Come sommare frazioni con denominatori diversi. Moltiplicare e dividere le frazioni Regole ed esempi semplici sulle frazioni

Io stesso mi sono trovato di fronte al fatto che le frazioni si sono rivelate un argomento piuttosto difficile per i miei figli.

Ce ne sono molti bel gioco Le frazioni di Nikitin sono destinate ai bambini in età prescolare, ma a scuola aiuteranno perfettamente il bambino a capire cosa sono: le frazioni, il loro rapporto reciproco..., e tutto in una forma accessibile, visiva ed emozionante.

Si compone di dodici cerchi multicolori. Un cerchio è intero e tutto il resto è diviso in parti uguali: due, tre... (fino a dodici).

Al bambino viene chiesto di completare semplici attività di gioco, ad esempio:

Come si chiamano le parti dei cerchi? O

Quale parte è più grande? (metti quello più piccolo sopra quello più grande.)

Questa tecnica mi ha aiutato. In generale, mi dispiace davvero che tutti questi sviluppi di Nikitin non abbiano attirato la mia attenzione quando i bambini erano ancora neonati.

Puoi creare il gioco da solo o acquistarne uno già pronto e scoprire di più su tutto qui.

La risoluzione delle frazioni può essere spiegata anche utilizzando i mattoncini Lego. Sviluppa non solo l'immaginazione, ma anche la creatività e pensiero logico, il che significa che può essere utilizzato anche come supporto didattico.

Alicia Zimmerman ha avuto l'idea di utilizzare i blocchi del famoso designer per insegnare ai bambini le basi della matematica.

Ed ecco come spiegare le frazioni usando i Lego.





La pratica mostra che le maggiori difficoltà sorgono quando si aggiungono (sottraggono) frazioni con denominatori diversi e quando si dividono le frazioni.

Le difficoltà sorgono a causa di istruzioni errate nel libro di testo, come la divisione di una frazione per una frazione.

Per dividere una frazione per una frazione, moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima frazione.

Può un bambino di quarta elementare capirlo e non confondersi? NO!

E la maestra ce lo ha spiegato in modo elementare: bisogna capovolgere la seconda frazione e poi moltiplicarla!

Stessa cosa con l'addizione.

Per sommare due frazioni, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e moltiplicare il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima frazione, sommare i numeri risultanti e scriverli al numeratore. E nel denominatore devi scrivere il prodotto dei denominatori delle frazioni. Successivamente, la frazione risultante può (o dovrebbe) essere ridotta.

Ed è più semplice: riduci le frazioni a un denominatore comune, che è uguale al MCM dei denominatori, e poi aggiungi i numeratori.

Mostrateli con un chiaro esempio. Ad esempio, taglia una mela in 4 parti, mettila in 8 parti, aggiungi 12 parti in un tutto, aggiungi più parti, sottrai. Allo stesso tempo, spiega su carta usando le regole. Regole per addizioni e sottrazioni. dividere le frazioni e come isolare un intero da una frazione impropria: impara tutto questo manipolando una mela. Non abbiate fretta con i bambini, lasciate che sistemino attentamente le fette con il vostro aiuto.

Insegnare ai bambini a risolvere le frazioni, in particolare, è abbastanza comune e non creerà molti problemi. La cosa più semplice che puoi fare è prendere qualcosa di intero, ad esempio un mandarino, o qualsiasi altro frutto, dividerlo in parti e usare un esempio per mostrare sottrazioni, addizioni e altre operazioni con pezzi di questo frutto, che saranno frazioni del Totale. Tutto deve essere spiegato e mostrato, e il fattore finale sarà esempi matematici spiegare e risolvere i compiti insieme finché il bambino non impara a svolgerli da solo.

La figura mostra chiaramente cosa corrisponde a cosa e come appare la frazione su un oggetto reale, è esattamente così che deve essere spiegato.



È necessario affrontare questo problema in modo approfondito, poiché risolvere le frazioni tornerà utile nella vita. È necessario in questa materia, come si suol dire, essere su un piano di parità con i bambini e spiegare la teoria in una lingua che capiscono, ad esempio nella lingua della torta o del mandarino. Devi dividere la torta in fare e darla agli amici, dopodiché il bambino inizierà a comprendere l'essenza della risoluzione delle frazioni. Non iniziare con le frazioni pesanti, inizia con i concetti di 1/2, 1/3, 1/10. Prima sottrai e aggiungi, quindi passa ad altro concetti complessi come la moltiplicazione e la divisione.

Esistono diversi tipi di problemi con le frazioni. Un bambino non riesce a capire che un secondo e cinque decimi sono la stessa cosa, altri sono perplessi portando frazioni diverse allo stesso denominatore, e altri ancora sono confusi dividendo le frazioni. Pertanto non esiste una regola valida per tutte le occasioni.

La cosa principale nei problemi che coinvolgono le frazioni è non perdere il momento in cui ciò che è comprensibile cessa di esserlo. Ritorna ai fornelli e ripeti tutto da capo, anche se sembra miseramente primitivo. Ad esempio, torna a cos'è un secondo.

Il bambino deve capire che i concetti matematici sono astratti, che lo stesso fenomeno può essere descritto in parole diverse, espresso in numeri diversi.

Mi piace la risposta data da Mefody66. Aggiungo da molti anni di pratica personale: insegnare a risolvere problemi con le frazioni (e non risolvere le frazioni; risolvere le frazioni è impossibile, così come è impossibile risolvere i numeri) è abbastanza semplice, basta essere vicino al bambino quando inizia a risolvere tali problemi per la prima volta, e correggere la sua soluzione in tempo in modo che gli errori, che sono inevitabili in ogni apprendimento, non abbiano il tempo di prendere piede nella mente del bambino. Reimparare è più difficile che imparare qualcosa di nuovo. E risolvi questi problemi il più possibile. Portare la soluzione di tali compiti all’automaticità sarebbe una buona cosa da fare. Capacità di risolvere problemi con frazioni ordinarie per importanza in corso scolastico la matematica occupa lo stesso posto della conoscenza delle tabelline. Quindi devi prenderti il ​​tempo per vedere come tuo figlio risolve questi problemi.

E non affidatevi troppo al libro di testo: gli insegnanti nelle scuole spiegano esattamente come ha scritto Mefody66 nella sua risposta. È meglio parlare con l'insegnante, scoprire con quali parole l'insegnante ha spiegato questo argomento. E se possibile, usa le stesse parole e frasi (per non confondere troppo il bambino)

Inoltre: ti consiglio di utilizzare esempi visivi solo nella fase iniziale della spiegazione, quindi astrarli rapidamente e passare all'algoritmo della soluzione. Altrimenti, la chiarezza potrebbe essere dannosa quando si risolvono di più compiti complessi. Ad esempio, se devi sommare frazioni con denominatori 29 e 121, che tipo di aiuto visivo ti aiuterà? Creerà soltanto confusione.

Le frazioni sono uno di quei benedetti argomenti matematici in cui non esistono astrazioni che non siano applicabili. Dovrebbero essere usati dei prodotti (sulle torte, come Juanita Solis in Desperate Housewives - un metodo di spiegazione davvero interessante). Tutti questi numeratori-denominatori vengono dopo. Quindi è necessario che il bambino capisca che la divisione per una frazione non è più una diminuzione e la moltiplicazione non è un aumento. Qui è meglio mostrare come dividere per una frazione sotto forma di moltiplicazione per inversione. Presenta l'abbreviazione in modo giocoso; se sono divisi per un numero, quindi dividi, risulta quasi essere un Sudoku, se sei interessato. L'importante è accorgersi per tempo delle incomprensioni, perché più avanti ci saranno argomenti più interessanti e di non facile comprensione. Pertanto, fai più pratica nella risoluzione delle frazioni e tutto migliorerà rapidamente. Per me, l'umanista più puro, lontano dal minimo grado di astrazione, le frazioni sono sempre state più chiare di altri argomenti.

• Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori simili
• Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi
• Concetto di NOC
• Ridurre le frazioni allo stesso denominatore
• Come sommare un numero intero e una frazione

1 Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori simili

Per sommare frazioni con gli stessi denominatori, devi sommare i loro numeratori, ma lasciare lo stesso denominatore, ad esempio:

Per sottrarre frazioni con gli stessi denominatori, devi sottrarre il numeratore della seconda frazione dal numeratore della prima frazione e lasciare lo stesso denominatore, ad esempio:

Per sommare le frazioni miste, devi sommare separatamente le loro parti intere, quindi aggiungere le loro parti frazionarie e scrivere il risultato come frazione mista,

Esempio 1:

Esempio 2:

Se, sommando le parti frazionarie, ottieni una frazione impropria, seleziona da essa l'intera parte e aggiungila alla parte intera, ad esempio:

2 Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori diversi.

Per aggiungere o sottrarre frazioni con denominatori diversi, devi prima ridurle allo stesso denominatore, quindi procedere come indicato all'inizio di questo articolo. Il denominatore comune di più frazioni è il LCM (minimo comune multiplo). Per il numeratore di ciascuna frazione, si trovano fattori aggiuntivi dividendo il LCM per il denominatore di questa frazione. Vedremo un esempio più tardi, dopo aver capito cos'è un NOC.

3 Minimo comune multiplo (LCM)

Il minimo comune multiplo di due numeri (MCM) è il più piccolo numero naturale divisibile per entrambi i numeri senza lasciare resto. A volte l'LCM può essere trovato oralmente, ma più spesso, soprattutto quando si lavora con grandi numeri, è necessario trovarlo per iscritto, utilizzando il seguente algoritmo:

Per trovare l'LCM di più numeri, è necessario:

1. Fattorizza questi numeri in fattori primi
2. Prendi l'espansione più grande e scrivi questi numeri come prodotto
3. Seleziona in altre scomposizioni i numeri che non compaiono nella scomposizione più grande (o ricorrono meno volte in essa) e aggiungili al prodotto.
4. Moltiplica tutti i numeri nel prodotto, questo sarà il MCM.

Ad esempio, troviamo il LCM dei numeri 28 e 21:

4 Ridurre le frazioni allo stesso denominatore

Torniamo alla somma delle frazioni con denominatori diversi.

Quando riduciamo le frazioni allo stesso denominatore, pari al MCM di entrambi i denominatori, dobbiamo moltiplicare i numeratori di queste frazioni per moltiplicatori aggiuntivi. Puoi trovarli dividendo il MCM per il denominatore della frazione corrispondente, ad esempio:

Pertanto, per ridurre le frazioni allo stesso esponente, devi prima trovare il MCM (ovvero il numero più piccolo divisibile per entrambi i denominatori) dei denominatori di queste frazioni, quindi aggiungere ulteriori fattori ai numeratori delle frazioni. Puoi trovarli dividendo il denominatore comune (CLD) per il denominatore della frazione corrispondente. Quindi devi moltiplicare il numeratore di ciascuna frazione per un fattore aggiuntivo e mettere il MCM come denominatore.

5 Come sommare un numero intero e una frazione

Per sommare un numero intero e una frazione, aggiungi semplicemente quel numero prima della frazione per creare una frazione mista, ad esempio:

Se aggiungiamo un numero intero e una frazione mista, aggiungiamo quel numero alla parte intera della frazione, ad esempio:

Allenatore 1

Addizione e sottrazione di frazioni con denominatori simili.

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Informazione

Questo test mette alla prova la tua capacità di sommare frazioni con denominatori simili. In questo caso bisogna rispettare due regole:

• Se il risultato è una frazione impropria, devi convertirla in un numero misto.
• Se una frazione può essere abbreviata, assicurati di accorciarla, altrimenti verrà conteggiata una risposta errata.

Hai già sostenuto il test in precedenza. Non puoi ricominciare da capo.

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Gli esempi con le frazioni sono uno degli elementi base della matematica. Esistono molti tipi diversi di equazioni con frazioni. Sotto è istruzioni dettagliate per risolvere esempi di questo tipo.

Come risolvere esempi con le frazioni - regole generali

Per risolvere esempi con frazioni di qualsiasi tipo, siano esse addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni, è necessario conoscere le regole di base:

• Per sommare espressioni frazionarie con lo stesso denominatore (il denominatore è il numero in fondo alla frazione, il numeratore in alto), devi sommare i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
• Per sottrarre una seconda espressione frazionaria (con lo stesso denominatore) da una frazione, devi sottrarre i loro numeratori e lasciare lo stesso denominatore.
• Per aggiungere o sottrarre frazioni con denominatori diversi, devi trovare il minimo comune denominatore.
• Per trovare un prodotto frazionario, è necessario moltiplicare i numeratori e i denominatori e, se possibile, ridurli.
• Per dividere una frazione per una frazione, moltiplica la prima frazione per la seconda frazione al contrario.

Come risolvere esempi con le frazioni - pratica

Regola 1, esempio 1:

Calcola 3/4 +1/4.

Secondo la regola 1, se due (o più) frazioni hanno lo stesso denominatore, basta sommare i loro numeratori. Otteniamo: 3/4 + 1/4 = 4/4. Se una frazione ha lo stesso numeratore e denominatore, la frazione sarà uguale a 1.

Risposta: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Regola 2, esempio 1:

Calcolare: 3/4 – 1/4

Utilizzando la regola numero 2, per risolvere questa equazione devi sottrarre 1 da 3 e lasciare lo stesso denominatore. Otteniamo 2/4. Poiché due 2 e 4 possono essere ridotti, riduciamo e otteniamo 1/2.

Risposta: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Regola 3, Esempio 1

Calcola: 3/4 + 1/6

Soluzione: utilizzando la terza regola, troviamo il minimo comune denominatore. Il minimo comune denominatore è il numero divisibile per i denominatori di tutte le espressioni frazionarie nell'esempio. Quindi dobbiamo trovare qualcosa di simile numero minimo, che sarà divisibile sia per 4 che per 6. Questo numero è 12. Scriviamo 12 come denominatore Dividiamo 12 per il denominatore della prima frazione, otteniamo 3, moltiplichiamo per 3, scriviamo 3 * 3 e il segno +. al numeratore. Dividi 12 per il denominatore della seconda frazione, otteniamo 2, moltiplichiamo 2 per 1, scriviamo 2*1 al numeratore. Quindi otteniamo una nuova frazione con denominatore pari a 12 e numeratore pari a 3*3+2*1=11. 11/12.

Risposta: 11/12

Regola 3, Esempio 2:

Calcola 3/4 – 1/6. Questo esempio è molto simile al precedente. Facciamo tutti gli stessi passaggi, ma al numeratore invece del segno + scriviamo un segno meno. Otteniamo: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Risposta: 7/12

Regola 4, Esempio 1:

Calcola: 3/4 * 1/4

Usando la quarta regola, moltiplichiamo il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda e il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda. 3*1/4*4 = 3/16.

Risposta: 3/16

Regola 4, Esempio 2:

Calcola 2/5 * 10/4.

Questa frazione può essere ridotta. Nel caso di prodotto si cancellano il numeratore della prima frazione e il denominatore della seconda e il numeratore della seconda frazione e il denominatore della prima.

2 cancella da 4. 10 cancella da 5. Otteniamo 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Risposta: 2/5 * 10/4 = 1

Regola 5, Esempio 1:

Calcola: 3/4: 5/6

Usando la quinta regola, otteniamo: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Riduciamo la frazione secondo il principio dell'esempio precedente e otteniamo 9/10.

Risposta: 9/10.

Come risolvere esempi con le frazioni - equazioni frazionarie

Le equazioni frazionarie sono esempi in cui il denominatore contiene un'incognita. Per risolvere tale equazione, è necessario utilizzare determinate regole.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Risolvi l'equazione 15/3x+5 = 3

Ricordiamo che non è possibile dividere per zero, cioè il valore del denominatore non deve essere zero. Quando si risolvono tali esempi, questo deve essere indicato. A questo scopo esiste un OA (intervallo di valori consentito).

Quindi 3x+5 ≠ 0.
Quindi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

A x = 5/3 l'equazione semplicemente non ha soluzione.

Dopo aver indicato l'ODZ, nel miglior modo possibile decidere data equazione eliminerà le frazioni. Per fare ciò, presentiamo prima tutti i valori non frazionari come una frazione, in questo caso il numero 3. Otteniamo: 15/(3x+5) = 3/1. Per eliminare le frazioni è necessario moltiplicarle ciascuna per il minimo comune denominatore. In questo caso sarà (3x+5)*1. Sequenziamento:

1. Moltiplica 15/(3x+5) per (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Apri le parentesi: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Facciamo lo stesso con la parte destra dell'equazione: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Uguagliare i lati sinistro e destro: 45x + 75 = 9x +15
5. Sposta le X a sinistra, i numeri a destra: 36x = – 50
6. Trova x: x = -50/36.
7. Riduciamo: -50/36 = -25/18

Risposta: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Come risolvere esempi con le frazioni - disuguaglianze frazionarie

Le disuguaglianze frazionarie del tipo (3x-5)/(2-x)≥0 vengono risolte utilizzando l'asse dei numeri. Diamo un'occhiata a questo esempio.

Sequenziamento:

• Uguagliamo numeratore e denominatore a zero: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Stiamo disegnando asse dei numeri, scrivendovi sopra i valori risultanti.
• Disegna un cerchio sotto il valore. Esistono due tipi di cerchi: pieni e vuoti. Un cerchio pieno significa questo dato valoreè compreso nella gamma delle soluzioni. Un cerchio vuoto indica che questo valore non è incluso nell'intervallo della soluzione.
• Poiché il denominatore non può essere uguale a zero, sotto il 2° ci sarà un cerchio vuoto.

• Per determinare i segni, sostituiamo qualsiasi numero maggiore di due nell'equazione, ad esempio 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. il valore è negativo, il che significa che scriviamo un segno meno sopra l'area dopo i due. Quindi sostituire X qualsiasi valore dell'intervallo da 5/3 a 2, ad esempio 1. Il valore è nuovamente negativo. Scriviamo un meno. Ripetiamo lo stesso con l'area situata fino a 5/3. Sostituiamo qualsiasi numero inferiore a 5/3, ad esempio 1. Ancora una volta, meno.

• Poiché siamo interessati ai valori di x ai quali l'espressione sarà maggiore o uguale a 0, e non esistono tali valori (ci sono dei meno ovunque), questa disuguaglianza non ha soluzione, cioè x = Ø (un insieme vuoto).

Risposta: x = Ø

Nell'articolo mostreremo come risolvere le frazioni utilizzando esempi semplici e comprensibili. Scopriamo cos'è una frazione e consideriamo risolvere le frazioni!

Concetto frazioni viene introdotto nei corsi di matematica a partire dalla 6a classe della scuola secondaria.

Le frazioni hanno la forma: ±X/Y, dove Y è il denominatore, indica in quante parti è stato diviso il tutto, e X è il numeratore, indica quante parti sono state prese. Per chiarezza facciamo un esempio con una torta:

Nel primo caso la torta è stata tagliata in parti uguali e ne è stata prelevata la metà, cioè 1/2. Nel secondo caso la torta è stata tagliata in 7 parti, di cui sono state prelevate 4 parti, cioè 4/7.

Se la parte della divisione di un numero per un altro non è un numero intero, si scrive come frazione.

Ad esempio, l'espressione 4:2 = 2 dà un numero intero, ma 4:7 non è divisibile per un intero, quindi questa espressione viene scritta come una frazione 4/7.

In altre parole frazioneè un'espressione che denota la divisione di due numeri o espressioni e che viene scritta utilizzando una barra frazionaria.

Se il numeratore è minore del denominatore la frazione è propria; viceversa è impropria. Una frazione può contenere un numero intero.

Ad esempio, 5 interi 3/4.

Questa voce significa che per ottenere il 6 intero manca una parte di quattro.

Se vuoi ricordare, come risolvere le frazioni per la 6a elementare, devi capirlo risolvere le frazioni, in sostanza, si tratta di capire alcune semplici cose.

• Una frazione è essenzialmente l'espressione di una frazione. Cioè, un'espressione numerica di quale parte un dato valore è di un tutto. Ad esempio, la frazione 3/5 esprime che se dividiamo qualcosa di intero in 5 parti e il numero di parti o parti di questo intero è tre.
• La frazione può essere inferiore a 1, ad esempio 1/2 (o essenzialmente la metà), quindi è corretta. Se la frazione è maggiore di 1, ad esempio 3/2 (tre metà oppure una e mezza), allora è errata e per semplificare la soluzione conviene selezionare la parte intera 3/2 = 1 intero 1 /2.
• Le frazioni sono gli stessi numeri di 1, 3, 10 e anche 100, solo che i numeri non sono numeri interi ma frazioni. Con essi puoi eseguire tutte le stesse operazioni che con i numeri. Contare le frazioni non è più difficile e lo mostreremo ulteriormente con esempi specifici.

Come risolvere le frazioni. Esempi.

Alle frazioni è applicabile un’ampia varietà di operazioni aritmetiche.

Ridurre una frazione a un denominatore comune

Ad esempio, devi confrontare le frazioni 3/4 e 4/5.

Per risolvere il problema, troviamo innanzitutto il minimo comune denominatore, ovvero il numero più piccolo divisibile per ciascuno dei denominatori delle frazioni senza lasciare resto

Minimo comune denominatore(4.5) = 20

Quindi il denominatore di entrambe le frazioni viene ridotto al minimo comune denominatore

Risposta: 15/20

Addizione e sottrazione di frazioni

Se è necessario calcolare la somma di due frazioni, queste vengono prima portate a un denominatore comune, quindi vengono sommati i numeratori, mentre il denominatore rimane invariato. La differenza tra le frazioni si calcola allo stesso modo, l'unica differenza è che i numeratori vengono sottratti.

Ad esempio, devi trovare la somma delle frazioni 1/2 e 1/3

Ora troviamo la differenza tra le frazioni 1/2 e 1/4

Moltiplicazione e divisione delle frazioni

Qui risolvere le frazioni non è difficile, qui tutto è abbastanza semplice:

• Moltiplicazione: numeratori e denominatori delle frazioni vengono moltiplicati insieme;
• Divisione: prima otteniamo la frazione inversa della seconda frazione, cioè Scambiamo il suo numeratore e denominatore, dopo di che moltiplichiamo le frazioni risultanti.

Per esempio:

Questo è tutto come risolvere le frazioni, Tutto. Se hai ancora domande a riguardo risolvere le frazioni, se qualcosa non ti è chiaro scrivi nei commenti e ti risponderemo sicuramente.

Se sei un insegnante, è possibile scaricare la presentazione per scuola elementare(http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) ti tornerà utile.

Azioni con frazioni.

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “moltissimo…”)

Quindi, cosa sono le frazioni, i tipi di frazioni, le trasformazioni: lo abbiamo ricordato. Veniamo alla questione principale.

Cosa puoi fare con le frazioni? Sì, tutto è uguale ai numeri ordinari. Aggiungere, sottrarre, moltiplicare, dividere.

Tutte queste azioni con decimale lavorare con le frazioni non è diverso da lavorare con i numeri interi. In realtà, è questo il bello di loro, quelli decimali. L'unica cosa è che devi inserire correttamente la virgola.

Numeri misti, come ho già detto, sono di scarsa utilità per la maggior parte delle azioni. Devono ancora essere convertiti in frazioni ordinarie.

Ma le azioni con frazioni ordinarie saranno più astuti. E molto più importante! Lascia che ti ricordi: tutte le azioni con espressioni frazionarie con lettere, seni, incognite e così via non sono diverse dalle azioni con frazioni ordinarie! Le operazioni con le frazioni ordinarie sono la base di tutta l'algebra. È per questo motivo che qui analizzeremo tutta questa aritmetica in grande dettaglio.

Addizione e sottrazione di frazioni.

Tutti possono sommare (sottrarre) frazioni con gli stessi denominatori (lo spero davvero!). Ebbene, lasciatemi ricordare a chi è completamente smemorato: quando si aggiunge (sottrae), il denominatore non cambia. I numeratori vengono aggiunti (sottratti) per ottenere il numeratore del risultato. Tipo:

Insomma, in termini generali:

Cosa succede se i denominatori sono diversi? Quindi, utilizzando la proprietà di base di una frazione (qui torna utile di nuovo!), rendiamo uguali i denominatori! Per esempio:

Qui dovevamo ricavare la frazione 4/10 dalla frazione 2/5. Al solo scopo di rendere uguali i denominatori. Vorrei notare, per ogni evenienza, che 2/5 e 4/10 lo sono la stessa frazione! Solo 2/5 sono scomodi per noi e 4/10 vanno davvero bene.

A proposito, questa è l'essenza della risoluzione di qualsiasi problema di matematica. Quando veniamo da scomodo facciamo espressioni la stessa cosa, ma più conveniente per la risoluzione.

Un altro esempio:

La situazione è simile. Qui facciamo 48 da 16. Con una semplice moltiplicazione per 3. È tutto chiaro. Ma ci siamo imbattuti in qualcosa del tipo:

Come essere?! È difficile fare un nove su un sette! Ma noi siamo furbi, conosciamo le regole! Trasformiamoci ogni frazione in modo che i denominatori siano gli stessi. Questo si chiama “ridurre a un denominatore comune”:

Oh! Come facevo a sapere del 63? Molto semplice! 63 è un numero divisibile per 7 e 9 contemporaneamente. Tale numero può sempre essere ottenuto moltiplicando i denominatori. Se moltiplichiamo un numero per 7, ad esempio, il risultato sarà sicuramente divisibile per 7!

Se devi sommare (sottrarre) diverse frazioni, non è necessario farlo in coppia, passo dopo passo. Devi solo trovare il denominatore comune a tutte le frazioni e ridurre ciascuna frazione allo stesso denominatore. Per esempio:

E quale sarà il denominatore comune? Ovviamente puoi moltiplicare 2, 4, 8 e 16. Otteniamo 1024. Incubo. È più semplice stimare che il numero 16 sia perfettamente divisibile per 2, 4 e 8. Pertanto da questi numeri è facile ottenere 16. Questo numero sarà il denominatore comune. Trasformiamo 1/2 in 8/16, 3/4 in 12/16 e così via.

A proposito, se prendi 1024 come denominatore comune, tutto funzionerà, alla fine tutto si ridurrà. Ma non tutti arriveranno a questo traguardo, a causa dei calcoli...

Completa tu stesso l'esempio. Non una specie di logaritmo... Dovrebbe essere 29/16.

Quindi, l'addizione (sottrazione) delle frazioni è chiara, spero? Naturalmente, è più facile lavorare in una versione abbreviata, con moltiplicatori aggiuntivi. Ma questo piacere è disponibile per coloro che hanno lavorato onestamente classi giovanili... E non ho dimenticato nulla.

E ora faremo le stesse azioni, ma non con le frazioni, ma con espressioni frazionarie. Il nuovo rake verrà rivelato qui, sì...

Quindi, dobbiamo aggiungere due espressioni frazionarie:

Dobbiamo rendere uguali i denominatori. E solo con l'aiuto moltiplicazione! Questo è ciò che impone la proprietà principale di una frazione. Pertanto, non posso aggiungere uno a X nella prima frazione al denominatore. (sarebbe carino!). Ma se moltiplichi i denominatori, vedi, tutto cresce insieme! Quindi scriviamo la riga della frazione, lasciamo uno spazio vuoto in alto, poi lo sommiamo, e scriviamo sotto il prodotto dei denominatori, per non dimenticare:

E, ovviamente, non moltiplichiamo nulla a destra, non apriamo le parentesi! E ora, guardando il denominatore comune sulla parte destra, ci rendiamo conto: per ottenere il denominatore x(x+1) nella prima frazione, devi moltiplicare il numeratore e il denominatore di questa frazione per (x+1) . E nella seconda frazione - a x. Questo è ciò che ottieni:

Nota! Ecco le parentesi! Questo è il rastrello su cui molte persone calpestano. Non parentesi, ovviamente, ma la loro assenza. Le parentesi appaiono perché stiamo moltiplicando Tutto numeratore e Tutto denominatore! E non i loro singoli pezzi...

Nel numeratore della parte destra scriviamo la somma dei numeratori, tutto è come nelle frazioni numeriche, quindi apriamo le parentesi nel numeratore della parte destra, cioè Moltiplichiamo tutto e diamo quelli simili. Non è necessario aprire le parentesi ai denominatori o moltiplicare nulla! In generale, a denominatori (qualsiasi) il prodotto è sempre più gradevole! Noi abbiamo:

Quindi abbiamo ottenuto la risposta. Il processo sembra lungo e difficile, ma dipende dalla pratica. Una volta risolti gli esempi, abituati, tutto diventerà semplice. Coloro che a tempo debito padroneggiano le frazioni eseguono tutte queste operazioni con una mano sinistra, automaticamente!

E ancora una nota. Molti trattano in modo intelligente le frazioni, ma rimangono bloccati negli esempi Totale numeri. Tipo: 2 + 1/2 + 3/4= ? Dove allacciare il due pezzi? Non è necessario fissarlo da nessuna parte, devi fare una frazione su due. Non è facile, ma molto semplice! 2=2/1. Come questo. Qualsiasi numero intero può essere scritto come frazione. Il numeratore è il numero stesso, il denominatore è uno. 7 è 7/1, 3 è 3/1 e così via. È lo stesso con le lettere. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, ecc. E poi lavoriamo con queste frazioni secondo tutte le regole.

Bene, la conoscenza dell'addizione e della sottrazione delle frazioni è stata aggiornata. È stata ripetuta la conversione delle frazioni da un tipo all'altro. Puoi anche farti controllare. Sistemiamo un po' le cose?)

Calcolare:

Risposte (in disordine):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Moltiplicazione/divisione di frazioni - nella prossima lezione. Ci sono anche compiti per tutte le operazioni con le frazioni.

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