Conoscendo le coordinate del lato 2 del triangolo, trova l'altezza. Trova l'altezza maggiore del triangolo

Prima di tutto, un triangolo lo è figura geometrica, che è formato da tre punti che non giacciono sulla stessa retta e sono collegati da tre segmenti. Per trovare l'altezza di un triangolo, devi prima determinarne il tipo. I triangoli differiscono per la dimensione degli angoli e per il numero di angoli uguali. A seconda della dimensione degli angoli, un triangolo può essere acuto, ottuso e rettangolare. In base al numero di lati uguali i triangoli si distinguono in isosceli, equilateri e scaleni. L'altezza è la perpendicolare che si abbassa al lato opposto del triangolo rispetto al suo vertice. Come trovare l'altezza di un triangolo?

Come trovare l'altezza di un triangolo isoscele

Un triangolo isoscele è caratterizzato dall'uguaglianza dei lati e degli angoli alla base, pertanto le altezze di un triangolo isoscele disegnato ai lati laterali sono sempre uguali tra loro. Inoltre, l'altezza di questo triangolo è sia mediana che bisettrice. Di conseguenza, l'altezza divide la base a metà. Consideriamo il triangolo rettangolo risultante e troviamo il lato, cioè l'altezza del triangolo isoscele, utilizzando il teorema di Pitagora. Utilizzando la seguente formula, calcoliamo l'altezza: H = 1/2*√4*a 2 − b 2, dove: a è il lato di questo triangolo isoscele, b è la base di questo triangolo isoscele.

Come trovare l'altezza di un triangolo equilatero

Un triangolo con i lati uguali si dice equilatero. L'altezza di un tale triangolo si ricava dalla formula per l'altezza di un triangolo isoscele. Risulta: H = √3/2*a, dove a è il lato di questo triangolo equilatero.

Come trovare l'altezza di un triangolo scaleno

Uno scaleno è un triangolo in cui due lati qualsiasi non sono uguali tra loro. In un triangolo del genere, tutte e tre le altezze saranno diverse. Puoi calcolare le lunghezze delle altezze utilizzando la formula: H = sin60*a = a*(sgrt3)/2, dove a è il lato del triangolo oppure calcolare prima l'area di un particolare triangolo utilizzando la formula di Heron, che assomiglia a: S = (p*(p-c)* (p-b)*(p-a))^1/2, dove a, b, c sono i lati di un triangolo scaleno e p è il suo semiperimetro. Ogni altezza = 2*area/lato

Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo

Un triangolo rettangolo ha un angolo retto. L'altezza che arriva a una delle gambe è allo stesso tempo la seconda gamba. Pertanto, per trovare le altezze giacenti sulle gambe, è necessario utilizzare la formula pitagorica modificata: a = √(c 2 − b 2), dove a, b sono le gambe (a è la gamba da trovare), c è la lunghezza dell'ipotenusa. Per trovare la seconda altezza, è necessario inserire il valore risultante a al posto di b. Per trovare la terza altezza interna al triangolo, utilizzare la seguente formula: h = 2s/a, dove h è l'altezza triangolo rettangolo, s è la sua area, a è la lunghezza del lato al quale l'altezza sarà perpendicolare.

Un triangolo si dice acuto se tutti i suoi angoli sono acuti. In questo caso tutte e tre le altezze si trovano all'interno di un triangolo acuto. Un triangolo si dice ottuso se ha un solo angolo ottuso. Due altezze di un triangolo ottuso sono esterne al triangolo e cadono sulla continuazione dei lati. Il terzo lato è interno al triangolo. L'altezza è determinata utilizzando lo stesso teorema di Pitagora.

Formule generali per il calcolo dell'altezza di un triangolo

• Formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso i lati: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), dove h è l'altezza da trovare, a, b e c sono i lati di un dato triangolo, p è il suo semiperimetro, .
• Formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando un angolo e un lato: H=b sin y = c sin ß
• La formula per trovare l'altezza di un triangolo attraverso l'area e il lato: h = 2S/a, dove a è il lato del triangolo e h è l'altezza costruita sul lato a.
• La formula per trovare l'altezza di un triangolo utilizzando il raggio e i lati: H= bc/2R.

Al momento di decidere vari tipi problemi, sia di natura puramente matematica che applicata (soprattutto in edilizia), richiedono spesso la determinazione del valore dell'altezza di una determinata figura geometrica. Come calcolare questo valore (altezza) in un triangolo?

Se combiniamo 3 punti a coppie che non si trovano su un'unica linea, la figura risultante sarà un triangolo. L'altezza è la parte di una linea retta che parte da un vertice qualsiasi di una figura e che, intersecandosi con il lato opposto, forma un angolo di 90°.

Trova l'altezza di un triangolo scaleno

Determiniamo il valore dell'altezza di un triangolo nel caso in cui la figura abbia angoli e lati arbitrari.

La formula di Erone

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, dove

p – metà del perimetro della figura, h(a) – un segmento sul lato a, disegnato ad angolo retto rispetto ad esso,

p=(a+b+c)/2 – calcolo del semiperimetro.

Se nella figura è presente un'area, è possibile utilizzare la relazione h(a)=2S/a per determinarne l'altezza.

Funzioni trigonometriche

Per determinare la lunghezza di un segmento che forma un angolo retto intersecandosi con il lato a, si possono utilizzare le seguenti relazioni: se sono noti il ​​lato b e l'angolo γ oppure il lato c e l'angolo β, allora h(a)=b*sinγ oppure h(a)=c *sinβ.
Dove:
γ – angolo tra il lato b e a,
β è l'angolo tra il lato c e a.

Relazione con il raggio

Se il triangolo originale è inscritto in un cerchio, puoi utilizzare il raggio di tale cerchio per determinare l'altezza. Il suo centro si trova nel punto in cui si intersecano tutte e 3 le altezze (da ciascun vertice) - l'ortocentro, e la distanza da esso al vertice (qualsiasi) è il raggio.

Allora h(a)=bc/2R, dove:
b, c – 2 altri lati del triangolo,
R è il raggio del cerchio circoscritto al triangolo.

Trova l'altezza in un triangolo rettangolo

In questo tipo di figura geometrica, 2 lati, quando si intersecano, formano un angolo retto di 90°. Pertanto, se vuoi determinare il valore dell'altezza in esso, devi calcolare la dimensione di una delle gambe o la dimensione del segmento che forma 90° con l'ipotenusa. Quando si designa:
a, b – gambe,
c – ipotenusa,
h(c) – perpendicolare all'ipotenusa.
È possibile effettuare i calcoli necessari utilizzando le seguenti relazioni:

• Teorema di Pitagora:

a=√(c2 -b2),
b=√(c2 -a2),
h(c)=2S/c, perché S=ab/2, quindi h(c)=ab/c.

• Funzioni trigonometriche:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=ñ* sinβ* cosβ.

Trova l'altezza di un triangolo isoscele

Questa figura geometrica si distingue per la presenza di due lati di uguale dimensione e di un terzo – la base. Per determinare l'altezza portata al terzo lato distinto, viene in soccorso il teorema di Pitagora. Con notazione
a parte,
c – base,
h(c) è un segmento verso c con un angolo di 90°, allora h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Non è quasi mai possibile determinare tutti i parametri di un triangolo senza costruzioni aggiuntive. Queste costruzioni sono caratteristiche grafiche uniche di un triangolo, che aiutano a determinare la dimensione dei lati e degli angoli.

Definizione

Una di queste caratteristiche è l'altezza del triangolo. L'altitudine è una perpendicolare tracciata dal vertice di un triangolo al suo lato opposto. Un vertice è uno dei tre punti che, insieme ai tre lati, formano un triangolo.

La definizione di altezza di un triangolo può suonare così: l'altezza è la perpendicolare tracciata dal vertice del triangolo alla retta contenente il lato opposto.

Questa definizione sembra più complicata, ma riflette più accuratamente la situazione. Il fatto è che in un triangolo ottuso non è possibile disegnare l'altezza all'interno del triangolo. Come si può vedere nella Figura 1, l'altezza in questo caso è esterna. Inoltre, non è una situazione standard costruire l'altezza in un triangolo rettangolo. In questo caso, due delle tre altezze del triangolo passeranno per i cateti, e la terza dal vertice all'ipotenusa.

Riso. 1. Altezza di un triangolo ottuso.

Tipicamente, l'altezza di un triangolo è indicata dalla lettera h. L'altezza è indicata anche in altre figure.

Come trovare l'altezza di un triangolo?

Esistono tre modi standard per trovare l'altezza di un triangolo:

Attraverso il teorema di Pitagora

Questo metodo viene utilizzato per i triangoli equilateri e isosceli. Analizziamo la soluzione per un triangolo isoscele, e poi diciamo perché la stessa soluzione è valida per un triangolo equilatero.

Dato: triangolo isoscele ABC di base AC. AB=5, AC=8. Trova l'altezza del triangolo.

Riso. 2. Disegnare per il problema.

Per un triangolo isoscele è importante sapere quale lato è la base. Ciò determina i lati che devono essere uguali, nonché l'altezza alla quale agiscono determinate proprietà.

Proprietà dell'altezza di un triangolo isoscele portato verso la base:

• L'altezza coincide con la mediana e la bisettrice
• Divide la base in due parti uguali.

Indichiamo l'altezza come ВD. Troviamo DC come metà della base, poiché l'altezza del punto D divide la base a metà. CD=4

L'altezza è una perpendicolare, il che significa che BDC è un triangolo rettangolo e l'altezza BH è una gamba di questo triangolo.

Troviamo l'altezza utilizzando il teorema di Pitagora: $$ВD=\sqrt(BC^2-HC^2)=\sqrt(25-16)=3$$

Qualsiasi triangolo equilatero è isoscele, solo la sua base è uguale ai suoi lati. Cioè, puoi usare la stessa procedura.

Attraverso l'area di un triangolo

Questo metodo può essere utilizzato per qualsiasi triangolo. Per usarlo è necessario conoscere l'area del triangolo e il lato su cui viene disegnata l'altezza.

Le altezze in un triangolo non sono uguali, quindi per il lato corrispondente sarà possibile calcolare l'altezza corrispondente.

Formula dell'area del triangolo: $$S=(1\over2)*bh$$, dove b è lato del triangolo, a h è l'altezza tracciata da questo lato. Esprimiamo l'altezza dalla formula:

$$h=2*(S\su b)$$

Se l'area è 15, il lato è 5, quindi l'altezza è $$h=2*(15\over5)=6$$

Attraverso la funzione trigonometrica

Il terzo metodo è adatto se si conoscono il lato e l'angolo alla base. Per fare ciò dovrai utilizzare la funzione trigonometrica.

Riso. 3. Disegnare per il problema.

Angolo ВСН=300 e lato BC=8. Abbiamo ancora lo stesso triangolo rettangolo BCH. Usiamo il seno. Il seno è il rapporto tra il lato opposto e l'ipotenusa, che significa: BH/BC=cos BCH.

L'angolo è noto, così come il lato. Esprimiamo l'altezza del triangolo:

$$BH=BC*\cos (60\unicode(xb0))=8*(1\over2)=4$$

Il valore del coseno è generalmente tratto dalle tabelle Bradis, ma i valori funzioni trigonometriche per 30,45 e 60 gradi - numeri tabulari.

Cosa abbiamo imparato?

Abbiamo imparato qual è l'altezza di un triangolo, quali altezze ci sono e come vengono designate. Capito compiti tipici e scrisse tre formule per l'altezza di un triangolo.

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Il calcolo dell'altezza di un triangolo dipende dalla figura stessa (isoscele, equilatero, scaleno, rettangolare). Nella geometria pratica, di regola, non si trovano formule complesse. È sufficiente conoscere il principio generale dei calcoli affinché possa essere universalmente applicabile a tutti i triangoli. Oggi vi presenteremo i principi di base del calcolo dell'altezza di una figura, formule di calcolo basate sulle proprietà delle altezze dei triangoli.

Cos'è l'altezza?

L'altezza ha diverse proprietà distintive

1. Il punto in cui tutte le altezze si uniscono si chiama ortocentro. Se il triangolo è appuntito, l'ortocentro si trova all'interno della figura, se uno degli angoli è ottuso, l'ortocentro, di regola, si trova all'esterno;
2. In un triangolo in cui un angolo misura 90° l'ortocentro e il vertice coincidono.
3. A seconda del tipo di triangolo, esistono diverse formule per trovare l'altezza del triangolo.

Informatica tradizionale

1. Se p è la metà del perimetro, allora a, b, c sono la designazione dei lati della figura richiesta, h è l'altezza, quindi la prima e più semplice formula sarà simile a questa: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c) .
2. Nei libri di testo scolastici si possono spesso trovare problemi in cui si conosce il valore di uno dei lati di un triangolo e la dimensione dell'angolo tra questo lato e la base. Quindi la formula per calcolare l'altezza sarà simile a questa: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
3. Quando viene data l'area del triangolo - S, così come la lunghezza della base - a, i calcoli saranno il più semplici possibile. L'altezza si trova utilizzando la formula: h = 2S/a.
4. Dato il raggio del cerchio descritto attorno alla figura, calcoliamo prima le lunghezze dei suoi due lati, quindi procediamo a calcolare l'altezza data del triangolo. Per fare questo usiamo la formula: h = b ∙ c/2R, dove b e c sono i due lati del triangolo che non sono la base, e R è il raggio.

Come trovare l'altezza di un triangolo isoscele?

Tutti i lati di questa figura sono equivalenti, le loro lunghezze sono uguali, quindi anche gli angoli alla base saranno uguali. Ne consegue che anche le altezze che disegniamo sulle basi saranno uguali, sono anche mediane e bisettrici allo stesso tempo. A proposito di in un linguaggio semplice, in un triangolo isoscele l'altezza divide la base in due. Il triangolo con angolo retto, che si ottiene dopo aver disegnato l'altezza, verrà considerato utilizzando il teorema di Pitagora. Indichiamo il lato con a e la base con b, quindi l'altezza h = ½ √4 a2 − b2.

Come trovare l'altezza di un triangolo equilatero?

La formula per un triangolo equilatero (una figura in cui tutti i lati hanno la stessa dimensione) può essere trovata sulla base dei calcoli precedenti. È solo necessario misurare la lunghezza di uno dei lati del triangolo e designarlo come a. Quindi l'altezza si ricava dalla formula: h = √3/2 a.

Come trovare l'altezza di un triangolo rettangolo?

Come sai, l'angolo in un triangolo rettangolo è 90°. L'altezza abbassata da un lato è anche il secondo lato. Su di essi giacciono le altezze di un triangolo retto. Per ottenere dati sull'altezza, è necessario trasformare leggermente la formula pitagorica esistente, designando le gambe - aeb, e misurando anche la lunghezza dell'ipotenusa - c.

Troviamo la lunghezza della gamba (il lato a cui sarà perpendicolare l'altezza): a = √ (c2 − b2). La lunghezza del secondo tratto si trova utilizzando esattamente la stessa formula: b =√ (c2 − b2). Dopo di che puoi iniziare a calcolare l'altezza di un triangolo con un angolo retto, avendo prima calcolato l'area della figura - s. Il valore dell'altezza è h = 2s/a.

Calcoli con triangolo scaleno

Quando un triangolo scaleno ha gli angoli acuti è visibile l'altezza abbassata alla base. Se il triangolo ha un angolo ottuso, l'altezza potrebbe trovarsi all'esterno della figura ed è necessario continuarlo mentalmente per ottenere il punto di connessione dell'altezza e della base del triangolo. Più in modo semplice misurare l'altezza significa calcolarla attraverso uno dei lati e la misura degli angoli. La formula è la seguente: h = b sin y + c sin ß.

Triangoli.

Concetti basilari.

Triangoloè una figura composta da tre segmenti e tre punti che non giacciono sulla stessa retta.

I segmenti vengono chiamati partiti, e i punti sono picchi.

Somma degli angoli il triangolo è 180º.

Altezza del triangolo.

Altezza del triangolo- questa è una perpendicolare tracciata dal vertice al lato opposto.

In un triangolo acuto l'altezza è contenuta all'interno del triangolo (Fig. 1).

In un triangolo rettangolo, le gambe sono le altezze del triangolo (Fig. 2).

In un triangolo ottuso l'altitudine si estende all'esterno del triangolo (Fig. 3).

Proprietà dell'altezza di un triangolo:

Bisettrice di un triangolo.

Bisettrice di un triangolo- si tratta di un segmento che divide a metà l'angolo del vertice e collega il vertice ad un punto sul lato opposto (Fig. 5).

Proprietà della bisettrice:

Mediana di un triangolo.

Mediana di un triangolo- questo è un segmento che collega il vertice con il centro del lato opposto (Fig. 9a).

La lunghezza della mediana può essere calcolata utilizzando la formula: 2B 2 + 2C 2 - UN 2 ma un 2 = —————— 4 Dove ma un- mediana tirata di lato UN. In un triangolo rettangolo la mediana tracciata dall'ipotenusa è uguale alla metà dell'ipotenusa: C mc = — 2 Dove mc- mediana tirata all'ipotenusa C(Fig.9c) Le mediane del triangolo si intersecano in un punto (al centro di massa del triangolo) e sono divise da questo punto in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Cioè, il segmento dal vertice al centro è due volte più grande del segmento dal centro al lato del triangolo (Fig. 9c). Le tre mediane di un triangolo lo dividono in sei triangoli uguali.

La linea mediana del triangolo.

Linea mediana del triangolo- questo è un segmento che collega i punti medi dei suoi due lati (Fig. 10).

La linea mediana del triangolo è parallela al terzo lato e pari alla metà di esso

Angolo esterno di un triangolo.

Angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma di due angoli interni non adiacenti (Fig. 11).

Un angolo esterno di un triangolo è maggiore di qualsiasi angolo non adiacente.

Triangolo rettangolo.

Triangolo rettangoloè un triangolo che ha un angolo retto (Fig. 12).

Si chiama il lato di un triangolo rettangolo opposto all'angolo retto ipotenusa.

Vengono chiamati gli altri due lati gambe.

Segmenti proporzionali in un triangolo rettangolo.

1) In un triangolo rettangolo, l'altitudine ricavata da angolo retto, forma tre triangoli simili: ABC, ACH e HCB (Fig. 14a). Pertanto gli angoli formati dall'altezza sono uguali agli angoli A e B.

Fig.14a

Triangolo isoscele.

Triangolo isosceleè un triangolo i cui due lati sono uguali (Fig. 13).

Questi lati uguali sono chiamati lati, e il terzo - base triangolo.

In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali. (Nel nostro triangolo, l'angolo A è uguale all'angolo C).

In un triangolo isoscele la mediana portata alla base è sia la bisettrice che l'altezza del triangolo.

Triangolo equilatero.

Un triangolo equilatero è un triangolo in cui tutti i lati sono uguali (Fig. 14).

Proprietà di un triangolo equilatero:

Proprietà notevoli dei triangoli.

I triangoli hanno proprietà uniche che ti aiuteranno a risolvere con successo i problemi che coinvolgono queste forme. Alcune di queste proprietà sono descritte sopra. Ma li ripetiamo ancora, aggiungendovi alcune altre meravigliose caratteristiche:

1) In un triangolo rettangolo con angoli di 90º, 30º e 60º cateti B, che giace di fronte ad un angolo di 30º, è uguale a metà dell'ipotenusa. Una gambaUN più gambaB√3 volte (Fig. 15 UN). Ad esempio, se la gamba b è 5, allora l'ipotenusa Cè necessariamente uguale a 10, e la gamba UN equivale a 5√3. 2) In un triangolo isoscele rettangolo con angoli di 90º, 45º e 45º, l'ipotenusa è √2 volte più grande del cateto (Fig. 15 B). Ad esempio, se i cateti sono 5, l'ipotenusa sarà 5√2. 3) La linea mediana del triangolo è uguale alla metà lato parallelo(figura 15 Con). Ad esempio, se il lato di un triangolo è 10, la linea mediana parallela ad esso sarà 5. 4) In un triangolo rettangolo la mediana tirata verso l'ipotenusa è pari alla metà dell'ipotenusa (Fig. 9c): mc= s/2. 5) Le mediane di un triangolo, che si intersecano in un punto, sono divise da questo punto in un rapporto di 2:1. Cioè, il segmento dal vertice al punto di intersezione delle mediane è due volte più grande del segmento dal punto di intersezione delle mediane al lato del triangolo (Fig. 9c) 6) In un triangolo rettangolo il centro dell'ipotenusa è il centro della circonferenza circoscritta (Fig. 15 D).

Segni di uguaglianza dei triangoli.

Primo segno di uguaglianza: se due lati e l'angolo formato da un triangolo sono uguali a due lati e l'angolo formato da un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Secondo segno di uguaglianza: se un lato e gli angoli adiacenti di un triangolo sono uguali al lato e gli angoli adiacenti di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Terzo segno di uguaglianza: Se tre lati di un triangolo sono uguali a tre lati di un altro triangolo, allora tali triangoli sono congruenti.

Disuguaglianza del triangolo.

In ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due lati.

Teorema di Pitagora.

In un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti:

C 2 = UN 2 + B 2 .

Area di un triangolo.

1) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto del suo lato per l'altezza tracciata su questo lato:

ah
S = ——
2

2) L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto di due qualsiasi dei suoi lati e del seno dell'angolo compreso tra loro:

1
S = — AB · AC. · peccato UN
2

Un triangolo circoscritto ad un cerchio.

Un cerchio si dice inscritto in un triangolo se ne tocca tutti i lati (Fig. 16 UN).

Un triangolo inscritto in un cerchio.

Un triangolo si dice inscritto in una circonferenza se la tocca con tutti i suoi vertici (Fig. 17 UN).

Seno, coseno, tangente, cotangente di un angolo acuto di un triangolo rettangolo (Fig. 18).

Seno angolo acuto X opposto gamba all'ipotenusa.
È indicato come segue: peccatoX.

Coseno angolo acuto X di un triangolo rettangolo è il rapporto adiacente gamba all'ipotenusa.
Indicato come segue: cos X.

Tangente angolo acuto X- questo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.
È designato come segue: tgX.

Cotangente angolo acuto X- questo è un atteggiamento gamba adiacente a quello opposto.
È designato come segue: ctgX.

Regole:

Gamba opposta all'angolo X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa per il peccato X:

b = c peccato X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto dell'ipotenusa e del cos X:

un = c cos X

Gamba all'angolo opposto X, è uguale al prodotto della seconda tappa per tg X:

b = un tg X

Gamba adiacente all'angolo X, è uguale al prodotto della seconda gamba per ctg X:

un = b· ctg X.

Per qualsiasi angolo acuto X:

peccato (90° - X) = cos X

cos (90° - X) = peccato X