro per la verifica; La seconda parte contiene compiti, completandoli puoi guadagnare un voto aggiuntivo: la parte principale +2 compiti è "4", la parte principale +3 compiti è "5".

Compito 1. Pianificazione funzione lineareè una retta, bastano due punti per costruirla. (prendiamo arbitrariamente i valori dell'argomento x e calcoliamo il valore della funzione y sostituendoli nella formula).

Per verificare se il grafico di una funzione passa per un punto specificato, è necessario sostituire le coordinate del punto al posto di xey se si ottiene l'uguaglianza corretta, allora la retta passa per il punto specificato, altrimenti no; .

Compito 2, 3, 4. I grafici delle funzioni indicate sono ottenuti dai grafici delle funzioni , utilizzando uno spostamento lungo l'asse x o y.

, per prima cosa costruiamo un grafico della funzione O , quindi spostarlo di unità “a” verso destra o sinistra (+a – sinistra, -a verso destra), quindi spostarlo di unità “b” verso l'alto o verso il basso (+b – su, -b – giù)

Lo stesso con altre funzioni:

Attività 5 Per rappresentare graficamente una funzione: , è necessario: 1) costruire un grafico della funzione , 2) la parte del grafico che si trova sopra l'asse x viene lasciata invariata, 3) la parte del grafico che si trova sotto l'asse x viene specchiata.

Problemi per soluzione indipendente.

Parte obbligatoria

Compito 1. Costruisci un grafico di una funzione lineare, determina se il grafico della funzione passa attraverso il punto specificato:

Compito 2. Costruisci un grafico di una funzione quadratica, indica l'insieme di valori di questa funzione.

Attività 3. Costruisci un grafico della funzione, determina se la funzione specificata aumenta o diminuisce.

Compito 4. Costruisci un grafico della funzione, rispondi alla domanda del problema.

Attività 5. Costruisci un grafico di una funzione contenente il segno del modulo.

Compiti per una valutazione aggiuntiva.

Attività 6. Traccia un grafico di una funzione specificata a tratti, determina se questa funzione ha un punto di interruzione:

Compito 7. Determina quante soluzioni ha il sistema di equazioni, giustifica le tue risposte. Trarre le conclusioni rispondendo alle domande.

Quali funzioni hai tracciato in questo lavoro?

Come si chiama il grafico di una funzione lineare?

Come si chiama il grafico di una funzione quadratica?

Quali trasformazioni grafiche conosci?

Come si trova il grafico nel sistema di coordinate funzione pari? Grafico di una funzione dispari?

Masterclass in matematica

in 11a elementare

su questo argomento

"DERIVATA DELLA FUNZIONE

NEI COMPITI DI UTILIZZO"

insegnante di matematica

Martynenko E.N.

2017-2018 anno accademico

Lo scopo della master class: sviluppare le competenze degli studentiapplicazione delle conoscenze teoriche sull'argomento "Derivata di una funzione" per risolvere problemi di un singolo esame di stato.

Compiti

Educativo:riassumere e sistematizzare le conoscenze degli studenti sull’argomento

"Derivata di una funzione", considera i prototipi dei problemi dell'Esame di Stato Unificato su questo argomento, offre agli studenti l'opportunità di testare le proprie conoscenze risolvendo i problemi in modo indipendente.

Educativo: promuovere lo sviluppo delle capacità di memoria, attenzione, autostima e autocontrollo; la formazione di competenze chiave di base (confronto, giustapposizione, classificazione di oggetti, determinazione di modi adeguati per risolvere un compito educativo basato su determinati algoritmi, capacità di agire in modo indipendente in situazioni di incertezza, monitorare e valutare le proprie attività, trovare ed eliminare le cause di difficoltà).

Educativo: contribuire:

Formazione di un atteggiamento responsabile nei confronti dell'apprendimento negli studenti;

sviluppo di un interesse sostenibile per la matematica;

creare una motivazione interna positiva per studiare matematica.

Tecnologie: apprendimento differenziato individualmente, ICT.

Metodi di insegnamento : verbale, visivo, pratico, problematico.

Forme di lavoro: individuale, frontale, in coppia.

Attrezzature e materiali per la lezione:proiettore, schermo, PC, simulatore(Appendice n. 1), presentazione della lezione(Appendice n. 2), carte individualmente differenziate per lavoro indipendente A coppie(Appendice n. 3), elenco dei siti Internet, individualmente differenziati compiti a casa (Appendice n. 4).

Spiegazione per la master class.

Questa master class si svolge all'11° anno con l'obiettivo di prepararsi all'Esame di Stato Unificato. Mirato ad applicare materiale teorico sull'argomento "Derivata di una funzione" durante la risoluzione dei problemi d'esame.

Durata della masterclass- 20 minuti.

Struttura della masterclass

I. Momento organizzativo -1 min.

II Messaggio dell'argomento, obiettivi della master class, motivazione per le attività educative - 1 min.

III. Lavoro frontale. Formazione “Compiti N. 14 BASE, N. 7 PROFILO D'USO”. Analisi del lavoro con il simulatore - 7 min.

IV.Individualmente - lavoro differenziato in coppia. Soluzione indipendente problemi n. 12. (PROFILO) Revisione tra pari - 9 min. Test on-line (BASE) Analisi dei risultati dei test - 8 min

V. Controllo dei compiti individuali. -1 minuto.

VI. Individualmente - compiti differenziati -1 min.

VII. TEST DI CONTROLLO 20 MINUTI (4 OPZIONI)

Avanzamento della masterclass

IO .Organizzazione del tempo.

II .Messaggio dell'argomento, obiettivi della master class, motivazione per le attività educative.

(Diapositive 1-2, appendice n. 2)

L'argomento della nostra lezione è “Derivata di una funzione in Compiti dell'Esame di Stato Unificato" Tutti conoscono il detto “Piccolo è piccolo ma costoso”. Una di queste “valvole a spola” in matematica è la derivata. Il derivato viene utilizzato per risolvere molti problemi pratici in matematica, fisica, chimica, economia e altre discipline. Ti consente di risolvere i problemi in modo semplice, bello e interessante.

L'argomento "Derivato" è presentato nel compito n. 14 del livello base e nei compiti livello di profilo N. 7,12, 18 e l'Esame di Stato Unificato.

Hai lavorato con documenti che regolano la struttura e il contenuto dei materiali di misurazione del controllo dell'esame di stato unificato in matematica 2018. Traccia una conclusione su quali conoscenze e competenze sono necessarie per risolvere con successo i problemi dell'esame di stato unificato sull'argomento "Derivato".

(Diapositive 3-4, Appendice n. 2)

Hai studiato “Codificatore di elementi di contenuto in MATEMATICA per la compilazione dei materiali di misurazione di controllo per l'Esame di Stato Unificato”,

“Codificatore dei requisiti per il livello di formazione dei laureati”, “Specifica dei materiali di misura di controllo”, “ Versione demo materiali di misurazione del controllo dell'esame di stato unificato 2018" e scoperto quali conoscenze e abilità su una funzione e la sua derivata sono necessarie per risolvere con successo i problemi sull'argomento "Derivata".

Necessario

• SAPERE

regole per il calcolo dei derivati;

derivati ​​​​di base funzioni elementari;

geometrico e significato fisico derivato;
equazione della tangente al grafico di una funzione;
studio di una funzione mediante la sua derivata.

• ESSERE IN GRADO DI

eseguire azioni con funzioni (descrivere il comportamento e le proprietà di una funzione utilizzando un grafico, trovare i suoi valori più grandi e più piccoli).

• UTILIZZO

conoscenze e competenze acquisite in attività pratiche e la vita di tutti i giorni.

Hai conoscenze teoriche sull'argomento "Derivativo". Oggi lo faremoIMPARARE AD APPLICARE LE CONOSCENZE SULLA FUNZIONE DERIVATA PER RISOLVERE PROBLEMI DI UTILIZZO.(Diapositiva 4, appendice n. 2)

Non è senza motivo Aristotele lo ha detto“LA MENTE NON È SOLO NELLA CONOSCENZA, MA ANCHE NELLA CAPACITÀ DI APPLICARE LA CONOSCENZA NELLA PRATICA”(Diapositiva 5, appendice n. 2)

Alla fine della lezione torneremo all'obiettivo della nostra lezione e scopriremo se lo abbiamo raggiunto?

III . Lavoro frontale.Formazione “Compiti N°14 BASE N°7 PROFILO D'USO” ( Appendice n. 1). Analisi del lavoro con il simulatore.

Scegli la risposta corretta tra le quattro proposte.

Qual è, secondo te, la difficoltà di completare l'attività n. 7?

Quali sono secondo te gli errori tipici che i laureati commettono all'esame nel risolvere questo problema?

Quando rispondi alle domande del compito N. 14 BASE E N. 7 PROFILO, dovresti essere in grado di descrivere il comportamento e le proprietà di una funzione utilizzando il grafico della derivata, e il comportamento e le proprietà della funzione derivativa utilizzando il grafico della funzione. E per questo sono necessarie buone conoscenze teoriche sui seguenti argomenti: “Significato geometrico e meccanico della derivata. Tangente al grafico di una funzione. Applicazione della derivata allo studio delle funzioni."

Analizza quali compiti ti hanno causato difficoltà?

Quali questioni teoriche devi conoscere?

IV. Test on-line per le attività n. 14 (BASE)Analisi dei risultati dei test.

Sito web per le prove in classe:http://www.mathb-ege.sdamgia.ru/

Chi non ha commesso errori?

Chi ha avuto difficoltà a eseguire il test? Perché?

In quali compiti sono stati commessi errori?

Concludere quali questioni teoriche devi sapere?

Individualmente - lavoro differenziato in coppia. Risoluzione indipendente dei problemi n. 12. (PROFILO)Revisione tra pari.(Appendice n. 3)

Ricorda l'algoritmo per risolvere i problemi n. 12 dell'Esame di Stato Unificato per trovare i punti estremi, gli estremi di una funzione, i valori più grande e più piccolo di una funzione su un intervallo utilizzando la derivata.

Risolvere problemi utilizzando la derivata

Agli studenti viene posto un problema:

"Pensa, è possibile risolvere alcuni problemi n. 12 in un altro modo, senza utilizzare la derivata?"

1 paio

2 paia

3 paia

4 paia

(Gli studenti difendono la loro soluzione scrivendo le fasi principali della risoluzione dei problemi alla lavagna. Gli studenti forniscono due modi per risolvere il problema n. 2).

Soluzione di un problema. Conclusione gli studenti dovrebbero fare:

“Alcuni problemi n. 12 dell'Esame di Stato Unificato sulla ricerca del più piccolo e valore più alto le funzioni possono essere risolte senza usare una derivata, basandosi sulle proprietà delle funzioni.”

Analizza quale errore hai commesso nel compito?

Quali domande teoriche devi rivedere?

V. Controllo dei compiti individuali. (Diapositive 7-8, Appendice n. 2)

A Vegelman V. sono stati assegnati compiti individuali: dai manuali per la preparazione all'Esame di Stato Unificato n. 18.

(Lo studente fornisce una soluzione al problema, basandosi sul metodo grafico-funzionale, come uno dei metodi per risolvere i problemi n. 18 dell'Esame di Stato Unificato e fornisce una breve spiegazione di questo metodo).

VII. Compiti differenziati individualmente

(Diapositiva 9, domanda n. 2), (Appendice n. 4).

Ho preparato un elenco di siti Internet per la preparazione all'Esame di Stato Unificato. Puoi anche sostenere test online su questi siti. Per la lezione successiva è necessario: 1) ripetere il materiale teorico sull'argomento “Derivata di una funzione”;

2) sul sito web “Open Bank of Mathematics Tasks” (http://mathege.ru/ ) trovare i prototipi dei compiti N. 14 BASE E N. 7 e 12 PROFILO e risolvere almeno 10 problemi PROFILO;

3) Vegelman V., risolvere problemi con i parametri (APPENDICE 4). compiti 1-8 (opzione 1).UN LIVELLO BASE DI

VIII. Voti delle lezioni.

Che voto ti daresti per la lezione?

Pensi che avresti potuto fare meglio in classe?

IX. Riepilogo della lezione. Riflessione

Riassumiamo il nostro lavoro. Qual era lo scopo della lezione? Pensi che sia stato raggiunto?

Guarda la lavagna e in una frase, scegliendo l'inizio di una frase, continua la frase che più ti si addice.

Mi sono sentito…

Ho studiato…

Sono riuscito …

Potevo...

Cercherò …

Ne sono rimasto sorpreso …

Volevo…

Puoi dire che durante la lezione le tue conoscenze si sono arricchite?

Quindi, hai ripetuto domande teoriche sulla derivata di una funzione, hai applicato le tue conoscenze risolvendo i compiti USE del prototipo (N. 14 LIVELLO BASE N. 7,12 LIVELLO PROFILO) e lo studente V. Vegelman ha completato il compito N. 18 con un parametro, che è un compito di difficoltà di grado avanzato.

È stato un piacere lavorare con te e spero che sarai in grado di applicare con successo le conoscenze acquisite nelle lezioni di matematica non solo in superamento dell'Esame di Stato Unificato, ma anche nei suoi studi successivi.

Vorrei concludere la lezione con le parole del filosofo italianoTommaso d'Aquino"La conoscenza è una cosa così preziosa che non c'è vergogna nell'acquisirla da qualsiasi fonte."(Diapositiva 10, Appendice n. 2).

Ti auguro successo nella preparazione all'Esame di Stato Unificato!

Anteprima:

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Didascalie delle diapositive:

Preparazione per il SIMULATORE dell'Esame di Stato Unificato sull'argomento “DERIVATO” Compito n. 14 un livello base di, N. 7, 12 livelli di profilo

f(x) f / (x) x La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f (x) data sull'intervallo (- 8; 8). Esploriamo le proprietà del grafico e saremo in grado di rispondere a molte domande sulle proprietà della funzione, sebbene il grafico della funzione stessa non venga presentato! y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x 6 3 0 -5 Trova il punti , in cui f / (x) =0 (questi sono zeri della funzione). + – – + +

COMPITO N. 14 Matematica livello base

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e sono segnati i punti A, B, C e D sull'asse Ox. Utilizzando il grafico, abbina ogni punto alle caratteristiche della funzione e della sua derivata. A B C D 1) il valore della funzione in un punto è negativo e il valore della derivata della funzione in quel punto è positivo 2) il valore della funzione in quel punto è positivo e il valore della derivata della funzione nel punto è negativo 3) il valore della funzione nel punto è negativo e il valore della derivata della funzione nel punto è negativo 4) il valore della funzione in un punto è positivo e il valore del la derivata della funzione in un punto è positiva

N. 1 La figura mostra un grafico della funzione y=f(x) e sono segnati i punti A, B, C e D sull'asse Ox. Utilizzando il grafico, abbina ogni punto alle caratteristiche della funzione e della sua derivata. 1) il valore della funzione in un punto è positivo e il valore della derivata della funzione in quel punto è negativo 2) il valore della funzione in quel punto è negativo e il valore della derivata della funzione in quel punto il punto è negativo 3) il valore della funzione nel punto è positivo e il valore della derivata della funzione nel punto è positivo 4) il valore della funzione nel punto è negativo e il valore della derivata di la funzione nel punto è positiva A B C D

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x). I punti a, b, c, d ed e definiscono gli intervalli sull'asse del bue. Utilizzando il grafico, abbina ogni intervallo a una caratteristica della funzione o della sua derivata. A) (a; b) B) (b; c) C) (c; d) D) (d; e) 1) i valori della funzione sono positivi in ​​ogni punto dell'intervallo 2) i valori ​​delle derivate della funzione sono negativi in ​​ogni punto dell'intervallo 3) i valori delle derivate della funzione sono positivi in ​​ogni punto dell'intervallo 4) i valori della funzione sono negativi in ​​ogni punto dell'intervallo

La figura mostra un grafico della funzione y=f(x). I numeri a, b, c, d ed e definiscono gli intervalli sull'asse del bue. Utilizzando il grafico, abbina ogni intervallo a una caratteristica della funzione o della sua derivata. A) (a;b) B) (b;c) C) (c;d) D) (d;e) 1) i valori della funzione sono positivi in ​​ogni punto dell'intervallo 2) i valori ​​della funzione sono negativi in ​​ogni punto dell'intervallo 3) i valori delle funzioni derivate sono negativi in ​​ogni punto dell'intervallo 4) i valori della derivata della funzione sono positivi in ​​ogni punto dell'intervallo

La figura mostra il grafico della funzione e le tangenti ad essa tracciate nei punti con ascisse A, B, C e D. A B C D 1) − 1,5 2) 0,5 3) 2 4) − 0,3

La figura mostra il grafico della funzione e le tangenti ad essa tracciate nei punti con ascisse A, B, C e D. A B C D 1) 23 2) − 12 3) − 113 4) 123

COMPITO N. 7 Livello del profilo matematico

Problemi sul significato geometrico della derivata

1) La figura mostra un grafico della funzione y = f(x) e una sua tangente nel punto con ascissa x 0. Trova il valore della derivata nel punto x 0. -2 -0,5 2 0,5 Pensa! Pensaci! Giusto! Pensaci! x 0 Significato geometrico della derivata: k = tan α L'angolo di inclinazione della tangente all'asse Ox è ottuso, il che significa k

5 11 8 2) La funzione continua y = f(x) è data sull'intervallo (-6; 7). La figura ne mostra il grafico. Trova il numero di punti in cui la tangente al grafico della funzione è parallela alla retta y = 6. Controlla y = f(x) y x 3 Pensa! Pensaci! Pensaci! Giusto! - 6 7 y = 6 . Punto di rottura. A questo punto la derivata NON esiste! O -4 3 5 1.5

Problemi per determinare le caratteristiche di una funzione dal grafico della sua derivata

3) La figura mostra un grafico della derivata della funzione y = f / (x) data sull'intervallo (- 6; 8). Esamina la funzione y = f (x) per un estremo e indica il numero dei suoi punti estremi. 2 1 4 5 Non è vero! Sbagliato! Giusto! Sbagliato! Verifica (2) f(x) f / (x) -2 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x -5 + min max O

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 5) La figura mostra un grafico della derivata di una funzione specificata nell'intervallo [-5;5] . Esaminare la monotonia della funzione e indicare il punto massimo più grande. 3 2 4 5 Pensa! Pensaci! Giusto! Pensaci! y = f / (x) + + + - - О - f / (x) - + - + - + f(x) -4 -2 0 3 4 Dei due punti massimi, il più grande x max = 3 max max sì

7) La figura mostra un grafico della derivata della funzione. Trova la lunghezza dell'intervallo crescente di questa funzione. Controlla O -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 4 2 3 5 PENSA! + PENSA! GIUSTO! PENSARE! y x 3 y = f / (x)

4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x 6) La figura mostra un grafico della derivata di una funzione specificata nell'intervallo [-5;5] . Esamina la funzione y = f (x) per la monotonicità e indica il numero di intervalli decrescenti. 3 2 4 1 Pensa! Pensaci! Giusto! Pensaci! y = f / (x) f(x) -4 -2 0 4 f / (x) - + - + - + + O - - - y

Problemi per determinare le caratteristiche della derivata dal grafico di una funzione.

La figura mostra il grafico della funzione differenziabile y = f (x). Sull'asse delle ascisse sono segnati nove punti: x 1, x 2, ..., x 9. Trova tutti i punti contrassegnati in cui la derivata della funzione f(x) è negativa. Nella tua risposta, indica il numero di questi punti.

La figura mostra un grafico della funzione y = f (x) definita sull'intervallo (a; b). Determina il numero di punti interi in cui la derivata della funzione è positiva. a) b) Decidi tu stesso! Soluzione. , se aumenta. Soluzioni intere per: x=-2; x=-1; x=5; x=6. Il loro numero è 4. Soluzioni intere per: x=2; x=3; x=4; x=10; x=11. Il loro numero è 5. Risposta: 4. Risposta: 5.

Problemi sul significato fisico della derivata

Risposta: 3 Risposta: 14

COMPITO N. 12 Livello del profilo matematico

Lavoro indipendente in coppia Compito n. 12 Livello di profilo

Anteprima:

Appendice 3 carte individuali № 12

1. Trova il punto massimo della funzione1 Trovare il punto di minimo della funzione

2.Trova il punto massimo della funzione2Trova il punto minimo della funzione

Linnik D. Vovnenko I

1.Trova il valore più piccolo della funzione1. Trova il valore più grande della funzione sul segmento

sul segmento

Vegelmann V.

Logvinyuk A.

1. Trova il punto massimo della funzione1. Trova il punto minimo della funzione

2. Trova il valore più piccolo della funzione2. Trova il valore più grande della funzione sul segmento

Sul segmento

Leontyeva A. Isaenko K.

Comunale Istituto d'Istruzione

"Saltykovskaya secondaria scuola comprensiva

Distretto di Rtishchevsky, regione di Saratov"

Masterclass in matematica

in 11a elementare

su questo argomento

"DERIVATA DELLA FUNZIONE

NEI COMPITI DI UTILIZZO"

Condotto da un insegnante di matematica

Beloglazova L.S.

Anno accademico 2012-2013

Lo scopo della master class : sviluppare le capacità degli studenti nell'applicare le conoscenze teoriche sull'argomento "Derivata di una funzione" per risolvere i problemi dell'esame di stato unificato.

Compiti

Educativo: riassumere e sistematizzare le conoscenze degli studenti sull’argomento

"Derivata di una funzione", considera i prototipi dei problemi dell'Esame di Stato Unificato su questo argomento, offre agli studenti l'opportunità di testare le proprie conoscenze risolvendo i problemi in modo indipendente.

Educativo: promuovere lo sviluppo delle capacità di memoria, attenzione, autostima e autocontrollo; la formazione di competenze chiave di base (confronto, giustapposizione, classificazione di oggetti, determinazione di modi adeguati per risolvere un compito educativo basato su determinati algoritmi, capacità di agire in modo indipendente in situazioni di incertezza, monitorare e valutare le proprie attività, trovare ed eliminare le cause di difficoltà).

Educativo: contribuire:

sviluppare un atteggiamento responsabile nei confronti dell’apprendimento tra gli studenti;

sviluppo di un interesse sostenibile per la matematica;

creare una motivazione interna positiva per studiare matematica.

Tecnologie: apprendimento differenziato individualmente, ICT.

Metodi di insegnamento: verbale, visivo, pratico, problematico.

Forme di lavoro: individuale, frontale, in coppia.

Attrezzature e materiali per la lezione: proiettore, schermo, PC per ogni studente, simulatore (Appendice n. 1), presentazione della lezione (Appendice n. 2), individualmente - carte differenziate per il lavoro indipendente in coppia (Appendice n. 3), elenco dei siti Internet, compiti differenziati individualmente (Appendice n. 4).

Spiegazione per la master class. Questa master class si svolge all'11° anno con l'obiettivo di prepararsi all'Esame di Stato Unificato. Mirato ad applicare materiale teorico sull'argomento "Derivata di una funzione" durante la risoluzione dei problemi d'esame.

Durata della masterclass- 30 minuti.

Struttura della masterclass

I.Momento organizzativo -1 min.

II .Messaggio dell'argomento, obiettivi della master class, motivazione per le attività educative - 1 min.

III. Lavoro frontale. Formazione “Compiti B8 Esame di Stato Unificato”. Analisi del lavoro con il simulatore - 6 min.

IV.Individualmente - lavoro differenziato in coppia. Risoluzione indipendente dei problemi Q14. Revisione tra pari - 7 min.

V. Controllo dei compiti individuali. Problema con il parametro C5 dell'Esame di Stato Unificato

3 minuti

VI.Test on-line. Analisi dei risultati del test - 9 min.

VII. Individualmente - compiti differenziati -1 min.

VIII. Voti della lezione - 1 min.

IX. Riepilogo della lezione. Riflessione -1 min.

Avanzamento della masterclass

IO .Organizzazione del tempo.

II .Messaggio dell'argomento, obiettivi della master class, motivazione per le attività educative.

(Diapositive 1-2, Appendice n. 2)

L'argomento della nostra lezione è "Derivata di una funzione nei compiti dell'Esame di Stato unificato". Tutti conoscono il detto “Piccolo è piccolo ma costoso”. Una di queste “valvole a spola” in matematica è la derivata. Il derivato viene utilizzato per risolvere molti problemi pratici in matematica, fisica, chimica, economia e altre discipline. Ti consente di risolvere i problemi in modo semplice, bello e interessante.

L'argomento “Derivato” è presentato nei compiti della parte B (B8, B14) dell'esame di stato unificato. Alcuni problemi C5 possono essere risolti anche utilizzando le derivate. Ma risolvere questi problemi richiede una buona formazione matematica e un pensiero innovativo.

Hai lavorato con documenti che regolano la struttura e il contenuto dei materiali di misurazione del controllo dell'esame di stato unificato di matematica 2013. Concludi chequali conoscenze e competenze sono necessarie per risolvere con successo i problemi USE sull'argomento "Derivativo".

(Diapositive 3-4, Appendice n. 2)

Noi studiato"Codificatore elementi di contenuto in MATEMATICA per la preparazione dei materiali di misurazione di controllo per l'Esame di Stato Unificato,"

“Codificatore dei requisiti per il livello di formazione dei laureati”,"Specifica controllare i materiali di misura","Versione demomateriali di misurazione del controllo dell'esame di stato unificato 2013" escoperto quali conoscenze e abilità su una funzione e la sua derivata sono necessarie per risolvere con successo i problemi sull'argomento "Derivata".

Necessario

• SAPERE

P regole per il calcolo dei derivati;

derivate di funzioni elementari di base;

significato geometrico e fisico della derivata;
equazione della tangente al grafico di una funzione;
studio di una funzione mediante la sua derivata.

ESSERE IN GRADO DI

eseguire azioni con funzioni (descrivere il comportamento e le proprietà di una funzione utilizzando un grafico, trovare i suoi valori più grandi e più piccoli).

UTILIZZO

conoscenze e abilità acquisite nelle attività pratiche e nella vita di tutti i giorni.

Hai conoscenze teoriche sull'argomento "Derivativo". Oggi lo faremoIMPARARE AD APPLICARE LE CONOSCENZE SULLA FUNZIONE DERIVATA PER RISOLVERE PROBLEMI DI UTILIZZO. ( Diapositiva 4, appendice n. 2)

Non è senza motivo Aristotele lo ha detto “LA MENTE NON È SOLO NELLA CONOSCENZA, MA ANCHE NELLA CAPACITÀ DI APPLICARE LA CONOSCENZA NELLA PRATICA”( Diapositiva 5, appendice n. 2)

Alla fine della lezione torneremo all'obiettivo della nostra lezione e scopriremo se lo abbiamo raggiunto?

III . Lavoro frontale. Formazione “Compiti B8 Esame di Stato Unificato” (Appendice n. 1) . Analisi del lavoro con il simulatore.

Scegli la risposta corretta tra le quattro proposte.

Qual è, secondo te, la difficoltà nel completare il compito B8?

Quali sono secondo te gli errori tipici che i laureati commettono all'esame nel risolvere questo problema?

Quando rispondi alle domande dell'attività B8, dovresti essere in grado di descrivere il comportamento e le proprietà di una funzione utilizzando un grafico derivato e il comportamento e le proprietà di una funzione derivativa utilizzando un grafico di funzione. E per questo sono necessarie buone conoscenze teoriche sui seguenti argomenti: “Significato geometrico e meccanico della derivata. Tangente al grafico di una funzione. Applicazione della derivata allo studio delle funzioni."

Analizza quali compiti ti hanno causato difficoltà?

Quali questioni teoriche devi conoscere?

IV. Individualmente - lavoro differenziato in coppia. Risoluzione indipendente dei problemi Q14. Revisione tra pari. (Appendice n. 3)

Ricorda l'algoritmo per la risoluzione dei problemi (B14 Unified State Exam) per trovare i punti estremi, gli estremi di una funzione, i valori più grande e più piccolo di una funzione su un intervallo utilizzando la derivata.

Risolvere problemi utilizzando le derivate.

Agli studenti viene posto un problema:

"Pensa, è possibile risolvere alcuni problemi in B14 in un altro modo, senza utilizzare la derivata?"

1 paio(Lukyanova D., Gavryushina D.)

1)B14. Trova il punto minimo della funzione y = 10x-ln (x+9)+6

2)B14.Trova il valore più grande della funzionesì =

- Prova a risolvere il secondo problema in due modi.

2 paia(Saninskaya T., Sazanov A.)

1)B14.Trova il valore più piccolo della funzione y=(x-10) sul segmento

2)B14. Trova il punto massimo della funzione y= -

(Gli studenti difendono la loro soluzione scrivendo alla lavagna le fasi principali della risoluzione dei problemi. Studenti di 1 coppia (Lukyanova D., Gavryushina D.) fornire due modi per risolvere il problema n. 2).

Soluzione di un problema. Conclusione gli studenti dovrebbero fare:

"Alcuni problemi dell'esame di stato unificato B14 sulla ricerca dei valori più piccoli e più grandi di una funzione possono essere risolti senza utilizzare derivati, basandosi sulle proprietà delle funzioni."

Analizza quale errore hai commesso nel compito?

Quali domande teoriche devi rivedere?

V. Controllo dei compiti individuali. Problema con il parametro C5 (USO) ( Diapositive 7-8, Appendice n. 2)

A Lukyanova K. sono stati assegnati compiti a casa individuali: dai libri di testo per la preparazione all'esame di stato unificato, selezionare un problema con un parametro (C5) e risolverlo utilizzando la derivata.

(Lo studente fornisce una soluzione al problema, basata sul metodo grafico-funzionale, come uno dei metodi per risolvere i problemi dell'esame di stato unificato C5 e fornisce una breve spiegazione di questo metodo).

Quale conoscenza di una funzione e della sua derivata è necessaria per risolvere i problemi dell'esame di stato unificato C5?

V I. Test on-line per le attività B8, B14. Analisi dei risultati dei test.

Sito web per le prove in classe:

Chi non ha commesso errori?

Chi ha avuto difficoltà a eseguire il test? Perché?

In quali compiti sono stati commessi errori?

Concludere quali questioni teoriche devi sapere?

VI IO. Compiti differenziati individualmente

(Diapositiva 9, domanda n. 2), (Appendice n. 4).

Ho preparato un elenco di siti Internet per la preparazione all'Esame di Stato Unificato. Puoi anche visitare questi siti InformazioniN – lineatest. Per la lezione successiva è necessario: 1) ripetere il materiale teorico sull'argomento “Derivata di una funzione”;

2) sul sito web “Open Bank of Mathematics Tasks” ( ) trovare prototipi dei compiti B8 e B14 e risolvere almeno 10 problemi;

3) Lukyanova K., Gavryushina D. risolvono problemi con i parametri. Il resto degli studenti dovrebbe risolvere i problemi 1-8 (opzione 1).

VI II. Voti delle lezioni.

Che voto ti daresti per la lezione?

Pensi che avresti potuto fare meglio in classe?

IX. Riepilogo della lezione. Riflessione

Riassumiamo il nostro lavoro. Qual era lo scopo della lezione? Pensi che sia stato raggiunto?

Guarda la lavagna e in una frase, scegliendo l'inizio di una frase, continua la frase che più ti si addice.

Mi sono sentito…

Ho studiato…

Sono riuscito …

Potevo...

Cercherò …

Ne sono rimasto sorpreso …

Volevo…

Puoi dire che durante la lezione le tue conoscenze si sono arricchite?

Quindi, hai ripetuto le domande teoriche sulla derivata di una funzione, hanno applicato le loro conoscenze durante la risoluzione dei prototipi dei compiti dell'Esame di Stato unificato (B8, B14) e Lukyanova K. ha completato il compito C5 con un parametro, che è un compito di maggiore complessità.

È stato un piacere lavorare con te e Spero che sarai in grado di applicare con successo le conoscenze acquisite nelle lezioni di matematica non solo quando superi l'Esame di Stato Unificato, ma anche nei tuoi studi futuri.

Vorrei concludere la lezione con le parole del filosofo italiano Tommaso d'Aquino"La conoscenza è una cosa così preziosa che non c'è vergogna nell'acquisirla da qualsiasi fonte." (Diapositiva 10, Appendice n. 2).

Ti auguro successo nella preparazione all'Esame di Stato Unificato!

La derivata di una funzione $y = f(x)$ in un dato punto $x_0$ è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e il corrispondente incremento del suo argomento, a condizione che quest'ultimo tenda a zero:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

La differenziazione è l'operazione di trovare la derivata.

Tavola delle derivate di alcune funzioni elementari

Funzione	Derivato
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^(n-1)$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$√x$	$(1)/(2√x)$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	$(1)/(x)$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(peccato^2x)$

Regole fondamentali di differenziazione

1. La derivata della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) dei derivati

$(f(x)± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Trova la derivata della funzione $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

La derivata di una somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) delle derivate.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivato del prodotto

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Trova la derivata $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivata del quoziente

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Trova la derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Derivato funzione complessaè uguale al prodotto della derivata della funzione esterna e della derivata della funzione interna

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sen(5x)·5= -5sen(5x)$

Significato fisico del derivato

Se punto materiale si muove rettilineamente e le sue coordinate cambiano in funzione del tempo secondo la legge $x(t)$, allora la velocità istantanea di un dato punto è uguale alla derivata della funzione.

Il punto si muove lungo la linea delle coordinate secondo la legge $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, dove $x(t)$ è la coordinata al tempo $t$. In quale momento la velocità del punto sarà pari a $12$?

1. La velocità è la derivata di $x(t)$, quindi troviamo la derivata della funzione data

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Per trovare in quale istante $t$ la velocità era pari a $12$, creiamo e risolviamo l'equazione:

Significato geometrico della derivata

Ricordiamo che l'equazione di una retta non parallela agli assi coordinati può essere scritta nella forma $y = kx + b$, dove $k$ è la pendenza della retta. Il coefficiente $k$ è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione tra la retta e la direzione positiva dell'asse $Ox$.

La derivata della funzione $f(x)$ nel punto $х_0$ è uguale alla pendenza $k$ della tangente al grafico in questo punto:

Pertanto, possiamo creare un'uguaglianza generale:

$f"(x_0) = k = tanα$

Nella figura aumenta la tangente alla funzione $f(x)$, quindi il coefficiente $k > 0$. Poiché $k > 0$, allora $f"(x_0) = tanα > 0$. L'angolo $α$ tra la tangente e la direzione positiva $Ox$ è acuto.

Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ diminuisce, quindi, il coefficiente $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ è parallela all'asse $Ox$, quindi il coefficiente $k = 0$, quindi $f"(x_0) = tan α = 0$. La punto $x_0$ in cui $f "(x_0) = 0$, chiamato estremo.

La figura mostra un grafico della funzione $y=f(x)$ e una tangente a questo grafico disegnata nel punto con l'ascissa $x_0$. Trova il valore della derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$.

La tangente al grafico aumenta, quindi, $f"(x_0) = tan α > 0$

Per trovare $f"(x_0)$, troviamo la tangente dell'angolo di inclinazione tra la tangente e la direzione positiva dell'asse $Ox$. Per fare ciò, costruiamo la tangente al triangolo $ABC$.

Troviamo la tangente dell'angolo $BAC$. (Tangenziale angolo acuto V triangolo rettangolo chiamata relazione gamba opposta alla gamba adiacente.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Risposta: $ 0,25 $

La derivata viene utilizzata anche per trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti:

Se $f"(x) > 0$ su un intervallo, allora la funzione $f(x)$ è crescente su questo intervallo.

Se $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

La figura mostra il grafico della funzione $y = f(x)$. Trova tra i punti $х_1,х_2,х_3...х_7$ i punti in cui la derivata della funzione è negativa.

In risposta, annota il numero di questi punti.