Le linee di attraversamento sono facili da riconoscere da tali caratteristiche. Segno 1. Se ci sono quattro punti su due linee che non giacciono sullo stesso piano, queste linee si intersecano (Fig. 1.21).

Infatti, se le rette date si intersecassero o fossero parallele, allora giacerebbero sullo stesso piano, e quindi i punti dati giacerebbero sullo stesso piano, il che contraddice la condizione.

Segno 2. Se la linea O giace nel piano e la linea b interseca il piano a in un punto

M non giace sulla linea a, quindi le linee aeb si intersecano (Fig. 1.22).

Infatti, prendendo due punti qualsiasi sulla retta a e due punti qualsiasi sulla retta b, si arriva al criterio 1, cioè aeb si intersecano.

Esempi reali di linee di intersezione sono forniti dagli incroci stradali (Fig. 1.23).

Nello spazio ci sono più coppie di rette intersecanti, in un certo senso, che coppie di rette parallele o intersecanti. Questo può essere spiegato come segue.

Prendiamo nello spazio un punto A e una retta a non passante per il punto A. Per tracciare una retta parallela alla retta a passante per il punto A, è necessario tracciare il piano a passante per il punto A e la retta a ( Proposizione 2 della Sezione 1.1), quindi nel piano e tracciare una linea b parallela alla linea a (Fig. 1.24).

C'è solo una di queste righe b. Tutte le rette passanti per il punto A e che intersecano la retta O giacciono anch'esse nel piano a e lo riempiono tutte, ad eccezione della retta b. Tutte le altre rette che passano per A e riempiono tutto lo spazio tranne il piano a si intersecano con la retta a. Si può dire che le linee intersecanti nello spazio sono un caso generale e le linee intersecanti e parallele sono casi speciali. Le "piccole perturbazioni" delle linee oblique le lasciano oblique. Ma le proprietà di essere parallele o intersecantisi con "piccole perturbazioni" nello spazio non sono conservate.

In meno di un minuto, ho creato un nuovo file Verdov e ho continuato su un argomento così eccitante. Devi catturare i momenti dell'atmosfera lavorativa, quindi non ci sarà alcuna introduzione lirica. Ci saranno sculacciate prosaiche =)

I due spazi diritti possono:

1) incrociarsi;

2) intersecare nel punto;

3) essere paralleli;

4) partita.

Il caso n. 1 è fondamentalmente diverso dagli altri casi. Due rette si intersecano se non giacciono sullo stesso piano.. Alza un braccio e allunga l'altro in avanti: ecco un esempio di linee intersecanti. Nei punti 2-4, le linee mentono necessariamente in un piano.

Come scoprire la posizione relativa delle linee nello spazio?

Considera due spazi diritti:

- dritto, punto e vettore di direzione;
è una retta definita da un punto e da un vettore di direzione.

Per una migliore comprensione, facciamo un disegno schematico:

Il disegno mostra le linee oblique come esempio.

Come affrontare queste righe?

Poiché i punti sono noti, è facile trovare il vettore.

Se dritto incrociare, quindi i vettori non complanare(vedi lezione Lineare (non)dipendenza dei vettori. Base vettoriale), il che significa che il determinante composto dalle loro coordinate è diverso da zero. Oppure, che in realtà è lo stesso, sarà diverso da zero: .

Nei casi n. 2-4, la nostra costruzione “cade” su un piano, mentre i vettori Complanare, un prodotto misto vettori linearmente dipendenti è uguale a zero: .

Espandiamo ulteriormente l'algoritmo. Facciamo finta che , quindi, le rette o si intersecano, o sono parallele, o coincidono.

Se i vettori di direzione collineare, allora le rette sono parallele o coincidono. Come chiodo finale, propongo la seguente tecnica: prendiamo un punto qualsiasi di una retta e sostituiamo le sue coordinate nell'equazione della seconda retta; se le coordinate "si sono avvicinate", le linee coincidono, se "non si sono avvicinate", le linee sono parallele.

Il corso dell'algoritmo è senza pretese, ma gli esempi pratici non interferiscono ancora:

Esempio 11

Scopri la posizione relativa di due linee

Soluzione: come in molti problemi di geometria, è conveniente disporre la soluzione punto per punto:

1) Estraiamo punti e vettori di direzione dalle equazioni:

2) Trova il vettore:

Pertanto, i vettori sono complanari, il che significa che le rette giacciono sullo stesso piano e possono intersecare, essere parallele o coincidere.

4) Verificare la collinearità dei vettori di direzione.

Componiamo un sistema dalle coordinate corrispondenti di questi vettori:

Da a testa L'equazione implica che , quindi, il sistema è coerente, le corrispondenti coordinate dei vettori sono proporzionali e i vettori sono collineari.

Conclusione: le linee sono parallele o coincidono.

5) Scopri se le linee hanno punti in comune. Prendiamo un punto appartenente alla prima retta e sostituiamo le sue coordinate nelle equazioni della retta:

Pertanto, le rette non hanno punti in comune e non resta altro che essere parallele.

Risposta:

Un esempio interessante per decisione indipendente:

Esempio 12

Scopri la posizione relativa delle linee

Questo è un esempio fai da te. Si noti che la seconda riga ha la lettera come parametro. Logicamente. Nel caso generale, si tratta di due linee diverse, quindi ogni linea ha il proprio parametro.

E ancora ti esorto a non saltare gli esempi, darò un colpo che i compiti che propongo sono tutt'altro che casuali ;-)

Problemi con una linea retta nello spazio

Nella parte finale della lezione cercherò di considerare il numero massimo di diversi problemi con le linee spaziali. In questo caso, verrà rispettato l'ordine di partenza della storia: prima considereremo i problemi con le linee di intersezione, poi con le linee di intersezione, e alla fine parleremo di linee parallele nello spazio. Tuttavia, devo dire che alcuni dei compiti di questa lezione possono essere formulati per più casi di rette contemporaneamente e, a questo proposito, la divisione della sezione in paragrafi è alquanto arbitraria. Ci sono esempi più semplici, ce ne sono di più esempi complessi e speriamo che tutti trovino ciò di cui hanno bisogno.

Linee incrociate

Ti ricordo che le linee si intersecano se non c'è un piano in cui giacciono entrambe. Quando stavo pensando alla pratica, mi è venuto in mente un compito mostruoso, e ora sono lieto di presentare alla vostra attenzione un drago con quattro teste:

Esempio 13

Date sono rette. Necessario:

a) dimostrare che le linee si intersecano;

b) trovare le equazioni della retta passante per il punto perpendicolare alle rette date;

c) comporre le equazioni di una retta che contiene perpendicolare comune linee di intersezione;

d) trovare la distanza tra le linee.

Soluzione: La strada sarà dominata da quella che cammina:

a) Dimostriamo che le rette si intersecano. Troviamo i punti e i vettori di direzione di queste rette:

Troviamo il vettore:

Calcolare prodotto misto di vettori:

Quindi i vettori non complanare, il che significa che le linee si intersecano, il che doveva essere dimostrato.

Probabilmente, tutti hanno notato da tempo che per le linee di skew, l'algoritmo di verifica risulta essere il più breve.

b) Troviamo le equazioni della retta che passa per il punto ed è perpendicolare alle rette. Facciamo un disegno schematico:

Per varietà, ho postato una diretta PER linee rette, guarda come viene leggermente cancellato nei punti di incrocio. Incroci? Sì, nel caso generale, la linea "de" si intersecherà con le linee originali. Anche se questo momento non ci interessa, dobbiamo solo costruire una linea perpendicolare e basta.

Cosa si sa del "de" diretto? Il punto che gli appartiene è noto. Manca il vettore di direzione.

Per condizione, la linea deve essere perpendicolare alle linee, il che significa che il suo vettore di direzione sarà ortogonale ai vettori di direzione. Il motivo già familiare dall'esempio n. 9, troviamo il prodotto vettoriale:

Componiamo le equazioni della retta "de" per il punto e il vettore direzionale:

Pronto. In linea di principio, si possono cambiare i segni ai denominatori e scrivere la risposta nella forma , ma non ce n'è bisogno.

Per verificare, è necessario sostituire le coordinate del punto nelle equazioni ottenute della retta, quindi utilizzare prodotto scalare dei vettori assicurati che il vettore sia realmente ortogonale ai vettori di direzione "pe uno" e "pe due".

Come trovare le equazioni di una retta contenente una perpendicolare comune?

c) Questo problema è più difficile. Raccomando ai manichini di saltare questo paragrafo, non voglio raffreddare la tua sincera simpatia per la geometria analitica =) A proposito, potrebbe essere meglio che anche i lettori più preparati aspettino, il fatto è che in termini di complessità l'esempio dovrebbe essere messo per ultimo nell'articolo, ma secondo la logica di presentazione dovrebbe trovarsi qui.

Quindi, è necessario trovare le equazioni della retta, che contiene la perpendicolare comune delle rette oblique.

è un segmento di linea che collega le rette date ed è perpendicolare alle rette date:

Ecco il nostro bell'uomo: - perpendicolare comune di linee intersecanti. Lui è l'unico. Non ce n'è un altro simile. Dobbiamo anche comporre le equazioni di una retta che contiene un dato segmento.

Cosa si sa del diretto "uh"? Il suo vettore di direzione è noto, trovato nel paragrafo precedente. Ma, sfortunatamente, non conosciamo un solo punto appartenente alla retta "em", non conosciamo le estremità della perpendicolare - punti. Dove interseca questa retta perpendicolare con le due rette originarie? Africa, Antartide? Dalla revisione e dall'analisi iniziale della condizione, non è affatto chiaro come risolvere il problema.... Ma c'è una mossa complicata associata all'uso di equazioni parametriche di una retta.

Prendiamo una decisione punto per punto:

1) Riscriviamo le equazioni della prima retta in forma parametrica:

Consideriamo un punto. Non conosciamo le coordinate. MA. Se un punto appartiene a una determinata retta, le sue coordinate corrispondono a , indichiamolo con . Quindi le coordinate del punto saranno scritte come:

La vita sta migliorando, uno sconosciuto - dopo tutto, non tre incognite.

2) Lo stesso oltraggio deve essere compiuto sul secondo punto. Riscriviamo le equazioni della seconda retta in forma parametrica:

Se un punto appartiene a una determinata retta, allora con un significato ben preciso le sue coordinate devono soddisfare le equazioni parametriche:

O:

3) Il vettore, come il vettore trovato in precedenza, sarà il vettore di direzione della linea. Come comporre un vettore da due punti è stato considerato da tempo immemorabile nella lezione Vettori per manichini. Ora la differenza è che le coordinate dei vettori sono scritte con valori di parametro sconosciuti. E allora? Nessuno vieta di sottrarre le coordinate corrispondenti dell'inizio del vettore dalle coordinate della fine del vettore.

Ci sono due punti: .

Trovare un vettore:

4) Poiché i vettori di direzione sono collineari, allora un vettore è espresso linearmente attraverso l'altro con un certo coefficiente di proporzionalità "lambda":

Oppure in modo coordinato:

Si è rivelato essere il più ordinario sistema di equazioni lineari con tre incognite , che è standard risolvibile, ad esempio, Il metodo di Cramer. Ma qui c'è un'opportunità per cavarsela con poco sangue, dalla terza equazione esprimeremo "lambda" e lo sostituiremo nella prima e nella seconda equazione:

In questo modo: e "lambda" non ci serve. Il fatto che i valori dei parametri si siano rivelati gli stessi è pura casualità.

5) Il cielo si schiarisce completamente, sostituire i valori trovati nelle nostre sedi:

Il vettore di direzione non è particolarmente necessario, poiché la sua controparte è già stata trovata.

Dopo un lungo viaggio, è sempre interessante effettuare un controllo.

:

Si ottengono le uguaglianze corrette.

Sostituisci le coordinate del punto nelle equazioni :

Si ottengono le uguaglianze corrette.

6) L'accordo finale: comporremo le equazioni di una retta per un punto (puoi prendere) e un vettore direzionale:

In linea di principio, puoi raccogliere un punto "buono" con coordinate intere, ma questo è cosmetico.

Come trovare la distanza tra le linee che si intersecano?

d) Tagliamo la quarta testa del drago.

Metodo uno. Nemmeno un modo, ma un piccolo caso speciale. La distanza tra le linee che si intersecano è uguale alla lunghezza della loro perpendicolare comune: .

Punti estremi della perpendicolare comune trovato nel paragrafo precedente, e il compito è elementare:

Metodo due. In pratica, molto spesso le estremità della perpendicolare comune sono sconosciute, quindi viene utilizzato un approccio diverso. Attraverso due linee che si intersecano si possono tracciare piani paralleli e la distanza tra i piani dati è uguale alla distanza tra le linee date. In particolare, tra questi piani sporge una perpendicolare comune.

Nel corso della geometria analitica, dalle considerazioni di cui sopra, è stata derivata una formula per trovare la distanza tra le linee di skew:
(invece dei nostri punti "uno, due" possiamo prendere punti arbitrari di linee).

Prodotto misto di vettori già trovato nel paragrafo "a": .

Prodotto incrociato di vettori che si trova nel paragrafo "essere": , calcola la sua lunghezza:

In questo modo:

Disponi con orgoglio i trofei in una riga:

Risposta:
un) , quindi, le linee si intersecano, cosa che doveva essere provata;
b) ;
in) ;
G)

Cos'altro si può dire sulle linee di intersezione? Tra di loro è definito un angolo. Ma considera la formula dell'angolo universale nel prossimo paragrafo:

Le rette intersecantisi giacciono necessariamente sullo stesso piano:

Il primo pensiero è di appoggiarsi al punto di intersezione con tutte le forze. E subito ho pensato, perché negarti i giusti desideri?! Saltiamoci sopra subito!

Come trovare il punto di intersezione delle linee spaziali?

Esempio 14

Trova il punto di intersezione delle rette

Soluzione: Riscriviamo le equazioni delle rette in forma parametrica:

Questo compito è stato considerato in dettaglio nell'Esempio n. 7 di questa lezione (vedi. Equazioni di una retta nello spazio). E le linee rette stesse, a proposito, ho preso dall'esempio n. 12. Non mentirò, sono troppo pigro per inventarne di nuove.

La soluzione è standard ed è già stata riscontrata quando abbiamo elaborato le equazioni della perpendicolare comune delle rette oblique.

Il punto di intersezione delle rette appartiene alla retta, quindi le sue coordinate soddisfano le equazioni parametriche di questa retta e corrispondono a un valore di parametro molto specifico:

Ma lo stesso punto appartiene alla seconda riga, quindi:

Identifichiamo le equazioni corrispondenti e facciamo delle semplificazioni:

Si ottiene un sistema di tre equazioni lineari con due incognite. Se le linee si intersecano (come dimostrato nell'Esempio 12), il sistema è necessariamente coerente e ha una soluzione unica. Può essere risolto Metodo Gauss, ma non peccheremo con un tale feticismo da asilo nido, facciamolo più facilmente: dalla prima equazione esprimiamo “te zero” e lo sostituiamo nella seconda e terza equazione:

Le ultime due equazioni si sono rivelate essenzialmente le stesse e ne consegue che . Quindi:

Sostituiamo il valore trovato del parametro nelle equazioni:

Risposta:

Per verificare, sostituiamo il valore trovato del parametro nelle equazioni:
Sono state ottenute le stesse coordinate necessarie per essere verificate. I lettori meticolosi possono sostituire le coordinate del punto nell'originale equazioni canoniche diretto.

A proposito, era possibile fare il contrario: trovare il punto attraverso “es zero” e verificarlo attraverso “te zero”.

Un noto segno matematico dice: dove si discute dell'intersezione di rette, c'è sempre odore di perpendicolari.

Come costruire una linea di spazio perpendicolare ad una data?

(le linee si intersecano)

Esempio 15

a) Componi le equazioni di una retta passante per un punto perpendicolare alla retta (le linee si intersecano).

b) Trova la distanza dal punto alla retta.

Nota : clausola "linee si intersecano" - significativo. Attraverso il punto
è possibile tracciare un numero infinito di rette perpendicolari che si intersecheranno con la retta "el". Unica decisione avviene nel caso in cui dato punto disegnato dritto, perpendicolare Due date rette (vedi Esempio n. 13, paragrafo "b").

un) Soluzione: Indica la riga sconosciuta con . Facciamo un disegno schematico:

Cosa si sa della linea? Per condizione, viene assegnato un punto. Per comporre le equazioni di una retta è necessario trovare il vettore di direzione. In quanto tale vettore, il vettore è abbastanza adatto e ci occuperemo di esso. Più precisamente, prendiamo per la collottola la fine sconosciuta del vettore.

1) Estrarremo il suo vettore direttivo dalle equazioni della retta "el", e riscriveremo le equazioni stesse in forma parametrica:

Molti hanno intuito che ora per la terza volta in una lezione il mago tirerà fuori un cigno bianco dal suo cappello. Considera un punto con coordinate sconosciute. Dal punto , allora le sue coordinate soddisfano le equazioni parametriche della retta "el" e corrispondono ad un valore di parametro specifico:

O in una riga:

2) Per condizione, le rette devono essere perpendicolari, quindi i loro vettori di direzione sono ortogonali. E se i vettori sono ortogonali, allora il loro prodotto scalareè uguale a zero:

Quello che è successo? L'equazione lineare più semplice con un'incognita:

3) Il valore del parametro è noto, troviamo il punto:

E il vettore di direzione:
.

4) Componeremo le equazioni della retta per il punto e il vettore di direzione:

I denominatori della proporzione si sono rivelati frazionari, e questo è esattamente il caso in cui è opportuno eliminare le frazioni. Li moltiplicherò solo per -2:

Risposta:

Nota : una desinenza più rigorosa della soluzione si elabora come segue: componiamo le equazioni di una retta con un punto e un vettore direzionale . Infatti, se un vettore è un vettore direzionale di una retta, allora il vettore collineare ad esso sarà naturalmente anche un vettore direzionale di questa retta.

La verifica si compone di due fasi:

1) verificare l'ortogonalità dei vettori di direzione delle linee;

2) sostituiamo le coordinate del punto nelle equazioni di ciascuna retta, dovrebbero "adattarsi" sia qui che là.

Si è parlato molto di azioni tipiche, quindi ho controllato una bozza.

A proposito, ho dimenticato un'altra moda passeggera: costruire un punto "sue" simmetrico al punto "en" rispetto alla retta "el". Tuttavia, esiste un buon "analogo piatto", che può essere trovato nell'articolo I problemi più semplici con una retta su un piano. Qui, tutta la differenza sarà nella coordinata "Z" aggiuntiva.

Come trovare la distanza tra un punto e una linea nello spazio?

b) Soluzione: Trova la distanza da un punto a una linea.

Metodo uno. Questa distanza è esattamente uguale alla lunghezza della perpendicolare: . La soluzione è ovvia: se si conoscono i punti , poi:

Metodo due. Nei problemi pratici, la base della perpendicolare è spesso un mistero, quindi è più razionale utilizzare una formula già pronta.

La distanza da un punto ad una linea è espressa dalla formula:
, dove è il vettore di direzione della retta "el", e - arbitrario un punto su una determinata retta.

1) Dalle equazioni della retta otteniamo il vettore di direzione e il punto più accessibile.

2) Il punto è noto dalla condizione, affinare il vettore:

3) Troviamo prodotto vettoriale e calcolarne la lunghezza:

4) Calcola la lunghezza del vettore di direzione:

5) Quindi, la distanza da un punto a una retta:

Arrangiamento reciproco due linee nello spazio.

La disposizione reciproca di due linee e spazio è caratterizzata dalle seguenti tre possibilità.

Le linee giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune - linee parallele.

Le linee giacciono sullo stesso piano e hanno un punto comune: le linee si intersecano.

Nello spazio, due rette possono ancora essere posizionate in modo tale da non giacere sullo stesso piano. Tali linee sono dette intersecanti (non si intersecano e non sono parallele).

ESEMPIO:

PROBLEMA 434 Il triangolo ABC giace nel piano, a

Il triangolo ABC giace nel piano e il punto D non è in questo piano. Punti M, N e K, rispettivamente, i punti medi dei segmenti DA, DB e DC

Teorema. Se una delle due linee giace su un certo piano e l'altra interseca questo piano e un punto che non giace sulla prima linea, allora queste linee si intersecano.

Sulla fig. 26 la retta a giace nel piano e la retta c si interseca nel punto N. Le rette a e c si intersecano.

Teorema. Per ciascuna delle due rette intersecanti passa un solo piano parallelo all'altra retta.

Sulla fig. 26 linee aeb si intersecano. Cheren retta e piano disegnato a (alfa) || b (la retta a1 || b è indicata nel piano B (beta).

Teorema 3.2.

Due rette parallele ad una terza sono parallele.

Questa proprietà è chiamata transitività linee parallele.

Prova

Siano simultaneamente le rette aeb parallele alla retta c. Supponiamo che a non sia parallelo a b, quindi la retta a interseca la retta b in un punto A che non giace sulla retta c per ipotesi. Abbiamo quindi due rette aeb passanti per il punto A non giacenti sulla retta data c e parallelamente ad essa parallele. Ciò contraddice l'assioma 3.1. Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 3.3.

Per un punto che non è su una retta data, si può tracciare una e una sola retta parallela alla retta data.

Prova

Sia (AB ) una retta data e C sia un punto che non giace su di essa. La retta AC divide il piano in due semipiani. Il punto B si trova in uno di essi. In accordo con l'assioma 3.2, è possibile posticipare l'angolo dal raggio С A (ACD ), uguale all'angolo(CAB), su un altro semiaereo. ACD e CAB sono interni uguali trasversalmente giacenti alle rette AB e CD e alla secante (AC ) Allora, in virtù del Teorema 3.1 (AB ) || (CD). Tenendo conto dell'assioma 3.1. Il teorema è stato dimostrato.

La proprietà delle rette parallele è data dal seguente teorema, inverso al Teorema 3.1.

Teorema 3.4.

Se due rette parallele sono intersecate da una terza retta, gli angoli interni che si intersecano sono uguali.

Prova

Sia (AB ) || (CD). Supponiamo che ACD ≠ BAC . Traccia una linea AE attraverso il punto A in modo che EAC = ACD . Ma poi per il Teorema 3.1 (AE ) || (CD ), e per condizione - (AB ) || (CD). Secondo il Teorema 3.2 (AE ) || (AB). Ciò contraddice il Teorema 3.3, secondo il quale, per un punto A non giacente sulla retta CD , si può tracciare una sola retta parallela ad essa. Il teorema è stato dimostrato.

Figura 3.3.1.

Sulla base di questo teorema si possono facilmente dimostrare le seguenti proprietà.

Se due rette parallele sono intersecate da una terza retta, gli angoli corrispondenti sono uguali.

Se due rette parallele sono intersecate da una terza retta, la somma degli angoli interni unilaterali è 180°.

Corollario 3.2.

Se una retta è perpendicolare a una delle rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.

Il concetto di parallelismo ci permette di introdurre il seguente nuovo concetto, che sarà necessario più avanti nel Capitolo 11.

I due raggi sono chiamati ugualmente diretto, se esiste una linea tale che, in primo luogo, sono perpendicolari a questa linea e, in secondo luogo, i raggi giacciono su un semipiano rispetto a questa linea.

I due raggi sono chiamati direzioni opposte, se ciascuno di essi è ugualmente diretto con un raggio complementare all'altro.

Indicheremo i raggi ugualmente diretti AB e CD: e i raggi opposti AB e CD -

Figura 3.3.2.

Segno di linee intersecanti.

Se una delle due linee giace su un certo piano e l'altra linea interseca questo piano in un punto che non giace sulla prima linea, allora queste linee sono oblique.

Casi di disposizione reciproca di linee nello spazio.

1. Esistono quattro diversi casi di posizione di due linee nello spazio:

   
   

   - intersezione diretta, cioè non giacciono sullo stesso piano;

   – le linee si intersecano, cioè giacciono sullo stesso piano e hanno un punto in comune;

   - rettilineo parallelo, cioè giacciono sullo stesso piano e non si intersecano;

   - le linee coincidono.

   
   

   Otteniamo i segni di questi casi di disposizione reciproca delle rette dati dalle equazioni canoniche

   
   
   dove sono punti appartenenti a linee e rispettivamente, a- vettori di direzione (Fig. 4.34). Indica conun vettore che collega i punti dati.
   
   

   I suddetti casi di disposizione reciproca delle linee corrispondono alle seguenti caratteristiche:

   
   

   – i vettori diretti e incrociati non sono complanari;

   
   

   – le linee ei vettori di intersezione sono complanari, ma i vettori non sono collineari;

   
   

   – i vettori diritti e paralleli sono collineari, ma i vettori non sono collineari;

   
   

   sono linee rette e vettori coincidenti sono collineari.

   
   

   Queste condizioni possono essere scritte usando le proprietà dei prodotti misti e vettoriali. Ricordiamo che il prodotto misto dei vettori nel sistema di coordinate rettangolare destro si trova dalla formula:

   
   
   e interseca il determinante è uguale a zero e la sua seconda e terza riga non sono proporzionali, cioè
   

   - le rette e la seconda e la terza riga parallele del determinante sono proporzionali, cioè e le prime due righe non sono proporzionali, cioè

   
   

   sono rette e coincidono; tutte le righe del determinante sono proporzionali, cioè

Dimostrazione del criterio per le linee di skew.

Se una delle due linee giace su un piano e l'altra interseca questo piano in un punto che non appartiene alla prima linea, allora queste due linee si intersecano.

Prova

Sia a appartenente ad α, b intersechi α = A, A non appartiene ad a (disegno 2.1.2). Supponiamo che le linee aeb non si intersechino, cioè si intersechino. Allora esiste un piano β al quale appartengono le rette aeb. In questo piano β giacciono la retta a ed il punto A. Poiché la retta a ed il punto A esterno ad essa definiscono un unico piano, allora β = α. Ma b conduce β e b non appartiene ad α, quindi l'uguaglianza β = α è impossibile.

Se due rette nello spazio hanno un punto in comune, allora si dice che queste due rette si intersecano. Nella figura seguente, le linee aeb si intersecano nel punto A. Le linee a e c non si intersecano.

Due linee qualsiasi hanno un solo punto in comune o non hanno punti in comune.

Linee parallele

Due rette nello spazio si dicono parallele se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano. Per designare linee parallele usa un'icona speciale - ||.

La notazione a||b significa che la retta a è parallela alla retta b. Nella figura sopra, le linee a e c sono parallele.

Teorema delle rette parallele

Per ogni punto dello spazio che non giace su una retta data, passa una retta parallela alla retta data e, inoltre, una sola.

Linee incrociate

Due rette che giacciono sullo stesso piano possono intersecare o essere parallele. Ma nello spazio non è necessario che due rette appartengano allo stesso piano. Possono essere posizionati su due piani diversi.

Ovviamente, le rette poste su piani diversi non si intersecano e non sono rette parallele. Si chiamano due rette che non giacciono sullo stesso piano strisce pedonali.

La figura seguente mostra due rette intersecanti aeb che giacciono su piani diversi.

Segno e teorema delle linee oblique

Se una delle due linee giace su un certo piano e l'altra linea interseca questo piano in un punto che non giace sulla prima linea, allora queste linee sono oblique.

Teorema delle linee di attraversamento: per ciascuna delle due rette intersecanti passa un piano parallelo all'altra retta, ed inoltre solo una.

Abbiamo quindi considerato tutti i possibili casi di disposizione reciproca di linee nello spazio. Ce ne sono solo tre.

1. Le linee si intersecano. (Cioè, hanno solo un punto in comune.)

2. Le linee sono parallele. (Cioè, non hanno punti in comune e giacciono sullo stesso piano.)

3. Le linee rette si intersecano. (Cioè, si trovano su piani diversi.)